Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y \u003d sin x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim trigonometriskās funkcijas y \u003d sin t definīciju uz koordinātu apļa un ņemsim vērā funkcijas grafiku uz apļa un līnijas. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim dažas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.
Tēma: Trigonometriskās funkcijas
Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās galvenās īpašības un grafiks
Apsverot funkciju, ir svarīgi saistīt vienu funkcijas vērtību ar katru argumenta vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.
Definēsim korespondences likumu priekš .
Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa.Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).
Katrai argumenta vērtībai tiek piešķirta viena funkcijas vērtība.
Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.
Attēlā redzams, ka 
jo ir vienības apļa punkta ordināta.
Apsveriet funkciju grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Uz ass mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi, atbilstošās funkcijas vērtības.
Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)
Vietnē mēs ieguvām funkcijas grafiku, bet, zinot sinusa periodu, funkcijas grafiku varam attēlot visā definīcijas jomā (3. att.).
Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.
Apsveriet funkcijas īpašības:
1) Definīcijas joma:
2) Vērtību diapazons: 
3) Funkcija nepāra:
4) Mazākais pozitīvais periods:
5) Grafika krustošanās punktu koordinātas ar x asi: 
6) Grafika krustošanās punkta koordinātas ar y asi:
7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:
8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:
9) Intervālu palielināšana:
10) Dilstoši intervāli:
11) Zemākie punkti: 
12) Minimālās funkcijas:
13) Augstākie punkti: 
14) Maksimālās iespējas:
Mēs esam apsvēruši funkcijas un tās grafika īpašības. Rekvizīti tiks atkārtoti izmantoti problēmu risināšanā.
Bibliogrāfija
1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata izglītības iestādēm ( profila līmenis) izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei ( pamācība skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi).-M .: Izglītība, 1996.g.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dziļa mācīšanās algebra un matemātiskā analīze.-M.: Izglītība, 1997.g.
5. Matemātikas uzdevumu krājums reflektantiem uz tehniskajām augstskolām (M.I.Skanavi redakcijā).-M.: Augstskola, 1992.g.
6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais treneris.-K.: A.S.K., 1997.g.
7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Uzdevumi algebrā un analīzes pirmsākumi (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klašu skolēniem).-M .: Izglītība, 2003.g.
8. Karp A.P. Algebras uzdevumu krājums un analīzes sākums: mācību grāmata. pabalsts 10-11 šūnām. ar dziļu pētījums matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.
Mājasdarbs
Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), izd.
A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Papildu tīmekļa resursi
3. Izglītības portāls lai sagatavotos eksāmeniem ().
Mēs noskaidrojām, ka trigonometrisko funkciju uzvedība un funkcijas y = grēks x it īpaši, visā skaitļu rindā (vai visām argumenta vērtībām X) pilnībā nosaka tā uzvedība intervālā 0 < X < π / 2 .
Tāpēc, pirmkārt, mēs attēlosim funkciju y = grēks x tieši šajā intervālā.
Izveidosim šādu mūsu funkcijas vērtību tabulu;
Atzīmējot atbilstošos punktus koordinātu plaknē un savienojot tos ar gludu līniju, iegūstam attēlā redzamo līkni
Iegūto līkni var izveidot arī ģeometriski, nesastādot funkciju vērtību tabulu y = grēks x .
1. Apļa, kura rādiuss ir 1, pirmo ceturtdaļu sadala 8 vienādās daļās Apļa dalījuma punktu ordinātas ir atbilstošo leņķu sinusi.
2. Apļa pirmā ceturtdaļa atbilst leņķiem no 0 līdz π / 2 . Tāpēc uz ass X Paņemiet segmentu un sadaliet to 8 vienādās daļās.
3.Zīmēsim taisnas līnijas paralēli asij X, un no dalīšanas punktiem atjaunojam perpendikulu krustpunktam ar horizontālajām līnijām.
4. Savienojiet krustojuma punktus ar gludu līniju.
Tagad apskatīsim intervālu π /
2
<
X <
π
.
Katra argumenta vērtība X no šī intervāla var attēlot kā
x = π / 2 + φ
Kur 0 < φ < π / 2 . Saskaņā ar samazināšanas formulām
grēks ( π / 2 + φ ) = cos φ = grēks ( π / 2 - φ ).
Asu punkti X ar abscisu π / 2 + φ Un π / 2 - φ simetriski viens otram ap ass punktu X ar abscisu π / 2 , un sinusi šajos punktos ir vienādi. Tas ļauj iegūt funkcijas grafiku y = grēks x intervālā [ π / 2 , π ], vienkārši simetriski attēlojot šīs funkcijas grafiku intervālā attiecībā pret taisni X = π / 2 .
Tagad izmanto īpašumu nepāra funkcija y \u003d sin x,
grēks (- X) = -grēks X,
šo funkciju ir viegli attēlot intervālā [- π , 0].
Funkcija y \u003d sin x ir periodiska ar periodu 2π ;. Tāpēc, lai izveidotu visu šīs funkcijas grafiku, pietiek periodiski turpināt attēlā parādīto līkni pa kreisi un pa labi ar punktu 2π .
Iegūto līkni sauc sinusoīds . Tas ir funkcijas grafiks y = grēks x.
Attēls labi ilustrē visas šīs funkcijas īpašības y = grēks x , ko mēs iepriekš pierādījām. Atcerieties šīs īpašības.
1) Funkcija y = grēks x definēts visām vērtībām X , lai tā domēns būtu visu reālo skaitļu kopa.
2) Funkcija y = grēks x ierobežots. Visas nepieciešamās vērtības ir no -1 līdz 1, ieskaitot šos divus skaitļus. Tāpēc šīs funkcijas diapazonu nosaka nevienādība -1 < plkst < 1. Kad X = π / 2 + 2k π funkcija aizņem augstākās vērtības, vienāds ar 1 un pie x = - π / 2 + 2k π - mazākās vērtības, vienāds ar -1.
3) Funkcija y = grēks x ir nepāra (sinusoīds ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi).
4) Funkcija y = grēks x periodisks ar 2. periodu π .
5) Intervālos 2n π < x < π + 2n π (n ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir pozitīvs un intervālos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir negatīvs. Ja x = k π funkcija iet uz nulli. Tāpēc šīs argumenta x vērtības (0; ± π ; ±2 π ; ...) sauc par funkcijas nullēm y = sinx
6) intervālos - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkciju y = grēks x palielinās monotoni un ar intervāliem π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π tas monotoni samazinās.
Pievērsiet īpašu uzmanību funkcijas darbībai y = sinx punkta tuvumā X = 0 .
Piemēram, grēks 0,012 ≈ 0,012; grēks (-0,05) ≈ -0,05;
sin2° = grēks π 2 / 180 = grēks π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Tomēr jāatzīmē, ka jebkurai x vērtībai
| grēks x| < | x | . (1)
Patiešām, lai attēlā parādītā apļa rādiuss būtu vienāds ar 1,
a /
AOB = X.
Tad grēks x= AC. Bet AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Šī loka garums acīmredzami ir vienāds ar X, jo apļa rādiuss ir 1. Tātad 0< X < π / 2
grēks x< х.
Tādējādi funkcijas dīvainības dēļ y = sinx ir viegli parādīt, ka tad, kad - π / 2 < X < 0
| grēks x| < | x | .
Visbeidzot, plkst x = 0
| grēks x | = | x |.
Tādējādi par | X | < π / 2 ir pierādīta nevienādība (1). Faktiski šī nevienlīdzība attiecas arī uz | x | > π / 2 sakarā ar to, ka | | grēks X | < 1, a π / 2 > 1
Vingrinājumi
1.Saskaņā ar funkciju grafiku y = sinx noteikt: a) grēks 2; b) grēks 4; c) grēks (-3).
2.Schedule funkcija y = sinx
noteikt, kurš skaitlis no intervāla
[ - π /
2 ,
π /
2
] ir sinuss, kas vienāds ar: a) 0,6; b) -0,8.
3. Plānotā funkcija y = sinx
noteikt, kuriem skaitļiem ir sinuss,
vienāds ar 1/2.
4. Atrodiet aptuveni (neizmantojot tabulas): a) sin 1°; b) grēks 0,03;
c) grēks (-0,015); d) grēks (-2°30").
>>Matemātika: funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki
Funkcijas y \u003d sin x, y \u003d cos x, to īpašības un grafiki
Šajā sadaļā mēs aplūkojam dažas funkciju y = īpašības grēks x,y= cos x un uzzīmējiet to grafikus.
1. Funkcija y \u003d sin X.
Iepriekš, 20. paragrāfā, mēs formulējām noteikumu, kas ļauj katru skaitli t saistīt ar skaitli cos t, t.i. raksturoja funkciju y = sin t. Mēs atzīmējam dažas tās īpašības.
Funkcijas u = sint īpašības.
Definīcijas apgabals ir reālo skaitļu kopa K.
Tas izriet no fakta, ka jebkurš skaitlis 2 atbilst punktam M(1) uz skaitļu apļa, kuram ir precīzi noteikta ordināta; šī ordināta ir cos t.
u = sin t ir nepāra funkcija.
Tas izriet no tā, ka, kā tika pierādīts 19. pantā, jebkurai t vienlīdzībai
Tas nozīmē, ka funkcijas u \u003d sin t grafiks, tāpat kā jebkuras nepāra funkcijas grafiks, ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi taisnstūra sistēma koordinātes tOi.
Funkcija u = sin t palielinās intervālā 
Tas izriet no tā, ka, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa pirmo ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski palielinās (no 0 līdz 1 - sk. 115. att.), un, punktam pārvietojoties pa skaitliskā apļa otro ceturtdaļu, ordināta pakāpeniski samazinās (no 1 līdz 0 – skat. 115. att.). 116. att.).
Funkcija u = sin t ir ierobežota gan no apakšas, gan no augšas. Tas izriet no tā, ka, kā mēs redzējām 19.§, jebkurai t nevienlīdzībai
(funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā 
(funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas punktā
Izmantojot iegūtās īpašības, mēs izveidojam mums interesējošās funkcijas grafiku. Bet (uzmanību!) u - sin t vietā mēs rakstīsim y \u003d sin x (galu galā mēs esam vairāk pieraduši rakstīt y \u003d f (x), nevis u \u003d f (t)). Tas nozīmē, ka mēs veidosim grafiku parastajā koordinātu sistēmā хОу (un nevis tOy).
Izveidosim funkciju vērtību tabulu, izmantojot - sin x:
komentēt.
Šeit ir viena no termina "sine" izcelsmes versijām. Latīņu valodā sinus nozīmē saliekt (bowstring).
Izveidotais grafiks zināmā mērā attaisno šo terminoloģiju. 
Līniju, kas kalpo kā funkcijas y \u003d sin x grafiks, sauc par sinusoīdu. Tā sinusoīda daļa, kas parādīta attēlā. 118 vai 119, sauc par sinusoīda vilni, un to sinusoīda daļu, kas parādīta att. 117 sauc par pusviļņu vai sinusoidālā viļņa arku.
2. Funkcija y = cos x.
Funkcijas y \u003d cos x izpēti varētu veikt aptuveni saskaņā ar to pašu shēmu, kas tika izmantota iepriekš funkcijai y \u003d sin x. Bet mēs izvēlēsimies ceļu, kas ātrāk ved uz mērķi. Pirmkārt, mēs pierādīsim divas formulas, kas pašas par sevi ir svarīgas (to jūs redzēsiet vidusskolā), bet līdz šim tām ir tikai palīgvērtība mūsu mērķiem.
Jebkurai t vērtībai vienādības
Pierādījums. Lai skaitlis t atbilst skaitliskā n apļa punktam M, bet skaitlis * + - punktam P (124. att.; vienkāršības labad punktu M ņēmām pirmajā ceturksnī). Loki AM un BP ir attiecīgi vienādi, un arī taisnleņķa trīsstūri OKM un OBP ir vienādi. Tādējādi O K = Ob, MK = Pb. No šīm vienādībām un trīsstūru OKM un OLR atrašanās vietas koordinātu sistēmā mēs izdarām divus secinājumus:
1) punkta P ordināta gan absolūtā vērtībā, gan zīmē sakrīt ar punkta M abscisi; tas nozīmē, ka
2) punkta P abscise pēc absolūtās vērtības ir vienāda ar punkta M ordinātu, bet atšķiras no tās pēc zīmes; tas nozīmē, ka
Apmēram tāda pati argumentācija tiek veikta gadījumos, kad punkts M nepieder pirmajai ceturtdaļai.
Izmantosim formulu 
(šī ir iepriekš pierādītā formula, tikai mainīgā t vietā izmantojam mainīgo x). Ko šī formula mums dod? Tas ļauj mums apgalvot, ka funkcijas
ir identiski, tāpēc to grafiki ir vienādi.
Uzzīmēsim funkciju 
Lai to izdarītu, pārejam uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu kādā punktā (punktētā līnija novilkta 125. att.). Saistiet funkciju y \u003d sin x ar jauna sistēma koordinātas - tas būs funkcijas grafiks 
(125. att.), t.i. funkcijas y - cos x grafiks. To, tāpat kā funkcijas y \u003d sin x grafiku, sauc par sinusoīdu (kas ir diezgan dabiski).
Funkcijas y = cos x īpašības.
y = cos x ir pāra funkcija.
Būvniecības posmi ir parādīti attēlā. 126:
1) mēs izveidojam funkcijas y \u003d cos x grafiku (precīzāk, vienu pusviļņu);
2) izstiepjot konstruēto grafiku no x ass ar koeficientu 0,5, iegūstam vienu vajadzīgā grafa pusviļņu;
3) izmantojot iegūto pusviļņu, mēs izveidojam visu funkcijas y \u003d 0,5 cos x grafiku.
|BD|- apļa loka garums, kura centrs ir punktā A.
α
ir radiānos izteikts leņķis.
sinusa ( sinα) - Šis trigonometriskā funkcija, atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar attiecību pretējās kājas garums |BC| līdz hipotenūzas garumam |AC|.
kosinuss ( cosα) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| līdz hipotenūzas garumam |AC|.
Pieņemti apzīmējumi
;
;
.
;
;
.
Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x
Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x
Sinusa un kosinusa īpašības
Periodiskums
Funkcijas y= grēks x un y= cos x periodisks ar periodu 2 pi.
Paritāte
Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.
Definīcijas joma un vērtības, galējības, pieaugums, samazinājums
Funkcijas sinuss un kosinuss ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n - vesels skaitlis).
| y= grēks x | y= cos x | |
| Darbības joma un nepārtrauktība | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Augošā | ||
| Dilstoša | ||
| Maksimums, y= 1 | ||
| Minimums, y = - 1 | ||
| Nulles, y= 0 | ||
| Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Pamatformulas
Sinusa un kosinusa kvadrāta summa
Sinusa un kosinusa formulas summai un starpībai
;
;
Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam
Summu un starpības formulas
Sinusa izteiksme caur kosinusu
;
;
;
.
Kosinusa izteiksme caur sinusu
;
;
;
.
Izteiksme pieskares izteiksmē
; .
Mums ir:
;
.
Vietnē:
;
.
Sinusu un kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula
Šajā tabulā ir parādītas sinusu un kosinusu vērtības dažām argumenta vērtībām. 
Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos
;
Eilera formula
Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē
;
;
Atvasinājumi
; . Formulu atvasināšana >>>
N-tās kārtas atvasinājumi:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekants, kosekants
Apgrieztās funkcijas
Apgrieztās funkcijas uz sinususu un kosinusu ir attiecīgi arcsinuss un arkosinuss.
Arcsine, arcsin
Arkosīns, arkoss
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.
