Aplūkotā diskrēto sadalījumu īpašība rada ievērojamas grūtības šādu sadalījumu tabulēšanā un izmantošanā, jo nav iespējams precīzi uzturēt sadalījuma raksturlielumu tipiskās skaitliskās vērtības. Jo īpaši tas attiecas uz neparametrisko statistisko testu kritiskajām vērtībām un nozīmīguma līmeņiem (skatīt zemāk), jo šo testu statistikas sadalījums ir diskrēts.

Pasūtījuma kvantilei statistikā ir liela nozīme. R= ½. To sauc par mediānu (nejaušs mainīgais X vai tā izplatīšanas funkcija F(x)) un apzīmēts Es (X).Ģeometrijā ir jēdziens "mediāna" - taisna līnija, kas iet caur trijstūra virsotni un sadala tā pretējo malu uz pusēm. Matemātiskajā statistikā mediāna sadala uz pusēm nevis trijstūra malu, bet gadījuma lieluma sadalījumu: vienādība F(x0,5)= 0,5 nozīmē, ka varbūtība nokļūt pa kreisi x0.5 un varbūtība, ka tiks pareizi x0.5(vai tieši uz x0.5) ir vienādi viens ar otru un vienādi ar ½, t.i.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediāna norāda sadalījuma "centru". No viena no mūsdienu jēdzieniem - stabilu statistisko procedūru teorijas - viedokļa mediāna ir labāka gadījuma lieluma īpašība nekā matemātiskā cerība. Apstrādājot mērījumu rezultātus kārtas skalā (skat. nodaļu par mērījumu teoriju), var izmantot mediānu, bet ne matemātisko cerību.

Šādam nejauša lieluma raksturlielumam kā režīmam ir skaidra nozīme - gadījuma lieluma vērtība (vai vērtības), kas atbilst iespējamības blīvuma lokālajam maksimumam nepārtrauktam gadījuma lielumam vai lokālajam varbūtības maksimumam diskrētam nejaušam lielumam. mainīgs.

Ja x0 ir nejauša lieluma ar blīvumu režīms f(x), tad, kā zināms no diferenciālrēķina, .

Nejaušam mainīgajam var būt vairāki režīmi. Tātad vienmērīgam sadalījumam (1) katrs punkts X tāds, ka a< x < b , ir mode. Tomēr šis ir izņēmums. Lielākajai daļai nejaušības lielumu, ko izmanto varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs un citos lietišķajos pētījumos, ir viens režīms. Nejaušus lielumus, blīvumus, sadalījumus, kuriem ir viens režīms, sauc par unimodāliem.

Matemātiskās cerības diskrētiem nejaušiem mainīgajiem ar ierobežotu vērtību skaitu ir aplūkotas nodaļā "Notikumi un varbūtības". Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam X paredzamā vērtība M(X) apmierina vienlīdzību

kas ir formulas (5) analogs no nodaļas "Notikumi un varbūtības" 2. apgalvojuma.

5. piemērs Matemātiskā cerība vienmērīgi sadalītam gadījuma mainīgajam X vienāds

Šajā nodaļā aplūkotajiem nejaušajiem mainīgajiem ir patiesas visas tās matemātisko gaidu un dispersiju īpašības, kas tika aplūkotas iepriekš diskrētiem gadījuma mainīgajiem ar ierobežotu vērtību skaitu. Tomēr mēs nesniedzam šo īpašību pierādījumus, jo tie prasa iedziļināšanos matemātiskās smalkumos, kas nav nepieciešams varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu izpratnei un kvalificētai pielietošanai.

komentēt.Šajā mācību grāmatā ir apzināti izvairīties no matemātikas smalkumiem, kas īpaši saistīti ar izmērāmu kopu un izmērāmu funkciju jēdzieniem, notikumu -algebru utt. Tiem, kas vēlas apgūt šos jēdzienus, vajadzētu atsaukties uz speciālā literatūra, jo īpaši enciklopēdijai.

Katrs no trim raksturlielumiem – matemātiskā prognoze, mediāna, režīms – apraksta varbūtības sadalījuma "centru". Jēdzienu "centrs" var definēt dažādos veidos — no tā izriet trīs dažādas īpašības. Tomēr svarīgai sadalījumu klasei - simetriskajam unimodālajam - visi trīs raksturlielumi sakrīt.

Izplatības blīvums f(x) ir simetriskā sadalījuma blīvums, ja ir skaitlis x 0 tāds, ka

. (3)

Vienādība (3) nozīmē, ka funkcijas grafiks y = f(x) simetrisks attiecībā pret vertikālu līniju, kas iet caur simetrijas centru X = X 0 . No (3) izriet, ka simetriskā sadalījuma funkcija apmierina attiecību

(4)

Simetriskam sadalījumam ar vienu režīmu vidējais, mediāna un režīms ir vienādi un vienādi x 0.

Vissvarīgākais gadījums ir simetrija attiecībā pret 0, t.i. x 0= 0. Tad (3) un (4) kļūst par vienādībām

(6)

attiecīgi. Iepriekš minētās attiecības parāda, ka nav nepieciešams tabulēt simetriskus sadalījumus visiem X, pietiek ar galdiem x > x0.

Atzīmējam vēl vienu simetrisko sadalījumu īpašību, kas pastāvīgi tiek izmantota varbūtības-statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs un citos lietišķajos pētījumos. Nepārtrauktas izplatīšanas funkcijai

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

Kur F ir gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X. Ja sadales funkcija F ir simetrisks attiecībā pret 0, t.i. formula (6) tam ir derīga, tad

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Bieži tiek izmantots cits aplūkojamā apgalvojuma formulējums: ja

.

Ja un ir sadalījuma funkcijas kārtas un attiecīgi (sk. (2)) kvantiles, kas ir simetriskas attiecībā pret 0, tad no (6) izriet, ka

No amata īpašībām - matemātiskās cerības, mediānas, režīmi – pāriesim pie gadījuma lieluma izplatības pazīmēm X: dispersija , standartnovirze un variācijas koeficients v. Diskrētu gadījuma lielumu dispersijas definīcija un īpašības tika aplūkotas iepriekšējā nodaļā. Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem

Standarta novirze ir dispersijas kvadrātsaknes nenegatīvā vērtība:

Variācijas koeficients ir standarta novirzes attiecība pret matemātisko cerību:

Variācijas koeficients tiek piemērots, kad M(X)> 0. Tas mēra starpību relatīvās vienībās, bet standarta novirze ir absolūtās vienībās.

6. piemērs Vienmērīgi sadalītam gadījuma mainīgajam X atrast dispersiju, standarta novirzi un variācijas koeficientu. Izkliede ir:

Mainīgo aizstāšana ļauj rakstīt:

Kur c = (b – a)/ 2. Tāpēc standarta novirze ir vienāda ar un variācijas koeficients ir:

Katram nejaušam mainīgajam X noteikt vēl trīs daudzumus - centrēts Y, normalizēts V un dots U. Centrēts nejaušais mainīgais Y ir atšķirība starp doto nejaušo mainīgo X un tās matemātiskās cerības M(X), tie. Y = X — M(X). Centrēta gadījuma mainīgā matemātiskā cerība Y ir vienāds ar 0, un dispersija ir dotā gadījuma lieluma dispersija: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). sadales funkcija FY(x) centrēts nejaušais mainīgais Y kas saistīti ar sadales funkciju F(x) sākotnējais nejaušais mainīgais X attiecība:

FY(x) = F(x + M(X)).

Šo nejaušo lielumu blīvumam vienādība

fY(x) = f(x + M(X)).

Normalizēts gadījuma mainīgais V ir šī nejaušā lieluma attiecība X līdz tās standarta novirzei , t.i. . Normalizēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība un dispersija V izteikts ar raksturlielumiem X Tātad:

,

Kur v ir sākotnējā gadījuma lieluma variācijas koeficients X. Izplatīšanas funkcijai F V(x) un blīvums f V(x) normalizēts gadījuma mainīgais V mums ir:

Kur F(x) ir sākotnējā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija X, A f(x) ir tā varbūtības blīvums.

Samazināts nejaušības lielums U ir centrēts un normalizēts gadījuma mainīgais:

.

Samazinātam gadījuma mainīgajam

Normalizētie, centrētie un reducētie nejaušie mainīgie tiek pastāvīgi izmantoti gan teorētiskajos pētījumos, gan algoritmos, programmatūras produktos, normatīvajā un tehniskajā un pamācošajā un metodiskajā dokumentācijā. Jo īpaši tāpēc, ka vienlīdzība ļauj vienkāršot metožu pamatojumu, teorēmu formulējumus un aprēķinu formulas.

Tiek izmantotas nejaušo lielumu transformācijas un vispārīgāks plāns. Tātad ja Y = aX + b, Kur a Un b tad ir daži skaitļi

7. piemērs Ja tad Y ir reducētais gadījuma lielums, un formulas (8) tiek pārveidotas par formulām (7).

Ar katru nejaušo mainīgo X jūs varat savienot daudz nejaušu mainīgo Y dots pēc formulas Y = aX + b dažādos a> 0 un b. Šo komplektu sauc mēroga maiņu ģimene, ko ģenerē nejaušs mainīgais X. Sadales funkcijas FY(x) veido skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījuma funkcija F(x). Tā vietā Y = aX + b bieži lietots apzīmējums

Numurs Ar tiek saukts par maiņas parametru un skaitli d- mēroga parametrs. Formula (9) to parāda X- noteikta daudzuma mērīšanas rezultāts - nonāk Plkst- tās pašas vērtības mērījuma rezultāts, ja mērījuma sākumu pārceļ uz punktu Ar, un pēc tam izmantojiet jauno mērvienību, in d reizes lielāks nekā vecais.

Mēroga nobīdes saimei (9) sadalījumu X sauc par standarta. Varbūtības-statistiskajās lēmumu pieņemšanas metodēs un citos lietišķajos pētījumos tiek izmantots standarta normālais sadalījums, standarta Veibula-Gņedenko sadalījums, standarta gamma sadalījums u.c. (skat. zemāk).

Tiek izmantotas arī citas nejaušo mainīgo transformācijas. Piemēram, pozitīvam gadījuma mainīgajam X apsvērt Y= baļķis X, kur lg X – decimāllogaritms cipariem X. Vienlīdzības ķēde

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

attiecas uz sadales funkcijām X Un Y.

Apstrādājot datus, tiek izmantoti tādi nejaušā lieluma raksturlielumi X kā kārtības brīži q, t.i. nejauša lieluma matemātiskās cerības X q, q= 1, 2, … Tādējādi pati matemātiskā gaida ir 1. kārtas moments. Diskrētam gadījuma mainīgajam secības moments q var aprēķināt kā

Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam

Kārtības mirkļi q ko sauc arī par sākuma mirkļi pasūtījums q, atšķirībā no radniecīgām īpašībām - pasūtījuma centrālajiem momentiem q, dots pēc formulas

Tādējādi izkliede ir 2. kārtas centrālais moments.

Normālais sadalījums un centrālās robežas teorēma. Varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs mēs bieži runājam par normālo sadalījumu. Dažreiz viņi mēģina to izmantot, lai modelētu sākotnējo datu sadalījumu (šie mēģinājumi ne vienmēr ir pamatoti - skatīt zemāk). Vēl svarīgāk ir tas, ka daudzas datu apstrādes metodes ir balstītas uz to, ka aprēķinātajām vērtībām ir sadalījums, kas ir tuvu normālam.

Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Kā izriet no iepriekšējās nodaļas rezultātiem,

Apsveriet samazināto gadījuma mainīgo U n par summu , proti,

Kā izriet no formulas (7), M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(identiski izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n, … ir neatkarīgi identiski sadalīti nejauši mainīgie ar matemātiskām prognozēm M(X i) = m un dispersijas D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Tad jebkuram x ir ierobežojums

Kur F(x)– standarta funkcija normālais sadalījums.

Vairāk par funkciju F(x) — zemāk (tas skan “fi no x”, jo F- grieķu lielais burts "phi").

Centrālās robežas teorēma (CLT) ir ieguvusi savu nosaukumu no tā, ka tā ir galvenais, visbiežāk izmantotais varbūtības teorijas matemātiskais rezultāts. matemātiskā statistika. CLT vēsture ilgst aptuveni 200 gadus – no 1730. gada, kad angļu matemātiķis A. De Moivrs (1667-1754) publicēja pirmo ar CLT saistīto rezultātu (skat. tālāk par Moivra-Laplasa teorēmu), līdz divdesmitajiem – trīsdesmitajiem gadiem. divdesmitā gadsimta, kad soms Dž. Lindebergs, francūzis Pols Levī (1886-1971), dienvidslāvs V. Fellers (1906-1970), krievs A.Ya. Khinchin (1894-1959) un citi zinātnieki saņēma nepieciešamo un pietiekami apstākļi klasiskās centrālās robežu teorēmas derīgums.

Aplūkojamā priekšmeta attīstība ar to nemaz neapstājās - viņi pētīja nejaušos lielumus, kuriem nav dispersijas, t.i. tie, kuriem

(akadēmiķis B.V. Gņedenko u.c.), situācija, kad tiek summēti nejauši mainīgie (precīzāk, nejaušības elementi), kuru raksturs ir sarežģītāks par skaitļiem (akadēmiķi Ju.V. Prohorovs, A.A. Borovkovs un viņu domubiedri) utt. .d.

sadales funkcija F(x) tiek dota ar vienlīdzību

,

kur ir standarta normālā sadalījuma blīvums, kuram ir diezgan sarežģīta izteiksme:

.

Šeit \u003d 3,1415925 ... ir ģeometrijā zināms skaitlis, vienāds ar attiecību apkārtmērs līdz diametram, e \u003d 2,718281828 ... - naturālo logaritmu bāze (lai atcerētos šo skaitli, ņemiet vērā, ka 1828. gads ir rakstnieka Ļeva Tolstoja dzimšanas gads). Kā zināms no matemātiskā analīze,

Apstrādājot novērojumu rezultātus, normālā sadalījuma funkcija netiek aprēķināta pēc iepriekš minētajām formulām, bet tiek atrasta, izmantojot īpašas tabulas vai datorprogrammas. Labākās krievu valodā “Matemātiskās statistikas tabulas” sastādīja PSRS Zinātņu akadēmijas korespondējošie biedri L.N. Boļševs un Ņ.V. Smirnovs.

Standarta normālā sadalījuma blīvuma forma izriet no matemātiskās teorijas, kuru mēs šeit nevaram aplūkot, kā arī no CLT pierādījuma.

Ilustrācijai mēs piedāvājam nelielas sadales funkcijas tabulas F(x)(2. tabula) un tās kvantilēm (3. tabula). Funkcija F(x) ir simetrisks attiecībā pret 0, kas ir atspoguļots 2.-3. tabulā.

2. tabula.

Standarta normālā sadalījuma funkcija.

Ja nejaušais mainīgais X ir sadales funkcija F(x), Tas M(X) = 0, D(X) = 1. Šis apgalvojums ir pierādīts varbūtības teorijā, pamatojoties uz varbūtības blīvuma formu. Tas piekrīt līdzīgam apgalvojumam par reducētā gadījuma lieluma raksturlielumiem U n, kas ir diezgan dabiski, jo CLT norāda, ka, bezgalīgi palielinoties terminu skaitam, sadales funkcija U n tiecas uz standarta normālā sadalījuma funkciju F(x), un jebkuram X.

3. tabula

Standarta normālā sadalījuma kvantiles.

Ieviesīsim normālo sadalījumu saimes jēdzienu. Pēc definīcijas normālais sadalījums ir gadījuma lieluma sadalījums X, kam reducētā gadījuma lieluma sadalījums ir F(x). Kā izriet no kopīgas īpašības skalas nobīdes sadalījumu ģimenes (skatīt iepriekš), normālais sadalījums ir nejauša lieluma sadalījums

Kur X ir nejaušs lielums ar sadalījumu F(X), un m = M(Y), = D(Y). Normāls sadalījums ar nobīdes parametriem m un mērogs parasti tiek apzīmēts N(m, ) (dažreiz apzīmējums N(m, ) ).

Kā izriet no (8), normālā sadalījuma varbūtības blīvums N(m, ) Tur ir

Normālie sadalījumi veido mēroga nobīdes saimi. Šajā gadījumā mēroga parametrs ir d= 1/ , un maiņas parametrs c = - m/ .

Normālā sadalījuma trešās un ceturtās kārtas centrālajiem momentiem vienādības ir patiesas

Šīs vienādības ir pamatā klasiskajām metodēm, lai pārbaudītu, vai novērojumu rezultāti atbilst normālam sadalījumam. Patlaban normālumu parasti iesaka pārbaudīt pēc kritērija WŠapiro - Vilka. Normalitātes pārbaudes problēma ir aplūkota tālāk.

Ja nejaušie mainīgie X 1 Un X 2 ir izplatīšanas funkcijas N(m 1 , 1) Un N(m 2 , 2) attiecīgi, tad X 1+ X 2 ir sadalījums Tāpēc, ja nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , tad to vidējais aritmētiskais

ir sadalījums N(m, ) . Šīs normālā sadalījuma īpašības pastāvīgi tiek izmantotas dažādās varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs, jo īpaši tehnoloģisko procesu statistiskajā kontrolē un statistiskajā pieņemšanas kontrolē pēc kvantitatīvā atribūta.

Normālais sadalījums definē trīs sadalījumus, kurus tagad parasti izmanto statistikas datu apstrādē.

Sadalījums (chi - kvadrāts) - nejauša lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie X 1 , X 2 ,…, X n ir neatkarīgi un tiem ir vienāds sadalījums N(0,1). Šajā gadījumā terminu skaits, t.i. n, sauc par hī kvadrāta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu".

Izplatīšana t Students ir gadījuma lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie U Un X neatkarīgs, U ir standarta normālais sadalījums N(0,1) un X– sadalījums chi – kvadrāts ar n brīvības pakāpes. Kurā n sauc par Studenta sadalījuma "brīvības pakāpju skaitu". Šo izplatīšanu 1908. gadā ieviesa angļu statistiķis V. Gosets, kurš strādāja alus rūpnīcā. Šajā rūpnīcā saimniecisku un tehnisku lēmumu pieņemšanai tika izmantotas varbūtības-statistiskās metodes, tāpēc tās vadība aizliedza V. Gosetam publicēt zinātniskus rakstus ar savu vārdu. Tādā veidā tika aizsargāts komercnoslēpums, "know-how" V. Goseta izstrādāto varbūtības-statistisko metožu veidā. Tomēr viņš varēja publicēties ar pseidonīmu "Students". Gosset - Student vēsture liecina, ka vēl simts gadus britu vadītājiem bija acīmredzama varbūtības-statistisko lēmumu pieņemšanas metožu lielā ekonomiskā efektivitāte.

Fišera sadalījums ir nejauša lieluma sadalījums

kur nejaušie mainīgie X 1 Un X 2 ir neatkarīgi un tiem ir chi sadalījums — kvadrāts ar brīvības pakāpju skaitu k 1 Un k 2 attiecīgi. Tajā pašā laikā pāris (k 1 , k 2 ) ir Fišera sadalījuma "brīvības pakāpju skaitļu" pāris, proti, k 1 ir skaitītāja brīvības pakāpju skaits, un k 2 ir saucēja brīvības pakāpju skaits. Gadījuma lieluma F sadalījums ir nosaukts izcilā angļu statistiķa R. Fišera (1890-1962) vārdā, kurš to aktīvi izmantoja savā darbā.

Izteiksmes chi - square, Studenta un Fišera sadalījuma funkcijām, to blīvumiem un raksturlielumiem, kā arī tabulas ir atrodamas speciālajā literatūrā (sk., piemēram,).

Kā jau minēts, parastie sadalījumi pašlaik bieži tiek izmantoti varbūtības modeļos dažādās lietotās jomās. Kāpēc šī divu parametru sadalījumu saime ir tik plaši izplatīta? To precizē sekojošā teorēma.

Centrālās robežas teorēma(atšķirīgi izplatītiem terminiem). Ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n,… ir neatkarīgi nejauši mainīgie ar matemātiskām prognozēm M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … un dispersijas D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … attiecīgi. Ļaujiet

Tad, ievērojot noteiktus nosacījumus, kas nodrošina nelielu ieguldījumu kāda no noteikumiem uz U n,

jebkuram X.

Attiecīgie nosacījumi šeit netiks formulēti. Tos var atrast specializētajā literatūrā (sk., piemēram,). "CPT darbības nosacījumu noskaidrošana ir izcilo krievu zinātnieku A. A. Markova (1857-1922) un jo īpaši A. M. Ļapunova (1857-1918) nopelns."

Centrālā robežteorēma parāda, ka gadījumā, ja mērījuma (novērošanas) rezultāts veidojas daudzu iemeslu ietekmē, katrs no tiem dod tikai nelielu ieguldījumu, un kumulatīvo rezultātu nosaka aditīvi, t.i. pieskaitot, tad mērījuma (novērošanas) rezultāta sadalījums ir tuvs normālam.

Dažreiz tiek uzskatīts, ka, lai sadalījums būtu normāls, pietiek ar to, ka mērījuma (novērošanas) rezultāts X veidojas daudzu cēloņu ietekmē, no kuriem katram ir neliela ietekme. Tas ir nepareizi. Svarīgi ir tas, kā šie cēloņi darbojas. Ja piedeva, tad X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja reizinot(tas ir, atsevišķu cēloņu darbības tiek reizinātas, nevis pievienotas), tad sadale X ne tuvu normālam, bet gan t.s. logaritmiski normāls, t.i. Nav X, un lg X ir aptuveni normāls sadalījums. Ja nav pamata uzskatīt, ka darbojas viens no šiem diviem gala rezultāta veidošanās mehānismiem (vai kāds cits precīzi definēts mehānisms), tad par sadali X neko konkrētu nevar pateikt.

No teiktā izriet, ka konkrētajā pielietotajā problēmā mērījumu (novērojumu) rezultātu normalitāti, kā likums, nevar noteikt no vispārīgiem apsvērumiem, tas jāpārbauda, ​​izmantojot statistikas kritērijus. Vai arī izmantot neparametriskas statistikas metodes, kas nav balstītas uz pieņēmumiem par vienai vai otrai parametru saimei piederošo mērījumu rezultātu (novērojumu) sadalījuma funkcijām.

Nepārtrauktie sadalījumi, ko izmanto varbūtības-statistikas lēmumu pieņemšanas metodēs. Papildus skalas nobīdes normālo sadalījumu saimei plaši tiek izmantotas vairākas citas sadalījumu ģimenes - logaritmiski normālie, eksponenciālie, Veibula-Gņedenko, gamma sadalījumi. Apskatīsim šīs ģimenes.

Izlases vērtība X ir log-normālais sadalījums, ja gadījuma mainīgais Y= baļķis X ir normāls sadalījums. Tad Z=ln X = 2,3026…Y ir arī normāls sadalījums N(a 1 ,σ 1), kur ln X- naturālais logaritms X. Log-normālā sadalījuma blīvums ir:

No centrālās robežu teorēmas izriet, ka reizinājums X = X 1 X 2 … X n neatkarīgi pozitīvi gadījuma mainīgie X i, i = 1, 2,…, n, brīvībā n var tuvināt ar log-normālo sadalījumu. Jo īpaši veidojuma multiplikatīvais modelis algas vai ienākumi noved pie ieteikuma tuvināt algu un ienākumu sadalījumu pēc log-normālajiem likumiem. Krievijai šis ieteikums izrādījās pamatots – statistika to apstiprina.

Ir arī citi varbūtības modeļi, kas noved pie log-normāllikuma. Klasisku šāda modeļa piemēru sniedz A.N. lodīšu dzirnavām ir log-normāls sadalījums.

Pāriesim uz citu sadalījumu saimi, ko plaši izmanto dažādās varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs un citos lietišķajos pētījumos, eksponenciālo sadalījumu saimi. Sāksim ar varbūtības modeli, kas noved pie šādiem sadalījumiem. Lai to izdarītu, apsveriet "notikumu plūsmu", t.i. notikumu secība, kas notiek viens pēc otra kādā brīdī. Piemēri: zvanu plūsma telefona centrālē; iekārtu bojājumu plūsma tehnoloģiskajā ķēdē; produktu atteices plūsma produkta testēšanas laikā; klientu pieprasījumu plūsma uz bankas filiāli; pircēju plūsma, kas piesakās precēm un pakalpojumiem utt. Notikumu plūsmu teorijā ir spēkā centrālajai robežu teorēmai līdzīga teorēma, taču tā nenodarbojas ar gadījuma lielumu summēšanu, bet gan notikumu plūsmu summēšanu. Mēs uzskatām kopējo plūsmu, kas sastāv no liels skaits neatkarīgas plūsmas, no kurām nevienai nav dominējošas ietekmes uz kopējo plūsmu. Piemēram, telefona centrālē ienākošo zvanu plūsmu veido liels skaits neatkarīgu zvanu plūsmu, kas nāk no atsevišķiem abonentiem. Ir pierādīts, ka gadījumā, ja plūsmu raksturlielumi nav atkarīgi no laika, kopējo plūsmu pilnībā raksturo viens skaitlis - plūsmas intensitāte. Kopējai plūsmai apsveriet nejaušu lielumu X- laika intervāla ilgums starp secīgiem notikumiem. Tās izplatīšanas funkcijai ir forma

(10)

Šo sadalījumu sauc par eksponenciālo sadalījumu, jo formula (10) ietver eksponenciālo funkciju e -λ x. Vērtība 1/λ ir mēroga parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs Ar, eksponenciāls ir gadījuma lieluma sadalījums X + c, kur sadale X tiek dota ar formulu (10).

Eksponenciālie sadalījumi ir īpašs gadījums ts. Veibuls - Gņedenko sadalījumi. Tie ir nosaukti pēc inženiera V. Veibula, kurš ieviesa šos sadalījumus noguruma testu rezultātu analīzes praksē, un matemātiķa B. V. Gņedenko (1912-1995), kurš saņēma šādus sadalījumus kā ierobežojošus, pētot testa maksimumu. rezultātus. Ļaujiet X- nejaušs lielums, kas raksturo produkta darbības ilgumu, sarežģīta sistēma, elements (t.i. resurss, darbības laiks līdz robežstāvoklim u.c.), uzņēmuma darbības vai dzīvas būtnes mūža ilgums u.c. Svarīga loma spēlē neveiksmju intensitāti

(11)

Kur F(x) Un f(x) - gadījuma lieluma sadalījuma funkcija un blīvums X.

Aprakstīsim tipisko atteices līmeņa uzvedību. Visu laika intervālu var iedalīt trīs periodos. Pirmajā no tām funkcija λ(x) ir augstas vērtības un skaidra tendence samazināties (visbiežāk tas samazinās monotoni). Tas izskaidrojams ar to, ka aplūkojamajā partijā ir preces vienības ar acīmredzamiem un slēptiem defektiem, kas izraisa salīdzinoši ātru šo produktu vienību atteici. Pirmo periodu sauc par "uzlaušanas" (vai "uzlaušanas") periodu. Uz to parasti attiecas garantijas periods.

Pēc tam nāk normālas darbības periods, kam raksturīgs aptuveni nemainīgs un salīdzinoši zems atteices līmenis. Kļūmju raksturs šajā periodā ir pēkšņs (negadījumi, apkalpojošā personāla kļūdas utt.) un nav atkarīgs no izstrādājuma vienības darbības ilguma.

Visbeidzot, pēdējais darbības periods ir novecošanās un nodiluma periods. Kļūmju raksturs šajā periodā ir neatgriezeniska fiziska, mehāniska un ķīmiskās izmaiņas materiālus, izraisot pakāpenisku ražošanas vienības kvalitātes pasliktināšanos un tās galīgo atteici.

Katram periodam ir sava veida funkcija λ(x). Apsveriet jaudas atkarību klasi

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

Kur λ 0 > 0 un b> 0 — daži skaitliski parametri. Vērtības b < 1, b= 0 un b> 1 atbilst atteices veidam attiecīgi iebraukšanas, normālas darbības un novecošanas periodos.

Saistība (11) noteiktam atteices līmenim λ(x)- diferenciālvienādojums attiecībā uz funkciju F(x). No teorijas diferenciālvienādojumi tam seko

(13)

Aizstājot (12) ar (13), mēs to iegūstam

(14)

Ar formulu (14) doto sadalījumu sauc par Veibula - Gņedenko sadalījumu. Tāpēc ka

tad no formulas (14) izriet, ka daudzums A, kas norādīts ar formulu (15), ir mērogošanas parametrs. Dažreiz tiek ieviests arī maiņas parametrs, t.i. Tiek izsauktas Veibuls - Gņedenko sadalījuma funkcijas F(x - c), Kur F(x) ir dots ar formulu (14) dažiem λ 0 un b.

Veibula - Gņedenko sadalījuma blīvumam ir forma

(16)

Kur a> 0 - mēroga parametrs, b> 0 — formas parametrs, Ar- maiņas parametrs. Šajā gadījumā parametrs A no formulas (16) ir saistīta ar parametru λ 0 no formulas (14) ar koeficientu, kas norādīts formulā (15).

Eksponenciālais sadalījums ir ļoti īpašs Veibula - Gņedenko sadalījuma gadījums, kas atbilst formas parametra vērtībai b = 1.

Weibull-Gnedenko sadalījums tiek izmantots arī tādu situāciju varbūtības modeļu konstruēšanā, kurās objekta uzvedību nosaka "vājākais posms". Tiek domāta analoģija ar ķēdi, kuras drošību nosaka saite, kurai ir vismazākā izturība. Citiem vārdiem sakot, ļaujiet X 1 , X 2 ,…, X n ir neatkarīgi identiski sadalīti nejauši mainīgie,

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=max( X 1 , X 2 ,…, X n).

Vairākās pielietotajās problēmās svarīga loma ir X(1) Un X(n) , jo īpaši, pētot noteiktu vērtību maksimālās iespējamās vērtības ("ierakstus"), piemēram, apdrošināšanas maksājumus vai zaudējumus komerciālo risku dēļ, pētot tērauda elastības un izturības robežas, vairākus uzticamības raksturlielumus, utt. Ir parādīts, ka lieliem n sadalījumiem X(1) Un X(n) , kā likums, ir labi aprakstīti Weibull - Gnedenko sadalījumos. Pamata ieguldījums sadalījumu izpētē X(1) Un X(n) ieviesa padomju matemātiķis B.V.Gņedenko. V. Veibula, E. Gumbela, V.B. Ņevzorova, E.M. Kudlajevs un daudzi citi speciālisti.

Pāriesim pie gamma sadalījumu saimes. Tos plaši izmanto ekonomikā un vadībā, uzticamības un testēšanas teorijā un praksē dažādas jomas tehnoloģija, meteoroloģija utt. Jo īpaši daudzās situācijās gamma sadalījums ir atkarīgs no tādiem lielumiem kā produkta kopējais kalpošanas laiks, vadošo putekļu daļiņu ķēdes garums, laiks, kas nepieciešams izstrādājumam, lai korozijas laikā sasniegtu robežstāvokli, darbības laiks. laiks līdz k atteikums, k= 1, 2, … utt. Hronisku slimību pacientu dzīves ilgums, laiks, lai sasniegtu noteiktu efektu ārstēšanā, dažos gadījumos ir gamma sadalījums. Šis sadalījums ir vispiemērotākais, lai raksturotu pieprasījumu krājumu pārvaldības (loģistikas) ekonomiskajos un matemātiskajos modeļos.

Gamma sadalījuma blīvumam ir forma

(17)

Varbūtības blīvumu formulā (17) nosaka trīs parametri a, b, c, Kur a>0, b>0. Kurā a ir formas parametrs, b- mēroga parametrs un Ar- maiņas parametrs. Faktors 1/Γ(а) ir normalizācija, tā tiek ieviesta, lai

Šeit Γ(а)- viena no matemātikā izmantotajām īpašajām funkcijām, tā sauktā "gamma funkcija", ar kuru tiek nosaukts arī sadalījums, kas dots ar formulu (17),

Pie fiksēta A formula (17) definē skalas nobīdes sadalījumu saimi, ko ģenerē sadalījums ar blīvumu

(18)

Formas (18) sadalījumu sauc par standarta gamma sadalījumu. To iegūst no formulas (17) ar b= 1 un Ar= 0.

Īpašs gamma sadalījumu gadījums plkst A= 1 ir eksponenciāli sadalījumi (ar λ = 1/b). Ar dabīgo A Un Ar=0 gamma sadalījumus sauc par Erlang sadalījumiem. No dāņu zinātnieka K.A.Erlanga (1878-1929), Kopenhāgenas telefonu kompānijas darbinieka darbiem, kurš studējis 1908.-1922. telefona tīklu funkcionēšana, sākās rindu teorijas attīstība. Šī teorija nodarbojas ar varbūtības-statistisko sistēmu modelēšanu, kurās tiek apkalpota pieprasījumu plūsma, lai pieņemtu optimālus lēmumus. Erlang sadalījumi tiek izmantoti tajās pašās lietojumprogrammu jomās kā eksponenciālie sadalījumi. Tas ir balstīts uz šādu matemātisko faktu: k neatkarīgu gadījuma lielumu summa, kas eksponenciāli sadalīti ar vienādiem parametriem λ un Ar, ir gamma sadalījums ar formas parametru a =k, mēroga parametrs b= 1/λ un maiņas parametrs kc. Plkst Ar= 0 mēs iegūstam Erlang sadalījumu.

Ja nejaušais mainīgais X ir gamma sadalījums ar formas parametru A tāds, ka d = 2 a- vesels skaitlis, b= 1 un Ar= 0, tad 2 X ir hī kvadrāta sadalījums ar d brīvības pakāpes.

Izlases vērtība X ar gvmma sadalījumu ir šādas īpašības:

Paredzamā vērtība M(X) =ab + c,

dispersija D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variācijas koeficients

asimetrija

Pārmērīgs

Normālais sadalījums ir gamma sadalījuma galējais gadījums. Precīzāk, lai Z ir gadījuma lielums ar standarta gamma sadalījumu, ko nosaka formula (18). Tad

jebkuram reālam skaitlim X, Kur F(x)- standarta normālā sadalījuma funkcija N(0,1).

Lietišķajos pētījumos tiek izmantotas arī citas parametriskas sadalījumu ģimenes, no kurām pazīstamākās ir Pīrsona līkņu sistēma, Edgeworth un Charlier sērijas. Tie šeit netiek ņemti vērā.

Diskrēts varbūtības-statistiskās lēmumu pieņemšanas metodēs izmantotie sadalījumi. Visbiežāk tiek izmantotas trīs diskrēto sadalījumu ģimenes - binomiālais, hiperģeometriskais un Puasona, kā arī dažas citas ģimenes - ģeometriskais, negatīvais binomiālais, daudznomas, negatīvais hiperģeometriskais utt.

Kā jau minēts, binomiālais sadalījums notiek neatkarīgos izmēģinājumos, no kuriem katrā ar varbūtību R parādās notikums A. Ja kopējais skaits testiem n dots, tad izmēģinājumu skaits Y, kurā notikums parādījās A, ir binomiāls sadalījums. Priekš binomiālais sadalījums varbūtība, ka tiks pieņemts kā nejaušs mainīgais Y vērtības y tiek noteikts pēc formulas

Kombināciju skaits no n elementi y zināms no kombinatorikas. Visiem y, izņemot 0, 1, 2, …, n, mums ir P(Y= y)= 0. Binomiālais sadalījums ar fiksētu izlases lielumu n tiek iestatīts ar parametru lpp, t.i. binomiālie sadalījumi veido viena parametra saimi. Tos izmanto izlases pētījumu datu analīzē, jo īpaši patērētāju preferenču izpētē, preču kvalitātes selektīvai kontrolei pēc vienpakāpes kontroles plāniem, pārbaudot indivīdu populācijas demogrāfijā, socioloģijā, medicīnā, bioloģijā u.c.

Ja Y 1 Un Y 2 - neatkarīgi binomiālie gadījuma lielumi ar vienādu parametru lpp 0 nosaka pēc paraugiem ar tilpumiem n 1 Un n 2 attiecīgi, tad Y 1 + Y 2 - binomiāls gadījuma lielums ar sadalījumu (19) ar R = lpp 0 Un n = n 1 + n 2 . Šī piezīme paplašina binomiālā sadalījuma pielietojamību, ļaujot apvienot vairāku testu grupu rezultātus, kad ir pamats uzskatīt, ka visām šīm grupām atbilst viens un tas pats parametrs.

Binoma sadalījuma raksturlielumi tika aprēķināti agrāk:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- lpp).

Sadaļā "Notikumi un varbūtības" binoma gadījuma mainīgajam ir pierādīts lielo skaitļu likums:

jebkuram. Ar centrālās robežu teorēmas palīdzību var precizēt lielo skaitļu likumu, norādot, kā Y/ n atšķiras no R.

De Moivre-Laplasa teorēma. Jebkuriem cipariem a un b, a< b, mums ir

Kur F(X) ir standarta normālā sadalījuma funkcija ar vidējo 0 un dispersiju 1.

Lai to pierādītu, pietiek izmantot attēlojumu Y kā neatkarīgu gadījuma lielumu summa, kas atbilst atsevišķu izmēģinājumu rezultātiem, formulas par M(Y) Un D(Y) un centrālā robežu teorēma.

Šī teorēma ir paredzēta šim gadījumam R= ½ 1730. gadā pierādīja angļu matemātiķis A. Moivrs (1667-1754). Iepriekš minētajā formulējumā to 1810. gadā pierādīja franču matemātiķis Pjērs Saimons Laplass (1749-1827).

Hiperģeometriskais sadalījums notiek selektīvās kontroles laikā ierobežotai objektu kopai ar tilpumu N saskaņā ar alternatīvu atribūtu. Katrs kontrolētais objekts tiek klasificēts vai nu kā atribūts A, vai kam nav šīs funkcijas. Hiperģeometriskajam sadalījumam ir nejaušs mainīgais Y, vienāds ar skaitli objekti, kuriem ir atribūts A nejaušā tilpuma paraugā n, Kur n< N. Piemēram, numurs Y bojātas produktu vienības nejaušā tilpuma paraugā n no partijas apjoma N ir hiperģeometrisks sadalījums, ja n< N. Vēl viens piemērs ir loterija. Ļaujiet zīmei A biļete ir zīme "uzvarēt". Lai visas biļetes N, un kāds cilvēks ir ieguvis n no viņiem. Tad šīs personas laimēto biļešu skaitam ir hiperģeometrisks sadalījums.

Hiperģeometriskajam sadalījumam iespējamībai, ka gadījuma lielums Y iegūst vērtību y, ir forma

(20)

Kur D ir objektu skaits, kuriem ir atribūts A, aplūkotajā apjoma komplektā N. Kurā yņem vērtības no max(0, n - (N - D)) līdz min( n, D), ar citiem y varbūtība formulā (20) ir vienāda ar 0. Tādējādi hiperģeometrisko sadalījumu nosaka trīs parametri - vispārējās populācijas apjoms N, objektu skaits D tajā, kam piemīt aplūkotā pazīme A, un parauga lielumu n.

Vienkārša izlases veida izlase n no kopējā apjoma N tiek saukta izlases rezultātā iegūta izlase, kurā kāda no kopām no n objektiem ir tāda pati varbūtība tikt atlasītiem. Respondentu (intervēto) izlases vai gabalproduktu vienību izlases metodes aplūkotas pamāc-metodiskajos un normatīvi-tehniskajos dokumentos. Viena no atlases metodēm ir šāda: objekti tiek atlasīti viens no otra, un katrā solī katram atlikušajam komplektā esošajam objektam ir vienāda iespēja tikt atlasītam. Literatūrā aplūkojamajam paraugu veidam tiek lietoti arī termini “nejaušs paraugs”, “izlases paraugs bez aizstāšanas”.

Tā kā iedzīvotāju kopskaits (daudz) N un paraugi n ir vispārzināmi, tad novērtējamais hiperģeometriskā sadalījuma parametrs ir D. Produktu kvalitātes vadības statistiskajās metodēs D- parasti bojāto vienību skaits partijā. Interesanti ir arī sadalījuma raksturlielumi D/ N- defektu līmenis.

Hiperģeometriskam sadalījumam

Pēdējais faktors dispersijas izteiksmē ir tuvu 1 if N>10 n. Ja tajā pašā laikā mēs veicam aizstāšanu lpp = D/ N, tad hiperģeometriskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmes pārvērtīsies par binomiskā sadalījuma matemātiskās cerības un dispersijas izteiksmēm. Tā nav nejaušība. To var parādīt

plkst N>10 n, Kur lpp = D/ N. Ierobežojošā attiecība ir spēkā

un šo ierobežojošo attiecību var izmantot N>10 n.

Trešais plaši izmantotais diskrētais sadalījums ir Puasona sadalījums. Nejaušam mainīgajam Y ir Puasona sadalījums, ja

,

kur λ ir Puasona sadalījuma parametrs un P(Y= y)= 0 visiem pārējiem y(ja y=0, tiek apzīmēts 0!=1). Puasona sadalījumam

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Šis sadalījums ir nosaukts franču matemātiķa K.D. Puasona (1781–1840) vārdā, kurš to pirmo reizi atvasināja 1837. gadā. Puasona sadalījums ir ārkārtējs binomālā sadalījuma gadījums, kur varbūtība R pasākuma īstenošana ir neliela, bet izmēģinājumu skaits n lieliski, un np= λ. Precīzāk, robežattiecības

Tāpēc Puasona sadalījumu (vecajā terminoloģijā "sadales likums") bieži sauc arī par "reto notikumu likumu".

Puasona sadalījums rodas notikumu plūsmu teorijā (skat. iepriekš). Ir pierādīts, ka visvienkāršākajai plūsmai ar nemainīgu intensitāti Λ notikumu (izsaukumu) skaits, kas notika laikā t, ir Puasona sadalījums ar parametru λ = Λ t. Tāpēc varbūtība, ka laikā t nekāds notikums nenotiks e - Λ t, t.i. intervāla garuma sadalījuma funkcija starp notikumiem ir eksponenciāla.

Puasona sadalījums tiek izmantots patērētāju selektīvo mārketinga aptauju rezultātu analīzē, statistiskās pieņemšanas kontroles plānu darbības raksturlielumu aprēķinos mazo defektu pieņemšanas līmeņa vērtību gadījumā, lai aprakstītu bojājumu skaitu. statistiski kontrolēta tehnoloģiskā procesa laika vienībā, "pakalpojuma prasību" skaits, kas laika vienībā nonāk rindu sistēmā, nelaimes gadījumu un reto slimību statistikas modeļi utt.

Literatūrā aplūkots citu diskrēto sadalījumu parametrisko saimju apraksts un to praktiskas izmantošanas iespēja.

Dažos gadījumos, piemēram, pētot cenas, izlaides apjomus vai kopējo laiku starp kļūmēm uzticamības problēmās, sadalījuma funkcijas ir nemainīgas noteiktos intervālos, kuros pētāmo nejaušo lielumu vērtības nevar samazināties.

Jebkura nejauša eksperimenta rezultātu var raksturot kvalitatīvi un kvantitatīvi. Kvalitatīvi nejauša eksperimenta rezultāts - nejauši notikumu. Jebkurš kvantitatīvā īpašība, kas nejauša eksperimenta rezultātā var iegūt kādu no noteiktas vērtību kopas, - nejauša vērtība. Izlases vērtība ir viens no centrālajiem varbūtības teorijas jēdzieniem.

Ļaut ir patvaļīga varbūtības telpa. Nejaušs mainīgais ir reāla skaitliska funkcija x \u003d x (w), w W , tā ka jebkurai reālai funkcijai x .

Pasākums parasti raksta kā x< x. Turpmāk nejaušie mainīgie tiks apzīmēti ar mazajiem grieķu burtiem x, h, z,…

Nejaušais lielums ir punktu skaits, kas nokrita, metot kauliņus, vai no pētījuma grupas nejauši izvēlēta skolēna augums. Pirmajā gadījumā mums ir darīšana ar diskrēts nejaušais mainīgais(tas ņem vērtības no diskrētas skaitļu kopas M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; otrajā gadījumā ar nepārtraukts nejaušais mainīgais(tas ņem vērtības no nepārtrauktas skaitļu kopas - no skaitļu līnijas intervāla es=).

Katrs nejaušais mainīgais ir pilnībā noteikts pēc tā sadales funkcija.

Ja x ir nejaušs mainīgais, tad funkcija F(x) = Fx(x) = P(x< x) tiek saukts sadales funkcija gadījuma lielums x . Šeit P(x<x) - varbūtība, ka gadījuma lielums x iegūst vērtību, kas mazāka par x.

Ir svarīgi saprast, ka sadalījuma funkcija ir gadījuma lieluma "pase": tā satur visu informāciju par gadījuma lielumu un tāpēc nejauša lieluma izpēte sastāv no tā izpētes izplatīšanas funkcijas, bieži sauc vienkārši izplatīšana.

Jebkura nejauša lieluma sadalījuma funkcijai ir šādas īpašības:

Ja x ir diskrēts gadījuma lielums, kas ņem vērtības x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями lpp 1 <lpp 2 < … <pi < …, то таблица вида

sauca diskrēta gadījuma lieluma sadalījums.

Gadījuma lieluma sadalījuma funkcijai ar šādu sadalījumu ir forma

Diskrētam gadījuma mainīgajam ir pakāpeniska sadalījuma funkcija. Piemēram, nejaušam punktu skaitam, kas izkrita vienā kauliņa metienā, sadalījuma, sadalījuma funkcijas un sadalījuma funkcijas grafiks izskatās šādi:

Ja sadales funkcija Fx(x) ir nepārtraukts, tad tiek izsaukts gadījuma lielums x nepārtraukts gadījuma mainīgais.

Ja nepārtraukta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija diferencējams, tad tiek iegūts nejaušā mainīgā vizuālāks attēlojums gadījuma lieluma p x varbūtības blīvums(x), kas ir saistīts ar sadales funkciju Fx(x) formulas

Un .

No tā jo īpaši izriet, ka jebkuram nejaušam mainīgajam .

Risinot praktiskas problēmas, bieži vien ir jāatrod vērtība x, pie kuras sadales funkcija Fx(x) nejaušajam mainīgajam x ir noteikta vērtība lpp, t.i. jums ir jāatrisina vienādojums Fx(x) = lpp. Šāda vienādojuma risinājumi (atbilstošās vērtības x) varbūtību teorijā sauc kvantiles.

Kvantile x p ( lpp-kvantile, līmeņa kvantile lpp) gadījuma lielums ar sadalījuma funkciju Fx(x), sauc par risinājumu xp vienādojumi Fx(x) = lpp, lpp(0, 1). Dažiem lpp vienādojums Fx(x) = lpp var būt vairāki risinājumi, dažiem - neviens. Tas nozīmē, ka attiecīgajam gadījuma mainīgajam dažas kvantiles nav unikāli definētas, un dažas kvantiles neeksistē.

Dotas nejauša lieluma sadalījuma funkcijas un nepārtraukta gadījuma lieluma varbūtības blīvuma definīcijas. Šie jēdzieni tiek aktīvi izmantoti rakstos par vietņu statistiku. Aplūkoti piemēri sadalījuma funkcijas un varbūtības blīvuma aprēķināšanai, izmantojot MS EXCEL funkcijas..

Iepazīstinām ar statistikas pamatjēdzieniem, bez kuriem nav iespējams izskaidrot sarežģītākus jēdzienus.

Vispārējā populācija un nejaušais mainīgais

Ļaujiet mums populācija(populācija) N objektu, no kuriem katram ir noteikta kāda skaitliskā raksturlieluma X vērtība.

Vispārējās populācijas (GS) piemērs ir tāda paša veida detaļu svaru kopa, ko ražo mašīna.

Tā kā matemātiskajā statistikā jebkurš secinājums tiek izdarīts tikai pamatojoties uz raksturlielumu X (abstrahējoties no pašiem objektiem), tad no šī viedokļa populācija apzīmē N skaitļus, starp kuriem vispārīgā gadījumā var būt vienādi.

Mūsu piemērā WB ir vienkārši daļu svara vērtību skaitlisks masīvs. X ir vienas daļas svars.

Ja no dotā GS nejauši izvēlamies vienu objektu ar raksturlielumu X, tad X vērtība ir nejaušais mainīgais. Pēc definīcijas jebkura nejauša vērtība Tā ir sadales funkcija, ko parasti apzīmē ar F(x).

sadales funkcija

sadales funkcija varbūtības nejaušais mainīgais X ir funkcija F(x), kuras vērtība punktā x ir vienāda ar notikuma X varbūtību

F(x) = P(X

Paskaidrosim, izmantojot mūsu mašīnas piemēru. Lai gan tiek pieņemts, ka mūsu iekārta ražo tikai viena veida detaļas, ir acīmredzams, ka saražoto detaļu svars nedaudz atšķirsies viena no otras. Tas ir iespējams tādēļ, ka ražošanā var tikt izmantoti dažādi materiāli, arī apstrādes apstākļi var nedaudz atšķirties utt. Lai mašīnas ražotā smagākā daļa sver 200 g, bet vieglākā – 190 g. nejauši izvēlētā daļa X svērs mazāk par 200 g ir 1. Varbūtība, ka tā svērs mazāk par 190 g, ir 0. Starpvērtības tiek noteiktas pēc sadales funkcijas formas. Piemēram, ja process ir iestatīts, lai ražotu detaļas, kas sver 195 g, tad ir saprātīgi pieņemt, ka varbūtība izvēlēties detaļu, kas ir vieglāka par 195 g, ir 0,5.

Tipisks grafiks Sadales funkcijas Nepārtrauktam gadījuma mainīgajam ir parādīts zemāk esošajā attēlā (purpursarkanā līkne, skatiet parauga failu):

MS EXCEL palīdzība sadales funkcija sauca neatņemama sadales funkcija (Kumulatīvsizplatīšanafunkciju, CDF).

Šeit ir daži īpašumi Izplatīšanas funkcijas:

• sadales funkcija F(x) mainās intervālā , jo tās vērtības ir vienādas ar atbilstošo notikumu varbūtībām (pēc definīcijas varbūtība var būt diapazonā no 0 līdz 1);
• sadales funkcija ir nesamazinoša funkcija;
• Varbūtība, ka nejaušs mainīgais iegūst vērtību no noteikta diapazona varbūtības blīvums vienāds ar 1/(0,5-0)=2. Un ar parametru lambda=5, vērtība varbūtības blīvums punktā x=0,05 ir vienāds ar 3,894. Bet tajā pašā laikā jūs varat pārliecināties, ka varbūtība jebkurā intervālā, kā parasti, būs no 0 līdz 1.

  Atgādiniet to sadalījuma blīvums ir atvasinājums no sadales funkcijas, t.i. tā izmaiņu "ātrums": p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx ar Dx tendenci uz 0, kur Dx=x2-x1. Tie. fakts, ka sadalījuma blīvums>1 nozīmē tikai to, ka sadalījuma funkcija aug pietiekami ātri (tas ir acīmredzams piemērā).

  Piezīme: laukums, kas pilnībā ietverts zem visas attēlojošās līknes sadalījuma blīvums, ir vienāds ar 1.

  Piezīme: atcerieties, ka sadales funkcija F(x) tiek izsaukta MS EXCEL funkcijās kumulatīvā sadalījuma funkcija. Šis termins parādās funkcijas parametros, piemēram, NORM.DIST(x; vidējais; standarta novirze; neatņemama). Ja MS EXCEL funkcijai vajadzētu atgriezties sadales funkcija, tad parametrs neatņemama, d.b. iestatīts uz TRUE. Ja jums ir nepieciešams aprēķināt varbūtības blīvums, tad parametrs neatņemama, d.b. MELI.

  Piezīme: Priekš diskrēts sadalījums varbūtību, ka gadījuma lielums iegūst noteiktu vērtību, bieži sauc arī par varbūtības masas funkciju (pmf). MS EXCEL palīdzība varbūtības blīvums var pat saukt to par "varbūtības mērīšanas funkciju" (skatiet funkciju BINOM.DIST()).

  Varbūtības blīvuma aprēķins, izmantojot MS EXCEL funkcijas

  Ir skaidrs, ka, lai aprēķinātu varbūtības blīvums lai noteiktu nejauša lieluma vērtību, jums jāzina tā sadalījums.

  Atradīsim varbūtības blīvums ja N(0;1), ja x=2. Lai to izdarītu, jums jāuzraksta formula =NORM..ST.DIST(2,FALSE)=0,054 vai =NORM.DIST(2;0;1;FALSE).

  Atgādiniet to varbūtība ka nepārtraukts gadījuma mainīgaisņems noteiktu x vērtību, kas vienāda ar 0. Par nepārtraukts gadījuma mainīgais X var aprēķināt tikai notikuma varbūtību, ka X pieņems intervālā (a; b) ietverto vērtību.

  Varbūtību aprēķins, izmantojot MS EXCEL funkcijas

  1) Atrodiet varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam, kas sadalīts (skat. attēlu augstāk), ir pozitīva vērtība. Saskaņā ar īpašumu Sadales funkcijas varbūtība ir F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

  NORM.ST.DIST(9,999E+307;TRUE) — NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5.
  Formulā +∞ vietā tiek ievadīta vērtība 9.999E+307= 9.999*10^307, kas ir maksimālais skaits, ko var ievadīt MS EXCEL šūnā (tā teikt, tuvākais +∞).

  2) Atrodiet varbūtību, ka nejaušais mainīgais tiek sadalīts , ieguva negatīvu vērtību. Saskaņā ar definīciju izplatīšanas funkcijas, varbūtība ir F(0)=0,5.

  Programmā MS EXCEL, lai atrastu šo varbūtību, izmantojiet formulu =NORM.ST.DIST(0,TRUE) =0,5.

  3) Atrodiet varbūtību, ka nejaušais mainīgais tiek sadalīts standarta normālais sadalījums, ņems vērtību, kas ietverta intervālā (0; 1). Varbūtība ir F(1)-F(0), t.i. no varbūtības izvēlēties X no intervāla (-∞;1) ir jāatņem varbūtība izvēlēties X no intervāla (-∞;0). Programmā MS EXCEL izmantojiet formulu =NORM.ST.DIST(1,TRUE) - NORM.ST.DIST(0,TRUE).

  Visi iepriekš minētie aprēķini attiecas uz nejaušu lielumu, kas sadalīts standarta parastais likums N(0;1). Ir skaidrs, ka varbūtības vērtības ir atkarīgas no konkrētā sadalījuma. Rakstā par sadalījuma funkciju atrodiet punktu, kuram F(x)=0,5, un pēc tam atrodiet šī punkta abscisu. Punkta abscisa = 0, t.i. varbūtība, ka gadījuma lielums X pieņem vērtību<0, равна 0,5.

  Programmā MS EXCEL izmantojiet formulu =NORM.ST.INV(0.5) =0.

  

  Viennozīmīgi aprēķiniet vērtību nejaušais mainīgais pieļauj monotonitātes īpašību sadales funkcijas.

  Apgrieztā sadalījuma funkcija aprēķina , kas tiek izmantoti, piemēram, kad . Tie. mūsu gadījumā skaitlis 0 ir 0,5 kvantile normālais sadalījums. Piemēra failā varat aprēķināt citu kvantilešis sadalījums. Piemēram, kvantile 0,8 ir 0,84.

  

  Angļu literatūrā apgrieztā sadalījuma funkcija bieži dēvē par procentu punkta funkciju (PPF).

  Piezīme: Aprēķinot kvantiles programmā MS EXCEL tiek izmantotas šādas funkcijas: NORM.ST.OBR() , LOGNORM.OBR() , XI2.OBR(), GAMMA.OBR() utt. Vairāk par MS EXCEL piedāvātajiem izplatījumiem varat lasīt rakstā.