Kvantové systémy a ich vlastnosti.

Rozloženie pravdepodobnosti cez energie v priestore.

Štatistika bozónov. Fermiho-Einsteinovo rozdelenie.

štatistiky fermionov. Fermi-Diracovo rozdelenie.

Kvantové systémy a ich vlastnosti

V klasickej štatistike sa predpokladá, že častice, ktoré tvoria systém, dodržiavajú zákony klasickej mechaniky. No pri mnohých javoch je pri popise mikroobjektov potrebné použiť kvantovú mechaniku. Ak sa systém skladá z častíc poslúchajúcich kvantová mechanika, budeme to nazývať kvantový systém.

Medzi základné rozdiely medzi klasickým a kvantovým systémom patria:

1) Korpuskulárno-vlnový dualizmus mikročastíc.

2) Diskrétnosť fyzikálnych veličín popisujúci mikroobjekty.

3) Spinové vlastnosti mikročastíc.

Z prvého vyplýva nemožnosť presného určenia všetkých parametrov systému, ktoré z klasického hľadiska určujú jeho stav. Táto skutočnosť sa odráža v Heisandbergovom vzťahu neurčitosti:

Aby bolo možné matematicky opísať tieto vlastnosti mikroobjektov v kvantovej fyzike, je množine, ktorá pôsobí na vlnovú funkciu, priradený lineárny hermitovský operátor.

Vlastné hodnoty operátora určujú možné číselné hodnoty tejto fyzickej veličiny, pričom priemerná hodnota sa zhoduje s hodnotou samotnej veličiny.

Keďže hybnosť a koeficienty mikročastíc systému nemožno merať súčasne, vlnová funkcia je prezentovaná buď ako funkcia súradníc:

Alebo ako funkcia impulzov:

Druhá mocnina modulu vlnovej funkcie určuje pravdepodobnosť detekcie mikročastice na jednotku objemu:

Vlnová funkcia popisujúca konkrétny systém sa nachádza ako vlastná funkcia Hameltonovho operátora:

Stacionárna Schrödingerova rovnica.

Nestacionárna Schrödingerova rovnica.

V mikrosvete funguje princíp nerozoznateľnosti mikročastíc.

Ak vlnová funkcia spĺňa Schrödingerovu rovnicu, potom funkcia spĺňa aj túto rovnicu. Stav systému sa nezmení, keď sa vymenia 2 častice.

Nech je prvá častica v stave a a druhá častica v stave b.

Stav systému je opísaný takto:

Ak sú častice zamenené, potom: keďže pohyb častice by nemal ovplyvniť správanie systému.

Táto rovnica má 2 riešenia:

Ukázalo sa, že prvá funkcia je realizovaná pre častice s celočíselným spinom a druhá pre polovičné celé číslo.

V prvom prípade môžu byť 2 častice v rovnakom stave:

V druhom prípade:

Častice prvého typu sa nazývajú spinové celočíselné bozóny, častice druhého typu sa nazývajú femióny (platí pre ne Pauliho princíp.)

Fermióny: elektróny, protóny, neutróny...

Bosóny: fotóny, deuteróny...

Fermióny a bozóny sa riadia neklasickými štatistikami. Aby sme videli rozdiely, spočítajme počet možných stavov systému pozostávajúceho z dvoch častíc s rovnakou energiou na dvoch bunkách vo fázovom priestore.

1) Klasické častice sú rôzne. Je možné sledovať každú časticu samostatne.

klasické častice.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Celý komplex javov obvykle chápaných pod slovami „elektronické vlastnosti nízkorozmerných elektronických systémov“ je založený na zásadnom fyzikálnom fakte: zmene energetického spektra elektrónov a tzv. otvory v štruktúrach s veľmi malými rozmermi. Ukážme základnú myšlienku kvantovania veľkosti na príklade elektrónov vo veľmi tenkom kovovom alebo polovodičovom filme hrúbky a.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania Elektróny vo filme sú v potenciálovej jamke s hĺbkou rovnajúcou sa pracovnej funkcii. Hĺbku potenciálnej studne možno považovať za nekonečne veľkú, pretože pracovná funkcia prevyšuje tepelnú energiu nosičov o niekoľko rádov. Typické hodnoty pracovných funkcií vo väčšine pevné látky majú hodnotu W = 4 -5 e. B, o niekoľko rádov vyššia ako charakteristická tepelná energia nosičov, ktorá je rádovo k. T, rovná pri teplote miestnosti 0,026 e. C. Podľa zákonov kvantovej mechaniky je energia elektrónov v takejto jamke kvantovaná, t.j. môže nadobudnúť len niekoľko diskrétnych hodnôt En, kde n môže nadobúdať celočíselné hodnoty 1, 2, 3, …. Tieto diskrétne hodnoty energie sa nazývajú úrovne kvantovania veľkosti.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Pre voľnú časticu s efektívnou hmotnosťou m*, ktorej pohyb v kryštáli v smere osi z obmedzujú nepreniknuteľné bariéry (t.j. bariéry s nekonečnou potenciálnou energiou), energia základného stavu sa zvyšuje v porovnaní so stavom bez obmedzenia Tento nárast energie sa nazýva kvantizačná energia veľkosti častice. Kvantovacia energia je dôsledkom princípu neurčitosti v kvantovej mechanike. Ak je častica priestorovo obmedzená pozdĺž osi z vo vzdialenosti a, neistota zložky z jej hybnosti sa zvýši o hodnotu rádovo ħ/a. Zodpovedajúcim spôsobom sa kinetická energia častice zvýši o hodnotu E 1. Preto sa uvažovaný efekt často nazýva efekt kvantovej veľkosti.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Záver o kvantovaní energie elektronického pohybu sa vzťahuje len na pohyb cez potenciálnu jamu (pozdĺž osi z). Potenciál studne neovplyvňuje pohyb v rovine xy (paralelne s hranicami filmu). V tejto rovine sa nosiče pohybujú ako voľné a sú charakterizované, ako v objemovej vzorke, spojitým energetickým spektrom kvadratickej hybnosti s efektívnou hmotnosťou. Celková energia nosičov vo filme s kvantovou jamkou má zmiešané diskrétne spojité spektrum

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Okrem zvýšenia minimálnej energie častice vedie efekt kvantovej veľkosti aj ku kvantovaniu energií jej excitovaných stavov. Energetické spektrum kvantovo-rozmerného filmu - hybnosť nosičov náboja v rovine filmu

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Nech elektróny v systéme majú energie menšie ako E 2 a preto patria do nižšej úrovne kvantovania veľkosti. Potom žiadny elastický proces (napríklad rozptyl nečistotami alebo akustickými fonónmi), ako aj rozptyl elektrónov medzi sebou, nemôže zmeniť kvantové číslo n prenosom elektrónu na vyššiu úroveň, pretože by to vyžadovalo dodatočné náklady na energiu. To znamená, že počas elastického rozptylu môžu elektróny meniť svoju hybnosť iba v rovine filmu, t.j. správajú sa ako čisto dvojrozmerné častice. Preto sa kvantovo-rozmerné štruktúry, v ktorých je vyplnená iba jedna kvantová úroveň, často nazývajú dvojrozmerné elektronické štruktúry.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Existujú aj ďalšie možné kvantové štruktúry, kde je pohyb nosičov obmedzený nie v jednom, ale v dvoch smeroch, ako v prípade mikroskopického drôtu alebo vlákna (kvantové vlákna alebo drôty). V tomto prípade sa nosiče môžu voľne pohybovať len jedným smerom, po závite (nazvime to os x). V priereze (rovina yz) je energia kvantovaná a nadobúda diskrétne hodnoty Emn (ako každý dvojrozmerný pohyb je opísaný dvoma kvantovými číslami m a n). Celé spektrum je tiež diskrétne spojité, ale iba s jedným súvislým stupňom voľnosti:

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania Taktiež je možné vytvárať kvantové štruktúry pripomínajúce umelé atómy, kde je pohyb nosičov obmedzený vo všetkých troch smeroch (kvantové bodky). V kvantových bodoch už energetické spektrum neobsahuje súvislú zložku, t.j. nepozostáva z čiastkových pásiem, ale je čisto diskrétne. Rovnako ako v atóme je opísaný tromi diskrétnymi kvantovými číslami (nepočítajúc spin) a možno ho zapísať ako E = Elmn a rovnako ako v atóme môžu byť energetické hladiny degenerované a závisia len od jedného alebo dvoch čísel. Spoločným znakom nízkorozmerných štruktúr je skutočnosť, že ak je pohyb nosičov aspoň v jednom smere obmedzený na veľmi malú oblasť porovnateľnú veľkosťou s de Broglieho vlnovou dĺžkou nosičov, ich energetické spektrum sa nápadne mení a stáva sa čiastočne, resp. úplne diskrétne.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Definície Kvantové bodky - kvantové bodky - štruktúry, ktorých rozmery vo všetkých troch smeroch sú niekoľko medziatómových vzdialeností (nulové dimenzie). Kvantové drôty (vlákna) - kvantové drôty - štruktúry, v ktorých sa rozmery v dvoch smeroch rovnajú niekoľkým medziatómovým vzdialenostiam av treťom - makroskopickej hodnote (jednorozmerné štruktúry). Kvantové jamky – kvantové jamky – štruktúry, ktorých veľkosť v jednom smere je niekoľko medziatómových vzdialeností (dvojrozmerné štruktúry).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Minimálne a maximálne veľkosti Spodná hranica kvantovania veľkosti je určená kritickou veľkosťou Dmin, pri ktorej existuje aspoň jedna elektronická úroveň v štruktúre kvantovej veľkosti. Dmin závisí od prerušenia vodivého pásu DEc v zodpovedajúcej heterojunkcii použitej na získanie štruktúr kvantovej veľkosti. V kvantovej studni existuje aspoň jedna elektronická hladina, ak DEc presiahne hodnotu h - Planckova konštanta, me* - efektívna hmotnosť elektrónu, DE 1 QW - prvá hladina v pravouhlej kvantovej studni s nekonečnými stenami.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Minimálne a maximálne rozmery Ak sa vzdialenosť medzi energetickými hladinami stane porovnateľnou s tepelnou energiou k. BT , potom sa populácia na vysokých úrovniach zvyšuje. Pre kvantovú bodku je podmienka, za ktorej je možné zanedbať populáciu vyšších úrovní, napísaná ako E 1 QD, E 2 QD sú energie prvej a druhej kvantizačnej úrovne. To znamená, že výhody kvantovania veľkosti možno plne realizovať, ak táto podmienka stanovuje horné limity pre kvantovanie veľkosti. Pre Ga. As-Alx. Ga 1-x. Keďže táto hodnota je 12 nm.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Dôležitou charakteristikou každého elektronického systému je popri jeho energetickom spektre hustota stavov g(E) (počet stavov na jednotkový energetický interval E) . Pre trojrozmerné kryštály sa hustota stavov určuje pomocou Born-Karmanových cyklických okrajových podmienok, z ktorých vyplýva, že zložky vektora elektrónových vĺn sa nemenia plynule, ale nadobúdajú množstvo diskrétnych hodnôt, tu ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, a sú rozmery kryštálu (v tvare kocky so stranou L). Objem k-priestoru na jeden kvantový stav sa rovná (2)3/V, kde V = L 3 je objem kryštálu.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Počet elektronických stavov na objemový prvok dk = dkxdkydkz, vypočítaný na jednotku objemu, tu teda bude rovnaký, faktor 2 zohľadňuje dva možné spiny orientácií. Počet stavov na jednotku objemu v recipročnom priestore, t. j. hustota stavov) nezávisí od vlnového vektora Inými slovami, v recipročnom priestore sú povolené stavy rozdelené s konštantnou hustotou.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vo všeobecnom prípade je prakticky nemožné vypočítať funkciu hustoty stavov vzhľadom na energiu, keďže izoenergetické povrchy môžu mať pomerne zložitý tvar. V najjednoduchšom prípade zákona izotropnej parabolickej disperzie, ktorý platí pre okraje energetických pásov, možno nájsť počet kvantových stavov na objem guľovej vrstvy uzavretej medzi dvoma blízkymi izoenergetickými povrchmi zodpovedajúcimi energiám E a E+d. E.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Objem guľovej vrstvy v k-priestore. dk je hrúbka vrstvy. Tento objem bude predstavovať d. N stavov Berúc do úvahy vzťah medzi E a k podľa parabolického zákona, dostaneme Hustota stavov v energii sa bude rovnať m * - efektívna hmotnosť elektrónu

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach V trojrozmerných kryštáloch s parabolickým energetickým spektrom sa teda so zvyšujúcou sa energiou úmerne zvýši hustota povolených energetických hladín (hustota stavov). na hustotu hladín vo vodivom pásme a vo valenčnom pásme. Plocha zatienených oblastí je úmerná počtu úrovní v energetickom intervale d. E

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vypočítajme hustotu stavov pre dvojrozmerný systém. Celková energia nosičov pre zákon izotropnej parabolickej disperzie vo filme s kvantovou jamou, ako je uvedené vyššie, má zmiešané diskrétne spojité spektrum. V dvojrozmernom systéme sú stavy vodivostného elektrónu určené tromi číslami (n, kx, ky). Energetické spektrum je rozdelené na samostatné dvojrozmerné En subpásy zodpovedajúce pevným hodnotám n.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Krivky konštantnej energie predstavujú kruhy v recipročnom priestore. Každému diskrétnemu kvantovému číslu n zodpovedá absolútna hodnota z-ovej zložky vlnového vektora, preto je objem v recipročnom priestore ohraničenom uzavretou plochou danej energie E v prípade dvojrozmerného systému. rozdelené do niekoľkých sekcií.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Určme energetickú závislosť hustoty stavov pre dvojrozmerný systém. Aby sme to dosiahli, pre dané n nájdeme plochu S kruhu ohraničenú dvoma izoenergetickými plochami zodpovedajúcimi energiám E a E+d. E: Tu Hodnota dvojrozmerného vlnového vektora zodpovedajúceho danému n a E; dkr je šírka prsteňa. Keďže jeden stav v rovine (kxky) zodpovedá oblasti, kde L2 je plocha dvojrozmerného filmu hrúbky a, počet elektronických stavov v kruhu, vypočítaný na jednotku objemu kryštálu, bude rovnaké, berúc do úvahy spin elektrónov

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Keďže tu je energia zodpovedajúca spodnej časti n-tého subpásma. Hustota stavov v dvojrozmernom filme je teda taká, kde Q(Y) je jednotková Heavisideova funkcia, Q(Y) =1 pre Y≥ 0 a Q(Y) =0 pre Y

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v dvojrozmernom filme môže byť tiež reprezentovaná ako - celú časť, rovná sa číslu subpásma, ktorých dno je pod energiou E. Pre dvojrozmerné filmy so zákonom parabolickej disperzie je teda hustota stavov v akomkoľvek subpásme konštantná a nezávisí od energie. Každé subpásmo prispieva rovnakým dielom k celkovej hustote stavov. Pre pevnú hrúbku filmu sa hustota stavov mení náhle, keď sa nemení po jednote.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Závislosť hustoty stavov dvojrozmerného filmu od energie (a) a hrúbky a (b).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Distribúcia kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach V prípade ľubovoľného zákona rozptylu alebo pri inom type potenciálovej studne sa môžu závislosti hustoty stavu od energie a hrúbky filmu líšiť od uvedených. vyššie, ale hlavná črta, nemonotónny priebeh, zostane.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vypočítajme hustotu stavov pre jednorozmernú štruktúru - kvantový drôt. Zákon izotropnej parabolickej disperzie v tomto prípade možno zapísať tak, že x je nasmerované pozdĺž kvantového vlákna, d je hrúbka kvantového vlákna pozdĺž osí yaz, kx je jednorozmerný vlnový vektor. m, n sú kladné celé čísla charakterizujúce, kde osou sú kvantové subpásy. Energetické spektrum kvantového drôtu je teda rozdelené do samostatných prekrývajúcich sa jednorozmerných podpásiem (parabol). Pohyb elektrónov pozdĺž osi x sa ukazuje ako voľný (ale s efektívnou hmotnosťou), zatiaľ čo pohyb pozdĺž ďalších dvoch osí je obmedzený.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Energetické spektrum elektrónov pre kvantový drôt

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte verzus energia Počet kvantových stavov na interval dkx , vypočítané na jednotku objemu kde je energia zodpovedajúca spodnej časti subpásma s dané n a m.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte ako funkcia energie. Pri odvodzovaní tohto vzorca teda vychádza spinová degenerácia stavov a skutočnosť, že jeden interval d. E zodpovedá dvom intervalom ±dkx každého subpásma, pre ktoré (E-En, m) > 0. Energia E sa počíta od spodnej časti vodivého pásma hromadnej vzorky.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte od energie Závislosť hustoty stavov kvantového drôtu od energie. Čísla vedľa kriviek ukazujú kvantové čísla n a m. Faktory degenerácie úrovní podpásov sú uvedené v zátvorkách.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte ako funkcia energie V rámci jedného subpásma hustota stavov klesá s rastúcou energiou. Celková hustota stavov je superpozícia identických klesajúcich funkcií (zodpovedajúcich jednotlivým subpásiám) posunutých pozdĺž energetickej osi. Pre E = Em, n je hustota stavov rovná nekonečnu. Subpásy s kvantovými číslami n m sa ukázali byť dvojnásobne degenerované (len pre Ly = Lz d).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke ako funkcia energie Pri trojrozmernom obmedzení pohybu častíc sa dostávame k problému hľadania povolených stavov v kvantová bodka alebo systém s nulovou dimenziou. Použitím efektívnej hmotnostnej aproximácie a parabolického disperzného zákona bude mať pre okraj izotropného energetického pásma spektrum povolených stavov kvantovej bodky s rovnakými rozmermi d pozdĺž všetkých troch súradnicových osí tvar n, m, l = 1 , 2, 3 ... - kladné čísla číslovanie subpásiem. Energetické spektrum kvantovej bodky je množina diskrétnych povolených stavov zodpovedajúcich fixným n, m, l.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke ako funkcia energie Degenerácia hladín je primárne určená symetriou problému. g je faktor degenerácie úrovne

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke verzus energia Degenerácia hladín je primárne určená symetriou problému. Napríklad pre uvažovaný prípad kvantovej bodky s rovnakými rozmermi vo všetkých troch dimenziách budú úrovne trikrát zdegenerované, ak sa dve kvantové čísla navzájom rovnajú a nerovnajú sa tretiemu, a šesťkrát degenerované, ak sú všetky kvantové čísla. čísla sa navzájom nerovnajú. Špecifický typ potenciálu môže tiež viesť k ďalšej, takzvanej náhodnej degenerácii. Napríklad pre uvažovanú kvantovú bodku na trojnásobnú degeneráciu úrovní E(5, 1, 1); E(1,5,1); E(1, 1, 5), spojená so symetriou problému, sa pridáva náhodná degenerácia E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 v prvom aj druhom prípade), spojené s tvarom obmedzujúcim potenciálom (nekonečná pravouhlá potenciálová studňa).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom bode verzus energia Rozdelenie počtu povolených stavov N ​​v pásme vodivosti pre kvantový bod s rovnakými rozmermi vo všetkých troch rozmeroch. Čísla predstavujú kvantové čísla; v zátvorkách sú uvedené faktory degenerácie úrovne.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosných v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektronické systémy Vlastnosti rovnovážnych elektrónov v polovodičoch závisia od Fermiho distribučnej funkcie, ktorá určuje pravdepodobnosť, že elektrón bude v kvantovom stave s energiou E EF je Fermiho hladina alebo elektrochemický potenciál, T - absolútna teplota, k je Boltzmannova konštanta. Výpočet rôznych štatistických veličín sa značne zjednoduší, ak Fermiho hladina leží v energetickom pásme a je ďaleko od spodnej časti vodivostného pásma Ec (Ec – EF) > k. T. Potom vo Fermi-Diracovom rozdelení možno jednotku v menovateli zanedbať a prejsť do Maxwell-Boltzmannovho rozdelenia klasickej štatistiky. Toto je prípad nedegenerovaného polovodiča

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektrónové systémy Distribučná funkcia hustoty stavov vo vodivom pásme g(E), Fermi-Diracova funkcia pre tri teploty a Maxwell- Boltzmannova funkcia pre trojrozmerný elektrónový plyn. Pri T = 0 má Fermi-Diracova funkcia tvar nespojitej funkcie. Pre Е EF je funkcia rovná nule a zodpovedajúce kvantové stavy sú úplne voľné. Pre T > 0, Fermiho funkcia. Dirac sa rozmazáva v blízkosti Fermiho energie, kde sa rýchlo mení z 1 na 0 a toto rozmazanie je úmerné k. T, teda čím viac, tým vyššia teplota. (Obr. 1. 4. Hrany)

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektronické systémy Hustotu elektrónov vo vodivom pásme zistíme súčtom cez všetky stavy Všimnite si, že by sme mali brať energiu horného okraja vodivého pásma ako horná hranica tohto integrálu. Ale keďže Fermi-Diracova funkcia pre energie E >EF klesá exponenciálne rýchlo s rastúcou energiou, nahradenie hornej hranice nekonečnom nemení hodnotu integrálu. Dosadením hodnôt funkcií do integrálu získame efektívnu hustotu stavov vo vodivom pásme

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Dvojrozmerné elektrónové systémy Určme koncentráciu nosiča náboja v dvojrozmernom elektrónovom plyne. Od hustoty stavov dvojrozmerného elektrónového plynu, ktorú získame, sa tu tiež berie horná hranica integrácie rovná nekonečnu, berúc do úvahy ostrú závislosť Fermi-Diracovej distribučnej funkcie od energie. Integrácia kde

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Dvojrozmerné elektrónové systémy Pre nedegenerovaný elektrónový plyn, keď V prípade ultratenkých vrstiev, keď možno brať do úvahy len vyplnenie spodného subpásma Pre silné degenerácia elektrónového plynu, keď kde n 0 je celá časť

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Treba si uvedomiť, že v kvantovo-jamkových systémoch si v dôsledku nižšej hustoty stavov podmienka úplnej degenerácie nevyžaduje extrémne vysoké koncentrácie ani nízke teploty a je pomerne často implementované v experimentoch. Napríklad v n-Ga. Rovnako ako pri N 2 D = 1012 cm-2, degenerácia bude prebiehať už pri izbovej teplote. V kvantových drôtoch sa integrál na výpočet, na rozdiel od dvojrozmerných a trojrozmerných prípadov, nevypočítava analyticky svojvoľnou degeneráciou a jednoduché vzorce možno napísať len v extrémnych prípadoch. V nedegenerovanom jednorozmernom elektrónovom plyne v prípade hypertenkých filamentov, keď je možné brať do úvahy len obsadenie najnižšej úrovne energiou E 11, je koncentrácia elektrónov tam, kde je jednorozmerná efektívna hustota stavov

Energetické úrovne (atómové, molekulárne, jadrové)

1. Charakteristika stavu kvantového systému
2. Energetické hladiny atómov
3. Energetické hladiny molekúl
4. Energetické hladiny jadier

Charakteristika stavu kvantového systému

Jadrom vysvetlenia sv v atómoch, molekulách a atómových jadrách, t.j. javy vyskytujúce sa v objemových prvkoch s lineárnymi mierkami 10 -6 -10 -13 cm leží kvantová mechanika. Podľa kvantovej mechaniky je každý kvantový systém (tj systém mikročastíc, ktorý sa riadi kvantovými zákonmi) charakterizovaný určitým súborom stavov. Vo všeobecnosti môže byť táto množina stavov buď diskrétna (diskrétne spektrum stavov) alebo spojitá (spojité spektrum stavov). Charakteristika stavu izolovanej sústavy yavl. vnútornej energie systém (všade dole, len energia), celkový moment hybnosti (MKD) a parita.

Energia systému.
Kvantový systém, ktorý je vo všeobecnosti v rôznych stavoch, má rôzne energie. Energia viazaného systému môže mať akúkoľvek hodnotu. Tento súbor možných energetických hodnôt sa nazýva. diskrétne energetické spektrum a energia je údajne kvantovaná. Príkladom môže byť energia. spektrum atómu (pozri nižšie). Neviazaný systém interagujúcich častíc má spojité energetické spektrum a energia môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Príkladom takéhoto systému je voľný elektrón (E) v Coulombovom poli atómového jadra. Spojité energetické spektrum môže byť reprezentované ako množina nekonečna Vysoké číslo diskrétne stavy, medzi to-rymi energ. medzery sú nekonečne malé.

Stav, to-rum zodpovedá najnižšej možnej energii pre daný systém, tzv. základné: všetky ostatné štáty sú tzv. vzrušený. Často je vhodné použiť podmienenú škálu energie, v ktorej je energia základná. stav sa považuje za východiskový bod, t.j. sa predpokladá, že je nula (v tejto podmienenej škále je energia všade pod písmenom označená E). Ak je systém v stave n(a index n=1 je priradené k hlavnej. štát), má energiu E n, potom sa hovorí, že systém je na energetickej úrovni E n. číslo n, číslovanie U.e., tzv. kvantové číslo. Vo všeobecnom prípade každý U.e. možno charakterizovať nie jedným kvantovým číslom, ale ich kombináciou; potom index n znamená súhrn týchto kvantových čísel.

Ak štáty n 1, n 2, n 3,..., nk zodpovedá rovnakej energii, t.j. jeden U.e., potom sa táto úroveň nazýva degenerovaná a číslo k- mnohopočetnosť degenerácie.

Pri akýchkoľvek premenách uzavretého systému (ako aj systému v konštantnom vonkajšom poli) zostáva jeho celková energia, energia, nezmenená. Preto energia označuje tzv. konzervované hodnoty. Zákon zachovania energie vyplýva z homogenity času.

Celkový moment hybnosti.
Táto hodnota je yavl. vektor a získa sa pridaním MCD všetkých častíc v systéme. Každá častica má oboje svoje MCD - spin a orbitálny moment v dôsledku pohybu častice vzhľadom k spoločnému ťažisku systému. Kvantovanie MCD vedie k tomu, že jeho abs. rozsah J nadobúda presne definované hodnoty: , kde j- kvantové číslo, ktoré môže nadobúdať nezáporné celočíselné a polovičné celočíselné hodnoty (kvantové číslo orbitálneho MCD je vždy celé číslo). Projekcia MKD na c.-l. názov osi magn. kvantové číslo a môže vziať 2j+1 hodnoty: m j = j, j-1,...,-j. Ak k.-l. moment J yavl. súčet dvoch ďalších momentov, potom podľa pravidiel na sčítanie momentov v kvantovej mechanike kvantové číslo j môže nadobudnúť nasledujúce hodnoty: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, a. Podobne aj sumár viac momenty. Pre stručnosť je zvykom hovoriť o systéme MCD j, naznačujúci moment, abs. ktorého hodnota je ; o magn. O kvantovom čísle sa jednoducho hovorí ako o projekcii hybnosti.

Pri rôznych premenách systému v stredovo symetrickom poli sa celkový MCD zachová, t.j. ako energia je zachovaná veličina. Zákon zachovania MKD vyplýva z izotropie priestoru. V osovo symetrickom poli je zachovaný len priemet celého MCD na os symetrie.

Štátna parita.
V kvantovej mechanike sa stavy systému opisujú tzv. vlnové funkcie. Parita charakterizuje zmenu vlnovej funkcie systému počas prevádzky priestorovej inverzie, t.j. zmena znamienok súradníc všetkých častíc. Pri takejto operácii sa energia nemení, pričom vlnová funkcia môže buď zostať nezmenená (párny stav), alebo zmeniť svoje znamienko na opačné (nepárny stav). Parita P nadobúda dve hodnoty, resp. Ak v systéme fungujú jadrové alebo el.-magnety. síl sa zachováva parita pri atómových, molekulárnych a jadrových premenách, t.j. toto množstvo platí aj pre konzervované množstvá. Zákon zachovania parity yavl. je dôsledkom symetrie priestoru vzhľadom na zrkadlové odrazy a je narušený v tých procesoch, v ktorých sú zapojené slabé interakcie.

Kvantové prechody
- prechody systému z jedného kvantového stavu do druhého. Takéto prechody môžu viesť k zmene energie. stav systému a jeho kvality. zmeny. Sú to viazané, voľne viazané, voľné voľné prechody (pozri Interakcia žiarenia s hmotou), napríklad excitácia, deaktivácia, ionizácia, disociácia, rekombinácia. Je to tiež chem. a jadrové reakcie. Prechody môžu nastať pod vplyvom žiarenia - radiačné (alebo radiačné) prechody, alebo pri zrážke daného systému s c.-l. iný systém alebo častica - nežiarivé prechody. Dôležitá charakteristika kvantového prechodu yavl. jeho pravdepodobnosť v jednotkách. čas s uvedením toho, ako často sa tento prechod uskutoční. Táto hodnota sa meria v s -1 . Pravdepodobnosti žiarenia. prechody medzi úrovňami m A n (m>n) s emisiou alebo absorpciou fotónu, ktorého energia sa rovná, sú určené koeficientom. Einstein A mn, B mn A B nm. Prechod úrovne m na úroveň n sa môže vyskytnúť spontánne. Pravdepodobnosť vyžarovania fotónu Bmn v tomto prípade sa rovná Amn. Typové prechody pôsobením žiarenia (indukované prechody) sú charakterizované pravdepodobnosťou emisie fotónu a absorpcie fotónu, kde je hustota energie žiarenia s frekvenciou.

Možnosť implementácie kvantového prechodu z daného R.e. na k.-l. ďalšie w.e. znamená, že charakteristika porov. čas, počas ktorého môže byť systém samozrejme na tomto UE. Je definovaná ako prevrátená hodnota celkovej pravdepodobnosti rozpadu danej úrovne, t.j. súčet pravdepodobností všetkých možných prechodov z uvažovanej úrovne do všetkých ostatných. Pre žiarenie prechodov, celková pravdepodobnosť je , a . Konečnosť času podľa vzťahu neurčitosti znamená, že energiu hladiny nemožno určiť absolútne presne, t.j. U.e. má určitú šírku. Preto emisia alebo absorpcia fotónov počas kvantového prechodu nenastáva pri presne definovanej frekvencii , ale v určitom frekvenčnom intervale ležiacom v blízkosti hodnoty . Rozloženie intenzity v tomto intervale je dané profilom spektrálnej čiary, ktorý určuje pravdepodobnosť, že frekvencia fotónu emitovaného alebo absorbovaného v danom prechode je rovná:
(1)
kde je polovičná šírka profilu čiary. Ak rozšírenie W.e. a spektrálne čiary sú spôsobené len spontánnymi prechodmi, vtedy sa takémuto rozšíreniu hovorí. prirodzené. Ak pri rozšírení zohrávajú určitú úlohu zrážky sústavy s inými časticami, potom má rozšírenie kombinovaný charakter a veličinu je potrebné nahradiť súčtom , kde sa vypočítava podobne ako , ale radiát. pravdepodobnosti prechodu by sa mali nahradiť pravdepodobnosťami kolízií.

Prechody v kvantových systémoch sa riadia určitými selekčnými pravidlami, t.j. pravidlá, ktoré stanovujú, ako sa kvantové čísla charakterizujúce stav systému (MKD, parita atď.) môžu meniť počas prechodu. Najjednoduchšie pravidlá výberu sú formulované pre žiariče. prechody. V tomto prípade sú určené vlastnosťami počiatočného a konečného stavu, ako aj kvantovými charakteristikami emitovaného alebo absorbovaného fotónu, najmä jeho MCD a parity. Takzvaný. elektrické dipólové prechody. Tieto prechody sa uskutočňujú medzi úrovňami opačnej parity, kompletný MCD na rykh sa líši o množstvo (prechod nie je možný). V rámci súčasnej terminológie sa tieto prechody nazývajú. povolenej. Všetky ostatné typy prechodov (magnetický dipól, elektrický kvadrupól a pod.) sú tzv. zakázané. Význam tohto termínu je len v tom, že ich pravdepodobnosti sú oveľa menšie ako pravdepodobnosti elektrických dipólových prechodov. Nie sú však yavl. absolútne zakázané.

Kvantové systémy identických častíc

Kvantové vlastnosti správania mikročastíc, ktoré ich odlišujú od vlastností makroskopických objektov, sa objavujú nielen pri zvažovaní pohybu jednej častice, ale aj pri analýze správania. systémov mikročastice . Najzreteľnejšie je to vidieť na príklade fyzikálnych systémov pozostávajúcich z rovnakých častíc – systémov elektrónov, protónov, neutrónov atď.

Pre systém od N častice s hmotnosťou T 01 , T 02 , … T 0 i , … m 0 N so súradnicami ( X i , r i , z i), vlnová funkcia môže byť reprezentovaná ako

Ψ (X 1 , r 1 , z 1 , … X i , r i , z i , … X N , r N , z N , t) .

Pre elementárny objem

dV i = dx i . D Y i . dz i

rozsah

w =

určuje pravdepodobnosť, že jedna častica je v objeme dV 1, ďalší v objeme dV 2 atď.

Keď teda poznáme vlnovú funkciu systému častíc, je možné nájsť pravdepodobnosť akejkoľvek priestorovej konfigurácie systému mikročastíc, ako aj pravdepodobnosť akejkoľvek mechanickej veličiny, a to ako pre systém ako celok, tak aj pre jednotlivé častice, a tiež vypočítať priemernú hodnotu mechanickej veličiny.

Vlnová funkcia systému častíc sa zistí zo Schrödingerovej rovnice

, Kde

Operátor Hamiltonovej funkcie pre systém častíc

+ .

silová funkcia pre i- častica vo vonkajšom poli a

Energia interakcie i- oh a j- oh častice.

Nerozoznateľnosť identických častíc v kvante

mechanika

Častice, ktoré majú rovnakú hmotnosť, elektrický náboj, spin atď. sa bude správať úplne rovnako za rovnakých podmienok.

Hamiltonián takého systému častíc s rovnakými hmotnosťami m oi a rovnaké silové funkcie U môžem byť napísaný ako vyššie.

Ak sa zmení systém i- oh a j- častice, potom by sa vzhľadom na identitu identických častíc stav systému nemal meniť. Celková energia systému, ako aj všetky fyzikálne veličiny charakterizujúce jeho stav, zostanú nezmenené.

Princíp identity identických častíc: v systéme identických častíc sa realizujú len také stavy, ktoré sa pri preskupovaní častíc nemenia.

Symetrické a antisymetrické stavy

Predstavme si operátor permutácie častíc v uvažovanom systéme - . Účinok tohto operátora je taký, že swapuje i- Wow Aj- častica systému.

Princíp identity identických častíc v kvantovej mechanike vedie k tomu, že všetky možné stavy systému tvoreného identickými časticami sú rozdelené do dvoch typov:

symetrické, pre ktoré

antisymetrický, pre ktoré

(X 1 , r 1 ,z 1 … X N , r N , z N , t) = - Ψ A ( X 1 , r 1 ,z 1 … X N , r N , z N , t).

Ak je vlnová funkcia popisujúca stav systému v určitom časovom bode symetrická (antisymetrická), potom tento typ symetrie pretrváva v akomkoľvek inom časovom bode.

Bosóny a fermióny

Častice, ktorých stavy sú opísané pomocou symetrických vlnových funkcií, sa nazývajú bozóny Bose-Einsteinova štatistika . Bozóny sú fotóny, π- A do- mezóny, fonóny pevné telo, excitóny v polovodičoch a dielektrikách. Všetky bozóny majúnula resp rotácia celého čísla .

Častice, ktorých stavy sú opísané pomocou antisymetrických vlnových funkcií, sa nazývajú fermióny . Systémy pozostávajúce z takýchto častíc poslúchajú Fermi-Diracova štatistika . Fermióny zahŕňajú elektróny, protóny, neutróny, neutrína a Všetky elementárne častice a antičasticepolovicu chrbta.

Súvislosť medzi spinom častíc a typom štatistiky zostáva v platnosti v prípade komplexných častíc pozostávajúcich z elementárnych. Ak sa celkový spin komplexnej častice rovná celému číslu alebo nule, potom je táto častica bozón, a ak sa rovná polovičnému celému číslu, potom je častica fermión.

Príklad: a-častice() pozostáva z dvoch protónov a dvoch neutrónov t.j. štyri fermióny so spinmi +. Preto je spin jadra 2 a toto jadro je bozón.

Jadro ľahkého izotopu pozostáva z dvoch protónov a jedného neutrónu (tri fermióny). Rotácia tohto jadra je . Jadrom je teda fermión.

Pauliho princíp (Pauliho zákaz)

V systéme identickýchfermióny žiadne dve častice nemôžu byť v rovnakom kvantovom stave.

Pokiaľ ide o systém pozostávajúci z bozónov, princíp symetrie vlnových funkcií nekladie žiadne obmedzenia na stavy systému. môže byť v rovnakom stave ľubovoľný počet rovnakých bozónov.

Periodický systém prvkov

Na prvý pohľad sa zdá, že v atóme by všetky elektróny mali naplniť hladinu čo najnižšou energiou. Skúsenosti ukazujú, že to tak nie je.

V súlade s Pauliho princípom v atóme nemôžu existovať elektróny s rovnakými hodnotami všetkých štyroch kvantových čísel.

Každá hodnota hlavného kvantového čísla P zodpovedá 2 P 2 stavy, ktoré sa navzájom líšia hodnotami kvantových čísel l , m A m S .

Súbor elektrónov atómu s rovnakými hodnotami kvantového čísla P tvorí takzvanú škrupinu. podľa čísla P

Mušle sa delia na podškrupiny, líšiace sa kvantovým číslom l . Počet stavov v subshell je 2 (2 l + 1).

Rôzne stavy v podplášte sa líšia svojimi kvantovými číslami T A m S .

škrupina

Subshell

T S

systém pozostáva od Vysoké číslo identické podsystémov je možná synchronizácia emitovaných. kvantový prechody do rôznych ... triedy sú nežiarivé. kvantový križovatky tvoria tunelové križovatky častice. Tunel kvantový prechody vám umožňujú opísať ... Kalkulácia kvantový- chemické parametre PAS a stanovenie závislosti "štruktúra-aktivita" na príklade sulfónamidov Diplomová práca >> Chémia Xn) je vlnová funkcia pre systémov od n častice, čo závisí od ich... priestoru. V skutočnosti elektróny rovnaký chrbtom sa snažia vyhnúť nie je... presnosť výsledkov. sulfanilamid kvantový chemický organická molekula Viac... Všeobecná a anorganická chémia Študijná príručka >> Chémia Existujú dva elektróny súčasne rovnaký sada štyroch kvantový kvantovýčísla (vyplnenie orbitálov elektrónmi ... blízko energetickej hodnoty E systémov od N častice. Prvýkrát spojenie E. s pravdepodobnosťou stavu systémov založil L. Boltzmann ...

Bohrov model atómu bol pokusom zosúladiť myšlienky klasickej fyziky s vznikajúcimi zákonmi kvantového sveta.

E. Rutherford, 1936: Ako sú usporiadané elektróny vo vonkajšej časti atómu? Pôvodnú Bohrovu kvantovú teóriu spektra považujem za jednu z najrevolučnejších, aké kedy boli vo vede; a nepoznám inú teóriu, ktorá by mala väčší úspech. Bol v tom čase v Manchestri a pevne veril v jadrovú štruktúru atómu, čo sa ukázalo pri experimentoch s rozptylom, snažil sa pochopiť, ako by mali byť elektróny usporiadané, aby sa získali známe spektrá atómov. Základ jeho úspechu spočíva v zavádzaní úplne nových myšlienok do teórie. Zaviedol do našich myšlienok myšlienku kvanta akcie, ako aj myšlienku, ktorá je cudzia klasickej fyziky, že elektrón môže obiehať okolo jadra bez emitovania žiarenia. Pri presadzovaní teórie jadrovej štruktúry atómu som si bol plne vedomý toho, že podľa klasickej teórie by mali elektróny dopadať na jadro a Bohr predpokladal, že z nejakého neznámeho dôvodu sa tak nestane a na základe tento predpoklad, ako viete, dokázal vysvetliť pôvod spektier. Pomocou celkom rozumných predpokladov vyriešil krok za krokom problém usporiadania elektrónov vo všetkých atómoch periodickej tabuľky. Bolo tu veľa ťažkostí, keďže rozloženie muselo zodpovedať optickému a röntgenovému spektru prvkov, ale nakoniec sa Bohrovi podarilo navrhnúť usporiadanie elektrónov, ktoré ukazovalo význam periodického zákona.
V dôsledku ďalších vylepšení, ktoré zaviedol najmä Bohr, a úprav Heisenberga, Schrödingera a Diraca, sa zmenila celá matematická teória a zaviedli sa myšlienky vlnovej mechaniky. Okrem týchto ďalších vylepšení považujem Bohrovo dielo za najväčší triumf ľudského myslenia.
Aby sme si uvedomili význam jeho práce, stačí zvážiť mimoriadnu zložitosť spektier prvkov a predstaviť si, že za 10 rokov boli všetky hlavné charakteristiky týchto spektier pochopené a vysvetlené, takže teraz je teória optických spektier taká Úplné, že mnohí to považujú za vyčerpanú otázku, podobne ako to bolo pred niekoľkými rokmi so zvukom.

V polovici 20. rokov 20. storočia sa ukázalo, že semiklasická teória atómu N. Bohra nemôže poskytnúť adekvátny popis vlastností atómu. V rokoch 1925-1926 V prácach W. Heisenberga a E. Schrödingera bol vyvinutý všeobecný prístup na popis kvantových javov – kvantová teória.

Kvantová fyzika

Popis stavu

(x,y,z,p x,p y,pz)

Zmena stavu v priebehu času

=∂H/∂p, = -∂H/∂t,

merania

x, y, z, px, py, pz

ΔхΔp x ~
∆y∆p y ~
∆z∆p z ~

Determinizmus

Štatistická teória

|(x,y,z)| 2

Hamiltonián H = p2/2m + U(r) = 2/2m + U(r)

Stav klasickej častice v ktoromkoľvek časovom okamihu je opísaný nastavením jej súradníc a hybnosti (x,y,z,p x ,p y ,p z,t). Poznať tieto hodnoty v tom čase t, je možné určiť vývoj systému pri pôsobení známych síl vo všetkých nasledujúcich časových momentoch. Súradnice a hybnosť častíc sú samy osebe veličiny, ktoré možno priamo experimentálne merať. V kvantovej fyzike je stav systému opísaný vlnovou funkciou ψ(x, y, z, t). Pretože pre kvantovú časticu nie je možné presne určiť hodnoty jej súradníc a hybnosti súčasne, potom nemá zmysel hovoriť o pohybe častice po určitej trajektórii, môžete určiť iba pravdepodobnosť častica je v danom bode v danom čase, ktorý je určený druhou mocninou modulu vlnovej funkcie W ~ |ψ( x,y,z)| 2.
Evolúcia kvantového systému v nerelativistickom prípade je opísaná vlnovou funkciou, ktorá spĺňa Schrödingerovu rovnicu

kde je Hamiltonov operátor (operátor celkovej energie systému).
V nerelativistickom prípade − 2 /2m + (r), kde t je hmotnosť častice, je operátor hybnosti, (x,y,z) je operátor potenciálnej energie častice. Stanoviť pohybový zákon častice v kvantovej mechanike znamená určiť hodnotu vlnovej funkcie v každom okamihu v každom bode priestoru. V stacionárnom stave je vlnová funkcia ψ(x, y, z) riešením stacionárnej Schrödingerovej rovnice ψ = Eψ. Ako každý viazaný systém v kvantovej fyzike, aj jadro má diskrétne spektrum vlastných hodnôt energie.
Stav s najvyššou väzbovou energiou jadra, t.j. s najnižšou celkovou energiou E, sa nazýva základný stav. Stavy s vyššou celkovou energiou sú excitované stavy. Najnižšiemu energetickému stavu je priradený nulový index a energia E 0 = 0.

E0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n) c 2 − W 0;

W 0 je väzbová energia jadra v základnom stave.
Energie E i (i = 1, 2, ...) excitovaných stavov sa merajú zo základného stavu.

Schéma nižších úrovní 24 Mg jadra.

Nižšie úrovne jadra sú diskrétne. So zvyšujúcou sa energiou excitácie sa priemerná vzdialenosť medzi úrovňami znižuje.
Rast hustoty hladiny so zvyšujúcou sa energiou je charakteristickou vlastnosťou mnohočasticových systémov. Vysvetľuje to skutočnosť, že s nárastom energie takýchto systémov sa rýchlo zvyšuje počet rôznych spôsobov distribúcie energie medzi nukleónmi.
kvantové čísla- celé číslo alebo zlomkové čísla, ktoré určujú možné hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich kvantový systém - atóm, atómové jadro. Kvantové čísla odrážajú diskrétnosť (kvantizáciu) fyzikálnych veličín charakterizujúcich mikrosystém. Súbor kvantových čísel, ktoré vyčerpávajúco opisujú mikrosystém, sa nazýva úplný. Takže stav nukleónu v jadre je určený štyrmi kvantovými číslami: hlavným kvantovým číslom n (môže nadobúdať hodnoty 1, 2, 3, ...), ktoré určuje energiu E n nukleónu; orbitálne kvantové číslo l = 0, 1, 2, …, n, ktoré určuje hodnotu L orbitálny moment hybnosti nukleónu (L = ћ 1/2); kvantové číslo m ≤ ±l, ktoré určuje smer vektora orbitálnej hybnosti; a kvantové číslo m s = ±1/2, ktoré určuje smer nukleónového spinového vektora.

kvantové čísla

n	Hlavné kvantové číslo: n = 1, 2, … ∞.
j	Kvantové číslo celkového momentu hybnosti. j nie je nikdy záporné a môže byť celé číslo (vrátane nuly) alebo polovičné celé číslo v závislosti od vlastností daného systému. Hodnota celkového momentu hybnosti sústavy J súvisí s j vzťahom J2 = ^2j(j+1). = + kde a sú vektory orbitálneho a spinového momentu hybnosti.
l	Kvantové číslo orbitálneho momentu hybnosti. l môže mať iba celočíselné hodnoty: l= 0, 1, 2, … ∞, Hodnota orbitálneho momentu hybnosti sústavy L súvisí s l vzťah L 2 = ћ 2 l(l+1).
m	Projekcia celkového, orbitálneho alebo spinového momentu hybnosti na preferovanú os (zvyčajne os z) sa rovná mћ. Pre celkový moment m j = j, j-1, j-2, …, -(j-1), -j. Pre orbitálny moment m l = l, l-1, l-2, …, -(l-1), -l. Pre spinový moment elektrónu, protónu, neutrónu, kvarku m s = ±1/2
s	Kvantové číslo spinového momentu hybnosti. s môže byť buď celé číslo, alebo polovičné celé číslo. s je konštantná charakteristika častice, určená jej vlastnosťami. Hodnota spinového momentu S súvisí s s vzťahom S 2 = ћ 2 s(s+1)
P	Priestorová parita. Rovná sa buď +1 alebo -1 a charakterizuje správanie systému pri zrkadlovom odraze P = (-1) l .

Spolu s touto množinou kvantových čísel možno stav nukleónu v jadre charakterizovať aj ďalšou množinou kvantových čísel n, l, j, jz . Výber množiny kvantových čísel je určený pohodlnosťou popisu kvantového systému.
Existencia zachovaných (v čase nemenných) fyzikálnych veličín pre daný systém úzko súvisí so symetrickými vlastnosťami tohto systému. Takže, ak sa izolovaný systém nemení počas ľubovoľných rotácií, potom si zachováva orbitálny moment hybnosti. To je prípad atómu vodíka, v ktorom sa elektrón pohybuje v sféricky symetrickom Coulombovom potenciáli jadra, a preto je charakterizovaný konštantným kvantovým číslom l. Vonkajšia porucha môže narušiť symetriu systému, čo vedie k zmene samotných kvantových čísel. Fotón absorbovaný atómom vodíka môže preniesť elektrón do iného stavu s rôznymi hodnotami kvantových čísel. V tabuľke sú uvedené niektoré kvantové čísla používané na opis atómových a jadrových stavov.
Okrem kvantových čísel, ktoré odrážajú časopriestorovú symetriu mikrosystému, hrajú dôležitú úlohu takzvané vnútorné kvantové čísla častíc. Niektoré z nich, ako napríklad spin a elektrický náboj, sú zachované vo všetkých interakciách, iné nie sú zachované v niektorých interakciách. Takže kvantové číslo podivnosti, ktoré je zachované v silnej a elektromagnetickej interakcii, nie je zachované v slabej interakcii, čo odráža odlišnú povahu týchto interakcií.
Atómové jadro v každom stave je charakterizované celkovým momentom hybnosti. Tento moment v pokojovom rámci jadra sa nazýva jadrový spin.
Pre jadro platia nasledujúce pravidlá:
a) A je párne J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), teda celé číslo;
b) A je nepárne J = n + 1/2, teda polovičné celé číslo.
Okrem toho bolo experimentálne stanovené ešte jedno pravidlo: pre párne-párne jadrá v základnom stave Jgs = 0. Označuje vzájomnú kompenzáciu nukleónových momentov v základnom stave jadra – zvláštny majetok internukleónová interakcia.
Invariantnosť systému (hamiltonián) vzhľadom na priestorový odraz - inverzia (náhrada → -) vedie k zákonu zachovania parity a kvantovému číslu parita R. To znamená, že jadrový Hamiltonián má zodpovedajúcu symetriu. Jadro skutočne existuje vďaka silnej interakcii medzi nukleónmi. Okrem toho hrá podstatnú úlohu v jadrách elektromagnetická interakcia. Oba tieto typy interakcií sú invariantné k priestorovej inverzii. To znamená, že jadrové stavy musia byť charakterizované určitou hodnotou parity P, t. j. buď párne (P = +1) alebo nepárne (P = -1).
Medzi nukleónmi v jadre však pôsobia aj slabé sily, ktoré nezachovávajú paritu. Dôsledkom toho je, že k stavu s danou paritou sa pridá (zvyčajne nevýznamná) prímes stavu s opačnou paritou. Typická hodnota takejto nečistoty v jadrových stavoch je iba 10 -6 -10 -7 a vo väčšine prípadov ju možno ignorovať.
Paritu jadra P ako sústavu nukleónov možno znázorniť ako súčin parít jednotlivých nukleónov p i:

P \u003d p 1 p 2 ... p A ,

okrem toho parita nukleónu p i v centrálnom poli závisí od orbitálneho momentu nukleónu, kde π i je vnútorná parita nukleónu rovná +1. Preto paritu jadra v sféricky symetrickom stave možno znázorniť ako súčin orbitálnych parít nukleónov v tomto stave:

Diagramy jadrovej úrovne zvyčajne označujú energiu, rotáciu a paritu každej úrovne. Rotácia je označená číslom a parita je označená znamienkom plus pre párne úrovne a znamienkom mínus pre nepárne úrovne. Tento znak je umiestnený napravo od hornej časti čísla označujúceho rotáciu. Napríklad symbol 1/2 + označuje párnu úroveň s rotáciou 1/2 a symbol 3 - označuje nepárnu úroveň s rotáciou 3.

Izospin atómových jadier.Ďalšou charakteristikou jadrových štátov je izospin I. Core (A, Z) pozostáva z nukleónov A a má náboj Ze, ktorý možno znázorniť ako súčet nábojov nukleónov q i vyjadrený v projekciách ich izospinov (I i) 3

je projekcia izospinu jadra na os 3 izospinového priestoru.
Celkový izospin nukleónového systému A

Všetky stavy jadra majú hodnotu projekcie izospinu I 3 = (Z - N)/2. V jadre pozostávajúcom z nukleónov A, z ktorých každý má izospin 1/2, sú možné hodnoty izospinu od |N - Z|/2 do A/2

|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.

Minimálna hodnota I = |I 3 |. Maximálna hodnota I sa rovná A/2 a zodpovedá všetkým i smerujúcim rovnakým smerom. Experimentálne sa zistilo, že čím vyššia je excitačná energia jadrového stavu, tým väčšia je hodnota izospinu. Preto má izospin jadra v prízemnom a nízko excitovanom stave minimálnu hodnotu

I gs = |I 3 | = |Z - N|/2.

Elektromagnetická interakcia porušuje izotropiu izospinového priestoru. Interakčná energia systému nabitých častíc sa mení pri rotáciách v izopriestore, keďže pri rotáciách sa náboje častíc menia a v jadre časť protónov prechádza na neutróny alebo naopak. Preto skutočná izospinová symetria nie je presná, ale približná.

Potenciálna studňa. Koncept potenciálnej studne sa často používa na opis viazaných stavov častíc. Potenciálna studňa - obmedzená oblasť priestoru so zníženou potenciálnou energiou častice. Potenciálna studňa zvyčajne zodpovedá silám príťažlivosti. V oblasti pôsobenia týchto síl je potenciál negatívny, vonkajší - nulový.

Energia častice E je súčtom jej kinetickej energie T ≥ 0 a potenciálnej energie U (môže byť kladná aj záporná). Ak je častica vo vnútri jamky, potom jej kinetická energia T 1 je menšia ako hĺbka jamy U 0, energia častice E 1 = T 1 + U 1 = T 1 - U 0 V kvantovej mechanike je energia a častica vo viazanom stave môže nadobúdať len určité diskrétne hodnoty, t.j. existujú diskrétne úrovne energie. V tomto prípade najnižšia (hlavná) úroveň vždy leží nad dnom potenciálnej studne. V poriadku, vzdialenosť Δ E medzi hladinami častice hmotnosti m v hlbokej studni šírky a je dané
AE ≈ ћ 2 / ma 2.
Príkladom potenciálnej jamy je potenciálová jama atómového jadra s hĺbkou 40-50 MeV a šírkou 10 -13 -10 -12 cm, v ktorej sa nachádzajú nukleóny s priemernou kinetickou energiou ≈ 20 MeV pri rôzne úrovne.

Zapnuté jednoduchý príkladčastice v jednorozmernej nekonečnej obdĺžnikovej studni, je možné pochopiť, ako vzniká diskrétne spektrum energetických hodnôt. V klasickom prípade častica, ktorá sa pohybuje od jednej steny k druhej, preberá akúkoľvek hodnotu energie v závislosti od hybnosti, ktorá jej bola odovzdaná. V kvantovom systéme je situácia zásadne odlišná. Ak sa kvantová častica nachádza v obmedzenej oblasti priestoru, energetické spektrum sa ukáže ako diskrétne. Uvažujme prípad, keď sa častica s hmotnosťou m nachádza v jednorozmernej potenciálovej jame U(x) nekonečnej hĺbky. Potenciálna energia U spĺňa nasledujúce okrajové podmienky

Za takýchto okrajových podmienok je častica vo vnútri potenciálovej jamy 0< x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.

ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.

Použitím stacionárnej Schrödingerovej rovnice pre oblasť, kde U = 0,

získame polohu a energetické spektrum častice vo vnútri potenciálovej studne.

Pre nekonečnú jednorozmernú potenciálovú studňu máme nasledovné:

Vlnová funkcia častice v nekonečnej pravouhlej jamke (a), druhá mocnina modulu vlnovej funkcie (b) určuje pravdepodobnosť nájdenia častice v rôznych bodoch potenciálnej jamy.

Schrödingerova rovnica hrá v kvantovej mechanike rovnakú úlohu ako druhý Newtonov zákon v klasickej mechanike.
Najvýraznejšou črtou kvantovej fyziky sa ukázala byť jej pravdepodobnostná povaha.

Pravdepodobnosť procesov prebiehajúcich v mikrosvete je základnou vlastnosťou mikrosveta.

E. Schrödinger: „Zvyčajné pravidlá kvantovania možno nahradiť inými ustanoveniami, ktoré už nezavádzajú žiadne „celé čísla“. Celistvosť sa v tomto prípade získava prirodzeným spôsobom sama o sebe, rovnako ako sa pri vibrujúcej strune získava celý počet uzlov sám. Táto nová reprezentácia sa dá zovšeobecniť a myslím si, že úzko súvisí so skutočnou povahou kvantovania.
Je celkom prirodzené spájať funkciu ψ s nejaký oscilačný proces v atóme, v ktorom bola v poslednom čase opakovane spochybňovaná realita elektronických trajektórií. Nové chápanie kvantových pravidiel som chcel najskôr odôvodniť aj naznačeným pomerne jasným spôsobom, ale potom som dal prednosť čisto matematickej metóde, pretože umožňuje lepšie objasniť všetky podstatné aspekty problematiky. Zdá sa mi nevyhnutné, aby sa kvantové pravidlá už nezavádzali ako záhadné“ celočíselná požiadavka“, ale sú determinované potrebou ohraničenosti a jedinečnosti nejakej špecifickej priestorovej funkcie.
Nepovažujem to za možné, kým sa úspešne nevypočítajú viac novým spôsobom. náročné úlohy, zvážte podrobnejšie interpretáciu zavedeného oscilačného procesu. Je možné, že takéto výpočty povedú k jednoduchej zhode so závermi konvenčnej kvantovej teórie. Napríklad, ak uvažujeme o relativistickom Keplerovom probléme podľa vyššie uvedenej metódy, ak budeme konať podľa pravidiel uvedených na začiatku, získame pozoruhodný výsledok: polovičné celočíselné kvantové čísla(radiálny a azimut)…
V prvom rade nemožno nespomenúť, že hlavným počiatočným impulzom, ktorý viedol k objaveniu sa tu prezentovaných argumentov, bola de Broglieho dizertačná práca, ktorá obsahuje mnoho hlbokých myšlienok, ako aj úvahy o priestorovom rozložení „fázových vĺn“, ktorý, ako ukázal de Broglie, zakaždým zodpovedá periodickému alebo kváziperiodickému pohybu elektrónu, ak len tieto vlny zapadajú do trajektórií celé číslo raz. Hlavný rozdiel oproti de Broglieho teórii, ktorá hovorí o priamočiaro sa šíriacej vlne, tu spočíva v tom, že uvažujeme, ak použijeme vlnovú interpretáciu, stojaté prirodzené kmity.

M. Laue: „Výsledky kvantovej teórie sa hromadili veľmi rýchlo. Zvlášť pozoruhodný úspech mala pri aplikácii na rádioaktívny rozpad emisiou α-lúčov. Podľa tejto teórie dochádza k „tunelovému efektu“, t.j. prienik cez potenciálnu bariéru častice, ktorej energia podľa požiadaviek klasickej mechaniky nestačí na to, aby ňou prešla.
G. Gamov podal v roku 1928 vysvetlenie emisie α-častíc na základe tohto tunelového efektu. Podľa Gamowovej teórie je atómové jadro obklopené potenciálnou bariérou, ale α-častice majú určitú pravdepodobnosť, že ju „prekročia“. Empiricky zistené Geigerom a Nettolom, vzťah medzi polomerom pôsobenia α-častice a polovičnou periódou rozpadu bol uspokojivo vysvetlený na základe Gamowovej teórie.

Štatistiky. Pauliho princíp. Vlastnosti kvantových mechanických systémov pozostávajúcich z mnohých častíc sú určené štatistikou týchto častíc. Klasické systémy pozostávajúce z rovnakých, ale rozlíšiteľných častíc sa riadia Boltzmannovým rozdelením

V systéme kvantových častíc rovnakého typu sa objavujú nové črty správania, ktoré nemajú v klasickej fyzike obdoby. Na rozdiel od častíc v klasickej fyzike sú kvantové častice nielen rovnaké, ale aj nerozoznateľné – identické. Jedným z dôvodov je, že v kvantovej mechanike sú častice opísané z hľadiska vlnových funkcií, ktoré nám umožňujú vypočítať iba pravdepodobnosť nájdenia častice v akomkoľvek bode priestoru. Ak sa vlnové funkcie niekoľkých rovnakých častíc prekrývajú, potom nie je možné určiť, ktorá z častíc je v danom bode. Keďže fyzikálny význam má iba druhá mocnina modulu vlnovej funkcie, z princípu identity častíc vyplýva, že keď sa vymenia dve rovnaké častice, vlnová funkcia buď zmení znamienko ( antisymetrický stav), alebo nezmení znamienko ( symetrický stav).
Symetrické vlnové funkcie popisujú častice s celočíselným spinom - bozóny (pióny, fotóny, častice alfa ...). Bosóny sa riadia štatistikami Bose-Einstein

V jednom kvantovom stave môže byť súčasne neobmedzený počet identických bozónov.
Antisymetrické vlnové funkcie popisujú častice s polovičným spinom - fermióny (protóny, neutróny, elektróny, neutrína). Fermióny sa riadia štatistikami Fermi-Dirac

Na vzťah medzi symetriou vlnovej funkcie a spinom prvýkrát poukázal W. Pauli.

Pre fermióny platí Pauliho princíp - dva rovnaké fermióny nemôžu byť súčasne v rovnakom kvantovom stave.

Pauliho princíp určuje štruktúru elektrónových obalov atómov, naplnenie nukleónových stavov v jadrách a ďalšie znaky správania sa kvantových systémov.
Vytvorením protónovo-neutrónového modelu atómového jadra možno považovať za ukončenú prvú etapu vývoja jadrovej fyziky, v ktorej boli stanovené základné fakty o štruktúre atómového jadra. Prvá etapa začala v základnom koncepte Demokrita o existencii atómov - nedeliteľných častíc hmoty. Zavedenie periodického zákona Mendelejevom umožnilo systematizovať atómy a nastolilo otázku dôvodov tejto systematiky. Objav elektrónov v roku 1897 J. J. Thomsonom zničil koncepciu nedeliteľnosti atómov. Podľa Thomsonovho modelu sú elektróny stavebnými kameňmi všetkých atómov. Objav fenoménu rádioaktivity uránu A. Becquerelom v roku 1896 a následný objav rádioaktivity tória, polónia a rádia P. Curie a M. Sklodowskej-Curie po prvý raz ukázal, že chemické prvky nie sú večné útvary. môžu sa spontánne rozpadnúť, zmeniť sa na iné chemické prvky. V roku 1899 E. Rutherford zistil, že v dôsledku rádioaktívneho rozpadu môžu atómy zo svojho zloženia vyvrhnúť α-častice – ionizované atómy hélia a elektróny. V roku 1911 E. Rutherford, zovšeobecniac výsledky experimentu Geigera a Marsdena, vyvinul planetárny model atómu. Podľa tohto modelu sa atómy skladajú z kladne nabitého atómového jadra s polomerom ~10 -12 cm, v ktorom je sústredená celá hmotnosť atómu a okolo neho rotujúce záporné elektróny. Veľkosť elektrónových obalov atómu je ~10 -8 cm V roku 1913 N. Bohr vyvinul reprezentáciu planetárneho modelu atómu na základe kvantovej teórie. V roku 1919 E. Rutherford dokázal, že protóny sú súčasťou atómového jadra. V roku 1932 J. Chadwick objavil neutrón a ukázal, že neutróny sú súčasťou atómového jadra. Vytvorenie protón-neutrónového modelu atómového jadra v roku 1932 D. Ivanenkom a W. Heisenbergom zavŕšilo prvú etapu vývoja jadrovej fyziky. Boli stanovené všetky základné prvky atómu a atómového jadra.

1869 Periodická sústava prvkov D.I. Mendelejev

Do druhej polovice 19. storočia chemici nazhromaždili rozsiahle informácie o správaní sa chemických prvkov v rôznych chemické reakcie. Zistilo sa, že danú látku tvoria len určité kombinácie chemických prvkov. Zistilo sa, že niektoré chemické prvky majú zhruba rovnaké vlastnosti, zatiaľ čo ich atómové hmotnosti sa značne líšia. D. I. Mendelejev analyzoval vzťah medzi chemické vlastnosti prvkov a ich atómovej hmotnosti a ukázali, že chemické vlastnosti prvkov usporiadaných tak, že sa atómové hmotnosti zvyšujú, sa opakujú. Toto tvorilo základ jeho periodický systém prvkov. Mendelejev pri zostavovaní tabuľky zistil, že atómové hmotnosti niektorých chemických prvkov vypadli zo zákonitosti, ktorú získal, a poukázal na to, že atómové hmotnosti týchto prvkov boli stanovené nepresne. Neskoršie presné experimenty ukázali, že pôvodne stanovené váhy boli skutočne nesprávne a nové výsledky zodpovedali Mendelejevovým predpovediam. Mendelejev nechal v tabuľke prázdne miesta a poukázal na to, že by tam mali byť nové, zatiaľ neobjavené chemické prvky a predpovedal ich chemické vlastnosti. Gálium (Z = 31), skandium (Z = 21) a germánium (Z = 32) boli teda predpovedané a potom objavené. Mendelejev prenechal úlohu vysvetliť periodické vlastnosti chemických prvkov svojim potomkom. Teoretické vysvetlenie Mendelejevovho periodického systému prvkov, ktoré podal N. Bohr v roku 1922, bolo jedným z presvedčivých dôkazov správnosti vznikajúcej kvantovej teórie.

Atómové jadro a periodický systém prvkov

Základom úspešnej konštrukcie periodického systému prvkov Mendelejeva a Logara Meyera bola myšlienka, že atómová hmotnosť môže slúžiť ako vhodná konštanta pre systematickú klasifikáciu prvkov. Moderná atómová teória však pristúpila k interpretácii periodického systému bez toho, aby sa vôbec dotkla atómovej hmotnosti. Miesto každého prvku v tomto systéme a zároveň jeho chemické vlastnosti sú jednoznačne určené kladným nábojom atómového jadra, alebo, čo je to isté, počtom záporných elektrónov nachádzajúcich sa okolo neho. Hmotnosť a štruktúra atómového jadra v tom nezohráva žiadnu úlohu; teda v súčasnosti vieme, že existujú prvky, alebo skôr typy atómov, ktoré pri rovnakom počte a usporiadaní vonkajších elektrónov majú výrazne rozdielne atómové hmotnosti. Takéto prvky sa nazývajú izotopy. Takže napríklad v galaxii izotopov zinku je atómová hmotnosť rozložená od 112 do 124. Naopak, existujú prvky s výrazne odlišnými chemickými vlastnosťami, ktoré vykazujú rovnakú atómovú hmotnosť; nazývajú sa izobary. Príkladom je atómová hmotnosť 124 zistená pre zinok, telúr a xenón.
Na určenie chemický prvok stačí jedna konštanta, a to počet negatívnych elektrónov umiestnených okolo jadra, pretože všetky chemické procesy prúdiť medzi týmito elektrónmi.
Počet protónov n 2 , umiestnené v atómovom jadre, určujú jeho kladný náboj Z, a tým počet vonkajších elektrónov, ktoré určujú chemické vlastnosti tohto prvku; určitý počet neutrónov n 1 uzavretý v tom istom jadre, celkovo s n 2 dáva jej atómovú hmotnosť
A=n 1 +n 2 . Naopak, poradové číslo Z udáva počet protónov obsiahnutých v atómovom jadre a z rozdielu medzi atómovou hmotnosťou a nábojom jadra A - Z sa získa počet jadrových neutrónov.
S objavom neutrónu dostal periodický systém určité doplnenie v oblasti malých sériových čísel, pretože neutrón možno považovať za prvok s poradovým číslom rovným nule. V oblasti vysokých radových čísel, konkrétne od Z = 84 do Z = 92, všetky atómové jadrá nestabilné, spontánne rádioaktívne; preto sa dá predpokladať, že atóm s ešte vyšším jadrovým nábojom ako má urán, ak ho možno len získať, by mal byť tiež nestabilný. Fermi a jeho spolupracovníci nedávno informovali o svojich experimentoch, pri ktorých sa pri bombardovaní uránu neutrónmi pozoroval výskyt rádioaktívneho prvku s poradovým číslom 93 alebo 94. Je celkom možné, že periodický systém má v tejto oblasti pokračovanie. tiež. Zostáva len dodať, že Mendelejevova geniálna predvídavosť zabezpečila rámec periodického systému tak široko, že každý nový objav, ktorý zostáva v jeho rámci, ho ešte viac posilňuje.