Մաթեմատիկան ինչ էմարդիկ վերահսկում են բնությունը և իրենց:
Խորհրդային մաթեմատիկոս, ակադեմիկոս Ա.Ն. Կոլմոգորովը
Թվաբանական առաջընթացի առաջադրանքների հետ մեկտեղ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերում տարածված են նաև երկրաչափական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված առաջադրանքները: Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար հարկավոր է իմանալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունները և դրանք օգտագործելու լավ հմտություններ ունենալ:
Այս հոդվածը նվիրված է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունների ներկայացմանը: Այն նաև տալիս է բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակներ, փոխառված մաթեմատիկայի ընդունելության թեստերի առաջադրանքներից.
Եկեք նախապես նշենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունները և հիշենք ամենաշատը կարևոր բանաձևերև հայտարարություններ, կապված այս հայեցակարգի հետ:
Սահմանում.Թվային հաջորդականությունը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, եթե նրա յուրաքանչյուր թիվը, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։
Երկրաչափական առաջընթացի համարբանաձևերը վավեր են
, (1)
Որտեղ. Բանաձև (1) կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի ընդհանուր տերմինի բանաձև, իսկ բանաձևը (2) երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունն է՝ պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան անդամների երկրաչափական միջինի և .
Նշում, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ խնդրո առարկա պրոգրեսիան կոչվում է «երկրաչափական»։
Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ամփոփված են հետևյալ կերպ.
, (3)
Գումարը հաշվարկելու համարառաջին երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներբանաձևը կիրառվում է
Եթե նշանակենք
Որտեղ. Քանի որ , բանաձևը (6) (5) բանաձևի ընդհանրացումն է։
Այն դեպքում, երբ և երկրաչափական առաջընթացանսահման նվազում է. Գումարը հաշվարկելու համարԱնսահմանորեն նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամների համար օգտագործվում է բանաձևը
. (7)
Օրինակ , օգտագործելով (7) բանաձևը, կարելի է ցույց տալ, Ինչ
Որտեղ. Այս հավասարությունները ստացվում են (7) բանաձևից՝ պայմանով, որ , (առաջին հավասարություն) և , (երկրորդ հավասարություն):
Թեորեմ.Եթե, ապա
Ապացույց. Եթե, ապա ,
Թեորեմն ապացուցված է.
Անցնենք «Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայի խնդիրների լուծման օրինակների դիտարկմանը։
Օրինակ 1Տրված է՝ , և . Գտնել.
Լուծում.Եթե կիրառվի (5) բանաձևը, ապա
Պատասխան.
Օրինակ 2Թող և. Գտնել.
Լուծում.Քանի որ և , մենք օգտագործում ենք (5), (6) բանաձևերը և ստանում հավասարումների համակարգը
Եթե (9) համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ . Սրանից հետևում է . Դիտարկենք երկու դեպք.
1. Եթե, ապա (9) համակարգի առաջին հավասարումից ունենք.
2. Եթե , ապա .
Օրինակ 3Թող , և. Գտնել.
Լուծում.Բանաձևից (2) հետևում է, որ կամ. Այդ ժամանակվանից կամ .
Ըստ պայմանի. Այնուամենայնիվ , հետեւաբար . Որովհետև և, ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ
Եթե համակարգի երկրորդ հավասարումը բաժանվում է առաջինի վրա, ապա կամ .
Քանի որ հավասարումն ունի մեկ հարմար արմատ: Այս դեպքում համակարգի առաջին հավասարումը ենթադրում է.
Հաշվի առնելով (7) բանաձևը, մենք ստանում ենք.
Պատասխան.
Օրինակ 4Տրված է և . Գտնել.
Լուծում.Այդ ժամանակվանից .
Որովհետև, ապա կամ
Համաձայն (2) բանաձևի՝ մենք ունենք. Այս առումով հավասարությունից (10) մենք ստանում ենք կամ .
Այնուամենայնիվ, պայմանով, հետևաբար.
Օրինակ 5Հայտնի է, որ. Գտնել.
Լուծում. Ըստ թեորեմի՝ ունենք երկու հավասարություն
Այդ ժամանակվանից կամ . Որովհետև, ուրեմն.
Պատասխան.
Օրինակ 6Տրված է և . Գտնել.
Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք
Այդ ժամանակվանից . Քանի որ , եւ , այն ժամանակ .
Օրինակ 7Թող և. Գտնել.
Լուծում.Ըստ (1) բանաձևի՝ կարող ենք գրել
Հետեւաբար, մենք ունենք կամ . Հայտնի է, որ և , հետևաբար և .
Պատասխան.
Օրինակ 8Գտե՛ք անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը, եթե
Եվ .
Լուծում. Բանաձևից (7) հետևում էԵվ . Այստեղից և խնդրի վիճակից ստանում ենք հավասարումների համակարգը
Եթե համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի է, իսկ հետո ստացված հավասարումը բաժանեք երկրորդ հավասարման վրա, ապա մենք ստանում ենք
Կամ .
Պատասխան.
Օրինակ 9Գտեք բոլոր արժեքները, որոնց համար , , հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է:
Լուծում.Թող , և. Համաձայն (2) բանաձևի, որը սահմանում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունը, մենք կարող ենք գրել կամ.
Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարումը, որոնց արմատներն ենԵվ .
Եկեք ստուգենք՝ եթե, ապա , եւ ; եթե , ապա , եւ .
Առաջին դեպքում ունենքև , իսկ երկրորդում - և .
Պատասխան՝ , .
Օրինակ 10լուծել հավասարումը
, (11)
որտեղ և.
Լուծում. (11) հավասարման ձախ կողմը անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է, որում և , պայմանով. և .
Բանաձևից (7) հետևում է, Ինչ . Այս առումով, հավասարումը (11) ստանում է ձևկամ . հարմար արմատ քառակուսային հավասարումէ
Պատասխան.
Օրինակ 11.Պ դրական թվերի հաջորդականությունկազմում է թվաբանական պրոգրեսիա, Ա - երկրաչափական առաջընթաց, ինչ կապ ունի . Գտնել.
Լուծում.Որովհետեւ թվաբանական հաջորդականություն, Դա (հիմնական գույք թվաբանական առաջընթաց) Քանի որ, ապա կամ . Սա ենթադրում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան է. Ըստ բանաձևի (2), ապա գրում ենք, որ.
Քանի որ և, այնուհետև . Այդ դեպքում արտահայտությունըընդունում է ձևը կամ . Պայմանով, ուրեմն հավասարումիցմենք ստանում ենք քննարկվող խնդրի եզակի լուծումը, այսինքն. .
Պատասխան.
Օրինակ 12.Հաշվել գումարը
. (12)
Լուծում. Հավասարության երկու կողմերը (12) բազմապատկեք 5-ով և ստացեք
Եթե ստացված արտահայտությունից հանենք (12)., Դա
կամ .
Հաշվարկելու համար մենք արժեքները փոխարինում ենք բանաձևով (7) և ստանում: Այդ ժամանակվանից .
Պատասխան.
Այստեղ տրված խնդիրների լուծման օրինակները օգտակար կլինեն դիմորդներին ընդունելության քննություններին նախապատրաստվելիս: Խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար, կապված երկրաչափական առաջընթացի հետ, կարող է օգտագործվել ուսումնական ուղեցույցներառաջարկվող գրականության ցանկից։
1. Մաթեմատիկայի առաջադրանքների ժողովածու տեխնիկական բուհերի դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. դպրոցական ծրագրի լրացուցիչ բաժիններ. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 էջ.
3. Մեդինսկի Մ.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ամբողջական դասընթաց առաջադրանքներում և վարժություններում: Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. - 208 էջ.
Հարցեր ունե՞ք։
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:
Դաս և ներկայացում «Թվերի հաջորդականություններ. Երկրաչափական առաջընթաց» թեմայով.
Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:
Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 9-րդ դասարանի համար
Ուժեր և արմատներ Գործառույթներ և գրաֆիկներ
Տղերք, այսօր մենք կծանոթանանք պրոգրեսիայի մեկ այլ տեսակի հետ։
Այսօրվա դասի թեման երկրաչափական առաջընթացն է:
Երկրաչափական առաջընթաց
Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը, որտեղ յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդի և որոշ հաստատուն թվի արտադրյալին, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։Եկեք սահմանենք մեր հաջորդականությունը ռեկուրսիվ՝ $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
որտեղ սահմանվում են b և q տրված թվեր. q թիվը կոչվում է պրոգրեսիայի հայտարար։
Օրինակ. 1,2,4,8,16… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է մեկին, իսկ $q=2$:
Օրինակ. 8,8,8,8… Երկրաչափական առաջընթաց, որի առաջին անդամը ութն է,
և $q=1$.
Օրինակ. 3,-3,3,-3,3... Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը երեքն է,
և $q=-1$.
Երկրաչափական պրոգրեսիան ունի միապաղաղության հատկություններ։
Եթե $b_(1)>0$, $q>1$,
ապա հաջորդականությունը մեծանում է:
Եթե $b_(1)>0$, $0 Հերթականությունը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ՝ $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$:
Ինչպես թվաբանական պրոգրեսիայում, եթե երկրաչափական պրոգրեսիայի տարրերի թիվը վերջավոր է, ապա պրոգրեսիան կոչվում է վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա:
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$:
Նշենք, որ եթե հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա քառակուսի տերմինների հաջորդականությունը նույնպես երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Երկրորդ հաջորդականությունն ունի $b_(1)^2$ առաջին անդամը և $q^2$ հայտարարը։
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը
Երկրաչափական պրոգրեսիան կարող է սահմանվել նաև վերլուծական ձևով: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել.$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$:
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$:
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$:
Մենք հեշտությամբ կարող ենք տեսնել օրինակը՝ $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$:
Մեր բանաձևը կոչվում է «երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձև»։
Եկեք վերադառնանք մեր օրինակներին:
Օրինակ. 1,2,4,8,16… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը հավասար է մեկի,
և $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$:
Օրինակ. 16,8,4,2,1,1/2… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը տասնվեց է և $q=\frac(1)(2)$:
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$:
Օրինակ. 8,8,8,8… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որտեղ առաջին անդամը ութ է և $q=1$:
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$:
Օրինակ. 3,-3,3,-3,3… Երկրաչափական պրոգրեսիա, որի առաջին անդամը երեքն է և $q=-1$:
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$:
Օրինակ. Տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $:
ա) Հայտնի է, որ $b_(1)=6, q=3$: Գտեք $b_(5)$:
բ) Հայտնի է, որ $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$: Գտեք n.
գ) Հայտնի է, որ $q=-2, b_(6)=96$: Գտեք $b_(1)$:
դ) Հայտնի է, որ $b_(1)=-2, b_(12)=4096$: Գտեք ք.
Լուծում.
ա) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$:
բ) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$:
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ քանի որ $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
գ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$:
դ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Օրինակ. Երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ և հինգերորդ անդամների տարբերությունը 192 է, առաջընթացի հինգերորդ և վեցերորդ անդամների գումարը 192 է։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը։
Լուծում.
Մենք գիտենք, որ $b_(7)-b_(5)=192$ և $b_(5)+b_(6)=192$:
Մենք նաև գիտենք՝ $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Ապա.
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$:
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$:
Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.
$\սկիզբ(դեպքեր)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\վերջ(դեպքեր)$:
Հավասարեցնելով՝ մեր հավասարումները ստանում են.
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Ստացանք երկու լուծում q՝ $q_(1)=2, q_(2)=-1$:
Հաջորդաբար փոխարինեք երկրորդ հավասարման մեջ.
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$:
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ լուծումներ չկան:
Մենք ստացանք, որ $b_(1)=4, q=2$:
Գտնենք տասներորդ անդամը՝ $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$։
Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը
Ենթադրենք՝ ունենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա։ Եկեք, ինչպես նաև թվաբանական առաջընթացի համար, հաշվենք նրա անդամների գումարը։Թող տրվի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա՝ $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$:
Ներկայացնենք դրա տերմինների գումարի նշումը՝ $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$:
Այն դեպքում, երբ $q=1$. Երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար են առաջին անդամին, ապա ակնհայտ է, որ $S_(n)=n*b_(1)$։
Այժմ դիտարկենք $q≠1$ դեպքը:
Վերոնշյալ գումարը բազմապատկեք q-ով:
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$:
Նշում:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$:
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$:
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$:
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$:
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$:
Մենք ստացել ենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը.
Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին յոթ անդամների գումարը, որի առաջին անդամը 4 է, իսկ հայտարարը՝ 3։
Լուծում.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$:
Օրինակ.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը, որը հայտնի է՝ $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$:
Լուծում.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$:
$q^(n-1)=1024$։
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$:
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$:
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$:
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն
Տղերք, տրված է երկրաչափական պրոգրեսիա: Դիտարկենք նրա երեք հաջորդական անդամները՝ $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$:Մենք գիտենք, որ.
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$:
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Ապա.
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$:
Եթե առաջընթացը վերջավոր է, ապա այս հավասարությունը գործում է բոլոր անդամների համար, բացի առաջինից և վերջինից:
Եթե նախապես հայտնի չէ, թե ինչ հաջորդականություն ունի հաջորդականությունը, բայց հայտնի է, որ $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$։
Ապա մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա երկրաչափական առաջընթաց է:
Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է միայն այն դեպքում, երբ նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին հավասար է առաջընթացի իր երկու հարևան անդամների արտադրյալին: Մի մոռացեք, որ վերջավոր առաջընթացի համար այս պայմանը չի բավարարվում առաջին և վերջին տերմինների համար:
Դիտարկենք այս ինքնությունը՝ $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$:
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$-ը կոչվում է a-ի և b-ի երկրաչափական միջին:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամի մոդուլը հավասար է դրան հարող երկու անդամների երկրաչափական միջինին:
Օրինակ.
Գտե՛ք x այնպես, որ $x+2; 2x+2; 3x+3$-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք հաջորդական անդամներ էին:
Լուծում.
Եկեք օգտագործենք բնորոշ հատկությունը.
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$:
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$:
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ և $x_(2)=-1$:
Բնօրինակ արտահայտության մեջ հաջորդաբար փոխարինեք մեր լուծումները.
$x=2$-ով ստացանք հաջորդականությունը. 4;6;9-ը $q=1,5$-ով երկրաչափական պրոգրեսիա է:
$x=-1$-ով ստացանք հաջորդականությունը՝ 1;0;0:
Պատասխան՝ $x=2.$
Անկախ լուծման առաջադրանքներ
1. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի ութերորդ առաջին անդամը 16; -8; 4; -2 ....2. Գտի՛ր երկրաչափական պրոգրեսիայի տասներորդ անդամը 11,22,44….
3. Հայտնի է, որ $b_(1)=5, q=3$: Գտեք $b_(7)$:
4. Հայտնի է, որ $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$: Գտեք n.
5. Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին 11 անդամների գումարը 3;12;48…:
6. Գտի՛ր x այնպես, որ $3x+4; 2x+4; x+5$-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք հաջորդական անդամներ են:
Առաջին մակարդակ
Երկրաչափական առաջընթաց. Համապարփակ ուղեցույց օրինակներով (2019)
Թվային հաջորդականություն
Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.
Թվային հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.
Նշանակված համարը հատուկ է միայն մեկ հաջորդական համարին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ նույնն է։
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։
Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.
Մեր դեպքում.
Առաջընթացի ամենատարածված տեսակներն են թվաբանականը և երկրաչափականը: Այս թեմայում մենք կխոսենք երկրորդ տեսակի մասին. երկրաչափական առաջընթաց.
Ինչու՞ է մեզ անհրաժեշտ երկրաչափական պրոգրեսիան և դրա պատմությունը:
Նույնիսկ հին ժամանակներում իտալացի մաթեմատիկոս, վանական Լեոնարդոն Պիզայից (ավելի հայտնի է որպես Ֆիբոնաչի), զբաղվում էր առևտրի գործնական կարիքներով։ Վանականի առջեւ խնդիր էր դրված որոշել, թե որն է կշիռների ամենափոքր թիվը, որով կարելի է կշռել ապրանքը: Իր աշխատություններում Ֆիբոնաչին ապացուցում է, որ կշիռների նման համակարգը օպտիմալ է. սա առաջին իրավիճակներից մեկն է, երբ մարդիկ ստիպված են եղել գործ ունենալ երկրաչափական պրոգրեսիայի հետ, որի մասին դուք հավանաբար լսել եք և առնվազն ունեք։ ընդհանուր հայեցակարգ. Թեման լիովին հասկանալուց հետո մտածեք, թե ինչու է նման համակարգը օպտիմալ:
Ներկայումս կյանքի պրակտիկայում երկրաչափական պրոգրեսիա է դրսևորվում բանկում միջոցներ ներդնելիս, երբ տոկոսագումարը գանձվում է նախորդ ժամանակաշրջանի հաշվում կուտակված գումարի վրա։ Այսինքն, եթե դուք գումար եք դնում խնայբանկում ժամկետային ավանդի վրա, ապա մեկ տարի հետո ավանդը կավելանա սկզբնական գումարից, այսինքն. նոր գումարը հավասար կլինի ներդրմանը բազմապատկած: Եվս մեկ տարի այդ գումարը կավելանա, այսինքն. այդ ժամանակ ստացված գումարը կրկին բազմապատկվում է և այլն։ Նմանատիպ իրավիճակը նկարագրված է հաշվարկման խնդիրներում, այսպես կոչված բաղադրություն հետաքրքրությունը- տոկոսն ամեն անգամ վերցվում է հաշվի վրա եղած գումարից՝ հաշվի առնելով նախկին տոկոսները։ Այս առաջադրանքների մասին կխոսենք մի փոքր ուշ։
Կան շատ ավելի պարզ դեպքեր, երբ կիրառվում է երկրաչափական պրոգրեսիա: Օրինակ, գրիպի տարածումը. մի մարդ վարակեց մարդուն, նրանք իրենց հերթին վարակեցին մեկ այլ անձի, և դրանով իսկ վարակի երկրորդ ալիքը` մարդուն, և նրանք իրենց հերթին վարակեցին մեկ ուրիշին ... և այլն: .
Ի դեպ, ֆինանսական բուրգը՝ նույն ՄՄՄ-ն, պարզ ու չոր հաշվարկ է՝ ըստ երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունների։ Հետաքրքի՞ր է: Եկեք պարզենք այն:
Երկրաչափական առաջընթաց.
Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն.
Դուք անմիջապես կպատասխանեք, որ դա հեշտ է, և նման հաջորդականության անվանումը թվաբանական պրոգրեսիա է իր անդամների տարբերությամբ։ Ինչ կասեք այսպիսի բանի մասին.
Եթե հանեք նախորդ թիվը հաջորդ թվից, ապա կտեսնեք, որ ամեն անգամ նոր տարբերություն եք ստանում (և այլն), բայց հաջորդականությունը հաստատ գոյություն ունի և հեշտ է նկատել. յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ նախորդից անգամ մեծ է:
Այս տեսակի հաջորդականությունը կոչվում է երկրաչափական առաջընթացև նշվում է.
Երկրաչափական պրոգրեսիան ( ) թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։
Սահմանափակումները, որ առաջին անդամը ( ) հավասար չէ և պատահական չեն: Ասենք, որ չկան, և առաջին անդամը դեռ հավասար է, իսկ q-ն է, հմմ.. թող, հետո ստացվում է.
Համաձայնեք, որ սա առաջընթաց չէ։
Ինչպես հասկանում եք, մենք կստանանք նույն արդյունքները, եթե դա լինի որևէ այլ թիվ, քան զրո, բայց. Այս դեպքերում ուղղակի առաջընթաց չի լինի, քանի որ ամբողջը թվերի շարքկամ կլինեն բոլոր զրոները, կամ մեկ թիվ և մնացած բոլոր զրոները:
Հիմա ավելի մանրամասն խոսենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարի մասին, այսինքն՝ մոտ.
Կրկնենք՝ սա թիվ է, քանի անգամ է փոխվում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինըերկրաչափական առաջընթաց.
Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչ կարող է լինել: Ճիշտ է, դրական և բացասական, բայց ոչ զրոյական (սրա մասին խոսեցինք մի փոքր ավելի բարձր):
Ասենք՝ դրական ունենք։ Թող մեր դեպքում ա. Ո՞րն է երկրորդ տերմինը և. Դուք հեշտությամբ կարող եք պատասխանել դրան.
Լավ. Համապատասխանաբար, եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամներն ունեն նույն նշանը՝ նրանք դրական.
Իսկ եթե դա բացասական է: Օրինակ՝ ա. Ո՞րն է երկրորդ տերմինը և.
Դա բոլորովին այլ պատմություն է
Փորձեք հաշվել այս առաջընթացի ժամկետը: Որքա՞ն եք ստացել: Ես ունեմ. Այսպիսով, եթե, ապա երկրաչափական առաջընթացի տերմինների նշանները հերթափոխվում են։ Այսինքն, եթե նրա անդամների մեջ տեսնում եք փոփոխական նշաններով առաջընթաց, ապա դրա հայտարարը բացասական է։ Այս գիտելիքը կարող է օգնել ձեզ փորձարկել ինքներդ այս թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս:
Հիմա եկեք մի փոքր պարապենք. փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են երկրաչափական պրոգրեսիա, իսկ որոնք՝ թվաբանական.
Հասկացա? Համեմատեք մեր պատասխանները.
- Երկրաչափական պրոգրեսիա - 3, 6:
- Թվաբանական առաջընթաց - 2, 4:
- Դա ոչ թվաբանական, ոչ էլ երկրաչափական պրոգրեսիա է՝ 1, 5, 7։
Վերադառնանք մեր վերջին առաջընթացին, և փորձենք գտնել դրա եզրույթը այնպես, ինչպես թվաբանության մեջ։ Ինչպես կռահեցիք, այն գտնելու երկու եղանակ կա:
Մենք հաջորդաբար բազմապատկում ենք յուրաքանչյուր անդամ:
Այսպիսով, նկարագրված երկրաչափական պրոգրեսիայի --րդ անդամը հավասար է.
Ինչպես արդեն կռահեցիք, այժմ դուք ինքներդ կբխեք մի բանաձև, որը կօգնի ձեզ գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ: Կամ դուք արդեն դուրս եք բերել այն ինքներդ ձեզ համար, նկարագրելով, թե ինչպես կարելի է գտնել րդ անդամին փուլերով: Եթե այո, ապա ստուգեք ձեր պատճառաբանության ճիշտությունը:
Եկեք դա բացատրենք այս առաջընթացի --րդ անդամը գտնելու օրինակով.
Այլ կերպ ասած:
Ինքներդ գտեք տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամի արժեքը:
Տեղի է ունեցել? Համեմատեք մեր պատասխանները.
Ուշադրություն դարձրեք, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդով, երբ մենք հաջորդաբար բազմապատկեցինք երկրաչափական առաջընթացի յուրաքանչյուր նախորդ անդամով:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը՝ այն բերում ենք ընդհանուր ձևի և ստանում.
Ստացված բանաձևը ճիշտ է բոլոր արժեքների համար՝ և՛ դրական, և՛ բացասական: Ստուգեք ինքներդ՝ հաշվարկելով երկրաչափական առաջընթացի պայմանները հետևյալ պայմաններով.
Դուք հաշվել եք? Եկեք համեմատենք արդյունքները.
Համաձայնեք, որ պրոգրեսիայի անդամ հնարավոր կլիներ գտնել այնպես, ինչպես անդամը, սակայն սխալ հաշվարկի հավանականություն կա։ Եվ եթե մենք արդեն գտել ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը՝ a, ապա ինչ կարող է լինել ավելի հեշտ, քան օգտագործել բանաձևի «կտրված» մասը:
Անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա։
Վերջերս մենք խոսեցինք այն մասին, թե ինչը կարող է լինել զրոյից մեծ կամ փոքր, սակայն կան հատուկ արժեքներ, որոնց համար կոչվում է երկրաչափական առաջընթաց. անսահման նվազում.
Ինչո՞ւ եք կարծում, որ այն ունի նման անուն:
Սկսելու համար եկեք գրենք անդամներից կազմված որոշ երկրաչափական առաջընթաց:
Ուրեմն ասենք.
Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը ժամանակով փոքր է նախորդից, բայց կլինի՞ որևէ թիվ։ Դուք անմիջապես պատասխանում եք՝ «ոչ»։ Դրա համար էլ անսահման նվազողը՝ նվազում, նվազում, բայց երբեք զրո չի դառնում։
Հստակ հասկանալու համար, թե ինչ տեսք ունի սա տեսողականորեն, եկեք փորձենք գծել մեր առաջընթացի գրաֆիկը: Այսպիսով, մեր դեպքում բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.
Գծապատկերների վրա մենք սովոր ենք կախվածություն կառուցել, հետևաբար.
Արտահայտության էությունը չի փոխվել. առաջին մուտքում մենք ցույց տվեցինք երկրաչափական առաջընթացի անդամի արժեքի կախվածությունը նրա հերթական թվից, իսկ երկրորդում մենք պարզապես վերցրինք երկրաչափական առաջընթացի անդամի արժեքը և հերթական համարը նշանակվել է ոչ թե, այլ որպես։ Մնում է անել գրաֆիկը:
Եկեք տեսնենք, թե ինչ եք ստացել: Ահա իմ ստացած աղյուսակը.
Տեսնել? Ֆունկցիան նվազում է, հակված է զրոյի, բայց երբեք չի հատում այն, ուստի այն անսահմանորեն նվազում է։ Գրաֆիկի վրա նշենք մեր կետերը և միևնույն ժամանակ, թե ինչ է կոորդինատը և նշանակում.
Փորձեք սխեմատիկորեն պատկերել երկրաչափական առաջընթացի գրաֆիկը, եթե դրա առաջին անդամը նույնպես հավասար է: Վերլուծեք, թե որն է տարբերությունը մեր նախորդ գծապատկերից:
Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա իմ ստացած աղյուսակը.
Այժմ, երբ դուք լիովին հասկացաք երկրաչափական առաջընթացի թեմայի հիմունքները. դուք գիտեք, թե ինչ է դա, գիտեք, թե ինչպես գտնել դրա եզրույթը, ինչպես նաև գիտեք, թե ինչ է անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան, եկեք անցնենք դրա հիմնական հատկությանը:
երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկություն.
Հիշու՞մ եք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների հատկությունը։ Այո, այո, ինչպես գտնել պրոգրեսիայի որոշակի քանակի արժեքը, երբ կան այս պրոգրեսիայի անդամների նախորդ և հաջորդ արժեքները: Հիշե՞լ եք: Սա.
Այժմ մենք կանգնած ենք ճիշտ նույն հարցի առաջ երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների հետ կապված: Նման բանաձև դուրս բերելու համար սկսենք նկարել և պատճառաբանել։ Կտեսնեք, շատ հեշտ է, իսկ եթե մոռանաք, կարող եք ինքներդ դուրս բերել:
Վերցնենք ևս մեկ պարզ երկրաչափական պրոգրեսիա, որում մենք գիտենք և. Ինչպե՞ս գտնել: Թվաբանական առաջընթացով սա հեշտ և պարզ է, բայց ինչպե՞ս է այստեղ: Իրականում, երկրաչափության մեջ նույնպես բարդ բան չկա. պարզապես անհրաժեշտ է ներկել մեզ տրված յուրաքանչյուր արժեք ըստ բանաձևի:
Դուք հարցնում եք, իսկ հիմա ի՞նչ անենք դրա հետ։ Այո, շատ պարզ: Սկզբից եկեք պատկերենք այս բանաձևերը նկարում և փորձենք դրանցով տարբեր մանիպուլյացիաներ անել՝ արժեքի հասնելու համար:
Մենք վերացվում ենք մեզ տրված թվերից, կկենտրոնանանք միայն դրանց արտահայտման վրա բանաձևի միջոցով։ Մենք պետք է գտնենք նարնջագույնով ընդգծված արժեքը՝ իմանալով դրա հարակից տերմինները։ Փորձենք նրանցով արտադրել տարբեր գործունեություն, որի արդյունքում մենք կարող ենք ստանալ.
Հավելում.
Փորձենք ավելացնել երկու արտահայտություն և ստանում ենք.
Այս արտահայտությունից, ինչպես տեսնում եք, մենք ոչ մի կերպ չենք կարողանա արտահայտվել, հետևաբար, կփորձենք մեկ այլ տարբերակ՝ հանում։
Հանում.
Ինչպես տեսնում եք, սրանից էլ չենք կարող արտահայտվել, հետևաբար, կփորձենք այս արտահայտությունները բազմապատկել միմյանցով։
Բազմապատկում.
Այժմ ուշադիր նայեք, թե ինչ ունենք՝ բազմապատկելով մեզ տրված երկրաչափական առաջընթացի պայմանները՝ համեմատելով այն, ինչ պետք է գտնել.
Գուշակեք, թե ինչի մասին եմ խոսում: Ճիշտ է, գտնելու համար մենք պետք է վերցնենք Քառակուսի արմատցանկալի թվին հարող երկրաչափական առաջընթացի թվերից՝ բազմապատկված միմյանցով.
Ահա դուք գնացեք: Դուք ինքներդ եք եզրակացրել երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունը: Փորձեք գրել այս բանաձևը ընդհանուր տեսարան. Տեղի է ունեցել?
Մոռացել եք պայմանը, երբ: Մտածեք, թե ինչու է դա կարևոր, օրինակ, փորձեք ինքներդ հաշվարկել այն, ժամը: Ի՞նչ է տեղի ունենում այս դեպքում: Դա ճիշտ է, կատարյալ անհեթեթություն, քանի որ բանաձևը հետևյալն է.
Համապատասխանաբար, մի մոռացեք այս սահմանափակումը:
Հիմա եկեք հաշվարկենք, թե որն է
Ճիշտ պատասխան - ! Եթե հաշվարկելիս չեք մոռացել երկրորդ հնարավոր արժեքը, ապա դուք հիանալի մարդ եք և կարող եք անմիջապես անցնել մարզմանը, իսկ եթե մոռացել եք, կարդացեք ստորև վերլուծվածը և ուշադրություն դարձրեք, թե ինչու պետք է պատասխանի մեջ գրվեն երկու արմատները. .
Եկեք գծենք մեր երկու երկրաչափական առաջընթացները՝ մեկը արժեքով, իսկ մյուսը՝ արժեքով, և ստուգենք, թե երկուսն էլ գոյության իրավունք ունեն.
Այսպիսի երկրաչափական պրոգրեսիա կա՞, թե՞ ոչ, ստուգելու համար պետք է տեսնել, թե արդյոք այն նույնն է նրա բոլոր անդամների միջև։ Հաշվեք q առաջին և երկրորդ դեպքերի համար:
Տեսնես ինչու պետք է երկու պատասխան գրենք։ Որովհետև պահանջվող տերմինի նշանը կախված է դրական թե բացասական լինելուց։ Եվ քանի որ մենք չգիտենք, թե դա ինչ է, մենք պետք է երկու պատասխանները գրենք գումարած և մինուսով:
Այժմ, երբ դուք յուրացրել եք հիմնական կետերը և եզրակացրել եք երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկության բանաձևը, գտեք, իմանալով և
Համեմատեք ձեր պատասխանները ճիշտ պատասխանների հետ.
Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ տրվեին ոչ թե ցանկալի թվին կից երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների արժեքները, այլ նրանից հավասար հեռավորության վրա: Օրինակ, մենք պետք է գտնել, եւ տալ եւ. Կարո՞ղ ենք այս դեպքում օգտագործել մեր ստացած բանաձևը: Փորձեք հաստատել կամ հերքել այս հնարավորությունը նույն կերպ՝ նկարագրելով, թե ինչից է բաղկացած յուրաքանչյուր արժեք, ինչպես դա արեցիք ի սկզբանե բանաձևը հանելիս:
Ի՞նչ ստացաք:
Հիմա նորից ուշադիր նայեք։
և համապատասխանաբար.
Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ բանաձևը գործում է ոչ միայն հարեւանների հետերկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմիններով, բայց նաև հետ հավասար հեռավորության վրաայն, ինչ փնտրում են անդամները:
Այսպիսով, մեր սկզբնական բանաձևը դառնում է.
Այսինքն, եթե առաջին դեպքում ասում էինք, ապա հիմա ասում ենք, որ այն կարող է հավասար լինել ցանկացած բնական թվի, որը փոքր է։ Հիմնական բանը տրված երկու թվերի համար էլ նույնն է։
Պրակտիկա համար կոնկրետ օրինակներպարզապես չափազանց զգույշ եղեք:
- , . Գտեք.
- , . Գտեք.
- , . Գտեք.
Որոշե՞լ եք: Հուսով եմ, որ դուք չափազանց ուշադիր էիք և նկատեցիք մի փոքրիկ բռնում:
Մենք համեմատում ենք արդյունքները.
Առաջին երկու դեպքերում մենք հանգիստ կիրառում ենք վերը նշված բանաձեւը և ստանում ենք հետևյալ արժեքները.
Երրորդ դեպքում, ուշադիր դիտարկելով մեզ տրված համարների սերիական համարները, մենք հասկանում ենք, որ դրանք հավասարաչափ հեռու չեն մեր փնտրած թվից. դա նախորդ համարն է, բայց դիրքով հանված է, ուստի հնարավոր չէ։ բանաձևը կիրառելու համար.
Ինչպե՞ս լուծել այն: Դա իրականում այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է: Եկեք ձեզ հետ գրենք, թե ինչից է բաղկացած մեզ տրված յուրաքանչյուր թիվ և ցանկալի թիվը։
Ուրեմն ունենք և. Տեսնենք, թե ինչ կարող ենք անել նրանց հետ: Առաջարկում եմ բաժանվել։ Մենք ստանում ենք.
Մենք մեր տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.
Հաջորդ քայլը, որը մենք կարող ենք գտնել, դրա համար մենք պետք է վերցնենք ստացված թվի խորանարդային արմատը:
Հիմա նորից նայենք, թե ինչ ունենք։ Մենք ունենք, բայց մենք պետք է գտնենք, և դա, իր հերթին, հավասար է.
Մենք գտանք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները հաշվարկի համար։ Փոխարինել բանաձևում.
Մեր պատասխանը. .
Փորձեք ինքներդ լուծել մեկ այլ նույն խնդիրը.
Տրված է՝ ,
Գտնել.
Որքա՞ն եք ստացել: Ես ունեմ - .
Ինչպես տեսնում եք, իրականում ձեզ անհրաժեշտ է հիշեք միայն մեկ բանաձև- . Մնացած բոլորը դուք ցանկացած պահի կարող եք առանց որևէ դժվարության հետ վերցնել: Դա անելու համար պարզապես թղթի վրա գրեք ամենապարզ երկրաչափական առաջընթացը և գրեք, թե ինչին է հավասար, ըստ վերը նշված բանաձևի, նրա յուրաքանչյուր թիվը:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարը:
Այժմ դիտարկենք այն բանաձևերը, որոնք թույլ են տալիս մեզ արագ հաշվարկել երկրաչափական առաջընթացի պայմանների գումարը տվյալ միջակայքում.
Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ստանալու համար մենք վերը նշված հավասարման բոլոր մասերը բազմապատկում ենք: Մենք ստանում ենք.
Ուշադիր նայեք. ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն վերջին երկու բանաձևերը: Ճիշտ է, ընդհանուր անդամներ, օրինակ և այլն, բացառությամբ առաջին և վերջին անդամի: Փորձենք հանել 1-ին հավասարումը 2-րդ հավասարումից։ Ի՞նչ ստացաք:
Այժմ արտահայտեք երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամի բանաձևով և ստացված արտահայտությունը փոխարինեք մեր վերջին բանաձևով.
Խմբավորել արտահայտությունը. Դուք պետք է ստանաք.
Մնում է միայն արտահայտել.
Ըստ այդմ, այս դեպքում.
Ինչ կլինի եթե? Այդ դեպքում ո՞ր բանաձևն է աշխատում: Պատկերացրեք երկրաչափական առաջընթացը ժամը. Ինչպիսի՞ն է նա: Ճիշտ է, միանման թվերի շարքը, համապատասխանաբար, բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.
Ինչպես թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացի դեպքում, կան բազմաթիվ լեգենդներ: Դրանցից մեկը շախմատի ստեղծող Սեթի լեգենդն է։
Շատերը գիտեն, որ շախմատը հորինել են Հնդկաստանում։ Երբ հինդու թագավորը հանդիպեց նրան, նա հիացած էր նրա խելքով և նրա մեջ հնարավոր դիրքերի բազմազանությամբ: Տեղեկանալով, որ այն հորինել է իր հպատակներից մեկը, թագավորը որոշեց անձամբ պարգեւատրել նրան։ Նա իր մոտ կանչեց գյուտարարին և հրամայեց խնդրել նրանից ինչ ուզում է՝ խոստանալով կատարել նույնիսկ ամենահմուտ ցանկությունը։
Սետան ժամանակ խնդրեց մտածելու համար, և երբ հաջորդ օրը Սետան հայտնվեց թագավորի առջև, նա զարմացրեց թագավորին իր խնդրանքի անզուգական համեստությամբ։ Նա ցորենի հատիկ խնդրեց շախմատի տախտակի առաջին քառակուսու համար, ցորեն՝ երկրորդի, երրորդի համար, չորրորդի համար և այլն։
Թագավորը զայրացավ և քշեց Սեթին, ասելով, որ ծառայի խնդրանքը արժանի չէ թագավորական առատաձեռնությանը, բայց խոստացավ, որ ծառան իր հացահատիկները կստանա տախտակի բոլոր խցերի համար:
Եվ հիմա հարցն է՝ օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը, հաշվարկեք, թե քանի հատիկ պետք է ստանա Սեթը:
Սկսենք քննարկել։ Քանի որ Սեթը, ըստ պայմանի, ցորենի հատիկ խնդրեց շախմատի տախտակի առաջին խցի համար, երկրորդի, երրորդի, չորրորդի համար և այլն, մենք տեսնում ենք, որ խնդիրը երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին է։ Ի՞նչն է հավասար այս դեպքում:
Ճիշտ.
Շախմատի տախտակի ընդհանուր բջիջները. Համապատասխանաբար, . Մենք ունենք բոլոր տվյալները, մնում է միայն փոխարինել բանաձևով և հաշվարկել:
Տրված թվի առնվազն մոտավորապես մոտավորապես «սանդղակները» ներկայացնելու համար մենք փոխակերպում ենք՝ օգտագործելով աստիճանի հատկությունները.
Իհարկե, եթե ուզում ես, կարող ես հաշվիչ վերցնել և հաշվարկել, թե ինչ թվով ես հայտնվում, իսկ եթե ոչ, ապա պետք է իմ խոսքն ընդունես՝ արտահայտության վերջնական արժեքը կլինի:
Այն է:
կվինտիլիոն կվադրիլիոն տրիլիոն միլիարդ միլիոն միլիոն հազար:
Ֆուհ) Եթե ցանկանում եք պատկերացնել այս թվի հսկայականությունը, ապա գնահատեք, թե ինչ չափի գոմ է պահանջվելու հացահատիկի ամբողջ քանակությունը տեղավորելու համար:
Մ գոմի բարձրությամբ և մ լայնությամբ, դրա երկարությունը պետք է հասներ մինչև կմ, այսինքն. երկու անգամ ավելի հեռու, քան Երկրից Արեգակ:
Եթե թագավորը ուժեղ լիներ մաթեմատիկայի մեջ, նա կարող էր անձամբ գիտնականին առաջարկել հատիկները հաշվել, քանի որ միլիոն հատիկ հաշվելու համար նրան առնվազն մեկ օր անխոնջ հաշվելու կարիք կունենար, և հաշվի առնելով, որ անհրաժեշտ է հաշվել քվինտիլիոնները. հացահատիկները պետք է հաշվել իր ամբողջ կյանքում:
Եվ հիմա մենք կլուծենք պարզ խնդիր երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի վերաբերյալ:
5-րդ դասարանի աշակերտ Վասյան հիվանդացել է գրիպով, բայց շարունակում է դպրոց հաճախել։ Ամեն օր Վասյան վարակում է երկու հոգու, ովքեր իրենց հերթին վարակում են ևս երկու հոգու և այլն։ Դասարանում ընդամենը մեկ հոգի: Քանի՞ օրից ամբողջ դասարանը գրիպով հիվանդանալու է:
Այսպիսով, երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը Վասյան է, այսինքն՝ մարդ։ Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամը, սրանք այն երկու մարդիկ են, որոնց նա վարակել է իր ժամանելու առաջին օրը: Առաջադիմության անդամների ընդհանուր գումարը հավասար է 5Ա սովորողների թվին: Ըստ այդմ, մենք խոսում ենք մի առաջընթացի մասին, որտեղ.
Եկեք մեր տվյալները փոխարինենք երկրաչափական առաջընթացի պայմանների գումարի բանաձևով.
Օրերի ընթացքում ամբողջ դասարանը կհիվանդանա։ Չե՞ք հավատում բանաձևերին և թվերին: Փորձեք ինքներդ պատկերել ուսանողների «վարակը»։ Տեղի է ունեցել? Տեսեք, թե ինչ տեսք ունի այն ինձ համար.
Ինքներդ հաշվարկեք, թե քանի օրում ուսանողները գրիպ կհիվանդանային, եթե բոլորը վարակեին մարդուն, իսկ դասարանում մարդ լիներ։
Ի՞նչ արժեք եք ստացել: Պարզվեց, որ բոլորը սկսել են հիվանդանալ մեկ օր անց։
Ինչպես տեսնում եք, նման առաջադրանքը և դրա համար նկարելը բուրգ է հիշեցնում, որում յուրաքանչյուր հաջորդ «բերում է» նոր մարդկանց։ Սակայն վաղ թե ուշ գալիս է մի պահ, երբ վերջինս չի կարող որևէ մեկին գրավել։ Մեր դեպքում, եթե պատկերացնենք, որ դասը մեկուսացված է, ապա անձը փակում է շղթան (): Այսպիսով, եթե մարդը ներգրավված լիներ ֆինանսական բուրգում, որում գումար է տրվել, եթե դուք բերեիք ևս երկու մասնակցի, ապա անձը (կամ ընդհանուր դեպքում) ոչ ոքի չէր բերի, համապատասխանաբար, կկորցնի այն ամենը, ինչ ներդրել է այս ֆինանսական խարդախության մեջ: .
Այն ամենը, ինչ ասվեց վերևում, վերաբերում է նվազող կամ աճող երկրաչափական առաջընթացին, բայց, ինչպես հիշում եք, մենք ունենք հատուկ տեսակ՝ անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա: Ինչպե՞ս հաշվարկել նրա անդամների գումարը: Իսկ ինչո՞ւ է առաջընթացի այս տեսակն ունի որոշակի առանձնահատկություններ: Եկեք միասին պարզենք:
Այսպիսով, սկզբի համար եկեք նորից նայենք մեր օրինակից անսահման նվազող երկրաչափական առաջընթացի այս նկարին.
Եվ հիմա եկեք տեսնենք երկրաչափական առաջընթացի գումարի բանաձևը, որը ստացվել է մի փոքր ավելի վաղ.
կամ
Ինչի՞ ենք մենք ձգտում։ Ճիշտ է, գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ այն ձգտում է զրոյի: Այսինքն, երբ, այն գրեթե հավասար կլինի, համապատասխանաբար, արտահայտությունը հաշվարկելիս կստանանք գրեթե. Այս առումով, մենք կարծում ենք, որ անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը հաշվարկելիս այս փակագիծը կարելի է անտեսել, քանի որ այն հավասար է լինելու։
- Բանաձևը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարն է:
ԿԱՐԵՎՈՐ!Մենք օգտագործում ենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարի բանաձևը միայն այն դեպքում, եթե պայմանը բացահայտորեն ասում է, որ մենք պետք է գտնենք գումարը անվերջանդամների թիվը։
Եթե նշված է կոնկրետ թիվ n, ապա մենք օգտագործում ենք n տերմինների գումարի բանաձևը, նույնիսկ եթե կամ.
Իսկ հիմա եկեք պարապենք։
- Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամների գումարը և.
- Գտե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը և.
Հուսով եմ, որ դուք շատ զգույշ էիք: Համեմատեք մեր պատասխանները.
Այժմ դուք գիտեք ամեն ինչ երկրաչափական պրոգրեսիայի մասին, և ժամանակն է անցնելու տեսությունից պրակտիկային: Քննության վրա հայտնաբերված ամենատարածված էքսպոնենցիալ խնդիրները բարդ տոկոսային խնդիրներն են: Նրանց մասին է, որ մենք կխոսենք։
Բարդ տոկոսների հաշվարկման խնդիրներ.
Դուք հավանաբար լսել եք այսպես կոչված բարդ տոկոսադրույքի բանաձևի մասին: Հասկանու՞մ եք, թե նա ինչ նկատի ունի: Եթե ոչ, եկեք պարզենք, որովհետև, հասկանալով ինքնին գործընթացը, անմիջապես կհասկանաք, թե ինչ կապ ունի դրա հետ երկրաչափական պրոգրեսիան։
Մենք բոլորս գնում ենք բանկ և գիտենք, որ ավանդների համար կան տարբեր պայմաններ. սա է ժամկետը, և հավելյալ սպասարկումը, և տոկոսները դրա հաշվարկման երկու տարբեր եղանակներով՝ պարզ և բարդ:
ՀԵՏ պարզ հետաքրքրությունամեն ինչ քիչ թե շատ պարզ է՝ ավանդի ժամկետի ավարտին տոկոսները գանձվում են մեկ անգամ։ Այսինքն, եթե խոսքը գնում է տարեկան 100 ռուբլի տակ դնելու մասին, ապա դրանք կհաշվառվեն միայն տարեվերջին։ Ըստ այդմ, մինչև ավանդի ավարտը մենք կստանանք ռուբլի:
Բաղադրություն հետաքրքրությունըտարբերակ է, որում տոկոսների կապիտալացում, այսինքն. դրանց ավելացում ավանդի չափին և հետագա եկամուտների հաշվարկը ոչ թե սկզբնական, այլ ավանդի կուտակված գումարից: Կապիտալիզացիան տեղի է ունենում ոչ թե անընդհատ, այլ որոշակի պարբերականությամբ: Որպես կանոն, նման ժամանակահատվածները հավասար են և ամենից հաճախ բանկերն օգտագործում են մեկ ամիս, մեկ քառորդ կամ մեկ տարի:
Ենթադրենք, մենք տարեկան դնում ենք բոլոր նույն ռուբլիները, բայց ավանդի ամսական կապիտալիզացիայով: Ի՞նչ ենք մենք ստանում:
Դուք այստեղ ամեն ինչ հասկանու՞մ եք։ Եթե ոչ, եկեք քայլ առ քայլ անենք:
Ռուբլի բերեցինք բանկ։ Մինչև ամսվա վերջ մենք մեր հաշվին պետք է ունենանք գումար, որը բաղկացած է մեր ռուբլուց՝ գումարած դրանց տոկոսագումարները, այսինքն.
Համաձայնվել?
Մենք կարող ենք այն հանել փակագծից, ապա ստանում ենք.
Համաձայն եմ, այս բանաձեւն արդեն ավելի նման է սկզբում գրածին։ Մնում է գործ ունենալ տոկոսներով
Խնդրի պայմաններում մեզ ասում են տարեկան. Ինչպես գիտեք, մենք չենք բազմապատկվում, մենք տոկոսները փոխարկում ենք տասնորդականներ, այն է:
Ճիշտ? Հիմա հարցնում եք՝ որտեղի՞ց է այդ թիվը։ Շատ պարզ!
Կրկնում եմ՝ խնդրի վիճակը ասում է ՏԱՐԵԿԱՆհաշվարկված տոկոսներ ԱՄՍԱԿԱՆ. Ինչպես գիտեք, ամսական մեկ տարում, համապատասխանաբար, բանկը մեզնից կգանձի տարեկան տոկոսադրույքի մի մասը.
Հասկացա? Հիմա փորձեք գրել, թե ինչ տեսք կունենա բանաձևի այս մասը, եթե ասեմ, որ տոկոսները հաշվարկվում են օրական։
Դուք հասցրե՞լ եք: Եկեք համեմատենք արդյունքները.
Լավ արեցիր։ Վերադառնանք մեր առաջադրանքին՝ գրեք, թե որքան է մուտքագրվելու մեր հաշվին երկրորդ ամսվա ընթացքում՝ հաշվի առնելով, որ ավանդի կուտակված գումարից տոկոսներ են գանձվում։
Ահա թե ինչ կատարվեց ինձ հետ.
Կամ, այլ կերպ ասած.
Կարծում եմ, որ դուք արդեն նկատել եք օրինաչափություն և տեսել եք այս ամենի մեջ երկրաչափական առաջընթաց։ Գրեք, թե ինչին է հավասարվելու նրա անդամը, կամ, այլ կերպ ասած, որքան գումար ենք ստանալու ամսվա վերջում։
Արդյո՞ք Ստուգում!
Ինչպես տեսնում եք, եթե դուք մեկ տարի բանկում գումար եք դնում պարզ տոկոսադրույքով, ապա կստանաք ռուբլի, իսկ եթե այն դնեք բարդ տոկոսադրույքով, ապա կստանաք ռուբլի: Օգուտը փոքր է, բայց դա տեղի է ունենում միայն երրորդ տարվա ընթացքում, բայց ավելի երկար ժամանակահատվածի համար կապիտալիզացիան շատ ավելի շահավետ է.
Դիտարկենք բարդ տոկոսադրույքի խնդիրների մեկ այլ տեսակ: Այն բանից հետո, ինչ դուք հասկացաք, դա ձեզ համար տարրական կլինի։ Այսպիսով, խնդիրն է.
Zvezda-ն արդյունաբերության մեջ սկսել է ներդրումներ կատարել 2000 թվականին՝ դոլարային կապիտալով։ 2001 թվականից սկսած ամեն տարի շահույթ է ունեցել, որը հավասար է նախորդ տարվա կապիտալին։ Որքա՞ն շահույթ կստանա «Զվեզդա» ընկերությունը 2003 թվականի վերջին, եթե շահույթը չհանվի շրջանառությունից։
Zvezda ընկերության կապիտալը 2000 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2001 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2002 թ.
- Zvezda ընկերության կապիտալը 2003 թ.
Կամ կարող ենք հակիրճ գրել.
Մեր գործի համար.
2000, 2001, 2002 և 2003 թթ.
Համապատասխանաբար.
ռուբլի
Նկատենք, որ այս հարցում մենք բաժանում չունենք ոչ ըստ, ոչ ըստ, քանի որ տոկոսը տրվում է ՏԱՐԵԿԱՆ և այն հաշվարկվում է ՏԱՐԵԿԱՆ։ Այսինքն՝ բարդ տոկոսով խնդիրը կարդալիս ուշադրություն դարձրեք, թե քանի տոկոս է տրված, ինչ ժամկետում է այն գանձվում, նոր միայն անցեք հաշվարկներին։
Այժմ դուք գիտեք ամեն ինչ երկրաչափական առաջընթացի մասին:
Ուսուցում.
- Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամ, եթե հայտնի է, որ և
- Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամների գումարը, եթե հայտնի է, որ և
- MDM Capital-ը սկսել է ներդրումներ կատարել արդյունաբերության մեջ 2003 թվականին՝ դոլարային կապիտալով։ 2004 թվականից սկսած ամեն տարի նա ունեցել է նախորդ տարվա կապիտալին հավասար շահույթ։ «MSK Cash Flows» ընկերությունը արդյունաբերության մեջ սկսել է ներդրումներ կատարել 2005 թվականին 10000 ԱՄՆ դոլարի չափով, սկսելով շահույթ ստանալ 2006 թվականին՝ չափով. Քանի՞ դոլարով է մի ընկերության կապիտալը գերազանցում մյուս ընկերության կապիտալը 2007 թվականի վերջին, եթե շահույթը շրջանառությունից դուրս չի բերվել։
Պատասխանները:
- Քանի որ խնդրի պայմանը չի ասում, որ առաջընթացն անվերջ է և պահանջվում է գտնել դրա անդամների որոշակի թվի գումարը, հաշվարկն իրականացվում է ըստ բանաձևի.
«MDM Capital» ընկերություն.2003, 2004, 2005, 2006, 2007 թթ.
- ավելանում է 100%-ով, այսինքն՝ 2 անգամ։
Համապատասխանաբար.
ռուբլի
MSK դրամական հոսքեր.2005, 2006, 2007 թթ.
- ավելանում է, այսինքն՝ անգամ։
Համապատասխանաբար.
ռուբլի
ռուբլի
Եկեք ամփոփենք.
1) Երկրաչափական պրոգրեսիան ( ) թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին, բազմապատկված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։
2) Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների հավասարումը -.
3) կարող է վերցնել ցանկացած արժեք, բացառությամբ և.
- եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամներն ունեն նույն նշանը՝ նրանք դրական;
- եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամները այլընտրանքային նշաններ;
- երբ - պրոգրեսիան կոչվում է անսահման նվազող:
4) , at - երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկություն (հարևան անդամներ)
կամ
, ժամը (հավասար հեռավոր պայմաններով)
Երբ գտնեք այն, մի մոռացեք դա պետք է լինի երկու պատասխան..
Օրինակ,
5) Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը հաշվարկվում է բանաձևով.
կամ
Եթե առաջընթացը անսահմանորեն նվազում է, ապա.
կամ
ԿԱՐԵՎՈՐ!Մենք օգտագործում ենք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարի բանաձևը միայն այն դեպքում, եթե պայմանը բացահայտորեն ասում է, որ մենք պետք է գտնենք անսահման թվով անդամների գումարը:
6) բաղադրյալ տոկոսի առաջադրանքները հաշվարկվում են նաև երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամի բանաձևով, եթե դրամական միջոցները դուրս չեն բերվել շրջանառությունից.
ԵՐԿՐԱԶԳԱՅԻՆ ՊՐՈԳՐԵՍԻԱ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ
Երկրաչափական առաջընթաց( ) թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը տարբերվում է զրոյից, և յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդին՝ բազմապատկված նույն թվով։ Այս համարը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը.
Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարկարող է վերցնել ցանկացած արժեք, բացի և.
- Եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամներն ունեն նույն նշանը, նրանք դրական են.
- եթե, ապա առաջընթացի բոլոր հաջորդ անդամները փոխարինում են.
- երբ - պրոգրեսիան կոչվում է անսահման նվազող:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների հավասարումը - .
Երկրաչափական պրոգրեսիայի տերմինների գումարըհաշվարկվում է բանաձևով.
կամ
Երկրաչափական առաջընթացոչ պակաս կարևոր մաթեմատիկայի, քան թվաբանության մեջ։ Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2,..., b[n] թվերի այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը հաստատուն թվով բազմապատկելով։ Այս թիվը, որը նաև բնութագրում է առաջընթացի աճի կամ նվազման տեմպերը, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարև նշել
Համար ամբողջական առաջադրանքերկրաչափական պրոգրեսիան, բացի հայտարարից, անհրաժեշտ է իմանալ կամ որոշել դրա առաջին անդամը: Դրական հայտարարի համար առաջընթացն է միապաղաղ հաջորդականություն, և եթե թվերի այս հաջորդականությունը միապաղաղ նվազում է և միապաղաղ աճում է որպես. Գործնականում չի դիտարկվում այն դեպքը, երբ հայտարարը հավասար է մեկին, քանի որ մենք ունենք միանման թվերի հաջորդականություն, և դրանց գումարումը գործնական հետաքրքրություն չի ներկայացնում.
Երկրաչափական առաջընթացի ընդհանուր տերմինհաշվարկված ըստ բանաձևի
Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարըորոշվում է բանաձևով
Դիտարկենք դասական երկրաչափական պրոգրեսիայի խնդիրների լուծումները: Սկսենք հասկանալու ամենապարզից:
Օրինակ 1. Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը 27 է, իսկ հայտարարը՝ 1/3: Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամները:
Լուծում՝ ձևի մեջ գրում ենք խնդրի պայմանը
Հաշվարկների համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը
Դրա հիման վրա մենք գտնում ենք պրոգրեսիայի անհայտ անդամների
Ինչպես տեսնում եք, երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանները հաշվարկելը դժվար չէ։ Առաջընթացն ինքնին այսպիսի տեսք կունենա
Օրինակ 2. Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին երեք անդամները՝ 6; -12; 24. Գտի՛ր հայտարարն ու յոթերորդ անդամը:
Լուծում. Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը հաշվում ենք՝ ելնելով դրա սահմանումից
Ստացանք փոփոխական երկրաչափական պրոգրեսիա, որի հայտարարը -2 է: Յոթերորդ անդամը հաշվարկվում է բանաձևով
Այս խնդիրը լուծված է.
Օրինակ 3. Երկրաչափական պրոգրեսիա է տրված նրա անդամներից երկուսի կողմից 
. Գտե՛ք առաջընթացի տասներորդ անդամը:
Լուծում:
Բանաձևերի միջոցով գրենք տրված արժեքները
Ըստ կանոնների՝ անհրաժեշտ կլիներ գտնել հայտարարը, այնուհետև փնտրել ցանկալի արժեքը, բայց տասներորդ անդամի համար մենք ունենք.
Նույն բանաձևը կարելի է ձեռք բերել մուտքային տվյալների հետ պարզ մանիպուլյացիաների հիման վրա: Շարքի վեցերորդ անդամը բաժանում ենք մյուսի, արդյունքում ստանում ենք
Եթե ստացված արժեքը բազմապատկվում է վեցերորդ անդամով, ապա ստանում ենք տասներորդը
Այսպիսով, նման խնդիրների համար պարզ փոխակերպումների օգնությամբ արագ ճանապարհդուք կարող եք գտնել ճիշտ լուծումը:
Օրինակ 4. Երկրաչափական առաջընթացը տրվում է կրկնվող բանաձևերով
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը և առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:
Տրված տվյալները գրում ենք հավասարումների համակարգի տեսքով
Արտահայտի՛ր հայտարարը՝ երկրորդ հավասարումը բաժանելով առաջինի վրա
Գտեք առաջընթացի առաջին անդամը առաջին հավասարումից
Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը գտնելու համար հաշվե՛ք հետևյալ հինգ անդամները
Հրահանգ
10, 30, 90, 270...
Պահանջվում է գտնել երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը:
Լուծում:
1 տարբերակ. Վերցնենք պրոգրեսիայի կամայական անդամ (օրինակ՝ 90) և բաժանենք նախորդի (30) վրա՝ 90/30=3։
Եթե հայտնի է երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի անդամների կամ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամների գումարը, ապա պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար օգտագործեք համապատասխան բանաձևերը.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), որտեղ Sn-ը երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարն է և
S = b1/(1-q), որտեղ S-ն անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարն է (մեկից պակաս հայտարար ունեցող պրոգրեսիայի բոլոր անդամների գումարը):
Օրինակ.
Նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին անդամը հավասար է մեկի, իսկ նրա բոլոր անդամների գումարը հավասար է երկուսի։
Պահանջվում է որոշել այս առաջընթացի հայտարարը:
Լուծում:
Առաջադրանքից ստացված տվյալները փոխարինեք բանաձևով: Ստանալ:
2=1/(1-ք), որտեղից – q=1/2:
Առաջընթացը թվերի հաջորդականություն է: Երկրաչափական պրոգրեսիայում յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը ստացվում է նախորդը բազմապատկելով որոշակի q թվով, որը կոչվում է պրոգրեսիայի հայտարար։
Հրահանգ
Եթե հայտնի են b(n+1) և b(n) երկրաչափական երկու հարևան անդամներ, հայտարարը ստանալու համար անհրաժեշտ է մեծ թիվ ունեցող թիվը բաժանել նախորդողին` q=b(n): +1)/b(n): Սա բխում է պրոգրեսիայի և դրա հայտարարի սահմանումից: Կարևոր պայման է, որ առաջընթացի առաջին անդամը և հայտարարը հավասար չլինեն զրոյի, հակառակ դեպքում այն համարվում է անորոշ։
Այսպիսով, պրոգրեսիայի անդամների միջև հաստատվում են հետևյալ հարաբերությունները՝ b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q: b(n)=b1 q^(n-1) բանաձևով կարելի է հաշվարկել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ, որում հայտնի են q հայտարարը և b1 անդամը։ Նաև պրոգրեսիայի մոդուլներից յուրաքանչյուրը հավասար է իր հարևան անդամների միջինին. |b(n)|=√, հետևաբար, առաջընթացը ստացել է իր .
Երկրաչափական պրոգրեսիայի անալոգը ամենապարզն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա y=a^x, որտեղ x ցուցանիշի մեջ է, a-ն ինչ-որ թիվ է: Այս դեպքում առաջընթացի հայտարարը նույնն է, ինչ առաջին անդամը և հավասար է թվինա. y ֆունկցիայի արժեքը կարելի է հասկանալ այսպես n-րդ անդամառաջընթացներ, եթե x արգումենտն ընդունվի որպես բնական թիվ n (հաշվիչ):
Գոյություն ունի երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի համար՝ S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q): Այս բանաձեւըվավեր է q≠1. Եթե q=1, ապա առաջին n անդամների գումարը հաշվարկվում է S(n)=n b1 բանաձևով։ Ի դեպ, պրոգրեսիան կկոչվի աճող q մեկից մեծ և դրական b1-ի դեպքում։ Երբ առաջընթացի հայտարարը, մոդուլը չի գերազանցում մեկը, պրոգրեսիան կկոչվի նվազող:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի հատուկ դեպքը անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիան է (մ.գ.): Փաստն այն է, որ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները նորից ու նորից կնվազեն, բայց երբեք չեն հասնի զրոյի: Չնայած դրան, հնարավոր է գտնել նման պրոգրեսիայի բոլոր տերմինների գումարը: Որոշվում է S=b1/(1-q) բանաձեւով։ n անդամների ընդհանուր թիվը անսահման է։
Պատկերացնելու համար, թե ինչպես կարող եք ավելացնել անսահման թվով թվեր և չստանալ անսահմանություն, թխեք տորթ: Կտրեք դրա կեսը: Այնուհետև կեսը կտրեք 1/2-ով և այդպես շարունակ: Կտորները, որոնք դուք կստանաք, ոչ այլ ինչ են, քան 1/2 հայտարարով անսահման նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներ: Եթե այս բոլոր կտորները միացնեք, կստանաք օրիգինալ տորթ:
Երկրաչափության խնդիրները հատուկ վարժություն են, որը պահանջում է տարածական մտածողություն. Եթե չես կարողանում լուծել երկրաչափական առաջադրանքփորձեք հետևել ստորև նշված կանոններին.
Հրահանգ
Խնդրի վիճակը շատ ուշադիր կարդացեք, եթե ինչ-որ բան չեք հիշում կամ չեք հասկանում, նորից կարդացեք:
Փորձեք որոշել, թե ինչպիսի երկրաչափական խնդիրներ են դա, օրինակ՝ հաշվողական, երբ պետք է ինչ-որ արժեք պարզել, հիմնավորման տրամաբանական շղթա պահանջելու առաջադրանքներ, կողմնացույցի և քանոնի միջոցով կառուցելու առաջադրանքներ: Ավելի խառը խնդիրներ. Երբ հասկանաք խնդրի տեսակը, փորձեք տրամաբանորեն մտածել:
Կիրառեք այս խնդրի համար անհրաժեշտ թեորեմը, եթե կան կասկածներ կամ ընդհանրապես տարբերակներ չկան, ապա փորձեք հիշել այն տեսությունը, որը ուսումնասիրել եք համապատասխան թեմայով։
Խնդրի նախագիծը նույնպես կազմեք։ Փորձեք օգտագործել հայտնի մեթոդներ՝ ձեր լուծման ճիշտությունը ստուգելու համար:
Խնդրի լուծումը կոկիկ լրացրե՛ք նոթատետրում, առանց բծերի և մատնանշումների, և ամենակարևորը. Թերևս ժամանակ և ջանք կպահանջվի առաջին երկրաչափական խնդիրները լուծելու համար: Այնուամենայնիվ, այս գործընթացից դուրս գալուց հետո դուք կսկսեք սեղմել այնպիսի առաջադրանքներ, ինչպիսիք են ընկույզը և զվարճանալ դա անելով:
Երկրաչափական առաջընթացը b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) թվերի հաջորդականությունն է այնպես, որ b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n): ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0: Այլ կերպ ասած՝ պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ ստացվում է նախորդից՝ այն բազմապատկելով q պրոգրեսիայի ինչ-որ ոչ զրոյական հայտարարով։
Հրահանգ
Պրոգրեսիայի հետ կապված խնդիրները ամենից հաճախ լուծվում են b1 պրոգրեսիայի առաջին անդամի և q պրոգրեսիայի հայտարարի նկատմամբ համակարգ կազմելու և հետևելու միջոցով: Հավասարումներ գրելու համար օգտակար է հիշել որոշ բանաձևեր.
Ինչպե՞ս արտահայտել առաջընթացի n-րդ անդամը պրոգրեսիայի առաջին անդամի և առաջընթացի հայտարարի միջոցով՝ b(n)=b1*q^(n-1):
Առանձին դիտարկել գործը |ք|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
