Mūsu pasaule nemaz nav trīsdimensionāla, tā mums tikai tā šķiet. Šis fakts tiek apstiprināts fundamentālie pētījumi Aleksandrs Aleksandrovičs Gaifullins, Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondējošais loceklis, Maskavas Valsts universitātes Mehānikas un matemātikas fakultātes profesors, Matemātikas institūta vadošais pētnieks. V.A. Steklovs RAS. Par virkni darbu, kas saistīti ar sarežģītām matemātiskām konstrukcijām, viņš saņēma Valsts prezidenta balvu jaunajiem zinātniekiem.

Aleksandr, tevi ir grūti pat uzrunāt pēc tava vārda un uzvārda, tu esi tik jauns. Un tajā pašā laikā - profesors, korespondents... Varbūt jūs esat jaunākais Zinātņu akadēmijas biedrs?

Cik es zinu, nē. bet viens no jaunākajiem. Par zinātņu doktoru kļuvu 26 gadu vecumā, bet akadēmijā mani ievēlēja 32 gadu vecumā – pagājušās rudens vēlēšanās. Man jāsaka, ka matemātika parasti ir jauniešu zinātne.

– Jo smadzenes ir tā sakārtotas: jo jaunākas, jo labāk tās funkcionē?

Var būt. Lai gan ir gadījumi, kad cilvēki pieaugušā vecumā saņēma ļoti labus rezultātus. Bet vispār matemātikā ir daudz piemēru, kad pirmie darbi kļūst par spēcīgākajiem. Citās zinātnēs, teiksim, ķīmijā, fizikā, īpaši eksperimentālajā zinātnē, ārkārtīgi svarīgs ir laiks, kad cilvēkam jāattīsta kādas prasmes, jāiemācās strādāt.

Eksperimenti bieži prasa ilgu laiku, tāpēc, kā likums, šādās jomās cilvēki vēlāk gūst nopietnus rezultātus.

– Jūs esat kļuvis par Valsts prezidenta balvas jaunajiem zinātniekiem laureātu. Kādam pētījumam?

Pie šīs tēmas strādāju jau piecus gadus. Šī ir darbu sērija par tā saukto elastīgo daudzskaldni. Šis ir ļoti interesants ģeometrisks objekts. Vai jūs zināt, kā bērni līmē kartona daudzskaldņus? Viņi novelk malas, izgriež skenējumu un pēc tam sāk salocīt un līmēt. Tātad jūs varat izdarīt, teiksim, kubu. Un tad rodas jautājums: šeit mēs pielīmējām slēgtu daudzskaldni, bet vai tā būs stingra konstrukcija vai arī tā var kaut kā deformēties, mainoties leņķiem starp skaldnēm? To sauc par liekšanu.

Lai to labāk iztēlotu, jūs varat, kā saka matemātiķi, nolaisties pa dimensiju un tā vietā, lai skatītos uz daudzskaldni trīsdimensiju telpā, aplūkotu daudzstūrus plaknē. Ja ņemam trijstūri un taisīsim tam stingras malas un virsotnēs eņģes, tad tā vienalga paliks stingra figūra un mēs to nekādi nevarēsim deformēt. Un, ja mēs ņemam četrstūri, piecstūri vai daudzstūri ar liels skaits malām, tad tai vienmēr būs netriviālas deformācijas. Piemēram, kvadrātu var pārvērst par rombu utt. Taču, ja atgriežamies pie daudzskaldņiem, tad tur situācija ir savādāka. Starp tiem ir ļoti maz saliekamo, un tos ir grūti uzbūvēt.

Pirmais elastīgā daudzskaldņa paraugs tika uzbūvēts tikai 1977. gadā.

Fakts ir tāds, ka 1813. gadā slavenais franču matemātiķis Augustins Luiss Košī (tas bija viens no viņa pirmajiem matemātiskajiem darbiem) pierādīja, ka, ja daudzskaldnis ir izliekts, tad tam nekad nebūs liekuma.

Ko darīt, ja tas nav izliekts? Kā izrādījās pusotru gadsimtu vēlāk, locīšana ir iespējama. Turklāt, kad sāka būvēt šādus elastīgus daudzskaldņus, izrādījās, ka tiem ir daudz pārsteidzošu īpašību.

- Kāda veida?

Pirmkārt, tie tika atklāti eksperimentāli. Teiksim tik pārsteidzošu lietu: daudzskaldnis saliecas, deformējas, un tā tilpums paliek nemainīgs. Sākumā bija domas, ka varbūt tā ir nejaušība. Viņi sāka skatīties citus piemērus, un arī tur skaļums ir nemainīgs. Un pastāvēja hipotēze, ka jebkura saliekamā daudzskaldņa tilpums lieces procesā ir nemainīgs. To sauca ļoti skaisti - plēšu hipotēze. Plēšas ir ierīce, kas sūknē gaisu smēdē. Radās jautājums: vai ir iespējams izgatavot šādu ierīci, kas izsūknē gaisu no elastīga daudzskaldņa? Tas būtu iespējams tikai tad, ja būtu daudzskaldnis, kas maina tā tilpumu. Silfona hipotēze palika atklāta ilgu laiku un pierādīja to 90. gados. pagājušajā gadsimtā Krievu matemātiķis VIŅU. Sabitovs.

Mans darbs bija daudzdimensiju elastīgu daudzskaldņu teorijas konstruēšana. Mēs dzīvojam sev ierastajā trīsdimensiju telpā, bet patiesībā matemātiķi pēta arī daudzdimensionālās telpas, un tas ir ļoti svarīgi ne tikai matemātikai, bet arī tās dažādajiem pielietojumiem – fizikas, mehānikas, astrofizikas un citām jomām.

– Ko parādīja jūsu pētījumi?

Lidmašīnā apskatījām daudzstūrus. tad trīsdimensiju telpā, un tad radās cits jautājums: kā būtu, ja mēs pētītu līdzīgus objektus, tos pašus elastīgos daudzskaldņus, patvaļīgas dimensijas daudzdimensiju telpās? Un izrādījās, ka šeit mēs gandrīz neko nezinām. XX-XXI gadsimtu mijā. tika konstruēti atsevišķi četrdimensiju elastīgu daudzskaldņu piemēri, taču tālāk iet nebija iespējams. Augstākās dimensijās vispār nebija neviena piemēra.

Man izdevās, pirmkārt, konstruēt elastīgu daudzskaldņu piemērus visu izmēru telpās. Otrkārt, bija jautājums saistībā ar plēšas hipotēzi un I.Kh. Sabitovs, ka elastīga daudzskaldņa tilpums vienmēr ir nemainīgs. Bija pilns pamats uzskatīt, ka, iespējams, tas pats notiek arī "augstākās" dimensijās.

Viņa sniegtais pierādījums ļoti labi darbojās trīsdimensiju situācijā, bet daudzdimensiju situācijā nedarbojās vispār. Man izdevās izdomāt absolūti jauna pieeja, kas ļāva pierādīt silfona hipotēzi, tas ir, apgalvojumu par tilpuma noturību daudzskaldņu lieces procesā patvaļīgas dimensijas daudzskaldņiem.

Mūsu telpai, kā saka matemātiķi, ir nulles izliekums. Un ir izliektas telpas. Visvieglāk ir iedomāties pozitīvi izliektas telpas. Vienkāršākais piemērs- sfēras virsma, piemēram, Zemes virsma, uz kuras mēs dzīvojam. Tas ir, mūsu zemes ģeometrija nav eiklīda, nevis plakana, bet sfēriska.

Un ir arī negatīva izliekuma telpa - tā ir Lobačevska plakne un visa viņa slavenā ģeometrija, kas radās 19. gadsimtā. Tās ir divdimensiju telpas, taču tāpat ir visu izmēru pozitīvā un negatīvā izliekuma telpas. Un viņi var arī pētīt elastīgus daudzskaldņus.

Un izrādījās, ka situācija tur ir ļoti kurioza. Ja izliekums ir pozitīvs, tad silfona hipotēze ir nepatiesa. Ir piemēri saliekamiem daudzskaldņiem, kas maina tilpumu lieces procesā. Mūsu parastajā dimensijā šādu piemēru konstruēja V.A. S.L. Sobolev SB RAS, un visās augstākās dimensijās, tādi ir mani rezultāti.

Un pats interesantākais ir šis. Ja atrodamies negatīva izliekuma telpā, izrādās, ja dimensija ir nepāra - 3,5, 7 utt., tad silfona hipotēze ir patiesa un tilpums ir nemainīgs.

- Un, ja izmērs ir vienmērīgs, tad tas ir nepareizi un mainās skaļums?

Nē, ja tas ir vienmērīgs, tad neviens nezina. Šis ir jautājums, kas šodien paliek atklāts...

Jā, viss sākās ar saliekamo daudzskaldņu izpēti, taču šī zinātne ir attīstījusies dažādos virzienos. Kopumā šī ir šarnīrveida mehānismu zinātnes daļa, kurai ir daudz pielietojumu, kas rodas ļoti daudzās inženierbūvēs. Vai, teiksim, ir tāda brīnišķīga konstrukcija - plakne, sadalīta daudzos paralelogramos, kurus var ļoti kompakti salocīt vienā. Kopš seniem laikiem tas ir pazīstams no japāņu origami, un tagad to sauc par miura-ori par godu japāņu astrofiziķim Kore Miura, kurš ierosināja izmantot šo dizainu saules paneļu locīšanai.

Protams, šādas būves var izveidot arī pagaidu mājokļu, mobilo slimnīcu un zinātnisko laboratoriju celtniecībai – piemēram, Ziemeļos, jaunu zemju attīstībai.

Jūs varat fantazēt, cik vēlaties, bet es neesmu eksperts pielietojuma jomā. Tomēr gribu teikt, ka līdzās tādiem "naiviem" variantiem kā atsevišķu locāmu virsmu izmantošana praksē, ir iespēja dziļāk un nepārprotami pielietot nevis pašus saliekamos daudzskaldņus, bet gan. matemātiskās metodes kas parādījās viņu studiju laikā. Kopumā bieži gadās, ka matemātiskie rezultāti tiek kaut kādā veidā izmantoti, sākotnēji negaidīti. Vēsture rāda, ka to bieži vien ir paredzēts piemērot vienā vietā, bet tas parādās pavisam citā vietā.

Atgriežoties pie elastīgiem daudzskaldņiem, mēs vēlamies atzīmēt to saistību ar šāda veida problēmām, ar kurām bieži saskaras praksē. Telpā ir punktu kopa, un mēs zinām attālumus starp dažiem šo punktu pāriem (piemēram, mums izdevās tos izmērīt), bet ne starp citiem. Vai ir iespējams noskaidrot visus trūkstošos attālumus, tos aprēķināt?

Šis uzdevums ir samazināts līdz noteikta veida sistēmu izpētei algebriskie vienādojumi, un tāda paša veida vienādojumu sistēmas rodas elastīgu daudzskaldņu uzdevumos. Tāpēc šeit neapšaubāmi var noderēt elastīgo daudzskaldņu teorijā izstrādātās metodes.

Tieši tā.

– Kā tas viss ir uzbūvēts? Ar datorprogrammām?

Savādi, nē. Datormodelis, kā likums, tiek izveidots vēlāk. Arī zīmēt to uz papīra ir problemātiski - tur viss ir plakans. Un, godīgi sakot, man tik sarežģītas figūras no kartona līmēt ne pārāk labi nemāku.

– Vai tu to visu būvē savā galvā?

- Kāds matemātisks apraksts formulu veidā?

Jā. Tad, kad ir formulas, tās var ielādēt datorā un iegūt objektu.

- Vai bilde datorā un kas bija galvā pirms tā mača?

Ne vienmēr.

– Vai turpināsit strādāt pie šīs tēmas? Ko jūs vēlaties sasniegt šajā virzienā?

Man šī joma nav gluži dzimtā. Sākotnēji es specializējos citā matemātikas jomā - algebriskajā topoloģijā. Topoloģija ir zinātne, kas apraksta ģeometrisku objektu, izmantojot īpašības, kas nemainās, kad tas tiek deformēts. Un algebriskā topoloģija cenšas sniegt šādu aprakstu algebriskā izteiksmē. tas ir, piemēram, katrai virsmai piešķirt kādu algebrisku objektu un parādīt, ka šis objekts atšķiras, teiksim, sfērai un virtuļa virsmai, un tādējādi parādīt, ka tos nevar pārveidot vienu par otru ar nepārtrauktu deformāciju. Šī zinātne sāka veidoties XIX beigas gadsimtā, bet kopš tā laika ir ievērojami attīstījies un kļuvis sarežģītāks.

– Kāpēc jūs sākāt strādāt pie šiem daudzskaldņiem?

Mans vadītājs universitātē bija Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondentloceklis V.M. Buchstaber, un mana tēma bija tikai algebriskā topoloģija. Un, kad es mācījos pirmajā kursā, man ļoti paveicās, ka semināri par matemātiskā analīze mūsu grupā mehmata profesors I.Kh. Sabitovs, par kuru es jau runāju. Tāpēc es jau toreiz uzzināju par saliekamajiem daudzskaldņiem un viņa rezultātiem šajā jomā. Un jau 2011. gadā, kad tikko aizstāvēju doktora disertāciju, Ijads Hakovičs man teica, ka viņš man ieteicis risināt šo problēmu, jo viņam šķitis, ka tur var pielietot savas topoloģiskās zināšanas.

- Un viņam bija taisnība?

Pilnīgi noteikti. Tātad daļa problēmas ir atrisināta, pārējais, es ceru, ir priekšā.

Viktors Matvejevičs Buhstabers. Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondentloceklis, Lomonosova Maskavas Valsts universitātes profesors M.V. Lomonosovs. Matemātikas institūta galvenais pētnieks. V.A. Steklovs:

Uzskatu, ka attiecībā uz ieguldījumu fundamentālajā zinātnē šī darba rezultāti ir absolūti izcili. Tie jau ir ietekmējuši matemātikas attīstību un turpinās to darīt. Mēs varam uzskaitīt galvenos matemātiķus, kuri daudzus gadus ir mēģinājuši atrisināt šīs problēmas, taču katru reizi tie nonāk strupceļā. Aleksandrs, protams, paļāvās uz savu priekšgājēju rezultātiem, taču viņš atrada jaunas metodes, kas ļāva viņam vispirms izlauzties četrdimensiju pasaulē un pēc tam vairāk izmēriem.

Fakts ir tāds, ka elastīgo daudzskaldņu problēma, kā to izteica klasika, bija balstīta uz mūsu trīsdimensiju pasauli, uz ikdienas pieredzi. Bet, ja mēs ņemam Anrī Puankarē, mūsu zinātnes pamatlicēja - topoloģijas - fundamentālo darbu, tad viņš sāk ar to, ka klasiskā mehānika nodarbojas ar trīsdimensiju pasauli. Taču, ja grib aprakstīt objekta dinamiku un sistēmas īpašības kopumā, tad neiztikt bez daudzdimensionālām telpām, kur ir iesaistītas ne tikai koordinātes, bet arī ātrums, paātrinājums u.c. Tas ir, no trīsdimensiju telpas ir nepieciešams pāriet uz daudzdimensionālo. Šī fakta izpratne kalpoja par stimulu topoloģijas veidošanai un attīstībai.

Aleksandra fundamentālais ieguldījums sēj. ka viņš vispirms pārnesa klasiskās problēmas, kas saistītas ar trīsdimensiju pasauli, uz četrdimensiju pasauli un pēc tam izstrādāja metodes, kas piemērojamas augstākām dimensijām. Pirms viņa daudzdimensionāli klasisko problēmu analogi uz elastīgiem daudzskaldņiem šķita nepieejami. Tāpēc prezidenta balvas formulējums saka "par fundamentālu problēmu risināšanu": Aleksandrs izstrādāja jaunas metodes, kas ļāva atrisināt klasisko problēmu daudzdimensionālus analogus.

No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tas viss ir mūsu iztēles auglis. Patiesībā mēs nedzīvojam trīsdimensiju pasaulē, bet gan daudzdimensionālā. Trīsdimensiju pasaule ir ļoti vienkārša un acīmredzama.

Piemēram, ir zināms, ka jūs tagad atrodaties Matemātikas institūtā tādā un tādā auditorijā. Tevi atrast ir trīsdimensiju uzdevums.

Bet, ja es gribu tev sekot, man ir vajadzīga informācija par tavu dinamiku, izpratne par to, kur kosmosā tu būsi pēc kāda laika. Tas jau ir četrdimensionāls uzdevums.

Fāzes telpa ir jēdziens, uz kura balstās visas mūsdienu matemātikas fundamentālie rezultāti. Jūs un es dzīvojam daudzdimensionālā pasaulē, kur mūsu koordinātes ir ne tikai atrašanās vietas dati, bet arī daudz citas informācijas par mūsu stāvokli.

Tagad šeit ir radušās absolūti unikālas iespējas, pateicoties mūsdienu datorzinātne un jauni saziņas līdzekļi. Tā pati navigācijas sistēma izmanto daudzdimensiju telpas. Daudzus gadus esmu studējis ne tikai topoloģiju, bet arī tās pielietojumu fizikas un ķīmijas problēmās, un katru reizi jūtu priekšrocības, ko man dod topoloģija. Salīdzinot ar cilvēku, kurš uzskata, ka dzīvo trīsdimensiju pasaulē, man ir daudz bagātāks instrumentu komplekts.

Saša ir mans skolnieks, un tur nav bijušo studentu. Esmu lepns par viņa sasniegtajiem rezultātiem, jo ​​tas ir īsts sasniegums zinātnē. Ir labi, ja tiek iegūts rezultāts, ko var izmantot uzreiz. Tajā pašā laikā fundamentālie rezultāti ir īpaši vērtīgi. Izrādās, ka mūsu pasaulē viss ir pavisam savādāk. kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Pirmkārt, tā patiešām ir daudzdimensionāla, otrkārt, šajā daudzdimensionālajā pasaulē, strādājot ar noteiktiem objektiem, ir jāzina aizliegumi, ko šī pasaule uzliek. Un cilvēks, kurš atklāja šos aizliegumus, ieiet matemātikas vēsturē, jo deva visai cilvēcei jaunu izpratni par eksistences apstākļiem šajā pasaulē. Un treškārt, zinot šos aizliegumus, mēs varam izvirzīt brīnišķīgu uzdevumu – uzbūvēt kaut ko no labākā, lai to izmantotu cilvēces labā. Nešaubos, ka šādas konstrukcijas un iegādes būs vēl daudz.

Akadēmiķis Valērijs Kozlovs: "Par brīnumiem - uz matemātikas institūtu"

Valērijs Vasiļjevičs Kozlovs, Krievijas Zinātņu akadēmijas prezidenta pienākumu izpildītājs, akadēmiķis, Matemātikas institūta direktors. V.A. Steklovs (2004-2016).

Es gribētu teikt dažus vārdus par mūsu institūtā strādājošajiem jauniešiem. Mēs vienmēr esam centušies pieņemt darbā spējīgākos, talantīgākos. Mūsu institūts ir neliels, tikai nedaudz vairāk par simts pētnieku. Un tāpēc katra jauna cilvēka parādīšanās mums ir notikums. Šāds notikums bija Sašas Gaifuļina, kurš tagad ir Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondents, profesors, parādīšanās.

Es labi atceros, kā mēs viņu nolīgām. Neslēpšu, tā bija mana ideja. Pēc tam viņš strādāja Maskavas Universitātē, manā dzimtajā Mehānikas un matemātikas fakultātē, vienā no trim ģeometrijas nodaļām. Mūsu institūtā ir daudz Maskavas Valsts universitātes Mehānikas un matemātikas nodaļas absolventu. Zinot, ka uz mūsu matemātiskās debess ir parādījies jauns, spējīgs puisis, es pēc konsultēšanās ar kolēģiem nolēmu viņu par katru cenu aizvest pie mums.

- Cik man zināms, A.A. Gaifullins turpina mācīt Maskavas Valsts universitātē.

Jā, bet tagad uz nepilnu slodzi.

– Un galu galā viņš nav jūsu vienīgais prezidenta balvas ieguvējs.

Jā, viņš ir trešais. Pirmais bija A.G. Kuzņecovs ir mūsu ievērojamais algebrists, par savulaik ievēlēts arī par Zinātņu akadēmijas korespondentlocekli. izcili sasniegumi algebras un algebriskās ģeometrijas jomā. Un šī balva tika piešķirta arī N.N. Andrejevs ir talantīgs matemātikas popularizētājs, matemātikas popularizēšanas un propagandas laboratorijas vadītājs.

- Bet atpakaļ pie A.A. Gaifullin.

Viņš ir patiešām lielisks ģeometrs. Funkcija viņa zinātniskais darbs- Viņš cenšas visu izdarīt līdz galam, graciozi un skaisti. Šajā sakarā es atceros izcilā vācu matemātiķa Gausa vārdus: "Ja kaut kas ir nepabeigts, tas nozīmē, ka nekas nav izdarīts." Tātad, Saša visu noved līdz galam. Ņemiet, piemēram, viņa izcilo darbu sēriju par silfona hipotēzi, kurā teikts, ka elastīgo daudzskaldņu apjomi, kā likums, nemainās (jebkurā gadījumā, ja mēs runājam par mums pazīstamo Eiklīda telpu). Viņš aplūkoja daudzdimensionālo gadījumu un pozitīvā un negatīvā izliekuma telpu gadījumu. Viņš izcēla šīs problēmas iezīmes, kas saistītas ar izliekuma zīmi, kas arī ir ļoti svarīga. Noveda lietu līdz loģiskam secinājumam. Un tas ir visvērtīgākais.

Šī hipotēze un visa tēma cita starpā ir cieši saistīta ar Mehānikas un matemātikas fakultāti. Kā zināms, trīsdimensiju gadījumā šo minējumu pierādīja izcilais ģeometrs I.Kh. Sabitovs. Es vēl biju students, kad viņš pasniedza mūsu nodarbības. Un tagad viņš lasa lekcijas. Es ļoti priecājos, ka tieši viņam bija iespēja atrisināt šo problēmu, izkustināt to no sākuma punkta. Aleksandrs Aleksandrovičs ieguva gala rezultātus daudzdimensionālā gadījumā un pat nemainīgas izliekuma telpās. Tas ir lielisks rezultāts.

– Cik svarīgi jaunajam zinātniekam ir skolotāji?

Ļoti svarīgs. Bet ne tikai skolotāji. Sašai ir brīnišķīgs tēvs A.M. Gaifullins, arī zinātnieks, Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondents, strādā Žukovski, vienā no valsts vadošajiem speciālistiem nepārtrauktas vides virpuļkustības teorijā. Tāpēc Aleksandra audzināšana ir kolektīvs darbs.

Valērijs Vasiļjevič, jūsu institūts ir nopietna zinātniska iestāde. Bet es dzirdēju, ka jūs arī zināt, kā izklaidēties.

Ne tas vārds! Mums ir vecs Jaunais gads ir tradīcija: mēs visi sanākam kopā un rīkojam intelektuālus uzdevumus, konkursus. Un mums noteikti ir Ziemassvētku vecītis un Sniega meitene. Tātad Saša lieliski spēlēja galvenā ziemas burvja lomu, izrādījās ļoti mākslinieciska un pārliecinoša, neskatoties uz to, ka ārēji viņš šķiet kautrīgs cilvēks. Man tas bija negaidīti, bet ļoti patīkami. Tāpēc, ja vēlies īstus brīnumus, nāc pie mums.

Natālija Ļeskova

Publikācijas

1. A. Gaifullin, “On the top homology group of Johnson kodol” [ PDF: angļu , arXiv: 1903.03864 ]
2. A. A. Gaifullins, Y. A. Neretins, “Bezgalīga simetriska grupa, pseidomanifolds un kombinatoriskas kobordismam līdzīgas struktūras”, J. Topols. Anal., https://doi.org/10.1142/S179352531850022X
3. A. Gaifullin, “Par bezgalīgi ģenerētu Torelli grupu homoloģiju”, [ PDF: angļu , arXiv: 1803.09311 ]
4. A. Gaifullin, L. Ignashchenko, “Dehn invariant offlex polyhedra” [ PDF: angļu , arXiv: 1710.11247 ]
5. A. A. Gaifullins, "Par Birmana-Kragsa-Džonsona homomorfisma paplašinājumu", krievu matemātika. Aptaujas, 72:6 (2017), 1171–1173
6. A. A. Gaifullin, “Mazie grafu asociāciju vāki un ciklu realizācija” [ PDF: angļu , arXiv: 1611.01816 ]
7. A. A. Gaifullin, “The belows conjecture for small elastīgs polyhedra in non-Euclidean spaces”, 2016, [ PDF: angļu , arXiv: 1605.04568 ]
8. A. A. Gaifullin, Flexible Polyhedra and Their Volumes, 2016, [ PDF: angļu , arXiv: 1605.09316 ]
9. A. A. Gaifullins, “Ciklu un mazo pārklājumu realizācijas problēma grafa asociācijā”, Aleksandrova lasījumi. Abstracts (Maskava, 22.–26.05.2016), Mehānikas un matemātikas fakultāte, Maskavas Valsts universitāte, Maskava, 2016
10. A. A. Gaifullins, “Mazie pārklājumi pār grafu asociāciju un ciklu realizācija”, Math. Sb., 207:11 (2016), 53–81 [ “Mazie grafu asociaedru vāki un ciklu realizācija”, Sb. Math. 207:11 (2016), 1537–1561
11. A. A. Gaifullin, Yu. A. Neretins, “Infinite symmetric group and bordisms of pseidomanifolds”, [ PDF: angļu , arXiv: 1501.04062 ]
12. A. A. Gaifullins, “Iegulti elastīgi sfēriski šķērspolitopi ar nekonstantiem tilpumiem”, Ģeometrija, topoloģija un lietojumprogrammas, apkopotie raksti. Uz profesora Nikolaja Petroviča Dolbilina 70. dzimšanas gadadienu, Tr. MIAN, 288, MAIK, M., 2015, 67–94 [ PDF: angļu , arXiv: 1501.06198 ]
13. A. A. Gaifullins, “Skaļuma un silfona hipotēzes analītiskais turpinājums Lobačevska telpās”, Mat. Sb., 206:11 (2015), 61–112 [ “Sējuma analītiskais turpinājums un Silfonu minējums Lobačevska telpās”, Sb. Math., 206:11 (2015), 1564–1609]
14. A. A. Gaifullin, “Pašreizējās algebras uz Rīmaņa virsmām: jauni rezultāti un pielietojumi (de Gruyter Expositions in Mathematics 58) Autors Oļegs K. Šeinmans”, Grāmatas apskats, Bull. Londonas matemātika. Soc. 47:6 (2015), 1029–1032
15. A. A. Gaifullin, “Sabitov polinomi daudzskaldņu tilpumiem četrās dimensijās”, Adv. Math., 252 (2014), 586–611 [PDF: angļu, arXiv: 1108.6014]
16. A. A. Gaifullin, S. A. Gaifullin, “Elastīgu daudzskaldņu virsmu perioda režģu deformācijas”, Discrete Comput. Geom., 51:3 (2014), 650–665 [PDF: angļu, arXiv: 1306.0240]
17. A. A. Gaifullins, “Elastīgi šķērspolitopi nemainīgas izliekuma telpās”, Algebriskā topoloģija, izliektie daudzskaldņi un ar to saistītās tēmas, Apkopotie raksti. Par godu Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondētājlocekļa Viktora Matvejeviča Buhstabera 70. gadadienai, Tr. MIAN, 286, MAIK, M., 2014, 88–128 [ PDF: angļu , arXiv: 1312.7608 ]
18. A. A. Gaifullins, “Sabitova teorēmas vispārināšana uz patvaļīgu izmēru daudzskaldņiem”, Discrete Comput. Geom., 52:2 (2014), 195–220 [ PDF: angļu , arXiv: 1210.5408]
19. A. A. Gaifullin, “Elastīgo daudzskaldņu apjomi”, Akadēmiķa Jurija Grigorjeviča Rešetņaka 85. gadadienai veltītās starptautiskās konferences “Ģeometrijas dienas Novosibirskā – 2014” tēzes (Novosibirska, 2014. gada 24.–27. septembris), red. I. A. Taimanovs, A. Ju. Vesņins, Matemātikas institūts im. S. L. Soboleva SB RAS, Novosibirska, 2014, 98.–99. lpp.
20. A. A. Gaifullin, A. V. Penskoi, S. V. Smirnov, Problēmas lineārās algebras un ģeometrijas jomā, Maskavas Centrālais graudu izglītības centrs, Maskava, 2014, 152 lpp. http://biblio.mccme.ru/node/5173
21. A. A. Gaifullins, “Simplekses tilpums kā tā divu seju apgabalu daudzvērtīga algebriskā funkcija”, Topoloģija, ģeometrija, integrējamās sistēmas un matemātiskā fizika: Novikova seminārs 2012–2014, Advances in the Mathematical Sciences, Amer. Matemātika. soc. Tulk. Ser. 2, 234, eds. V. M. Buhstabers, B. A. Dubrovins, I. M. Kričevers, Amer. Matemātika. Soc., Providence, RI, 2014, 201–221 [PDF: angļu, arXiv: 1310.3417]
22. A. A. Gaifullins, “Elastīgie daudzskaldņi un to apjomi”, Ģeometrija, ziņojums Nr. 29/2014 (Oberwolfach, 15.–21.06.2014), Oberwolfach Reports, 11, eds. J. Lots, I. Taimanovs, B. Vilkings, Eiropas matemātika. Soc., 2014, 1584–1586
23. A. M. Veršiks, A. P. Veselovs, A. A. Gaifuļins, B. A. Dubrovins, A. B. Žižčenko, I. M. Kričevers, A. A. Maļcevs, D. V. Miljonščikovs, S. P. Novikovs, T. E. Panovs, A. G. Sergejevs, “A. G. Sergejevs, I. Matvejevičs Buhstabers (savā septiņdesmitajā dzimšanas dienā)”, Uspekhi Mat. Nauk, 68:3(411) (2013), 195–204 [ "Viktors Matvejevičs Buhstabers (70. dzimšanas dienā)", krievu matemātika. Aptaujas, 68:3 (2013), 581–590]
24. A. A. Gaifullin, “Universal realisators for homology classes”, Geometry & Topology, 17:3 (2013), 1745–1772 [ PDF: angļu , arXiv: 1201.4823 ]
25. A. A. Gaifullin, “Koksetera grupas, mazie vāki un ciklu realizācija”, Starptautiskā atklātā Ķīnas un Krievijas konference “Torusa darbības: topoloģija, ģeometrija un skaitļu teorija”. Abstracts (Habarovska, 2013. gada 2.–7. septembris), Togu Publishing House, Habarovska, 2013, 35.–36.
26. A. A. Gaifullin, “Flexible polyhedra and places of fields”, Jaroslavļas starptautiskā konference “Ģeometrija, topoloģija un pielietojumi”, 2013. gada 23.–27. septembris. Abstracts, Jaroslavļas Valsts universitāte. P.G. Demidova, Jaroslavļa, 2013
27. A. A. Gaifullin, T. E. Panovs, “Buchstaber Viktor Matveevich”, Tr. MMO, 74, Nr. 2, MTsNMO, M., 2013, 209 [“Victor Matveevich Buchstaber’s 70th birthday years”, Trans. Maskavas matemātika. Soc., 2013 (2013), 173]
28. A. A. Gaifullin, “Ciklu un mazo vāku kombinatoriskā realizācija”, Eiropas matemātikas kongress (Krakova, 2012. gada 2.–7. jūlijs), red. R. Latala et al., European Mathematical Society, 2013, 315–330 [ PDF: angļu , arXiv: 1204.0208 ]
29. A. A. Gaifullin, “Ciklu un mazo vāku kombinatoriskā realizācija”, 6. Eiropas matemātikas kongress. Abstracts & Titles (Krakova, Polija, 2012. gada 2.–7. jūlijs), 6ECM, Krakova, 2012, 25.–26.
30. A. A. Gaifullin, “Ciklu kombinatoriskā realizācija un vienkāršotais apjoms”, Starptautiskās konferences “Ģeometrijas dienas Novosibirskā, 2012” tēzes, kas veltīta akadēmiķa A.D. 100. gadadienai. Aleksandrova (Novosibirska, 2012. gada 30. augusts - 1. septembris), A.I. vārdā nosauktais Matemātikas institūts. S. L. Soboleva SB RAS, 2012, 12.–13
31. A. A. Gaifullins, “Sabitova polinomi četrdimensiju daudzskaldņu apjomiem”, A. D. Aleksandrova simtgadei veltītā ceturtā ģeometrijas sanāksme. Abstracts (Sanktpēterburga, 20.–24.08.2012.), Izdevniecība VVM, Sanktpēterburga, 2012
32. A. A. Gaifullin, “Sabitov polinomi četrdimensiju daudzskaldņu tilpumiem”, Jaroslavļas starptautiskā konference “Diskrētā ģeometrija”, kas veltīta mūsu ēras simtgadei. Aleksandrovs. Abstracts (Jaroslavļa, 2012. gada 13.–18. augusts), Jaroslavļas Valsts universitāte, nosaukta P.G. Demidova, Jaroslavļa, 2012, 36.–37
33. A. A. Gaifullins, “Sabitov polynomials for polyhedra in four dimensions”, Starptautiskā konference “Toric topology and automorphic functions”. Referātu tēzes (Maskava, 2011. gada 5.–10. septembris), TOGU apgāds, Habarovska, 2011, 27.–35.
34. A. A. Gaifullins, “Konfigurāciju telpas, divzvaigžņu transformācijas un kombinatoriskās formulas pirmajai Pontrjagina klasei”, Diferenciālvienādojumi un topoloģija. I, Rakstu krājums. Par godu akadēmiķa Ļeva Semenoviča Pontrjagina 100. dzimšanas dienai Tr. MIAN, 268, MAIK, M., 2010, 76–93 [ PDF: angļu , arXiv: 0912.3933 ]
35. A. A. Gaifullin, “Sets of links of vertices of simplecial and cubic manfolds”, 2010 International Conference on Topology and its Applications. Abstracts (Nafpaktos, Grieķija, 2010. gada 26.–30. jūnijs), Mesolonghi tehnoloģiskās izglītības institūts, Nafpaktos, 2010, 101–103
36. A. A. Gaifullins, “Trijstūrveida kolektoru virsotņu saišu kopas un kombinatoriskā pieeja Stīnroda problēmai ciklu realizācijā”, Ģeometrija, topoloģija, algebra un skaitļu teorija, lietojumprogrammas. Starptautiskā konference, kas veltīta B.N. 120. gadadienai. Delone. Abstracts (Maskava, 2010. gada 16.–20. augusts), Mathematical Institute im. V.A. Steklov RAS, Lomonosova Maskavas Valsts universitāte M.V. Lomonosovs, Maskava, 2010-11
37. A. A. Gaifullins, Racionālo Pontrjagina klašu kombinatoriskā aprēķina problēma, Diss. … dok. Fiz.-matemāt. Zinātnes, Matemātikas institūts. V.A. Steklovs, Krievijas Zinātņu akadēmija, Maskava, 2010, 341 lpp.
38. A. A. Gaifullins, “Sarežģītās projekcijas plaknes minimālā triangulācija, kas pieļauj četrdimensiju vienkāršību krāsojumu šaha galdiņā”, Ģeometrija, topoloģija un matemātiskā fizika. II, Rakstu krājums. Par godu akadēmiķa Sergeja Petroviča Novikova 70. dzimšanas dienai Tr. MIAN, 266, MAIK, M., 2009, 33–53 [ PDF: angļu , arXiv: 0904.4222 ]
39. A. A. Gaifullin, “Kombinatorisko kolektoru konstrukcija ar noteiktām virsotņu saišu kopām”, Izv. RAN. Ser. Mat., 72:5 (2008), 3–62 [PDF: angļu, arXiv: 0801.4741]
40. A. A. Gaifullin, “Ciklu realizācija ar asfēriskiem kolektoriem”, Uspekhi Mat. Nauk, 63:3(381) (2008), 157–158 [ PDF: angļu , arXiv: 0806.3580]
41. A. A. Gaifullins, “Izospektrālo simetrisko trīsdiagonālo matricu kopums un ciklu realizācija ar asfēriskiem kolektoriem”, Ģeometrija, topoloģija un matemātiskā fizika. I, Rakstu krājums. Par godu akadēmiķa Sergeja Petroviča Novikova 70. dzimšanas dienai Tr. MIAN, 263, MAIK, M., 2008, 44–63 [“The Manifold of Isospectral Symmetric Tridiagonal Matrices and Realization of Cycles by Aspherical Manifolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 38–56]
42. A. A. Gaifullins, “Lokālās kombinatoriskās formulas Pontrjaginas trīsstūrveida kolektoru klasēm”, Diferenciālvienādojumi un topoloģija: Starptautiskā konference, kas veltīta L.S. dzimšanas 100. gadadienai. Pontrjagins: Referātu kopsavilkumi (Maskava, 2008. gada 17.–22. jūnijs), Maskavas Valsts universitātes VMiK fakultātes Izdevniecības nodaļa. M.V. Lomonosovs, 2008, 16
43. A. A. Gaifullin, Ciklu kombinatoriskā realizācija, Diss. … cand. Fiz.-matemāt. Zinātnes, Maskavas Valsts universitāte. M.V. Lomonosovs, Mehānikas un matemātikas fakultāte, Maskava, 2008, 121 lpp.
44. A. A. Gaifullin, “Izteikta kolektoru konstrukcija, kas realizē dotās homoloģijas klases”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:6(378) (2007), 167–168 [ “Izteikta kolektoru konstrukcija, realizējot noteiktās homoloģijas klases”, krievu matemātika. Aptaujas, 62:6 (2007), 1199–1201]
45. A. A. Gaifullin, P. V. Yagodovskii, “Par m-vērtības dinamikas integrējamību, izmantojot vienas ģenerētas m-vērtības grupas”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:1(373) (2007), 201–202 [ “M-vērtības dinamikas integrējamība, izmantojot vienas ģenerētas m-vērtības grupas”, krievu matemātika. Aptaujas, 62:1 (2007), 181–183]
46. V. M. Buchstaber, A. A. Gaifullin, “M-vērtību grupu attēlojumi kolektoru triangulācijās”, Uspekhi Mat. Nauk, 61:3(369) (2006), 171–172 [“M-vērtību grupu attēlojumi kolektoru triangulācijās”, krievu matemātika. Aptaujas, 61:3 (2006), 560–562]
47. A. A. Gaifullins, “Kolektora raksturīgo klašu aprēķins no tā triangulācijas”, Uspekhi Mat. Nauk, 60:4(364) (2005), 37–66 [ “Kolifona raksturīgo klašu aprēķināšana no tā triangulācijas”, krievu matemātika. Aptaujas, 60:4 (2005), 615–644]
48. A. A. Gaifullins, “Lokālās formulas kombinatoriskām Pontrjagina klasēm”, Izv. RAN. Ser. Mat., 68:5 (2004), 13–66 [ PDF: angļu , arXiv: math/0407035]
49. A. A. Gaifullin, “Par vietējām formulām kombinatoriskām Pontrjagina kolektoru klasēm”, Uspekhi Mat. Nauk, 59:2(356) (2004), 189–190 [ “Par vietējām formulām kombinatoriskām Pontrjagina kolektoru klasēm”, krievu matemātika. Aptaujas, 59:2 (2004), 379–380]
50. A. A. Gaifullin, “Nerves of Coxeter group”, Uspekhi Mat. Nauk, 58:3(351) (2003), 189–190 [“Nerves of Coxeter group”, Russian Math. Aptaujas, 58:3 (2003), 615–616].
51. A.A. Gaifullin, “Par izotopu pinumiem”, Arch. Matemātika. (Bāzele), 81:5 (2003), 596–600
52. A. A. Gaifullin, V. O. Manturovs, “Par bizīšu atpazīšanu”, J. Knot Theory Ramifications, 11:8 (2002), 1193–1209
53. A. A. Gaifullins, “Mezglu projekcijas ar vienu vairāku šķērsenisku paškrustošanās punktu”, Mūsdienu matemātikas un mehānikas pētījumi, Maskavas Valsts universitātes Mehānikas un matemātikas fakultātes jauno zinātnieku konferences materiāli 23, izdevniecība Māja PCI pri mekh.-mat. fak. Maskavas Valsts universitāte, Maskava, 2001, 88.–92. lpp