Keyinchalik, samarali Pifagor uchliklarini yaratishning taniqli usullarini ko'rib chiqamiz. Pifagor talabalari birinchi bo'lib qismlari Pifagor uchligini ifodalovchi formuladan foydalanib, Pifagor uchliklarini yaratishning oddiy usulini o'ylab topdilar:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Qayerda m- juftlashtirilmagan, m>2. Haqiqatan ham,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Xuddi shunday formulani qadimgi yunon faylasufi Platon ham taklif qilgan:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Qayerda m- har qanday raqam. Uchun m= 2,3,4,5 quyidagi uchlik hosil bo'ladi:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ko'rib turganingizdek, bu formulalar barcha mumkin bo'lgan ibtidoiy uchlikni bera olmaydi.

Ko'phadlar yig'indisiga ajratilgan quyidagi ko'phadni ko'rib chiqing:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Shunday qilib, ibtidoiy uchliklarni olish uchun quyidagi formulalar:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Bu formulalar uchlik hosil qiladi, bunda o'rtacha son eng kattasidan bittaga farq qiladi, ya'ni barcha mumkin bo'lgan uchlik ham hosil bo'lmaydi. Bu erda birinchi uchliklar: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Barcha ibtidoiy uchliklarni qanday yaratishni aniqlash uchun ularning xususiyatlarini o'rganish kerak. Birinchidan, agar ( a,b,c) ibtidoiy uchlik, demak a Va b, b Va c, A Va c- ko'p bo'lishi kerak. Mayli a Va b ga bo'linadi d. Keyin a 2 + b 2 ga ham bo'linadi d. Mos ravishda, c 2 va c ga bo'linishi kerak d. Ya'ni, bu ibtidoiy uchlik emas.

Ikkinchidan, raqamlar orasida a, b biri juftlashtirilgan, ikkinchisi esa ajratilmagan bo'lishi kerak. Haqiqatan ham, agar a Va b- keyin juftlashgan Bilan juftlashtiriladi va raqamlar kamida 2 ga bo'linishi mumkin. Agar ikkalasi ham juftlashtirilmagan bo'lsa, ularni 2 ga ko'rsatish mumkin. k+1 va 2 l+1, qaerda k,l- ba'zi raqamlar. Keyin a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, ya'ni, Bilan 2, shuningdek a 2 + b 4 ga bo'linganda 2 ning qoldig'i 2 ga teng.

Mayli Bilan- har qanday raqam, ya'ni Bilan = 4k+i (i=0,…,3). Keyin Bilan 2 = (4k+i) 2 ning 0 yoki 1 qoldig‘i bor va 2 ning qoldig‘iga ega bo‘la olmaydi. a Va b juftlashtirib bo'lmaydi, ya'ni a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 va qolgan Bilan 2 dan 4 gacha 1 bo'lishi kerak, bu shuni anglatadiki Bilan ajratilmagan bo'lishi kerak.

Pifagor uchligining elementlariga qo'yiladigan bunday talablar quyidagi raqamlar bilan qondiriladi:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Qayerda m Va n turli juftliklar bilan mos keladi. Birinchi marta bu bog'liqliklar 2300 r yashagan Evklidning asarlaridan ma'lum bo'ldi. orqaga.

Keling, (2) bog'liqliklarning haqiqiyligini isbotlaylik. Mayli A- ikki barobar, keyin b Va c- juftlashtirilmagan. Keyin c + b i c − b- juftliklar. Ular sifatida ifodalanishi mumkin c + b = 2u Va c − b = 2v, Qayerda u,v ba'zi bir butun sonlardir. Shunung uchun

a 2 = Bilan 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Va shuning uchun ( a/2) 2 = UV.

Buni qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin u Va v muqobildirlar. Mayli u Va v-ga bo'linadi d. Keyin ( c + b) va ( c − b) ga bo'linadi d. Va shuning uchun c Va b ga bo'linishi kerak d, va bu Pifagor uchligi uchun shartga zid keladi.

Chunki UV = (a/2) 2 va u Va v coprime, buni isbotlash oson u Va v ba'zi raqamlarning kvadratlari bo'lishi kerak.

Shunday qilib, musbat butun sonlar mavjud m Va n, shu kabi u = m 2 va v = n 2. Keyin

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 shunday
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Chunki b> 0, keyin m > n.

Buni ko'rsatish uchun qoladi m Va n turli juftliklarga ega. Agar m Va n- keyin juftlashgan u Va v juft bo'lishi kerak, lekin bu mumkin emas, chunki ular ko'proq. Agar m Va n- juftlashtirilmagan, keyin b = m 2 − n 2 va c = m 2 + n 2 juft bo'lardi, bu mumkin emas, chunki c Va b muqobildir.

Shunday qilib, har qanday ibtidoiy Pifagor uchligi shartlarni qondirishi kerak (2). Shu bilan birga, raqamlar m Va n chaqirdi raqamlarni hosil qilish ibtidoiy uchlik. Masalan, ibtidoiy Pifagor uchligi (120,119,169) bo'lsin. Ushbu holatda

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 - 25, va c = 144+25=169,

Qayerda m = 12, n= 5 - hosil qiluvchi raqamlar, 12 > 5; 12 va 5 o'zaro mos va turli juftliklardir.

Raqamlar ekanligini isbotlash mumkin m, n formulalar (2) ibtidoiy Pifagor uchligini (a,b,c) beradi. Haqiqatan ham,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Ya'ni ( a,b,c) - Pifagor uchligi. Keling, buni isbotlaylik a,b,c qarama-qarshilik bo'yicha o'zaro tub sonlar. Bu raqamlar ga bo'linsin p> 1. Buyon m Va n u holda turli xil juftliklar mavjud b Va c- juftlashtirilmagan, ya'ni p≠ 2. Chunki R ajratadi b Va c, Bu R 2 ga bo'lish kerak m 2 va 2 n 2 , bu mumkin emas, chunki p≠ 2. Shuning uchun m, n o'xshash va a,b,c ham bir-biriga mos keladi.

1-jadvalda (2) formulalar bo'yicha yaratilgan barcha ibtidoiy Pifagor uchliklari ko'rsatilgan m≤10.

Jadval 1. uchun ibtidoiy Pifagor uchliklari m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Ushbu jadvalning tahlili quyidagi naqshlar seriyasining mavjudligini ko'rsatadi:

• yoki a, yoki b 3 ga bo'linadi;
• raqamlardan biri a,b,c 5 ga bo'linadi;
• raqam A 4 ga bo'linadi;
• ish a· b 12 ga bo'linadi.

1971 yilda amerikalik matematiklar Teygan va Xedvin uchlik avlodi uchun bunday kam ma'lum bo'lgan parametrlarni taklif qilishdi. to'g'ri uchburchak, uning balandligi (bo'yi) sifatida h = c− b va ortiqcha (muvaffaqiyat) e = a + b − c. 1-rasmda. bu miqdorlar ma'lum bir to'g'ri burchakli uchburchakda ko'rsatilgan.

Shakl 1. To'g'ri burchakli uchburchak va uning o'sishi va ortiqcha

"Oddiy" nomi, agar siz uning diagonali bo'ylab bormasangiz, bu uchburchakning oyoqlari bo'ylab bir cho'qqidan qarama-qarshi tomonga o'tishi kerak bo'lgan qo'shimcha masofa ekanligidan kelib chiqqan.

Ortiqcha va o'sish orqali Pifagor uchburchagining tomonlarini quyidagicha ifodalash mumkin:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Hamma kombinatsiyalar emas h Va e Pifagor uchburchaklariga mos kelishi mumkin. Berilgan uchun h mumkin bo'lgan qiymatlar e qandaydir sonning hosilasidir d. Bu raqam d o'sish deb ataladi va unga ishora qiladi h quyida bayon qilinganidek: d kvadrati 2 ga bo'linadigan eng kichik musbat sondir h. Chunki e bir nechta d, keyin shunday yoziladi e = kd, Qayerda k musbat butun sondir.

Juftlar yordamida ( k,h) siz barcha Pifagor uchburchaklarini, shu jumladan ibtidoiy bo'lmagan va umumlashtirilgan, quyidagicha yaratishingiz mumkin:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Bundan tashqari, agar uchlik ibtidoiy hisoblanadi k Va h ko'p sonli va agar h =± q 2 da q- juftlashtirilmagan.
Bundan tashqari, agar u aynan Pifagor uchligi bo'ladi k> √2 h/d Va h > 0.

Topmoq k Va h dan ( a,b,c) quyidagilarni bajaring:

• h = c − b;
• yozib qo'ying h Qanaqasiga h = pq 2, qayerda p> 0 va kvadrat emas;
• d = 2pq Agar p- juftlashtirilmagan va d = pq, agar p juftlangan bo'lsa;
• k = (a − h)/d.

Masalan, uchlik uchun (8,15,17) bizda bor h= 17−15 = 2 1, shuning uchun p= 2 va q = 1, d= 2, va k= (8 - 2)/2 = 3. Shunday qilib, bu uchlik ( k,h) = (3,2).

Uchlik uchun (459,1260,1341) bizda bor h= 1341 - 1260 = 81, shuning uchun p = 1, q= 9 va d= 18, shuning uchun k= (459 - 81)/18 = 21, shuning uchun bu uchlikning kodi ( k,h) = (21, 81).

bilan uchlikni belgilash h Va k qator qiziqarli xususiyatlarga ega. Parametr k teng

k = 4S/(dP), (5)

Qayerda S = ab/2 - uchburchakning maydoni, va P = a + b + c uning perimetri hisoblanadi. Bu tenglikdan kelib chiqadi eP = 4S, bu Pifagor teoremasidan kelib chiqadi.

To'g'ri uchburchak uchun e uchburchak ichiga chizilgan aylananing diametriga teng. Bu gipotenuzaning mavjudligidan kelib chiqadi Bilan = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Qayerda r aylana radiusi. Bu yerdan h = c − b = A − 2r Va e = a − h = 2r.

Uchun h> 0 va k > 0, k uchliklarning tartib soni a-b-c ortib borayotgan Pifagor uchburchaklari ketma-ketligida h. 2-jadvaldan, unda juftliklar tomonidan yaratilgan uchliklarning bir nechta variantlari ko'rsatilgan h, k, ortib borishini ko'rish mumkin k uchburchakning tomonlari kattalashadi. Shunday qilib, klassik raqamlashdan farqli o'laroq, juftlik raqamlash h, k uchlik ketma-ketligida yuqoriroq tartibga ega.

Jadval 2. h, k juftliklari tomonidan yaratilgan Pifagor uchliklari.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Uchun h > 0, d 2√ tengsizlikni qanoatlantiradi h ≤ d ≤ 2h, unda pastki chegaraga erishiladi p= 1, va yuqorisi, at q= 1. Shuning uchun qiymat d 2√ ga nisbatan h qanchaligining o‘lchovidir h qaysidir sonning kvadratidan uzoqda.

tarbiyaviy: bir qator Pifagor uchliklarini o'rganish, ularni qo'llash algoritmini ishlab chiqish turli vaziyatlar, ulardan foydalanish haqida eslatma qiling.

Tarbiyaviy: ta'limga ongli munosabatni shakllantirish, kognitiv faollikni rivojlantirish, o'quv ishlari madaniyati.

Tarbiyaviy: geometrik, algebraik va son sezgi, zukkolik, kuzatish, xotirani rivojlantirish.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment

II. Yangi materialni tushuntirish

O'qituvchi: Pifagor uchliklarining jozibali kuchining siri uzoq vaqtdan beri insoniyatni tashvishga solib kelgan. Pifagor uchliklarining o'ziga xos xususiyatlari ularning tabiat, musiqa va matematikadagi alohida rolini tushuntiradi. Pifagor afsuni, Pifagor teoremasi millionlab, balki milliardlab odamlarning miyasida saqlanib qolgan. Bu har bir maktab o'quvchisi yodlashga majbur bo'lgan asosiy teorema. O'n yoshli bolalar uchun tushunarli bo'lsa-da, Pifagor teoremasi matematika tarixidagi eng buyuk aql egalari hal qila olmagan muammoning ilhomlantiruvchi boshlanishidir: Fermat teoremasi. Samos orolidan Pifagor (qarang. 1-ilova , slayd 4) matematikadagi eng ta'sirli, ammo sirli shaxslardan biri edi. Uning hayoti va faoliyati to‘g‘risida ishonchli ma’lumotlar yo‘qligi sababli, uning hayoti afsona va rivoyatlarga o‘ralib qolgan va tarixchilar haqiqatni fantastikadan ajratish qiyin. Biroq, hech qanday shubha yo'qki, Pifagor raqamlar mantig'i g'oyasini ishlab chiqdi va biz matematikaning birinchi oltin asriga qarzdormiz. Uning dahosi tufayli raqamlar endi faqat hisoblash va hisoblash uchun ishlatilmadi va birinchi navbatda qadrlandi. Pifagor raqamlarning ma'lum sinflarining xususiyatlarini, ular orasidagi munosabatlarni va raqamlarni tashkil etuvchi raqamlarni o'rgangan. Pifagor raqamlar moddiy dunyodan mustaqil ravishda mavjudligini va shuning uchun hislarimizning noto'g'riligi raqamlarni o'rganishga ta'sir qilmasligini tushundi. Bu Pifagor hech kimning fikri yoki noto'g'ri qarashlaridan qat'iy nazar haqiqatlarni kashf qilish qobiliyatiga ega bo'lganligini anglatadi. Haqiqatlar avvalgi bilimlarga qaraganda mutlaqroqdir. Pifagor uchliklari haqidagi o'rganilgan adabiyotlarga asoslanib, biz trigonometriya masalalarini hal qilishda Pifagor uchliklaridan foydalanish imkoniyatlari bilan qiziqamiz. Shuning uchun biz o'z oldimizga maqsad qo'yamiz: bir qator Pifagor uchliklarini o'rganish, ularni qo'llash algoritmini ishlab chiqish, ulardan foydalanish bo'yicha eslatma tuzish, ularni turli vaziyatlarda qo'llash bo'yicha tadqiqot o'tkazish.

Uchburchak ( slayd 14), tomonlari Pifagor raqamlariga teng bo'lgan to'rtburchaklardir. Bundan tashqari, har qanday bunday uchburchak Heronian, ya'ni. barcha tomonlari va maydoni butun sonlardan iborat. Ulardan eng oddiyi tomonlari (3, 4, 5) bo'lgan Misr uchburchagidir.

Keling, (3, 4, 5) raqamlarni 2 ga, 3 ga, 4 ga ko'paytirish orqali Pifagor uchlik qatorini yaratamiz. Biz Pifagor uchlik qatorini olamiz, ularni maksimal sonning o'sish tartibida tartiblaymiz, ibtidoiylarni tanlang.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Darslar davomida

1. Keling, vazifalar atrofida aylanaylik:

1) Xuddi shu argumentning trigonometrik funktsiyalari orasidagi munosabatlardan foydalanib, agar ni toping

ma'lumki.

2) Burchakning trigonometrik funksiyalarining qiymatini toping, agar ma'lum bo'lsa:

3) "Qo'shish formulalari" mavzusidagi o'quv vazifalari tizimi

sin = 8/17, cos = 4/5 va birinchi chorakning burchaklari ekanligini bilib, ifodaning qiymatini toping:

va ikkinchi chorakning burchaklari ekanligini bilib, sin = 4/5, cos = - 15/17, toping:.

4) "Ikki burchakli formulalar" mavzusidagi o'quv vazifalari tizimi

a) sin = 5/13, ikkinchi chorakning burchagi bo'lsin. sin2, cos2, tg2, ctg2 ni toping.

b) Ma'lumki, tg? \u003d 3/4, - uchinchi chorakning burchagi. sin2, cos2, tg2, ctg2 ni toping.

c) Ma'lumki, , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Ma'lumki , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 ekanligi ma'lum bo'lsa, tg( + ) toping, bu erda va birinchi chorak burchaklari.

f) toping , - uchinchi chorakning burchagi.

Biz muammoni an'anaviy tarzda asosiy trigonometrik identifikatsiyalar yordamida hal qilamiz va keyin bir xil muammolarni yanada oqilona hal qilamiz. Buning uchun biz Pifagor uchliklari yordamida muammolarni hal qilish algoritmidan foydalanamiz. Biz Pifagor uchliklari yordamida muammolarni hal qilish uchun eslatma tuzamiz. Buning uchun biz sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifini eslaymiz, o'tkir burchak to'g'ri burchakli uchburchak, uni tasvirlang, to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlaridagi muammoning shartlariga qarab, biz Pifagor uchlarini to'g'ri joylashtiramiz ( guruch. 1). Biz nisbatni yozamiz va belgilarni joylashtiramiz. Algoritm ishlab chiqilgan.

1-rasm

Muammoni hal qilish algoritmi

Nazariy materialni takrorlash (o'rganish).

Ibtidoiy Pifagor uchliklarini yoddan biling va agar kerak bo'lsa, yangilarini qura olasiz.

Ratsional koordinatali nuqtalar uchun Pifagor teoremasini qo'llang.

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi ta'rifini bilish, to'g'ri burchakli uchburchak chiza olish va masalaning shartiga ko'ra, uchburchakning yon tomonlarida Pifagor uchliklarini to'g'ri joylashtirish.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilarini joylashishiga qarab bilib oling koordinata tekisligi.

Majburiy talablar:

1. koordinata tekisligining har bir choragida sinus, kosinus, tangens, kotangens qanday belgilarga ega ekanligini bilish;
2. to‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchagining sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi ta’rifini bilish;
3. Pifagor teoremasini bilish va qo‘llay olish;
4. asosiyni bilish trigonometrik identifikatsiyalar, qo‘shish formulalari, ikki burchakli formulalar, yarim argument formulalari;
5. kamaytirish formulalarini bilish.

Yuqoridagilarga asoslanib, jadvalni to'ldiring ( 1-jadval). U sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifiga binoan yoki ratsional koordinatali nuqtalar uchun Pifagor teoremasidan foydalangan holda to'ldirilishi kerak. Bunda sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilarini koordinata tekisligida joylashishiga qarab doimo eslab turish zarur.

1-jadval

		Raqamlar uchligi		gunoh	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	Men soat
		(6, 8, 10)	II soat			-	-
		(5, 12, 13)	3-soat	-	-
		(8, 15, 17)	IV soat	-		-	-
		(9, 40, 41)	Men soat

Muvaffaqiyatli ishlash uchun siz Pifagor uchliklarini ishlatish haqidagi eslatmadan foydalanishingiz mumkin.

jadval 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Biz birgalikda qaror qilamiz.

1) Vazifa: cos, tg va ctg ni toping, agar sin = 5/13 bo'lsa, agar - ikkinchi chorakning burchagi.

Pifagor raqamlari uchligi

Ijodiy ish

talaba 8 “A” sinf

MAOU "1-sonli gimnaziya"

Saratovning Oktyabr tumani

Panfilova Vladimir

Ilmiy rahbar - oliy toifali matematika o'qituvchisi

Grishina Irina Vladimirovna

Tarkib

Kirish……………………………………………………………………………………3

Ishning nazariy qismi

Asosiy Pifagor uchburchagini topish

(qadimgi hindlarning formulalari)…………………………………………………………………4

Ishning amaliy qismi

Pifagor uchliklarini turli yo‘llar bilan tuzish…………………………………………………… 6

Pifagor uchburchagining muhim xususiyati……………………………………8

Xulosa………………………………………………………………………………….9

Adabiyot…………………………………………………………………………………10

Kirish

Unda o'quv yili matematika darslarida biz geometriyaning eng mashhur teoremalaridan biri - Pifagor teoremasini o'rgandik. Pifagor teoremasi geometriyada har qadamda qo'llaniladi, u amaliyotda va kundalik hayotda keng qo'llanilishini topdi. Ammo, teoremaning o'zidan tashqari, biz Pifagor teoremasiga teskari teoremani ham o'rgandik. Ushbu teoremani o'rganish bilan bog'liq holda biz Pifagor uchlik sonlari bilan tanishdik, ya'ni. 3 ta to'plam bilan natural sonlar a , b Vac , ular uchun munosabat amal qiladi: = + . Bunday to'plamlarga, masalan, quyidagi uchlik kiradi:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Menda darhol savollar paydo bo'ldi: siz qancha Pifagor uchligini o'ylab topishingiz mumkin? Va ularni qanday tuzish kerak?

Geometriya darsligimizda Pifagor teoremasiga qarama-qarshi teoremani taqdim etgandan so'ng, muhim bir fikr bildirildi: oyoqlarning oyoqlari ekanligini isbotlash mumkin.A Vab va gipotenuzaBilan Tomonlarining uzunliklari natural sonlarda ifodalangan to‘g‘ri burchakli uchburchaklarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

A = 2km b = k( - )c = k( + , (1)

Qayerdak , m , n har qanday natural sonlar vam > n .

Tabiiyki, savol tug'iladi - bu formulalarni qanday isbotlash mumkin? Va faqat shu formulalar orqali Pifagor uchliklarini hosil qilish mumkinmi?

Men o'z ishimda miyamda paydo bo'lgan savollarga javob berishga harakat qildim.

Ishning nazariy qismi

Asosiy Pifagor uchburchagini topish (qadimgi hindlarning formulalari)

Avval formulalarni (1) isbotlaymiz:

Oyoqlarning uzunligini orqali belgilaymizX Vada , va orqali gipotenuza uzunligiz . Pifagor teoremasi bo'yicha biz tenglikka egamiz:+ = .(2)

Bu tenglama Pifagor tenglamasi deb ataladi. Pifagor uchburchagini o'rganish (2) tenglamani natural sonlarda echishga qisqartiriladi.

Agar Pifagor uchburchagining har bir tomoni bir xil songa ko'paytirilsa, biz tomonlari natural sonlarda ifodalangan berilganga o'xshash yangi to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz, ya'ni. yana Pifagor uchburchagi.

Barcha o'xshash uchburchaklar orasida eng kichigi bor, bu uchburchak bo'lishini taxmin qilish oson.X Vada umumiy sonlarda ifodalanadi

(gcd (x,y )=1).

Biz bunday Pifagor uchburchagini chaqiramizasosiy .

Asosiy Pifagor uchburchaklarini topish.

Uchburchak bo'lsin (x , y , z ) - asosiy Pifagor uchburchagi. RaqamlarX Vada koʻp sonli boʻladi, shuning uchun ikkalasi ham juft boʻla olmaydi. Keling, ularning ikkalasi ham g'alati bo'lishi mumkin emasligini isbotlaylik. Buning uchun shuni ta'kidlaymizToq sonning kvadrati 8 ga bo'linganda 1 qoldiqni beradi. Darhaqiqat, har qanday toq natural son sifatida ifodalanishi mumkin2 k -1 , Qayerdak tegishliN .

Bu yerdan: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Raqamlar( k -1) Vak ketma-ket bo'lsa, ulardan biri juft bo'lishi kerak. Keyin ifodak ( k -1) tomonidan bo'linadi2 , 4 k ( k -1) 8 ga bo'linadi, ya'ni 8 ga bo'linganda, qolgan 1 bo'ladi.

Ikki toq sonning kvadratlari yig'indisi 8 ga bo'linganda 2 ning qoldig'ini beradi, shuning uchun ikkita toq sonning kvadratlari yig'indisi juft sondir, lekin 4 ga karrali emas, shuning uchun bu raqamnatural sonning kvadrati bo‘la olmaydi.

Demak, agar (2) tenglik bajarilmaydix Vada ikkalasi ham g'alati.

Shunday qilib, agar Pifagor uchburchagi (x, y, z ) - asosiysi, keyin raqamlar orasidaX Vada biri juft, ikkinchisi toq bo'lishi kerak. y soni juft bo'lsin. RaqamlarX Vaz g'alati (g'alatiz tenglikdan kelib chiqadi (2)).

Tenglamadan+ = buni tushunamiz= ( z + x )( z - x ) (3).

Raqamlarz + x Vaz - x chunki ikkita toq sonning yig'indisi va ayirmasi juft sonlardir va shuning uchun (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , QayerdaA Vab tegishliN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Bu tengliklardan shunday xulosa kelib chiqadia Vab nisbatan tub sonlardir.

Biz buni teskarisini isbotlash orqali isbotlaymiz.

GCD (a , b )= d , Qayerdad >1 .

Keyind z Vax , va shuning uchun raqamlarz + x Vaz - x . Keyin, tenglik asosida (3) bo'luvchi bo'lar edi . Unday bo `lsad bo'lardi umumiy bo'luvchi raqamlarda VaX , lekin raqamlarda VaX ko'p bo'lishi kerak.

Raqamda tengligi ma'lum, shuning uchuny = 2s , QayerdaBilan - natural son. Tenglikka asoslangan (3) tenglik (4) quyidagi shaklni oladi: =2a*2 b , yoki =ab.

Arifmetikadan ma'lumkiagar ikkita tub sonning koʻpaytmasi natural sonning kvadrati boʻlsa, bu sonlarning har biri ham natural sonning kvadrati boʻladi.

Ma'nosi,a = Vab = , Qayerdam Van o'zaro tub sonlar, chunki ular tub sonlarning bo'luvchilariA Vab .

Tenglik (5) asosida bizda:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Keyiny = 2 mn .

Raqamlarm Van , chunki bir xil bo‘ladi, bir vaqtning o‘zida ham bo‘la olmaydi. Lekin ular bir vaqtning o'zida g'alati bo'lishi mumkin emas, chunki Ushbu holatdax = - teng bo'lar edi, bu mumkin emas. Shunday qilib, raqamlardan birim yokin juft, ikkinchisi toq. Shubhasiz,y = 2 mn 4 ga bo'linadi. Shunday qilib, har bir asosiy Pifagor uchburchagida, kamida bitta oyoq 4 ga bo'linadi. Bundan kelib chiqadiki, Pifagor uchburchagi yo'q, ularning barcha tomonlari tub sonlar bo'ladi.

Olingan natijalarni quyidagi teorema shaklida ifodalash mumkin:

Barcha asosiy uchburchaklarda juft son bo'lib, formuladan olinadi

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), Qayerdam Van - biri juft, ikkinchisi toq bo'lgan barcha juft juft sonlar (qaysi biri muhim emas). Har bir asosiy Pifagor uchligi (x, y, z ), Qayerdada – hatto, shu tarzda noyob tarzda aniqlanadi.

Raqamlarm Van ikkalasi ham juft yoki ikkalasi ham toq bo‘lishi mumkin emas, chunki bu holatlarda

x = teng bo'lar edi, bu mumkin emas. Shunday qilib, raqamlardan birim yokin juft va boshqa toqy = 2 mn 4 ga bo'linadi).

Ishning amaliy qismi

Pifagor uchliklarini turli yo'llar bilan yaratish

Hindu formulalaridam Van - koprim, lekin ixtiyoriy paritet raqamlari bo'lishi mumkin va ulardan foydalanib Pifagor uchliklarini hosil qilish juda qiyin. Shuning uchun, keling, Pifagor uchliklarini tuzishda boshqacha yondashuvni topishga harakat qilaylik.

= - = ( z - y )( z + y ), QayerdaX - g'alati,y - hatto,z - g'alati

v = z - y , u = z + y

= UV , Qayerdau - g'alati,v - g'alati (ko'plik)

Chunki ikkita toq tub sonning ko'paytmasi natural sonning kvadratiga teng bo'ladiu = , v = , Qayerdak Val koʻp sonli, toq sonlardir.

z - y = z + y = k 2 , buning uchun tengliklarni qo'shish va bir-biridan ayirish natijasida biz quyidagilarga erishamiz:

2 z = + 2 y = - ya'ni

z= y= x = cl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (snollar)*(100…0 (snollar) +1)+1 =200…0 (s-1nollar) 200…0 (s-1nollar) 1

Pifagor uchburchagining muhim xususiyati

Teorema

Asosiy Pifagor uchburchagida oyoqlardan biri 4 ga bo'linishi kerak, oyoqlardan biri 3 ga bo'linishi kerak va Pifagor uchburchagining maydoni 6 ga ko'paytirilishi kerak.

Isbot

Ma'lumki, har qanday Pifagor uchburchagida kamida bitta oyoq 4 ga bo'linadi.

Oyoqlardan biri ham 3 ga boʻlinishini isbotlaylik.

Buni isbotlash uchun Pifagor uchburchagida (x , y , z x yokiy 3 ga karra.

Endi biz Pifagor uchburchagining maydoni 6 ga bo'linishini isbotlaymiz.

Har qanday Pifagor uchburchagi 6 ning tabiiy karrali sifatida ifodalangan maydonga ega. Bu kamida bitta oyoq 3 ga bo'linishi va kamida bittasi 4 ga bo'linishidan kelib chiqadi. Uchburchakning maydoni, oyoqlarning yarim mahsuloti bilan aniqlanadi, 6 ning ko'paytmasi bilan ifodalanishi kerak.

Xulosa

Ishda

- qadimgi hindlarning tasdiqlangan formulalari

- Pifagor uchliklari soni bo'yicha tadqiqot o'tkazdi (ularning cheksiz ko'pi bor)

- Pifagor uchliklarini topish usullari ko'rsatilgan

- Pifagor uchburchagining ba'zi xossalarini o'rgangan

Men uchun bu juda edi qiziqarli mavzu va savollarimga javob topish juda qiziqarli faoliyatga aylandi. Kelajakda men Pifagor uchburchagining Fibonachchi ketma-ketligi va Ferma teoremasi bilan bog'lanishini ko'rib chiqishni va Pifagor uchburchaklarining yana ko'p xususiyatlarini o'rganishni rejalashtirmoqdaman.

Adabiyot

L.S. Atanasyan "Geometriya. 7-9 sinflar" M .: Ta'lim, 2012 yil.

V. Serpinskiy “Pifagor uchburchaklari” M.: Uchpedgiz, 1959 yil.

Saratov

2014

Natural sonlarning xossalarini o'rganish Pifagorchilarni nazariy arifmetikaning yana bir "abadiy" muammosiga (sonlar nazariyasi) - mikroblari Pifagordan ancha oldin paydo bo'lgan muammoga olib keldi. Qadimgi Misr va Qadimgi Bobil va umumiy yechim bugungi kungacha topilmagan. Keling, zamonaviy tilda quyidagicha ifodalanishi mumkin bo'lgan muammodan boshlaylik: natural sonlardagi noaniq tenglamani yechish.

Bugungi kunda bu vazifa deyiladi Pifagor muammosi, va uning yechimlari - (1.2.1) tenglamani qanoatlantiruvchi natural sonlarning uch karralari deyiladi. Pifagor uchliklari. Pifagor teoremasining Pifagor muammosi bilan aniq bog'liqligi tufayli, ikkinchisiga geometrik formula berilishi mumkin: butun oyoqli barcha to'g'ri uchburchaklarni toping. x, y va butun son gipotenuzasi z.

Pifagor muammosining alohida echimlari qadimgi davrlarda ma'lum bo'lgan. Berlindagi Misr muzeyida saqlangan Fir'avn Amenemhet I davridan (miloddan avvalgi 2000 yil) papirusda biz tomonlar nisbati () bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni topamiz. Eng yirik nemis matematika tarixchisi M. Kantor (1829 - 1920) ma'lumotlariga ko'ra, qadimgi Misrda maxsus kasb mavjud bo'lgan. harpedonaptlar- ibodatxonalar va piramidalarni yotqizishning tantanali marosimida bir xil masofada joylashgan 12 (= 3 + 4 + 5) tugunlari bo'lgan arqon bilan to'g'ri burchaklarni belgilagan "arqon tortuvchilar". Qurilish usuli to'g'ri burchak harpedonapt 36-rasmda ko'rinadi.

Aytish kerakki, qadimgi matematikaning yana bir biluvchisi van der Vaerden Kantor bilan mutlaqo rozi emas, garchi qadimgi Misr me'morchiligining nisbati Kantor foydasiga guvohlik bersa ham. Qanday bo'lmasin, bugungi kunda tomonlar nisbati bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi misrlik.

pda ta'kidlanganidek. 76, qadimgi Bobil davriga oid va 15 qatorli Pifagor uchliklarini o'z ichiga olgan loy lavha saqlanib qolgan. Misrdan (3, 4, 5) 15 ga (45, 60, 75) ko'paytirish orqali olingan arzimas uchlikdan tashqari, (3367, 3456, 4825) va hatto (12709) kabi juda murakkab Pifagor uchliklari ham mavjud. , 13500, 18541)! Hech shubha yo'qki, bu raqamlar oddiy sanab o'tish yo'li bilan emas, balki qandaydir yagona qoidalar bilan topilgan.

Shunga qaramay, (1.2.1) tenglamani natural sonlarda umumiy yechish masalasi faqat pifagorchilar tomonidan ko'tarilgan va yechilgan. Nima bo'lishidan qat'iy nazar umumiy sozlash matematik muammo qadimgi misrliklarga ham, qadimgi bobilliklarga ham begona edi. Faqat Pifagor bilan matematikaning deduktiv fan sifatida shakllanishi boshlanadi va bu yo'lda birinchi qadamlardan biri Pifagor uchliklari masalasini hal qilish edi. Qadimgi an'ana (1.2.1) tenglamaning birinchi yechimlarini Pifagor va Platon nomlari bilan bog'laydi. Keling, ushbu echimlarni qayta qurishga harakat qilaylik.

Ko'rinib turibdiki, Pifagor (1.2.1) tenglamani analitik shaklda emas, balki kvadrat son ko'rinishida o'ylagan, uning ichida kvadrat raqamlarini va ni topish kerak edi. Raqamni yon tomoni bilan kvadrat shaklida ifodalash tabiiy edi y bir tomoni kamroq z asl kvadrat, ya'ni. Keyin, 37-rasmdan (shunchaki qarang!) ko'rish oson bo'lganidek, qolgan kvadrat soni uchun tenglik bajarilishi kerak. Shunday qilib, biz tizimga keldik chiziqli tenglamalar

Ushbu tenglamalarni qo'shish va ayirish orqali (1.2.1) tenglamaning yechimini topamiz:

Olingan yechim faqat toq uchun natural sonlarni berishini ko'rish oson. Shunday qilib, biz nihoyat bor

Va hokazo.. An'ana bu qarorni Pifagor nomi bilan bog'laydi.

E'tibor bering, (1.2.2) tizimni (1.2.1) tenglamadan ham rasmiy ravishda olish mumkin. Haqiqatdan ham,

qaerdan, deb faraz qilsak, (1.2.2) ga yetamiz.

Ko'rinib turibdiki, Pifagor eritmasi juda qattiq cheklov ostida topilgan () va barcha Pifagor uchliklaridan uzoqda. Keyingi qadam qo'yish , keyin , chunki faqat bu holda kvadrat raqam bo'ladi. Shunday qilib, tizim paydo bo'ladi, shuningdek, Pifagor uchligi bo'ladi. Endi asosiy

Teorema. Agar p Va q har xil paritetli koʻp tub sonlar, keyin barcha ibtidoiy Pifagor uchliklari formulalar boʻyicha topiladi.

Xususiyatlari

Tenglamadan beri x 2 + y 2 = z 2 bir hil, ko'paytirilganda x , y Va z xuddi shu raqam uchun siz boshqa Pifagor uchligini olasiz. Pifagor uchligi deyiladi ibtidoiy, agar uni shu tarzda olish mumkin bo'lmasa, ya'ni - nisbatan tub sonlar.

Misollar

Ba'zi Pifagor uchliklari (maksimal sonning o'sish tartibida tartiblangan, ibtidoiylar ajratilgan):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Hikoya

Pifagor uchliklari juda uzoq vaqtdan beri ma'lum. Qadimgi Mesopotamiya qabr toshlari me'morchiligida tomonlari 9, 12 va 15 tirsak bo'lgan ikkita to'rtburchakdan iborat bo'lgan teng yonli uchburchak topilgan. Fir'avn Snefru (miloddan avvalgi XXI asr) piramidalari tomonlari 20, 21 va 29, shuningdek, 18, 24 va 30 o'nlab Misr tirsakli uchburchaklar yordamida qurilgan.

Amaliy va sanoat matematikasi bo'yicha X Butunrossiya simpoziumi. Sankt-Peterburg, 2009 yil 19 may

Hisobot: Diofant tenglamalarini yechish algoritmi.

Maqolada diofant tenglamalarini o'rganish usuli ko'rib chiqiladi va ushbu usul bilan yechilgan echimlar keltirilgan: - katta teorema Fermer xo'jaligi; - Pifagor uchliklarini qidirish va hokazo. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Havolalar

• E. A. Gorin Pifagor uchliklarida tub sonlarning darajalari // Matematik ta'lim. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Pifagor uchliklari" nima ekanligini ko'ring:

Matematikada Pifagor raqamlari (Pifagor uchligi) ning kortelidir. uchta butun Pifagor munosabatini qanoatlantiruvchi sonlar: x2 + y2 = z2. Mundarija 1 Xususiyatlar ... Vikipediya

Natural sonlarning uchliklari shundayki, tomonlari uzunliklari shu sonlarga proportsional (yoki teng) boʻlgan uchburchak toʻgʻri burchakli boʻladi, masalan. raqamlarning uchligi: 3, 4, 5… Katta ensiklopedik lug'at

Natural sonlarning uchlari shundayki, tomonlari uzunliklari shu sonlarga proportsional (yoki teng) boʻlgan uchburchak toʻgʻri burchakli uchburchak boʻladi. Teoremaga ko'ra, Pifagor teoremasining teskarisi (qarang Pifagor teoremasi), buning uchun ular ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

x2+y 2=z2 tenglamani qanoatlantiruvchi x, y, z musbat sonlarning uchliklari. Bu tenglamaning barcha yechimlari, demak, barcha P. p.lar x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 formulalari bilan ifodalanadi, bunda a, b ixtiyoriy musbat sonlar (a>b). P. h ... Matematik entsiklopediya

Tabiiy sonlarning uchlari shundayki, tomonlari uzunligi shu sonlarga proportsional (yoki teng) bo'lgan uchburchak, masalan, to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. raqamlarning uchligi: 3, 4, 5… Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Natural sonlarning uch karrasi shundayki, tomonlari uzunliklari shu sonlarga proportsional (yoki teng) boʻlgan uchburchak toʻrtburchaklar shaklida boʻladi, masalan, sonlarning uchligi: 3, 4, 5. * * * PİFAGOR SONLARI PİFAGOR SONLARI, natural sonlarning uch karrasi. bu ...... ensiklopedik lug'at

Matematikada Pifagor uchligi Pifagor munosabatini qanoatlantiradigan uchta natural sondan iborat kortejdir: Bu holda Pifagor uchligini hosil qiluvchi sonlar Pifagor raqamlari deyiladi. Mundarija 1 ibtidoiy uchlik ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 ... Vikipediya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Mundarija 1 Bayonotlar 2 Dalillar ... Vikipediya

Bu P butun son funksiyasi (masalan, butun sonli koeffitsientli polinom) va o'zgaruvchilar butun son qiymatlarini qabul qiladigan shakldagi tenglamadir. Qadimgi yunon matematigi Diofant sharafiga nomlangan. Mundarija 1 Misollar ... Vikipediya