Trigonometriskās identitātes- tās ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu, kas ļauj atrast jebkuru no šīm funkcijām, ja ir zināma jebkura cita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Šī identitāte saka, ka viena leņķa sinusa kvadrāta un viena leņķa kosinusa kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas praksē ļauj aprēķināt viena leņķa sinusu, ja ir zināms tā kosinuss un otrādi. .
Konvertējot trigonometriskās izteiksmesĻoti bieži tiek izmantota šī identitāte, kas ļauj viena leņķa kosinusa un sinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu un arī veikt aizstāšanas darbību apgrieztā secībā.
Pieskares un kotangences atrašana, izmantojot sinusu un kosinusu
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šīs identitātes veidojas no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām. Galu galā, ja paskatās uz to, tad pēc definīcijas ordināta y ir sinusa, bet abscisa x ir kosinuss. Tad tangenss būs vienāds ar attiecību \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), un attiecība \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- būs kotangenss.
Piebildīsim, ka tikai tādiem leņķiem \alpha, pie kuriem tajos iekļautajām trigonometriskajām funkcijām ir jēga, identitātes būs spēkā, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Piemēram: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ir derīga leņķiem \alpha, kas atšķiras no \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- leņķim \alpha, kas nav \pi z, z ir vesels skaitlis.
Attiecības starp tangensu un kotangensu
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Šī identitāte ir derīga tikai leņķiem \alpha, kas atšķiras no \frac(\pi)(2) z. Pretējā gadījumā kotangenss vai tangenss netiks noteikts.
Pamatojoties uz iepriekš minētajiem punktiem, mēs to iegūstam tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). No tā izriet, ka tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tādējādi tā paša leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir savstarpēji apgriezti skaitļi.
Attiecības starp tangensu un kosinusu, kotangensu un sinusu
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- leņķa \alpha un 1 pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar šī leņķa kosinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga visiem \alpha, izņemot \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 un leņķa \alpha kotangensa kvadrāta summa ir vienāda ar dotā leņķa sinusa apgriezto kvadrātu. Šī identitāte ir derīga jebkurai \alpha, kas atšķiras no \pi z.
Piemēri ar problēmu risinājumiem, izmantojot trigonometriskās identitātes
1. piemērs
Atrodiet \sin \alpha un tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rādīt risinājumu
Risinājums
Funkcijas \sin \alpha un \cos \alpha ir saistītas ar formulu \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Aizstāšana ar šo formulu \cos \alpha = -\frac12, mēs iegūstam:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Šim vienādojumam ir 2 risinājumi:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturtdaļā sinuss ir pozitīvs, tātad \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Lai atrastu tan \alpha, mēs izmantojam formulu tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2. piemērs
Atrodiet \cos \alpha un ctg \alpha if un \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rādīt risinājumu
Risinājums
Aizstāšana formulā \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dotais numurs \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saņemam \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Šim vienādojumam ir divi risinājumi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pēc nosacījuma \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Otrajā ceturksnī kosinuss ir negatīvs, tātad \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Lai atrastu ctg \alpha , mēs izmantojam formulu ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mēs zinām atbilstošās vērtības.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Jēdzieni sinuss (), kosinuss (), tangenss (), kotangenss () ir nesaraujami saistīti ar leņķa jēdzienu. Lai labi izprastu šos, no pirmā acu uzmetiena sarežģītos jēdzienus (kas rada šausmu stāvokli daudzos skolēnus), un lai pārliecinātos, ka "velns nav tik briesmīgs, kā tas ir uzgleznots", sāksim no sākumā un saprot leņķa jēdzienu.
Leņķa jēdziens: radiāns, grāds
Apskatīsim attēlu. Vektors ir “pagriezies” attiecībā pret punktu par noteiktu summu. Tātad šīs rotācijas mērs attiecībā pret sākotnējo stāvokli būs stūrī.
Kas vēl jums jāzina par leņķa jēdzienu? Nu, protams, leņķa mērvienības!
Leņķi gan ģeometrijā, gan trigonometrijā var izmērīt grādos un radiānos.
Leņķis (viens grāds) ir centrālais leņķis aplī, ko aptver apļveida loks, kas vienāds ar apļa daļu. Tādējādi viss aplis sastāv no apļveida loku “gabaliem”, vai arī apļa aprakstītais leņķis ir vienāds.
Tas nozīmē, ka attēlā redzams leņķis, kas vienāds ar, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loka apkārtmēra lielumu.
Leņķis radiānos ir centrālais leņķis aplī, ko aptver apļveida loks, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. Nu, vai tu to izdomāji? Ja nē, tad izdomāsim to no zīmējuma.
Tātad attēlā parādīts leņķis, kas vienāds ar radiānu, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loku, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu (garums ir vienāds ar garumu vai rādiusu vienāds ar garumu loki). Tādējādi loka garumu aprēķina pēc formulas:
Kur ir centrālais leņķis radiānos.
Nu, vai, zinot to, vai varat atbildēt, cik radiānu satur apļa aprakstītais leņķis? Jā, šim nolūkam ir jāatceras apkārtmēra formula. Šeit viņa ir:
Tagad salīdzināsim šīs divas formulas un noskaidrosim, ka apļa aprakstītais leņķis ir vienāds. Tas ir, korelējot vērtību grādos un radiānos, mēs to iegūstam. Attiecīgi,. Kā redzat, atšķirībā no "grādiem", vārds "radiāns" ir izlaists, jo mērvienība parasti ir skaidra no konteksta.
Cik radiānu ir? Pareizi!
Sapratu? Pēc tam turpiniet un izlabojiet to:
Vai jums ir grūtības? Tad paskaties atbildes:
Taisns trīsstūris: sinuss, kosinuss, tangenss, leņķa kotangenss
Tātad, mēs izdomājām leņķa jēdzienu. Bet kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mums palīdzēs taisnleņķa trīsstūris.
Kā sauc malas? taisnleņķa trīsstūris? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir tā puse, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (mūsu piemērā tā ir puse); kājas ir divas atlikušās puses un (tās, kas atrodas blakus pareizā leņķī), un, ja ņemam vērā kājas attiecībā pret leņķi, tad kāja ir blakus esošā kāja, un kāja ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Leņķa sinuss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa tangenss- tā ir pretējās (tālās) puses attiecība pret blakus esošo (tuvu).
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).
Mūsu trīsstūrī.
Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, kurā kājā kurā sadalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskares Un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa Un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:
Kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;
Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.
Pirmkārt, jāatceras, ka sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Neticu? Pēc tam pārliecinieties, apskatot attēlu:
Apsveriet, piemēram, leņķa kosinusu. Pēc definīcijas no trijstūra: , bet mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu no trijstūra: . Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.
Ja jūs saprotat definīcijas, tad uz priekšu un konsolidējiet tās!
Tālāk attēlā redzamajam trīsstūrim mēs atrodam.
Nu, vai tu saprati? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim.
Vienības (trigonometriskais) aplis
Izprotot grādu un radiānu jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar. Tādu apli sauc viens. Tas būs ļoti noderīgi, studējot trigonometriju. Tāpēc apskatīsim to nedaudz sīkāk.
Kā redzat, šis aplis ir konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, savukārt apļa centrs atrodas koordinātu sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta gar ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).
Katrs apļa punkts atbilst diviem cipariem: ass koordinātei un ass koordinātei. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar aplūkojamo tēmu? Lai to izdarītu, mums jāatceras par aplūkoto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.
Ar ko ir vienāds trīsstūris? Pareizi. Turklāt mēs zinām, ka tas ir vienības apļa rādiuss, kas nozīmē . Aizstāsim šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:
Ar ko ir vienāds trīsstūris? Nu protams,! Aizstājiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:
Tātad, vai varat pateikt, kādas koordinātas ir punktam, kas pieder pie apļa? Nu, nekādā gadījumā? Ko darīt, ja jūs to saprotat un esat tikai skaitļi? Kurai koordinātai tā atbilst? Nu, protams, koordinātas! Un kādai koordinātei tas atbilst? Tieši tā, koordinātes! Tādējādi punkts.
Kas tad ir un ir vienādi? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim, a.
Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Piemēram, kā šajā attēlā:
Kas šajā piemērā ir mainījies? Izdomāsim. Lai to izdarītu, atkal pagriezīsimies uz taisnleņķa trīsstūri. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri: leņķis (kā blakus leņķim). Kādas ir leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensas vērtības? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās definīcijas trigonometriskās funkcijas:
Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinusa vērtība - koordināte; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības attiecas uz jebkuru rādiusa vektora rotāciju.
Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir gar ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, jūs arī iegūsit noteiktas vērtības leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.
Tātad, mēs zinām, ka vesels rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir vai. Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru uz vai uz? Nu, protams, ka vari! Tāpēc pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā vai.
Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā vai.
Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar vai (kur ir jebkurš vesels skaitlis), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.
Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu vai (kur ir vesels skaitlis)
Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, kādas ir vērtības:
Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:
Vai jums ir grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:
No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: leņķis pie atbilst punktam ar koordinātām, tāpēc:
Neeksistē;
Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs noskaidrojam, ka stūri atbilst attiecīgi punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats un pēc tam pārbaudiet atbildes.
Atbildes:
Neeksistē
Neeksistē
Neeksistē
Neeksistē
Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:
Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:
Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un, kas norādītas zemāk esošajā tabulā, jāatceras:
Nebaidieties, tagad mēs jums parādīsim vienu piemēru diezgan vienkārši atcerēties atbilstošās vērtības:
Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem (), kā arī leņķa pieskares vērtību. Zinot šīs vērtības, ir diezgan vienkārši atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:
Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs " " atbildīs un saucējs " " atbildīs. Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā norādītajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks atcerēties visas vērtības no tabulas.
Apļa punkta koordinātas
Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?
Nu, protams, ka vari! Dabūsim to ārā vispārīga formula punkta koordinātu atrašanai.
Piemēram, šeit ir aplis mūsu priekšā:
Mums ir dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu par grādiem.
Kā redzams attēlā, punkta koordināte atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātei, tas ir, tas ir vienāds. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:
Tad mums tas ir punkta koordinātei.
Izmantojot to pašu loģiku, mēs atrodam punkta y koordinātu vērtību. Tādējādi
Tātad, iekšā vispārējs skats punktu koordinātas nosaka pēc formulas:
Apļa centra koordinātas,
Apļa rādiuss,
Vektora rādiusa griešanās leņķis.
Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir vienādas ar nulli un rādiuss ir vienāds ar vienu:
Nu, izmēģināsim šīs formulas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?
1. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
2. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
3. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
4. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.
5. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.
Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?
Atrisiniet šos piecus piemērus (vai mācieties tos atrisināt), un jūs iemācīsities tos atrast!
1.
To var pamanīt. Bet mēs zinām, kas atbilst pilnīgai sākuma punkta apvērsumam. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:
2. Vienības aplis ir centrēts punktā, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:
To var pamanīt. Mēs zinām, kas atbilst diviem pilniem sākuma punkta apgriezieniem. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:
Sinuss un kosinuss ir tabulas vērtības. Mēs atceramies to nozīmi un iegūstam:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
3. Vienības aplis ir centrēts punktā, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:
To var pamanīt. Attēlosim attiecīgo piemēru attēlā:
Rādiuss veido leņķus, kas vienādi ar asi un ar to. Zinot, ka kosinusa un sinusa tabulas vērtības ir vienādas, un konstatējot, ka kosinusam šeit ir negatīva vērtība, bet sinusam ir pozitīva vērtība, mēs iegūstam:
Šādi piemēri tiek apspriesti sīkāk, pētot trigonometrisko funkciju samazināšanas formulas tēmā.
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
4.
Vektora rādiusa griešanās leņķis (pēc nosacījuma)
Lai noteiktu atbilstošās sinusa un kosinusa zīmes, mēs izveidojam vienības apli un leņķi:
Kā redzat, vērtība, tas ir, ir pozitīva, un vērtība, tas ir, ir negatīva. Zinot atbilstošo trigonometrisko funkciju tabulas vērtības, mēs iegūstam, ka:
Aizstāsim iegūtās vērtības mūsu formulā un atradīsim koordinātas:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
5. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulas vispārīgā formā, kur
Apļa centra koordinātas (mūsu piemērā
Apļa rādiuss (pēc nosacījuma)
Vektora rādiusa griešanās leņķis (pēc nosacījuma).
Aizstāsim visas vērtības formulā un iegūsim:
un - tabulas vērtības. Atcerēsimies un ievietojiet tos formulā:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa tangenss ir pretējās (tālās) malas un blakus esošās (tuvās) puses attiecība.
Leņķa kotangenss ir blakus esošās (tuvās) puses attiecība pret pretējo (tālo) pusi.
Mēs sāksim trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī tangenss un kotangenss akūts leņķis. Šie ir trigonometrijas pamati.
Atgādināsim jums to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse pagriezta leņķa.
Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.
Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupis" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)
Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Taisns leņķis parasti tiek apzīmēts ar . Lūdzu, ņemiet vērā, ka stūrim pretējā puse ir norādīta ar to pašu burtu, tikai mazu. Tādējādi sānu pretējais leņķis A ir apzīmēts .
Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.
Hipotenūza taisnleņķa trīsstūra ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.
Kājas- malas, kas atrodas pretī akūtiem leņķiem.
Kāju, kas atrodas pretī leņķim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā no leņķa pusēm, sauc blakus.
Sinus Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās malas attiecība pret blakus esošo:
Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās malas attiecība pret pretējo (vai, kas ir tāda pati, kosinusa un sinusa attiecība):
Ņemiet vērā pamata sakarības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa tālāk. Tie mums noderēs, risinot problēmas.
Pierādīsim dažus no tiem.
Labi, mēs esam devuši definīcijas un pierakstījuši formulas. Bet kāpēc mums joprojām ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir vienāda ar.
Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .
Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot taisnleņķa trīsstūra abas malas, jūs varat atrast trešo. Tas nozīmē, ka leņķiem ir sava attiecība, un sāniem ir sava. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno leņķi) un viena mala, bet jāatrod pārējās malas?
Ar to agrāk saskārās cilvēki, veidojot apgabala un zvaigžņoto debesu kartes. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.
Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī trigonometriskā leņķa funkcijas- dot attiecības starp ballītēm Un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, jūs varat atrast visas tā trigonometriskās funkcijas, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.
Mēs arī uzzīmēsim sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta vērtību tabulu “labiem” leņķiem no līdz.
Lūdzu, ņemiet vērā divas sarkanās domuzīmes tabulā. Pie atbilstošām leņķa vērtībām tangenses un kotangenses nepastāv.
Apskatīsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.
1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.
Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.
Tāpēc ka , .
2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.
Atradīsim to, izmantojot Pitagora teorēmu.
Problēma ir atrisināta.
Bieži vien problēmās ir trijstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un. Atceries viņiem pamatattiecības no galvas!
Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.
Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.
Mēs apskatījām taisnleņķa trīsstūru risināšanas problēmas - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanu. Bet tas vēl nav viss! IN Vienotā valsts eksāmena iespējas matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.
Atsauces dati pieskarei (tg x) un kotangensei (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.
Ģeometriskā definīcija
|BD| - apļa loka garums, kura centrs atrodas punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.
Pieskares ( iedegums α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .
Kotangenss ( ctg α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .
Pieskares
Kur n- vesels.
Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:
.
;
;
.
Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x
Kotangenss
Kur n- vesels.
Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:
;
;
.
Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x
Pieskares un kotangences īpašības
Periodiskums
Funkcijas y = tg x un y = ctg x ir periodiski ar periodu π.
Paritāte
Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra.
Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās
Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Darbības joma un nepārtrauktība | ||
| Vērtību diapazons | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Pieaug | - | |
| Dilstoša | - | |
| Ekstrēmi | - | - |
| Nulles, y = 0 | ||
| Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0 | y = 0 | - |
Formulas
Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu
;
;
;
;
;
Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības
Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt
Pieskares reizinājums
Pieskares summas un starpības formula
Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām. 
Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas
;
;
Atvasinājumi
; .
.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Pieskares atvasināšanas formulas > > > ; kotangensam >>>
Integrāļi
Sērijas paplašinājumi
Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, funkciju pakāpju virknē jāņem vairāki izplešanās termini. grēks x Un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā, . Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas.
plkst.
plkst.
Kur Bn- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
Kur.
Vai saskaņā ar Laplasa formulu: 
Apgrieztās funkcijas
Apgrieztās funkcijas pieskarei un kotangensam ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.
Arktangents, arktg
, Kur n- vesels.
Arccotangent, arcctg
, Kur n- vesels.
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem, 2012. gads.
Ir dotas attiecības starp trigonometriskajām pamatfunkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj samazināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.
Šajā rakstā mēs secībā uzskaitīsim visus galvenos trigonometriskās formulas, kas ir pietiekami, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim pēc mērķa un ievadīsim tabulās.
Lapas navigācija.
Pamata trigonometriskās identitātes
Pamata trigonometriskās identitātes definēt attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas, kā arī no vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju ar jebkuru citu.
Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasinājumu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.
Samazināšanas formulas
Samazināšanas formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.
Šo formulu pamatojums ir mnemoniskais likums lai tos atcerētos, un to izmantošanas piemērus var izpētīt rakstā.
Papildināšanas formulas
Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis
Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana ir balstīta uz saskaitīšanas formulām.
Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis
Pusleņķa formulas
Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.
To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.
Pakāpju samazināšanas formulas
Trigonometriskās formulas grādu samazināšanai ir izstrādāti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.
Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai
Galvenais mērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas ir pāriet uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī risināšanā trigonometriskie vienādojumi, jo tie ļauj faktorizēt sinusu un kosinusu summu un starpību.
Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma
Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.
Autortiesības pieder gudriem studentiem
Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Nevienu www.vietnes daļu, ieskaitot iekšējos materiālus un izskatu, nedrīkst reproducēt vai izmantot bez iepriekšējas rakstiskas autortiesību īpašnieka atļaujas.
