Tiešsaistē attēlojiet kompleksos skaitļus trigonometriskā formā. Kompleksā skaitļa trigonometriskās un eksponenciālās formas. Kompleksie skaitļi xi

2.3. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Ļaujiet vektoram dot tālāk sarežģīta plakne numurs .

Ar φ apzīmē leņķi starp pozitīvo pusasi Ox un vektoru (leņķi φ uzskata par pozitīvu, ja to skaita pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un negatīvu pretējā gadījumā).

Apzīmē vektora garumu ar r. Tad . Mēs arī apzīmējam

Nenulles kompleksā skaitļa z rakstīšana kā

sauc par kompleksā skaitļa z trigonometrisko formu. Skaitli r sauc par kompleksā skaitļa z moduli, bet skaitli φ par šī kompleksā skaitļa argumentu un apzīmē ar Arg z.

Kompleksā skaitļa rakstīšanas trigonometriskā forma - (Eilera formula) - kompleksa skaitļa rakstīšanas eksponenciāla forma:

Kompleksajam skaitlim z ir bezgala daudz argumentu: ja φ0 ir jebkurš skaitļa z arguments, tad visus pārējos var atrast pēc formulas

Kompleksam skaitlim arguments un trigonometriskā forma nav definēti.

Tādējādi kompleksa skaitļa, kas nav nulle, arguments ir jebkurš vienādojumu sistēmas risinājums:

(3)

Kompleksā skaitļa z argumenta vērtību φ, kas apmierina nevienādības, sauc par galveno vērtību un apzīmē ar arg z.

Argumenti Arg z un arg z ir saistīti ar vienādību

, (4)

Formula (5) ir sistēmas (3) sekas, tāpēc visi kompleksā skaitļa argumenti apmierina (5) vienādību, bet ne visi (5) vienādojuma atrisinājumi φ ir skaitļa z argumenti.

Nenulles kompleksā skaitļa argumenta galveno vērtību nosaka pēc formulām:

Komplekso skaitļu reizināšanas un dalīšanas formulas trigonometriskā forma ir šāda forma:

. (7)

Palielinot kompleksu skaitli līdz naturālajam pakāpēm, tiek izmantota de Moivra formula:

Izņemot sakni no kompleksā skaitļa, tiek izmantota formula:

, (9)

kur k=0, 1, 2, …, n-1.

54. uzdevums. Aprēķināt , kur .

Attēlosim šīs izteiksmes atrisinājumu kompleksā skaitļa rakstīšanas eksponenciālā formā: .

Ja tad .

Tad, . Tāpēc, tad Un , Kur.

Atbilde: , plkst.

55. uzdevums. Uzrakstiet kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

A) ; b) ; V) ; G) ; e) ; e) ; un) .

Tā kā kompleksā skaitļa trigonometriskā forma ir , tad:

a) Kompleksā skaitā: .

Tāpēc

b) , Kur,

G) , Kur,

e) .

un) , A , Tas.

Tāpēc

Atbilde: ; 4; ; ; ; ; .

56. uzdevums. Atrodi kompleksa skaitļa trigonometrisko formu

Ļaujiet, .

Tad, , .

Jo un , , pēc tam , un

Tāpēc tāpēc

Atbilde: , Kur.

57. uzdevums. Izmantojot kompleksā skaitļa trigonometrisko formu, veic šādas darbības: .

Iedomājieties skaitļus un trigonometriskā formā.

1), kur Tad

Galvenā argumenta vērtības atrašana:

Aizstājiet vērtības un izteiksmē , mēs iegūstam

2) kur tad

Tad

3) Atrodiet koeficientu

Pieņemot, ka k=0, 1, 2, mēs iegūstam trīs dažādas nozīmes vēlamā sakne:

Ja tad

ja tad

ja tad .

Atbilde: :

: .

58. uzdevums. Ļaujiet , , , ir dažādi kompleksie skaitļi un . Pierādiet to

skaitlis ir reāls pozitīvs skaitlis;

b) vienlīdzība notiek:

a) Attēlosim šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā:

Jo .

Izliksimies tā. Tad

Pēdējā izteiksme ir pozitīvs skaitlis, jo zem sinusa zīmēm ir skaitļi no intervāla.

jo numurs patiesi un pozitīvi. Patiešām, ja a un b ir kompleksi skaitļi un ir reāli un lielāki par nulli, tad .

Turklāt,

līdz ar to ir pierādīta nepieciešamā vienlīdzība.

59. uzdevums. Pierakstiet skaitli algebriskā formā .

Mēs attēlojam skaitli trigonometriskā formā un pēc tam atrodam tā algebrisko formu. Mums ir . Priekš mēs iegūstam sistēmu:

No tā izriet vienlīdzība: .

Piemērojot De Moivre formulu:

mēs saņemam

Atrasta trigonometriskā forma dotais numurs.

Tagad mēs rakstām šo skaitli algebriskā formā:

Atbilde: .

60. uzdevums. Atrodiet summu , ,

Apsveriet summu

Izmantojot De Moivre formulu, mēs atklājam

Šī summa ir n vārdu summa ģeometriskā progresija ar saucēju un pirmais dalībnieks .

Piemērojot formulu šādas progresijas nosacījumu summai, mēs iegūstam

Izcelšana iedomātā daļa pēdējā izteiksmē mēs atrodam

Atdalot reālo daļu, iegūstam arī šādu formulu: , , .

61. uzdevums. Atrodiet summu:

A) ; b) .

Saskaņā ar Ņūtona formulu, lai palielinātu spēku, mums ir

Saskaņā ar De Moivre formulu mēs atrodam:

Pielīdzinot iegūto izteiksmju reālās un iedomātās daļas, mēs iegūstam:

Un .

Šīs formulas kompaktā formā var uzrakstīt šādi:

, Kur - visa daļa cipari a.

62. uzdevums. Atrodiet visus, kuriem .

Tāpēc ka , pēc tam, piemērojot formulu

, Lai iegūtu saknes, mēs iegūstam ,

Tāpēc , ,

, .

Skaitļiem atbilstošie punkti atrodas kvadrāta virsotnēs, kas ierakstītas aplī ar rādiusu 2 un kura centrs ir punktā (0;0) (30. att.).

Atbilde: , ,

, .

63. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu , .

Pēc nosacījuma; tāpēc šim vienādojumam nav saknes, un tāpēc tas ir līdzvērtīgs vienādojumam.

Lai skaitlis z būtu šī vienādojuma sakne, skaitlim ir jābūt saknei n-tā pakāpe no 1. numura.

Tādējādi mēs secinām, ka sākotnējam vienādojumam ir saknes, kas noteiktas no vienādībām

Tādējādi

t.i. ,

Atbilde: .

64. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu komplekso skaitļu kopā.

Tā kā skaitlis nav šī vienādojuma sakne, tad šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam

Tas ir, vienādojums.

Visas šī vienādojuma saknes iegūst no formulas (skat. 62. uzdevumu):

; ; ; ; .

65. uzdevums. Uzzīmējiet kompleksajā plaknē punktu kopu, kas apmierina nevienādības: . (otrais veids, kā atrisināt 45. problēmu)

Ļaujiet .

Kompleksie skaitļi ar vienādiem moduļiem atbilst plaknes punktiem, kas atrodas uz apļa, kura centrs ir sākuma punktā, tāpēc nevienlīdzība apmierina visus punktus atvērts gredzens, ko ierobežo apļi ar kopīgu centru sākuma punktā un rādiusos un (31. att.). Lai kāds kompleksās plaknes punkts atbilst skaitlim w0. Numurs , kura modulis ir reizes mazāks par moduli w0, arguments, kas ir lielāks par argumentu w0. No ģeometriskā viedokļa punktu, kas atbilst w1, var iegūt, izmantojot homotitāti, kas centrēta uz sākumu un koeficientu , kā arī rotāciju pretēji pulksteņrādītāja virzienam attiecībā pret izcelsmi. Šo divu pārveidojumu piemērošanas rezultātā gredzena punktiem (31. att.), pēdējais pārvērtīsies par gredzenu, ko ierobežo apļi ar vienādu centru un rādiusiem 1 un 2 (32. att.).

transformācija tiek īstenots, izmantojot vektora paralēlo tulkošanu. Punktā centrētu gredzenu pārnesot uz norādīto vektoru, iegūstam tāda paša izmēra gredzenu, kura centrs ir punktā (22. att.).

Piedāvātā metode, kas izmanto ideju par plaknes ģeometriskām transformācijām, iespējams, ir mazāk ērta aprakstā, taču tā ir ļoti eleganta un efektīva.

Problēma 66. Atrast, ja .

Ļaujiet , tad un . Sākotnējai vienlīdzībai būs forma . No divu komplekso skaitļu vienādības nosacījuma iegūstam , , no kurienes , . Tādējādi,.

Uzrakstīsim skaitli z trigonometriskā formā:

, Kur,. Saskaņā ar De Moivre formulu mēs atrodam .

Atbilde: - 64.

67. uzdevums. Kompleksam skaitlim atrodiet visus tādus kompleksos skaitļus, ka , un .

Attēlosim skaitli trigonometriskā formā:

. Līdz ar to,. Skaitlim, ko iegūstam , var būt vienāds ar vai nu .

Pirmajā gadījumā , otrajā

Atbilde: , .

68. uzdevums. Atrast tādu skaitļu summu, ka . Norādiet vienu no šiem skaitļiem.

Ņemiet vērā, ka jau no paša problēmas formulējuma var saprast, ka vienādojuma sakņu summu var atrast, neaprēķinot pašas saknes. Patiešām, vienādojuma sakņu summa ir koeficients, kas ņemts ar pretēju zīmi (vispārinātā Vieta teorēma), t.i.

Skolēni, skolas dokumentācija, izdara secinājumus par asimilācijas pakāpi šo koncepciju. Apkopojiet matemātiskās domāšanas pazīmju izpēti un kompleksā skaitļa jēdziena veidošanas procesu. Metožu apraksts. Diagnostika: I posms. Intervija veikta ar matemātikas skolotāju, kura 10. klasē māca algebru un ģeometriju. Saruna notika pēc kāda laika...

Rezonanse" (!)), kas ietver arī savas uzvedības novērtējumu. 4. Kritisks situācijas izpratnes novērtējums (šaubas). 5. Visbeidzot ieteikumu izmantošana. juridiskā psiholoģija(advokāta grāmatvedība psiholoģiskie aspekti veiktās profesionālās darbības – profesionālā un psiholoģiskā sagatavotība). Tagad apsveriet juridisko faktu psiholoģisko analīzi. ...

Trigonometriskās aizstāšanas matemātika un izstrādātās mācību metodikas efektivitātes pārbaude. Darba posmi: 1. Izvēles kursa izstrāde par tēmu: "Trigonometriskās aizstāšanas izmantošana algebrisko uzdevumu risināšanā" ar skolēniem no klasēm ar padziļināta izpēte matemātika. 2. Izstrādāta izvēles kursa vadīšana. 3. Diagnostikas kontroles veikšana...

Kognitīvie uzdevumi ir paredzēti tikai esošo mācību līdzekļu papildināšanai, un tiem jābūt atbilstošā kombinācijā ar visiem tradicionālajiem līdzekļiem un elementiem. izglītības process. Atšķirība starp mācīšanās mērķiem mācībās humanitārās zinātnes no precīzi, no matemātikas uzdevumi sastāv tikai no tā, ka vēsturiskajās problēmās nav formulu, stingru algoritmu utt., kas apgrūtina to risinājumu. ...

Lekcija

Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Plānot

1. Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

2. Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

3. Darbības uz kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā.

Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.

a) Kompleksie skaitļi tiek attēloti ar plaknes punktiem saskaņā ar šādu noteikumu: a + bi = M ( a ; b ) (1. att.).

1. attēls

b) Kompleksu skaitli var attēlot kā vektoru, kas sākas punktāPAR un beidzas noteiktā punktā (2. att.).

2. attēls

7. piemērs. Atzīmējiet punktus, kas attēlo kompleksos skaitļus:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3. att.).

3. attēls

Komplekso skaitļu trigonometriskais apzīmējums.

Komplekss skaitlisz = a + bi var iestatīt, izmantojot rādiusu - vektoru ar koordinātām( a ; b ) (4. att.).

4. attēls

Definīcija . Vektora garums kas attēlo komplekso skaitliz , sauc par šī skaitļa moduli un tiek apzīmēts vair .

Jebkuram kompleksam skaitlimz tā modulisr = | z | tiek unikāli noteikts pēc formulas .

Definīcija . Leņķa vērtība starp reālās ass pozitīvo virzienu un vektoru Kompleksā skaitļa attēlošana tiek saukta par šī kompleksā skaitļa argumentu un tiek apzīmētaA rg z vaiφ .

Kompleksā skaitļa argumentsz = 0 nenoteikts. Kompleksā skaitļa argumentsz≠ 0 ir daudzvērtību lielums, un to nosaka līdz termiņam2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Kurarg z - argumenta galvenā vērtība, kas iekļauta intervālā(-π; π] , tas ir-π < arg z ≤ π (dažreiz vērtība, kas pieder intervālam, tiek uzskatīta par argumenta galveno vērtību .

Šī formula, lair =1 bieži saukta par De Moivre formulu:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. piemērs Aprēķināt(1 + i ) 100 .

Uzrakstīsim kompleksu skaitli1 + i trigonometriskā formā.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + es grēkoju )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i grēks 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Ekstrakcija kvadrātsakne no kompleksā skaitļa.

Iegūstot kompleksa skaitļa kvadrātsaknia + bi mums ir divi gadījumi:

Jab > apmēram , Tas ;

3.1. Polārās koordinātas

Bieži izmanto lidmašīnā polāro koordinātu sistēma . To nosaka, ja dots punkts O, izsaukts stabs, un stars, kas izplūst no staba (mums tā ir ass Vērsis) ir polārā ass. Punkta M atrašanās vieta ir noteikta ar diviem cipariem: rādiuss (vai rādiusa vektors) un leņķis φ starp polāro asi un vektoru . Leņķi φ sauc polārais leņķis; mēra radiānos un skaita pretēji pulksteņrādītāja virzienam no polārās ass.

Punkta atrašanās vietu polāro koordinātu sistēmā nosaka sakārtots skaitļu pāris (r; φ). Pie staba r = 0 un φ nav definēts. Par visiem pārējiem punktiem r > 0 un φ ir definēts līdz 2π daudzkārtnim. Šajā gadījumā skaitļu pāriem (r; φ) un (r 1 ; φ 1) tiek piešķirts viens un tas pats punkts, ja .

Taisnstūra koordinātu sistēmai xOy Dekarta koordinātas Punkti ir viegli izteikti to polāro koordinātu izteiksmē šādi:

3.2. Kompleksa skaitļa ģeometriskā interpretācija

Apsveriet Dekarta plakni taisnstūra sistēma koordinātas xOy.

Jebkuram kompleksajam skaitlim z=(a, b) tiek piešķirts plaknes punkts ar koordinātām ( x, y), Kur koordināte x = a, t.i. kompleksā skaitļa reālā daļa, un koordināte y = bi ir iedomātā daļa.

Plakne, kuras punkti ir kompleksie skaitļi, ir kompleksa plakne.

Attēlā kompleksais skaitlis z = (a, b) spēles punkts M(x, y).

Vingrinājums.Attēls ieslēgts koordinātu plakne kompleksie skaitļi:

3.3. Kompleksa skaitļa trigonometriskā forma

Kompleksam skaitlim plaknē ir punkta koordinātas M(x; y). Kurā:

Kompleksā skaitļa rakstīšana - kompleksa skaitļa trigonometriskā forma.

Tiek izsaukts cipars r modulis kompleksais skaitlis z un ir apzīmēts. Modulis ir nenegatīvs reāls skaitlis. Priekš .

Modulis ir nulle tad un tikai tad z = 0, t.i. a=b=0.

Tiek izsaukts skaitlis φ arguments z un apzīmēts. Arguments z ir definēts neviennozīmīgi, tāpat kā polārais leņķis polāro koordinātu sistēmā, proti, līdz 2π daudzkārtnim.

Tad mēs pieņemam: , kur φ ir mazākā vērtība arguments. Ir skaidrs, ka

Padziļināti izpētot tēmu, tiek ieviests palīgarguments φ*, lai

1. piemērs. Atrodiet kompleksā skaitļa trigonometrisko formu.

Risinājums. 1) mēs uzskatām moduli: ;

2) meklē φ: ;

3) trigonometriskā forma:

2. piemērs Atrodiet kompleksā skaitļa algebrisko formu .

Šeit pietiek ar vērtību aizstāšanu trigonometriskās funkcijas un pārveidot izteiksmi:

3. piemērs Atrast kompleksā skaitļa moduli un argumentu;

1) ;

2) ; φ - 4 ceturkšņos:

3.4. Darbības ar kompleksajiem skaitļiem trigonometriskā formā

· Saskaitīšana un atņemšana ir ērtāk veikt ar kompleksiem skaitļiem algebriskā formā:

· Reizināšana– ar vienkāršu trigonometrisko transformāciju palīdzību var pierādīt, ka reizinot, tiek reizināti skaitļu moduļi un pievienoti argumenti: ;

KOMPLEKSIE NUMURI XI

§ 256. Komplekso skaitļu trigonometriskā forma

Ļaujiet kompleksajam skaitlim a + bi atbilst vektoram OA> ar koordinātām ( a, b ) (sk. 332. att.).

Apzīmējiet šī vektora garumu ar r , un leņķi, ko tas veido ar asi X , cauri φ . Pēc sinusa un kosinusa definīcijas:

a / r = cos φ , b / r = grēks φ .

Tāpēc A = r cos φ , b = r grēks φ . Bet šajā gadījumā kompleksais skaitlis a + bi var rakstīt šādi:

a + bi = r cos φ + ir grēks φ = r (cos φ + i grēks φ ).

Kā jūs zināt, jebkura vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā koordinātu kvadrātu summu. Tāpēc r 2 = a 2 + b 2, no kurienes r = √a 2 + b 2

Tātad, jebkurš kompleksais skaitlis a + bi var attēlot kā :

a + bi = r (cos φ + i grēks φ ), (1)

kur r = √a 2 + b 2 un leņķis φ nosaka no nosacījuma:

Šo komplekso skaitļu rakstīšanas veidu sauc trigonometrisks.

Numurs r formulā (1) sauc modulis, un leņķi φ - arguments, kompleksais skaitlis a + bi .

Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā modulis ir pozitīvs; ja a + bi = 0, tad a = b = 0 un pēc tam r = 0.

Jebkura kompleksā skaitļa modulis ir unikāli noteikts.

Ja komplekss skaitlis a + bi nav vienāds ar nulli, tad tā argumentu nosaka formulas (2) noteikti līdz leņķim, kas reizināts ar 2 π . Ja a + bi = 0, tad a = b = 0. Šajā gadījumā r = 0. No formulas (1) to var viegli saprast kā argumentu φ šajā gadījumā jūs varat izvēlēties jebkuru leņķi: galu galā jebkuram φ

0 (maks φ + i grēks φ ) = 0.

Tāpēc nulles arguments nav definēts.

Kompleksā skaitļa modulis r dažreiz apzīmē | z |, un arguments arg z . Apskatīsim dažus piemērus komplekso skaitļu attēlošanai trigonometriskā formā.

Piemērs. 1. 1 + i .

Atradīsim moduli r un arguments φ šis numurs.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Tāpēc grēks φ = 1/√ 2, cos φ = 1 / √ 2 , no kurienes φ = π / 4 + 2nπ .

Tādējādi

1 + i = √ 2 ,

Kur P - jebkurš vesels skaitlis. Parasti no kompleksā skaitļa argumenta bezgalīgas vērtību kopas tiek izvēlēts viens, kas ir no 0 līdz 2 π . Šajā gadījumā šī vērtība ir π / 4 . Tāpēc

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i grēks π / 4)

2. piemērs Uzrakstiet trigonometriskā formā kompleksu skaitli √ 3 - i . Mums ir:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, grēks φ = - 1 / 2

Tāpēc līdz leņķim, kas dalās ar 2 π , φ = 11 / 6 π ; tātad,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i grēks 11/6 π ).

3. piemērs Uzrakstiet trigonometriskā formā kompleksu skaitli es .

kompleksais skaitlis i atbilst vektoram OA> beidzas ass punktā A plkst ar 1. ordinātu (333. att.). Šāda vektora garums ir vienāds ar 1, un leņķis, ko tas veido ar abscisu asi, ir vienāds ar π / 2. Tāpēc

i = cos π / 2 + i grēks π / 2 .

4. piemērs Uzrakstiet komplekso skaitli 3 trigonometriskā formā.

Kompleksais skaitlis 3 atbilst vektoram OA > X abscisa 3 (334. att.).

Šāda vektora garums ir 3, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir 0. Tāpēc

3 = 3 (cos 0 + i grēks 0),

5. piemērs Uzrakstiet trigonometriskā formā komplekso skaitli -5.

Kompleksais skaitlis -5 atbilst vektoram OA> beidzas ass punktā X ar abscisu -5 (335. att.). Šāda vektora garums ir 5, un leņķis, ko tas veido ar x asi, ir π . Tāpēc

5 = 5 (maks π + i grēks π ).

Vingrinājumi

2047. Uzrakstiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Norādiet uz plaknes kompleksos skaitļus attēlojošo punktu kopas, kuru moduļi r un argumenti φ atbilst nosacījumiem:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Vai skaitļi vienlaikus var būt kompleksa skaitļa modulis? r Un - r ?

2050. Vai kompleksa skaitļa arguments vienlaikus var būt leņķi φ Un - φ ?

Norādiet šos kompleksos skaitļus trigonometriskā formā, definējot to moduļus un argumentus:

2051*. 1 + cos α + i grēks α . 2054*. 2 (cos 20° - i grēks 20°).

2052*. grēks φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15°- i grēks 15°).

Darbības ar kompleksiem skaitļiem, kas rakstīti algebriskā formā

Kompleksā skaitļa z = algebriskā forma(a,b). sauc par formas algebrisko izteiksmi

z = a + bi.

Aritmētiskās darbības ar kompleksajiem skaitļiem z 1 = a 1 +b 1 i Un z 2 = a 2 +b 2 i, kas rakstīti algebriskā formā, tiek veikti šādi.

1. Komplekso skaitļu summa (starpība).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tie. saskaitīšana (atņemšana) tiek veikta saskaņā ar polinomu saskaitīšanas noteikumu ar līdzīgu locekļu samazināšanu.

2. Komplekso skaitļu reizinājums

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

tie. reizināšanu veic saskaņā ar parasto polinomu reizināšanas noteikumu, ņemot vērā to, ka i 2 = 1.

3. Divu komplekso skaitļu dalīšanu veic saskaņā ar šādu noteikumu:

, (z 2 ≠ 0),

tie. dalīšanu veic, reizinot dividendi un dalītāju ar dalītāja konjugātu.

Komplekso skaitļu eksponenci definē šādi:

To ir viegli parādīt

Piemēri.

1. Atrodiet komplekso skaitļu summu z 1 = 2 – i Un z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Atrodiet komplekso skaitļu reizinājumu z 1 = 2 – 3i Un z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3es∙ 5i = 7+22i.

3. Atrodiet privātu z no divīzijas z 1 \u003d 3–2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Atrisiniet vienādojumu:, x Un y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Pateicoties komplekso skaitļu vienādībai, mums ir:

kur x=–1 , y= 4.

5. Aprēķiniet: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Aprēķināt, ja .

7. Aprēķināt skaitļa apgriezto vērtību z=3-i.

Kompleksie skaitļi trigonometriskā formā

sarežģīta plakne sauc par plakni ar Dekarta koordinātām ( x, y), ja katrs punkts ar koordinātām ( a, b) tiek piešķirts kompleksais numurs z = a + bi. Šajā gadījumā sauc par abscisu asi reālā ass, un y ass ir iedomāts. Tad katrs kompleksais skaitlis a+biģeometriski attēlots plaknē kā punkts A (a, b) vai vektoru .

Tāpēc punkta pozīcija A(un līdz ar to kompleksais skaitlis z) var iestatīt pēc vektora garuma | | = r un leņķis j ko veido vektors | | ar reālās ass pozitīvo virzienu. Vektora garumu sauc kompleksā skaitļa modulis un ir apzīmēts ar | z|=r, un leņķi j sauca kompleksā skaitļa arguments un apzīmēts j = argz.

Ir skaidrs, ka | z| ³ 0 un | z | = 0 Û z= 0.

No att. 2 parāda, ka.

Kompleksā skaitļa arguments ir definēts neviennozīmīgi un līdz 2 pk, kÎ Z.

No att. 2 arī parāda, ka, ja z=a+bi Un j=argz, Tas

cos j =, grēks j =, tg j = .

Ja zОR Un z > 0 tad argz = 0 +2pk;

Ja z ОR Un z< 0 tad argz = p + 2pk;

Ja z= 0,argz nenoteikts.

Argumenta galvenā vērtība tiek noteikta intervālā 0 £argz£2 p,

vai -lpp£ arg z £ lpp.

Piemēri:

1. Atrast komplekso skaitļu moduli z 1 = 4 – 3i Un z 2 = –2–2i.