Դաս և ներկայացում «Թվերի հաջորդականություններ. Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 9-րդ դասարանի համար
Ուժեր և արմատներ Գործառույթներ և գրաֆիկներ

Տղերք, այսօր մենք կծանոթանանք պրոգրեսիայի մեկ այլ տեսակի հետ։
Այսօրվա դասի թեման երկրաչափական առաջընթացն է:

Երկրաչափական առաջընթաց

Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդի և որոշ հաստատուն թվի արտադրյալին, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։
Եկեք սահմանենք մեր հաջորդականությունը ռեկուրսիվ՝ $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
որտեղ սահմանվում են b և q տրված թվեր. q թիվը կոչվում է պրոգրեսիայի հայտարար։

Օրինակ. 1,2,4,8,16… Երկրաչափական առաջընթաց, որի առաջին անդամը հավասար է մեկի, իսկ $q=2$։

Օրինակ. 8,8,8,8… Երկրաչափական առաջընթաց, որի առաջին անդամը ութն է,
և $q=1$.

Օրինակ. 3,-3,3,-3,3... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը երեքն է,
և $q=-1$.

Երկրաչափական պրոգրեսիան ունի միապաղաղության հատկություններ։
Եթե ​​$b_(1)>0$, $q>1$,
ապա հաջորդականությունը մեծանում է:
Եթե ​​$b_(1)>0$, $0 Հերթականությունը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ՝ $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$:

Ինչպես նաև ներս թվաբանական առաջընթաց, եթե երկրաչափական պրոգրեսիայում տարրերի թիվը վերջավոր է, ապա պրոգրեսիան կոչվում է վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա։

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$:
Նշենք, որ եթե հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա քառակուսի տերմինների հաջորդականությունը նույնպես երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Երկրորդ հաջորդականությունն ունի $b_(1)^2$ առաջին անդամը և $q^2$ հայտարարը։

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը

Երկրաչափական պրոգրեսիան կարող է սահմանվել նաև վերլուծական ձևով: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել.
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$:
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$:
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$:
Մենք հեշտությամբ կարող ենք տեսնել օրինակը՝ $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$:
Մեր բանաձևը կոչվում է «երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձև»։

Եկեք վերադառնանք մեր օրինակներին:

Օրինակ. 1,2,4,8,16… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է մեկի,
և $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$:

Օրինակ. 16,8,4,2,1,1/2… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը տասնվեց է և $q=\frac(1)(2)$:
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$:

Օրինակ. 8,8,8,8… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որտեղ առաջին անդամը ութ է և $q=1$:
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$:

Օրինակ. 3,-3,3,-3,3… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը երեքն է և $q=-1$:
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$:

Օրինակ. Տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $:
ա) Հայտնի է, որ $b_(1)=6, q=3$: Գտեք $b_(5)$:
բ) Հայտնի է, որ $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$: Գտեք n.
գ) Հայտնի է, որ $q=-2, b_(6)=96$: Գտեք $b_(1)$:
դ) Հայտնի է, որ $b_(1)=-2, b_(12)=4096$: Գտեք ք.

Լուծում.
ա) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$:
բ) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$:
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ քանի որ $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
գ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$:
դ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ և հինգերորդ անդամների տարբերությունը 192 է, առաջընթացի հինգերորդ և վեցերորդ անդամների գումարը 192 է։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը։

Լուծում.
Մենք գիտենք, որ $b_(7)-b_(5)=192$ և $b_(5)+b_(6)=192$:
Մենք նաև գիտենք՝ $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Ապա.
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$:
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$:
Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.
$\սկիզբ(դեպքեր)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\վերջ(դեպքեր)$:
Հավասարեցնելով՝ մեր հավասարումները ստանում են.
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Ստացանք երկու լուծում q՝ $q_(1)=2, q_(2)=-1$:
Հաջորդաբար փոխարինեք երկրորդ հավասարման մեջ.
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$:
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ լուծումներ չկան:
Մենք ստացանք, որ $b_(1)=4, q=2$:
Գտնենք տասներորդ անդամը՝ $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$։

Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը

Ենթադրենք՝ ունենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա։ Եկեք, ինչպես նաև թվաբանական առաջընթացի համար, հաշվենք նրա անդամների գումարը։

Թող տրվի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա՝ $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$:
Ներկայացնենք դրա տերմինների գումարի նշումը՝ $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$:
Այն դեպքում, երբ $q=1$. Երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են առաջին անդամին, ապա ակնհայտ է, որ $S_(n)=n*b_(1)$։
Այժմ դիտարկենք $q≠1$ դեպքը:
Վերոնշյալ գումարը բազմապատկեք q-ով:
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$:
Նշում:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$:
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$:

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$:

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$:

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$:

Մենք ստացել ենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.

Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին յոթ անդամների գումարը, որի առաջին անդամը 4 է, իսկ հայտարարը՝ 3։

Լուծում.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$:

Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը, որը հայտնի է՝ $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$:

Լուծում.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$:
$q^(n-1)=1024$։
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$:
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$:
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$:
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն

Տղերք, տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա: Դիտարկենք նրա երեք հաջորդական անդամները՝ $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$:
Մենք գիտենք, որ.
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$:
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Ապա.
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$:
Եթե ​​առաջընթացը վերջավոր է, ապա այս հավասարությունը գործում է բոլոր անդամների համար, բացի առաջինից և վերջինից:
Եթե ​​նախապես հայտնի չէ, թե ինչ հաջորդականություն ունի հաջորդականությունը, բայց հայտնի է, որ $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$։
Ապա մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա երկրաչափական առաջընթաց է:

Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է միայն այն դեպքում, երբ նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին հավասար է առաջընթացի իր երկու հարևան անդամների արտադրյալին: Մի մոռացեք, որ վերջավոր առաջընթացի համար այս պայմանը չի բավարարվում առաջին և վերջին տերմինների համար:

Դիտարկենք այս ինքնությունը՝ $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$:
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$-ը կոչվում է a-ի և b-ի երկրաչափական միջին:

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի մոդուլը հավասար է դրան հարող երկու անդամների երկրաչափական միջինին:

Օրինակ.
Գտե՛ք x այնպես, որ $x+2; 2x+2; 3x+3$-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք հաջորդական անդամներ էին:

Լուծում.
Եկեք օգտագործենք բնորոշ հատկությունը.
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$:
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$:
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ և $x_(2)=-1$:
Բնօրինակ արտահայտության մեջ հաջորդաբար փոխարինեք մեր լուծումները.
$x=2$-ով ստացանք հաջորդականությունը. 4;6;9-ը $q=1,5$-ով երկրաչափական պրոգրեսիա է:
$x=-1$-ով ստացանք հաջորդականությունը՝ 1;0;0:
Պատասխան՝ $x=2.$

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի ութերորդ առաջին անդամը 16; -8; 4; -2 ....
2. Գտի՛ր երկրաչափական պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը 11,22,44….
3. Հայտնի է, որ $b_(1)=5, q=3$: Գտեք $b_(7)$:
4. Հայտնի է, որ $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$: Գտեք n.
5. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին 11 անդամների գումարը 3;12;48…:
6. Գտի՛ր x այնպես, որ $3x+4; 2x+4; x+5$-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք հաջորդական անդամներ են:

Մաթեմատիկան ինչ էմարդիկ վերահսկում են բնությունը և իրենց:

Խորհրդային մաթեմատիկոս, ակադեմիկոս Ա.Ն. Կոլմոգորովը

Երկրաչափական առաջընթաց.

Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների հետ մեկտեղ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերում տարածված են նաև երկրաչափական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված առաջադրանքները: Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար հարկավոր է իմանալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունները և դրանք օգտագործելու լավ հմտություններ ունենալ:

Այս հոդվածը նվիրված է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունների ներկայացմանը: Այն նաև տալիս է բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակներ, փոխառված մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերի առաջադրանքներից.

Եկեք նախապես նշենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունները և հիշենք ամենաշատը կարևոր բանաձևերև հայտարարություններ, կապված այս հայեցակարգի հետ:

Սահմանում.Թվային հաջորդականությունը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, եթե նրա յուրաքանչյուր թիվը, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։

Երկրաչափական առաջընթացի համարբանաձևերը վավեր են

, (1)

Որտեղ. Բանաձև (1) կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանուր տերմինի բանաձև, իսկ բանաձևը (2) երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունն է՝ պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան անդամների երկրաչափական միջինի և .

Նշում, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ խնդրո առարկա պրոգրեսիան կոչվում է «երկրաչափական»։

Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ամփոփված են հետևյալ կերպ.

, (3)

Գումարը հաշվարկելու համարառաջին երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներբանաձևը կիրառվում է

Եթե ​​նշանակենք

Որտեղ. Քանի որ , բանաձևը (6) (5) բանաձևի ընդհանրացումն է։

Այն դեպքում, երբ և երկրաչափական առաջընթացանսահման նվազում է. Գումարը հաշվարկելու համարԱնսահմանորեն նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամների համար օգտագործվում է բանաձևը

. (7)

Օրինակ , օգտագործելով (7) բանաձևը, կարելի է ցույց տալ, Ինչ

Որտեղ. Այս հավասարությունները ստացվում են (7) բանաձևից՝ պայմանով, որ , (առաջին հավասարություն) և , (երկրորդ հավասարություն):

Թեորեմ.Եթե, ապա

Ապացույց. Եթե, ապա ,

Թեորեմն ապացուցված է.

Անցնենք «Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայի խնդիրների լուծման օրինակների դիտարկմանը։

Օրինակ 1Տրված է՝ , և . Գտնել.

Լուծում.Եթե ​​կիրառվի (5) բանաձևը, ապա

Պատասխան.

Օրինակ 2Թող և. Գտնել.

Լուծում.Քանի որ և , մենք օգտագործում ենք (5), (6) բանաձևերը և ստանում հավասարումների համակարգը

Եթե ​​(9) համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ . Սրանից հետևում է . Դիտարկենք երկու դեպք.

1. Եթե, ապա (9) համակարգի առաջին հավասարումից ունենք.

2. Եթե , ապա .

Օրինակ 3Թող , և. Գտնել.

Լուծում.Բանաձևից (2) հետևում է, որ կամ. Այդ ժամանակվանից կամ .

Ըստ պայմանի. Այնուամենայնիվ , հետեւաբար . Որովհետև և, ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ

Եթե ​​համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ .

Քանի որ հավասարումն ունի մեկ հարմար արմատ: Այս դեպքում համակարգի առաջին հավասարումը ենթադրում է.

Հաշվի առնելով (7) բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 4Տրված է և . Գտնել.

Լուծում.Այդ ժամանակվանից .

Որովհետև, ապա կամ

Համաձայն (2) բանաձևի՝ մենք ունենք. Այս առումով հավասարությունից (10) մենք ստանում ենք կամ .

Այնուամենայնիվ, պայմանով, հետևաբար.

Օրինակ 5Հայտնի է, որ. Գտնել.

Լուծում. Ըստ թեորեմի՝ ունենք երկու հավասարություն

Այդ ժամանակվանից կամ . Որովհետև, ուրեմն.

Պատասխան.

Օրինակ 6Տրված է և . Գտնել.

Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք

Այդ ժամանակվանից . Քանի որ , եւ , այն ժամանակ .

Օրինակ 7Թող և. Գտնել.

Լուծում.Ըստ (1) բանաձևի՝ կարող ենք գրել

Հետեւաբար, մենք ունենք կամ . Հայտնի է, որ և , հետևաբար և .

Պատասխան.

Օրինակ 8Գտե՛ք անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը, եթե

Եվ .

Լուծում. Բանաձևից (7) հետևում էԵվ . Այստեղից և խնդրի վիճակից ստանում ենք հավասարումների համակարգը

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի է, իսկ հետո ստացված հավասարումը բաժանեք երկրորդ հավասարման վրա, ապա մենք ստանում ենք

Կամ .

Պատասխան.

Օրինակ 9Գտեք բոլոր արժեքները, որոնց համար , , հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է:

Լուծում.Թող , և. Համաձայն (2) բանաձևի, որը սահմանում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունը, մենք կարող ենք գրել կամ.

Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարումը, որոնց արմատներն ենԵվ .

Եկեք ստուգենք՝ եթե, ապա , եւ ; եթե , ապա , եւ .

Առաջին դեպքում ունենքև , իսկ երկրորդում - և .

Պատասխան՝ , .

Օրինակ 10լուծել հավասարումը

, (11)

որտեղ և.

Լուծում. (11) հավասարման ձախ կողմը անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է, որում և , պայմանով. և .

Բանաձևից (7) հետևում է, Ինչ . Այս առումով, հավասարումը (11) ստանում է ձևկամ . հարմար արմատ քառակուսի հավասարումէ

Պատասխան.

Օրինակ 11.Պ դրական թվերի հաջորդականությունկազմում է թվաբանական պրոգրեսիա, Ա - երկրաչափական առաջընթաց, ինչ կապ ունի . Գտնել.

Լուծում.Որովհետեւ թվաբանական հաջորդականություն, Դա (թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը): Քանի որ, ապա կամ . Սա ենթադրում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան է. Ըստ բանաձևի (2), ապա գրում ենք, որ.

Քանի որ և, այնուհետև . Այդ դեպքում արտահայտությունըընդունում է ձևը կամ . Պայմանով, ուրեմն հավասարումիցմենք ստանում ենք քննարկվող խնդրի եզակի լուծումը, այսինքն. .

Պատասխան.

Օրինակ 12.Հաշվել գումարը

. (12)

Լուծում. Հավասարության երկու կողմերը (12) բազմապատկեք 5-ով և ստացեք

Եթե ​​ստացված արտահայտությունից հանենք (12)., Դա

կամ .

Հաշվարկելու համար մենք արժեքները փոխարինում ենք բանաձևով (7) և ստանում: Այդ ժամանակվանից .

Պատասխան.

Այստեղ տրված խնդիրների լուծման օրինակները օգտակար կլինեն դիմորդներին ընդունելության քննություններին նախապատրաստվելիս: Խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար, կապված երկրաչափական առաջընթացի հետ, կարող է օգտագործվել ուսումնական ուղեցույցներառաջարկվող գրականության ցանկից։

1. Մաթեմատիկայի առաջադրանքների ժողովածու տեխնիկական բուհերի դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 էջ.

3. Մեդինսկի Մ.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ամբողջական դասընթաց առաջադրանքներում և վարժություններում: Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. - 208 էջ.

Հարցեր ունե՞ք։

Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

ԹՎԱՅԻՆ ՀԵՐԹԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ VI

§ 148. Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը

Մինչ այժմ, խոսելով գումարների մասին, մենք միշտ ենթադրել ենք, որ այս գումարների մեջ տերմինների թիվը վերջավոր է (օրինակ՝ 2, 15, 1000 և այլն)։ Բայց որոշ խնդիրներ (հատկապես բարձրագույն մաթեմատիկա) լուծելիս պետք է գործ ունենալ անսահման թվով անդամների գումարների հետ.

S= ա 1 + ա 2 + ... + ա n + ... . (1)

Որո՞նք են այդ գումարները: A-priory անսահման թվով անդամների գումարը ա 1 , ա 2 , ..., ա n , ... կոչվում է գումարի սահման Ս n առաջին Պ թվեր, երբ Պ -> ∞ :

S=S n = (ա 1 + ա 2 + ... + ա n ). (2)

Սահմանը (2), իհարկե, կարող է լինել կամ չլինել: Համապատասխանաբար, գումարը (1) ասում են, որ կա կամ չկա:

Ինչպե՞ս պարզել, թե արդյոք (1) գումարը գոյություն ունի յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում: Այս հարցի ընդհանուր լուծումը շատ դուրս է մեր ծրագրի շրջանակներից: Այնուամենայնիվ, կա մեկ կարևոր հատուկ դեպք, որը մենք պետք է հիմա քննարկենք. Մենք կխոսենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարման մասին։

Թող ա 1 , ա 1 ք , ա 1 ք 2 , ... անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Սա նշանակում է, որ | ք |< 1. Сумма первых Պ անդամները այս առաջընթացի հավասար է

Հիմնական սահմանային թեորեմներից փոփոխականներ(տե՛ս § 136) մենք ստանում ենք.

Բայց 1 = 1, ա q n = 0. Հետեւաբար

Այսպիսով, անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը հավասար է այս առաջընթացի առաջին անդամին, որը բաժանված է մեկ մինուս այս պրոգրեսիայի հայտարարի վրա։

1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... երկրաչափական առաջընթացի գումարը կազմում է.

իսկ երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը 12 է; -6; 3; - 3 / 2 , ... հավասար է

2) Պարզ պարբերական կոտորակը 0,454545 ... վերածվում է սովորականի:

Այս խնդիրը լուծելու համար մենք ներկայացնում ենք այս կոտորակը որպես անվերջ գումար.

Այս հավասարության աջ կողմը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է, որի առաջին անդամը 45/100 է, իսկ հայտարարը՝ 1/100։ Ահա թե ինչու

Նկարագրված ձևով կարելի է ձեռք բերել նաև պարզ պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելու ընդհանուր կանոնը (տե՛ս Գլուխ II, § 38).

Պարզ պարբերական կոտորակը սովորականի վերածելու համար պետք է անել հետևյալը՝ կետը դնել համարիչի մեջ. տասնորդական կոտորակ, իսկ հայտարարում՝ իննից բաղկացած թիվ, վերցված այնքան անգամ, որքան թվանշաններ կան տասնորդական կոտորակի ժամանակաշրջանում։

3) Խառը պարբերական կոտորակ 0,58333 .... վերածվել սովորական կոտորակի.

Ներկայացնենք այս կոտորակը որպես անվերջ գումար.

Այս հավասարության աջ կողմում բոլոր անդամները՝ սկսած 3/1000-ից, կազմում են անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը 3/1000 է, իսկ հայտարարը՝ 1/10։ Ահա թե ինչու

Նկարագրված եղանակով կարելի է ձեռք բերել նաև խառը պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելու ընդհանուր կանոնը (տե՛ս Գլուխ II, § 38): Մենք միտումնավոր դա չենք ներառում այստեղ։ Կարիք չկա անգիր անել այս ծանր կանոնը։ Շատ ավելի օգտակար է իմանալ, որ ցանկացած խառը պարբերական կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի և որոշ թվի գումար: Եվ բանաձեւը

Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի համար, իհարկե, պետք է հիշել։

Որպես վարժություն, հրավիրում ենք ձեզ, բացի ստորև ներկայացված թիվ 995-1000 խնդիրներից, մեկ անգամ ևս անդրադառնալ թիվ 301 § 38 խնդրին։

Զորավարժություններ

995. Ի՞նչ է կոչվում անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար:

996. Գտե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական առաջընթացների գումարները.

997. Ինչ արժեքների համար X առաջընթաց

անվերջ նվազում է? Գտե՛ք նման առաջընթացի գումարը:

998. Կող ունեցող հավասարակողմ եռանկյան մեջ Ա նոր եռանկյուն է գծագրվում՝ միացնելով նրա կողմերի միջնակետերը. Այս եռանկյունու մեջ նույն ձևով մակագրված է նոր եռանկյուն, և այդպես անվերջ:

ա) այս բոլոր եռանկյունների պարագծերի գումարը.

բ) դրանց տարածքների հանրագումարը.

999. Կողք ունեցող քառակուսու մեջ Ա նոր քառակուսի մակագրվում է՝ միացնելով նրա կողմերի միջնակետերը. այս քառակուսու վրա նույն ձևով մակագրված է քառակուսի և այսպես անվերջ: Գտե՛ք այս բոլոր քառակուսիների պարագծերի գումարը և դրանց մակերեսների գումարը:

1000. Կատարի՛ր անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա, որ դրա գումարը հավասար լինի 25/4-ի, իսկ անդամների քառակուսիների գումարը հավասար լինի 625/24-ի:

Օրինակ, հաջորդականություն \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… երկրաչափական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երկու գործակցով (այլ կերպ ասած՝ այն կարելի է ստանալ նախորդից՝ բազմապատկելով այն երկուսով).

Ինչպես ցանկացած հաջորդականություն, երկրաչափական առաջընթացը նշվում է փոքր լատինատառով: Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են այն անդամներ(կամ տարրեր): Նրանք նշվում են նույն տառով, ինչ երկրաչափական պրոգրեսիան, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, երկրաչափական առաջընթացը \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) բաղկացած է տարրերից \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) և այլն: Այլ կերպ ասած:

Եթե ​​հասկանում եք վերը նշված տեղեկատվությունը, արդեն կկարողանաք լուծել այս թեմայի հետ կապված խնդիրների մեծ մասը:

Օրինակ (OGE):
Լուծում:

Պատասխանել : \(-686\).

Օրինակ (OGE): Հաշվի առնելով առաջընթացի առաջին երեք անդամները \(324\); \(-108\); \(36\)…. Գտեք \(b_5\):
Լուծում:

	Հաջորդականությունը շարունակելու համար մենք պետք է իմանանք հայտարարը: Եկեք գտնենք այն երկու հարևան տարրերից. ինչի՞ վրա պետք է բազմապատկել \(324\)-ը, որպեսզի ստացվի \(-108\):
\(324 q=-108\)	Այստեղից մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել հայտարարը։
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել մեզ անհրաժեշտ տարրը:
	Պատասխանը պատրաստ է։

Պատասխանել : \(4\).

Օրինակ: Առաջընթացը տրվում է \(b_n=0.8 5^n\) պայմանով։ Ո՞ր թիվն է այս առաջընթացի անդամ.

ա) \(-5\) բ) \(100\) գ) \(25\) դ) \(0.8\) ?

Լուծում: Առաջադրանքի ձեւակերպումից ակնհայտ է, որ այս թվերից մեկը միանշանակ մեր առաջընթացի մեջ է։ Հետևաբար, մենք կարող ենք պարզապես մեկ առ մեկ հաշվարկել դրա անդամները, մինչև գտնենք մեզ անհրաժեշտ արժեքը։ Քանի որ մեր առաջընթացը տրվում է բանաձևով, մենք հաշվարկում ենք տարրերի արժեքները՝ փոխարինելով տարբեր \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – ցանկում նման թիվ չկա։ Մենք շարունակում ենք.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - և սա էլ չկա։
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – և ահա մեր չեմպիոնը:

Պատասխան. \(100\).

Օրինակ (OGE): Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Գտե՛ք \(x\) տառով նշված տարրի արժեքը։

Լուծում:

Պատասխան. \(-20\).

Օրինակ (OGE): Առաջընթացը տրվում է \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\ պայմաններով: Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(4\) անդամների գումարը:

Լուծում:

Պատասխան. \(105\).

Օրինակ (OGE): Հայտնի է, որ երկրաչափական \(b_6=-11\),\(b_9=704\): Գտե՛ք \(q\) հայտարարը:

Լուծում:

	Ձախ կողմի դիագրամից երևում է, որ \ (b_6 \)-ից \ (b_9 \) «հասցնելու» համար մենք կատարում ենք երեք «քայլ», այսինքն ՝ մենք \ (b_6 \) բազմապատկում ենք երեք անգամ. առաջընթացի հայտարարը. Այլ կերպ ասած՝ \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\):
\(b_9=b_6 q^3\)	Փոխարինեք մեզ հայտնի արժեքները:
\(704=(-11)ք^3\)	«Հակադարձեք» հավասարումը և բաժանեք այն \((-11)\-ով):
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Ո՞ր թիվն է տալիս «-64» խորանարդը: Իհարկե, \(-4\)!
	Պատասխանը գտնվեց: Այն կարելի է ստուգել՝ վերականգնելով \(-11\)-ից \(704\) թվերի շղթան:
	Բոլորը համաձայն են - պատասխանը ճիշտ է:

Պատասխան. \(-4\).

Ամենակարևոր բանաձևերը

Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիրների մեծ մասը կարելի է լուծել մաքուր տրամաբանությամբ՝ պարզապես հասկանալով էությունը (սա ընդհանուր առմամբ բնորոշ է մաթեմատիկային): Բայց երբեմն որոշակի բանաձեւերի ու օրինաչափությունների իմացությունն արագանում է ու մեծապես հեշտացնում լուծումը։ Մենք կուսումնասիրենք նման երկու բանաձև.

\(n\)-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է. \(b_n=b_1 q^(n-1)\), որտեղ \(b_1\) պրոգրեսիայի առաջին անդամն է; \(n\) – պահանջվող տարրի համարը; \(q\) պրոգրեսիայի հայտարարն է. \(b_n\) պրոգրեսիայի անդամ է \(n\) թվով:

Օգտագործելով այս բանաձևը, դուք կարող եք, օրինակ, խնդիրը լուծել առաջին օրինակից ընդամենը մեկ քայլով։

Օրինակ (OGE): Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է \(b_1=-2\); \(q=7\): Գտեք \(b_4\):
Լուծում:

Պատասխան. \(-686\).

Այս օրինակը պարզ էր, ուստի բանաձևը մեզ համար շատ չհեշտացրեց հաշվարկները։ Եկեք նայենք խնդրին մի փոքր ավելի բարդ:

Օրինակ: Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\): Գտեք \(b_(12)\):
Լուծում:

Պատասխան. \(10\).

Իհարկե, \(\frac(1)(2)\)-ը \(11\)-րդ հզորության բարձրացնելը այնքան էլ ուրախալի չէ, բայց դեռ ավելի հեշտ է, քան \(11\) \(20480\)-ը երկուսի բաժանելը։

Առաջին անդամների \(n\) գումարը՝ \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , որտեղ \(b_1\) առաջին անդամն է առաջընթացի; \(n\) - գումարված տարրերի քանակը; \(q\) պրոգրեսիայի հայտարարն է. \(S_n\) պրոգրեսիայի առաջին անդամների \(n\) գումարն է:

Օրինակ (OGE): Տրվում է \(b_n\) երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարն է \(5\), և առաջին անդամը \(b_1=\frac(2)(5)\): Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

Պատասխան. \(1562,4\).

Եվ կրկին, մենք կարող էինք լուծել խնդիրը «ճակատի վրա»՝ հերթով գտնել բոլոր վեց տարրերը, այնուհետև ավելացնել արդյունքները: Այնուամենայնիվ, հաշվարկների քանակը և, հետևաբար, պատահական սխալի հավանականությունը կտրուկ կավելանա:

Երկրաչափական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք այստեղ չենք դիտարկել դրանց ցածր գործնական օգտագործման պատճառով: Դուք կարող եք գտնել այս բանաձեւերը.

Երկրաչափական առաջընթացների ավելացում և նվազում

Հոդվածի հենց սկզբում դիտարկված \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) առաջընթացն ունի մեկից մեծ հայտարար \(q\), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը. Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Եթե ​​\(q\)-ը մեկից փոքր է, բայց դրական է (այսինքն՝ գտնվում է զրոյի և մեկի միջև), ապա յուրաքանչյուր հաջորդ տարր պակաս կլինի նախորդից։ Օրինակ, առաջընթացի մեջ \(4\); \(2\); \(1\); \(0.5\); \(0.25\)… \(q\)-ի հայտարարը \(\frac(1)(2)\ է):

Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում է. Նկատի ունեցեք, որ այս պրոգրեսիայի տարրերից և ոչ մեկը բացասական չի լինի, դրանք պարզապես ավելի ու ավելի փոքրանում են յուրաքանչյուր քայլի հետ: Այսինքն՝ մենք կամաց-կամաց կմոտենանք զրոյին, բայց երբեք չենք հասնի ու չենք գնա դրանից այն կողմ։ Մաթեմատիկոսները նման դեպքերում ասում են «հակված զրոյի»։

Նկատի ունեցեք, որ բացասական հայտարարի դեպքում երկրաչափական պրոգրեսիայի տարրերը պարտադիր կերպով կփոխեն նշանը: Օրինակ, առաջընթացը \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)-ի հայտարարը \(-3\) է, և դրա պատճառով էլ տարրերի նշանները «թարթում են»։

Երկրաչափական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը զրոյական չէ, և յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը հավասար է նախորդ անդամին, որը բազմապատկվում է նույն ոչ զրոյական թվով։ Երկրաչափական առաջընթացը նշվում է b1,b2,b3, …, bn, …

Երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունները

Երկրաչափական սխալի ցանկացած անդամի հարաբերակցությունը նրա նախորդ անդամին հավասար է նույն թվին, այսինքն՝ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+): 1)/bn = …. Սա ուղղակիորեն հետևում է թվաբանական առաջընթացի սահմանմանը: Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։ Սովորաբար երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը նշվում է q տառով։

Երկրաչափական պրոգրեսիա սահմանելու եղանակներից մեկը դրա առաջին անդամը b1 և երկրաչափական սխալի q հայտարարը սահմանելն է: Օրինակ՝ b1=4, q=-2: Այս երկու պայմանները տալիս են 4, -8, 16, -32, ... երկրաչափական առաջընթաց:

Եթե ​​q>0 (q-ը հավասար չէ 1-ի), ապա առաջընթացն է միապաղաղ հաջորդականություն. Օրինակ՝ 2, 4,8,16,32, ... հաջորդականությունը միապաղաղ աճող հաջորդականություն է (b1=2, q=2):

Եթե ​​երկրաչափական սխալի մեջ q=1 հայտարարը, ապա երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար կլինեն միմյանց: Նման դեպքերում, ասում են, որ առաջընթացը մշտական ​​հաջորդականություն է:

Առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը

Որպեսզի թվային հաջորդականությունը (bn) լինի երկրաչափական պրոգրեսիա, անհրաժեշտ է, որ նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, լինի հարևան անդամների երկրաչափական միջինը։ Այսինքն՝ անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ հավասարումը - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ցանկացած n>0-ի համար, որտեղ n-ը պատկանում է բազմությանը. բնական թվերՆ.

Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.

bn=b1*q^(n-1), որտեղ n-ը պատկանում է N բնական թվերի բազմությանը։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.

Երկրաչափական պրոգրեսիայում b1=6, q=3, n=8 գտե՛ք bn.

Օգտագործենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը.