Risinot, salīdziniet lielumus un daudzumus praktiski uzdevumi bija kopš seniem laikiem. Tajā pašā laikā parādījās tādi vārdi kā vairāk un mazāk, augstāk un zemāk, vieglāk un smagāks, klusāks un skaļāks, lētāks un dārgāks utt., kas apzīmē viendabīgu daudzumu salīdzināšanas rezultātus.

Jēdzieni vairāk un mazāk radās saistībā ar objektu skaitīšanu, lielumu mērīšanu un salīdzināšanu. Piemēram, senās Grieķijas matemātiķi zināja, ka jebkura trijstūra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu un ka trijstūra lielākā mala atrodas pretī lielākajam leņķim. Arhimēds, aprēķinot apļa apkārtmēru, atklāja, ka jebkura apļa perimetrs ir vienāds ar trīskāršu diametru ar pārsniegumu, kas ir mazāks par septīto daļu no diametra, bet vairāk nekā desmit septiņdesmit pirmās no diametra.

Simboliski rakstiet attiecības starp skaitļiem un daudzumiem, izmantojot > un b zīmes. Ieraksti, kuros divus skaitļus savieno viena no zīmēm: > (lielāks par), Jūs arī sastapāties ar skaitliskām nevienādībām pamatklasēs. Jūs zināt, ka nevienlīdzība var būt vai nebūt patiesa. Piemēram, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) ir derīga skaitliskā nevienādība, 0,23 > 0,235 ir nederīga skaitliskā nevienādība.

Nevienlīdzība, kas ietver nezināmo, var būt patiesa attiecībā uz dažām nezināmā vērtībām un nepatiesa attiecībā uz citām. Piemēram, nevienādība 2x+1>5 ir patiesa, ja x = 3, bet nepatiesa, ja x = -3. Nevienādībai ar vienu nezināmo varat uzstādīt uzdevumu: atrisināt nevienlīdzību. Nevienādību risināšanas problēmas praksē tiek izvirzītas un risinātas ne retāk kā vienādojumu risināšanas problēmas. Piemēram, daudzas ekonomiskās problēmas tiek reducētas uz lineāro nevienlīdzību sistēmu izpēti un risināšanu. Daudzās matemātikas nozarēs nevienlīdzības ir biežākas nekā vienādojumi.

Dažas nevienlīdzības kalpo kā vienīgais palīglīdzeklis, lai pierādītu vai atspēkotu noteikta objekta, piemēram, vienādojuma saknes, esamību.

Skaitliskās nevienādības

Vai varat salīdzināt veselus skaitļus? decimāldaļas. Zināt salīdzināšanas noteikumus parastās frakcijas ar vienādiem saucējiem, bet atšķirīgiem skaitītājiem; ar vienādiem skaitītājiem, bet dažādiem saucējiem. Šeit jūs uzzināsit, kā salīdzināt jebkurus divus skaitļus, atrodot to atšķirības zīmi.

Praksē plaši tiek izmantota skaitļu salīdzināšana. Piemēram, ekonomists salīdzina plānotos rādītājus ar faktiskajiem, ārsts salīdzina pacienta temperatūru ar normālo, virpotājs salīdzina mehāniski apstrādātas detaļas izmērus ar standartu. Visos šādos gadījumos daži skaitļi tiek salīdzināti. Skaitļu salīdzināšanas rezultātā rodas skaitliskās nevienādības.

Definīcija. Skaitlis a ir lielāks par skaitli b, ja atšķirība a-b pozitīvs. Skaitlis a mazāks par skaitli b ja starpība a-b ir negatīva.

Ja a ir lielāks par b, tad viņi raksta: a > b; ja a ir mazāks par b, tad viņi raksta: a Tādējādi nevienādība a > b nozīmē, ka starpība a - b ir pozitīva, t.i. a - b > 0. Nevienādība a Jebkuriem diviem skaitļiem a un b no sekojošām trīs relācijām a > b, a = b, a Teorēma. Ja a > b un b > c, tad a > c.

Teorēma. Ja abām nevienādības pusēm pievieno vienu un to pašu skaitli, tad nevienlīdzības zīme nemainās.
Sekas. Jebkuru terminu var pārnest no vienas nevienlīdzības daļas uz citu, mainot šī termina zīmi uz pretējo.

Teorēma. Ja abas nevienlīdzības puses reizina ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme nemainās. Ja abas nevienādības puses reizina ar vienādu negatīvs skaitlis, tad nevienlīdzības zīme tiks apgriezta.
Sekas. Ja abas nevienādības daļas dala ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli, tad nevienādības zīme nemainās. Ja abas nevienlīdzības daļas dala ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.

Jūs zināt, ka skaitliskās vienādības var saskaitīt un reizināt ar terminu. Tālāk jūs uzzināsit, kā veikt līdzīgas darbības ar nevienlīdzību. Praksē bieži tiek izmantota iespēja saskaitīt un reizināt nevienādības. Šīs darbības palīdz atrisināt izteiksmju vērtību novērtēšanas un salīdzināšanas problēmas.

Risinot dažādus uzdevumus, nereti nākas saskaitīt vai reizināt ar terminu nevienādību kreisās un labās daļas. Dažreiz tiek teikts, ka nevienlīdzības tiek pievienotas vai reizinātas. Piemēram, ja tūrists pirmajā dienā nostaigāja vairāk nekā 20 km, bet otrajā dienā vairāk nekā 25 km, tad var apgalvot, ka divās dienās viņš nostaigāja vairāk nekā 45 km. Tāpat, ja taisnstūra garums ir mazāks par 13 cm un platums ir mazāks par 5 cm, tad var apgalvot, ka šī taisnstūra laukums ir mazāks par 65 cm2.

Apsverot šos piemērus, tālāk teorēmas par nevienādību saskaitīšanu un reizināšanu:

Teorēma. Saskaitot vienas zīmes nevienādības, iegūstam tādas pašas zīmes nevienādību: ja a > b un c > d, tad a + c > b + d.

Teorēma. Reizinot vienas un tās pašas zīmes nevienādības, kurām kreisā un labā puse ir pozitīva, iegūst tādas pašas zīmes nevienādību: ja a > b, c > d un a, b, c, d ir pozitīvi skaitļi, tad ac > bd.

Nevienādības ar zīmi > (lielāks par) un 1/2, 3/4 b, c Kopā ar striktajām nevienlīdzības zīmēm > un Tādā pašā veidā nevienādība \(a \geq b \) nozīmē, ka skaitlis a ir lielāks par vai vienāds ar b, t.i., un ne mazāks par b.

Nevienādības, kas satur zīmi \(\geq \) vai zīmi \(\leq \), sauc par nevienlīdzīgām. Piemēram, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nav stingras nevienādības.

Visas stingrās nevienādības īpašības ir spēkā arī nevienādībām. Turklāt, ja stingrām nevienādībām zīmes > tika uzskatītas par pretējām un jūs zināt, ka, lai atrisinātu vairākas lietišķās problēmas, jums ir jāsastāda matemātiskais modelis vienādojuma vai vienādojumu sistēmas veidā. Turklāt jūs uzzināsit, ka daudzu problēmu risināšanas matemātiskie modeļi ir nevienlīdzības ar nezināmajiem. Mēs iepazīstināsim ar nevienlīdzības risināšanas jēdzienu un parādīsim, kā pārbaudīt, vai dotais skaitlis ir konkrētas nevienlīdzības risinājums.

Formu nevienlīdzības
\(ax > b, \quad ax, kur ir a un b dotos skaitļus, un x nav zināms, tiek izsaukts lineārās nevienādības ar vienu nezināmo.

Definīcija. Nevienādības ar vienu nezināmo atrisinājums ir nezināmā vērtība, kurai šī nevienlīdzība pārvēršas patiesā skaitliskā nevienādībā. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast visus tās risinājumus vai konstatēt, ka tādu nav.

Jūs atrisinājāt vienādojumus, samazinot tos līdz vienkāršākajiem vienādojumiem. Tāpat, risinot nevienādības, tās ar īpašību palīdzību mēdz reducēt līdz vienkāršāko nevienādību formā.

Otrās pakāpes nevienādību risinājums ar vienu mainīgo

Formu nevienlīdzības
\(ax^2+bx+c >0 \) un \(ax^2+bx+c kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un tiek izsaukti \(a \neq 0 \). otrās pakāpes nevienādības ar vienu mainīgo.

Nevienlīdzības atrisināšana
\(ax^2+bx+c >0 \) vai \(ax^2+bx+c \) var uzskatīt par tukšumu atrašanu, kur funkcijai \(y= ax^2+bx+c \) ir pozitīva vai negatīvas vērtības Lai to izdarītu, pietiek analizēt, kā funkcijas \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) grafiks atrodas koordinātu plaknē: kur ir vērsti parabolas zari - uz augšu vai uz leju , vai parabola krustojas ar x asi un ja krustojas, tad kādos punktos.

Algoritms otrās pakāpes nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo:
1) atrodiet kvadrāttrīnoma \(ax^2+bx+c\) diskriminantu un noskaidrojiet, vai trinomam ir saknes;
2) ja trinomālam ir saknes, tad atzīmējiet tās uz x ass un caur iezīmētajiem punktiem uzzīmējiet shematisku parabolu, kuras zari ir vērsti uz augšu pie a > 0 vai uz leju pie 0 vai zemāk pie a 3) atrodiet spraugas uz x ass, kurai punktu parabolas atrodas virs x ass (ja tās atrisina nevienādību \(ax^2+bx+c >0 \)) vai zem x ass (ja tās atrisina nevienādību
\(ax^2+bx+c Nevienādību atrisināšana ar intervālu metodi

Apsveriet funkciju
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šīs funkcijas domēns ir visu skaitļu kopa. Funkcijas nulles ir skaitļi -2, 3, 5. Tās sadala funkcijas domēnu intervālos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) un \( (5; +\infty) \)

Noskaidrosim, kādas ir šīs funkcijas pazīmes katrā no norādītajiem intervāliem.

Izteiksme (x + 2) (x - 3) (x - 5) ir trīs faktoru reizinājums. Katra no šiem faktoriem zīme aplūkotajos intervālos ir norādīta tabulā:

Kopumā ļaujiet funkciju dot ar formulu
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x ir mainīgs, un x 1 , x 2 , ..., x n nav vienādi skaitļi. Skaitļi x 1 , x 2 , ..., x n ir funkcijas nulles. Katrā no intervāliem, kuros definīcijas apgabals ir sadalīts ar funkcijas nullēm, funkcijas zīme tiek saglabāta, un, ejot cauri nullei, tās zīme mainās.

Šo īpašību izmanto, lai atrisinātu formas nevienādības
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) kur x 1 , x 2 , ..., x n nav vienādi skaitļi

Apsvērtā metode nevienādību atrisināšanu sauc par intervālu metodi.

Sniegsim piemērus nevienādību risināšanai ar intervālu metodi.

Atrisiniet nevienlīdzību:

\(x(0.5-x)(x+4) Acīmredzot funkcijas f(x) = x(0.5-x)(x+4) nulles ir punkti \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Mēs attēlojam funkcijas nulles uz reālās ass un aprēķinām katra intervāla zīmi:

Izvēlamies tos intervālus, kuros funkcija ir mazāka vai vienāda ar nulli, un pierakstām atbildi.

Atbilde:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kas notika "kvadrātu nevienlīdzība"? Nav jautājums!) Ja ņemat jebkura kvadrātvienādojumu un mainiet tajā esošo zīmi "=" (vienāds) ar jebkuru nevienlīdzības ikonu ( > ≥ < ≤ ≠ ), iegūstam kvadrātisko nevienādību. Piemēram:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

Nu jūs sapratāt...)

Es šeit apzināti saistīju vienādojumus un nevienlīdzības. Fakts ir tāds, ka pirmais solis risināšanā jebkura kvadrātveida nevienlīdzība - Atrisiniet vienādojumu, no kura veidojas šī nevienādība.Šī iemesla dēļ - nespēja atrisināt kvadrātvienādojumus automātiski noved pie pilnīgas nevienlīdzības neveiksmes. Vai mājiens ir skaidrs?) Ja kas, apskatiet, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Tur viss ir sīki aprakstīts. Un šajā nodarbībā mēs tiksim galā ar nevienlīdzību.

Risinājumam gatavai nevienlīdzībai ir šāda forma: pa kreisi - kvadrātveida trinomāls cirvis 2 +bx+c, labajā pusē - nulle. Nevienlīdzības zīme var būt pilnīgi jebkas. Pirmie divi piemēri ir šeit ir gatavi lēmumam. Vēl jāsagatavo trešais piemērs.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Uz mūsu vietnes vietnes youtube kanālu, lai būtu informēts par visām jaunajām video nodarbībām.

Vispirms atcerēsimies grādu pamatformulas un to īpašības.

Skaitļa reizinājums a notiek ar sevi n reizes, mēs varam rakstīt šo izteiksmi kā a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Jauda vai eksponenciālie vienādojumi - tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir pakāpēs (vai eksponentos), un bāze ir skaitlis.

Eksponenciālo vienādojumu piemēri:

Šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze, tas vienmēr atrodas apakšā un mainīgais x grāds vai mērs.

Sniegsim vairāk eksponenciālo vienādojumu piemēru.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?

Ņemsim vienkāršu vienādojumu:

2 x = 2 3

Šādu piemēru var atrisināt pat prātā. Var redzēt, ka x=3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienādas, x vietā jāievieto skaitlis 3.
Tagad apskatīsim, kā šis lēmums jāpieņem:

2 x = 2 3
x = 3

Lai atrisinātu šo vienādojumu, mēs noņēmām tādi paši pamatojumi(tas ir, deuces) un pierakstīja to, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām atbildi, ko meklējām.

Tagad apkoposim mūsu risinājumu.

Algoritms eksponenciālā vienādojuma risināšanai:
1. Nepieciešams pārbaudīt tas pats vai vienādojuma pamati pa labi un pa kreisi. Ja pamatojums nav vienāds, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad pamatnes ir vienādas, pielīdzināt grādu un atrisiniet iegūto jauno vienādojumu.

Tagad atrisināsim dažus piemērus:

Sāksim ar vienkāršu.

Kreisajā un labajā pusē esošās bāzes ir vienādas ar skaitli 2, kas nozīmē, ka mēs varam atmest pamatni un pielīdzināt to pakāpes.

x+2=4 Ir izrādījies vienkāršākais vienādojums.
x=4–2
x=2
Atbilde: x=2

Nākamajā piemērā var redzēt, ka bāzes atšķiras, tās ir 3 un 9.

3 3 x - 9 x + 8 = 0

Sākumā mēs pārnesam deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:

Tagad jums ir jāizveido tās pašas pamatnes. Mēs zinām, ka 9=3 2 . Izmantosim jaudas formulu (a n) m = a nm .

3 3 x \u003d (3 2) x + 8

Mēs iegūstam 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 tagad ir skaidrs, ka pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas un vienādas ar trīs, kas nozīmē, ka mēs varam tās atmest un pielīdzināt grādiem.

3x=2x+16 ieguva vienkāršāko vienādojumu
3x-2x=16
x=16
Atbilde: x=16.

Apskatīsim šādu piemēru:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Pirmkārt, mēs skatāmies uz bāzēm, bāzes ir dažādas divas un četras. Un mums ir jābūt vienādiem. Četrinieku pārveidojam pēc formulas (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Un mēs arī izmantojam vienu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pievienojiet vienādojumam:

2 2 x 2 4 — 10 2 2 x = 24

Mēs esam snieguši piemēru tādi paši pamatojumi. Bet mums traucē citi cipari 10 un 24. Ko ar tiem darīt? Ja paskatās vērīgi, var redzēt, ka kreisajā pusē atkārtojam 2 2x, šeit ir atbilde - mēs varam likt 2 2x no iekavām:

2 2 x (2 4–10) = 24

Aprēķināsim izteiksmi iekavās:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Mēs dalām visu vienādojumu ar 6:

Iedomājieties 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bāzes ir vienādas, izmetiet tās un pielīdziniet grādiem.
2x \u003d 2 izrādījās vienkāršākais vienādojums. Mēs to sadalām ar 2, mēs iegūstam
x = 1
Atbilde: x = 1.

Atrisināsim vienādojumu:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Pārveidosim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsu bāzes ir vienādas, vienādas ar trīs. Šajā piemērā ir skaidrs, ka pirmajam trīskāršam ir pakāpe divreiz (2x) nekā otrajam (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat izlemt aizstāšanas metode. Skaitlis ar mazāko pakāpi tiek aizstāts ar:

Tad 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Mēs aizstājam visus grādus ar x vienādojumā ar t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Mēs saņemam kvadrātvienādojums. Mēs atrisinām, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Atpakaļ uz mainīgo x.

Mēs ņemam t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tas ir,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro, no t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atbilde: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Vietnē varat sadaļā PALĪDZĒT LĒMĒT uzdot interesējošos jautājumus, mēs jums noteikti atbildēsim.

Pievienojieties grupai

Vienkārši sakot, tie ir dārzeņi, kas vārīti ūdenī pēc īpašas receptes. Es apsvēršu divus sākotnējos komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni) un pabeigts rezultāts- borščs. Ģeometriski to var attēlot kā taisnstūri, kurā viena puse apzīmē salātus, otra puse apzīmē ūdeni. Šo divu malu summa apzīmēs boršču. Šāda "boršča" taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni un nekad netiek izmantoti boršča receptēs.

Kā salāti un ūdens matemātikas ziņā pārvēršas borščā? Kā divu segmentu summa var pārvērsties trigonometrijā? Lai to saprastu, mums ir vajadzīgas lineārā leņķa funkcijas.

Matemātikas mācību grāmatās neko neatradīsit par lineārā leņķa funkcijām. Bet bez tiem nevar būt matemātikas. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām, ka tie pastāv, vai ne.

Lineāras leņķiskās funkcijas ir saskaitīšanas likumi. Skatiet, kā algebra pārvēršas ģeometrijā un ģeometrija pārvēršas trigonometrijā.

Vai var iztikt bez lineārām leņķiskām funkcijām? Var, jo matemātiķi joprojām iztiek bez tiem. Matemātiķu viltība slēpjas tajā, ka viņi mums vienmēr stāsta tikai par tām problēmām, kuras paši var atrisināt, un nekad nestāsta par tām problēmām, kuras nevar atrisināt. Skat. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, mēs izmantojam atņemšanu, lai atrastu otru terminu. Visi. Citas problēmas mēs nezinām un nespējam tās atrisināt. Ko darīt, ja zinām tikai saskaitīšanas rezultātu un nezinām abus terminus? Šajā gadījumā saskaitīšanas rezultāts ir jāsadala divos terminos, izmantojot lineārās leņķiskās funkcijas. Tālāk mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķiskās funkcijas parāda, kādam jābūt otrajam terminam, lai pievienošanas rezultāts būtu tieši tāds, kāds mums ir nepieciešams. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgi daudz. IN Ikdiena mēs ļoti labi iztiekam bez summas sadalīšanas, mums pietiek ar atņemšanu. Bet plkst zinātniskie pētījumi dabas likumi, summas sadalīšana terminos var būt ļoti noderīga.

Vēl viens saskaitīšanas likums, par kuru matemātiķiem nepatīk runāt (vēl viens viņu triks), pieprasa, lai terminiem būtu viena un tā pati mērvienība. Salātiem, ūdenim un borščam tās var būt svara, tilpuma, izmaksu vai mērvienības.

Attēlā parādīti divi matemātikas atšķirības līmeņi. Pirmais līmenis ir atšķirības skaitļu laukā, kas ir norādītas a, b, c. To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir mērvienību laukuma atšķirības, kas parādītas kvadrātiekavās un apzīmētas ar burtu U. To dara fiziķi. Varam saprast trešo līmeni – aprakstīto objektu apjoma atšķirības. Dažādiem objektiem var būt vienāds to pašu mērvienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemērā. Ja pievienojam apakšindeksus vienam un tam pašam mērvienību apzīmējumam dažādiem objektiem, mēs varam precīzi pateikt, kurš matemātiskā vērtība apraksta konkrētu objektu un to, kā tas mainās laika gaitā vai saistībā ar mūsu darbībām. vēstule W Es atzīmēšu ūdeni ar burtu S Es atzīmēšu salātus ar burtu B- borščs. Lūk, kā izskatītos boršča lineārā leņķa funkcijas.

Ja paņemsim kādu daļu ūdens un kādu daļu salātu, kopā tie pārtaps vienā boršča porcijā. Šeit es iesaku jums nedaudz atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt zaķus un pīles? Vajadzēja noskaidrot, cik dzīvnieku izrādīsies. Ko tad mums mācīja darīt? Mums mācīja atdalīt vienības no skaitļiem un pievienot skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot jebkuram citam numuram. Tas ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs nesaprotam, ko, nav skaidrs, kāpēc, un mēs ļoti slikti saprotam, kā tas ir saistīts ar realitāti, jo trīs atšķirības līmeņu dēļ matemātiķi darbojas tikai vienā. Pareizāk būs iemācīties pāriet no vienas mērvienības uz citu.

Un zaķus, un pīles, un mazos dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj tos saskaitīt kopā. Šī ir problēmas bērnu versija. Apskatīsim līdzīgu problēmu pieaugušajiem. Ko jūs iegūstat, pievienojot zaķus un naudu? Šeit ir divi iespējamie risinājumi.

Pirmais variants. Nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam pieejamajai skaidrai naudai. Mēs saņēmām mūsu bagātības kopējo vērtību naudas izteiksmē.

Otrais variants. Jūs varat pievienot zaķu skaitu mūsu banknošu skaitam. Kustamās mantas apjomu iegūsim gabalos.

Kā redzat, viens un tas pats pievienošanas likums ļauj iegūt dažādus rezultātus. Tas viss ir atkarīgs no tā, ko tieši mēs vēlamies uzzināt.

Bet atpakaļ pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks ar dažādām lineārā leņķa funkciju leņķa vērtībām.

Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram pagatavot boršču. Arī boršča daudzums ir nulle. Tas nebūt nenozīmē, ka nulle boršča ir vienāda ar nulli ūdens. Nulles borščs var būt arī pie nulles salātiem (taisnā leņķī).

Man personīgi šis ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka . Nulle nemaina numuru, kad to pievieno. Tas ir tāpēc, ka pati pievienošana nav iespējama, ja ir tikai viens termins un trūkst otrā termina. Jūs varat ar to attiecināties kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātiskās darbības ar nulli ir izdomājuši paši matemātiķi, tāpēc atmetiet savu loģiku un stulbi piebāziet matemātiķu izdomātās definīcijas: "dalīt ar nulli nav iespējams", "jebkurš skaitlis reizināts ar nulli vienāds ar nulli" , "aiz nulles punkta" un citas muļķības. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad nebūs jautājumu, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šāds jautājums parasti zaudē nozīmi: kā var uzskatīt skaitli, kas nav skaitlis. . Tas ir tāpat kā jautāt, kādai krāsai piedēvēt neredzamu krāsu. Nulles pievienošana skaitlim ir kā krāsošana ar krāsu, kas neeksistē. Viņi pamāja ar sausu otu un visiem saka, ka "mēs esam krāsojuši". Bet es nedaudz novirzos.

Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet maz ūdens. Rezultātā mēs iegūstam biezu boršču.

Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds daudzums ūdens un salātu. Šis ir ideāls borščs (lai pavāri man piedod, tā ir tikai matemātika).

Leņķis ir lielāks par četrdesmit pieciem grādiem, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un maz salātu. Iegūstiet šķidru boršču.

Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. Par salātiem paliek tikai atmiņas, jo turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas reiz iezīmēja salātus. Mēs nevaram pagatavot boršču. Boršča daudzums ir nulle. Tādā gadījumā turiet un dzeriet ūdeni, kamēr tas ir pieejams)))

Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Es varu šeit pastāstīt citus stāstus, kas šeit būs vairāk nekā piemēroti.

Abiem draugiem bija savas daļas kopējā biznesā. Pēc viena no viņiem slepkavības viss aizgāja uz otru.

Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.

Visi šie stāsti tiek stāstīti matemātikas valodā, izmantojot lineāras leņķiskās funkcijas. Citreiz es jums parādīšu īsta vietašīs funkcijas matemātikas struktūrā. Tikmēr atgriezīsimies pie boršča trigonometrijas un apsvērsim projekcijas.

Sestdien, 26.10.2019

Noskatījos interesantu video par Grandi rinda Viens mīnus viens plus viens mīnus viens - Numberphile. Matemātiķi melo. Viņi savā argumentācijā neveica vienlīdzības pārbaudi.

Tas sasaucas ar manu argumentāciju par .

Apskatīsim tuvāk pazīmes, kas liecina, ka matemātiķi mūs krāpj. Pašā sprieduma sākumā matemātiķi saka, ka secības summa IR ATKARĪGA no tā, vai elementu skaits tajā ir pāra vai nav. Tas ir OBJEKTĪVI KONSTATĒTS FAKTS. Kas notiek tālāk?

Tālāk matemātiķi atņem secību no vienotības. Pie kā tas noved? Tas noved pie secības elementu skaita izmaiņām - pāra skaitlis mainās uz nepāra skaitli, nepāra skaitlis mainās uz pāra skaitli. Galu galā mēs esam pievienojuši secībai vienu elementu, kas vienāds ar vienu. Neskatoties uz visu ārējo līdzību, secība pirms transformācijas nav vienāda ar secību pēc transformācijas. Pat ja mēs runājam par bezgalīgu secību, mums jāatceras, ka bezgalīga secība ar nepāra elementu skaitu nav vienāda ar bezgalīgu secību ar pāra elementu skaitu.

Liekot vienādības zīmi starp divām sekvencēm, kas atšķiras pēc elementu skaita, matemātiķi apgalvo, ka secības summa NAV ATKARĪGA no elementu skaita secībā, kas ir pretrunā ar OBJEKTĪVI NOTEIKTU FAKTU. Papildu argumentācija par bezgalīgas secības summu ir nepatiesa, jo tā balstās uz nepatiesu vienādību.

Ja redzat, ka matemātiķi pierādīšanas gaitā liek iekavas, pārkārto matemātiskās izteiksmes elementus, kaut ko pievieno vai noņem, esiet ļoti uzmanīgi, visticamāk, viņi mēģina jūs maldināt. Tāpat kā kāršu burvēji, matemātiķi novērš jūsu uzmanību ar dažādām izteiksmes manipulācijām, lai galu galā sniegtu nepatiesu rezultātu. Ja jūs nevarat atkārtot kāršu triku, nezinot maldināšanas noslēpumu, tad matemātikā viss ir daudz vienkāršāk: jūs pat neko nenojaušat par maldināšanu, bet gan visu manipulāciju atkārtošanu ar matemātiskā izteiksmeļauj pārliecināt citus par rezultāta pareizību, tāpat kā savulaik pārliecinājies.

Klausītāju jautājums: Un bezgalība (kā elementu skaits secībā S), vai tā ir pāra vai nepāra? Kā jūs varat mainīt paritāti kaut kam, kam nav paritātes?

Bezgalība matemātiķiem ir kā Debesu valstība priesteriem - neviens tur nav bijis, bet visi precīzi zina, kā tur viss darbojas))) Piekrītu, pēc nāves jums būs absolūti vienaldzīgs, vai nodzīvojāt pāra vai nepāra dienu skaitu. , bet ... Pieskaitot tikai vienu dienu jūsu dzīves sākumā, mēs iegūsim pavisam citu cilvēku: viņa uzvārds, vārds un patronim ir pilnīgi vienādi, tikai dzimšanas datums ir pilnīgi atšķirīgs - viņš ir dzimis viens. dienu pirms jums.

Un tagad pie lietas))) Pieņemsim, ka ierobežota secība, kurai ir paritāte, zaudē šo paritāti, dodoties uz bezgalību. Tad arī jebkuram bezgalīgas secības ierobežotam segmentam ir jāzaudē paritāte. Mēs to neievērojam. Tas, ka mēs nevaram droši pateikt, vai elementu skaits bezgalīgā secībā ir pāra vai nepāra, nebūt nenozīmē, ka paritāte ir pazudusi. Paritāte, ja tāda pastāv, nevar bez pēdām pazust bezgalībā, kā kārts asāka piedurknē. Šim gadījumam ir ļoti laba līdzība.

Vai esat kādreiz jautājuši pulkstenī sēdošai dzeguzei, kurā virzienā griežas pulksteņa rādītājs? Viņai bultiņa griežas pretējā virzienā tam, ko mēs saucam par "pulksteņrādītāja virzienu". Tas var izklausīties paradoksāli, bet griešanās virziens ir atkarīgs tikai no tā, no kuras puses mēs novērojam rotāciju. Un tā, mums ir viens ritenis, kas griežas. Mēs nevaram pateikt, kurā virzienā notiek rotācija, jo mēs to varam novērot gan no vienas rotācijas plaknes puses, gan no otras. Mēs varam liecināt tikai par to, ka ir rotācija. Pilnīga analoģija ar bezgalīgas secības paritāti S.

Tagad pievienosim otru rotējošu riteni, kura griešanās plakne ir paralēla pirmā rotējošā riteņa griešanās plaknei. Mēs joprojām nevaram precīzi pateikt, kurā virzienā šie riteņi griežas, taču mēs varam pilnīgi droši pateikt, vai abi riteņi griežas vienā virzienā vai pretējos virzienos. Divu bezgalīgu secību salīdzināšana S Un 1-S, ar matemātikas palīdzību parādīju, ka šīm sekvencēm ir atšķirīga paritāte un vienādības zīmes likšana starp tām ir kļūda. Personīgi es ticu matemātikai, es neuzticos matemātiķiem))) Starp citu, lai pilnībā izprastu bezgalīgu secību transformāciju ģeometriju, ir jāievieš jēdziens "vienlaicīgums". Tas būs jāuzzīmē.

Trešdien, 2019. gada 7. augustā

Noslēdzot sarunu par , mums jāapsver bezgalīga kopa. Ievērots, ka jēdziens "bezgalība" iedarbojas uz matemātiķiem kā boa konstriktors uz trusi. Bezgalības drebošās šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:

Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālu skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgu kopu naturālie skaitļi, aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai vizuāli pierādītu savu lietu, matemātiķi ir nākuši klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņu dejām ar tamburīniem. Būtībā tie visi nonāk pie tā, ka vai nu dažas telpas nav aizņemtas un tajās tiek iekārtoti jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu viedokli par šādiem lēmumiem fantastiska stāsta veidā par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Kad esam atbrīvojuši pirmo viesu istabu, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Laika faktoru, protams, var stulbi ignorēt, bet šis jau būs no kategorijas "likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Infinity Inn ir krogs, kurā vienmēr ir brīvu vietu skaits neatkarīgi no aizņemto istabu skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā gaitenī "apmeklētājiem" ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs gaitenis ar telpām "viesiem". Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Tajā pašā laikā "bezgalīgajai viesnīcai" ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgi daudzās ēkās uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Savukārt matemātiķi nespēj attālināties no banālām ikdienas problēmām: Dievs-Allāhs-Buda vienmēr ir tikai viens, viesnīca ir viena, koridors ir tikai viens. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "izgrūstīt nestumto".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums ir jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu pastāv - viens vai daudzi? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus, dabā skaitļu nav. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Kā domā Daba, pastāstīšu citreiz. Tā kā mēs izgudrojām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu pastāv. Apsveriet abas iespējas, kā tas pienākas īstam zinātniekam.

Pirmais variants. "Lai mums tiek dota" viena naturālu skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienību no jau paņemtā komplekta un atgriezt plauktā. Pēc tam varam paņemt vienību no plaukta un pievienot tam, kas mums palicis. Rezultātā mēs atkal iegūstam bezgalīgu naturālo skaitļu kopu. Visas mūsu manipulācijas varat uzrakstīt šādi:

Es ierakstīju darbības algebriskā sistēma pierakstā un kopu teorijā pieņemtajā apzīmējumu sistēmā, ar detalizētu kopas elementu uzskaitījumu. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Mēs ņemam vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Lūk, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievieno vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā mērīšanas lineāls. Tagad iedomājieties, ka esat pievienojis lineālam vienu centimetru. Šī jau būs cita līnija, kas nav vienāda ar oriģinālu.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet, vai esat uz nepareizas spriešanas ceļa, ko ir nomīdījuši matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas stundas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam pievieno mums prāta spējas (vai otrādi, atņem brīvu domāšanu).

pozg.ru

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es rakstīju pēcrakstu rakstam par un redzēju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagāts teorētiskā bāze Babilonijas matemātikai nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu metožu kopumam, bez kopējā sistēma un pierādījumu bāzi.

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir vāji skatīties uz mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgajai teorētiskajai bāzei nav holistiska rakstura, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un konvencijas, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es gribu veltīt veselu publikāciju ciklu mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apsveriet piemēru.

Lai mums būtu daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šis komplekts ir veidots uz "cilvēku" bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus caur burtu A, apakšindekss ar skaitli norādīs katras personas kārtas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "seksuālā pazīme" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A par dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu kopa “cilvēki” tagad ir kļuvusi par “cilvēku ar dzimumu” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw dzimuma īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm, nav svarīgi, kurš no tiem ir vīrietis vai sieviete. Ja tas ir cilvēkā, tad mēs to reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, mēs to reizinām ar nulli. Un tad pielietojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas noticis.

Pēc reizināšanas, samazinājumiem un pārkārtojumiem mēs ieguvām divas apakškopas: vīriešu apakškopu bm un sieviešu apakškopa bw. Apmēram tāpat, kā spriež matemātiķi, pielietojot kopu teoriju praksē. Bet viņi neļauj mums iedziļināties detaļās, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudz cilvēku sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums, cik pareizi pielietota matemātika iepriekšminētajās transformācijās? Uzdrošinos apliecināt, ka patiesībā transformācijas tiek veiktas pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas sadaļu matemātisko pamatojumu. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, ir iespējams apvienot divas kopas vienā superkopā, izvēloties mērvienību, kas ir šo divu kopu elementos.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātni. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi darīja to pašu, ko kādreiz darīja šamaņi. Tikai šamaņi prot "pareizi" pielietot savas "zināšanas". Šīs "zināšanas" viņi mums māca.

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē
Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk par bruņurupuci un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Laikā, kurā Ahillejs noskrien šo distanci, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Gilberts... Viņi visi vienā vai otrā veidā uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību... matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no vērtības uz. Šī pāreja nozīmē konstantu piemērošanu. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību pielietošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijai. Mūsu ierastās loģikas pielietojums ieved mūs slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, piemērojam konstantas laika vienības abpusējai vērtībai. No fiziskā viedokļa izskatās, ka laiks palēninās un pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja pagriežam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais tā ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri apsteigs bruņurupuci."

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vērtībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, bet bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļus priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tā nav pilnīgs risinājums Problēmas. Einšteina izteikums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums ir jāmeklē ne bezgalīgi lieli skaitļi, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī lidojošā bultiņa atpūšas dažādos telpas punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču tās nevar izmantot attāluma noteikšanai. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs). Uz ko es vēlos koncentrēties Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Es parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies "sarkana cieta pūtīte" - tas ir mūsu "veselums". Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam izvēlamies daļu no "veseluma" un veidojam komplektu "ar loku". Šādi šamaņi baro sevi, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad veiksim nelielu triku. Ņemsim "cieti pūtī ar banti" un apvienosim šos "veselu" pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad kutelīgs jautājums: vai saņemtie komplekti "ar banti" un "sarkani" ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, viņi paši neko nezina, bet kā saka, tā arī ir.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets pimply ar banti". Veidošana notika pēc četrām dažādām mērvienībām: krāsa (sarkana), stiprums (stingrs), raupjums (izciļņā), dekorācijas (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Lūk, kā tas izskatās.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Iekavās ir izceltas mērvienības, saskaņā ar kurām sākotnējā posmā tiek piešķirts "veselais". Mērvienība, pēc kuras tiek veidota komplektācija, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam vienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīniem. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, argumentējot to ar “acīmredzamību”, jo mērvienības nav iekļautas viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Ar mērvienību palīdzību ir ļoti viegli izjaukt vienu vai apvienot vairākus komplektus vienā superkomplektā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.