Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:

Dĺžka segmentu súradnicová rovina vyhľadávané podľa vzorca:

Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:

Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premenlivý X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva doména platných hodnôt alebo ODZ, ktorú ste už dlho vedeli nájsť.

Funkčný rozsah sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).

Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Rozvrh dokonca funkciu vždy symetrické okolo osi y y.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párneho a nepárne vlastnosti(priesečníky osi x OX) je vždy nula, pretože za každý kladný koreň XÚčet pre negatívny koreň –X.

Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv funkcie všeobecný pohľad a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre prípad k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpajú všetky možné typy parabol):

kde:

• ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
• ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):

Y vrcholy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcový trojčlen:

Grafy iných funkcií

výkonová funkcia

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf môže mať dve základné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverzná úmernosť na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.

exponenciálna funkcia so základňou A zavolajte funkciu danú vzorcom:

a harmonogram exponenciálna funkcia môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):

logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcií r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrické funkcie. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcií r= cos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.

Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa nepripravenému človeku na DT môže zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiace materiály, potom napíšte, prosím, o tom poštou. Môžete tiež nahlásiť chybu sociálna sieť(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Elementárne funkcie a ich grafy

Rovno proporcionality. Lineárna funkcia.

Obrátený pomer. Hyperbola.

kvadratickej funkcie. Štvorcová parabola.

Funkcia napájania. Exponenciálna funkcia.

logaritmická funkcia. goniometrické funkcie.

Inverzné goniometrické funkcie.

1.	pomerné hodnoty. Ak premenné r A X priamo proporcionálne, potom funkčnú závislosť medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k X , Kde k- konštantná hodnota ( faktor proporcionality). Rozvrh rovno proporcionality- priamka prechádzajúca počiatkom a tvoriaca sa s osou X uhol, ktorého dotyčnica je k:tan= k(obr. 8). Preto sa koeficient proporcionality nazýva aj tzv faktor sklonu. Obrázok 8 zobrazuje tri grafy pre k = 1/3, k= 1 a k = 3 .
2.	Lineárna funkcia. Ak premenné r A X spojené rovnicou 1. stupňa: Sekera + By = C , kde je aspoň jedno z čísel A alebo B sa nerovná nule, potom je graf tejto funkčnej závislosti priamka. Ak C= 0, potom prejde počiatkom, inak nie. Grafy lineárnych funkcií pre rôzne kombinácie A,B,C sú znázornené na obr.9.
3.	Obrátené proporcionality. Ak premenné r A X späť proporcionálne, potom funkčnú závislosť medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k / X , Kde k- konštantná hodnota. Inverzne proporcionálny graf - hyperbola (obr. 10). Táto krivka má dve vetvy. Hyperboly sa získajú, keď kruhový kužeľ pretína rovina (pre kužeľosečky pozri časť "Kužeľ" v kapitole "Stereometria"). Ako je znázornené na obr. 10, súčinom súradníc bodov hyperboly je konštantná hodnota, v našom príklade rovná 1. Vo všeobecnom prípade je táto hodnota rovná k, čo vyplýva z rovnice hyperboly: xy = k. Hlavné charakteristiky a vlastnosti hyperboly: Rozsah funkcie: X 0, rozsah: r 0 ; Funkcia je monotónna (klesajúca) pri X< 0 a pri x > 0, ale nie monotónny celkovo kvôli bodu zlomu X= 0 (premýšľajte prečo?); Neohraničená funkcia, nespojitá v bode X= 0, nepárne, neperiodické; - Funkcia nemá nuly.
4.	Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a 0. V najjednoduchšom prípade máme: b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - krivka prechádzajúca počiatkom (obr. 11). Každá parabola má os symetrie OY, ktorá sa volá os paraboly. Bodka O priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly. Graf funkcií r = sekera 2 + bx + c je tiež štvorcová parabola rovnakého typu ako r = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počiatku, ale v bode so súradnicami: Tvar a umiestnenie štvorcovej paraboly v súradnicovom systéme úplne závisí od dvoch parametrov: koeficientu a pri X 2 a diskriminačný D:D = b 2 – 4ac. Tieto vlastnosti vyplývajú z analýzy koreňov kvadratickej rovnice (pozri príslušnú časť v kapitole Algebra). Všetky možné rôzne prípady pre štvorcovú parabolu sú znázornené na obr.12.

Nakreslite štvorcovú parabolu pre prípad a > 0, D > 0 .

Hlavné charakteristiky a vlastnosti štvorcovej paraboly:

Rozsah funkcie:  < X+ (t.j. X R ), a oblasť

hodnoty: … (Prosím, odpovedzte na túto otázku sami!);

Funkcia ako celok nie je monotónna, ale vpravo alebo vľavo od vrcholu

správa sa ako monotónna;

Funkcia je neohraničená, všade spojitá, aj pre b = c = 0,

a neperiodické;

- pri D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkcia napájania. Toto je funkcia: y=ax n, Kde a, n- trvalý. O n= 1 dostaneme priama úmernosť: r=sekera; pri n = 2 - štvorcová parabola; pri n = 1 - inverzná úmernosť alebo hyperbola. Tieto funkcie sú teda špeciálnymi prípadmi výkonovej funkcie. Vieme, že nulová mocnina akéhokoľvek čísla iného ako nula sa rovná 1, teda kedy n= 0 sa výkonová funkcia stáva konštantou: r= a, t.j. jeho graf je priamka rovnobežná s osou X, s výnimkou pôvodu súradníc (vysvetlite prečo?). Všetky tieto prípady (s a= 1) sú znázornené na obr. 13 ( n 0) a Obr. 14 ( n < 0). Отрицательные значения X sa tu neberú do úvahy, pretože potom niektoré funkcie: Ak n– celé, mocenské funkcie majú zmysel aj vtedy X < 0, но их графики имеют iný druh podľa toho či n párne číslo alebo nepárne číslo. Obrázok 15 zobrazuje dve takéto výkonové funkcie: pre n= 2 a n = 3. O n= 2 funkcia je párna a jej graf je symetrický okolo osi Y. O n= 3 funkcia je nepárna a jej graf je symetrický vzhľadom na počiatok. Funkcia r = X 3 tzv kubická parabola. Obrázok 16 zobrazuje funkciu. Táto funkcia je inverzná k štvorcovej parabole r = X 2, jeho graf získame otočením grafu štvorcovej paraboly okolo osi 1. súradnicového uhlaToto je spôsob, ako získať graf ľubovoľnej inverznej funkcie z grafu jej pôvodnej funkcie. Z grafu vidíme, že ide o dvojhodnotovú funkciu (naznačuje to aj znamienko  pred odmocninou). Takéto funkcie sa v elementárnej matematike neštudujú, preto za funkciu zvyčajne považujeme jednu z jej vetiev: hornú alebo dolnú.
6.	Demonštrácia funkciu. Funkcia r = a X, Kde a je kladné konštantné číslo, tzv exponenciálna funkcia. Argumentovať X prijíma akékoľvek platné hodnoty; ako funkčné hodnoty sa berú do úvahy iba kladné čísla, keďže inak máme viachodnotovú funkciu. Áno, funkcia r = 81 X má pri X= 1/4 štyri rôzne významy: r = 3, r = 3, r = 3 i A r = 3 i(Skontrolovať prosím!). Ale považujeme to len za hodnotu funkcie r= 3. Grafy exponenciálnej funkcie pre a= 2 a a= 1/2 sú znázornené na obr.17. Prechádzajú bodom (0, 1). O a= 1 máme graf priamky rovnobežnej s osou X, t.j. funkcia sa zmení na konštantnú hodnotu rovnú 1. Keď a> 1, exponenciálna funkcia sa zvyšuje a pri 0< a < 1 – убывает. Hlavné charakteristiky a vlastnosti exponenciálnej funkcie:  < X+ (t.j. X R ); rozsah: r> 0 ; Funkcia je monotónna: zvyšuje sa s a> 1 a klesá na 0< a < 1; - Funkcia nemá nuly.
7.	Logaritmická funkcia. Funkcia r= log a X, Kde a je konštantné kladné číslo, nerovná sa 1 sa nazýva logaritmický. Táto funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii; jej graf (obr. 18) získame otočením grafu exponenciálnej funkcie okolo osi 1. súradnicového uhla. Hlavné charakteristiky a vlastnosti logaritmickej funkcie: Rozsah funkcie: X> 0, a rozsah hodnôt:  < r+ (t.j. r R ); Toto je monotónna funkcia: zvyšuje sa ako a> 1 a klesá na 0< a < 1; Funkcia je neobmedzená, všade spojitá, neperiodická; Funkcia má jednu nulu: X = 1.
8.	goniometrické funkcie. Pri konštrukcii goniometrických funkcií používame radián miera uhlov. Potom funkcia r= hriech X znázornené grafom (obr. 19). Táto krivka sa nazýva sínusoida. Graf funkcií r= cos X znázornené na obr. 20; je to tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X doľava o 2 Z týchto grafov sú zrejmé charakteristiky a vlastnosti týchto funkcií: doména:  < X+  rozsah: -1 r +1; Tieto funkcie sú periodické: ich perióda je 2; Obmedzené funkcie (| r| , všade súvislé, nie monotónne, ale majúci tzv intervaloch monotónnosť, vo vnútri ktorej sú správať sa ako monotónne funkcie (pozri grafy na obr. 19 a obr. 20); Funkcie majú nekonečný počet núl (viac podrobností nájdete v časti "trigonometrické rovnice"). Grafy funkcií r= opálenie X A r= detská postieľka X znázornené na obr. 21 a obr. 22 Z grafov je vidieť, že tieto funkcie sú: periodické (ich perióda , neohraničené, vo všeobecnosti nie monotónne, ale majú intervaly monotónnosti (čo?), nespojité (aké body zlomu majú tieto funkcie?). región definície a rozsah týchto funkcií:
9.	Inverzné goniometrické funkcie. Definície inverzných hodnôt goniometrické funkcie a ich hlavné vlastnosti sú uvedené v rovnomennej časti v kapitole „Trigonometria“. Preto sa tu obmedzujeme dostali len krátke komentáre týkajúce sa ich grafov otáčaním grafov goniometrických funkcií okolo osi 1 súradnicový uhol.

Funkcie r= Arcsin X(obr.23) a r= Arccos X(obr.24) mnohohodnotný, neobmedzený; ich doména definície a rozsah hodnôt, v tomto poradí: 1 X+1 a  < r+ . Keďže tieto funkcie sú viachodnotové,

Súradnicový systém - sú to dve vzájomne kolmé súradnicové čiary pretínajúce sa v bode, ktorý je východiskom každej z nich.

Súradnicové osi sú čiary, ktoré tvoria súradnicový systém.

úsečka(os x) je horizontálna os.

Os Y(os y) je vertikálna os.

Funkcia

Funkcia je zobrazenie prvkov množiny X na množinu Y . V tomto prípade každý prvok x množiny X zodpovedá jednej jedinej hodnote y množiny Y .

Rovno

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y = a x + b, kde a a b sú ľubovoľné čísla.

Graf lineárnej funkcie je priamka.

Zvážte, ako bude graf vyzerať v závislosti od koeficientov a a b:

Ak a > 0, bude čiara prechádzať cez súradnicové štvrtiny I a III.

Ak a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b je priesečník priamky s osou y.

Ak a = 0, funkcia sa zmení na y = b.

Samostatne vyberieme graf rovnice x \u003d a.

Dôležité: táto rovnica nie je funkciou, pretože je porušená definícia funkcie (funkcia spája každý prvok x množiny X s jednou hodnotou y množiny Y). Táto rovnica spája jeden prvok x s nekonečnou množinou prvkov y . Graf tejto rovnice však možno vykresliť. Len to nenazývajme hrdým slovom „Funkcia“.

Parabola

Graf funkcie y = a x 2 + b x + c je parabola .

Aby ste mohli jednoznačne určiť, ako sa parabolový graf nachádza v rovine, musíte vedieť, čo ovplyvňujú koeficienty a, b, c:

1. Koeficient a udáva, kam smerujú vetvy paraboly.

• Ak a > 0 , vetvy paraboly smerujú nahor.
• Ak< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koeficient c udáva, v ktorom bode parabola pretína os y.
2. Koeficient b pomáha nájsť x v - súradnici vrcholu paraboly.

x v \u003d - b 2 a

1. Diskriminant vám umožňuje určiť, koľko bodov priesečníka má parabola s osou.

• Ak D > 0 - dva priesečníky.
• Ak D = 0 - jeden priesečník.
• Ak D< 0 — нет точек пересечения.

Graf funkcie y = k x je hyperbola .

Charakteristickým znakom hyperboly je, že má asymptoty.

Asymptoty hyperboly - priamky, ku ktorým smeruje, idúce do nekonečna.

Os x je horizontálna asymptota hyperboly

Os y je vertikálna asymptota hyperboly.

Na grafe sú asymptoty označené zelenou bodkovanou čiarou.

Ak je koeficient k > 0, potom vetvy hyperoly prechádzajú cez štvrť I a III.

Ak k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Čím menšia je absolútna hodnota koeficientu k (koeficient k bez zohľadnenia znamienka), tým bližšie sú vetvy hyperboly k osám x a y.

Odmocnina

Funkcia y     =     x má nasledujúci graf:

Zvyšovanie/zníženie funkcií

Funkcia y   =   f(x) sa počas intervalu zvyšuje ak väčšia hodnota argumentu (väčšia hodnota x) zodpovedá väčšej funkčnej hodnote (väčšia hodnota y) .

To znamená, že čím viac (sprava) x, tým viac (vyššie) y. Graf stúpa (pozrite sa zľava doprava)

Funkcia y   =   f(x) počas intervalu klesá ak väčšia hodnota argumentu (väčšia hodnota x) zodpovedá menšej hodnote funkcie (väčšia hodnota y) .

The metodický materiál slúži na referenčné účely a pokrýva široký rozsah tém. Článok poskytuje prehľad grafov hlavných elementárnych funkcií a zaoberá sa najdôležitejšou otázkou - ako správne a RÝCHLO zostaviť graf. V priebehu štúdia vyššej matematiky bez znalosti grafov hlav elementárne funkcie bude to ťažké, preto je veľmi dôležité zapamätať si, ako vyzerajú grafy paraboly, hyperboly, sínusu, kosínusu atď., zapamätať si niektoré funkčné hodnoty. Povieme si aj o niektorých vlastnostiach hlavných funkcií.

Nepredstieram úplnosť a vedeckú dôkladnosť materiálov, dôraz budem klásť predovšetkým na prax - tie veci, s ktorými človek musí čeliť doslova na každom kroku, v akejkoľvek téme vyššej matematiky. Tabuľky pre figuríny? Dá sa to povedať.

Na základe dopytu čitateľov klikateľný obsah:

Okrem toho je k téme ultrakrátky abstrakt
– osvojte si 16 typov grafov štúdiom 6 strán!

Vážne, šesť, aj ja sám som bol prekvapený. Tento abstrakt obsahuje vylepšenú grafiku a je k dispozícii za symbolický poplatok, môžete si pozrieť demo verziu. Súbor je vhodné vytlačiť, aby ste mali grafy vždy po ruke. Ďakujeme za podporu projektu!

A hneď začíname:

Ako správne zostaviť súradnicové osi?

Testy v praxi takmer vždy vypracúvajú žiaci do samostatných zošitov, vyskladaných v klietke. Prečo potrebujete kockované označenie? Koniec koncov, prácu je možné v zásade vykonať na listoch A4. A klietka je potrebná práve pre kvalitný a presný dizajn výkresov.

Akékoľvek kreslenie funkčného grafu začína súradnicovými osami.

Výkresy sú dvojrozmerné a trojrozmerné.

Uvažujme najskôr o dvojrozmernom prípade karteziánsky pravouhlý systém súradnice:

1) Nakreslíme súradnicové osi. Os je tzv os x a os os y . Vždy sa ich snažíme nakresliť úhľadné a nie krivé. Šípky by tiež nemali pripomínať bradu Papa Carla.

2) Osy podpíšeme veľkými písmenami „x“ a „y“. Nezabudnite podpísať osy.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí: nakreslite nulu a dve jednotky. Pri vytváraní výkresu je najpohodlnejšia a najbežnejšia mierka: 1 jednotka = 2 bunky (výkres vľavo) - ak je to možné, držte sa. Z času na čas sa však stane, že sa nám kresba nezmestí na hárok zošita – vtedy zmenšíme mierku: 1 jednotka = 1 bunka (výkres vpravo). Zriedkavo, ale stáva sa, že mierka kresby sa musí ešte viac zmenšiť (alebo zväčšiť).

NEČMÁHAJTE zo samopalu ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Súradnicová rovina totiž nie je pomníkom Descarta a študent nie je holubica. Dali sme nula A dve jednotky pozdĺž osí. Niekedy namiesto jednotky, je vhodné „detekovať“ iné hodnoty, napríklad „dva“ na osi x a „tri“ na osi y - a tento systém (0, 2 a 3) tiež jednoznačne nastaví súradnicovú sieť.

Odhadované rozmery výkresu je lepšie odhadnúť PRED kreslením výkresu.. Ak teda úloha vyžaduje napríklad nakreslenie trojuholníka s vrcholmi , , , potom je celkom jasné, že populárna mierka 1 jednotka = 2 bunky nebude fungovať. prečo? Pozrime sa na vec - tu musíte merať pätnásť centimetrov nadol a kresba sa, samozrejme, nezmestí (alebo sa sotva zmestí) na list zošita. Preto hneď vyberieme menšiu mierku 1 jednotka = 1 bunka.

Mimochodom, asi centimetre a bunky notebooku. Je pravda, že v 30 bunkách notebooku je 15 centimetrov? Odmerajte si v zošite pre zaujímavosť pravítkom 15 centimetrov. V ZSSR to možno bola pravda ... Je zaujímavé poznamenať, že ak zmeriate rovnaké centimetre horizontálne a vertikálne, výsledky (v bunkách) budú iné! Prísne vzaté, moderné notebooky nie sú kockované, ale obdĺžnikové. Môže sa to zdať ako nezmysel, ale kresliť napríklad kružnicu kružidlom v takýchto situáciách je veľmi nepohodlné. Úprimne povedané, v takých chvíľach začínate uvažovať o správnosti súdruha Stalina, ktorého poslali do táborov na hackerské práce vo výrobe, nehovoriac o domácom automobilovom priemysle, padajúcich lietadlách či explodujúcich elektrárňach.

Keď už hovoríme o kvalite, alebo krátke odporúčanie na písacie potreby. K dnešnému dňu je väčšina notebookov v predaji, bez toho, aby sme povedali zlé slová, úplne škriatkovia. Z toho dôvodu, že sa namočia, a to nielen z gélových pier, ale aj z guľôčkových pier! Ušetrite na papieri. Na odbavenie kontrolné práce Odporúčam použiť zošity Arkhangelskej celulózky a papiera (18 listov, klietka) alebo Pyaterochka, aj keď je to drahšie. Vhodné je zvoliť gélové pero, aj tá najlacnejšia čínska gélová náplň je oveľa lepšia ako guľôčkové pero, ktoré papier buď rozmazáva, alebo trhá. Jediné "konkurenčné" guľôčkové pero v mojej pamäti je Erich Krause. Píše zreteľne, krásne a stabilne - buď s plnou stopkou, alebo s takmer prázdnou.

Okrem toho: Vízia pravouhlého súradnicového systému očami analytickej geometrie je zahrnutá v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ, podrobné informácie o súradnicových štvrťrokoch nájdete v druhom odseku lekcie Lineárne nerovnosti.

3D puzdro

Tu je to takmer rovnaké.

1) Nakreslíme súradnicové osi. Štandard: os aplikácie – smeruje nahor, os – smeruje doprava, os – nadol doľava prísne pod uhlom 45 stupňov.

2) Podpíšeme osi.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí. Mierka pozdĺž osi - dvakrát menšia ako mierka pozdĺž ostatných osí. Všimnite si tiež, že v pravom výkrese som použil neštandardný "serif" pozdĺž osi (táto možnosť už bola spomenutá vyššie). Z môjho pohľadu je to presnejšie, rýchlejšie a estetickejšie – netreba hľadať stred bunky pod mikroskopom a „vyrezávať“ jednotku až po počiatok.

Pri opätovnom 3D kreslení dávajte prednosť mierke
1 jednotka = 2 bunky (nákres vľavo).

Na čo slúžia všetky tieto pravidlá? Pravidlá sú na to, aby sa porušovali. Čo budem teraz robiť. Faktom je, že následné výkresy článku urobím ja v Exceli a súradnicové osi budú vyzerať nesprávne z hľadiska správneho návrhu. Všetky grafy by som mohol kresliť ručne, ale je naozaj strašidelné ich kresliť, pretože Excel sa zdráha kresliť ich oveľa presnejšie.

Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií

Lineárna funkcia je daná rovnicou . Graf lineárnej funkcie je priamy. Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body.

Príklad 1

Nakreslite funkciu. Nájdime dva body. Ako jeden z bodov je výhodné zvoliť nulu.

Ak potom

Zoberme si nejaký iný bod, napríklad 1.

Ak potom

Pri príprave úloh sú súradnice bodov zvyčajne zhrnuté v tabuľke:

A samotné hodnoty sa počítajú ústne alebo na koncepte, kalkulačke.

Našli sme dva body, poďme nakresliť:

Pri kreslení výkresu vždy podpisujeme grafiku.

Nebude zbytočné pripomínať špeciálne prípady lineárnej funkcie:

Všimnite si, ako som umiestnil titulky, podpisy by pri štúdiu výkresu nemali byť nejednoznačné. V tomto prípade bolo veľmi nežiaduce umiestniť podpis vedľa priesečníka čiar alebo vpravo dole medzi grafy.

1) Lineárna funkcia tvaru () sa nazýva priama úmernosť. Napríklad, . Graf priamej úmernosti vždy prechádza počiatkom. Konštrukcia priamky je teda zjednodušená – stačí nájsť len jeden bod.

2) Rovnica v tvare definuje priamku rovnobežnú s osou, konkrétne os je daná rovnicou. Graf funkcie je zostavený okamžite, bez nájdenia akýchkoľvek bodov. To znamená, že záznam treba chápať takto: "y sa vždy rovná -4 pre akúkoľvek hodnotu x."

3) Rovnica v tvare vymedzuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Okamžite sa zostaví aj graf funkcie. Záznam by sa mal chápať takto: "x sa vždy pre akúkoľvek hodnotu y rovná 1."

Niektorí sa budú pýtať, no, prečo si spomínať na 6. ročník?! Tak to je, možno je to tak, len za roky praxe som stretol dobrý tucet študentov, ktorí boli zmätení úlohou zostrojiť graf ako alebo .

Kreslenie rovnej čiary je najbežnejšou činnosťou pri vytváraní výkresov.

Priamka je podrobne diskutovaná v kurze analytickej geometrie a kto chce, môže si prečítať článok Rovnica priamky na rovine.

Graf kvadratickej funkcie, graf kubickej funkcie, graf polynómu

Parabola. Graf kvadratickej funkcie () je parabola. Zvážte slávny prípad:

Pripomeňme si niektoré vlastnosti funkcie.

Takže riešenie našej rovnice: - v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly. Prečo je to tak, sa dozviete z teoretického článku o derivácii a lekcie o extrémoch funkcie. Medzitým vypočítame zodpovedajúcu hodnotu "y":

Takže vrchol je v bode

Teraz nájdeme ďalšie body, pričom drzo využívame symetriu paraboly. Treba poznamenať, že funkcia – nie je rovnomerné, ale napriek tomu nikto nezrušil symetriu paraboly.

V akom poradí nájsť zvyšné body, myslím, že bude jasné z konečnej tabuľky:

Tento konštrukčný algoritmus možno obrazne nazvať „kyvadlo“ alebo princíp „tam a späť“ s Anfisou Čechovou.

Urobme si kresbu:

Z uvažovaných grafov prichádza na myseľ ďalšia užitočná funkcia:

Pre kvadratickú funkciu () platí:

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nahor.

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nadol.

Hlbokú znalosť krivky je možné získať na lekcii Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je daná funkciou . Tu je kresba známa zo školy:

Uvádzame hlavné vlastnosti funkcie

Graf funkcií

Predstavuje jednu z vetiev paraboly. Urobme si kresbu:

Hlavné vlastnosti funkcie:

V tomto prípade je os vertikálna asymptota pre graf hyperboly na .

VEĽKOU chybou bude, ak pri kreslení z nedbanlivosti dovolíte, aby sa graf pretínal s asymptotou.

Také jednostranné limity, povedzte nám, že hyperbola nie je zhora obmedzený A nie je obmedzený zdola.

Poďme preskúmať funkciu v nekonečne: , to znamená, že ak sa začneme pohybovať pozdĺž osi doľava (alebo doprava) do nekonečna, potom budú „hry“ štíhly krok nekonečne blízko priblížiť sa k nule a podľa toho aj vetvy hyperboly nekonečne blízko priblížiť sa k osi.

Takže os je horizontálna asymptota pre graf funkcie, ak "x" smeruje k plus alebo mínus nekonečnu.

Funkcia je zvláštny, čo znamená, že hyperbola je symetrická vzhľadom na počiatok. Tento fakt je zrejmé z výkresu, navyše sa dá ľahko analyticky overiť: .

Graf funkcie tvaru () predstavuje dve vetvy hyperboly.

Ak , potom sa hyperbola nachádza v prvom a treťom súradnicovom kvadrante(pozri obrázok vyššie).

Ak , potom sa hyperbola nachádza v druhom a štvrtom súradnicovom kvadrante.

Analyzovať špecifikovanú pravidelnosť miesta pobytu hyperboly z pohľadu geometrických transformácií grafov nie je ťažké.

Príklad 3

Zostrojte pravú vetvu hyperboly

Používame metódu bodovej konštrukcie, pričom je výhodné voliť hodnoty tak, aby sa delili úplne:

Urobme si kresbu:

Skonštruovať ľavú vetvu hyperboly nebude ťažké, tu len pomôže zvláštnosť funkcie. Zhruba povedané, v tabuľke bodovej konštrukcie mentálne pridajte ku každému číslu mínus, vložte príslušné bodky a nakreslite druhú vetvu.

Podrobné geometrické informácie o uvažovanej priamke nájdete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciálnej funkcie

V tomto odseku sa budem okamžite zaoberať exponenciálnou funkciou, pretože v úlohách vyššej matematiky sa v 95% prípadov vyskytuje práve exponent.

Pripomínam vám, že - toto je iracionálne číslo: , bude to potrebné pri zostavovaní grafu, ktorý v skutočnosti postavím bez obradu. Tri body asi stačia:

Graf funkcie nechajme zatiaľ na pokoji, o tom neskôr.

Hlavné vlastnosti funkcie:

V zásade vyzerajú grafy funkcií rovnako atď.

Musím povedať, že druhý prípad je v praxi menej bežný, ale vyskytuje sa, preto som považoval za potrebné zahrnúť ho do tohto článku.

Graf logaritmickej funkcie

Zvážte funkciu s prirodzeným logaritmom.
Urobme si čiarovú kresbu:

Ak ste zabudli, čo je logaritmus, pozrite si prosím školské učebnice.

Hlavné vlastnosti funkcie:

doména:

Rozsah hodnôt: .

Funkcia nie je obmedzená zhora: , aj keď pomaly, ale vetva logaritmu ide až do nekonečna.
Pozrime sa na správanie funkcie blízko nuly vpravo: . Takže os je vertikálna asymptota pre graf funkcie s "x" smerujúcim k nule vpravo.

Nezabudnite poznať a zapamätať si typickú hodnotu logaritmu: .

V zásade vyzerá graf logaritmu na báze rovnako: , , ( desiatkový logaritmus v základni 10) atď. Zároveň platí, že čím väčšia základňa, tým plochejší bude graf.

Nebudeme zvažovať prípad, niečo, čo si nepamätám, kedy som naposledy zostavil graf s takýmto základom. Áno, a logaritmus sa zdá byť veľmi zriedkavým hosťom v problémoch vyššej matematiky.

Na záver odseku poviem ešte jeden fakt: Exponenciálna funkcia a logaritmická funkciasú dve vzájomné inverzné funkcie . Ak sa pozorne pozriete na graf logaritmu, môžete vidieť, že ide o rovnaký exponent, len je umiestnený trochu inak.

Grafy goniometrických funkcií

Ako začína trigonometrické trápenie v škole? Správny. Zo sínusu

Nakreslíme funkciu

Táto linka je tzv sínusoida.

Pripomínam vám, že „pí“ je iracionálne číslo: a v trigonometrii oslňuje oči.

Hlavné vlastnosti funkcie:

Táto funkcia je periodikum s bodkou. Čo to znamená? Pozrime sa na strih. Naľavo a napravo od neho sa donekonečna opakuje presne ten istý kus grafu.

doména: , to znamená, že pre akúkoľvek hodnotu "x" existuje sínusová hodnota.

Rozsah hodnôt: . Funkcia je obmedzené: , to znamená, že všetky „hry“ sedia striktne v segmente .
To sa nestane: alebo presnejšie, stane sa, ale tieto rovnice nemajú riešenie.

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Nasledujúca tabuľka zobrazuje priemerné mesačné teploty v hlavnom meste našej krajiny, meste Minsk.

P

t,V

Tu je argumentom poradové číslo mesiaca a hodnota funkcie je teplota vzduchu v stupňoch Celzia. Napríklad z tejto tabuľky sa dozvieme, že v apríli je priemerná mesačná teplota 5,3 °C.

Funkčná závislosť môže byť daná grafom.

Obrázok 1 ukazuje graf pohybu telesa hodeného pod uhlom 6° k horizontu s počiatočnou rýchlosťou 20 m/s.

Pomocou grafu funkcie môžete nájsť zodpovedajúcu hodnotu funkcie podľa hodnoty argumentu. Podľa grafu na obrázku 1 určíme, že napríklad po 2 s od začiatku pohybu bolo teleso vo výške 15 m a po 3 s vo výške 7,8 m (obr. 2).

Je tiež možné vyriešiť inverzný problém, a to pomocou zadanej hodnoty a funkcie nájsť tie hodnoty argumentu, pre ktoré má funkcia túto hodnotu a. Napríklad podľa grafu na obrázku 1 zistíme, že vo výške 10 m bolo teleso za 0,7 s a 2,8 s od začiatku pohybu (obr. 3),

Existujú zariadenia, ktoré kreslia grafy závislostí medzi veličinami. Sú to barografy - prístroje na fixáciu závislosti atmosférického tlaku na čase, termografy - prístroje na fixáciu závislosti teploty na čase, kardiografy - prístroje na grafický záznam činnosti srdca a pod.. Na obrázku 102 je schematicky znázornený termograf. Jeho bubon sa otáča rovnomerne. Papier navinutý na bubne sa dotýka zapisovača, ktorý v závislosti od teploty stúpa a klesá a kreslí na papier určitú čiaru.

Od znázornenia funkcie vzorcom môžete prejsť k jej znázorneniu v tabuľke a grafe.