Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, šie:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

utt...

Taču šiem (un visiem pārējiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas iezīmes. Pirmkārt - jūs neticēsiet - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: visas izteiksmes ar x ir šo pašu funkciju ietvaros. Un tikai tur! Ja kaut kur parādās x ārā, Piemēram, sin2x + 3x = 3, tas būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Šeit mēs tos neuzskatīsim.

Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo lēmums jebkura trigonometriskie vienādojumi sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums ar dažādām transformācijām tiek reducēts uz vienkāršu. Otrajā - šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.

Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)

Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Šeit A apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.

Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kāda veida izteiksme, piemēram:

cos(3x+π /3) = 1/2

utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?

Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs izpētīsim šo ceļu šeit. Otrais veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apskatīts nākamajā nodarbībā.

Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!

Mēs risinām vienādojumus, izmantojot trigonometrisko apli.

Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Vai nevari!? Tomēr... Trigonometrijā tev būs grūti...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana trigonometriskā aplī". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no mācību grāmatām...)

Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli"!? Pieņemiet apsveikumus. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Kas ir īpaši patīkami, trigonometriskais aplis nav svarīgi, kuru vienādojumu jūs atrisināsiet. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss - viņam viss ir vienāds. Risinājuma princips ir vienāds.

Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:

cosx = 0,5

Man jāatrod X. Ja runāt cilvēku valoda, vajag atrodiet leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.

Kā mēs izmantojām apli iepriekš? Uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uz apļa uzzīmējiet kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un nekavējoties redzēsim stūrī. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!

Mēs uzzīmējam apli un atzīmējam kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:

Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Novietojiet peles kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tas pats stūris X.

Kura leņķa kosinuss ir 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Dažs noburkšķēs skeptiski, jā... Saka, vai bija vērts nožogot apli, kad tik un tā viss skaidrs... Var, protams, ņurdēt...) Bet fakts ir tāds, ka tas ir kļūdains atbildi. Pareizāk sakot, neadekvāti. Apļa cienītāji saprot, ka joprojām ir vesela virkne leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.

Ja pagriežat kustīgo pusi OA uz pilnu pagriezienu, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60° + 360° = 420° būs arī mūsu vienādojuma risinājums, jo

Šādu pilnu rotāciju ir bezgalīgi daudz... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tās visas kaut kā jāpieraksta. Visi. Pretējā gadījumā lēmums netiek izskatīts, jā ...)

Matemātika to var izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē pierakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni jaukāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)

π /3 ir tāds pats leņķis kā mēs ieraudzīja uz apļa un noteikts saskaņā ar kosinusu tabulu.

2π ir viens pilns pagrieziens radiānos.

n - tas ir pabeigto skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ±1, ±2, ±3.... un tā tālāk. Kā norādīts īsajā ierakstā:

n∈Z

n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n var izmantot burtus k, m, t utt.

Šis apzīmējums nozīmē, ka varat ņemt jebkuru veselu skaitli n . Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja pievienojat šo skaitli savā atbildē, jūs iegūstat noteiktu leņķi, kas noteikti ir mūsu skarbā vienādojuma risinājums.)

Vai, citiem vārdiem sakot, x \u003d π / 3 ir vienīgā bezgalīgas kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2πn radiāns.

Visi? Nē. Es īpaši stiepju prieku. Lai labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.

Bet ir arī citi leņķi, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5!

Atgriezīsimies pie mūsu attēla, saskaņā ar kuru mēs pierakstījām atbildi. Šeit viņa ir:

Pārvietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka arī dod kosinusu 0,5. Kas, jūsuprāt, ir vienāds? Trijstūri ir vienādi... Jā! Viņš vienāds ar leņķi X , tikai attēlots negatīvā virzienā. Šis ir stūris -X. Bet mēs jau esam aprēķinājuši x. π /3 vai 60°. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:

x 2 \u003d - π / 3

Un, protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti pilnos pagriezienos:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tagad tas ir viss.) Trigonometriskā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) Visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi pierakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde ir divas bezgalīgas sakņu sērijas:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pareizā atbilde.

ceru, vispārējs trigonometrisko vienādojumu risināšanas princips ar apļa palīdzību ir saprotams. Mēs atzīmējam uz apļa kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu) no dots vienādojums, uzzīmējiet tai atbilstošos stūrus un pierakstiet atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, kā jau teicu, šeit ir nepieciešama loģika.)

Piemēram, analizēsim citu trigonometrisko vienādojumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.

Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējam apli, atzīmējam (uz sinusa ass, protams!) 0,5. Mēs uzreiz zīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Mēs iegūstam šo attēlu:

Vispirms tiksim galā ar leņķi. X pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Lieta ir vienkārša:

x \u003d π / 6

Mēs atceramies pilnus pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puse darba ir paveikta. Tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir sarežģītāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris X vienāds ar leņķi X . Tikai tas tiek skaitīts no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei mums ir nepieciešams leņķis, kas pareizi izmērīts no pozitīvās pusass OX, t.i. no 0 grādu leņķa.

Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Mūs interesējošais leņķis (zīmēts zaļā krāsā) būs vienāds ar:

π - x

x mēs to zinām π /6 . Tātad otrais leņķis būs:

π - π /6 = 5π /6

Atkal mēs atgādinām pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja vien jūs, protams, nezināt, kā trigonometriskā riņķī uzzīmēt pieskari un kotangensu.

Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju sinusa un kosinusa tabulas vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tāpēc izlemiet!)

Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds trigonometriskais vienādojums:

Šī kosinusa vērtība kopsavilkuma tabulas Nē. Mēs vēsi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējam apli, atzīmējam 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējam atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam šo attēlu.

Iesākumā mēs saprotam ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Lai zinātu, ar ko x ir vienāds, viņi uzreiz pieraksta atbildi! Mēs nezinām... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika neatstāj savējos bēdās! Viņa šim gadījumam izgudroja loka kosinusus. Nezinu? Velti. Uzziniet. Tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Saskaņā ar šo saiti nav nevienas viltīgas burvestības par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.

Ja jūs zināt, vienkārši sakiet sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3." Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, mēs varam rakstīt:

Mēs atceramies par papildu apgriezieniem un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:

x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Arī otrā sakņu sērija tiek ierakstīta gandrīz automātiski, otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:

x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Un visas lietas! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar risinājumu caur loka kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.

tieši tā! Vispārīgais princips par to un vispārējais! Es speciāli uzzīmēju divus gandrīz identiskus attēlus. Aplis mums parāda leņķi X pēc tā kosinusa. Tas ir tabulas kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds loka kosinuss ir mūsu ziņā.

Ar sinusu tā pati dziesma. Piemēram:

Atkal mēs zīmējam apli, atzīmējam sinusu, kas vienāds ar 1/3, zīmējam stūrus. Izrādās šis attēls:

Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sākam no stūra pirmajā ceturtdaļā. Ar ko x ir vienāds, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!

Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Apskatīsim otro leņķi. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija vienāds ar:

π - x

Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši uzrakstīt otro sakņu iepakojumu:

x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pilnīgi pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)

Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tieši viņš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz sarežģītāki par standarta.

Pielietot zināšanas praksē?

Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:

Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši šajā nodarbībā.

Tagad ir grūtāk.

Padoms: šeit ir jādomā par apli. Personīgi.)

Un tagad ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu sakni no bezgalīga skaita!)

Nu, pavisam vienkārši):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arkosīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka tangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)

Atbildes, protams, ir nesakārtotas):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Vai viss neizdodas? Notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds...) Un seko linkiem. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā - kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Risinot daudzas matemātikas uzdevumi , īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādi uzdevumi ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumi, lineāra un kvadrātu nevienādības, daļvienādojumi un vienādojumi, kas reducējas līdz kvadrātvienādojumiem. Katra no minētā uzdevuma veiksmīgas risināšanas princips ir šāds: jānoskaidro, kādam tipam pieder risināmā problēma, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.

Acīmredzot veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risinājuma posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskas pārvērtības un aprēķinus.

Atšķirīga situācija notiek ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt faktu, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.

Autors izskats vienādojumiem dažreiz ir grūti noteikt tā veidu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, mums jāmēģina:

1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas "vienādos leņķos";
2. vienādojumu pielīdzināt "pašām funkcijām";
3. faktorizēt vienādojuma kreiso pusi utt.

Apsveriet trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem

Risinājuma shēma

1. darbība. izteikt trigonometriskā funkcija caur zināmām sastāvdaļām.

2. darbība Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n loks a + πn, n Є Z.

iedegums x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. darbība Atrodiet nezināmu mainīgo.

Piemērs.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Risinājums.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Mainīga aizstāšana

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet vienādojumu algebriskā formā attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.

2. darbība Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).

3. darbība Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.

4. darbība Veiciet apgrieztu aizstāšanu.

5. darbība Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.

Piemērs.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Risinājums.

1) 2(1 — grēks 2 (x/2)) — 5sin (x/2) — 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vai e = -3/2 neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.

4) grēks (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Vienādojuma secības samazināšanas metode

Risinājuma shēma

1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot jaudas samazināšanas formulas:

grēks 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

iedegums 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.

Piemērs.

cos2x + cos2x = 5/4.

Risinājums.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogēni vienādojumi

Risinājuma shēma

1. darbība. Novietojiet šo vienādojumu formā

a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)

vai uz skatu

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

2. darbība Sadaliet abas vienādojuma puses ar

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

un iegūstiet tg x vienādojumu:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. darbība Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Risinājums.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Ļaujiet tg x = t, tad

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 vai t = -4, tātad

tg x = 1 vai tg x = -4.

No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas

Risinājuma shēma

1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, novietojiet šo vienādojumu vienādojumā, kas atrisināts ar I, II, III, IV metodēm.

2. darbība Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Risinājums.

1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;

No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.

Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Rezultātā x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atbilde: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Spēja un prasmes atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti svarīgi, ka to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.

Ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu ir saistītas daudzas stereometrijas, fizikas u.c. problēmas, kuru risināšanas process it kā satur daudzas no zināšanām un prasmēm, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.

Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas mācīšanas un personības attīstības procesā kopumā.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Reiz es biju liecinieks sarunai starp diviem pretendentiem:

– Kad jāpievieno 2πn, un kad – πn? Es nevaru atcerēties!

- Un man ir tāda pati problēma.

Es gribēju viņiem pateikt: "Nav nepieciešams iegaumēt, bet saprast!"

Šis raksts galvenokārt ir adresēts vidusskolēniem, un es ceru, ka tas palīdzēs viņiem "izprast" visvienkāršākos trigonometriskos vienādojumus:

Skaitļu aplis

Līdzās skaitļu līnijas jēdzienam pastāv arī skaitļa apļa jēdziens. Kā mēs zinām, V taisnstūra sistēma koordinātu aplis, kura centrs ir punktā (0; 0) un rādiuss 1, tiek saukts par vienību. Iedomājieties skaitļa līniju ar plānu pavedienu un aptiniet to ap šo apli: atskaites punktu (punkts 0), pievienojiet to vienības apļa “labajam” punktam, aptiniet pozitīvo pusasi pretēji pulksteņrādītāja virzienam un negatīvo pusasi virzienā ( 1. att.). Šādu vienību apli sauc par skaitļu apli.

Skaitļu apļa īpašības

• Katrs reālais skaitlis atrodas vienā skaitļu apļa punktā.
• Katrā skaitļu apļa punktā ir bezgalīgi daudz reālu skaitļu. Tā kā vienības apļa garums ir 2π, starpība starp jebkuriem diviem skaitļiem vienā apļa punktā ir vienāda ar vienu no skaitļiem ±2π; ±4π; ±6π; …

Secinam: zinot vienu no punkta A skaitļiem, varam atrast visus punkta A skaitļus.

Uzzīmēsim maiņstrāvas diametru (2. att.). Tā kā x_0 ir viens no punkta A skaitļiem, tad skaitļi x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … un tikai tie būs punkta C skaitļi. Izvēlēsimies vienu no šiem skaitļiem, teiksim, x_0+π, un izmantosim to, lai pierakstītu visus punkta C skaitļus: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Ņemiet vērā, ka skaitļus punktos A un C var apvienot vienā formulā: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ja k = 0; ±2; ±4; ... iegūstam skaitļus punkts A un ja k = ±1, ±3, ±5, … ir punkta C skaitļi).

Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no diametra AC punktiem A vai C, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos.

• Divi pretēji skaitļi atrodas apļa punktos, kas ir simetriski pret abscisu asi.

Uzzīmēsim vertikālu hordu AB (2. att.). Tā kā punkti A un B ir simetriski ap Ox asi, tad skaitlis -x_0 atrodas punktā B, un tāpēc visi punkta B skaitļi ir doti pēc formulas: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Punktos A un B skaitļus rakstām ar vienu formulu: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no vertikālās hordas AB punktiem A vai B, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos. Apsveriet horizontālo hordu AD un atrodiet punkta D skaitļus (2. att.). Tā kā BD ir diametrs un skaitlis -x_0 pieder punktam B, tad -x_0 + π ir viens no punkta D skaitļiem un tāpēc visi šī punkta skaitļi ir doti pēc formulas x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Skaitļus punktos A un D var uzrakstīt, izmantojot vienu formulu: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (ja k= 0; ±2; ±4; ... iegūstam punkta A skaitļus, un k = ±1; ±3; ±5; ... - punkta D skaitļus).

Secinam: zinot vienu no skaitļiem vienā no horizontālās hordas AD punktiem A vai D, mēs varam atrast visus skaitļus šajos punktos.

Sešpadsmit galvenie skaitļu apļa punkti

Praksē lielākās daļas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums ir saistīts ar sešpadsmit riņķa punktiem (3. att.). Kas ir šie punkti? Sarkani, zili un zaļi punkti dala apli ar 12 vienādās daļās. Tā kā pusloka garums ir π, tad loka A1A2 garums ir π/2, loka A1B1 garums ir π/6 un loka A1C1 garums ir π/3.

Tagad punktos varam norādīt vienu skaitli:

π/3 uz С1 un

Oranžā kvadrāta virsotnes ir katras ceturtdaļas loku viduspunkti, tāpēc loka A1D1 garums ir vienāds ar π/4, un līdz ar to π/4 ir viens no punkta D1 skaitļiem. Izmantojot skaitļu apļa īpašības, mēs varam pierakstīt visus skaitļus visos mūsu apļa atzīmētajos punktos, izmantojot formulas. Attēlā redzamas arī šo punktu koordinātas (to iegūšanas aprakstu izlaižam).

Uzzinot iepriekš minēto, mums tagad ir pietiekama sagatavošanās īpašu gadījumu risināšanai (deviņām skaitļa vērtībām a) vienkāršākie vienādojumi.

Atrisiniet vienādojumus

1)sinx=1⁄(2).

– Kas no mums tiek prasīts?

– Atrodiet visus tos skaitļus x, kuru sinuss ir 1/2.

Atgādiniet sinusa definīciju: sinx - skaitļa apļa punkta ordināta, uz kuras atrodas skaitlis x. Uz apļa mums ir divi punkti, kuru ordināta ir vienāda ar 1/2. Tie ir horizontālās hordas B1B2 gali. Tas nozīmē, ka prasība “atrisināt vienādojumu sinx=1⁄2” ir līdzvērtīga prasībai “atrast visus skaitļus punktā B1 un visus skaitļus punktā B2”.

2)sinx=-√3⁄2 .

Mums jāatrod visi skaitļi punktos C4 un C3.

3) sinx=1. Uz apļa mums ir tikai viens punkts ar ordinātu 1 - punkts A2, un tāpēc mums jāatrod tikai visi šī punkta skaitļi.

Atbilde: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

Tikai punktam A_4 ir ordināta -1. Visi šī punkta skaitļi būs vienādojuma zirgi.

Atbilde: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

Uz apļa mums ir divi punkti ar ordinātu 0 - punkti A1 un A3. Ciparus var norādīt katram no punktiem atsevišķi, taču, ņemot vērā, ka šie punkti ir diametrāli pretēji, labāk tos apvienot vienā formulā: x=πk ,k∈Z .

Atbilde: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Atcerieties kosinusa definīciju: cosx - skaitliskā apļa punkta abscisa, uz kuras atrodas skaitlis x. Uz apļa mums ir divi punkti ar abscisu √2⁄2 - horizontālās hordas D1D4 gali. Mums ir jāatrod visi skaitļi šajos punktos. Mēs tos pierakstām, apvienojot tos vienā formulā.

Atbilde: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Mums jāatrod skaitļi punktos C_2 un C_3 .

Atbilde: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Tikai punktiem A2 un A4 ir abscisa 0, kas nozīmē, ka visi skaitļi katrā no šiem punktiem būs vienādojuma risinājumi.
.

Sistēmas vienādojuma atrisinājumi ir skaitļi punktos B_3 un B_4. Nevienādība cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Atbilde: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Ņemiet vērā, ka jebkurai pieļaujamai x vērtībai otrais faktors ir pozitīvs, un tāpēc vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai

Sistēmas vienādojuma atrisinājumi ir punktu skaits D_2 un D_3 . Punkta D_2 skaitļi neapmierina nevienādību sinx≤0,5, bet punkta D_3 skaitļi apmierina.

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.

• Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskajiem vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšana.

Trigonometrisko pamatvienādojumu risinājums.

• Ir 4 trigonometrisko pamata vienādojumu veidi:
• sin x = a; cos x = a
• iedegums x = a; ctg x = a
• Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju apskati uz vienības apļa, kā arī konversijas tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
• Piemērs 1. sin x = 0,866. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π/3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tātad atbilde ir uzrakstīta šādi:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• 2. piemērs cos x = -1/2. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• 3. piemērs. tg (x - π/4) = 0.
• Atbilde: x \u003d π / 4 + πn.
• 4. piemērs. ctg 2x = 1,732.
• Atbilde: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanā izmantotās transformācijas.

• Trigonometrisko vienādojumu pārveidošanai tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorēšana, viendabīgu terminu samazināšana u.c.) un trigonometriskās identitātes.
• 5. piemērs. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojumu sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pārvērš vienādojumā 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tādējādi šādi trigonometriskie pamata vienādojumi jāatrisina: cos x = 0; grēks(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Leņķu atrašana no zināmām funkciju vērtībām.

  • Pirms uzzināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, jums jāiemācās atrast leņķus no zināmām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot konvertēšanas tabulu vai kalkulatoru.
  • Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir vienāds ar 0,732.

• Novietojiet šķīdumu uz vienības apļa.

  • Jūs varat ievietot trigonometriskā vienādojuma risinājumus uz vienības apļa. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma atrisinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
  • Piemērs. Risinājumi x = π/3 + πn/2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
  • Piemērs. Risinājumi x = π/4 + πn/3 uz vienības apļa ir regulāra sešstūra virsotnes.

• Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.

  • Ja dotajā trigonometriskajā vienādojumā ir tikai viena trigonometriskā funkcija, atrisiniet šo vienādojumu kā trigonometrisko pamatvienādojumu. Ja dotajā vienādojumā ir iekļautas divas vai vairākas trigonometriskas funkcijas, tad šāda vienādojuma risināšanai ir 2 metodes (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
    • 1. metode
  • Pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) ir trigonometriskie pamatvienādojumi.
  • 6. piemērs. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2*sin x*cos x, nomainiet sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
  • 7. piemērs cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu ar šādu formu: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
  • Piemērs 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
    • 2. metode
  • Pārvērtiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam nomainiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t utt.).
  • 9. piemērs. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Risinājums. Šajā vienādojumā aizstājiet (cos^2 x) ar (1 - sin^2 x) (atbilstoši identitātei). Pārveidotais vienādojums izskatās šādi:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x aizstāj ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas diapazonam (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10. piemērs. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Risinājums. Aizstāt tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, ja t = tg x.

Videokursā "Saņem A" iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila USE uzdevumi 1-13 matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja vēlies eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2. daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.