Ir skaitļi, kas ir tik neticami, neticami lieli, ka būtu vajadzīgs viss Visums, lai tos pat pierakstītu. Bet lūk, kas patiešām tracina... daži no šiem neaptverami lielajiem skaitļiem ir ārkārtīgi svarīgi, lai izprastu pasauli.

Kad es saku "lielākais skaitlis Visumā", es tiešām domāju lielāko nozīmīgs skaitlis, maksimālais iespējamais skaitlis, kas kaut kādā veidā ir noderīgs. Pretendentu uz šo titulu ir daudz, taču es jūs uzreiz brīdinu: patiešām pastāv risks, ka, mēģinot to visu saprast, jūs sasitīsit prātā. Un turklāt ar pārāk daudz matemātikas jums ir maz prieka.

Googol un googolplex

Edvards Kasners

Mēs varētu sākt ar diviem, ļoti iespējams, lielākajiem skaitļiem, par kuriem esat dzirdējuši, un tie patiešām ir divi lielākie skaitļi, kuriem ir vispārpieņemtas definīcijas angļu valoda. (Ir diezgan precīza nomenklatūra, ko izmanto tik lieliem skaitļiem, cik vēlaties, taču šie divi skaitļi pašlaik nav atrodami vārdnīcās.) Google, kopš tā kļuva pasaules slavena (lai gan ar kļūdām, ņemiet vērā. patiesībā tas ir googols) g. Google forma radās 1920. gadā, lai radītu bērnu interesi par lieliem skaitļiem.

Šajā nolūkā Edvards Kasners (attēlā) Ņūdžersijas Palisades tūrē aizveda savus abus brāļadēlus Miltonu un Edvīnu Sirotus. Viņš aicināja viņus nākt klajā ar jebkādām idejām, un tad deviņus gadus vecais Miltons ieteica “googol”. No kurienes viņš ieguvis šo vārdu, nav zināms, taču Kasners tā nolēma vai skaitlis, kurā simts nulles seko vienam, turpmāk tiks saukts par googolu.

Taču jaunais Miltons ar to neapstājās, viņš nāca klajā ar vēl lielāku numuru — googolplex. Pēc Miltona teiktā, tas ir skaitlis, kurā vispirms ir 1 un pēc tam tik daudz nulles, cik varat uzrakstīt, pirms nogurst. Lai gan ideja ir aizraujoša, Kasners uzskatīja, ka ir nepieciešama formālāka definīcija. Kā viņš paskaidroja savā 1940. gada grāmatā Mathematics and the Imagination, Miltona definīcija atstāj atvērtu bīstamu iespēju, ka gadījuma jezga var kļūt par matemātiķi, kas ir pārāks par Albertu Einšteinu tikai tāpēc, ka viņam ir lielāka izturība.

Tāpēc Kasners nolēma, ka googolplex būtu vai 1, kam sekotu googols no nullēm. Pretējā gadījumā un apzīmējumā, kas ir līdzīgs tam, ar kuru mēs strādāsim ar citiem skaitļiem, mēs teiksim, ka googolplekss ir . Lai parādītu, cik tas ir burvīgi, Karls Sagans reiz atzīmēja, ka fiziski nav iespējams pierakstīt visas googolpleksa nulles, jo Visumā vienkārši nebija pietiekami daudz vietas. Ja viss novērojamā Visuma tilpums ir piepildīts ar smalkām putekļu daļiņām, kuru izmērs ir aptuveni 1,5 mikroni, tad dažādu veidu skaits, kā šīs daļiņas var tikt sakārtots, būs aptuveni vienāds ar vienu googolpleksu.

Lingvistiski runājot, googol un googolplex, iespējams, ir divi lielākie nozīmīgie skaitļi (vismaz angļu valodā), taču, kā mēs tagad noskaidrosim, ir bezgalīgi daudz veidu, kā definēt “nozīmību”.

Īstā pasaule

Ja mēs runājam par lielāko ievērojamo skaitu, tad ir saprātīgs arguments, kas patiešām nozīmē, ka jums ir jāatrod lielākais skaitlis ar vērtību, kas patiesībā pastāv pasaulē. Mēs varam sākt ar pašreizējo cilvēku skaitu, kas šobrīd ir aptuveni 6920 miljoni. Pasaules IKP 2010. gadā tika lēsts aptuveni 61 960 miljardu dolāru apmērā, taču abi šie skaitļi ir mazi, salīdzinot ar aptuveni 100 triljoniem šūnu, kas veido cilvēka ķermeni. Protams, nevienu no šiem skaitļiem nevar salīdzināt ar kopējo daļiņu skaitu Visumā, ko parasti uzskata par aptuveni , un šis skaitlis ir tik liels, ka mūsu valodā tam nav vārda.

Mēs varam mazliet paspēlēties ar mērīšanas sistēmām, padarot skaitļus arvien lielākus un lielākus. Tādējādi Saules masa tonnās būs mazāka nekā mārciņās. Lielisks veids, kā to izdarīt, ir izmantot Planka vienības, kas ir mazākie iespējamie mēri, kuriem joprojām ir spēkā fizikas likumi. Piemēram, Visuma vecums Planka laikā ir aptuveni . Ja atgriezīsimies pie pirmās Planka laika vienības pēc lielais sprādziens, mēs redzēsim, ka Visuma blīvums toreiz bija . Mēs kļūstam arvien vairāk, bet mēs vēl neesam tikuši pat līdz googolam.

Lielākais skaits ar jebkuru reāls pielietojums pasaule vai, šajā gadījumā, faktiskais pielietojums pasaulēs, iespējams, ir viens no jaunākajiem Visumu skaita aprēķiniem multivisā. Šis skaitlis ir tik liels, ka cilvēka smadzenes burtiski nespēs uztvert visus šos dažādos Visumus, jo smadzenes spēj tikai aptuveni konfigurēt. Patiesībā šis skaitlis, iespējams, ir lielākais skaitlis ar jebkādu praktisku nozīmi, ja neņem vērā ideju par multiversu kopumā. Tomēr ir daudz vairāk lieli skaitļi kas tur slēpjas. Bet, lai tos atrastu, mums jāiedziļinās tīrās matemātikas jomā, un nav labākas vietas, kur sākt kā pirmskaitļi.

Mersenne pirmizrādi

Daļa no grūtībām ir laba definīcija tam, kas ir “jēgpilns” skaitlis. Viens veids ir domāt par pirmskaitļiem un saliktajiem rādītājiem. Pirmskaitlis, kā jūs droši vien atceraties no skolas matemātikas, ir jebkurš dabiskais skaitlis(piezīme nav vienāda ar vienu), kas dalās tikai ar sevi. Tātad un ir pirmskaitļi, un un ir salikti skaitļi. Tas nozīmē, ka jebkuru salikto skaitli galu galā var attēlot ar tā pirmajiem dalītājiem. Savā ziņā skaitlis ir svarīgāks par, teiksim, tāpēc, ka to nekādi nevar izteikt mazāku skaitļu reizinājuma izteiksmē.

Acīmredzot mēs varam iet nedaudz tālāk. , piemēram, patiesībā ir tikai , kas nozīmē, ka hipotētiskā pasaulē, kur mūsu zināšanas par skaitļiem ir ierobežotas ar , matemātiķis joprojām var izteikt . Bet nākamais skaitlis jau ir pirmskaitlis, kas nozīmē to vienīgais ceļš to izteikt nozīmē tieši zināt par tā esamību. Tas nozīmē, ka tiek atskaņoti lielākie zināmie pirmskaitļi svarīga loma, un, teiksim, googols — kas galu galā ir tikai skaitļu kopa un , reizināts kopā — faktiski neeksistē. Un tā kā pirmskaitļi lielākoties ir nejauši, nav zināms veids, kā paredzēt, ka neticami liels skaitlis patiešām būs pirmskaitļi. Līdz šai dienai jaunu pirmskaitļu atklāšana ir grūts uzdevums.

Matemātiķi Senā Grieķija pirmskaitļu jēdziens bija vismaz 500. gadā pirms mūsu ēras, un 2000 gadus vēlāk cilvēki joprojām zināja, kas ir pirmskaitļi, tikai līdz apmēram 750. Eiklida domātāji saskatīja vienkāršošanas iespēju, taču līdz renesanses laikmetam matemātiķi to īsti nevarēja pateikt. praksē. Šie skaitļi ir zināmi kā Mersenna skaitļi un ir nosaukti 17. gadsimta franču zinātnieces Marinas Mersennas vārdā. Ideja ir pavisam vienkārša: Mersenna skaitlis ir jebkurš formas skaitlis. Tā, piemēram, un šis skaitlis ir galvenais, tas pats attiecas uz .

Mersenna pirmskaitļi ir daudz ātrāki un vieglāk nosakāmi nekā jebkura cita veida pirmskaitļi, un datori ir smagi strādājuši, lai tos atrastu pēdējo sešu gadu desmitu laikā. Līdz 1952. gadam lielākais zināmais pirmskaitlis bija skaitlis — skaitlis ar cipariem. Tajā pašā gadā datorā tika aprēķināts, ka skaitlis ir pirmizrāde, un šis skaitlis sastāv no cipariem, kas padara to jau daudz lielāku par googolu.

Kopš tā laika datori tiek meklēti, un Mersena skaitlis pašlaik ir lielākais cilvēcei zināmais pirmskaitlis. Atklāts 2008. gadā, tas ir skaitlis ar gandrīz miljoniem ciparu. Šis ir lielākais zināmais skaitlis, ko nevar izteikt ar mazākiem skaitļiem, un, ja vēlaties palīdzēt atrast vēl lielāku Mersenne skaitli, jūs (un jūsu dators) vienmēr varat pievienoties meklēšanai vietnē http://www.mersenne. org/.

Skewes numurs

Stenlijs Skuse

Atgriezīsimies pie pirmskaitļiem. Kā jau teicu iepriekš, tie uzvedas būtībā nepareizi, kas nozīmē, ka nav iespējams paredzēt, kāds būs nākamais pirmskaitlis. Matemātiķi ir spiesti pievērsties dažiem diezgan fantastiskiem mērījumiem, lai kaut kādā veidā kaut kādā neskaidrā veidā paredzētu nākotnes pirmskaitļus. Visveiksmīgākais no šiem mēģinājumiem, iespējams, ir pirmskaitļu funkcija, ko 18. gadsimta beigās izgudroja leģendārais matemātiķis Kārlis Frīdrihs Gauss.

Es aiztaupīšu jūs no sarežģītākas matemātikas — jebkurā gadījumā mums vēl ir daudz priekšā, taču funkcijas būtība ir šāda: jebkuram veselam skaitlim ir iespējams novērtēt, cik pirmskaitļu ir mazāki par . Piemēram, ja , funkcija paredz, ka jābūt pirmskaitļiem, if - pirmskaitļiem, kas ir mazāki par , un ja , tad ir mazāki skaitļi, kas ir pirmskaitļi.

Pirmskaitļu izkārtojums patiešām ir neregulārs, un tas ir tikai aptuvens faktiskā pirmskaitļu skaits. Faktiski mēs zinām, ka pirmskaitļi ir mazāki par , pirmskaitļi ir mazāki par , un pirmskaitļi ir mazāki par . Protams, tā ir lieliska aplēse, taču tā vienmēr ir tikai aplēse... un konkrētāk, aplēse no augšas.

Visos zināmajos gadījumos līdz , funkcija, kas atrod pirmskaitļu skaitu, nedaudz pārspīlē faktisko pirmskaitļu skaitu, kas ir mazāki par . Matemātiķi reiz domāja, ka tas tā būs vienmēr, ad infinitum, un ka tas noteikti attiecas uz dažiem neiedomājami milzīgiem skaitļiem, taču 1914. gadā Džons Edensors Litlvuds pierādīja, ka kādam nezināmam, neiedomājami milzīgam skaitlim šī funkcija sāks radīt mazāk pirmskaitļu. un tad tas bezgalīgi daudz reižu pārslēgsies starp pārvērtēšanu un nenovērtēšanu.

Medības bija par sacensību sākuma punktu, un tur parādījās Stenlijs Skuse (skat. foto). 1933. gadā viņš pierādīja, ka augšējā robeža, kad funkcija, kas pirmo reizi tuvina pirmskaitļu skaitu, dod mazāku vērtību, ir skaitlis. Pat visabstraktākajā nozīmē ir grūti saprast, kas īsti ir šis skaitlis, un no šī viedokļa tas bija lielākais skaitlis, kāds jebkad izmantots nopietnā matemātiskā pierādījumā. Kopš tā laika matemātiķi ir spējuši samazināt augšējo robežu līdz salīdzinoši nelielam skaitam, taču sākotnējais skaitlis ir palicis pazīstams kā Skewes skaitlis.

Tātad, cik liels ir skaitlis, kas padara pat vareno googolplex punduri? Grāmatā The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Deivids Velss apraksta vienu veidu, kā matemātiķis Hārdijs varēja saprast Skivesa skaitļa lielumu:

"Hardijs uzskatīja, ka tas ir "lielākais skaitlis, kas jebkad kalpojis kādam konkrētam mērķim matemātikā", un ierosināja, ka, ja šahu spēlētu ar visām Visuma daļiņām kā figūriņām, viens gājiens sastāvētu no divu daļiņu apmaiņas, un spēle apstāsies, kad tāda pati pozīcija tika atkārtota trešo reizi, tad visu iespējamo spēļu skaits būtu vienāds ar aptuveni Skuse'' skaitu.

Pēdējā lieta, pirms turpināt: mēs runājām par mazāko no diviem Skewes skaitļiem. Ir vēl viens Skewes skaitlis, ko matemātiķis atrada 1955. gadā. Pirmais skaitlis ir iegūts, pamatojoties uz to, ka tā sauktā Rīmaņa hipotēze ir patiesa — īpaši sarežģīta hipotēze matemātikā, kas joprojām nav pierādīta, ļoti noderīga, ja runa ir par pirmskaitļiem. Tomēr, ja Rīmaņa hipotēze ir nepatiesa, Skjūzs atklāja, ka lēciena sākuma punkts palielinās līdz .

Lieluma problēma

Pirms mēs nonākam pie skaitļa, kas liek pat Skuse skaitlim izskatīties niecīgam, mums nedaudz jāparunā par mērogu, jo pretējā gadījumā mēs nevaram novērtēt, kur mēs ejam. Vispirms ņemsim skaitli — tas ir niecīgs skaitlis, tik mazs, ka cilvēki patiesībā var intuitīvi saprast, ko tas nozīmē. Ir ļoti maz skaitļu, kas atbilst šim aprakstam, jo ​​skaitļi, kas ir lielāki par sešiem, pārstāj būt atsevišķi skaitļi un kļūst par "vairākiem", "daudziem" utt.

Tagad ņemsim , t.i. . Lai gan mēs nevaram īsti intuitīvi, kā to darījām ar numuru, izdomāt, kas tas ir, iedomāties, kas tas ir, tas ir ļoti vienkārši. Pagaidām viss iet labi. Bet kas notiks, ja mēs dosimies uz? Tas ir vienāds ar , vai . Mēs esam ļoti tālu no tā, lai varētu iedomāties šo vērtību, tāpat kā jebkuru citu ļoti lielu vērtību - mēs zaudējam spēju uztvert atsevišķas daļas kaut kur ap miljonu. (Jāatzīst, ka būtu vajadzīgs neprātīgi ilgs laiks, lai kaut ko noskaitītu līdz miljonam, taču būtība ir tāda, ka mēs joprojām spējam uztvert šo skaitli.)

Tomēr, lai gan mēs nevaram iedomāties, mēs varam vismaz vispārīgi saprast, kas ir 7600 miljardi, iespējams, salīdzinot to ar kaut ko līdzīgu ASV IKP. Mēs esam pārgājuši no intuīcijas uz reprezentāciju līdz vienkāršai izpratnei, taču mums vismaz joprojām ir zināma nepilnība mūsu izpratnē par to, kas ir skaitlis. Tas drīz mainīsies, kad mēs paceļam vēl vienu pakāpienu pa kāpnēm.

Lai to izdarītu, mums ir jāpārslēdzas uz Donalda Knuta ieviesto apzīmējumu, kas pazīstams kā bultiņu apzīmējums. Šos apzīmējumus var rakstīt kā . Kad mēs dosimies uz , skaitlis, ko mēs saņemsim, būs . Tas ir vienāds ar to, kur ir trīskāršu kopskaits. Tagad esam ievērojami un patiesi pārspējuši visus pārējos jau minētos skaitļus. Galu galā pat lielākajā no tām indeksu sērijā bija tikai trīs vai četri dalībnieki. Piemēram, pat Skuse superskaitlis ir "tikai" - pat ar to, ka gan bāze, gan eksponenti ir daudz lielāki par , tas tomēr ir absolūti nieks, salīdzinot ar skaitļu torņa lielumu ar miljardiem dalībnieku.

Acīmredzot nav iespējams aptvert tik milzīgus skaitļus... un tomēr to radīšanas procesu joprojām var saprast. Mēs nevarējām saprast īsto skaitli, ko dod spēku tornis, kas ir miljards trīskāršu, bet principā varam iedomāties šādu torni ar daudziem dalībniekiem, un patiešām pieklājīgs superdators spēs saglabāt šādus torņus atmiņā, pat ja tas nevar aprēķināt to patiesās vērtības.

Tas kļūst arvien abstraktāks, bet tas tikai pasliktināsies. Varētu domāt, ka spēku tornis, kura eksponenta garums ir (turklāt iepriekšējā šī ieraksta versijā es pieļāvu tieši šādu kļūdu), bet tas ir tikai . Citiem vārdiem sakot, iedomājieties, ka jums ir iespēja aprēķināt precīzu trīskāršā spēka torņa vērtību, kas sastāv no elementiem, un tad jūs ņemat šo vērtību un izveidojat jauns tornis ar tik daudz tajā... kas dod .

Atkārtojiet šo procesu ar katru nākamo numuru ( Piezīme sākot no labās puses), līdz jūs to darāt vienu reizi, un tad beidzot jūs saņemat . Tas ir skaitlis, kas ir vienkārši neticami liels, bet vismaz soļi, lai to iegūtu, šķiet, ir skaidri, ja viss tiek darīts ļoti lēni. Mēs vairs nevaram saprast skaitļus vai iedomāties procedūru, kādā tie tiek iegūti, bet vismaz mēs varam saprast pamata algoritmu, tikai pietiekami ilgā laikā.

Tagad sagatavosim prātu, lai tas tiešām to uzspridzinātu.

Grehema (Grehema) numurs

Ronalds Grehems

Tādā veidā jūs iegūstat Grehema numuru, kas ir iekļauts Ginesa rekordu grāmatā kā lielākais skaitlis, kas jebkad izmantots matemātiskā pierādījumā. Pilnīgi neiespējami iedomāties, cik tas ir liels, un tikpat grūti ir precīzi izskaidrot, kas tas ir. Būtībā Grehema skaitlis parādās, strādājot ar hiperkubiem, kas ir teorētiski ģeometriskās formas ar vairāk nekā trim dimensijām. Matemātiķis Ronalds Grehems (skat. foto) vēlējās noskaidrot, pie kā mazākais skaitlis mērījumiem, noteiktas hiperkuba īpašības saglabāsies stabilas. (Atvainojiet par šo neskaidro skaidrojumu, bet esmu pārliecināts, ka mums visiem ir jāiegūst vismaz divi grādiem matemātikā, lai padarītu to precīzāku.)

Jebkurā gadījumā Grehema skaitlis ir šī minimālā dimensiju skaita augšējais novērtējums. Tātad, cik liela ir šī augšējā robeža? Atgriezīsimies pie tik liela skaitļa, ka tā iegūšanas algoritmu varam saprast diezgan neskaidri. Tagad tā vietā, lai lēktu vēl vienu līmeni uz augšu, mēs saskaitīsim skaitli, kura starp pirmo un pēdējo trīskāršu ir bultiņas. Tagad mēs esam tālu ārpus pat mazākās izpratnes par to, kas ir šis skaitlis vai pat par to, kas jādara, lai to aprēķinātu.

Tagad atkārtojiet šo procesu reizes ( Piezīme katrā nākamajā solī mēs ierakstām bultu skaitu, vienāds ar skaitli kas iegūts iepriekšējā solī).

Tas, dāmas un kungi, ir Grehema skaitlis, kas ir aptuveni par kārtu virs cilvēka izpratnes punkta. Tas ir skaitlis, kas ir tik daudz lielāks par jebkuru skaitli, ko varat iedomāties – tas ir daudz lielāks par jebkuru bezgalību, kādu jūs jebkad varētu cerēt iedomāties – tas vienkārši ir pretrunā pat visabstraktākajam aprakstam.

Bet šeit ir dīvaina lieta. Tā kā Grehema skaitlis būtībā ir tikai trīskārši, kas reizināti kopā, mēs zinām dažas tā īpašības, to faktiski neaprēķinot. Mēs nevaram attēlot Grehema numuru nevienā mums pazīstamā apzīmējumā, pat ja mēs izmantojām visu Visumu, lai to pierakstītu, taču es varu jums sniegt pēdējos divpadsmit Grehema skaitļa ciparus: . Un tas vēl nav viss: mēs zinām vismaz pēdējos Grehema skaitļa ciparus.

Protams, ir vērts atcerēties, ka šis skaitlis ir tikai Grehema sākotnējās problēmas augšējā robeža. Iespējams, ka faktiskais mērījumu skaits, kas nepieciešams, lai izpildītu vēlamo īpašumu, ir daudz, daudz mazāks. Faktiski kopš 1980. gadiem lielākā daļa šīs jomas ekspertu ir uzskatījuši, ka patiesībā ir tikai sešas dimensijas — tik mazs skaitlis, ka mēs to varam saprast intuitīvā līmenī. Apakšējā robeža kopš tā laika ir palielināta līdz , taču joprojām pastāv ļoti liela iespēja, ka Grehema problēmas risinājums neatrodas tuvu tik lielam skaitlim kā Grehemam.

Līdz bezgalībai

Tātad ir skaitļi, kas ir lielāki par Grehema skaitli? Ir, protams, iesācējiem ir Grehema numurs. Kas attiecas uz ievērojams skaits… labi, ir dažas velnišķīgi sarežģītas matemātikas jomas (jo īpaši tā, kas pazīstama kā kombinatorika) un datorzinātnēs, kurās ir skaitļi, kas ir pat lielāki par Grehema skaitli. Bet mēs esam gandrīz sasnieguši robežu, ko es ceru, ka jebkad varētu saprātīgi izskaidrot. Tiem, kuri ir pietiekami neapdomīgi, lai dotos vēl tālāk, tiek piedāvāta papildu lasīšana, uzņemoties risku.

Nu, tagad pārsteidzošs citāts, kas tiek attiecināts uz Duglasu Reju ( Piezīme Godīgi sakot, tas izklausās diezgan smieklīgi:

“Es redzu neskaidru skaitļu kopas, kas slēpjas tur tumsā, aiz mazā gaismas plankuma, ko dod prāta svece. Viņi čukst viens otram; runā par to, kas zina, ko. Varbūt viņiem ļoti nepatīk, ka ar prātu sagūstam savus mazos brāļus. Vai varbūt viņi vienkārši vada nepārprotamu skaitlisku dzīvesveidu, ārpus mūsu izpratnes.

“Es redzu neskaidru skaitļu kopas, kas slēpjas tur tumsā, aiz mazā gaismas plankuma, ko dod prāta svece. Viņi čukst viens otram; runā par to, kas zina, ko. Varbūt viņiem ļoti nepatīk, ka ar prātu sagūstam savus mazos brāļus. Vai varbūt viņi vienkārši vada nepārprotamu skaitlisku dzīvesveidu, ārpus mūsu izpratnes.
Duglass Rejs

Turpinām savējo. Šodien mums ir skaitļi...

Agri vai vēlu visus mocīja jautājums, kāds ir lielākais skaitlis. Uz bērna jautājumu var atbildēt miljons. Ko tālāk? triljons. Un vēl tālāk? Patiesībā atbilde uz jautājumu, kādi ir lielākie skaitļi, ir vienkārša. Vienkārši ir vērts pievienot vienu lielākajam skaitlim, jo ​​tas vairs nebūs lielākais. Šo procedūru var turpināt bezgalīgi.

Bet, ja jautājat sev: kāds ir lielākais skaitlis, kas pastāv, un kāds ir tā nosaukums?

Tagad mēs visi zinām...

Ir divas skaitļu nosaukšanas sistēmas - amerikāņu un angļu.

Amerikāņu sistēma ir uzbūvēta pavisam vienkārši. Visi lielo skaitļu nosaukumi ir veidoti šādi: sākumā ir latīņu kārtas skaitlis, bet beigās tiek pievienots piedēklis -miljons. Izņēmums ir vārds "miljons", kas ir skaitļa tūkstotis (lat. mille) un palielināmo piedēkli -miljons (sk. tabulu). Tātad tiek iegūti skaitļi – triljons, kvadriljons, kvintiljons, sekstiljons, septiljons, oktiljons, nemiljons un deciljons. Amerikāņu sistēma tiek izmantota ASV, Kanādā, Francijā un Krievijā. Jūs varat uzzināt nulles skaitu skaitļā, kas rakstīts amerikāņu sistēmā, izmantojot vienkāršu formulu 3 x + 3 (kur x ir latīņu cipars).

Angļu valodas nosaukumu sistēma ir visizplatītākā pasaulē. To lieto, piemēram, Lielbritānijā un Spānijā, kā arī lielākajā daļā bijušo Anglijas un Spānijas koloniju. Ciparu nosaukumi šajā sistēmā ir veidoti šādi: šādi: latīņu ciparam tiek pievienots sufikss -miljons, nākamais skaitlis (1000 reizes lielāks) tiek veidots pēc principa - tas pats latīņu cipars, bet sufikss ir - miljards. Tas ir, pēc triljona angļu sistēmā nāk triljons, un tikai tad kvadriljons, kam seko kvadriljons utt. Tādējādi kvadriljons pēc angļu un amerikāņu sistēmām ir pilnīgi atšķirīgi skaitļi! Jūs varat uzzināt nulles skaitu skaitļā, kas rakstīts angļu valodā un beidzas ar sufiksu -miljons, izmantojot formulu 6 x + 3 (kur x ir latīņu cipars) un izmantojot formulu 6 x + 6 skaitļiem, kas beidzas ar - miljards.

No Angļu sistēma krievu valodā pārgāja tikai skaitlis miljards (10 9 ), ko tomēr pareizāk būtu saukt tā, kā to sauc amerikāņi - miljards, jo esam pieņēmuši amerikāņu sistēmu. Bet kurš mūsu valstī kaut ko dara pēc noteikumiem! ;-) Starp citu, dažreiz vārds triljons tiek lietots arī krieviski (par to varat pārliecināties, veicot meklēšanu Google vai Yandex) un tas nozīmē, šķiet, 1000 triljonus, t.i. kvadriljons.

Papildus cipariem, kas rakstīti, izmantojot latīņu prefiksus amerikāņu vai angļu sistēmā, ir zināmi arī tā sauktie ārpussistēmas numuri, t.i. numuri, kuriem ir savi nosaukumi bez latīņu prefiksiem. Ir vairāki šādi skaitļi, bet es par tiem pastāstīšu sīkāk nedaudz vēlāk.

Atgriezīsimies pie rakstīšanas, izmantojot latīņu ciparus. Šķiet, ka viņi var rakstīt skaitļus līdz bezgalībai, taču tā nav pilnīgi taisnība. Tagad es paskaidrošu, kāpēc. Vispirms apskatīsim, kā tiek saukti skaitļi no 1 līdz 10 33:

Un tā, tagad rodas jautājums, ko tālāk. Kas ir decilis? Principā, protams, ir iespējams, kombinējot prefiksus, lai ģenerētu tādus monstrus kā: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion un novemdecillion, bet tie jau mūs interesēja. mūsu pašu vārdu numuri. Tāpēc saskaņā ar šo sistēmu papildus iepriekš norādītajiem joprojām varat iegūt tikai trīs - vigintiljonus (no lat.viginti- divdesmit), centiljons (no lat.procentiem- simts) un miljons (no lat.mille- tūkstoši). Romiešiem nebija vairāk par tūkstoš skaitļu īpašvārdu (visi skaitļi, kas pārsniedz tūkstoti, bija salikti). Piemēram, piezvanīja miljons (1 000 000) romiešucentena miliai., desmit simti tūkstoši. Un tagad, patiesībā, tabula:

Tādējādi saskaņā ar līdzīgu sistēmu skaitļi ir lielāki par 10 3003 , kam būtu savs, nesalikts nosaukums, dabūt nav iespējams! Bet tomēr ir zināmi skaitļi, kas lielāki par miljonu – tie ir ļoti nesistēmiski skaitļi. Visbeidzot, parunāsim par tiem.

Mazākais šāds skaitlis ir neskaitāmi daudz (tas ir pat Dāla vārdnīcā), kas nozīmē simts simti, tas ir, 10 000. Tiesa, šis vārds ir novecojis un praktiski netiek lietots, taču interesanti, ka vārds "miriāds" ir plaši lietots, kas nebūt nenozīmē noteiktu skaitu, bet gan kaut ko nesaskaitāmu, neskaitāmu kopumu. Tiek uzskatīts, ka vārds myriad (angļu myriad) radās Eiropas valodas no senās Ēģiptes.

Pastāv dažādi viedokļi par šī numura izcelsmi. Daži uzskata, ka tā izcelsme ir Ēģiptē, bet citi uzskata, ka tas ir dzimis tikai senajā Grieķijā. Lai kā arī būtu, patiesībā milzums slavu ieguva tieši pateicoties grieķiem. Myriad bija nosaukums 10 000, un nebija nosaukumu skaitļiem, kas pārsniedz desmit tūkstošus. Taču piezīmē "Psammits" (t.i., smilšu aprēķins) Arhimēds parādīja, kā var sistemātiski veidot un nosaukt patvaļīgi lielus skaitļus. Konkrēti, ievietojot magoņu sēklās 10 000 (neskaitāmus) smilšu graudiņus, viņš atklāj, ka Visumā (bumba ar neskaitāmu Zemes diametru diametru) ietilptu (mūsu apzīmējumā) ne vairāk kā 10 63 smilšu graudi. Interesanti, ka mūsdienu aprēķini par atomu skaitu redzamajā Visumā noved pie skaitļa 10 67 (tikai neskaitāmas reizes vairāk). Arhimēda ieteiktie skaitļu nosaukumi ir šādi:
1 miriads = 10 4.
1 di-miriāde = neskaitāmi neskaitāmi = 10 8 .
1 trīs neskaitāmi = divi neskaitāmi daudzumi = 10 16 .
1 tetra-miriāde = trīs neskaitāmi trīs-miriāde = 10 32 .
utt.

Googol (no angļu valodas googol) ir skaitlis no desmit līdz simtajai pakāpei, tas ir, viens ar simts nullēm. Pirmo reizi par "googolu" 1938. gadā žurnāla Scripta Mathematica janvāra izdevumā rakstā "Jauni vārdi matemātikā" rakstīja amerikāņu matemātiķis Edvards Kasners. Pēc viņa teiktā, viņa deviņus gadus vecais brāļadēls Miltons Sirota ieteicis lielu numuru nosaukt par "googol". Šis numurs kļuva plaši pazīstams, pateicoties viņa vārdā nosauktajai meklētājprogrammai. Google. Ņemiet vērā, ka “Google” ir preču zīme un googol ir skaitlis.

Edvards Kasners.

Internetā to bieži var pieminēt, taču tas tā nav ...

Plaši pazīstamajā budistu traktātā Jaina Sutra, kas datēts ar 100. gadu pirms mūsu ēras, skaitlis Asankheya (no ķīniešu. asentzi- neaprēķināms), vienāds ar 10 140. Tiek uzskatīts, ka šis skaitlis ir vienāds ar kosmisko ciklu skaitu, kas nepieciešams, lai iegūtu nirvānu.

Googolplex (angļu valodā) googolplex) - skaitlis, ko arī izdomājis Kasners ar savu brāļadēlu un kas nozīmē vienu ar nulles googolu, tas ir, 10 10100 . Lūk, kā pats Kasners raksturo šo "atklājumu":

Gudrības vārdus bērni runā vismaz tikpat bieži kā zinātnieki. Vārdu "googol" izdomāja bērns (Dr. Kasnera deviņus gadus vecais brāļadēls), kuram tika lūgts izdomāt vārdu ļoti lielam skaitlim, proti, 1 ar simts nullēm aiz tā. pārliecināts, ka šis skaitlis nebija bezgalīgs, un tāpēc vienlīdz pārliecināts, ka tam ir jābūt nosaukumam. Tajā pašā laikā, kad viņš ierosināja "googol", viņš deva nosaukumu vēl lielākam skaitlim: "Googolplex". Googolplex ir daudz lielāks par googolu, taču joprojām ir ierobežots, kā steidza norādīt nosaukuma izgudrotājs.

Matemātika un iztēle(1940), Kasner un James R. Newman.

Skivesa skaitli, kas ir pat lielāks par googolpleksa skaitli, Skivss ierosināja 1933. gadā (Skewes. J. Londonas matemātika. soc. 8, 277-283, 1933.), pierādot Rīmaņa minējumus par pirmskaitļiem. Tas nozīmē e tādā mērā e tādā mērā e līdz 79 jaudai, t.i., ee e 79 . Vēlāk Riele (te Riele, H. J. J. "Par atšķirības zīmi P(x)-Li(x)." Matemātika. Aprēķināt. 48, 323-328, 1987) samazināja Skuse skaitu līdz ee 27/4 , kas ir aptuveni vienāds ar 8,185 10 370 . Ir skaidrs, ka tā kā Skewes skaitļa vērtība ir atkarīga no skaitļa e, tad tas nav vesels skaitlis, tāpēc mēs to neuzskatīsim, pretējā gadījumā mums būtu jāatsauc citi nedabiski skaitļi - skaitlis pi, skaitlis e utt.

Taču jāatzīmē, ka ir otrs Skewes skaitlis, kas matemātikā tiek apzīmēts kā Sk2 , kas ir pat lielāks par pirmo Skewes skaitli (Sk1 ). Skuse otrais numurs, tajā pašā rakstā ieviesa J. Skuse, lai apzīmētu skaitli, kuram Rīmaņa hipotēze nav derīga. Sk2 ir 1010 10103 , t.i., 1010 101000 .

Kā jūs saprotat, jo vairāk grādu, jo grūtāk ir saprast, kurš no skaitļiem ir lielāks. Piemēram, skatoties uz Skewes skaitļiem, bez īpašiem aprēķiniem ir gandrīz neiespējami saprast, kurš no šiem diviem skaitļiem ir lielāks. Tādējādi superlieliem skaitļiem kļūst neērti izmantot pilnvaras. Turklāt jūs varat izdomāt šādus skaitļus (un tie jau ir izgudroti), ja grādu pakāpes vienkārši neiederas lapā. Jā, kāda lapa! Tās pat neiederēsies visa Visuma izmēra grāmatā! Šajā gadījumā rodas jautājums, kā tos pierakstīt. Problēma, kā jūs saprotat, ir atrisināma, un matemātiķi ir izstrādājuši vairākus šādu skaitļu rakstīšanas principus. Tiesa, katrs matemātiķis, kurš uzdeva šo problēmu, nāca klajā ar savu rakstīšanas veidu, kā rezultātā pastāvēja vairāki, savstarpēji nesaistīti, skaitļu rakstīšanas veidi – tie ir Knuta, Konveja, Steinhausa u.c. apzīmējumi.

Apsveriet Hugo Stenhausa apzīmējumu (H. Steinhaus. Matemātiskie momentuzņēmumi, 3. izd. 1983), kas ir diezgan vienkārši. Steinhouse ieteica iekšā ierakstīt lielus skaitļus ģeometriskās formas- trīsstūris, kvadrāts un aplis:

Steinhouse nāca klajā ar diviem jauniem īpaši lieliem skaitļiem. Viņš sauca numuru - Mega, un numuru - Megiston.

Matemātiķis Leo Mozers precizēja Stenhausa apzīmējumu, ko ierobežoja tas, ka, ja bija jāraksta skaitļi, kas ir daudz lielāki par megistonu, radās grūtības un neērtības, jo bija jāievelk daudzi apļi viens otrā. Mozers ieteica zīmēt nevis apļus aiz kvadrātiem, bet piecstūrus, tad sešstūrus utt. Viņš arī ierosināja formālu apzīmējumu šiem daudzstūriem, lai skaitļus varētu rakstīt, nezīmējot sarežģītus modeļus. Mozera apzīmējums izskatās šādi:

Tādējādi saskaņā ar Mozera apzīmējumu Steinhausa mega ir rakstīts kā 2, bet megistons - kā 10. Turklāt Leo Mozers ieteica izsaukt daudzstūri, kura malu skaits ir vienāds ar mega - megagonu. Un viņš ierosināja skaitli "2 in Megagon", tas ir, 2. Šis skaitlis kļuva pazīstams kā Mozera numurs vai vienkārši kā Mozer.

Bet moser nav lielākais skaitlis. Lielākais skaitlis, kas jebkad izmantots matemātiskajos pierādījumos, ir ierobežojošais lielums, kas pazīstams kā Grehema skaitlis, kas pirmo reizi tika izmantots 1977. gadā, lai pierādītu vienu aprēķinu Remzija teorijā. Tas ir saistīts ar bihromatiskajiem hiperkubiem, un to nevar izteikt bez īpašās 64 līmeņu sistēmas. īpašie matemātiskie simboli, ko Knuts ieviesa 1976. gadā.

Diemžēl Knuth apzīmējumā rakstīto skaitli nevar pārtulkot Mozera apzīmējumā. Tāpēc arī šī sistēma būs jāskaidro. Principā arī tajā nav nekā sarežģīta. Donalds Knuts (jā, jā, tas ir tas pats Knuts, kurš uzrakstīja Programmēšanas mākslu un izveidoja TeX redaktoru) nāca klajā ar lielvaras jēdzienu, kuru viņš ierosināja uzrakstīt ar bultiņām, kas vērstas uz augšu:

IN vispārējs skats tas izskatās šādi:

Es domāju, ka viss ir skaidrs, tāpēc atgriezīsimies pie Grehema numura. Grehems ierosināja tā sauktos G skaitļus:

1. G1 = 3..3, kur virspakāpju bultu skaits ir 33.


2. G2 = ..3, kur virspakāpju bultu skaits ir vienāds ar G1 .


3. G3 = ..3, kur virspakāpju bultu skaits ir vienāds ar G2 .



4. G63 = ..3, kur lielvaru bultu skaits ir G62 .

Skaitlis G63 kļuva pazīstams kā Grehema numurs (to bieži apzīmē vienkārši kā G). Šis skaitlis ir lielākais zināmais skaitlis pasaulē un pat iekļauts Ginesa rekordu grāmatā. Un šeit

Slavenā meklētājprogramma, kā arī uzņēmums, kas radīja šo sistēmu un daudzus citus produktus, ir nosaukts pēc googol skaitļa - viena no lielākajiem skaitļiem bezgalīgajā naturālo skaitļu kopā. Tomēr lielākais skaits nav pat googols, bet gan googolplex.

Googolplex skaitli pirmo reizi ierosināja Edvards Kasners 1938. gadā, un tas ir viens, kam seko neticami daudz nulles. Nosaukums cēlies no cita skaitļa - googol - viens, kam seko simts nulles. Parasti skaitli googol raksta 10 100 vai 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Savukārt googolplekss ir skaitlis desmit googola pakāpē. Parasti to raksta šādi: 10 10 ^100, un tas ir daudz, daudz nulles. To ir tik daudz, ka, ja jūs saskaitītu nulles ar atsevišķām daļiņām Visumā, daļiņas beigtos pirms nullēm googolpleksā.

Pēc Karla Sagana teiktā, šī skaitļa rakstīšana nav iespējama, jo tā uzrakstīšanai būtu nepieciešams vairāk vietas, nekā pastāv redzamajā Visumā.

Kā darbojas smadzeņu pasts — ziņojumu pārraide no smadzenēm uz smadzenēm, izmantojot internetu

10 pasaules noslēpumi, kurus zinātne beidzot ir atklājusi

10 populārākie jautājumi par Visumu, uz kuriem zinātnieki šobrīd meklē atbildes

8 lietas, ko zinātne nevar izskaidrot

2500 gadus vecs zinātniskais noslēpums: kāpēc mēs žāvājamies

3 stulbākie argumenti, ka evolūcijas teorijas pretinieki attaisno savu nezināšanu

Vai ar moderno tehnoloģiju palīdzību iespējams realizēt supervaroņu spējas?

Atoms, lustra, nukleons un vēl septiņas laika vienības, par kurām jūs neesat dzirdējuši

Saskaņā ar jauno teoriju paralēli Visumi faktiski var pastāvēt

Jebkuri divi objekti vakuumā nokritīs ar tādu pašu ātrumu.

Vai esat kādreiz domājuši, cik nulles ir vienā miljonā? Šis ir diezgan vienkāršs jautājums. Kā ar miljardu vai triljonu? Vienam seko deviņas nulles (1000000000) — kā sauc skaitli?

Īss skaitļu saraksts un to kvantitatīvais apzīmējums

• Desmit (1 nulle).
• Simts (2 nulles).
• Tūkstoš (3 nulles).
• Desmit tūkstoši (4 nulles).
• Simts tūkstoši (5 nulles).
• Miljons (6 nulles).
• Miljards (9 nulles).
• Triljons (12 nulles).
• Kvadriljoni (15 nulles).
• Kvintiljons (18 nulles).
• Sekstiljons (21 nulle).
• Septiljons (24 nulles).
• Astotnieks (27 nulles).
• Nonalion (30 nulles).
• Dekalions (33 nulles).

Nulles grupēšana

1000000000 — kā sauc skaitli, kuram ir 9 nulles? Tas ir miljards. Ērtības labad lieli skaitļi ir sagrupēti trīs kopās, kas atdalīti viens no otra ar atstarpi vai pieturzīmēm, piemēram, komatu vai punktu.

Tas tiek darīts, lai būtu vieglāk lasīt un saprast kvantitatīvo vērtību. Piemēram, kāds ir skaitļa 1000000000 nosaukums? Šajā formā ir vērts nedaudz naprechis, skaitīt. Un, ja ierakstāt 1 000 000 000, tad uzreiz uzdevums kļūst vizuāli vieglāks, tāpēc jāskaita nevis nulles, bet nulles trīskārši.

Skaitļi ar pārāk daudzām nullēm

No populārākajiem ir miljoni un miljardi (1000000000). Kā sauc skaitli ar 100 nullēm? Šis ir googola numurs, ko sauc arī Miltons Sirota. Tā ir mežonīgi liela summa. Vai jūs domājat, ka tas ir liels skaitlis? Kā tad ir ar googolplex, ar vienu, kam seko nulles googols? Šis skaitlis ir tik liels, ka ir grūti izdomāt tam nozīmi. Patiesībā tādi milži nav vajadzīgi, izņemot atomu skaitu bezgalīgajā Visumā.

Vai 1 miljards ir daudz?

Ir divas mērīšanas skalas - īsas un garas. Visā pasaulē zinātnē un finansēs 1 miljards ir 1000 miljoni. Tas ir īsā mērogā. Pēc viņas teiktā, tas ir skaitlis ar 9 nullēm.

Ir arī garā skala, ko izmanto dažās Eiropas valstīs, tostarp Francijā, un agrāk tika izmantota Apvienotajā Karalistē (līdz 1971. gadam), kur miljards bija 1 miljons miljons, tas ir, viens un 12 nulles. Šo gradāciju sauc arī par ilgtermiņa skalu. Īsais mērogs tagad dominē finanšu un zinātnes jautājumos.

Dažas Eiropas valodas, piemēram, zviedru, dāņu, portugāļu, spāņu, itāļu, holandiešu, norvēģu, poļu, vācu, šajā sistēmā izmanto miljardu (vai miljardu) rakstzīmju. Krievu valodā skaitlis ar 9 nullēm ir aprakstīts arī īsā tūkstoš miljonu skalā, un triljons ir miljons miljons. Tas ļauj izvairīties no nevajadzīgas neskaidrības.

Sarunu iespējas

Krievu sarunvalodā pēc 1917. gada notikumiem - Lielais Oktobra revolūcija- un hiperinflācijas periods 20. gadu sākumā. 1 miljardu rubļu sauca par "limardu". Un brašajos deviņdesmitajos gados par miljardu parādījās jauns slenga izteiciens “arbūzs”, miljonu sauca par “citronu”.

Vārds "miljards" tagad tiek lietots starptautiski. Šis ir naturāls skaitlis, kas decimālajā sistēmā tiek parādīts kā 10 9 (viens un 9 nulles). Ir arī cits nosaukums - miljards, kuru neizmanto Krievijā un NVS valstīs.

Miljards = miljards?

Šāds vārds kā miljards tiek lietots, lai apzīmētu miljardu tikai tajos štatos, kuros par pamatu tiek ņemts "īsais mērogs". Tās ir tādas valstis kā Krievijas Federācija, Lielbritānijas Apvienotā Karaliste un Ziemeļīrija, ASV, Kanāda, Grieķija un Turkiye. Citās valstīs miljarda jēdziens nozīmē skaitli 10 12, tas ir, vienu un 12 nulles. Valstīs ar "īsu mērogu", ieskaitot Krieviju, šis skaitlis atbilst 1 triljonam.

Šāds apjukums parādījās Francijā laikā, kad notika tādas zinātnes kā algebra veidošanās. Miljardam sākotnēji bija 12 nulles. Taču viss mainījās pēc galvenās aritmētikas rokasgrāmatas (autors Trančans) parādīšanās 1558. gadā, kur miljards jau ir skaitlis ar 9 nullēm (tūkstoš miljoni).

Vairākus nākamos gadsimtus šie divi jēdzieni tika lietoti līdzvērtīgi. 20. gadsimta vidū, proti, 1948. gadā, Francija pārgāja uz ciparu nosaukumu garas skalas sistēmu. Šajā sakarā īsā skala, kas kādreiz aizgūta no franču valodas, joprojām atšķiras no tās, ko viņi izmanto šodien.

Vēsturiski Apvienotā Karaliste ir izmantojusi ilgtermiņa miljardu, bet kopš 1974. gada Apvienotās Karalistes oficiālajā statistikā ir izmantota īstermiņa skala. Kopš pagājušā gadsimta piecdesmitajiem gadiem īstermiņa skala arvien vairāk tiek izmantota tehniskās rakstīšanas un žurnālistikas jomās, lai gan ilgtermiņa skala joprojām tika saglabāta.