Diez vai vismaz gads mūsu redakcijas dzīvē pagāja, nesaņemot labu duci Fermā teorēmas pierādījumu. Tagad pēc “uzvaras” pār to straume ir norimusies, bet nav izsīkusi.

Protams, lai neizžūtu līdz galam, publicējam šo rakstu. Un ne jau savā aizstāvībā – par to, saka, tāpēc arī klusējām, paši vēl neesam nobrieduši apspriest tik sarežģītas problēmas.

Bet, ja raksts tiešām šķiet sarežģīts, paskatieties uzreiz tā beigas. Būs jājūt, ka kaislības uz laiku norimušas, zinātne nav beigusies, un drīzumā redakcijai tiks sūtīti jauni jaunu teorēmu pierādījumi.

Šķiet, ka 20. gadsimts nebija veltīgs. Pirmkārt, cilvēki uz brīdi radīja otru Sauli, detonējot ūdeņraža bumbu. Tad viņi gāja pa Mēnesi un beidzot pierādīja bēdīgi slaveno Fermā teorēmu. No šiem trim brīnumiem pirmie divi ir visiem uz lūpām, jo ​​tiem ir bijušas milzīgas sociālās sekas. Gluži pretēji, trešais brīnums izskatās kā cita zinātniska rotaļlieta - līdzvērtīga relativitātes teorijai, kvantu mehānika un Gēdeļa teorēma par aritmētikas nepabeigtību. Tomēr relativitāte un kvanti noveda fiziķus pie tā ūdeņraža bumba, un matemātiķu pētījumi piepildīja mūsu pasauli ar datoriem. Vai šī brīnumu virkne turpināsies arī 21. gadsimtā? Vai ir iespējams izsekot saiknei starp nākamajām zinātniskajām rotaļlietām un revolūcijām mūsu ikdienā? Vai šī saikne ļauj mums veikt veiksmīgas prognozes? Mēģināsim to saprast, izmantojot Fermā teorēmas piemēru.

Iesākumā atzīmēsim, ka viņa piedzima daudz vēlāk par savu dabisko termiņu. Galu galā pirmais īpašais Fermā teorēmas gadījums ir Pitagora vienādojums X 2 + Y 2 = Z 2 , kas attiecas uz taisnleņķa trijstūra malu garumiem. Pierādījis šo formulu pirms divdesmit pieciem gadsimtiem, Pitagors uzreiz sev uzdeva jautājumu: vai dabā ir daudz trijstūri, kuros gan kājiņām, gan hipotenūzai ir vesels skaitlis? Šķiet, ka ēģiptieši zināja tikai vienu šādu trīsstūri - ar malām (3, 4, 5). Bet nav grūti atrast citas iespējas: piemēram (5, 12, 13) , (7, 24, 25) vai (8, 15, 17) . Visos šajos gadījumos hipotenūzas garumam ir forma (A 2 + B 2), kur A un B ir dažādas paritātes pirmskaitļi. Šajā gadījumā kāju garumi ir vienādi ar (A 2 - B 2) un 2AB.

Pamanot šīs attiecības, Pitagors viegli pierādīja, ka jebkurš skaitļu trīskāršs (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) ir vienādojuma X 2 + Y 2 \u003d Z risinājums. 2 un iestata taisnstūri ar savstarpēji vienkāršiem malu garumiem. Ir arī redzams, ka dažādu šāda veida trīskāršu skaits ir bezgalīgs. Bet vai visiem Pitagora vienādojuma risinājumiem ir šāda forma? Pitagors nespēja pierādīt vai atspēkot šādu hipotēzi un atstāja šo problēmu pēcnācējiem, nepievēršot tai uzmanību. Kurš vēlas izcelt savas neveiksmes? Šķiet, ka pēc tam veselu taisnleņķa trīsstūru problēma bija aizmirstībā septiņus gadsimtus – līdz Aleksandrijā parādījās jauns matemātikas ģēnijs vārdā Diofants.

Mēs par viņu maz zinām, taču ir skaidrs, ka viņš nebija līdzīgs Pitagoram. Viņš jutās kā karalis ģeometrijā un pat ārpus tās — gan mūzikā, gan astronomijā vai politikā. Pirmais aritmētiskais savienojums starp harmoniskas arfas malu garumiem, pirmais Visuma modelis no koncentriskām sfērām, kas nes planētas un zvaigznes, ar Zemi centrā, un visbeidzot, pirmā zinātnieku republika Itālijas pilsētā Krotonē. - tie ir Pitagora personīgie sasniegumi. Ko pret šādiem panākumiem varētu iebilst Diofants – pieticīgais lielā muzeja pētnieks, kas jau sen vairs nav pilsētas pūļa lepnums?

Tikai viena lieta: labāka izpratne senā pasaule skaitļi, kuru likumus Pitagors, Eiklīds un Arhimēds tik tikko paguva izjust. Ņemiet vērā, ka Diofantam vēl nepiederēja pozicionālo apzīmējumu sistēma lieli skaitļi bet viņš zināja ko negatīvi skaitļi un, iespējams, pavadīja daudzas stundas, domājot par to, kāpēc divu negatīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs. Veselo skaitļu pasaule vispirms tika atklāta Diofantam kā īpašs Visums, kas atšķiras no zvaigžņu, segmentu vai daudzskaldņu pasaules. Zinātnieku pamatnodarbošanās šajā pasaulē ir vienādojumu risināšana, īsts meistars atrod visus iespējamos risinājumus un pierāda, ka citu risinājumu nav. To izdarīja Diofants kvadrātvienādojums Pitagors, un tad viņš domāja: vai vismaz vienam risinājumam ir līdzīgs kubiskais vienādojums X 3 + Y 3 = Z 3?

Diofantam neizdevās atrast šādu risinājumu, viņa mēģinājums pierādīt, ka risinājumu nav, arī bija neveiksmīgs. Tāpēc, sastādot sava darba rezultātus grāmatā "Aritmētika" (tā bija pasaulē pirmā skaitļu teorijas mācību grāmata), Diofants sīki analizēja Pitagora vienādojumu, bet ne vārda nesniedza mājienu par šī vienādojuma iespējamiem vispārinājumiem. Bet viņš varēja: galu galā tieši Diofants pirmais ierosināja apzīmējumu veselu skaitļu pakāpēm! Bet diemžēl jēdziens “uzdevumu grāmata” bija svešs Grieķijas zinātnei un pedagoģijai, un neatrisināto problēmu sarakstu publicēšana tika uzskatīta par nepiedienīgu nodarbošanos (tikai Sokrats rīkojās citādi). Ja nevari atrisināt problēmu - klusē! Diofants apklusa, un šis klusums ievilkās četrpadsmit gadsimtus – līdz Jaunā laika sākumam, kad atdzima interese par cilvēka domāšanas procesu.

Kurš 16.-17.gadsimtu mijā ne par ko nefantazēja! Nenogurdināmais kalkulators Keplers mēģināja uzminēt saistību starp attālumiem no Saules līdz planētām. Pitagoram neizdevās. Keplera panākumus guva pēc tam, kad viņš iemācījās integrēt polinomus un citas vienkāršas funkcijas. Gluži pretēji, sapņotājam Dekartam nepatika ilgi aprēķini, bet tieši viņš vispirms visus plaknes vai telpas punktus uzrādīja kā skaitļu kopas. Šis drosmīgais modelis reducē jebkuru ģeometrisku problēmu par skaitļiem uz kādu algebrisku problēmu par vienādojumiem - un otrādi. Piemēram, Pitagora vienādojuma veseli skaitļu risinājumi atbilst veseliem skaitļu punktiem uz konusa virsmas. Virsma, kas atbilst kubiskajam vienādojumam X 3 + Y 3 = Z 3, izskatās sarežģītāka, tās ģeometriskās īpašības Pjēram Fermā neko neliecināja, un viņam bija jābruģē jauni ceļi cauri veseliem skaitļiem.

1636. gadā Diofanta grāmata, kas tikko tulkota latīņu valodā no grieķu oriģināla, nokļuva jauna jurista no Tulūzas rokās, nejauši izdzīvojot kādā bizantiešu arhīvā un atveda uz Itāliju viens no romiešu bēgļiem turku laikā. sagraut. Lasot elegantu diskusiju par Pitagora vienādojumu, Fermā domāja: vai ir iespējams atrast šādu risinājumu, kas sastāv no trim kvadrātskaitļiem? Šāda veida skaitļi nav mazi: to ir viegli pārbaudīt uzskaitot. Kā ar lieliem lēmumiem? Bez datora Fermat nevarēja veikt skaitlisku eksperimentu. Bet viņš pamanīja, ka katram vienādojuma "lielajam" risinājumam X 4 + Y 4 = Z 4 var izveidot mazāku risinājumu. Tātad divu veselu skaitļu ceturto pakāpju summa nekad nav vienāda ar trešā skaitļa vienādu pakāpju! Kā ir ar divu kubu summu?

Iedvesmojoties no panākumiem 4. pakāpē, Fermā mēģināja modificēt 3. pakāpes "nolaišanās metodi" — un tas izdevās. Izrādījās, ka no tiem atsevišķiem kubiem, kuros sabruka liels kubs ar veselu malas garumu, nav iespējams izveidot divus mazus kubus. Triumfējošais Fermā izdarīja īsu piezīmi Diofanta grāmatas malās un nosūtīja vēstuli uz Parīzi ar detalizētu ziņojumu par savu atklājumu. Taču atbildi viņš nesaņēma – lai gan parasti galvaspilsētas matemātiķi ātri reaģēja uz sava vientuļā kolēģa-konkurenta kārtējo panākumu Tulūzā. Kas te par lietu?

Ļoti vienkārši: līdz septiņpadsmitā vidus gadsimtā aritmētika izgāja no modes. 16. gadsimta itāļu algebristu lielie panākumi (kad tika atrisināti 3. un 4. pakāpes polinomu vienādojumi) nekļuva par vispārējas zinātnes revolūcijas sākumu, jo neļāva risināt jaunas spilgtas problēmas blakus esošajās zinātnes jomās. Tagad, ja Keplers varētu uzminēt planētu orbītas, izmantojot tīru aritmētiku... Bet diemžēl tam bija nepieciešama matemātiska analīze. Tas nozīmē, ka tas ir jāattīsta – līdz pilnīgam triumfam matemātiskās metodes dabaszinātnēs! Taču analīze izaug no ģeometrijas, bet aritmētika paliek dīkstāves juristu un citu mūžīgās skaitļu un skaitļu zinātnes cienītāju spēles lauks.

Tātad Fermā aritmētiskie panākumi izrādījās nelaikā un palika nenovērtēti. Viņu tas neapbēdināja: matemātiķa slavai viņam pirmo reizi tika atklāti diferenciālrēķina, analītiskās ģeometrijas un varbūtību teorijas fakti. Visi šie Fermā atklājumi uzreiz iekļuva jaunās Eiropas zinātnes zelta fondā, savukārt skaitļu teorija vēl simts gadus pazuda otrajā plānā – līdz to atdzīvināja Eilers.

Šis 18. gadsimta "matemātiķu karalis" bija čempions visos analīzes pielietojumos, taču viņš neatstāja novārtā arī aritmētiku, jo jaunas analīzes metodes radīja negaidītus faktus par skaitļiem. Kurš būtu domājis, ka apgriezto kvadrātu bezgalīgā summa (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) ir vienāda ar π 2 /6? Kurš no hellēņiem varēja paredzēt, ka līdzīgas sērijas ļaus pierādīt skaitļa π iracionalitāti?

Šādi panākumi piespieda Eileru rūpīgi pārlasīt izdzīvojušos Fermā manuskriptus (par laimi, lielā francūža dēlam izdevās tos publicēt). Tiesa, 3. pakāpes “lielās teorēmas” pierādījums nav saglabāts, taču Eilers to viegli atjaunoja, tikai norādot uz “nolaišanās metodi”, un nekavējoties mēģināja šo metodi pārnest uz nākamo galveno pakāpi - 5.

Tā tur nebija! Eilera argumentācijā parādījās kompleksie skaitļi, ko Fermā paspēja nepamanīt (tāda ir ierastā atklājēju barība). Bet sarežģītu veselu skaitļu faktorizācija ir delikāts jautājums. Pat Eilers to līdz galam nesaprata un nolika malā "Fermā problēmu", steidzoties pabeigt savu galveno darbu - mācību grāmatu "Analīzes pamati", kurai vajadzēja palīdzēt ikvienam talantīgam jauneklim nostāties vienā līmenī ar Leibnicu un Eilers. Mācību grāmatas izdošana tika pabeigta Sanktpēterburgā 1770. gadā. Taču Eilers neatgriezās pie Fermā teorēmas, būdams pārliecināts, ka jaunā zinātniskā jaunība neaizmirsīs visu, kam pieskārās viņa rokas un prāts.

Un tā arī notika: francūzis Adriens Legendrs kļuva par Eilera pēcteci skaitļu teorijā. 18. gadsimta beigās viņš pabeidza Fermā teorēmas pierādīšanu 5. pakāpei – un, lai gan viņam neizdevās iegūt lielas pirmpakāpes, viņš sastādīja vēl vienu skaitļu teorijas mācību grāmatu. Lai tās jaunie lasītāji pārspēj autoru tāpat, kā Dabasfilozofijas matemātisko principu lasītāji pārspēja lielo Ņūtonu! Leģendrs nebija līdzīgs Ņūtonam vai Eileram, taču viņa lasītāju vidū bija divi ģēniji: Karls Gauss un Evariste Galuā.

Tik augstu ģēniju koncentrāciju veicināja Francijas revolūcija, kas pasludināja valsts Saprāta kultu. Pēc tam katrs talantīgs zinātnieks jutās kā Kolumbs vai Aleksandrs Lielais, kas spēj atklāt vai iekarot jaunu pasauli. Daudziem tas izdevās, tāpēc 19. gadsimtā zinātnes un tehnikas progress kļuva par galveno cilvēces evolūcijas virzītāju, un visi saprātīgie valdnieki (sākot ar Napoleonu) to apzinājās.

Gauss pēc rakstura bija tuvs Kolumbam. Bet viņš (tāpat kā Ņūtons) neprata ar skaistām runām aizraut valdnieku vai studentu iztēli, un tāpēc savas ambīcijas aprobežojās ar zinātnisko koncepciju sfēru. Šeit viņš varēja darīt visu, ko gribēja. Piemēram, seno leņķa trīsgriezuma problēmu nez kāpēc nevar atrisināt ar kompasu un taisngriezi. Ar kompleksu skaitļu palīdzību, kas attēlo plaknes punktus, Gauss pārtulko šo problēmu algebras valodā - un iegūst vispārīgu teoriju par noteiktu ģeometrisku konstrukciju iespējamību. Tādējādi tajā pašā laikā parādījās stingrs pierādījums tam, ka ar kompasu un lineālu nav iespējams konstruēt regulāru 7 vai 9 gonu, un tāds parastais 17 gonu konstruēšanas veids, ko izdarīja Hellas gudrākie ģeometri. nesapņot.

Protams, šādi panākumi netiek doti velti: ir jāizdomā jauni jēdzieni, kas atspoguļo lietas būtību. Ņūtons ieviesa trīs šādus jēdzienus: plūsma (atvasinājums), plūstošā (integrālā) un jaudas sērijas. Ar tiem pietika, lai izveidotu matemātisko analīzi un pirmo fiziskās pasaules zinātnisko modeli, ieskaitot mehāniku un astronomiju. Gauss arī ieviesa trīs jaunus jēdzienus: vektora telpa, lauks un gredzens. No tiem izauga jauna algebra, pakārtojot grieķu aritmētiku un Ņūtona radīto skaitlisko funkciju teoriju. Atlika Aristoteļa radīto loģiku pakārtot algebrai: tad ar aprēķinu palīdzību no šīs aksiomu kopas būtu iespējams pierādīt jebkādu zinātnisku apgalvojumu izsecināmību vai neatvasināmību! Piemēram, vai Fermā teorēma izriet no aritmētikas aksiomām, vai arī Eiklida paralēlo līniju postulāts izriet no citām planimetrijas aksiomām?

Gausam nebija laika īstenot šo drosmīgo sapni - lai gan viņš panāca tālu un uzminēja eksotisku (nekomutatīvu) algebru pastāvēšanas iespēju. Tikai drosmīgajam krievam Nikolajam Lobačevskim izdevās izveidot pirmo ne-eiklida ģeometriju, un pirmo nekomutatīvo algebru (Grupu teoriju) vadīja francūzis Evariste Galuā. Un tikai daudz vēlāk pēc Gausa nāves - 1872. gadā - jaunais vācietis Fēlikss Kleins uzminēja, ka iespējamo ģeometriju dažādību var tuvināt viena pret vienu ar iespējamo algebru dažādību. Vienkārši sakot, katru ģeometriju nosaka tās simetrijas grupa - savukārt vispārējā algebra pēta visas iespējamās grupas un to īpašības.

Taču šāda izpratne par ģeometriju un algebru radās daudz vēlāk, un uzbrukums Fermā teorēmai atsākās Gausa dzīves laikā. Viņš pats atstāja novārtā Fermā teorēmu ārpus principa: nav karaļa darīšana atrisināt atsevišķas problēmas, kas neiekļaujas spilgtā zinātniskā teorijā! Taču Gausa studenti, bruņojušies ar viņa jauno algebru un klasisko Ņūtona un Eilera analīzi, domāja citādi. Pirmkārt, Pīters Dirihlets pierādīja Fermā teorēmu 7. pakāpei, izmantojot kompleksu veselu skaitļu gredzenu, ko ģenerē šīs vienotības pakāpes saknes. Tad Ernsts Kummers paplašināja Dirihlē metodi uz VISU vienkārši grādi(!) – tā viņam tas šķita nepārdomāti, un viņš triumfēja. Taču drīz nāca atskārsme: pierādījums iziet nevainojami tikai tad, ja katrs gredzena elements ir unikāli sadalīts galvenajos faktoros! Parastiem veseliem skaitļiem šis fakts jau bija zināms Eiklīdam, taču tikai Gauss sniedza savu stingro pierādījumu. Bet kā ir ar veseliem kompleksajiem skaitļiem?

Atbilstoši “lielākās nelietības principam” var un IR IR jānotiek neviennozīmīgai faktorizācijai! Tiklīdz Kummers iemācījās aprēķināt neskaidrības pakāpi ar matemātiskās analīzes metodēm, viņš atklāja šo netīro triku gredzenā ar grādu 23. Gausam nebija laika, lai uzzinātu par šo eksotiskās komutācijas algebras versiju, bet Gausa skolēni pieauga. cita netīra trika vietā jauna skaista ideālu teorija. Tiesa, tas daudz nepalīdzēja Fermā problēmas risināšanā: kļuva skaidrāka tikai tās dabiskā sarežģītība.

Visā 19. gadsimtā šis senais elks prasīja no saviem cienītājiem arvien vairāk upuru jaunu sarežģītu teoriju veidā. Nav pārsteidzoši, ka līdz 20. gadsimta sākumam ticīgie kļuva mazdūšīgi un sacēlās, noraidot savu bijušo elku. Vārds "fermatists" ir kļuvis par lamuvārdu starp profesionāli matemātiķi. Un, lai gan par Fermā teorēmas pilnīgu pierādīšanu tika piešķirta ievērojama balva, tomēr tās pretendenti lielākoties bija pašpārliecināti nezinātāji. Tā laika spēcīgākie matemātiķi - Puankarē un Hilberts - izaicinoši izvairījās no šīs tēmas.

1900. gadā Hilberts neiekļāva Fermā teorēmu divdesmit trīs svarīgāko problēmu sarakstā, ar kurām saskaras divdesmitā gadsimta matemātika. Tiesa, viņš iekļāva viņu sērijās vispārējo Diofantīna vienādojumu atrisināmības problēmu. Mājiens bija skaidrs: sekojiet Gausa un Galois piemēram, izveidojiet vispārīgas teorijas jauni matemātiski objekti! Tad vienā jaukā (bet iepriekš neparedzamā) dienā vecā šķemba pati izkritīs.

Tā rīkojās izcilais romantiķis Anrī Puankarē. Neņemot vērā daudzas "mūžīgās" problēmas, viņš visu mūžu pētīja dažādu matemātikas vai fizikas objektu SIMMETRIJU: vai nu kompleksa mainīgā funkcijas, vai debess ķermeņu kustības trajektorijas, vai algebriskas līknes vai gludus kolektorus (tie ir izliektu daudzdimensionāli vispārinājumi). līnijas). Viņa rīcības motīvs bija vienkāršs: ja diviem dažādiem objektiem ir līdzīga simetrija, tas nozīmē, ka starp tiem pastāv iekšējas attiecības, kuras mēs vēl nespējam aptvert! Piemēram, katrai no divdimensiju ģeometrijām (Eiklids, Lobačevskis vai Rīmanis) ir sava simetrijas grupa, kas iedarbojas uz plakni. Bet plaknes punkti ir kompleksi skaitļi: tādā veidā jebkuras ģeometriskas grupas darbība tiek pārnesta uz plašo sarežģīto funkciju pasauli. Ir iespējams un nepieciešams izpētīt simetriskākās no šīm funkcijām: AUTOMORPHOUS (kas ir pakļautas Eiklida grupai) un MODULAR (kas ir pakļautas Lobačevska grupai)!

Plaknē ir arī eliptiskas līknes. Tiem nav nekāda sakara ar elipsi, bet tie ir doti ar vienādojumiem formā Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, un tāpēc tie krustojas ar jebkuru taisni trīs punktos. Šis fakts ļauj mums ieviest reizināšanu starp eliptiskās līknes punktiem - pārvērst to grupā. Šīs grupas algebriskā struktūra atspoguļo līknes ģeometriskās īpašības; varbūt to unikāli nosaka tās grupa? Šo jautājumu ir vērts izpētīt, jo dažām līknēm mūs interesējošā grupa izrādās modulāra, tas ir, tā ir saistīta ar Lobačevska ģeometriju ...

Tā sprieda Puankarē, pavedinot Eiropas matemātisko jaunatni, taču 20. gadsimta sākumā šie kārdinājumi neizraisīja spilgtas teorēmas vai hipotēzes. Citādi sanāca ar Hilberta aicinājumu: pētīt Diofantīna vienādojumu vispārīgos atrisinājumus ar veselo skaitļu koeficientiem! 1922. gadā jaunais amerikānis Lūiss Mordels savienoja šāda vienādojuma atrisinājumu kopu (tā ir noteiktas dimensijas vektoru telpa) ar kompleksās līknes ģeometrisko ģints, ko dod šis vienādojums. Mordels nonāca pie secinājuma, ka, ja vienādojuma pakāpe ir pietiekami liela (vairāk nekā divas), tad atrisinājuma telpas dimensija tiek izteikta līknes ģints izteiksmē, un tāpēc šī dimensija ir FINITE. Gluži pretēji - 2 pakāpē Pitagora vienādojumam ir BEZGALĪGA atrisinājumu saime!

Protams, Mordels saskatīja savas hipotēzes saistību ar Fermā teorēmu. Ja kļūs zināms, ka katrai pakāpei n > 2 Fermā vienādojuma veselu atrisinājumu telpa ir galīgi liela, tas palīdzēs pierādīt, ka tādu atrisinājumu nemaz nav! Taču Mordels neredzēja nekādu veidu, kā pierādīt savu hipotēzi – un, lai gan viņš nodzīvoja ilgu mūžu, viņš negaidīja šīs hipotēzes transformāciju Faltingsa teorēmā. Tas notika 1983. gadā, pavisam citā laikmetā, pēc kolektoru algebriskās topoloģijas lielajiem panākumiem.

Puankarē šo zinātni radīja it kā nejauši: viņš gribēja zināt, kas ir trīsdimensiju kolektori. Galu galā Rīmanis izdomāja visu slēgto virsmu struktūru un saņēma ļoti vienkāršu atbildi! Ja trīsdimensiju vai daudzdimensiju gadījumā šādas atbildes nav, tad jums ir jāizdomā kolektora algebrisko invariantu sistēma, kas nosaka tā ģeometrisko struktūru. Vislabāk, ja šādi invarianti ir dažu grupu elementi - komutatīvi vai nekomutatīvi.

Lai cik dīvaini tas nešķistu, šis Puankarē pārdrošais plāns izdevās: tas tika īstenots no 1950. līdz 1970. gadam, pateicoties ļoti daudzu ģeometru un algebristu pūlēm. Līdz 1950. gadam klusi uzkrājās dažādas kolektoru klasifikācijas metodes, un pēc šī datuma šķita, ka ir sakrājusies cilvēku un ideju kritiskā masa un notika sprādziens, kas ir salīdzināms ar matemātiskās analīzes izgudrojumu 17. gadsimtā. Bet analītiskā revolūcija ilga pusotru gadsimtu, aptverot četru matemātiķu paaudžu radošās biogrāfijas - no Ņūtona un Leibnica līdz Furjē un Košī. Gluži pretēji, divdesmitā gadsimta topoloģiskā revolūcija notika divdesmit gadu laikā - pateicoties liels skaits tās locekļi. Tajā pašā laikā ir izveidojusies liela pašapzinīgu jauno matemātiķu paaudze, kas pēkšņi palika bez darba savā vēsturiskajā dzimtenē.

Septiņdesmitajos gados viņi steidzās uz blakus esošajām matemātikas jomām un teorētiskā fizika. Daudzi ir izveidojuši savas zinātniskās skolas desmitiem universitāšu Eiropā un Amerikā. Starp šiem centriem joprojām apgrozās daudz dažādu vecumu un tautību studentu ar dažādām spējām un tieksmēm, un katrs vēlas būt slavens ar kādu atklājumu. Tieši šajā sajukumā beidzot tika pierādīts Mordela minējums un Fermā teorēma.

Taču pirmā bezdelīga, nezinot savu likteni, izsalkušajos un bezdarbīgajos pēckara gados uzauga Japānā. Bezdelīgas vārds bija Jutaka Tanijama. 1955. gadā šim varonim apritēja 28 gadi, un viņš nolēma (kopā ar draugiem Goro Šimura un Takaudži Tamagavu) atdzīvināt matemātiskos pētījumus Japānā. Kur sākt? Protams, pārvarot izolāciju no ārzemju kolēģiem! Tātad 1955. gadā trīs jauni japāņi Tokijā rīkoja pirmo starptautisko konferenci par algebru un skaitļu teoriju. Acīmredzot to bija vieglāk izdarīt amerikāņu pāraudzinātajā Japānā nekā Staļina iesaldētajā Krievijā ...

Goda viesu vidū bija divi varoņi no Francijas: Andrē Veils un Žans Pjērs Serre. Šeit japāņiem ļoti paveicās: Veils bija atzīts franču algebristu vadītājs un Burbaki grupas loceklis, un jaunajam Serrem bija līdzīga loma topologu vidū. Karstās diskusijās ar viņiem japāņu jauniešiem sprēgāja galvas, izkusa smadzenes, bet beigās izkristalizējās tādas idejas un plāni, kas diez vai varēja piedzimt citā vidē.

Kādu dienu Tanijama vērsās pie Veila ar jautājumu par eliptiskām līknēm un moduļu funkcijām. Sākumā francūzis neko nesaprata: Tanijama nebija angļu valodas runas meistars. Tad lietas būtība kļuva skaidra, taču Tanijai neizdevās sniegt savām cerībām precīzu formulējumu. Veils jaunajam japānim varēja atbildēt tikai to, ka, ja viņam ļoti paveicas iedvesmas ziņā, tad no viņa neskaidrajām hipotēzēm izaugs kaut kas saprātīgs. Bet kamēr cerība uz to ir vāja!

Acīmredzot Veils nepamanīja debesu uguni Tanijamas skatienā. Un bija uguns: šķiet, ka uz mirkli nelokāmā Puankarē doma pārcēlās uz japāņiem! Taniyama sāka ticēt, ka katru eliptisku līkni ģenerē modulāras funkcijas - precīzāk, to "uniformē modulāra forma". Ak, šis precīzs formulējums piedzima daudz vēlāk - Taniyama sarunās ar savu draugu Šimuru. Un tad Tanijama depresijas lēkmē izdarīja pašnāvību... Viņa hipotēze palika bez saimnieka: nebija skaidrs, kā to pierādīt vai kur pārbaudīt, un tāpēc neviens to ilgi neuztvēra nopietni. Pirmā atbilde nāca tikai pēc trīsdesmit gadiem – gandrīz kā Fermā laikmetā!

Ledus ielūza 1983. gadā, kad divdesmit septiņus gadus vecais vācietis Gerds Faltings visai pasaulei paziņoja: Mordela minējums ir pierādīts! Matemātiķi bija viņu sardzē, bet Faltings bija īsts vācietis: viņa garajā un sarežģītajā pierādījumā nebija nekādu trūkumu. Vienkārši ir pienācis laiks, sakrājušies fakti un jēdzieni – un nu vienam talantīgam algebristam, paļaujoties uz desmit citu algebristu rezultātiem, ir izdevies atrisināt problēmu, kas sešdesmit gadus stāvējusi, gaidot meistaru. 20. gadsimta matemātikā tas nav nekas neparasts. Ir vērts atgādināt sekulāro kontinuuma problēmu kopu teorijā, divus Bērnsaidas minējumus grupu teorijā vai Puankarē minējumus topoloģijā. Visbeidzot, skaitļu teorijā ir pienācis laiks novākt vecās ražas ... Kurš tops būs nākamais iekaroto matemātiķu sērijā? Vai Eilera problēma, Rīmaņa hipotēze vai Fermā teorēma sabruks? Tas ir labi!

Un tagad, divus gadus pēc Faltingsa atklāšanas, Vācijā parādījās vēl viens iedvesmots matemātiķis. Viņu sauca Gerhards Frejs, un viņš apgalvoja kaut ko dīvainu: ka Fermā teorēma ir ATGŪTA no Tanijamas minējumiem! Diemžēl Freija domu izteikšanas stils vairāk atgādināja nelaimīgo Tanijamu, nevis viņa dzidru tautieti Faltingsu. Vācijā Freju neviens nesaprata, un viņš devās uz ārzemēm – uz krāšņo Prinstonas pilsētiņu, kur pēc Einšteina pieraduši pie ne tādiem ciemiņiem. Nav brīnums, ka Barijs Mazurs, daudzpusīgs topologs, viens no nesenā uzbrukuma gludajiem kolektoriem varoņiem, tur iekārtoja savu ligzdu. Un blakus Mazuram uzauga students - Kens Ribets, vienlīdz pieredzējis topoloģijas un algebras sarežģītībās, taču joprojām sevi nekādā veidā neslavinājis.

Kad viņš pirmo reizi dzirdēja Freja runas, Rībets nolēma, ka tās ir muļķības un gandrīz zinātniska fantastika (iespējams, Veils uz Tanijamas atklāsmēm reaģēja tāpat). Taču Rībeta nespēja aizmirst šo "fantāziju" un brīžiem garīgi pie tās atgriezās. Pēc sešiem mēnešiem Rībets uzskatīja, ka Freja fantāzijās ir kaut kas saprātīgs, un gadu vēlāk viņš nolēma, ka viņš pats varētu gandrīz pierādīt Freja dīvaino hipotēzi. Bet daži "caurumi" palika, un Rībets nolēma atzīties savam priekšniekam Mazuram. Viņš uzmanīgi klausījās studentā un mierīgi atbildēja: “Jā, tu esi visu izdarījis! Šeit jums jāpielieto transformācija Ф, šeit - izmantojiet Lemmas B un K, un viss iegūs nevainojamu formu! Tāpēc Rībeta veica lēcienu no tumsonības uz nemirstību, izmantojot katapultu Freja un Mazura personā. Taisnības labad jāsaka, ka tie visi – kopā ar vēlo Tanijamu – jāuzskata par Fermā pēdējās teorēmas pierādījumiem.

Bet šeit ir problēma: viņi atvasināja savu apgalvojumu no Taniyama hipotēzes, kas pati par sevi nav pierādīta! Ko darīt, ja viņa ir neuzticīga? Matemātiķi jau sen zina, ka “no meliem viss izriet”, ja Tanijamas minējums ir nepareizs, tad Ribetas nevainojamais arguments ir bezvērtīgs! Mums steidzami jāpierāda (vai jāatspēko) Tanijamas minējums - pretējā gadījumā kāds, piemēram, Faltings, pierādīs Fermā teorēmu citādi. Viņš kļūs par varoni!

Maz ticams, ka mēs kādreiz uzzināsim, cik jauni vai pieredzējuši algebristi uzlēca uz Fermā teorēmu pēc Faltingsa panākumiem vai pēc Ribetas uzvaras 1986. gadā. Visi centās strādāt slepenībā, lai neveiksmes gadījumā netiktu ierindoti “manekenu”-fermatistu sabiedrībā. Zināms, ka veiksmīgākais no visiem – Endrjū Vilss no Kembridžas – uzvaras garšu sajuta tikai 1993. gada sākumā. Tas ne tik daudz iepriecināja, bet gan nobiedēja Vilsu: kā būtu, ja viņa Tanijamas pieņēmuma pierādījumā būtu kļūda vai nepilnība? Tad viņa zinātniskā reputācija gāja bojā! Vajag rūpīgi pierakstīt pierādījumu (bet tas būs daudzi desmiti lappušu!) Un atlikt uz pusgadu vai gadu, lai vēlāk aukstasinīgi un pedantiski varētu pārlasīt... Bet ko ja kāds šajā laikā publicē savu pierādījumu? Ak nepatikšanas...

Tomēr Villss nāca klajā ar divkāršu veidu, kā ātri pārbaudīt savu pierādījumu. Pirmkārt, jums jāuzticas kādam no saviem uzticamajiem draugiem un kolēģiem un jāizstāsta viņam visa argumentācijas gaita. No malas visas kļūdas ir redzamākas! Otrkārt, ir jāizlasa īpašs kurss par šo tēmu gudriem studentiem un maģistrantiem: šie gudrie cilvēki nepalaidīs garām nevienu pasniedzēja kļūdu! Tikai nestāstiet viņiem kursa gala mērķi līdz pēdējam brīdim – citādi par to uzzinās visa pasaule! Un, protams, jums ir jāmeklē šāda auditorija prom no Kembridžas - labāk pat ne Anglijā, bet Amerikā ... Kas var būt labāks par tālo Prinstonu?

Villss uz turieni devās 1993. gada pavasarī. Viņa pacietīgais draugs Niklass Katzs, noklausījies Vilsa garo ziņojumu, atrada tajā vairākas nepilnības, taču tās visas bija viegli izlabotas. Taču Prinstonas maģistrantūras studenti drīz vien aizbēga no Vilsa īpašā kursa, nevēloties sekot lektora dīvainajai domai, kas viņus ved uz nezin kur. Pēc šāda (ne īpaši dziļa) sava darba apskata Vilzs nolēma, ka ir pienācis laiks atklāt pasaulei lielu brīnumu.

1993. gada jūnijā Kembridžā notika vēl viena konference, kas bija veltīta "Ivasavas teorijai" - populārai skaitļu teorijas sadaļai. Villss nolēma izstāstīt savu pierādījumu par Tanijamas minējumu, līdz pašām beigām nepaziņojot galveno rezultātu. Ziņojums turpinājās ilgi, bet veiksmīgi, pamazām sāka pulcēties žurnālisti, kuri kaut ko nojauta. Beidzot atskanēja pērkons: Fermā teorēma ir pierādīta! Vispārējo līksmību neaptumšoja nekādas šaubas: šķiet, ka viss ir skaidrs... Bet pēc diviem mēnešiem Kats, izlasījis Vilza galīgo tekstu, pamanīja tajā vēl vienu robu. Zināma pāreja spriešanā balstījās uz "Eilera sistēmu" - bet tas, ko Vills izveidoja, nebija tāda sistēma!

Vailss pārbaudīja sašaurinājumu un saprata, ka šeit ir kļūdījies. Vēl sliktāk: nav skaidrs, kā aizstāt kļūdaino argumentāciju! Tam sekoja Vilsa dzīves tumšākie mēneši. Iepriekš viņš no pieejamā materiāla brīvi sintezēja nebijušu pierādījumu. Tagad viņš ir piesaistīts šauram un skaidram uzdevumam – bez pārliecības, ka tam ir risinājums un ka viņš to varēs atrast pārskatāmā nākotnē. Nesen Frejs nevarēja pretoties tai pašai cīņai – un tagad viņa vārdu aizsedza laimīgās Ribetas vārds, lai gan Freija minējums izrādījās pareizs. Un kas notiks ar MANU minējumu un MANU vārdu?

Šis smagais darbs ilga tieši vienu gadu. 1994. gada septembrī Vilss bija gatavs atzīt sakāvi un atstāt Tanijamas hipotēzi laimīgākiem pēctečiem. Pieņēmis šādu lēmumu, viņš sāka lēnām pārlasīt savu pierādījumu – no sākuma līdz beigām, ieklausoties spriešanas ritmā, no jauna piedzīvojot veiksmīgo atklājumu prieku. Sasniedzis "sasodīto" vietu, Villss tomēr garīgi nesadzirdēja nepatiesu noti. Vai viņa argumentācijas gaita joprojām bija nevainojama un kļūda radās tikai garīgā tēla VERBĀLĀ aprakstā? Ja šeit nav “Eilera sistēmas”, kas tad šeit slēpjas?

Pēkšņi man ienāca prātā vienkārša doma: "Eilera sistēma" nedarbojas tur, kur ir piemērojama Ivasavas teorija. Kāpēc gan nepiemērot šo teoriju tieši – par laimi, tā ir tuva un pazīstama arī pašam Vilsam? Un kāpēc viņš šo pieeju neizmēģināja jau pašā sākumā, bet aizrāvās ar kāda cita redzējumu par problēmu? Vilss vairs nespēja atcerēties šīs detaļas – un tas kļuva bezjēdzīgi. Viņš veica nepieciešamo argumentāciju Iwasawa teorijas ietvaros, un viss izrādījās pusstundas laikā! Tādējādi – ar viena gada nokavēšanos – tika novērsta pēdējā roba Tanijamas minējuma pierādīšanā. Galīgais teksts tika nodots slavenākā matemātikas žurnāla recenzentu grupas žēlastībai, gadu vēlāk viņi paziņoja, ka tagad kļūdu nav. Tā 1995. gadā pēdējais Fermā minējums nomira trīssimt sešdesmit gadu vecumā, pārvēršoties par pārbaudītu teorēmu, kas neizbēgami nonāks skaitļu teorijas mācību grāmatās.

Rezumējot trīs gadsimtu traci ap Fermā teorēmu, nākas izdarīt dīvainu secinājumu: šī varonīgā epopeja nevarēja notikt! Patiešām, Pitagora teorēma izsaka vienkāršu un svarīgu saikni starp vizuālo dabas objekti- segmentu garums. Taču to nevar teikt par Fermā teorēmu. Tas vairāk izskatās pēc kultūras virsbūves uz zinātniska substrāta – kā sasniedzot Zemes ziemeļpolu vai aizlidojot uz Mēnesi. Atcerēsimies, ka abus šos varoņdarbus rakstnieki dziedāja ilgi pirms to paveikšanas – tālajā senatnē, pēc Eiklida “Elementu” parādīšanās, bet pirms Diofanta “Aritmētikas” parādīšanās. Tātad pēc šāda veida intelektuāliem varoņdarbiem sabiedrībā radās vajadzība - vismaz iedomāti! Iepriekš hellēņiem pietika ar Homēra dzejoļiem, tāpat kā simts gadus pirms Fermā frančiem pietika ar reliģiskām kaislībām. Taču tad rimās reliģiskās kaislības – un zinātne nostājās tām blakus.

Krievijā šādi procesi sākās pirms simt piecdesmit gadiem, kad Turgeņevs Jevgēņiju Bazarovu nostādīja vienā līmenī ar Jevgēņiju Oņeginu. Tiesa, rakstnieks Turgeņevs slikti saprata zinātnieka Bazarova rīcības motīvus un neuzdrošinājās tos izdziedāt, taču drīz to izdarīja zinātnieks Ivans Sečenovs un apgaismotais žurnālists Žils Verns. Spontānai zinātniskai un tehnoloģiskai revolūcijai ir nepieciešams kultūras apvalks, lai tas iekļūtu vairuma cilvēku prātos, un šeit vispirms nāk zinātniskā fantastika, bet pēc tam populārzinātniskā literatūra (tostarp žurnāls "Zināšanas ir spēks").

Tajā pašā laikā specifisks zinātniskā tēma vispār nav svarīgi plašai sabiedrībai un nav īpaši svarīgi pat varoņiem. Tātad, uzzinājis par Pīrija un Kuka sasniegto Ziemeļpolu, Amundsens uzreiz mainīja savas jau sagatavotās ekspedīcijas mērķi - un drīz vien sasniedza Dienvidpolu, par vienu mēnesi apsteidzot Skotu. Vēlāk Jurija Gagarina veiksmīgā apceļošana Zemei piespieda prezidentu Kenediju mainīt kādreizējo Amerikas kosmosa programmas mērķi uz dārgāku, bet daudz iespaidīgāku: cilvēku nolaišanos uz Mēness.

Jau agrāk asprātīgais Hilberts uz studentu naivo jautājumu atbildēja: “Kādas zinātniskas problēmas risinājums šobrīd būtu visnoderīgākais”? - atbildēja ar joku: “Noķer mušu tālāk otrā puse Mēness! Uz apjukušo jautājumu: "Kāpēc tas ir vajadzīgs?" - seko skaidra atbilde: “ŠO nevienam nevajag! Bet padomājiet par tiem zinātniskās metodes Un tehniskajiem līdzekļiem, kas mums būs jāizstrādā, lai atrisinātu šādu problēmu - un cik daudz citu skaistu problēmu mēs atrisināsim pa ceļam!

Tieši tā notika ar Fermā teorēmu. Eilers varēja to nepamanīt.

Šajā gadījumā par matemātiķu elku kļūtu kāda cita problēma – varbūt arī no skaitļu teorijas. Piemēram, Eratostena problēma: vai pastāv galīga vai bezgalīga dvīņu pirmskaitļu kopa (piemēram, 11 un 13, 17 un 19 utt.)? Vai Eilera problēma: vai katrs pāra skaitlis ir divu pirmskaitļu summa? Vai: vai starp skaitļiem π un e pastāv algebriska sakarība? Šīs trīs problēmas vēl nav atrisinātas, lai gan 20. gadsimtā matemātiķi ir pietuvojušies to būtības izpratnei. Taču šis gadsimts ir radījis daudz jaunu, ne mazāk interesanti uzdevumi, īpaši matemātikas un fizikas un citu dabaszinātņu nozaru krustpunktos.

Vēl 1900. gadā Hilberts izcēla vienu no tiem: izveidot pilnīgu matemātiskās fizikas aksiomu sistēmu! Pēc simts gadiem šī problēma nebūt nav atrisināta, kaut vai tāpēc, ka fizikas matemātisko līdzekļu arsenāls nepārtraukti pieaug, un ne visiem tiem ir stingrs pamatojums. Bet pēc 1970. gada teorētiskā fizika sadalījās divās nozarēs. Viens (klasiskais) kopš Ņūtona laikiem modelē un prognozē STABILU procesus, otrs (jaundzimušais) mēģina formalizēt NESTABLO procesu mijiedarbību un veidus, kā tos kontrolēt. Ir skaidrs, ka šīs divas fizikas nozares ir jāaksiomatizē atsevišķi.

Ar pirmo no tiem, iespējams, tiks galā pēc divdesmit vai piecdesmit gadiem...

Un kas pietrūkst otrai fizikas nozarei – tai, kas ir atbildīga par visa veida evolūciju (ieskaitot neparastus fraktāļus un dīvainus atraktorus, biocenožu ekoloģiju un Gumiļova kaislības teoriju)? Diez vai mēs to drīz sapratīsim. Bet zinātnieku pielūgšana jaunajam elkam jau ir kļuvusi par masu parādību. Iespējams, šeit risināsies epopeja, kas salīdzināma ar Fermā teorēmas trīs gadsimtu biogrāfiju. Tātad krustojumos dažādas zinātnes dzimst arvien jauni elki - līdzīgi reliģiskajiem, bet sarežģītāki un dinamiskāki ...

Acīmredzot cilvēks nevar palikt par cilvēku, ik pa laikam neapgāžot vecos elkus un neradot jaunus - sāpēs un ar prieku! Pjēram Fermā paveicās, ka viņš liktenīgā brīdī bija tuvu jauna elka dzimšanas karstajam punktam – un viņam izdevās jaundzimušajā atstāt savas personības nospiedumu. Var apskaust šādu likteni, un nav grēks to atdarināt.

Sergejs Smirnovs
"Zināšanas ir spēks"

FERMATA LIELĀS TEORĒMAS VĒSTURE
Lieliska afēra

Reiz adresātu saraksta Jaungada numurā par tostu gatavošanu nejauši pieminēju, ka 20. gadsimta beigās bija viens grandiozs notikums, ko daudzi nepamanīja – beidzot tika pierādīta tā dēvētā Fermā pēdējā teorēma. Šajā gadījumā starp saņemtajām vēstulēm atradu divas atbildes no meitenēm (viena no viņām, cik atceros, ir Zeļenogradas devītās klases skolniece Vika), kuras bija pārsteigtas par šo faktu.

Un mani pārsteidza tas, cik ļoti meitenes interesējas par mūsdienu matemātikas problēmām. Tāpēc domāju, ka ne tikai meitenes, bet arī visu vecumu zēni - no vidusskolēniem līdz pensionāriem, arī būs ieinteresēti apgūt Lielās teorēmas vēsturi.

Fermā teorēmas pierādījums ir lielisks notikums. Un kopš tā laika nav pieņemts jokot ar vārdu "lieliski", tad man liekas, ka katram sevi cienošam runātājam (un mums visiem, kad sakām runātāji) vienkārši ir pienākums zināt teorēmas vēsturi.

Ja ir gadījies, ka jums matemātika nepatīk tik ļoti kā man, tad apskatiet dažus padziļinājumus detalizēti ar paviršu skatienu. Saprotot, ka ne visi mūsu adresātu saraksta lasītāji ir ieinteresēti klaiņot matemātikas mežonībās, es centos nedot nekādas formulas (izņemot Fermā teorēmas vienādojumu un pāris hipotēzes) un vienkāršot dažu specifisku jautājumu aptvērumu kā cik vien iespējams.

Kā Fermats vārīja putru

Franču jurists un 17. gadsimta izcilais matemātiķis Pjērs Fermā (1601-1665) izvirzīja vienu dīvainu apgalvojumu no skaitļu teorijas jomas, kas vēlāk kļuva pazīstama kā Fermā Lielā (vai Lielā) teorēma. Šī ir viena no slavenākajām un fenomenālākajām matemātiskajām teorēmām. Iespējams, satraukums ap to nebūtu bijis tik spēcīgs, ja Aleksandrijas Diofanta grāmatā (3. gs. p.m.ē.) "Aritmētika", kuru Fermā bieži pētīja, veicot piezīmes uz tās platajām malām, un kuru viņa dēls Samuels laipni saglabāja pēcnācējiem. , netika atrasts aptuveni šāds izcilā matemātiķa ieraksts:

"Man ir ļoti pārsteidzošs pierādījums, bet tas ir pārāk liels, lai ietilptu malās."

Tieši šis ieraksts izraisīja sekojošo grandiozo satricinājumu ap teorēmu.

Tātad slavenais zinātnieks teica, ka ir pierādījis savu teorēmu. Uzdosim sev jautājumu: vai viņš tiešām to pierādīja, vai arī melojis rupjš? Vai arī ir citas versijas, kas izskaidro šī marginālā ieraksta parādīšanos, kas daudziem nākamo paaudžu matemātiķiem neļāva mierīgi gulēt?

Lielās teorēmas vēsture ir tikpat aizraujoša kā piedzīvojums laikā. Fermā 1636. gadā paziņoja, ka formas vienādojums x n + y n =z n nav atrisinājumu veselos skaitļos ar eksponentu n>2. Šī patiesībā ir Fermā pēdējā teorēma. Šajā šķietami vienkāršajā matemātiskajā formulā Visums ir maskējis neticamu sarežģītību. Skotijā dzimušais amerikāņu matemātiķis Ēriks Templs Bells savā grāmatā The Final Problem (1961) pat izteica domu, ka, iespējams, cilvēce beigs pastāvēt, pirms tā varēs pierādīt Fermā pēdējo teorēmu.

Nedaudz dīvaini, ka teorēma nez kāpēc aizkavējās ar savu dzimšanu, jo situācija jau sen bija nokavēta, jo tās īpašais gadījums n = 2 - cita slavenā matemātiskā formula - Pitagora teorēma, radās divdesmit divus gadsimtus agrāk. Atšķirībā no Fermā teorēmas, Pitagora teorēmai ir bezgalīgs veselu skaitļu atrisinājumu skaits, piemēram, tādi Pitagora trijstūri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Lielās teorēmas sindroms

Kurš vienkārši nemēģināja pierādīt Fermā teorēmu. Jebkurš jauns students uzskatīja par savu pienākumu piemērot Lielo teorēmu, taču neviens to nespēja pierādīt. Sākumā simts gadus tas nedarbojās. Tad vēl simts. Un tālāk. Matemātiķu vidū sāka veidoties masu sindroms: "Kā ir? Fermā to pierādīja, bet ja es nevaru, vai kā?" - un daži no viņiem, pamatojoties uz to, bija traki iekšā pilna jēgaŠis vārds.

Neatkarīgi no tā, cik daudz teorēma tika pārbaudīta, tā vienmēr izrādījās patiesa. Es pazinu vienu enerģisku programmētāju, kurš bija apsēsts ar ideju atspēkot Lielo teorēmu, mēģinot atrast vismaz vienu no tās risinājumiem (pretpiemēru), atkārtojot veselus skaitļus, izmantojot ātru datoru (tolaik biežāk sauktu par datoru). Viņš ticēja sava uzņēmuma panākumiem un mīlēja teikt: "Vēl nedaudz - un sensācija izcelsies!" Es domāju, ka dažādās mūsu planētas vietās bija ievērojams skaits šāda veida drosmīgu meklētāju. Protams, viņš neatrada nekādu risinājumu. Un neviens dators, pat ar pasakainu ātrumu, nekad nevarētu pārbaudīt teorēmu, jo visi šī vienādojuma mainīgie (ieskaitot eksponentus) var palielināties līdz bezgalībai.

Teorēma prasa pierādījumus

Matemātiķi zina, ka, ja teorēma nav pierādīta, no tās var izrietēt jebkas (patiess vai nepatiess), kā tas notika ar dažām citām hipotēzēm. Piemēram, vienā no savām vēstulēm Pjērs Fermā ierosināja, ka skaitļi formā 2 n +1 (tā sauktie Fermā skaitļi) noteikti ir pirmskaitļi (tas ir, tiem nav veselu skaitļu dalītāju un tie dalās tikai paši bez atlikuma). un ar vienu), ja n ir divnieks (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 utt.). Fermā hipotēze pastāvēja vairāk nekā simts gadus – līdz Leonhards Eilers 1732. gadā parādīja, ka

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Pēc tam, gandrīz 150 gadus vēlāk (1880. g.), Fortūna Lendrija aprēķināja šādu Fermā skaitli:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Kā viņi varēja atrast šo lielo skaitļu dalītājus bez datoru palīdzības - Dievs vien zina. Savukārt Eilers izvirzīja hipotēzi, ka vienādojumam x 4 + y 4 + z 4 =u 4 nav atrisinājumu veselos skaitļos. Tomēr aptuveni 250 gadus vēlāk, 1988. gadā, Nahumam Elkisam no Hārvardas izdevās atklāt (jau ar datorprogramma), Kas

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Tāpēc Fermā pēdējā teorēma prasīja pierādījumus, pretējā gadījumā tā bija tikai hipotēze, un varētu būt, ka kaut kur bezgalīgos skaitļu laukos ir pazudis Lielās teorēmas vienādojuma risinājums.

18. gadsimta virtuozākais un ražīgākais matemātiķis Leonhards Eilers, kura ierakstu arhīvu cilvēce ir kārtojusi gandrīz gadsimtu, pierādīja Fermā teorēmu 3. un 4. pakāpēm (pareizāk sakot, viņš atkārtoja paša Pjēra Fermā zaudētos pierādījumus). ; viņa sekotājs skaitļu teorijā Leģendre (un neatkarīgi Dirihlets) - par 5. pakāpi; Klibs - par 7. grādu. Bet iekšā vispārējs skats teorēma palika nepierādīta.

1847. gada 1. martā Parīzes Zinātņu akadēmijas sanāksmē divi izcils matemātiķis- Gabriels Lams un Augustins Košī - teica, ka ir nonākuši līdz Lielās teorēmas pierādīšanas beigām un sacentās, publicējot savus pierādījumus pa daļām. Tomēr duelis starp viņiem tika pārtraukts, jo viņu pierādījumos tika atklāta tā pati kļūda, uz ko norādīja vācu matemātiķis Ernsts Kummers.

20. gadsimta sākumā (1908) bagāts vācu uzņēmējs, filantrops un zinātnieks Pols Volfskels novēlēja simts tūkstošus marku ikvienam, kurš uzrādīs pilnīgu Fermā teorēmas pierādījumu. Jau pirmajā gadā pēc Volfskela testamenta publicēšanas Getingenes Zinātņu akadēmijā tas tika pārpludināts ar tūkstošiem matemātikas cienītāju pierādījumu, un šī plūsma neapstājās gadu desmitiem, taču, kā jūs varat iedomāties, tie visi saturēja kļūdas. . Viņi saka, ka akadēmija sagatavoja veidlapas ar šādu saturu:

Dārgs __________________________!
Jūsu Fermā teorēmas pierādījumā ____ lapas ____ rindā no augšas
Formulā tika atrasta šāda kļūda:_______________________________:,

Kuras tika nosūtītas nelaimīgajiem pretendentiem uz balvu.

Tajā laikā matemātiķu lokā parādījās pusniecīgs segvārds - fermists. Tā sauca ikvienu pašpārliecinātu jaundzimušo, kuram pietrūka zināšanu, bet vairāk nekā bija ambīcijas steigšus izmēģināt spēkus Lielās teorēmas pierādīšanā, un tad, nepamanot paša kļūdas, lepni sitot pa krūtīm, skaļi paziņo: "Es pierādīju pirmā Fermā teorēma! Katrs zemnieks, pat ja viņš bija desmittūkstošais, uzskatīja sevi par pirmo - tas bija smieklīgi. Vienkārši izskats Lielā teorēma fermistiem tik ļoti atgādināja vieglu laupījumu, ka viņi absolūti nebija apmulsuši, ka pat Eilers un Gauss nevarēja ar to tikt galā.

(Fermisti, dīvainā kārtā, pastāv arī šodien. Lai gan viens no viņiem neticēja, ka ir pierādījis teorēmu kā klasisks fermists, taču vēl nesen viņš mēģināja - viņš atteicās man ticēt, kad es viņam pateicu, ka Fermā teorēma jau ir izpildīta. pierādīts).

Spēcīgākie matemātiķi, iespējams, sava kabineta klusumā, arī centās piesardzīgi tuvoties šim nepanesamajam stienim, taču par to skaļi nerunāja, lai netiktu apzīmēti par fermistiem un tādējādi nekaitētu savai augstajai autoritātei.

Līdz tam laikam parādījās teorēmas pierādījums eksponentam n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Dīvaina hipotēze

Līdz divdesmitā gadsimta vidum nekādi lieli sasniegumi Lielās teorēmas vēsturē netika novēroti. Taču drīz vien matemātikas dzīvē notika interesants notikums. 1955. gadā 28 gadus vecais japāņu matemātiķis Jutaka Tanijama izvirzīja apgalvojumu no pavisam citas matemātikas jomas, ko sauca par Tanijamas hipotēzi (pazīstama arī kā Tanijama-Šimuras-Veila hipotēze), kas atšķirībā no Fermā novēlotās teorēmas bija priekšā. sava laika.

Taniyama minējums saka: "katrai eliptiskajai līknei atbilst noteikta modulāra forma." Šis apgalvojums tā laika matemātiķiem izklausījās apmēram tikpat absurdi, cik mums izklausās apgalvojums: "katram kokam atbilst noteikts metāls." Ir viegli uzminēt, kā normāls cilvēks var attiekties pret šādu apgalvojumu - viņš to vienkārši neuztvers nopietni, kas arī notika: matemātiķi vienbalsīgi ignorēja hipotēzi.

Neliels skaidrojums. Eliptiskām līknēm, kas pazīstamas jau ilgu laiku, ir divdimensiju forma (atrodas plaknē). 19. gadsimtā atklātajām moduļu funkcijām ir četrdimensiju forma, tāpēc mēs tās pat nevaram iedomāties ar savām trīsdimensiju smadzenēm, taču varam tās aprakstīt matemātiski; turklāt moduļu formas ir pārsteidzošas ar to, ka tām ir maksimāli iespējamā simetrija - tās var tulkot (pārbīdīt) jebkurā virzienā, spoguļot, fragmentus var apmainīt, pagriezt bezgalīgi daudzos veidos - un to izskats nemainās. Kā redzat, eliptiskām līknēm un moduļu formām ir maz kopīga. Taniyama hipotēze apgalvo, ka šo divu absolūti atšķirīgo matemātisko objektu aprakstošos vienādojumus, kas atbilst viens otram, var izvērst vienā matemātiskajā sērijā.

Taniyama hipotēze bija pārāk paradoksāla: tā apvienoja pilnīgi dažādus jēdzienus - diezgan vienkāršas plakanas līknes un neiedomājamas četrdimensiju formas. Tas nevienam nav ienācis prātā. Kad starptautiskā matemātikas simpozijā Tokijā 1955. gada septembrī Tanijama demonstrēja vairākas eliptiskās līknes un moduļu formas atbilstības, visi to uzskatīja tikai par smieklīgu sakritību. Uz Tanijamas pieticīgo jautājumu: vai katrai eliptiskajai līknei ir iespējams atrast atbilstošo modulāro funkciju, cienījamais francūzis Andrē Veils, kurš tolaik bija viens no pasaules labākajiem skaitļu teorijas speciālistiem, sniedza visai diplomātisku atbildi, ko viņi saka. , ja zinātkārais Tanijama nepamet entuziasmu, tad varbūt viņam paveiksies un viņa neticamā hipotēze apstiprināsies, taču tas nedrīkst notikt drīz. Kopumā, tāpat kā daudzi citi izcili atklājumi, sākumā Tanijamas hipotēze tika ignorēta, jo viņi vēl nebija tai izauguši – gandrīz neviens to nesaprata. Tikai viens Tanijamas kolēģis Goro Šimura, labi pazīstot savu ļoti apdāvināto draugu, intuitīvi juta, ka viņa hipotēze ir pareiza.

Trīs gadus vēlāk (1958. gadā) Yutaka Taniyama izdarīja pašnāvību (tomēr samuraju tradīcijas Japānā ir spēcīgas). No veselā saprāta viedokļa – neizprotama rīcība, it īpaši, ja ņem vērā, ka pavisam drīz viņš grasījās precēties. Jauno japāņu matemātiķu līderis savu pašnāvības piezīmi iesāka šādi: "Vakar es nedomāju par pašnāvību. Pēdējā laikā bieži dzirdēju no citiem, ka esmu garīgi un fiziski noguris. Patiesībā pat tagad es nesaprotu, kāpēc es esmu darot to ...” un tā tālāk uz trim lapām. Žēl, protams, ka tāds bija interesanta cilvēka liktenis, bet visi ģēniji ir nedaudz dīvaini - tāpēc viņi ir ģēniji (nez kāpēc prātā ienāca Artura Šopenhauera vārdi: “parastajā dzīvē a. ģenialitāte ir tikpat noderīga kā teleskops teātrī”). Hipotēze ir atmesta. Neviens nezināja, kā to pierādīt.

Desmit gadus Tanijamas hipotēze gandrīz netika pieminēta. Bet 70. gadu sākumā tas kļuva populārs - to regulāri pārbaudīja visi, kas to varēja saprast - un tas vienmēr tika apstiprināts (kā, patiesībā, Fermā teorēma), bet, tāpat kā iepriekš, neviens to nevarēja pierādīt.

Apbrīnojamā saikne starp abām hipotēzēm

Ir pagājuši vēl 15 gadi. 1984. gadā matemātikas dzīvē bija viens no svarīgākajiem notikumiem, kas apvienoja ekstravagantos japāņu minējumus ar Fermā pēdējo teorēmu. Vācietis Gerhards Frejs izvirzīja kuriozu apgalvojumu, līdzīgu teorēmai: "Ja tiks pierādīts Tanijas minējums, tad līdz ar to tiks pierādīta arī Fermā pēdējā teorēma." Citiem vārdiem sakot, Fermā teorēma ir Tanijamas pieņēmuma sekas. (Frejs, izmantojot ģeniālas matemātiskas pārvērtības, reducēja Fermā vienādojumu līdz eliptiskās līknes vienādojuma formā (tas pats, kas parādās Tanijamas hipotēzē), vairāk vai mazāk pamatoja savu pieņēmumu, bet nevarēja to pierādīt). Un tikai pusotru gadu vēlāk (1986) Kalifornijas universitātes profesors Kenets Ribets skaidri pierādīja Freja teorēmu.

Kas tagad notika? Tagad izrādījās, ka, tā kā Fermā teorēma jau ir tieši Tanijamas minējuma sekas, atliek tikai pierādīt pēdējo, lai plēstu leģendārās Fermā teorēmas uzvarētāja laurus. Taču hipotēze izrādījās grūta. Turklāt gadsimtu gaitā matemātiķiem kļuva alerģija pret Fermā teorēmu, un daudzi no viņiem nolēma, ka arī ar Tanijas pieņēmumiem būs gandrīz neiespējami tikt galā.

Fermā hipotēzes nāve. Teorēmas dzimšana

Ir pagājuši vēl 8 gadi. Viens progresīvs angļu matemātikas profesors no Prinstonas universitātes (Ņūdžersija, ASV) Endrjū Vilss domāja, ka ir atradis pierādījumus Tanijamas minējumiem. Ja ģēnijs nav plikpauris, tad, kā likums, izspūris. Villss ir izjaukts, tāpēc izskatās pēc ģēnija. Ieiešana vēsturē, protams, ir vilinoša un ļoti vēlama, taču Vilss, tāpat kā īsts zinātnieks, neglaimoja sev, saprotot, ka tūkstošiem fermistu pirms viņa redz arī spokainus pierādījumus. Tāpēc, pirms iepazīstināja pasauli ar savu pierādījumu, viņš pats to rūpīgi pārbaudīja, bet, saprotot, ka viņam var būt subjektīva neobjektivitāte, pārbaudēs iesaistīja arī citus, piemēram, parastu matemātisko uzdevumu aizsegā dažkārt iemeta dažādus fragmentus. viņa pierādījums gudriem absolventiem. Vēlāk Villss atzina, ka neviens cits, izņemot viņa sievu, nezināja, ka viņš strādā pie Lielās teorēmas pierādīšanas.

Un tā, pēc ilgām pārbaudēm un sāpīgām pārdomām, Villss beidzot savāca drosmi un, iespējams, kā viņš pats domāja, arī augstprātību, un 1993. gada 23. jūnijā matemātikas konferencē par skaitļu teoriju Kembridžā paziņoja par savu lielo sasniegumu.

Tā, protams, bija sensācija. Neviens nebija gaidījis tādu veiklību no mazpazīstama matemātiķa. Tad parādījās prese. Visus mocīja dedzinoša interese. Slaidas formulas, kā skaista attēla triepiens, parādījās ziņkārīgo skatītāju acu priekšā. Īsti matemātiķi galu galā tādi ir - skatās visādus vienādojumus un tajos redz nevis skaitļus, konstantes un mainīgos, bet gan dzird mūziku, kā Mocarts skatās uz muzikālo spieķi. Tāpat kā lasot grāmatu, mēs skatāmies uz burtiem, bet it kā tos nepamanām, bet uzreiz uztveram teksta nozīmi.

Šķita, ka pierādījuma noformējums izdevās - kļūdas tajā netika atrastas - neviens nedzirdēja nevienu nepatiesu piezīmi (lai gan lielākā daļa matemātiķu vienkārši skatījās uz viņu kā pirmklasnieki uz integrāli un neko nesaprata). Visi nolēma, ka noticis liela mēroga notikums: tika pierādīta Tanijamas hipotēze un līdz ar to arī Fermā pēdējā teorēma. Bet apmēram divus mēnešus vēlāk, dažas dienas pirms Villsa pierādījumu manuskripta nonākšanas apgrozībā, tika konstatēts, ka tas nav konsekvents (Katzs, Vilsa kolēģis, atzīmēja, ka viens no argumentiem balstījās uz "Eilera sistēmu", bet kas uzbūvēja Vilsa, nebija tāda sistēma), lai gan kopumā Vilsa paņēmieni tika uzskatīti par interesantām, elegantām un novatoriskām.

Vills analizēja situāciju un nolēma, ka ir zaudējis. Var iedomāties, kā viņš ar visu savu būtību juta, ko tas nozīmē "no lielā līdz smieklīgajam viens solis". "Gribēju iestāties Vēsturē, bet tā vietā pievienojos klaunu un komiķu komandai - augstprātīgiem zemniekiem" - apmēram šādas domas viņu tajā sāpīgajā dzīves posmā nogurdināja. Viņam, nopietnam matemātiķim, tā bija traģēdija, un viņš iemeta savus pierādījumus aizmugurē.

Taču nedaudz vairāk nekā gadu vēlāk, 1994. gada septembrī, domājot par šo pierādījumu sašaurinājumu kopā ar savu kolēģi Teiloru no Oksfordas, pēdējam pēkšņi radās doma, ka "Eilera sistēmu" varētu mainīt uz Ivasavas teoriju (nodaļa skaitļu teorija). Tad viņi mēģināja izmantot Ivasavas teoriju, iztiekot bez "Eilera sistēmas", un viņi visi sanāca. Pierādījuma labotā versija tika iesniegta pārbaudei, un pēc gada tika paziņots, ka tajā viss ir pilnīgi skaidrs, bez nevienas kļūdas. 1995. gada vasarā vienā no vadošajiem matemātikas žurnāliem - "Matemātikas gadagrāmatā" - tika publicēts pilnīgs Tanijamas minējuma (tātad Fermā Lielā (lielā) teorēma) pierādījums, kas aizņēma visu numuru - vairāk nekā simts loksnes. Pierādījums ir tik sarežģīts, ka tikai daži desmiti cilvēku visā pasaulē to varētu saprast pilnībā.

Tā 20. gadsimta beigās visa pasaule atzina, ka 360. dzīves gadā Fermā pēdējā teorēma, kas faktiski visu šo laiku bija bijusi hipotēze, ir kļuvusi par pārbaudītu teorēmu. Endrjū Villss pierādīja Fermā Lielo (Lielo) teorēmu un iegāja vēsturē.

Domā, ka esi pierādījis teorēmu...

Atklājēja laime vienmēr pienākas kādam vienam – tas ir tas, kurš ar pēdējo āmura sitienu pāršķeļ zināšanu cieto riekstu. Taču nevar ignorēt daudzos iepriekšējos sitienus, kas gadsimtiem ilgi radījuši plaisu Lielajā teorēmā: Eilers un Gauss (sava ​​laika matemātikas karaļi), Evariste Galuā (kuram izdevās izveidot grupu un lauku teoriju savā īsajā 21. -gadu mūžs, kura darbi tika atzīti par izciliem tikai pēc viņa nāves), Anrī Puankarē (ne tikai dīvainu moduļu formu, bet arī konvencionālisma dibinātājs - filozofisks virziens), Deivids Gilberts (viens no divdesmitā gadsimta spēcīgākajiem matemātiķiem) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor un citi īsti zinātnieki(Es nebaidos no šiem vārdiem).

Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu var pielīdzināt tādiem divdesmitā gadsimta sasniegumiem kā datora izgudrojums, kodolbumba un lidojums kosmosā. Lai gan par to nav tik plaši zināms, jo tas neiebrūk mūsu mirkļa interešu zonā, piemēram, TV vai elektriskā spuldze, taču tas bija supernovas uzplaiksnījums, kas, tāpat kā visas nemainīgās patiesības, vienmēr spīdēs cilvēce.

Jūs varat teikt: "Padomājiet, jūs pierādījāt kaut kādu teorēmu, kam to vajag?". Taisnīgs jautājums. Deivida Gilberta atbilde iederēsies tieši šeit. Kad uz jautājumu: "kas tagad ir zinātnei svarīgākais uzdevums?", Viņš atbildēja: "noķert mušu mēness tālākajā pusē" viņam pamatoti jautāja: "Bet kam to vajag?", viņš atbildēja šādi:" Tas nevienam nav vajadzīgs. Bet padomājiet par to, cik svarīgi grūtākie uzdevumi padomājiet, cik daudz problēmu cilvēce ir spējusi atrisināt 360 gadu laikā pirms Fermā teorēmas pierādīšanas.Meklējot tās pierādījumu, tika atklāta gandrīz puse mūsdienu matemātikas. Jāņem vērā arī tas, ka matemātika ir zinātnes avangards (un , starp citu, vienīgā no zinātnēm, kas tiek veidota bez nevienas kļūdas), un visi zinātnes sasniegumi un izgudrojumi sākas tieši šeit. Kā atzīmēja Leonardo da Vinči, "tikai tā doktrīna, kas ir matemātiski apstiprināta, var tikt atzīta par zinātni. ”.

* * *

Un tagad atgriezīsimies pie mūsu stāsta sākuma, atcerēsimies Pjēra Fermā ierakstu Diofanta mācību grāmatas malās un vēlreiz pajautāsim sev: vai Fermā tiešām pierādīja savu teorēmu? Protams, mēs to nevaram droši zināt, un tāpat kā jebkurā gadījumā šeit rodas dažādas versijas:

1. versija: Fermā pierādīja savu teorēmu. (Uz jautājumu: "Vai Fermā bija tieši tāds pats pierādījums savai teorēmai?" Endrjū Vilss atzīmēja: "Fermā nevarēja būt tātad pierādījums. Tas ir 20. gadsimta pierādījums.«Mēs saprotam, ka 17. gadsimtā matemātika, protams, nebija tāda pati kā 20. gadsimta beigās – tajā laikmetā zinātņu karaliene d Artanjana nebija. tomēr viņiem ir tie atklājumi (modulārās formas, Tanijamas teorēmas, Frejs u.c.), kas tikai ļāva pierādīt Fermā pēdējo teorēmu. Protams, var pieņemt: kāda velna pēc nejoko – kas būtu, ja Fermā uzminētu savādāk Šī versija, lai gan tā ir iespējama, pēc lielākās daļas matemātiķu domām, ir praktiski neiespējama);
2. versija: Pjēram de Fermā šķita, ka viņš ir pierādījis savu teorēmu, taču viņa pierādījumos bija kļūdas. (Tas ir, pats Fermā bija arī pirmais fermatists);
3. versija: Fermā nepierādīja savu teorēmu, bet vienkārši meloja malā.

Ja viena no pēdējām divām versijām ir pareiza, kas, visticamāk, ir, tad var izdarīt vienkāršu secinājumu: lieliski cilvēki, lai gan viņi ir lieliski, viņi var arī kļūdīties vai dažreiz neiebilst pret meliem(pamatā šis secinājums noderēs tiem, kas sliecas pilnībā uzticēties saviem elkiem un citiem domu valdniekiem). Tāpēc, lasot autoritatīvu cilvēces dēlu darbus vai klausoties viņu nožēlojamās runas, jums ir visas tiesības apšaubīt viņu apgalvojumus. (Lūdzu, ņemiet vērā, ka šaubīties nav noraidīt).

Rakstu materiālu pārdrukāšana iespējama tikai ar obligātajām saitēm uz vietni (internetā - hipersaite) un autoram

FERMĀTA LIELĀ TEORĒMA - Pjēra Fermā (franču jurista un nepilna laika matemātiķa) apgalvojums, ka Diofantīna vienādojumam X n + Y n = Z n ar eksponentu n>2, kur n = vesels skaitlis, nav pozitīvu atrisinājumu. veseli skaitļi . Autora teksts: "Nav iespējams sadalīt kubu divos kubos vai bi-kvadrātu divos divos kvadrātos vai vispār jaudu, kas ir lielāka par diviem, divās pakāpēs ar vienādu eksponentu."

"Fermats un viņa teorēma", Amadeo Modiljāni, 1920

Pjērs nāca klajā ar šo teorēmu 1636. gada 29. martā. Un pēc kādiem 29 gadiem viņš nomira. Bet ar to viss sākās. Galu galā, bagāts vācu matemātiķis, vārdā Volfskels, novēlēja simts tūkstošus marku tam, kurš uzrāda pilnīgu Fermā teorēmas pierādījumu! Taču uztraukums ap teorēmu bija saistīts ne tikai ar šo, bet arī ar profesionālu matemātisko aizrautību. Pats Fermā deva mājienu matemātikas aprindām, ka viņš zina pierādījumu – īsi pirms savas nāves, 1665. gadā, viņš grāmatas Diofants no Aleksandrijas "Aritmētika" malās atstāja šādu ierakstu: "Man ir ļoti pārsteidzošs pierādījums, bet tas ir pārāk liels, lai to novietotu uz laukiem."

Tieši šis mājiens (plus, protams, naudas balva) lika matemātiķiem neveiksmīgi iztērēt labākie gadi(Saskaņā ar amerikāņu zinātnieku aprēķiniem, tikai profesionāli matemātiķi tam kopā veltīja 543 gadus).

Kādā brīdī (1901. gadā) darbs pie Fermā teorēmas ieguva apšaubāmu slavu "darbs, kas līdzinās mūžīgās kustības mašīnas meklējumiem" (bija pat nievājošs termins - "fermatiķi"). Un pēkšņi 1993. gada 23. jūnijā matemātikas konferencē par skaitļu teoriju Kembridžā angļu matemātikas profesors no Prinstonas universitātes (Ņūdžersija, ASV) Endrjū Vilss paziņoja, ka beidzot ir pierādījis Fermā!

Tomēr pierādījums bija ne tikai sarežģīts, bet arī acīmredzami kļūdains, kā Wiles norādīja viņa kolēģi. Taču profesors Vills visu mūžu sapņoja par teorēmas pierādīšanu, tāpēc nav pārsteidzoši, ka 1994. gada maijā viņš zinātnieku aprindām iepazīstināja ar jaunu, uzlabotu pierādījumu versiju. Tajā nebija harmonijas, skaistuma, un tas joprojām bija ļoti sarežģīti - tas, ka matemātiķi jau veselu gadu (!) analizē šo pierādījumu, lai saprastu, vai tas nav kļūdains, runā pats par sevi!

Bet galu galā Vilsa pierādījums tika atzīts par pareizu. Bet matemātiķi nepiedeva Pjēram Fermā par viņa mājienu aritmētikā, un patiesībā viņi sāka uzskatīt viņu par meli. Faktiski pirmā persona, kas apšaubīja Fermā morālo godīgumu, bija pats Endrjū Vilss, kurš atzīmēja, ka "Fermā nevarētu būt šāds pierādījums. Tas ir divdesmitā gadsimta pierādījums." Tad, starp citiem zinātniekiem, nostiprinājās viedoklis, ka Fermā "nevarēja pierādīt savu teorēmu citā veidā, un Fermā objektīvu iemeslu dēļ nevarēja to pierādīt tā, kā to darīja Vilss".

Faktiski Fermā, protams, to varētu pierādīt, un nedaudz vēlāk šo pierādījumu atjaunos New Analytical Encyclopedia analītiķi. Bet - kas ir šie "objektīvie iemesli"?
Faktiski ir tikai viens šāds iemesls: tajos gados, kad dzīvoja Fermā, nevarēja parādīties Tanijamas minējums, uz kura balstījās Endrjū Villss, jo modulārās funkcijas, ar kurām darbojas Tanijamas minējums, tika atklātas tikai XIX beigas gadsimtā.

Kā pats Vilss pierādīja teorēmu? Jautājums nav tukšs - tas ir svarīgi, lai saprastu, kā pats Fermā varētu pierādīt savu teorēmu. Villss balstīja savu pierādījumu uz Tanijas pieņēmuma pierādījumu, ko 1955. gadā izvirzīja 28 gadus vecais japāņu matemātiķis Jutaka Tanijama.

Minējums izklausās šādi: "katra eliptiska līkne atbilst noteiktai modulārai formai." Eliptiskām līknēm, kas pazīstamas jau ilgu laiku, ir divdimensiju forma (atrodas plaknē), savukārt moduļu funkcijām ir četrdimensiju forma. Tas ir, Taniyama hipotēze apvienoja pilnīgi dažādus jēdzienus - vienkāršas plakanas līknes un neiedomājamas četrdimensiju formas. Pats fakts par dažādu dimensiju figūru savienošanu hipotēzē zinātniekiem šķita absurds, tāpēc 1955. gadā tam netika piešķirta nekāda nozīme.

Taču 1984. gada rudenī pēkšņi atkal atcerējās "Tanijamas hipotēzi", un ne tikai atcerējās, bet tās iespējamais pierādījums tika saistīts ar Fermā teorēmas pierādījumu! To paveica Zārbrikenes matemātiķis Gerhards Frejs, kurš zinātnieku aprindām teica, ka "ja kāds varētu pierādīt Tanijamas minējumu, tad Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta".

Ko Frejs izdarīja? Viņš pārveidoja Fermā vienādojumu par kubisku, pēc tam vērsa uzmanību uz to, ka eliptiskā līkne, kas iegūta, pārvēršot Fermā vienādojumu kubiskā, nevar būt modulāra. Tomēr Taniyama minējums norādīja, ka jebkura eliptiska līkne varētu būt modulāra! Attiecīgi, eliptiska līkne, kas veidota no Fermā vienādojuma, nevar pastāvēt, kas nozīmē, ka nevar pastāvēt veseli risinājumi un Fermā teorēma, kas nozīmē, ka tā ir patiesa. Nu, 1993. gadā Endrjū Vilss vienkārši pierādīja Tanijamas minējumu un līdz ar to arī Fermā teorēmu.

Tomēr Fermā teorēmu var pierādīt daudz vienkāršāk, pamatojoties uz to pašu daudzdimensionalitāti, ar kuru darbojās gan Tanijama, gan Frejs.

Sākumā pievērsīsim uzmanību paša Pjēra Fermā izvirzītajam nosacījumam - n>2. Kāpēc šis nosacījums bija vajadzīgs? Jā, tikai par to, ka pie n=2 parastā Pitagora teorēma X 2 +Y 2 =Z 2 kļūst par Fermā teorēmas īpašu gadījumu, kurā ir bezgalīgi daudz veselu atrisinājumu - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 un tā tālāk. Tādējādi Pitagora teorēma ir izņēmums no Fermā teorēmas.

Bet kāpēc tieši n=2 gadījumā notiek šāds izņēmums? Viss nostājas savās vietās, ja redzat attiecības starp pakāpi (n=2) un pašas figūras dimensiju. Pitagora trīsstūris ir divdimensiju figūra. Nav pārsteidzoši, ka Z (tas ir, hipotenūzu) var izteikt kājās (X un Y), kas var būt veseli skaitļi. Leņķa izmērs (90) ļauj uzskatīt hipotenūzu par vektoru, un kājas ir vektori, kas atrodas uz asīm un nāk no sākuma. Attiecīgi ir iespējams izteikt divdimensiju vektoru, kas neatrodas uz nevienas no asīm, attiecībā uz vektoriem, kas atrodas uz tām.

Tagad, ja mēs ejam uz trešo dimensiju un līdz ar to n=3, lai izteiktu trīsdimensiju vektoru, nebūs pietiekami daudz informācijas par diviem vektoriem, un tāpēc būs iespējams izteikt Z Fermā vienādojumā vismaz trīs termini (trīs vektori, kas atrodas attiecīgi uz trim koordinātu sistēmas asīm).

Ja n=4, tad jābūt 4 vārdiem, ja n=5, tad jābūt 5 terminiem utt. Šajā gadījumā veselu risinājumu būs vairāk nekā pietiekami. Piemēram, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 un tā tālāk (varat izvēlēties citus piemērus n=3, n=4 un tā tālāk).

Kas no tā visa izriet? No tā izriet, ka Fermā teorēmai patiešām nav pilnu atrisinājumu n>2, bet tikai tāpēc, ka pats vienādojums ir nepareizs! Ar tādiem pašiem panākumiem varētu mēģināt izteikt paralēlskaldņa tilpumu tā divu šķautņu garumos - protams, tas nav iespējams (veseli risinājumi nekad netiks atrasti), bet tikai tāpēc, ka atrast paralēlskaldņa tilpumu , jums jāzina visu trīs tā malu garumi.

Kad slavenajam matemātiķim Deividam Gilbertam jautāja, kas šobrīd ir vissvarīgākais zinātnes uzdevums, viņš atbildēja "noķert mušu Mēness tālākajā pusē". Uz pamatotu jautājumu "Kam tas vajadzīgs?" viņš atbildēja šādi: "Nevienam tas nav vajadzīgs. Bet padomājiet, cik daudz svarīgu un sarežģītu uzdevumu jums jāatrisina, lai to paveiktu."

Citiem vārdiem sakot, Fermā (pirmkārt jurists!) izspēlēja asprātīgu juridisku joku par visu matemātisko pasauli, pamatojoties uz nepareizs iestudējums uzdevumus. Viņš patiesībā ieteica matemātiķiem rast atbildi, kāpēc muša nevar dzīvot otrpus Mēness, un Aritmētikas malās gribēja tikai ierakstīt, ka uz Mēness vienkārši nav gaisa, t.i. viņa teorēmai nevar būt veselu skaitļu atrisinājumi n>2 tikai tāpēc, ka katrai n vērtībai ir jāatbilst noteiktam vienību skaitam viņa vienādojuma kreisajā pusē.

Bet vai tas bija tikai joks? Nepavisam. Fermā ģēnijs slēpjas tieši tajā apstāklī, ka patiesībā viņš pirmais ieraudzīja attiecības starp pakāpi un matemātiskas figūras dimensiju – tas ir, kas ir absolūti līdzvērtīgs, vārdu skaitu vienādojuma kreisajā pusē. Viņa slavenās teorēmas jēga bija tieši ne tikai virzīt matemātisko pasauli uz šo attiecību ideju, bet arī ierosināt šo attiecību esamības pierādījumu - intuitīvi saprotamu, bet matemātiski vēl nepamatotu.

Fermā, tāpat kā neviens cits, saprata, ka attiecību nodibināšana starp šķietami atšķirīgiem objektiem ir ārkārtīgi auglīga ne tikai matemātikā, bet arī jebkurā zinātnē. Šādas attiecības norāda uz kādu dziļu principu, kas ir abu objektu pamatā un ļauj tos dziļāk izprast.

Piemēram, sākotnēji fiziķi uzskatīja elektrību un magnētismu par pilnīgi nesaistītām parādībām, un 19. gadsimtā teorētiķi un eksperimentētāji saprata, ka elektrība un magnētisms ir cieši saistīti. Rezultāts bija dziļāka izpratne gan par elektrību, gan par magnētismu. Elektriskās strāvasģenerēt magnētiskie lauki, un magnēti var izraisīt elektrību vadītājos, kas atrodas netālu no magnētiem. Tas noveda pie dinamo un elektromotoru izgudrošanas. Galu galā tika atklāts, ka gaisma ir saskaņotas rezultāts harmoniskas vibrācijas magnētiskie un elektriskie lauki.

Fermā laika matemātika sastāvēja no zināšanu salām neziņas jūrā. Ģeometri pētīja formas vienā salā, bet matemātiķi - varbūtību un nejaušību uz otras salas. Ģeometrijas valoda ļoti atšķīrās no varbūtību teorijas valodas, un algebriskā terminoloģija bija sveša tiem, kas runāja tikai par statistiku. Diemžēl mūsu laika matemātika sastāv no aptuveni vienādām salām.

Farm bija pirmā, kas saprata, ka visas šīs salas ir savstarpēji saistītas. Un viņa slavenā teorēma - Fermā LIELĀ TEORĒMA - ir lielisks apstiprinājums tam.

Tātad Fermā pēdējā teorēma (bieži saukta par Fermā pēdējo teorēmu), ko 1637. gadā formulēja izcilais franču matemātiķis Pjērs Fermā, pēc būtības ir ļoti vienkārša un saprotama jebkuram cilvēkam ar vidējo izglītību. Tajā teikts, ka formulai a pakāpei n + b pakāpei n \u003d c pakāpei n nav dabisku (tas ir, nedalītu) risinājumu n> 2. Šķiet, ka viss ir vienkāršs un skaidrs. , bet labākie matemātiķi un parastie amatieri cīnījās par risinājuma meklēšanu vairāk nekā trīsarpus gadsimtus.

Kāpēc viņa ir tik slavena? Tagad noskaidrosim...



Vai ir maz pierādītu, nepierādītu un tomēr nepierādītu teorēmu? Lieta tāda, ka Fermā pēdējā teorēma ir lielākais kontrasts starp formulējuma vienkāršību un pierādījuma sarežģītību. Fermā pēdējā teorēma ir neticami grūts uzdevums, un tomēr tās formulējumu var saprast ikviens 5. klases vidusskola, bet pierādījums nav pat kāds profesionāls matemātiķis. Ne fizikā, ne ķīmijā, ne bioloģijā, ne tajā pašā matemātikā nav nevienas problēmas, kas būtu tik vienkārši formulēta, bet tik ilgi paliktu neatrisināta. 2. No kā tas sastāv?

Sāksim ar Pitagora biksēm Formulējums patiešām ir vienkāršs – no pirmā acu uzmetiena. Kā mēs zinām no bērnības, "Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm." Problēma izskatās tik vienkārša, jo tā balstījās uz matemātisku apgalvojumu, ko visi zina - Pitagora teorēmu: jebkurā gadījumā taisnleņķa trīsstūris uz hipotenūzas uzceltais kvadrāts ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto kvadrātu summu.

5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Pitagors nodibināja Pitagora brālību. Pitagorieši, cita starpā, pētīja veselu skaitļu trīskāršus, kas apmierina vienādojumu x²+y²=z². Viņi to pierādīja Pitagora trīnīši bezgala daudz, un ieguva vispārīgas formulas to atrašanai. Viņi noteikti ir mēģinājuši meklēt trīs vai vairāk. augstas pakāpes. Pārliecībā, ka tas nelīdz, pitagorieši atmeta savus veltīgos mēģinājumus. Brālības locekļi bija vairāk filozofi un estēti, nevis matemātiķi.


Tas ir, ir viegli izvēlēties skaitļu kopu, kas lieliski atbilst vienādībai x² + y² = z²

Sākot no 3, 4, 5 - patiešām, pamatskolas skolēns saprot, ka 9 + 16 = 25.

Vai 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Lieliski.

Nu un tā tālāk. Ko darīt, ja ņemtu līdzīgu vienādojumu x³+y³=z³? Varbūt ir arī tādi cipari?




Un tā tālāk (1. att.).

Nu, izrādās, ka viņi to nedara. Šeit sākas triks. Vienkāršība ir šķietama, jo ir grūti pierādīt nevis kaut kā esamību, bet, gluži pretēji, neesamību. Kad ir jāpierāda, ka risinājums ir, var un vajag vienkārši uzrādīt šo risinājumu.

Neesamību ir grūtāk pierādīt: piemēram, kāds saka: tādam un tādam vienādojumam nav atrisinājumu. Ielikt viņu peļķē? viegli: bam – un lūk, risinājums! (sniedziet risinājumu). Un viss, pretinieks ir uzvarēts. Kā pierādīt prombūtni?

Teikt: "Es tādus risinājumus neatradu"? Vai varbūt jūs neesat labi meklējis? Un ja nu tās ir, tikai ļoti lielas, nu tādas, ka pat superjaudīgam datoram vēl nepietiek spēka? Tas ir tas, kas ir grūti.

Vizuālā formā to var parādīt šādi: ja ņemam divus piemērota izmēra kvadrātus un izjaucam tos vienības kvadrātos, tad no šīs vienības kvadrātu kopas iegūst trešo kvadrātu (2. att.):


Un darīsim to pašu ar trešo dimensiju (3. att.) - tas nedarbojas. Nav pietiekami daudz kubu vai paliek papildu:





Bet 17. gadsimta matemātiķis francūzis Pjērs de Fermā entuziastiski pētīja vispārējo vienādojumu x n+yn=zn . Un, visbeidzot, viņš secināja: n>2 veseliem skaitļiem risinājumi nepastāv. Fermā pierādījums ir neatgriezeniski zaudēts. Manuskripti deg! Paliek tikai viņa piezīme Diofanta aritmētikā: "Es esmu atradis patiesi pārsteidzošu pierādījumu šim priekšlikumam, taču piemales šeit ir pārāk šauras, lai to ietvertu."

Faktiski teorēmu bez pierādījumiem sauc par hipotēzi. Taču Fermatam ir reputācija, ka viņš nekad nav kļūdījies. Pat ja viņš neatstāja pierādījumus nevienam apgalvojumam, tas vēlāk tika apstiprināts. Turklāt Fermā pierādīja savu tēzi par n=4. Tātad franču matemātiķa hipotēze iegāja vēsturē kā Fermā pēdējā teorēma.

Pēc Fermā izcili prāti, piemēram, Leonhards Eilers, strādāja pie pierādījumu atrašanas (1770. gadā viņš piedāvāja risinājumu n = 3),

Adrien Legendre un Johann Dirichlet (šie zinātnieki kopīgi atrada pierādījumu n = 5 1825. gadā), Gabriels Lame (kurš atrada pierādījumu n = 7) un daudzi citi. Līdz pagājušā gadsimta 80. gadu vidum kļuva skaidrs, ka zinātniskā pasaule ir ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas galīgo atrisinājumu, taču tikai 1993. gadā matemātiķi ieraudzīja un ticēja, ka trīs gadsimtu sāga par pierādījumu atrašanu Fermā pēdējā teorēma bija gandrīz beigusies.

Ir viegli pierādīt, ka pietiek ar Fermā teorēmu pierādīt tikai pirmskaitļam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Saliktajam n pierādījums paliek spēkā. Bet pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz...

1825. gadā, izmantojot Sofijas Žermenas metodi, sievietes matemātiķes Dirihlē un Ledžendre neatkarīgi pierādīja teorēmu n=5. 1839. gadā francūzis Gabriels Lame parādīja teorēmas patiesumu n=7, izmantojot to pašu metodi. Pamazām teorēma tika pierādīta gandrīz visiem n mazāk nekā simts.


Visbeidzot, vācu matemātiķis Ernsts Kummers izcilā pētījumā parādīja, ka 19. gadsimta matemātikas metodes nevar pierādīt teorēmu vispārīgā formā. Francijas Zinātņu akadēmijas balva, kas tika iedibināta 1847. gadā par Fermā teorēmas pierādīšanu, palika nepiešķirta.

1907. gadā bagātais vācu rūpnieks Pols Volfskels nolēma atņemt sev dzīvību nelaimīgas mīlestības dēļ. Kā īsts vācietis, viņš noteica pašnāvības datumu un laiku: tieši pusnaktī. Pēdējā dienā viņš sastādīja testamentu un rakstīja vēstules draugiem un radiem. Darbs beidzās pirms pusnakts. Jāsaka, ka Pāvilu interesēja matemātika. Neko darīt, viņš devās uz bibliotēku un sāka lasīt slaveno Kummera rakstu. Viņam pēkšņi šķita, ka Kummers ir pieļāvis kļūdu savā argumentācijā. Volfskels ar zīmuli rokā sāka analizēt šo raksta daļu. Pagāja pusnakts, pienāca rīts. Pierādījuma robs tika aizpildīts. Un pats pašnāvības iemesls tagad izskatījās pilnīgi smieklīgs. Pāvils saplēsa atvadu vēstules un pārrakstīja testamentu.

Drīz viņš nomira dabīgā nāvē. Mantinieki bija diezgan pārsteigti: 100 000 marku (vairāk nekā 1 000 000 pašreizējo sterliņu mārciņu) tika pārskaitītas Getingenes Karaliskās zinātniskās biedrības kontā, kas tajā pašā gadā izsludināja konkursu Volfskela balvai. 100 000 marku paļāvās uz Fermā teorēmas apliecinājumu. Par teorēmas atspēkošanu nebija jāmaksā ne pfenigs ...

Lielākā daļa profesionālo matemātiķu uzskatīja, ka Fermā pēdējās teorēmas pierādījuma meklējumi ir zaudēti, un apņēmīgi atteicās tērēt laiku šādam veltīgam uzdevumam. Bet amatieri līksmo uz godu. Dažas nedēļas pēc paziņojuma Getingenes Universitāti skāra "pierādījumu" lavīna. Profesors E. M. Landau, kura pienākums bija analizēt nosūtītos pierādījumus, izdalīja kartītes saviem studentiem:


Cienījamie (-i). . . . . . . .

Paldies par manuskriptu, kuru nosūtījāt kopā ar Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Pirmā kļūda ir lapā ... rindiņā ... . Tā dēļ viss pierādījums zaudē savu derīgumu.
Profesors E. M. Landau











1963. gadā Pols Koens, balstoties uz Gēdela atklājumiem, pierādīja vienas no Hilberta divdesmit trīs problēmām — kontinuuma hipotēzes — neatrisināmību. Ja nu Fermā pēdējā teorēma arī ir neatrisināma?! Taču īstie Lielās teorēmas fanātiķi nemaz nelika vilties. Datoru parādīšanās negaidīti deva matemātiķiem jaunu pierādīšanas metodi. Pēc Otrā pasaules kara programmētāju un matemātiķu grupas pierādīja Fermā pēdējo teorēmu visām vērtībām no n līdz 500, pēc tam līdz 1000 un vēlāk līdz 10 000.

Astoņdesmitajos gados Semjuels Vāgstafs paaugstināja robežu līdz 25 000, un 90. gados matemātiķi apgalvoja, ka Fermā pēdējā teorēma ir patiesa visām vērtībām no n līdz 4 miljoniem. Bet, ja no bezgalības atņem pat triljonu triljonu, tas nekļūst mazāks. Matemātiķus statistika nepārliecina. Lielās teorēmas pierādīšana nozīmēja tās pierādīšanu VISIEM n līdz bezgalībai.




1954. gadā divi jauni japāņu matemātiķi draugi sāka pētīt moduļu formas. Šīs formas ģenerē skaitļu sērijas, katrai no kurām ir sava sērija. Nejauši Taniyama salīdzināja šīs sērijas ar eliptisku vienādojumu radītajām sērijām. Viņi sakrita! Bet moduļu formas ir ģeometriski objekti, savukārt eliptiskie vienādojumi ir algebriski. Starp tik dažādiem objektiem nekad nav atrasts savienojums.

Tomēr pēc rūpīgas pārbaudes draugi izvirzīja hipotēzi: katram eliptiskajam vienādojumam ir dvīņi - modulāra forma un otrādi. Tieši šī hipotēze kļuva par pamatu veselai matemātikas tendencei, taču, kamēr Taniyama-Shimura hipotēze nebija pierādīta, visa ēka jebkurā brīdī varēja sabrukt.

1984. gadā Gerhards Frejs parādīja, ka Fermā vienādojuma risinājumu, ja tāds pastāv, var iekļaut kādā eliptiskā vienādojumā. Divus gadus vēlāk profesors Kens Ribets pierādīja, ka šim hipotētiskajam vienādojumam modulārajā pasaulē nevar būt līdzinieks. Turpmāk Fermā pēdējā teorēma bija nesaraujami saistīta ar Taniyama-Shimura minējumu. Pierādījuši, ka jebkura eliptiskā līkne ir modulāra, mēs secinām, ka nav neviena eliptiska vienādojuma ar Fermā vienādojuma atrisinājumu, un Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta nekavējoties. Taču trīsdesmit gadus nebija iespējams pierādīt Taniyama-Shimura minējumu, un cerības uz panākumiem palika arvien mazākas.

1963. gadā, kad viņam bija tikai desmit gadu, Endrjū Vilsu jau aizrāva matemātika. Uzzinot par Lielo teorēmu, viņš saprata, ka nevar no tās atkāpties. Būdams skolnieks, students, maģistrants, viņš gatavojās šim uzdevumam.

Uzzinājis par Kena Ribeta atklājumiem, Vilss metās pierādīt Taniyama-Shimura minējumu. Viņš nolēma strādāt pilnīgā izolācijā un slepenībā. "Es sapratu, ka viss, kas ir kaut kas saistīts ar Fermā pēdējo teorēmu, rada pārāk lielu interesi ... Pārāk daudz skatītāju apzināti traucē sasniegt mērķi." Septiņu gadu smaga darba atmaksājās, Villss beidzot pabeidza Taniyama-Shimura minējuma pierādījumu.

1993. gadā angļu matemātiķis Endrjū Vilss iepazīstināja pasauli ar savu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu (Vils nolasīja savu sensacionālo ziņojumu konferencē Sera Īzaka Ņūtona institūtā Kembridžā.), darbs pie kura ilga vairāk nekā septiņus gadus.







Kamēr ažiotāža turpinājās presē, sākās nopietns darbs, lai pārbaudītu pierādījumus. Katrs pierādījums ir rūpīgi jāpārbauda, ​​pirms pierādījumu var uzskatīt par stingru un precīzu. Vilss pavadīja drudžainu vasaru, gaidot recenzentu atsauksmes, cerot, ka viņš varētu iegūt viņu piekrišanu. Augusta beigās eksperti konstatēja nepietiekami pamatotu spriedumu.

Izrādījās, ka šajā lēmumā ir rupja kļūda, lai gan kopumā tā ir taisnība. Villss nepadevās, aicināja palīgā pazīstamu skaitļu teorijas speciālistu Ričardu Teiloru un jau 1994. gadā publicēja izlabotu un papildinātu teorēmas pierādījumu. Pats pārsteidzošākais ir tas, ka šis darbs matemātikas žurnālā Annals of Mathematics aizņēma pat 130 (!) lappuses. Taču ar to stāsts arī nebeidzās - pēdējais punkts tika likts tikai nākamajā, 1995. gadā, kad tika publicēta galīgā un “ideālā”, no matemātiskā viedokļa, pierādījuma versija.

“...pusminūti pēc svinīgo vakariņu sākuma viņas dzimšanas dienā es Nadijai iedevu pilnīga pierādījuma manuskriptu” (Endrjū Velss). Vai es minēju, ka matemātiķi ir dīvaini cilvēki?






Šoreiz par pierādījumu nebija šaubu. Divi raksti tika pakļauti visrūpīgākajai analīzei un 1995. gada maijā tika publicēti Annals of Mathematics.

Kopš tā brīža ir pagājis daudz laika, bet sabiedrībā joprojām pastāv viedoklis par Fermā pēdējās teorēmas neatrisināmību. Bet pat tie, kas zina par atrasto pierādījumu, turpina strādāt šajā virzienā - daži cilvēki ir apmierināti, ka Lielā teorēma prasa 130 lappušu atrisinājumu!

Tāpēc tagad tik daudzu matemātiķu (galvenokārt amatieru, nevis profesionālu zinātnieku) spēki tiek mesti, meklējot vienkāršu un kodolīgu pierādījumu, taču šis ceļš, visticamāk, nekur nevedīs ...