Notikumu klasifikācija iespējamajos, iespējamajos un nejaušajos. Vienkāršu un sarežģītu elementāru notikumu jēdzieni. Operācijas notikumos. Klasiskā nejauša notikuma varbūtības definīcija un tās īpašības. Kombinatorikas elementi varbūtību teorijā. ģeometriskā varbūtība. Varbūtību teorijas aksiomas.

Viens no varbūtības teorijas pamatjēdzieniem ir notikuma jēdziens. Zem notikumu saprast jebkuru faktu, kas var rasties pieredzes vai pārbaudījumu rezultātā. Zem pieredze , vai pārbaude , tiek saprasts kā noteikta nosacījumu kopuma īstenošana.

Pasākumu piemēri:

• - trāpījums mērķī, šaujot no pistoles (pieredze - šāviena produkts; notikums - trāpījums mērķī);
• - divu ģerboņu nozaudēšana trīsreizējas monētas mešanas laikā (pieredze - trīsreizēja monētas mešana; notikums - divu ģerboņu zaudēšana);
• - mērījuma kļūdas parādīšanās noteiktajās robežās, mērot attālumu līdz mērķim (pieredze - attāluma mērīšana; notikums - mērījuma kļūda).

Varētu minēt neskaitāmus šādus piemērus. Notikumi ir apzīmēti ar latīņu lielajiem burtiem alfabēts A,B,C utt.

Atšķirt kopīgi pasākumi Un nesaderīgi . Notikumi tiek saukti par kopīgiem, ja viena no tiem iestāšanās neizslēdz otra rašanos. Pretējā gadījumā notikumus sauc par nesaderīgiem. Piemēram, tiek izmesti divi kauliņi. Notikums AA ir trīs punktu metiens uz pirmā kauliņa, notikums B ir trīs punktu metiens uz otrā kauliņa. A un B ir kopīgi pasākumi.

Lai veikals saņem tāda paša stila un izmēra apavu partiju, bet citā krāsā. Pasākums A - nejauši paņemta kaste būs ar melnām kurpēm, pasākums B - kaste būs ar brūnām kurpēm, A un B ir nesavienojami notikumi.

Pasākums saucas uzticams ja tas noteikti notiek dotā eksperimenta apstākļos.

Notikums tiek uzskatīts par neiespējamu, ja tas nevar notikt konkrētās pieredzes apstākļos. Piemēram, gadījums, ka standarta detaļa tiek ņemta no standarta detaļu partijas, ir skaidrs, bet nestandarta daļa nav iespējama.

Pasākums saucas iespējams , vai nejauši , ja pieredzes rezultātā var parādīties vai neparādīties. Nejaušs notikums, piemēram, ir produkta defektu identificēšana gatavās produkcijas partijas kontroles laikā, neatbilstība starp pārstrādātā produkta izmēru un doto, viena no automatizētās vadības sistēmas saitēm.

Pasākumi tiek saukti vienlīdz iespējams ja testa apstākļos neviens no šiem notikumiem objektīvi nav ticamāks par citiem. Piemēram, pieņemsim, ka veikalu ar spuldzēm (un vienādos daudzumos) piegādā vairāki ražotāji. Notikumi, kas saistīti ar spuldzes iegādi jebkurā no šīm rūpnīcām, ir vienlīdz iespējami.

Svarīgs jēdziens ir pilna pasākumu grupa . Vairāki notikumi konkrētajā eksperimentā veido pilnīgu grupu, ja vismaz viens no tiem noteikti parādās eksperimenta rezultātā. Piemēram, urnā ir desmit bumbiņas, no kurām sešas ir sarkanas un četras baltas, no kurām piecas ir numurētas.

A - sarkanas bumbiņas izskats ar vienu ekstrakciju,

B - baltas bumbiņas izskats,

C - bumbas izskats ar numuru. Pasākumi A,B,C veido pilnu kopīgu pasākumu grupu.

Ieviesīsim pretēja jeb papildu notikuma jēdzienu. Zem pretī notikumu

AЇ tiek saprasts kā notikums, kam obligāti jānotiek, ja kāds notikums nav noticis

A. Pretēji notikumi ir nesavienojami un vienīgie iespējamie. Tie veido pilnīgu notikumu grupu.

Notikumi un to klasifikācija

Varbūtību teorijas pamatjēdzieni

Konstruējot jebkuru matemātisko teoriju, pirmkārt, tiek izdalīti vienkāršākie jēdzieni, kas tiek pieņemti kā sākotnējie fakti. Šādi varbūtības teorijas pamatjēdzieni ir jēdziens nejaušs eksperiments, nejaušs notikums, nejauša notikuma varbūtība.

nejaušs eksperimentsir process, kurā tiek reģistrēts mūs interesējoša notikuma novērojums, kas tiek veikts noteiktā stacionāra apstākļos (nemainās laikā) reāls apstākļu kopums, tostarp liela skaita nejaušu (neparedzamu stingrai uzskaitei un kontrolei) faktoru ietekmes neizbēgamība.

Šie faktori savukārt neļauj izdarīt pilnīgi ticamus secinājumus par to, vai mūs interesējošais notikums notiks vai nenotiks. Tajā pašā laikā tiek pieņemts, ka mums ir fundamentāla iespēja (vismaz garīgi realizējama) atkārtoti atkārtot mūsu eksperimentu vai novērojumu vienā un tajā pašā nosacījumu kopumā.

Šeit ir daži nejaušu eksperimentu piemēri.

1. Nejaušs eksperiments, kas sastāv no ideāli simetriskas monētas mešanas, ietver tādus nejaušus faktorus kā monētas mešanas spēks, monētas lidojuma trajektorija, sākotnējais ātrums, griešanās moments utt. Šie nejaušie faktori neļauj precīzi noteikt katra atsevišķa testa rezultātu: "metot monētu parādīsies ģerbonis" vai "metot monētu, parādīsies astes".

2. Rūpnīca "Stalkanat" pārbauda izgatavotos kabeļus maksimāli pieļaujamajai slodzei. Slodze atšķiras noteiktās robežās no viena eksperimenta uz otru. Tas ir saistīts ar tādiem nejaušiem faktoriem kā mikrodefekti materiālā, no kura izgatavoti kabeļi, dažādi traucējumi iekārtu darbībā, kas rodas kabeļu ražošanas laikā, uzglabāšanas apstākļi, eksperimentu veikšanas režīms utt.

3. No viena un tā paša pistoles tiek raidīta virkne šāvienu uz noteiktu mērķi. Mērķa trāpīšana ir atkarīga no daudziem nejaušiem faktoriem, tostarp ieroča un šāviņa stāvokļa, pistoles uzstādīšanas, šāvēja meistarības, laika apstākļiem (vējš, apgaismojums utt.).

Definīcija. Tiek saukta noteikta nosacījumu kopuma īstenošana pārbaude. Testa rezultāts tiek saukts notikumu.

Nejauši notikumi tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem: A, B, C... vai lielo burtu ar indeksu: .

Piemēram, eksāmena nokārtošana, izpildot noteiktu nosacījumu kopumu (rakstisks eksāmens, ieskaitot vērtēšanas sistēma atzīmes utt.) ir pārbaudījums skolēnam, un noteikta atzīmes iegūšana ir notikums;

šāviena veikšana no pistoles noteiktos apstākļos (laika apstākļi, pistoles stāvoklis utt.) ir pārbaude, un trāpījums mērķī vai tā netrāpīšana ir notikums.

Mēs varam atkārtot vienu un to pašu eksperimentu vairākas reizes tādos pašos apstākļos. Liela skaita nejaušu faktoru klātbūtne, kas raksturo katra šāda eksperimenta veikšanas nosacījumus, neļauj izdarīt pilnīgi noteiktu secinājumu par to, vai mūs interesējošais notikums notiks vai nenotiks atsevišķā testā. Ņemiet vērā, ka varbūtības teorijā šāda problēma nav izvirzīta.

Pasākumu klasifikācija

Notikumi notiek uzticams, neiespējams Un nejauši.

Definīcija. Pasākums saucas uzticams ja noteiktā nosacījumu kopumā tas noteikti notiek.

Visi ticamie notikumi ir apzīmēti ar burtu (angļu vārda pirmais burts universāls - vispārīgi)

Dažu notikumu piemēri ir: baltas bumbas parādīšanās no urnas, kurā ir tikai baltas bumbiņas; laimēt abpusēji izdevīgā loterijā.

Definīcija. Pasākums saucas neiespējami ja noteiktos apstākļos tas nevar notikt.

Visi neiespējamie notikumi ir apzīmēti ar burtu .

Piemēram, Eiklīda ģeometrijā trijstūra leņķu summa nevar būt lielāka par , eksāmenā ar piecu ballu vērtēšanas sistēmu nevar iegūt atzīmi "6".

Definīcija. Pasākums saucas nejauši, ja tas var parādīties vai neparādīties saskaņā ar noteiktu nosacījumu kopumu.

Piemēram, nejauši notikumi ir: dūža parādīšanās no kāršu klāja; uzvara futbola komandas spēlē; pasākuma laimests naudas un apģērbu loterijā; notikums bojāta televizora iegādei utt.

Definīcija. Pasākumi sauca nesaderīgi ja viens no šiem notikumiem izslēdz jebkura cita iestāšanos.

1. piemērs Ja mēs uzskatām testu, kas sastāv no monētas mešanas, tad notikumi - ģerboņa parādīšanās un - skaitļa parādīšanās - ir nesavienojami notikumi.

Definīcija. Pasākumi sauca locītava, ja viena no šiem notikumiem iestāšanās neizslēdz citu notikumu iestāšanos.

2. piemērs Ja šāviens tiek izšauts no trim lielgabaliem, tad tiek apvienoti šādi notikumi: trāpījums no pirmā ieroča; sitiens no otrā ieroča; trāpīja no trešās pistoles.

Definīcija. Pasākumi sauca vienīgais iespējamais, ja vismaz vienam no dotajiem notikumiem obligāti jānotiek noteiktas nosacījumu kopas īstenošanas laikā.

3. piemērs Kad tiek mests kauliņš, vienīgie iespējamie notikumi ir šādi:

A 1 - viena punkta parādīšanās,

A 2 - divu punktu parādīšanās,

A 3 - trīs punktu parādīšanās,

A 4 - četru punktu parādīšanās,

A 5 - piecu punktu parādīšanās,

A 6 - sešu punktu parādīšanās.

Definīcija. Viņi saka, ka notikumi veidojas pilna pasākumu grupa ja šie notikumi ir vienīgie iespējamie un nesavienojamie.

Notikumi, kas tika aplūkoti 1., 3. piemērā, veido pilnīgu grupu, jo tie nav savienojami un ir vienīgie iespējamie.

Definīcija. Tiek saukti divi notikumi, kas veido pilnīgu grupu pretī.

Ja ir kāds notikums, tad pretējais notikums tiek apzīmēts ar .

4. piemērs Ja notikums ir ģerbonis, tad notikums ir astes.

Pretēji notikumi ir arī: “skolēns nokārtoja eksāmenu” un “students nenokārtoja eksāmenu”, “augs izpildīja plānu” un “augs neizpildīja plānu”.

Definīcija. Pasākumi sauca līdzvērtīgs vai vienlīdz iespējams ja pārbaudes laikā viņiem visiem objektīvi ir vienādas iespējas parādīties.

Ņemiet vērā, ka vienlīdz ticami notikumi var parādīties tikai eksperimentos ar iznākuma simetriju, kas tiek nodrošināta ar īpašām metodēm (piemēram, absolūti simetrisku monētu, kauliņu izgatavošana, rūpīga kāršu jaukšana, domino, bumbiņu jaukšana urnā utt.).

Definīcija. Ja kāda testa rezultāti ir unikāli iespējami, nesaderīgi un vienlīdz iespējami, tad tos sauc elementāri rezultāti, gadījumiem vai izredzes, un pats tests tiek izsaukts gadījumu diagramma vai "urnas shēma"(jo jebkuru varbūtības problēmu aplūkotajam testam var aizstāt ar līdzvērtīgu problēmu ar dažādu krāsu urnām un bumbiņām) .

5. piemērs Ja urnā ir 3 baltas un 3 melnas bumbiņas, kas ir identiskas pieskārienam, tad notikums A 1 - baltas bumbas parādīšanās un notikums A 2 - melnas bumbiņas parādīšanās ir līdzvērtīgi notikumi.

Definīcija. Viņi saka, ka pasākums labvēlības notikumu vai pasākums ietver notikumu , ja pie izskata notikumu noteikti nāks.

Ja notikums ietver notikumu , tas tiek apzīmēts ar simboliem līdzvērtīgs vai ekvivalents un apzīmē

Tādējādi līdzvērtīgi notikumi un katrā izmēģinājumā vai nu notiek, vai abi nenotiek.

Lai izveidotu varbūtību teoriju, papildus jau ieviestajiem pamatjēdzieniem (nejaušs eksperiments, nejaušs notikums) ir nepieciešams ieviest vēl vienu pamatjēdzienu - nejauša notikuma varbūtība.

Ņemiet vērā, ka varbūtību teorijas attīstības gaitā ir mainījušies priekšstati par notikuma varbūtību. Izsekosim šīs koncepcijas attīstības vēsturei.

Zem varbūtība nejaušs notikums saprot notikuma objektīvās iespējamības mēru.

Šī definīcija atspoguļo varbūtības jēdzienu no kvalitatīvā viedokļa. Tas bija zināms senajā pasaulē.

Notikuma varbūtības kvantitatīvā definīcija vispirms tika dota varbūtības teorijas pamatlicēju darbos, kuri aplūkoja nejaušus eksperimentus, kuriem ir simetrija vai objektīva rezultātu līdzsvarojamība. Šādi nejauši eksperimenti, kā minēts iepriekš, visbiežāk ietver mākslīgi organizētus eksperimentus, kuros tiek izmantotas īpašas metodes, lai nodrošinātu vienlīdzīgu iznākuma iespēju (kāršu vai domino kauliņu jaukšana, ideāli simetrisku kauliņu, monētu izgatavošana utt.). Attiecībā uz šādiem nejaušiem eksperimentiem XVII gs. Franču matemātiķis Laplass formulēja klasisko varbūtības definīciju.

Sākotnēji tā ir tikai informācijas un kauliņu spēles empīrisko novērojumu apkopojums, tāpēc varbūtības teorija ir kļuvusi par stabilu zinātni. Fermats un Paskāls bija pirmie, kas tam piešķīra matemātisko ietvaru.

No pārdomām par mūžīgo līdz varbūtības teorijai

Divas personas, kurām varbūtības teorija ir parādā daudzas fundamentālas formulas, Blēzs Paskāls un Tomass Bejs, ir pazīstami kā dziļi reliģiozi cilvēki, pēdējais bija presbiteriešu ministrs. Acīmredzot šo divu zinātnieku vēlme pierādīt maldīgu viedokli par noteiktu Fortūnu, dāvājot veiksmi viņas favorītiem, deva stimulu šīs jomas pētījumiem. Galu galā faktiski jebkura laimes spēle ar tās uzvarām un zaudējumiem ir tikai matemātikas principu simfonija.

Pateicoties Chevalier de Mere satraukumam, kurš bija vienlīdz azartisks un pret zinātni vienaldzīgs cilvēks, Paskāls bija spiests atrast veidu, kā aprēķināt varbūtību. De Mēru interesēja šis jautājums: "Cik reižu ir jāmet divi kauliņi pa pāriem, lai varbūtība iegūt 12 punktus pārsniegtu 50%?". Otrs jautājums, kas kungu ieinteresēja ārkārtīgi: "Kā sadalīt likmi starp nepabeigtās spēles dalībniekiem?" Protams, Paskāls veiksmīgi atbildēja uz abiem de Meres jautājumiem, kurš kļuva par nejaušu varbūtības teorijas izstrādes iniciatoru. Interesanti, ka de Meres persona palika zināma šajā jomā, nevis literatūrā.

Iepriekš neviens matemātiķis vēl nav mēģinājis aprēķināt notikumu varbūtības, jo tika uzskatīts, ka tas ir tikai minējums. Blēzs Paskāls sniedza pirmo notikuma varbūtības definīciju un parādīja, ka tas ir konkrēts skaitlis, ko var pamatot matemātiski. Varbūtību teorija ir kļuvusi par statistikas pamatu un tiek plaši izmantota mūsdienu zinātnē.

Kas ir nejaušība

Ja mēs uzskatām testu, kuru var atkārtot bezgalīgi daudz reižu, tad mēs varam definēt nejaušu notikumu. Tas ir viens no iespējamajiem pieredzes rezultātiem.

Pieredze ir konkrētu darbību īstenošana nemainīgos apstākļos.

Lai varētu strādāt ar pieredzes rezultātiem, notikumus parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, E ...

Nejauša notikuma varbūtība

Lai varētu pāriet uz varbūtības matemātisko daļu, ir jādefinē visas tās sastāvdaļas.

Notikuma varbūtība ir kāda notikuma (A vai B) iestāšanās iespējamības skaitlisks mērs pieredzes rezultātā. Varbūtība ir apzīmēta kā P(A) vai P(B).

Varbūtības teorija ir:

• uzticams notikums ir garantēts eksperimenta rezultātā Р(Ω) = 1;
• neiespējami notikums nekad nevar notikt Р(Ø) = 0;
• nejauši notikums atrodas starp noteiktu un neiespējamo, tas ir, tā iestāšanās varbūtība ir iespējama, bet nav garantēta (gadījuma notikuma varbūtība vienmēr ir 0≤P(A)≤1 robežās).

Attiecības starp notikumiem

Tiek ņemts vērā gan viens, gan notikumu A + B summa, ja notikums tiek ieskaitīts vismaz vienas komponentes A vai B, vai abu - A un B, realizācijā.

Savstarpēji notikumi var būt:

• Tikpat iespējams.
• saderīgs.
• Nesaderīgs.
• Pretēji (savstarpēji izslēdzoši).
• Atkarīgs.

Ja divi notikumi var notikt ar vienādu varbūtību, tad tie vienlīdz iespējams.

Ja notikuma A iestāšanās neatceļ notikuma B iestāšanās iespējamību, tad viņi saderīgs.

Ja notikumi A un B nekad nenotiek vienā un tajā pašā eksperimentā, tad tos sauc nesaderīgi. Labs piemērs ir monētas mešana: kāpšana uz augšu automātiski nozīmē, ka galva netiek pacelta.

Šādu nesavienojamu notikumu summas varbūtība sastāv no katra notikuma varbūtību summas:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ja viena notikuma iestāšanās padara neiespējamu cita iestāšanos, tad tos sauc par pretējiem. Tad viens no tiem tiek apzīmēts kā A, bet otrs - Ā (lasīt kā "ne A"). Notikuma A iestāšanās nozīmē, ka Ā nenotika. Šie divi notikumi veido pilnīgu grupu ar varbūtību summu, kas vienāda ar 1.

Ir atkarīgi notikumi savstarpēja ietekme, samazinot vai palielinot viens otra iespējamību.

Attiecības starp notikumiem. Piemēri

Daudz vieglāk ir saprast varbūtību teorijas principus un notikumu kombināciju, izmantojot piemērus.

Eksperiments, kas tiks veikts, ir izvilkt bumbiņas no kastes, un katra eksperimenta rezultāts ir elementārs rezultāts.

Notikums ir viens no iespējamiem pieredzes iznākumiem – sarkana bumbiņa, zila bumba, bumba ar ciparu seši utt.

Pārbaudes numurs 1. Ir 6 bumbiņas, no kurām trīs ir zilas ar nepāra skaitļiem, bet pārējās trīs ir sarkanas ar pāra skaitļiem.

Pārbaudes numurs 2. Ir 6 zilas bumbiņas ar cipariem no viena līdz sešiem.

Pamatojoties uz šo piemēru, mēs varam nosaukt kombinācijas:

• Uzticams pasākums. Spāņu Nr.2, notikums "dabū zilo bumbu" ir uzticams, jo tā rašanās varbūtība ir 1, jo visas bumbiņas ir zilas un nevar būt garām. Savukārt notikums "iegūstiet bumbu ar numuru 1" ir nejaušs.
• Neiespējams pasākums. Spāņu Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām, notikums "iegūsti purpursarkano bumbu" nav iespējams, jo tā rašanās varbūtība ir 0.
• Līdzvērtīgi notikumi. Spāņu 1, notikumi “dabū bumbu ar numuru 2” un “dabū bumbu ar numuru 3” ir vienlīdz iespējami, un notikumi “dabū bumbu ar pāra skaitli” un “dabū bumbu ar numuru 2” ” ir dažādas varbūtības.
• Saderīgi pasākumi. Sešinieka iegūšana, metot kauliņu divas reizes pēc kārtas, ir saderīgi notikumi.
• Nesaderīgi notikumi. Tajā pašā spāņu valodā Notikumi Nr. 1 "Saņem sarkano bumbu" un "Saņem bumbu ar nepāra numuru" nevar apvienot vienā pieredzē.
• pretēji notikumi. Visspilgtākais piemērs tam ir monētu mešana, kur galviņu zīmēšana ir tas pats, kas astes nezīmēšana, un to varbūtību summa vienmēr ir 1 (pilna grupa).
• Atkarīgi notikumi. Tātad, spāņu valodā Nr.1, jūs varat izvirzīt sev mērķi izvilkt sarkano bumbu divas reizes pēc kārtas. Izvilkšana vai neizgūšana pirmajā reizē ietekmē varbūtību, ka to izgūs otro reizi.

Redzams, ka pirmais notikums būtiski ietekmē otrā iespējamību (40% un 60%).

Notikuma varbūtības formula

Pāreja no zīlēšanas uz precīziem datiem notiek, pārceļot tēmu uz matemātisko plakni. Tas nozīmē, ka spriedumus par nejaušiem notikumiem, piemēram, "liela varbūtība" vai "minimālā varbūtība", var pārvērst konkrētos skaitliskos datos. Jau tagad ir pieļaujams šādu materiālu vērtēt, salīdzināt un ieviest sarežģītākos aprēķinos.

No aprēķina viedokļa notikuma varbūtības definīcija ir elementāri pozitīvo iznākumu skaita attiecība pret visu iespējamo pieredzes iznākumu skaitu attiecībā uz konkrētu notikumu. Varbūtību apzīmē ar P (A), kur P nozīmē vārdu "varbūtība", kas no franču valodas tiek tulkots kā "varbūtība".

Tātad notikuma varbūtības formula ir šāda:

Kur m ir labvēlīgo iznākumu skaits notikumam A, n ir visu iespējamo šīs pieredzes iznākumu summa. Notikuma varbūtība vienmēr ir no 0 līdz 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Notikuma varbūtības aprēķins. Piemērs

Ņemsim spāņu valodu. Nr.1 ar bumbiņām, kas aprakstīts iepriekš: 3 zilas bumbiņas ar cipariem 1/3/5 un 3 sarkanas bumbiņas ar cipariem 2/4/6.

Pamatojoties uz šo testu, var apsvērt vairākus dažādus uzdevumus:

• A - sarkana bumbiņa kritums. Ir 3 sarkanas bumbiņas, un kopā ir 6 iespējas vienkāršākais piemērs, kurā notikuma varbūtība ir P(A)=3/6=0,5.
• B - pāra skaitļa nomešana. Kopā ir 3 (2,4,6) pāra skaitļi, un kopējais iespējamo skaitlisko variantu skaits ir 6. Šī notikuma varbūtība ir P(B)=3/6=0,5.
• C - skaitļa, kas lielāks par 2, zudums. Ir 4 šādi varianti (3,4,5,6) no kopējā iespējamo iznākumu skaita 6. Notikuma C varbūtība ir P(C)=4/6= 0,67.

Kā redzams no aprēķiniem, notikumam C ir lielāka iespējamība, jo iespējamo pozitīvo iznākumu skaits ir lielāks nekā A un B gadījumā.

Nesaderīgi notikumi

Šādi notikumi nevar parādīties vienlaicīgi vienā pieredzē. Kā spāņu valodā Nr.1, nav iespējams dabūt zilu un sarkanu bumbiņu vienlaicīgi. Tas ir, jūs varat iegūt zilu vai sarkanu bumbiņu. Tādā pašā veidā kauliņā nevar parādīties pāra un nepāra skaitlis vienlaikus.

Divu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas vai reizinājuma varbūtību. Šādu notikumu summa A + B tiek uzskatīta par notikumu, kas sastāv no notikuma A vai B parādīšanās, un to AB reizinājums - abu parādīšanās. Piemēram, divu sešinieku parādīšanās uzreiz uz divu kauliņu sejām vienā metienā.

Vairāku notikumu summa ir notikums, kas nozīmē vismaz viena no tiem iestāšanos. Vairāku notikumu rezultāts ir to visu kopīga norise.

Varbūtību teorijā, kā likums, savienojums "un" apzīmē summu, savienība "vai" - reizināšanu. Formulas ar piemēriem palīdzēs izprast saskaitīšanas un reizināšanas loģiku varbūtību teorijā.

Nesaderīgu notikumu summas varbūtība

Ja ņem vērā nesavienojamu notikumu varbūtību, tad notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību summu:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Piemēram: mēs aprēķinām varbūtību, ka spāņu valodā. Nr.1 ar zilām un sarkanām bumbiņām kritīs skaitli no 1 līdz 4. Aprēķināsim nevis vienā darbībā, bet gan pēc elementāro komponentu varbūtību summas. Tātad šādā eksperimentā ir tikai 6 bumbiņas vai 6 no visiem iespējamiem rezultātiem. Skaitļi, kas apmierina nosacījumu, ir 2 un 3. Varbūtība iegūt skaitli 2 ir 1/6, skaitļa 3 varbūtība arī ir 1/6. Varbūtība iegūt skaitli no 1 līdz 4 ir:

Pilnas grupas nesaderīgo notikumu summas varbūtība ir 1.

Tātad, ja eksperimentā ar kubu saskaitām varbūtības iegūt visus skaitļus, tad rezultātā iegūstam vienu.

Tas attiecas arī uz pretējiem notikumiem, piemēram, eksperimentā ar monētu, kur viena no tās pusēm ir notikums A, bet otra ir pretējs notikums Ā, kā zināms,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Nesaderīgu notikumu radīšanas varbūtība

Varbūtību reizināšanu izmanto, apsverot divu vai vairāku nesaderīgu notikumu rašanos vienā novērojumā. Varbūtība, ka notikumi A un B tajā parādīsies vienlaikus, ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu vai:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Piemēram, varbūtība, ka in Nr.1 divu mēģinājumu rezultātā divreiz parādīsies zila bumbiņa, kas vienāda ar

Tas ir, notikuma iespējamība, kad divu bumbiņu izvilkšanas mēģinājumu rezultātā tiks izvilktas tikai zilās bumbiņas, ir 25%. Ir ļoti viegli veikt praktiskus eksperimentus par šo problēmu un noskaidrot, vai tas tā ir.

Kopīgie pasākumi

Notikumi tiek uzskatīti par kopīgiem, ja viens no tiem var sakrist ar otra izskatu. Neskatoties uz to, ka tie ir kopīgi, tiek ņemta vērā neatkarīgu notikumu iespējamība. Piemēram, divu kauliņu mešana var dot rezultātu, kad uz abiem uzkrīt skaitlis 6. Lai gan notikumi sakrita un parādījās vienlaicīgi, tie ir neatkarīgi viens no otra – varēja izkrist tikai viens sešnieks, otrajam kauliņam nav. ietekme uz to.

Kopīgu notikumu varbūtība tiek uzskatīta par to summas varbūtību.

Kopīgu notikumu summas varbūtība. Piemērs

Notikumu A un B summas varbūtība, kas ir kopīgas attiecībā pret otru, ir vienāda ar notikuma varbūtību summu, no kuras atņemta to produkta varbūtība (tas ir, to kopīgā īstenošana):

R locītava. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Pieņemsim, ka varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,4. Tad notikums A - trāpījums mērķī pirmajā mēģinājumā, B - otrajā. Šie notikumi ir kopīgi, jo iespējams, ka mērķī ir iespējams trāpīt gan no pirmā, gan no otrā šāviena. Bet notikumi nav atkarīgi. Kāda ir varbūtība, ka mērķī tiks trāpīts ar diviem šāvieniem (vismaz vienu)? Pēc formulas:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Atbilde uz jautājumu ir: "Iespējamība trāpīt mērķī ar diviem šāvieniem ir 64%.

Šo notikuma varbūtības formulu var attiecināt arī uz nesaderīgiem notikumiem, kur notikuma kopīgas iestāšanās varbūtība P(AB) = 0. Tas nozīmē, ka nesavienojamo notikumu summas varbūtību var uzskatīt par īpašu gadījumu. no piedāvātās formulas.

Varbūtību ģeometrija skaidrības labad

Interesanti, ka kopīgu notikumu summas varbūtību var attēlot kā divus apgabalus A un B, kas krustojas viens ar otru. Kā redzat no attēla, viņu savienības laukums ir vienāds ar kopējo platību mīnus krustojuma laukums. Šis ģeometriskais skaidrojums šķietami neloģisko formulu padara saprotamāku. Ņemiet vērā, ka ģeometriskie risinājumi varbūtību teorijā nav nekas neparasts.

Kopīgu notikumu kopas (vairāk nekā divu) summas varbūtības definīcija ir diezgan apgrūtinoša. Lai to aprēķinātu, jums jāizmanto formulas, kas ir paredzētas šiem gadījumiem.

Atkarīgi notikumi

Atkarīgos notikumus sauc, ja viena (A) no tiem iestāšanās ietekmē otra (B) iestāšanās iespējamību. Turklāt tiek ņemta vērā gan notikuma A iestāšanās, gan tā nenotikšanas ietekme. Lai gan notikumus pēc definīcijas sauc par atkarīgiem, tikai viens no tiem ir atkarīgs (B). Parastā varbūtība tika apzīmēta kā P(B) vai neatkarīgu notikumu varbūtība. Apgādājamo gadījumā tiek ieviests jauns jēdziens - nosacītā varbūtība P A (B), kas ir atkarīgā notikuma B varbūtība ar nosacījumu, ka ir noticis notikums A (hipotēze), no kura tas ir atkarīgs.

Bet notikums A arī ir nejaušs, tāpēc tam ir arī varbūtība, kas jāņem vērā un var tikt ņemta vērā aprēķinos. Šis piemērs parādīs, kā strādāt ar atkarīgiem notikumiem un hipotēzi.

Atkarīgo notikumu varbūtības aprēķināšanas piemērs

Labs piemērs atkarīgo notikumu aprēķināšanai ir standarta kāršu komplekts.

Apsveriet atkarīgos notikumus, piemēram, 36 kāršu klāja piemērā. Jānosaka varbūtība, ka otrā no klāja izvilktā kārts būs dimanta uzvalks, ja pirmā izvilktā kārts ir:

1. Tamburīna.
2. Vēl viens uzvalks.

Acīmredzot otrā notikuma B iespējamība ir atkarīga no pirmā A. Tātad, ja pirmais variants ir patiess, kas ir par 1 kārti (35) un par 1 dimantu (8) mazāk, notikuma B varbūtība:

P A (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Ja otrā iespēja ir patiesa, tad klājā ir 35 kārtis un kopējais tamburīnu skaits (9) joprojām ir saglabāts, tad šāda notikuma iespējamība ir B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Redzams, ka, ja notikums A ir atkarīgs no tā, ka pirmā kārts ir dimants, tad notikuma B varbūtība samazinās un otrādi.

Atkarīgo notikumu pavairošana

Pamatojoties uz iepriekšējo nodaļu, mēs pieņemam pirmo notikumu (A) kā faktu, bet būtībā tam ir nejaušs raksturs. Šī notikuma, proti, tamburīnas izņemšanas no kāršu klāja, varbūtība ir vienāda ar:

P(A) = 9/36 = 1/4

Tā kā teorija neeksistē pati par sevi, bet ir aicināta kalpot praktiskiem mērķiem, ir godīgi atzīmēt, ka visbiežāk ir nepieciešama atkarīgo notikumu reizinājuma varbūtība.

Saskaņā ar teorēmu par atkarīgo notikumu varbūtību reizinājumu, kopīgi atkarīgo notikumu A un B iestāšanās varbūtība ir vienāda ar viena notikuma A varbūtību, kas reizināta ar notikuma B nosacīto varbūtību (atkarībā no A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Tad piemērā ar klāju varbūtība izvilkt divas kārtis ar dimantu uzvalku ir:

9/36*8/35=0,0571 jeb 5,7%

Un varbūtība vispirms iegūt nevis dimantus, bet pēc tam dimantus ir vienāda ar:

27/36*9/35=0,19 vai 19%

Redzams, ka notikuma B iestāšanās iespējamība ir lielāka, ja vispirms tiek izvilkta cita veida kārts, nevis rombs. Šis rezultāts ir diezgan loģisks un saprotams.

Kopējā notikuma varbūtība

Ja problēma ar nosacītajām varbūtībām kļūst daudzšķautņaina, to nevar aprēķināt ar parastajām metodēm. Ja ir vairāk nekā divas hipotēzes, proti, A1, A2, ..., A n , .. veido pilnīgu notikumu grupu ar nosacījumu:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Tātad notikuma B kopējās varbūtības formula ar pilnu nejaušu notikumu grupu A1, A2, ..., A n ir:

Ieskats nākotnē

Nejauša notikuma iespējamība ir būtiska daudzās zinātnes jomās: ekonometrikā, statistikā, fizikā utt. Tā kā dažus procesus nevar aprakstīt deterministiski, jo tie paši ir varbūtēji, ir nepieciešamas īpašas darba metodes. Notikuma teorijas varbūtību var izmantot jebkurā tehnoloģiju jomā, lai noteiktu kļūdas vai darbības traucējumu iespējamību.

Var teikt, ka, apzinoties varbūtību, mēs kaut kā speram teorētisku soli nākotnē, skatoties caur formulu prizmu.

Plāns.

1. Gadījuma mainīgais (CV) un notikuma varbūtība.

2. SW sadalījuma likums.

3. Binomiālais sadalījums (Bernulli sadalījums).

4. Puasona sadalījums.

5. Normāls (Gausa) sadalījums.

6. Vienveidīgs sadalījums.

7. Studentu sadalījums.

2.1. Gadījuma lielums un notikumu varbūtība

Matemātiskā statistika ir cieši saistīta ar citām matemātikas zinātne- varbūtības teorija un balstās uz tās matemātisko aparātu.

Varbūtību teorija ir zinātne, kas pēta modeļus, ko rada nejauši notikumi.

Pedagoģiskās parādības ir vienas no masu parādībām: tās aptver lielas cilvēku populācijas, atkārtojas gadu no gada un notiek nepārtraukti. Pedagoģiskā procesa rādītājiem (parametriem, rezultātiem) ir varbūtības raksturs: viena un tā pati pedagoģiskā ietekme var izraisīt dažādas sekas (gadījuma notikumi, nejaušie mainīgie). Tomēr, atkārtoti atkārtojot nosacījumus, dažas sekas parādās biežāk nekā citas - tā izpaužas tā sauktās statistiskās likumsakarības (kuras pēta varbūtību teorija un matemātiskā statistika).

Nejaušs mainīgais (CV) - tas ir skaitlisks raksturlielums, ko mēra eksperimenta laikā un atkarībā no nejaušā iznākuma. Eksperimenta gaitā realizētais SW pats par sevi ir nejaušs. Katrs RV definē varbūtības sadalījumu.

galvenais īpašums pedagoģiskie procesi, parādības ir to varbūtības raksturs (nodotos apstākļos tās var rasties, realizēties, bet var nenotikt). Šādām parādībām būtisku lomu spēlē varbūtības jēdziens.

Varbūtība (P) parāda dotā notikuma, parādības, rezultāta iespējamības pakāpi. Neiespējama notikuma varbūtība ir nulle lpp = 0, uzticams - viens lpp = 1 (100%). Jebkura notikuma varbūtība ir no 0 līdz 1 atkarībā no tā, cik nejaušs ir notikums.

Ja mūs interesē notikums A, tad, visticamāk, varam novērot, fiksēt tā rašanās faktus. Vajadzība pēc varbūtības jēdziena un tās aprēķināšanas acīmredzot radīsies tikai tad, kad mēs šo notikumu vērosim ne katru reizi, vai arī apzināsimies, ka tas var notikt vai nenotikt. Abos gadījumos ir lietderīgi izmantot notikuma iestāšanās biežuma jēdzienu f(A) - kā tā rašanās gadījumu (labvēlīgo iznākumu) attiecību pret kopējo novērojumu skaitu. Nejauša notikuma rašanās biežums ir atkarīgs ne tikai no paša notikuma nejaušības pakāpes, bet arī no šī SW novērojumu skaita (skaita).

Ir divu veidu SV paraugi: atkarīgi Un neatkarīgs. Ja noteiktas īpašības mērīšanas rezultāti pirmā parauga objektos neietekmē šīs īpašības mērīšanas rezultātus otrā parauga objektos, tad šādas izlases uzskata par neatkarīgām. Ja viena parauga rezultāti ietekmē cita parauga rezultātus, paraugi tiek ņemti vērā atkarīgi. Klasiskais veids, kā iegūt atkarīgus mērījumus, ir divreiz izmērīt vienu un to pašu īpašību (vai dažādas īpašības) vienas grupas dalībniekiem.

Notikums A nav atkarīgs no notikuma B, ja notikuma A varbūtība nav atkarīga no tā, vai notikums B ir noticis vai nē. Notikumi A un B ir neatkarīgi, ja P(AB)=P(A)P(B). Praksē notikuma neatkarība tiek noteikta no pieredzes apstākļiem, pētnieka intuīcijas un prakses.

CV ir diskrēts (tā iespējamās vērtības varam numurēt), piemēram, matricas ripināšana = 4, 6, 2, un nepārtraukta (tā sadales funkcija F(x) ir nepārtraukta), piemēram, spuldzes mūžs .

Matemātiskā cerība ir SW skaitlisks raksturlielums, kas aptuveni vienāds ar SW vidējo vērtību:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 SW sadales likums

Vai uz gadījuma rakstura parādībām attiecas kādi likumi? Jā, bet šie likumi atšķiras no mums ierastajiem. fiziskie likumi. SW vērtības nevar paredzēt pat zināmos eksperimenta apstākļos, mēs varam tikai norādīt varbūtību, ka SW pieņems vienu vai otru vērtību. Bet, zinot SW varbūtības sadalījumu, mēs varam izdarīt secinājumus par notikumiem, kuros piedalās šie nejaušie mainīgie. Tiesa, arī šiem secinājumiem būs varbūtības raksturs.

Lai daži SW ir diskrēti, t.i. var ņemt tikai fiksētas vērtības X i . Šajā gadījumā varbūtību sēriju P(X i) visām (i=1…n) šī lieluma pieļaujamajām vērtībām sauc par tās sadalījuma likumu.

SW sadalījuma likums ir sakarība, kas nosaka saistību starp iespējamām SW vērtībām un varbūtībām, ar kādām šīs vērtības tiek pieņemtas. Sadales likums pilnībā raksturo SW.

Konstruējot matemātisko modeli, lai pārbaudītu statistisko hipotēzi, ir nepieciešams ieviest matemātisku pieņēmumu par SW sadalījuma likumu (parametrisks modeļa veidošanas veids).

Neparametriskā pieeja matemātiskā modeļa aprakstam (SW nav parametriskā sadalījuma likuma) ir mazāk precīza, taču tai ir plašāka darbības joma.

Tāpat kā nejauša notikuma iespējamībai, CV izplatīšanas likumam ir tikai divi veidi, kā to atrast. Vai nu mēs izveidojam nejauša notikuma shēmu un atrodam analītisko izteiksmi (formulu) varbūtības aprēķināšanai (varbūt kāds to jau ir izdarījis vai izdarīs pirms jums!), vai arī mums būs jāizmanto eksperiments un, pamatojoties uz novērojumu biežumu, izdarīt dažus pieņēmumus (izvirzīt hipotēzes) par likumu sadalījumu.

Protams, katram no "klasiskajiem" sadalījumiem šis darbs ir veikts jau sen – plaši pazīstami un ļoti bieži pielietotajā statistikā ir binomālie un polinomiālie sadalījumi, ģeometriskie un hiperģeometriskie sadalījumi, Paskāla un Puasona sadalījumi, un daudzi citi.

Gandrīz visiem klasiskajiem sadalījumiem nekavējoties tika izveidotas un publicētas īpašas statistikas tabulas, kuras tika precizētas, palielinoties aprēķinu precizitātei. Neizmantojot daudzos šo tabulu sējumus, neapgūstot to lietošanas noteikumus, pēdējos divus gadsimtus statistikas praktiskā izmantošana nav bijusi iespējama.

Šodien situācija ir mainījusies - nav jāglabā aprēķinu dati, izmantojot formulas (lai cik sarežģītas tās būtu!), Sadales likuma izmantošanas laiks praksei tiek samazināts līdz minūtēm vai pat sekundēm. Jau šobrīd šiem nolūkiem ir pieejams pietiekams skaits dažādu lietišķo datorprogrammu pakešu.

Starp visiem varbūtības sadalījumiem ir tādi, kurus praksē izmanto visbiežāk. Šie sadalījumi ir detalizēti izpētīti, un to īpašības ir labi zināmas. Daudzi no šiem sadalījumiem veido pamatu veselām zināšanu jomām, piemēram, rindu teorijai, uzticamības teorijai, kvalitātes kontrolei, spēļu teorijai utt.

2.3. Binomiālais sadalījums (Bernulli sadalījums)

Tas rodas gadījumos, kad tiek uzdots jautājums: cik reižu notiek notikums noteikta skaita neatkarīgu novērojumu (eksperimentu) virknē, kas veiktas tādos pašos apstākļos.

Ērtības un skaidrības labad pieņemsim, ka zinām vērtību p – varbūtību, ka veikalā ienākušais apmeklētājs būs pircējs un (1 – p) = q – varbūtību, ka apmeklētājs, kas ienāks veikalā, nebūs pircējs.

Ja X ir pircēju skaits no kopējais skaits n apmeklētāji, tad varbūtība, ka starp n apmeklētājiem ir k pircēju, ir

P(X= k) = , kur k=0,1,…n (1)

Formulu (1) sauc par Bernulli formulu. Ar lielu skaitu izmēģinājumu binomiālais sadalījums mēdz būt normāls.

2.4. Puasona sadalījums

Tam ir svarīga loma vairākos fizikas, komunikācijas teorijas, uzticamības teorijas, rindu teorijas u.c. jautājumos. Visur, kur noteiktā laikā var notikt nejaušs skaits notikumu (radioaktīvi sabrukumi, telefona zvani, iekārtu atteices, avārijas utt.).

Apsveriet tipiskāko situāciju, kurā notiek Puasona sadalījums. Ļaujiet dažiem notikumiem (pirkumiem veikalā) notikt nejaušā laikā. Noteiksim šādu notikumu gadījumu skaitu laika intervālā no 0 līdz T.

Nejaušs notikumu skaits, kas notika laikā no 0 līdz T, tiek sadalīts saskaņā ar Puasona likumu ar parametru l=aT, kur a>0 ir uzdevuma parametrs, kas atspoguļo notikumu vidējo biežumu. K pirkumu iespējamība lielā laika intervālā (piemēram, dienā) būs

P(Z=k) =

(2)

2.5. Normāls (Gausa) sadalījums

Normālais (Gausa) sadalījums ieņem centrālo vietu varbūtības-statistikas pētījumu teorijā un praksē. Kā nepārtraukta tuvināšana binomiālais sadalījums pirmo reizi to aplūkoja A. Moivre 1733. gadā. Pēc kāda laika normālo sadalījumu atkal atklāja un pētīja K. Gauss (1809) un P. Laplass, kuri nonāca pie normālās funkcijas saistībā ar darbu pie novērojumu teorijas. kļūdas.

Nepārtraukts gadījuma mainīgais X sauca izplatīts saskaņā ar parasto likumu, ja tā sadalījuma blīvums ir vienāds ar

Kur

sakrīt ar X matemātisko cerību:
=M(X), parametrs s sakrīt ar X standartnovirzi: s =s(X). Normālā sadalījuma funkcijas grafiks, kā redzams attēlā, ir kupola formas līknes formā, ko sauc par Gausu, maksimālajam punktam ir koordinātes (a;

Šī līkne pie μ=0, σ=1 saņēma standarta statusu, to sauc par vienības normālo līkni, tas ir, visus savāktos datus cenšas pārveidot tā, lai to sadalījuma līkne būtu pēc iespējas tuvāka šai standarta līknei. .

Normalizētā līkne tika izgudrota, lai atrisinātu problēmas varbūtību teorijā, taču praksē izrādījās, ka tā lieliski tuvina frekvenču sadalījumu ar lielu novērojumu skaitu daudziem mainīgajiem. Var pieņemt, ka bez materiāliem ierobežojumiem attiecībā uz objektu skaitu un eksperimenta laiku, statistiskais pētījums samazināts līdz normālai līknei.

2.6. Vienmērīgs sadalījums

Vienmērīgais varbūtības sadalījums ir vienkāršākais un var būt gan diskrēts, gan nepārtraukts. Diskrēts vienmērīgs sadalījums ir tāds sadalījums, kuram katras CB vērtības varbūtība ir vienāda, tas ir:

kur N ir iespējamo SW vērtību skaits.

Nepārtrauktas CB X varbūtības sadalījumu, ņemot visas tā vērtības no segmenta [a; b], sauc par vienmērīgu, ja tā varbūtības blīvums šajā segmentā ir nemainīgs un ārpus tā ir vienāds ar nulli:

(5)

2.7. Studentu sadalījums

Šis sadalījums ir saistīts ar normālo sadalījumu. Ja RV x 1 , x 2 , … x n ir neatkarīgi, un katram no tiem ir standarts normālais sadalījums N(0,1), tad SW ir izsaukts sadalījums izplatīšana Students:

varbūtības notikumu kombinatorikas statistika

Varbūtību teorija ir matemātikas nozare, kas pēta nejaušu parādību modeļus. Nejaušas parādības ir parādības ar nenoteiktu iznākumu, kas rodas, atkārtoti atkārtojot noteiktu apstākļu kopumu. Varbūtības teorijas veidošanās un attīstība ir saistīta ar tādu izcilu zinātnieku vārdiem kā: Kardano, Paskāls, Fermā, Bernulli, Gauss, Čebiševs, Kalmogorovs un daudzi citi. Pirmo reizi nejaušu parādību modeļi tika atklāti 16. - 17. gadsimtā. azartspēļu piemērā, līdzīgi kā kauliņu spēlei. Arī dzimšanas un nāves likumi ir zināmi ļoti sen. Piemēram, vai ir zināms, ka varbūtība, ka jaundzimušais ir zēns? 0,515. 19. un 20. gadsimtā tika atvērts liels skaitlis likumi fizikā, ķīmijā, bioloģijā uc Šobrīd varbūtību teorijas metodes tiek plaši izmantotas dažādas nozares dabaszinātnes un tehnoloģijas: uzticamības teorijā, rindas teorijā, in teorētiskā fizika, ģeodēzija, astronomija, šaušanas teorija, novērojumu kļūdu teorija, automātiskās vadības teorija, vispārējā teorija komunikācijas un daudzās citās teorētiskajās un lietišķajās zinātnēs. Varbūtības teorija kalpo arī matemātiskās un lietišķās statistikas pamatošanai, kas savukārt tiek izmantota ražošanas plānošanā un organizēšanā, tehnoloģisko procesu analīzē, preču kvalitātes profilaktiskajā un pieņemšanas kontrolē un daudziem citiem mērķiem. IN pēdējie gadi varbūtības teorijas metodes arvien plašāk iekļūst dažādas jomas zinātne un tehnoloģija, veicinot to progresu.

Tiesas process. Pasākums. Pasākumu klasifikācija

Pārbaude ir tāda paša apstākļu kopuma atkārtota atveidošana, kādos tiek veikts novērojums. Kvalitatīvs testa rezultāts ir notikums. 1. piemērs: urnā ir krāsainas bumbiņas. No urnas tiek paņemta viena bumbiņa, lai veicas. Tests - bumbas izvilkšana no urnas; Notikums - bumbas parādīšanās noteikta krāsa. A.2. Viena izmēģinājuma savstarpēji izslēdzošu rezultātu kopu sauc par elementāru notikumu vai elementāru rezultātu kopu. 2. piemērs: kauliņš tiek izmests vienu reizi. Pārbaude - kaula mētāšana; Notikums - noteikta punktu skaita zaudēšana. Elementāro rezultātu kopa ir (1,2,3,4,5,6). Notikumi tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem: A 1, A 2, ..., A, B, C, ... Novērotos notikumus (parādības) var iedalīt šādos trīs veidos: ticami, neiespējami, nejauši. A. 3: Notikums tiek saukts par noteiktu, ja testa rezultātā tas noteikti notiks. A4: Notikums tiek uzskatīts par neiespējamu, ja testa rezultātā tas nekad nenotiks. A.5. Notikumu sauc par nejaušu, ja testa rezultātā tas var notikt vai nenotikt. 3. piemērs: Pārbaude — bumba tiek uzmesta uz augšu. Notikums A = (bumba nokritīs) - uzticams; Notikums B=(bumba karāsies gaisā) nav iespējama; Notikums C=(bumba uzkritīs metējam uz galvas) ir nejaušs. Nejaušus notikumus (parādības) var iedalīt šādos veidos: kopīgs, nesaderīgs, pretējs, vienlīdz iespējams. A. 6: Divus notikumus sauc par kopīgiem, ja vienā izmēģinājumā viens no tiem neizslēdz otra rašanos. A. 7: Tiek uzskatīts, ka divi notikumi nav savienojami, ja vienā izmēģinājumā viens no tiem izslēdz otra iestāšanos. 4. piemērs: Monēta tiek iemesta divas reizes. Notikums A - (Emblēma nomesta pirmo reizi); Pasākums B - (Izkrita otrais ģerbonis); Pasākums C - (Pirmo reizi vada). Notikumi A un B ir apvienoti, A un C nav saderīgi. A. 8: Vairāki notikumi noteiktā izmēģinājumā veido pilnu grupu, ja tie nav savietojami pa pāriem un izmēģinājuma rezultātā noteikti parādīsies viens no šiem notikumiem. 5. piemērs: zēns iemet monētu spēļu automātā. Notikums A =(zēns uzvar); Pasākums B=(puika neuzvarēs); A un B - veido pilnīgu notikumu grupu. A.9: Divus nesaderīgus notikumus, kas veido pilnīgu grupu, sauc par pretējiem. Notikums, kas ir pretējs notikumam A, ir apzīmēts. Piemērs 6. Viens šāviens tiek raidīts mērķī. Notikums A – trāpījums; Pasākums ir garām.