Bu davriy tebranish bo'lib, unda harakatni tavsiflovchi koordinata, tezlik, tezlanish sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq o'zgaradi. Garmonik tebranish tenglamasi tana koordinatasining vaqtga bog'liqligini o'rnatadi

Kosinus grafigi dastlabki momentda maksimal qiymatga ega, sinus grafigi esa dastlabki momentda nol qiymatga ega. Agar biz muvozanat holatidan tebranishlarni tekshirishni boshlasak, u holda tebranish sinusoidni takrorlaydi. Agar biz tebranishni maksimal og'ish pozitsiyasidan ko'rib chiqa boshlasak, u holda tebranish kosinusni tavsiflaydi. Yoki bunday tebranish boshlang'ich faza bilan sinus formulasi bilan tasvirlanishi mumkin.

Matematik mayatnik

tebranishlar matematik mayatnik.
Matematik mayatnik vaznsiz cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqta (fizik model).
Mayatnikning harakatini egilish burchagi kichik bo'lishi sharti bilan ko'rib chiqamiz, agar burchakni radianlarda o'lchasak, gap to'g'ri bo'ladi: .
Og'irlik kuchi va ipning tarangligi tanaga ta'sir qiladi. Ushbu kuchlarning natijasi ikkita komponentga ega: kattalikdagi tezlanishni o'zgartiradigan tangensial va tezlanishni yo'nalishi bo'yicha o'zgartiruvchi normal (markazga yo'naltirilgan tezlanish, tana yoy bo'ylab harakatlanadi).
Chunki burchak kichik bo'lsa, u holda tangensial komponent og'irlikning traektoriyaning tangensiga proyeksiyasiga teng bo'ladi: . Radianlarda burchak nisbatiga teng yoy uzunligi radiusga (ip uzunligi) va yoy uzunligi taxminan ofsetga teng ( x ≈ s): .
Olingan tenglamani tenglama bilan solishtiring tebranish harakati. Bu aniq yoki - tsiklik matematik mayatnikning tebranishlari paytidagi chastota.
Tebranish davri yoki (Galiley formulasi).	Galiley formulasi
Eng muhim xulosa: matematik mayatnikning tebranish davri tananing massasiga bog'liq emas!
Shunga o'xshash hisob-kitoblarni energiya saqlanish qonuni yordamida amalga oshirish mumkin. Jismning tortishish maydonidagi potentsial energiyasi ga, umumiy mexanik energiya esa maksimal potensial yoki kinetikga teng ekanligini hisobga olamiz:
Energiyaning saqlanish qonunini yozamiz va tenglamaning chap va o'ng qismlarining hosilasini olamiz: . Chunki doimiy qiymatning hosilasi nolga teng, u holda . Yig'indining hosilasi hosilalari yig'indisiga teng: va.
Shuning uchun: , bu degani.

Ideal gaz holati tenglamasi (Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi).
Holat tenglamasi - bu fizik tizimning parametrlarini bog'laydigan va uning holatini yagona aniqlaydigan tenglama. 1834 yilda frantsuz fizigi B. Klapeyron, Sankt-Peterburgda uzoq vaqt ishlagan, doimiy gaz massasi uchun ideal gaz uchun holat tenglamasini chiqardi. 1874 yilda D.I.Mendeleyev molekulalarning ixtiyoriy soni uchun tenglama olingan.
MKT va ideal gaz termodinamikasida makroskopik parametrlar: p, V, T, m. Biz buni bilamiz . Demak,. Sharti bilan; inobatga olgan holda , biz olamiz:.
Doimiy qiymatlar mahsuloti doimiy qiymatdir, shuning uchun: - universal gaz konstantasi (universal, chunki u hamma gazlar uchun bir xil).
Shunday qilib, bizda: Holat tenglamasi (Mendeleyev-Klapeyron tenglamasi).
Ideal gazning holat tenglamasini yozishning boshqa shakllari.
1. 1 mol modda uchun tenglama. Agar n \u003d 1 mol bo'lsa, u holda bir mol V m hajmini belgilab, biz olamiz:. Uchun normal sharoitlar olamiz:
2. Tenglamani zichlik bo‘yicha yozing: - Zichlik harorat va bosimga bog‘liq!
3. Klapeyron tenglamasi. Ko'pincha gazning holati uning doimiy miqdori (m=const) bilan o'zgarganda va yo'q bo'lganda vaziyatni tekshirish kerak. kimyoviy reaksiyalar(M=const). Demak, moddaning miqdori n=const. Keyin:
Bu yozuv shuni anglatadi berilgan gazning ma'lum bir massasi uchun tenglik to'g'ri:
Ideal gazning doimiy massasi uchun bosim va hajm mahsulotining nisbati mutlaq harorat bu holatda doimiy qiymat mavjud: .
gaz qonunlari.
1. Avogadro qonuni. Bir xil tashqi sharoitda teng hajmdagi turli gazlar bir xil miqdordagi molekulalarni (atomlarni) o'z ichiga oladi. Shart: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Isbot: Shuning uchun bir xil sharoitda (bosim, hajm, harorat) molekulalar soni gazning tabiatiga bog'liq emas va bir xil bo'ladi.
2. Dalton qonuni. Gazlar aralashmasining bosimi har bir gazning qisman (xususiy) bosimlari yig'indisiga teng. Isbotlang: p=p 1 +p 2 +…+p n Isbot:
3. Paskal qonuni. Suyuqlik yoki gazda hosil bo'lgan bosim o'zgarishsiz barcha yo'nalishlarda uzatiladi.

Ideal gaz uchun holat tenglamasi. gaz qonunlari.

Erkinlik darajalari soni: bu tizimning fazodagi o'rnini to'liq aniqlaydigan mustaqil o'zgaruvchilar (koordinatalar) soni. Ayrim masalalarda bir atomli gaz molekulasi (1-rasm, a) moddiy nuqta sifatida qaraladi, unga uch darajali translatsiya harakati erkinligi beriladi. Bu aylanish harakatining energiyasini hisobga olmaydi. Mexanikada ikki atomli gaz molekulasi, birinchi taxminda, ikki atomning birikmasi deb hisoblanadi. moddiy nuqtalar, ular deformatsiyalanmaydigan bog'lanish bilan qattiq bog'langan (1-rasm, b). Ushbu tizim uch darajali translatsiya harakati erkinligiga qo'shimcha ravishda, aylanish harakati erkinligining yana ikki darajasiga ega. Ikkala atomdan o'tadigan uchinchi o'q atrofida aylanish ma'nosizdir. Bu ikki atomli gazning beshta erkinlik darajasiga ega ekanligini anglatadi ( i= 5). Triatomik (1-rasm, c) va ko'p atomli chiziqli bo'lmagan molekula oltita erkinlik darajasiga ega: uchta tarjima va uchta aylanish. Atomlar o'rtasida qattiq bog'lanish yo'q deb taxmin qilish tabiiy. Shuning uchun haqiqiy molekulalar uchun tebranish harakatining erkinlik darajalarini ham hisobga olish kerak.

Berilgan molekula erkinlik darajasining istalgan soni uchun uchta erkinlik darajasi har doim translyatsion bo'ladi. Tarjima erkinlik darajalarining hech biri boshqalardan ustunlikka ega emas, ya'ni ularning har biri o'rtacha qiymatning 1/3 qismiga teng energiyaga ega.<ε 0 >(molekulalarning translatsion harakatining energiyasi): Statistik fizikada, Molekulalarning erkinlik darajalari bo'yicha energiyaning bir xil taqsimlanishi to'g'risidagi Boltsman qonuni: termodinamik muvozanat holatida bo'lgan statistik tizim uchun har bir translatsiya va aylanish erkinlik darajasi kT / 2 ga teng o'rtacha kinetik energiyaga ega va har bir tebranish erkinlik darajasi kT ga teng o'rtacha energiyaga ega. Tebranish darajasi ikki barobar ko'p energiyaga ega, chunki u kinetik energiyani (tarjima va aylanish harakatlarida bo'lgani kabi) va potentsial energiyani ham hisobga oladi va potentsial va kinetik energiyaning o'rtacha qiymatlari bir xil. Shunday qilib, molekulaning o'rtacha energiyasi Qayerda i- molekulaning tebranish erkinlik darajalari sonidan ikki baravar ko'p bo'lgan translatsiya sonining yig'indisi, aylanish soni: i=i post + i aylanish +2 i tebranishlar Klassik nazariyada molekulalar atomlar orasidagi qattiq bog'langan holda ko'rib chiqiladi; ular uchun i molekulaning erkinlik darajalari soniga to'g'ri keladi. Ideal gazda molekulalarning o'zaro ta'sirining o'zaro potentsial energiyasi nolga teng bo'lganligi sababli (molekulalar bir-biri bilan o'zaro ta'sir qilmaydi), u holda bir mol gaz uchun ichki energiya molekulalarning N A kinetik energiyalari yig'indisiga teng bo'ladi: (1) ixtiyoriy massasi m gaz uchun ichki energiya. qaerda M - molyar massa, ν - moddaning miqdori.

Maksimal tezlik va tezlashtirish qiymatlari

v (t) va a (t) bog'liqlik tenglamalarini tahlil qilgandan so'ng, trigonometrik omil 1 yoki -1 ga teng bo'lganda tezlik va tezlanishning maksimal qiymatlari olinishini taxmin qilish mumkin. Formula bilan aniqlanadi

v (t) va a (t) bog'liqliklarini qanday olish mumkin

7. Erkin tebranishlar. Tebranish harakatining tezligi, tezlanishi va energiyasi. Vibratsiyani qo'shish

Erkin tebranishlar(yoki tabiiy tebranishlar) tebranish tizimining tebranishlari bo'lib, ular tashqi ta'sirlar bo'lmaganda faqat dastlabki xabar qilingan energiya (potentsial yoki kinetik) tufayli amalga oshiriladi.

Potensial yoki kinetik energiya, masalan, mexanik tizimlarda dastlabki siljish yoki boshlang'ich tezlik orqali uzatilishi mumkin.

Erkin tebranish jismlari har doim boshqa jismlar bilan o'zaro ta'sir qiladi va ular bilan birgalikda jismlar tizimini tashkil qiladi tebranish tizimi.

Masalan, buloq, to'p va bahorning yuqori uchi biriktirilgan vertikal ustun (quyidagi rasmga qarang) tebranish tizimiga kiradi. Bu erda to'p ip bo'ylab erkin siljiydi (ishqalanish kuchlari ahamiyatsiz). Agar siz to'pni o'ngga olib, uni o'ziga qo'ysangiz, u muvozanat holati (nuqta) atrofida erkin tebranadi. HAQIDA) bahorning muvozanat holatiga yo'naltirilgan elastik kuchining ta'siri tufayli.

Mexanik tebranish tizimining yana bir klassik misoli matematik mayatnikdir (quyidagi rasmga qarang). Bunday holda, to'p ikkita kuch ta'sirida erkin tebranishlarni amalga oshiradi: tortishish va ipning elastik kuchi (Yer ham tebranish tizimiga kiradi). Ularning natijasi muvozanat holatiga yo'naltiriladi.

Tebranish sistemasi jismlari o'rtasida ta'sir qiluvchi kuchlar deyiladi ichki kuchlar. Tashqi kuchlar sistemaga kirmagan jismlardan ta'sir etuvchi kuchlar deyiladi. Shu nuqtai nazardan, erkin tebranishlarni tizim muvozanatdan chiqarilgandan keyin ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'ladigan tebranishlar deb ta'riflash mumkin.

Erkin tebranishlarning paydo bo'lishi uchun shartlar:

1) ularda tizimni bu holatdan chiqarilgandan so'ng uni barqaror muvozanat holatiga qaytaradigan kuchning paydo bo'lishi;

2) tizimda ishqalanishning yo'qligi.

Erkin tebranishlar dinamikasi.

Elastik kuchlar ta'sirida jismning tebranishlari. Elastik kuch ta'sirida jismning tebranish harakati tenglamasi F(rasmga qarang) Nyutonning ikkinchi qonunini hisobga olgan holda olinishi mumkin ( F = ma) va Guk qonuni ( F nazorati= -kx), Qayerda m to'pning massasi va elastik kuch ta'sirida to'p tomonidan olingan tezlanish; k- bahorning qattiqlik koeffitsienti, X- tananing muvozanat holatidan siljishi (har ikkala tenglama ham gorizontal o'qga proyeksiyada yoziladi. Oh). Bu tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtirish va tezlanishni hisobga olish A koordinataning ikkinchi hosilasidir X(ofsets), biz olamiz:

.

Bu differensial tenglama elastik kuch ta'sirida tebranayotgan jismning harakati: koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi (tananing tezlashishi) uning koordinatasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan olinadi.

Matematik mayatnikning tebranishlari. Matematik mayatnik (rasm) tebranish tenglamasini olish uchun tortishish kuchini kengaytirish kerak. F T= mg normal holatga F n(ip bo'ylab yo'naltirilgan) va tangensial F t(to'pning traektoriyasiga teginish - doira) komponentlar. Gravitatsiyaning oddiy komponenti F n va ipning elastik kuchi Fynp jami ular mayatnikga markazlashtirilgan tezlanishni beradi, bu tezlikning kattaligiga ta'sir qilmaydi, faqat uning yo'nalishini va tangensial komponentini o'zgartiradi. F t to'pni muvozanat holatiga qaytaruvchi va uning tebranishiga sabab bo'ladigan kuchdir. Oldingi holatda bo'lgani kabi, tangensial tezlanish uchun Nyuton qonunidan foydalanish ma t = F t va shuni hisobga olgan holda F t= -mg sina, biz olamiz:

a t= -g sina,

Minus belgisi kuch va muvozanat holatidan og'ish burchagi tufayli paydo bo'ldi α qarama-qarshi belgilarga ega. Kichik burilish burchaklari uchun sina ≈ a. O'z navbatida, a = s/l, Qayerda s- yoy O.A, I- ip uzunligi. Sharti bilan; inobatga olgan holda va t= s", biz nihoyat olamiz:

Tenglamaning shakli tenglamaga o'xshaydi . Faqat bu erda tizimning parametrlari ipning uzunligi va erkin tushishning tezlashishi, buloqning qattiqligi va to'pning massasi emas; koordinataning rolini yoy uzunligi (ya'ni, birinchi holatda bo'lgani kabi bosib o'tgan yo'l) o'ynaydi.

Shunday qilib, erkin tebranishlar qanday bo'lishidan qat'i nazar, bir xil turdagi (bir xil qonunlarga bo'ysunuvchi) tenglamalar bilan tavsiflanadi. jismoniy tabiat bu tebranishlarni keltirib chiqaradigan kuchlar.

Tenglamalarni yechish va shaklning funksiyasi:

x = xmcos ō 0t(yoki x = xmgunoh ō 0t).

Ya'ni, erkin tebranishlarni amalga oshiradigan jismning koordinatasi vaqt o'tishi bilan kosinus yoki sinus qonuniga muvofiq o'zgaradi va shuning uchun bu tebranishlar garmonikdir:

Tenglamada x = xmcos ō 0t(yoki x = xmgunoh ō 0t), x m- tebranish amplitudasi, ω 0 - o'z siklik (aylana) tebranish chastotasi.

Siklik chastotasi va erkin garmonik tebranishlar davri tizimning xususiyatlari bilan belgilanadi. Demak, prujinaga biriktirilgan jismning tebranishlari uchun quyidagi munosabatlar to'g'ri bo'ladi:

.

Tabiiy chastota qanchalik katta bo'lsa, bahorning qattiqligi qanchalik katta bo'lsa yoki yukning kamroq massasi tajriba bilan to'liq tasdiqlangan.

Matematik mayatnik uchun quyidagi tengliklar amal qiladi:

.

Bu formula birinchi marta gollandlar tomonidan olingan va sinovdan o'tkazilgan olim Gyuygens(Nyutonning zamondoshi).

Tebranish davri mayatnik uzunligi bilan ortadi va uning massasiga bog'liq emas.

Shuni alohida ta'kidlash kerakki, garmonik tebranishlar qat'iy davriydir (chunki ular sinus yoki kosinus qonuniga bo'ysunadi) va hatto haqiqiy (fizik) mayatnikning idealizatsiyasi bo'lgan matematik mayatnik uchun ham ular faqat kichik tebranish burchaklarida mumkin. Agar burilish burchaklari katta bo'lsa, yukning siljishi og'ish burchagiga (burchakning sinusiga) proportsional bo'lmaydi va tezlanish siljishga proportsional bo'lmaydi.

Erkin tebranishlarni bajaradigan jismning tezligi va tezlanishi garmonik tebranishlarni ham bajaradi. Funktsiyaning vaqt hosilasini olish ( x = xmcos ō 0t(yoki x = xmgunoh ō 0t)), tezlik uchun ifodani olamiz:

v = -v mgunoh ō 0t = -v mx mcos (ō 0t + p/2),

Qayerda v m= ω 0 x m- tezlik amplitudasi.

Xuddi shunday, tezlanish ifodasi A biz farqlash orqali olamiz ( v = -v mgunoh ō 0t = -v mx mcos (ō 0t + p/2)):

a = -a mcos ō 0t,

Qayerda a m= ō 2 0x m- tezlanish amplitudasi. Shunday qilib, garmonik tebranishlar tezligining amplitudasi chastotaga, tezlanish amplitudasi esa tebranish chastotasining kvadratiga proporsionaldir.

GARMONIK TALBALIMALAR
Jismoniy miqdorlarning o'zgarishi kosinus yoki sinus qonuniga (garmonik qonun) muvofiq sodir bo'lgan tebranishlar deyiladi. garmonik tebranishlar. Masalan, mexanik garmonik tebranishlarda: Bu formulalarda ō - tebranish chastotasi, x m - tebranish amplitudasi, ph 0 va ph 0 ' - tebranishning boshlang'ich fazalari. Yuqoridagi formulalar boshlang'ich fazaning ta'rifida farqlanadi va ph 0 ' = ph 0 + p/2 da to'liq mos keladi.
Bu davriy tebranishlarning eng oddiy shakli. Funktsiyaning o'ziga xos shakli (sinus yoki kosinus) tizimni muvozanatdan chiqarish usuliga bog'liq. Agar tortib olish surish bilan sodir bo'lsa (kinetik energiya xabar qilinadi), u holda t \u003d 0 da, siljish x \u003d 0, shuning uchun foydalanish qulayroqdir. gunoh funktsiyasi, o‘rnatish ph 0 ’=0; muvozanat holatidan og'ishda (potentsial energiya xabar qilinadi) t \u003d 0, siljish x \u003d x m, shuning uchun foydalanish qulayroqdir cos funktsiyasi va ph 0 =0.
Cos yoki sin belgisi ostidagi ifoda, deyiladi. tebranish bosqichi:. Tebranish fazasi radianlarda o'lchanadi va ma'lum bir vaqtda siljishning qiymatini (o'zgaruvchan qiymat) aniqlaydi.
Tebranish amplitudasi faqat dastlabki og'ish (tebranish tizimiga berilgan dastlabki energiya) ga bog'liq.
Tezlik va tezlanish da garmonik tebranishlar.
Tezlik ta'rifiga ko'ra, tezlik koordinataning vaqtga nisbatan hosilasidir
Shunday qilib, garmonik tebranish harakati paytida tezlik ham garmonik qonunga muvofiq o'zgarishini ko'ramiz, lekin tezlik tebranishlari fazadagi siljish tebranishlaridan p/2 ga oldinda.
Qiymat - tebranish harakatining maksimal tezligi (tezlik tebranishlarining amplitudasi).
Shunday qilib, garmonik tebranish paytida tezlik uchun bizda: , va nol boshlang'ich faza uchun (grafikga qarang).
Tezlanishning ta'rifiga ko'ra, tezlanish tezlikning vaqtga nisbatan hosilasidir: koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasidir. Keyin: . Garmonik tebranish harakati paytida tezlanish ham garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi, lekin tezlanish tebranishlari tezlik tebranishlaridan p/2 ga va siljish tebranishlaridan p ga oldinda bo'ladi (ular tebranish sodir bo'ladi deyishadi. fazadan tashqari).
Qiymat - maksimal tezlashtirish (tezlanish tebranishlarining amplitudasi). Shunday qilib, tezlashtirish uchun bizda: , va nol boshlang'ich faza uchun: (grafaga qarang).
Tebranish harakati jarayonini tahlil qilishdan, grafiklar va mos keladigan matematik ifodalar ko'rinib turibdiki, tebranuvchi jism muvozanat holatidan o'tganda (siljish nolga teng), tezlanish nolga teng, jismning tezligi esa maksimal (tana muvozanat holatidan inertsiya bilan o'tadi) va amplituda qiymati. siljishga erishiladi, tezlik nolga teng va tezlanish mutlaq qiymatda maksimal bo'ladi (tana harakat yo'nalishini o'zgartiradi).
Garmonik tebranishlar uchun siljish va tezlanish ifodalarini solishtiraylik: va .
Siz yozishingiz mumkin: - ya'ni. siljishning ikkinchi hosilasi siljishga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir (qarama-qarshi belgi bilan). Bunday tenglama deyiladi garmonik tebranish tenglamasi. Bu bog'liqlik tabiatidan qat'iy nazar har qanday garmonik tebranish uchun qondiriladi. Biz ma'lum bir tebranish tizimining parametrlarini hech qanday joyda ishlatmaganimiz sababli, ularga faqat tsiklik chastota bog'liq bo'lishi mumkin.
Ko'pincha tebranishlar uchun tenglamalarni quyidagi shaklda yozish qulaydir: , bu erda T - tebranish davri. Keyin, agar vaqt davrning kasrlarida ifodalangan bo'lsa, hisob-kitoblar soddalashtiriladi. Misol uchun, agar siz davrning 1/8 qismidan keyin ofsetni topishingiz kerak bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz: . Xuddi shunday tezlik va tezlashtirish uchun.

Tizimning bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ortiq mustaqil tebranishlarda ishtirok etishi odatiy hol emas. Bunday hollarda tebranishlarni bir-biriga qo'shish (qo'shish) natijasida hosil bo'lgan murakkab tebranish harakati hosil bo'ladi. Shubhasiz, tebranishlarni yig'ish hollari juda xilma-xil bo'lishi mumkin. Ular nafaqat qo'shilgan tebranishlar soniga, balki tebranish parametrlariga, ularning chastotalari, fazalari, amplitudalari, yo'nalishlariga ham bog'liq. Tebranishlarni yig'ishning barcha mumkin bo'lgan turli xil holatlarini ko'rib chiqishning iloji yo'q, shuning uchun biz faqat alohida misollarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.
1. Bir yo'nalishda tebranishlarni qo'shish. Bir xil chastotali, lekin fazalari va amplitudalari har xil bo'lgan ikkita tebranishlarni qo'shamiz.

(4.40)
Tebranishlar bir-birining ustiga qo'yilganda


Tenglamalarga muvofiq yangi A va j parametrlarini kiritamiz:

(4.42)
(4.42) tenglamalar sistemasi oson yechiladi.

(4.43)

(4.44)
Shunday qilib, x uchun biz nihoyat tenglamani olamiz

(4.45)
Shunday qilib, bir xil chastotali bir yo'nalishli tebranishlarni qo'shish natijasida amplitudasi va fazasi (4.43) va (4.44) formulalar bilan aniqlanadigan garmonik (sinusoidal) tebranish hosil bo'ladi.
Keling, ikkita yig'ilgan tebranishlarning fazalari orasidagi nisbatlar har xil bo'lgan maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik:


(4.46)
Keling, bir xil amplitudali, bir xil fazali, lekin har xil chastotali bir tomonlama tebranishlarni qo'shamiz.


(4.47)
Keling, chastotalar bir-biriga yaqin bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik, ya'ni w1~w2=w.
Keyin taxminan (w1+w2)/2= w va (w2-w1)/2 kichik deb faraz qilamiz. Olingan tebranish tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

(4.48)
Uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.5 Bunday tebranish zarba deyiladi. U w chastotasi bilan amalga oshiriladi, lekin uning amplitudasi katta davr bilan tebranadi.

2. Ikki o'zaro perpendikulyar tebranishlarni qo'shish. Faraz qilaylik, bitta tebranish x o'qi bo'ylab, ikkinchisi - y o'qi bo'ylab amalga oshiriladi. Olingan harakat xy tekisligida joylashganligi aniq.
1. Faraz qilaylik, tebranish chastotalari va fazalari bir xil, ammo amplitudalari har xil.

(4.49)
Hosil bo'lgan harakat traektoriyasini topish uchun (4.49) tenglamalardan vaqtni chiqarib tashlash kerak. Buning uchun atama bo'yicha bir tenglamani boshqasiga bo'lish kifoya, natijada biz olamiz

(4.50)
(4.50) tenglama shuni ko'rsatadiki, bu holda tebranishlarning qo'shilishi to'g'ri chiziq bo'ylab tebranishga olib keladi, uning qiyalik burchagi tangensi amplitudalarning nisbati bilan belgilanadi.
2. Qo'shilgan tebranishlarning fazalari bir-biridan /2 ga farq qilsin va tenglamalar ko'rinishga ega bo'lsin:

(4.51)
Hosil boʻlgan harakat traektoriyasini vaqtni hisobga olmagan holda topish uchun (4.51) tenglamalarni kvadratga solish, avval ularni mos ravishda A1 va A2 ga boʻlish, keyin esa ularni qoʻshish kerak. Traektoriya tenglamasi quyidagi shaklda bo'ladi:

(4.52)
Bu ellipsning tenglamasi. Bir xil chastotadagi o'zaro perpendikulyar tebranishlarning qo'shilgan har qanday boshlang'ich fazalari va har qanday amplitudalari uchun hosil bo'lgan tebranish ellips bo'ylab amalga oshirilishini isbotlash mumkin. Uning yo'nalishi qo'shilgan tebranishlarning fazalari va amplitudalariga bog'liq bo'ladi.
Agar qo'shilgan tebranishlar turli chastotalarga ega bo'lsa, unda hosil bo'lgan harakatlarning traektoriyalari juda xilma-xildir. Faqat x va y dagi tebranish chastotalari bir-biriga karrali bo'lsa, yopiq traektoriyalar olinadi. Bunday harakatlar davriy bo'lganlar soniga bog'liq bo'lishi mumkin. Bunday holda, harakatlarning traektoriyalari Lissajous figuralari deb ataladi. Harakat boshida bir xil amplituda va fazali chastotalar nisbati 1:2 bo'lgan tebranishlarni qo'shish orqali olingan Lissaju figuralaridan birini ko'rib chiqamiz.

(4.53)
Y o'qi bo'ylab tebranishlar x o'qi bo'ylab ikki marta tez-tez sodir bo'ladi. Bunday tebranishlarning qo'shilishi sakkizinchi raqam ko'rinishidagi harakat traektoriyasiga olib keladi (4.7-rasm).

8. Söndürülmüş tebranishlar va ularning parametrlari: dekrement va tebranish koeffitsienti, relaksatsiya vaqti

)Söndürülmüş tebranishlar davri:

T = (58)

Da δ << ω o tebranishlar garmoniklardan farq qilmaydi: T = 2p/ o.

2) Söndürülmüş tebranishlarning amplitudasi(119) formula bilan ifodalanadi.

3) dampingning pasayishi, ketma-ket ikkita tebranish amplitudasining nisbatiga teng A(t) Va A(t+T), davrdagi amplituda pasayish tezligini tavsiflaydi:

= EDT (59)

4) Logarifmik dampingning kamayishi- bir davr bilan farq qiluvchi vaqt nuqtalariga to'g'ri keladigan ikkita ketma-ket tebranishlar amplitudalari nisbatining natural logarifmi.

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Logarifmik damping dekrementi berilgan tebranish sistemasi uchun doimiy qiymatdir.

5) Dam olish vaqti vaqt davri deb ataladi ( t) bunda so‘ngan tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi:

e d t = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

(60) va (61) iboralarni taqqoslashdan biz quyidagilarni olamiz:

q= = , (62)

Qayerda N e - dam olish vaqtida amalga oshirilgan tebranishlar soni.

Agar vaqt ichida t tizim yaratadi Ν tebranishlar, keyin t = Ν . Τ va sönümli tebranishlar tenglamasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Tebranish tizimining sifat omili(Q) tebranish davrida tizimdagi energiya yo'qotilishini tavsiflovchi miqdorni chaqirish odatiy holdir:

Q= 2p , (63)

Qayerda V tizimning umumiy energiyasi, ∆W davr davomida sarflangan energiyadir. Qanchalik kam energiya sarflansa, tizimning sifat omili shunchalik katta bo'ladi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadi

Q = = pNe = =. (64)

Dᴀᴋᴎᴍ ᴏsᴩᴀᴈᴏᴍ, sifat koeffitsienti logarifmik dampingning pasayishiga teskari proportsionaldir. (64) formuladan kelib chiqadiki, sifat omili tebranishlar soniga proportsionaldir N e dam olish vaqtida tizim tomonidan amalga oshiriladi.

7) Potensial energiya t vaqtdagi tizimni potentsial energiya bilan ifodalash mumkin V 0 eng katta og'ishda:

V = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN. (65)

Odatda shartli ravishda tebranishlar, agar ularning energiyasi 100 marta kamaygan bo'lsa (amplitudasi 10 marta kamaygan bo'lsa) amalda to'xtagan deb hisoblanadi. Bu yerdan tizim tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar sonini hisoblash uchun ifodani olishingiz mumkin:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Majburiy tebranishlar. Rezonans. aperiodik tebranishlar. O'z-o'zidan tebranishlar.

Tizim so'nmagan tebranishlarni amalga oshirishi uchun tashqi tomondan ishqalanish natijasida tebranishlarning energiya yo'qotishlarini to'ldirish kerak. Tizim tebranishlarining energiyasi kamaymasligini ta'minlash uchun odatda tizimga vaqti-vaqti bilan ta'sir qiluvchi kuch kiritiladi (biz bunday kuchni chaqiramiz. majburlovchi, va majburiy tebranishlar).

TA’RIF: majbur tashqi davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida tebranish tizimida yuzaga keladigan bunday tebranishlar deyiladi.

Bu kuch, qoida tariqasida, ikki tomonlama rolni bajaradi:

birinchidan, u tizimni silkitadi va unga ma'lum miqdorda energiya beradi;

ikkinchidan, qarshilik va ishqalanish kuchlarini engish uchun vaqti-vaqti bilan energiya yo'qotishlarini (energiya iste'molini) to'ldiradi.

Vaqt o'tishi bilan harakatlantiruvchi kuch qonunga muvofiq o'zgarib tursin:

.

Shunday kuch ta’sirida tebranayotgan sistema uchun harakat tenglamasini tuzamiz. Biz tizimga kvazelastik kuch va muhitning tortish kuchi (kichik tebranishlar farazi ostida amal qiladi) ham ta'sir qiladi deb faraz qilamiz. Keyin tizimning harakat tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Yoki .

, , – tizim tebranishlarining tabiiy chastotasini almashtirib, bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama 2 ni olamiz. th buyurtma:

Differensial tenglamalar nazariyasidan ma'lumki, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimi yig'indisiga teng bo'ladi.

Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma'lum:

,

Qayerda ; a 0 va a– ixtiyoriy const.

.

Vektor diagrammasidan foydalanib, siz bunday taxminning to'g'riligiga ishonch hosil qilishingiz, shuningdek, "" qiymatlarini aniqlashingiz mumkin. a"Va" j”.

Tebranish amplitudasi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

.

Ma'nosi " j”, bu majburiy tebranishning faza kechikishining kattaligi uni keltirib chiqargan harakatlantiruvchi kuchdan ham vektor diagrammasidan aniqlanadi va:

.

Nihoyat, bir hil bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimi quyidagi shaklni oladi:

(8.18)

Bu funksiya bilan birga

(8.19)

majburiy tebranishlar ostida tizimning harakatini tavsiflovchi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimini beradi. (8.19) atamasi jarayonning boshlang'ich bosqichida, tebranishlarni o'rnatish deb ataladigan davrda muhim rol o'ynaydi (8.10-rasm). Vaqt o'tishi bilan ko'rsatkich omili ta'sirida ikkinchi hadning (8.19) roli tobora kamayib boradi va etarli vaqt o'tgach, uni e'tiborsiz qoldirish mumkin, faqat (8.18) atama yechimda qoladi.

Shunday qilib, funktsiya (8.18) barqaror majburiy tebranishlarni tavsiflaydi. Ular harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga teng chastotali garmonik tebranishlardir. Majburiy tebranishlar amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning amplitudasiga proportsionaldir. Berilgan tebranish tizimi uchun (aniqlangan w 0 va b) amplituda harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Majburiy tebranishlar harakatlantiruvchi kuchdan faza bo‘yicha orqada qoladi va “j” ortda qolish miqdori ham harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog‘liq.

Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligi ma'lum bir tizim uchun aniqlangan ma'lum chastotada tebranish amplitudasining maksimal qiymatiga erishishiga olib keladi. Tebranish tizimi, ayniqsa, ushbu chastotada harakatlantiruvchi kuchning ta'siriga javob beradi. Bu hodisa deyiladi rezonans, va mos keladigan chastota rezonans chastotasi.

TA'RIFI: majburiy tebranishlar amplitudasining keskin ortishi kuzatiladigan hodisa deyiladi. rezonans.

Rezonans chastotasi majburiy tebranishlar amplitudasining maksimal sharti asosida aniqlanadi:

. (8.20)

Keyin, ushbu qiymatni amplituda ifodasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

. (8.21)

O'rtacha qarshilik bo'lmasa, rezonansdagi tebranishlar amplitudasi cheksizlikka aylanadi; bir xil sharoitdagi rezonans chastotasi (b=0) tabiiy tebranish chastotasiga to'g'ri keladi.

Majburiy tebranishlar amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga (yoki bir xil bo'lsa, tebranishlar chastotasiga) bog'liqligini grafik tarzda tasvirlash mumkin (8.11-rasm). Alohida egri chiziqlar "b" ning turli qiymatlariga mos keladi. “b” qanchalik kichik bo'lsa, shuncha yuqori va o'ng tomonda bu egri chiziqning maksimal qiymati yotadi (w res ifodasiga qarang). Juda katta damping bilan rezonans kuzatilmaydi - ortib borayotgan chastota bilan majburiy tebranishlarning amplitudasi monoton ravishda kamayadi (8.11-rasmdagi pastki egri).

b ning turli qiymatlariga mos keladigan taqdim etilgan grafiklar to'plami deyiladi rezonans egri chiziqlari.

Izohlar rezonans egri chiziqlari haqida:

w®0 tendentsiyasida barcha egri chiziqlar bir xil nolga teng bo'lmagan qiymatga keladi. Bu qiymat tizim doimiy kuch ta'sirida oladigan muvozanat holatidan siljishni anglatadi. F 0 .

chunki w®¥ barcha egri chiziqlar asimptotik tarzda nolga intiladi, chunki yuqori chastotada kuch o'z yo'nalishini shunchalik tez o'zgartiradiki, tizim muvozanat holatidan sezilarli siljish uchun vaqt topa olmaydi.

b qanchalik kichik bo'lsa, rezonans yaqinidagi amplituda chastota bilan o'zgaradi, maksimal "o'tkir".

Rezonans hodisasi ko'pincha, ayniqsa akustika va radiotexnikada foydalidir.

O'z-o'zidan tebranishlar- nochiziqli teskari aloqaga ega dissipativ dinamik tizimdagi o'zgarmas tebranishlar, doimiy energiya bilan quvvatlanadi, ya'ni davriy bo'lmagan tashqi ta'sir.

O'z-o'zidan tebranishlar farq qiladi majburiy tebranishlar chunki ikkinchisi sabab bo'ladi davriy nashr tashqi ta'sir va bu ta'sirning chastotasi bilan sodir bo'ladi, o'z-o'zidan tebranishlarning paydo bo'lishi va ularning chastotasi o'z-o'zidan tebranish tizimining ichki xususiyatlari bilan belgilanadi.

Muddati o'z-o'zidan tebranishlar rus terminologiyasiga 1928 yilda A. A. Andronov tomonidan kiritilgan.

Misollar[

O'z-o'zidan tebranishlarga misollar:

· soat mexanizmi og'irligi og'irligining doimiy ta'siridan soat mayatnikining so'nmagan tebranishlari;

bir tekis harakatlanuvchi kamon ta'sirida skripka torining tebranishlari

multivibrator davrlarida va boshqa elektron generatorlarda doimiy besleme zo'riqishida o'zgaruvchan tokning paydo bo'lishi;

organ trubkasidagi havo ustunining tebranishi, unga bir xil havo etkazib berish. (shuningdek qarang: Turuvchi to'lqin)

· вращательные колебания латунной часовой шестерёнки со стальной осью, подвешенной к магниту и закрученной (опыт Гамазкова) (кинетическая энергия колеса, как в униполярном генераторе преобразуется в потенциальную энергию электрического поля, потенциальная энергия электрического поля, как в униполярном двигателе, преобразуется в кинетическую энергию колеса va hokazo.)

Maklakov bolg'a

Elektr zanjiridagi oqim chastotasidan ko'p marta past chastotali o'zgaruvchan tokning energiyasi tufayli urilgan bolg'a.

Tebranish konturining L bobini stol ustida (yoki urish kerak bo'lgan boshqa ob'ekt) yuqorida joylashgan. Pastdan unga temir trubka kiradi, uning pastki uchi bolg'aning zarba qismidir. Quvurda Fuko oqimlarini kamaytirish uchun vertikal tirqish mavjud. Tebranish zanjirining parametrlari shundayki, uning tebranishlarining tabiiy chastotasi zanjirdagi oqim chastotasiga to'g'ri keladi (masalan, o'zgaruvchan shahar oqimi, 50 gerts).

Oqim yoqilgandan va tebranishlar o'rnatilgandan so'ng, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqimlari va tashqi konturning rezonansi kuzatiladi va temir trubka g'altakning ichiga tortiladi. Bobinning induktivligi ortadi, tebranish davri rezonansdan chiqib ketadi va g'altakdagi oqim tebranishlarining amplitudasi kamayadi. Shuning uchun trubka tortishish kuchi ta'sirida asl holatiga - lasan tashqarisiga qaytadi. Keyin kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqim tebranishlari o'sishni boshlaydi va rezonans yana boshlanadi: kolba yana lasan ichiga tortiladi.

tube majburiyatini oladi o'z-o'zidan tebranishlar, ya'ni davriy harakatlar yuqoriga va pastga tushadi va shu bilan birga u stolga bolg'a kabi baland ovozda uradi. Ushbu mexanik o'z-o'zidan tebranishlar davri ularni qo'llab-quvvatlovchi o'zgaruvchan tok davridan o'nlab marta kattaroqdir.

Bolg'a o'z-o'zidan tebranishlarni ko'rsatish uchun bunday tajribani taklif qilgan va amalga oshirgan Moskva fizika-texnika instituti o'qituvchisi M. I. Maklakov nomi bilan atalgan.

O'z-o'zidan tebranishlar mexanizmi

1-rasm. O'z-o'zidan tebranishlar mexanizmi

O'z-o'zidan tebranishlar boshqa tabiatga ega bo'lishi mumkin: mexanik, termal, elektromagnit, kimyoviy. Turli tizimlarda o'z-o'zidan tebranishlarning paydo bo'lishi va ta'minlanishi mexanizmi fizika yoki kimyoning turli qonunlariga asoslanishi mumkin. Turli xil tizimlarning o'z-o'zidan tebranishlarini aniq miqdoriy tavsiflash uchun turli xil matematik apparatlar talab qilinishi mumkin. Shunga qaramay, barcha o'z-o'zidan tebranuvchi tizimlar uchun umumiy bo'lgan va bu mexanizmni sifat jihatidan tavsiflovchi sxemani tasavvur qilish mumkin (1-rasm).

Diagrammada: S- doimiy (davriy bo'lmagan) ta'sir manbai; R- doimiy effektni o'zgaruvchiga aylantiradigan chiziqli bo'lmagan boshqaruvchi (masalan, vaqt bo'yicha intervalgacha), u "hilg'ish" osilator V- tizimning tebranish elementi (elementlari) va teskari aloqa orqali osilatorning tebranishlari B regulyatorning ishlashini nazorat qilish R, sozlash bosqichi Va chastota uning harakatlari. O'z-o'zidan tebranishlar tizimidagi dissipatsiya (energiyaning tarqalishi) doimiy ta'sir manbaidan unga kiradigan energiya bilan qoplanadi, buning natijasida o'z-o'zidan tebranishlar parchalanmaydi.

Guruch. 2 Mayatnikli soatning mandal mexanizmining sxemasi

Agar tizimning tebranish elementi o'z qobiliyatiga ega bo'lsa sönümli tebranishlar(deb nomlangan. garmonik dissipativ osilator), o'z-o'zidan tebranishlar (davr davomida tizimga teng tarqalish va energiya kiritish bilan) yaqin chastotada o'rnatiladi. rezonansli bu osilator uchun ularning shakli harmonikga yaqin bo'ladi va amplituda, ma'lum bir qiymat oralig'ida, doimiy tashqi ta'sirning kattaligi qanchalik katta bo'lsa.

Bunday tizimga misol sifatida mayatnikli soatning mandal mexanizmini keltirish mumkin, uning diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 2. Ratchet g'ildiragi o'qida A(bu tizimda chiziqli bo'lmagan boshqaruvchi vazifasini bajaradi) doimiy kuch momenti mavjud M asosiy buloqdan yoki og'irlikdan tishli uzatma orqali uzatiladi. G'ildirak aylanganda A uning tishlari mayatnikga qisqa muddatli kuch impulslarini beradi P(osilator), buning natijasida uning tebranishlari susaymaydi. Mexanizmning kinematikasi tizimda teskari aloqa rolini o'ynaydi, g'ildirakning aylanishini mayatnikning tebranishlari bilan shunday sinxronlashtiradiki, tebranishning to'liq davrida g'ildirak bitta tishga mos keladigan burchak orqali aylanadi.

Garmonik osilatorlarni o'z ichiga olmaydigan o'z-o'zidan tebranuvchi tizimlar deyiladi dam olish. Ulardagi tebranishlar garmoniklardan juda farq qilishi mumkin va to'rtburchaklar, uchburchaklar yoki trapezoidal shaklga ega. Gevşeme o'z-o'zidan tebranishlarning amplitudasi va davri doimiy harakatning kattaligi va tizimning inertsiya va tarqalish xususiyatlarining nisbati bilan belgilanadi.

Guruch. 3 Elektr qo'ng'irog'i

Bo'shashishning o'z-o'zidan tebranishlarining eng oddiy misoli - rasmda ko'rsatilgan elektr qo'ng'irog'ining ishlashi. 3. Bu erda doimiy (davriy bo'lmagan) ta'sir qilish manbai elektr batareyasi U; chiziqli bo'lmagan boshqaruvchi rolini maydalagich bajaradi T, elektr zanjirini yopish va ochish, buning natijasida unda uzilishli oqim paydo bo'ladi; tebranish elementlari elektromagnitning yadrosida davriy ravishda induktsiya qilinadigan magnit maydondir E, va langar A o'zgaruvchan magnit maydon ta'siri ostida harakatlanuvchi. Armaturaning tebranishlari teskari aloqani tashkil etuvchi maydalagichni harakatga keltiradi.

Ushbu tizimning inertsiyasi ikki xil jismoniy miqdor bilan belgilanadi: armatura inersiya momenti A va elektromagnit o'rashning induktivligi E. Ushbu parametrlarning har qandayida o'sish o'z-o'zidan tebranishlar davrining oshishiga olib keladi.

Agar tizimda bir-biridan mustaqil ravishda tebranadigan va bir vaqtning o'zida chiziqli bo'lmagan boshqaruvchi yoki boshqaruvchiga ta'sir qiluvchi bir nechta elementlar mavjud bo'lsa (ulardan bir nechtasi ham bo'lishi mumkin), o'z-o'zidan tebranishlar murakkabroq xarakterga ega bo'lishi mumkin, masalan, aperiodik, yoki dinamik tartibsizlik.

Tabiatda va texnologiyada

O'z-o'zidan tebranishlar ko'plab tabiat hodisalari asosida yotadi:

bir xil havo oqimi ta'sirida o'simlik barglarining tebranishlari;

· daryolarning chayqalish va oqimlarida turbulent oqimlarning shakllanishi;

Muntazam geyzerlarning harakati va boshqalar.

Ko'p sonli turli xil texnik qurilmalar va qurilmalarning ishlash printsipi o'z-o'zidan tebranishlarga asoslanadi, jumladan:

mexanik va elektr soatlarining barcha turlarini ishlash;

· barcha shamolli va torli cholg‘u asboblarini tovush chiqarish;

©2015-2019 sayti
Barcha huquqlar ularning mualliflariga tegishli. Ushbu sayt mualliflik huquqiga da'vo qilmaydi, lekin bepul foydalanishni ta'minlaydi.
Sahifaning yaratilgan sanasi: 2017-04-04

Garmonik tebranish - bu qandaydir miqdorning davriy o'zgarishi hodisasi bo'lib, unda argumentga bog'liqlik sinus yoki kosinus funksiyasi xarakteriga ega. Masalan, vaqt bo'yicha quyidagicha o'zgarib turadigan miqdor garmonik ravishda o'zgaradi:

Bu yerda x - o'zgaruvchan miqdorning qiymati, t - vaqt, qolgan parametrlar doimiy: A - tebranishlarning amplitudasi, ō - tebranishlarning tsiklik chastotasi, tebranishlarning to'liq fazasi, ning boshlang'ich fazasi. tebranishlar.

Differensial shakldagi umumlashgan garmonik tebranish

(Ushbu differentsial tenglamaning har qanday noaniq yechimi tsiklik chastotali garmonik tebranishdir)

Tebranish turlari

Erkin tebranishlar tizim muvozanatdan chiqarilgandan keyin tizimning ichki kuchlari ta'sirida amalga oshiriladi. Erkin tebranishlar garmonik bo'lishi uchun tebranish tizimi chiziqli bo'lishi kerak (chiziqli harakat tenglamalari bilan tavsiflanadi) va unda energiya yo'qolishi bo'lmasligi kerak (ikkinchisi dampingga olib keladi).

Majburiy tebranishlar tashqi davriy kuch ta'sirida amalga oshiriladi. Ularning garmonik bo'lishi uchun tebranish tizimining chiziqli bo'lishi (chiziqli harakat tenglamalari bilan tavsiflangan) va tashqi kuchning o'zi vaqt o'tishi bilan garmonik tebranish sifatida o'zgarishi (ya'ni, bu kuchning vaqtga bog'liqligi sinusoidal bo'lishi) etarli. .

Garmonik tebranish tenglamasi

Tenglama (1)

o'zgaruvchan qiymat S ning t vaqtga bog'liqligini beradi; bu aniq shakldagi erkin garmonik tebranishlarning tenglamasi. Biroq, tebranishlar tenglamasi odatda bu tenglamaning differensial shakldagi boshqa yozuvi sifatida tushuniladi. Aniqlik uchun (1) tenglamani shaklda olamiz

Vaqt bo'yicha ikki marta farqlang:

Ko'rinib turibdiki, quyidagi munosabatlar mavjud:

erkin garmonik tebranishlar tenglamasi deb ataladi (differensial shaklda). (1) tenglama (2) differensial tenglamaning yechimidir. (2) tenglama ikkinchi tartibli differensial tenglama bo‘lgani uchun to‘liq yechim olish uchun (ya’ni (1) tenglamaga kiritilgan A va   konstantalarini aniqlash uchun) ikkita boshlang‘ich shart zarur; masalan, t = 0 da tebranish tizimining holati va tezligi.

Matematik mayatnik - bu osilator bo'lib, u og'irliksiz cho'zilmaydigan ipda yoki tortishish kuchlarining bir xil maydonida vaznsiz novda ustida joylashgan moddiy nuqtadan iborat mexanik tizimdir. Erkin tushish tezlanishi g bo'lgan bir xil tortishish maydonida harakatsiz osilgan l uzunlikdagi matematik mayatnikning kichik o'z tebranishlari davri ga teng.

va mayatnikning amplitudasi va massasiga bog'liq emas.

Jismoniy mayatnik - bu jismning massa markazi bo'lmagan nuqta atrofida yoki kuchlar yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan va undan o'tmaydigan qo'zg'almas o'q atrofida har qanday kuchlar maydonida tebranadigan qattiq jism bo'lgan osilator. bu tananing massa markazi.

Tashqi, davriy o'zgaruvchan kuchlar ta'sirida paydo bo'ladigan tebranishlar (tashqaridan tebranish tizimiga davriy energiya etkazib berish bilan)

Energiya transformatsiyasi

Bahor mayatnik

Tsikl chastotasi va tebranish davri mos ravishda:

Mukammal elastik kamonga biriktirilgan moddiy nuqta

Ø prujinali mayatnikning potentsial va kinetik energiyasining x koordinatasidagi grafigi.

Ø kinetik va potentsial energiyaning vaqtga bog'liqligining sifat grafiklari.

Ø Majburiy

Ø Majburiy tebranishlar chastotasi tashqi kuchning o'zgarishlar chastotasiga teng

Ø Agar Fbc sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra o'zgarsa, u holda majburiy tebranishlar garmonik bo'ladi.

Ø O'z-o'zidan tebranishlar bilan tebranish tizimi ichidagi o'z manbasidan davriy energiya ta'minoti zarur.

Garmonik tebranishlar - tebranish qiymati sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan tebranishlar.

garmonik tebranishlar tenglamalari (nuqtalarning harakat qonunlari) shaklga ega

Garmonik tebranishlar bunday tebranishlar deyiladi, bunda tebranish qiymati qonunga muvofiq vaqtga qarab o'zgaradisinus yokikosinus .
Garmonik tebranish tenglamasi kabi ko'rinadi:

,
qaerda A - tebranish amplitudasi (tizimning muvozanat holatidan eng katta og'ish qiymati); -doiraviy (tsiklik) chastota. Vaqti-vaqti bilan o'zgaruvchan kosinus argumenti - deyiladi tebranish bosqichi . Tebranish fazasi tebranish miqdorining ma'lum t vaqtida muvozanat holatidan siljishini aniqlaydi. Doimiy ph fazaning t = 0 vaqtidagi qiymati va deyiladi tebranishning dastlabki bosqichi . Dastlabki bosqichning qiymati mos yozuvlar nuqtasini tanlash bilan belgilanadi. X qiymati -A dan +A gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Vaqt oralig'i T, undan keyin tebranish tizimining ma'lum holatlari takrorlanadi, tebranish davri deb ataladi . Kosinus 2p davriga ega bo'lgan davriy funktsiyadir, shuning uchun T vaqt oralig'ida tebranish fazasi 2p ga teng o'sishni oladi, garmonik tebranishlarni bajaradigan tizimning holati takrorlanadi. Bu vaqt T davri garmonik tebranishlar davri deb ataladi.
Garmonik tebranishlar davri : T = 2p/.
Vaqt birligidagi tebranishlar soni deyiladi tebranish chastotasi ν.
Garmonik tebranishlarning chastotasi ga teng: n = 1/T. Chastota birligi gerts(Hz) - soniyada bir tebranish.
Doira chastotasi = 2p/T = 2pn 2p soniyada tebranishlar sonini beradi.

Differensial shakldagi umumlashgan garmonik tebranish

Grafik jihatdan garmonik tebranishlarni x ning t ga bog'liqligi sifatida tasvirlash mumkin (1.1.A-rasm), va aylanuvchi amplituda usuli (vektor diagrammasi usuli)(1.1.B-rasm) .

Aylanadigan amplituda usuli garmonik tebranishlar tenglamasiga kiritilgan barcha parametrlarni tasavvur qilish imkonini beradi. Haqiqatan ham, agar amplituda vektori bo'lsa A x o'qiga ph burchak ostida joylashgan (1.1-rasmga qarang. B), u holda uning x o'qidagi proyeksiyasi teng bo'ladi: x = Acos(ph). ph burchagi boshlang'ich fazadir. Agar vektor A tebranishlarning dumaloq chastotasiga teng burchak tezligi bilan aylanishga qo'ying, keyin vektor oxirining proyeksiyasi x o'qi bo'ylab harakatlanadi va -A dan +A gacha bo'lgan qiymatlarni oladi va bu proyeksiyaning koordinatasi. qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgaradi:
.
Shunday qilib, vektor uzunligi garmonik tebranishning amplitudasiga teng, vektorning yo'nalishi dastlabki momentda x o'qi bilan tebranishning boshlang'ich fazasiga teng burchak hosil qiladi ph va yo'nalishning o'zgarishi. vaqt bilan burchak garmonik tebranishlar fazasiga teng. Amplituda vektorining bitta to'liq aylanish vaqti garmonik tebranishlarning T davriga teng. Vektorning sekundiga aylanishlar soni tebranish chastotasi n ga teng.

>> Garmonik tebranishlar

§ 22 GARMONIK TABLANISHLAR

Tezlanish va tebranayotgan jismning koordinatasi qanday bog'liqligini bilib, matematik tahlil asosida koordinataning vaqtga bog'liqligini topish mumkin.

Tezlanish koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasidir. Tezlik nuqta, matematika kursidan ma'lumki, nuqta koordinatasining vaqtga nisbatan hosilasidir. Nuqta tezlanishi uning tezligining vaqtga nisbatan hosilasi yoki koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasidir. Shuning uchun (3.4) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

qaerda x " koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasidir. (3.11) tenglamaga ko'ra, erkin tebranishlar vaqtida x koordinatasi vaqt o'tishi bilan shunday o'zgaradiki, koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi koordinataning o'ziga to'g'ridan-to'g'ri proporsional bo'ladi va unga ishora qarama-qarshi bo'ladi.

Matematika kursidan ma'lumki, sinus va kosinusning o'z argumentiga nisbatan ikkinchi hosilalari qarama-qarshi belgi bilan olingan funksiyalarning o'ziga proportsionaldir. IN matematik tahlil boshqa hech qanday funksiyalar bu xususiyatga ega emasligi isbotlangan. Bularning barchasi erkin tebranishlarni amalga oshiradigan jismning koordinatasi vaqt o'tishi bilan sinus yoki pasina qonuniga ko'ra o'zgarishini asosli asos bilan ta'kidlashga imkon beradi. 3.6-rasmda kosinus qonuniga ko'ra nuqta koordinatasining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi ko'rsatilgan.

Davriy o'zgarishlar jismoniy miqdor vaqtga qarab sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra yuzaga keladigan garmonik tebranishlar deyiladi.

Tebranish amplitudasi. Garmonik tebranishlar amplitudasi tananing muvozanat holatidan eng katta siljishi modulidir.

Amplituda bo'lishi mumkin turli ma'nolar vaqtning boshlang'ich momentida tanani muvozanat holatidan qanchalik siqib chiqarganimizga yoki tanaga qanday tezlik bildirilganiga bog'liq. Amplituda boshlang'ich sharoitlar, aniqrog'i tanaga berilgan energiya bilan belgilanadi. Ammo sinus moduli va kosinus modulining maksimal qiymatlari bittaga teng. Shuning uchun (3.11) tenglamaning yechimini oddiygina sinus yoki kosinus bilan ifodalash mumkin emas. U tebranish amplitudasining x m sinus yoki kosinus ko'paytmasi shakliga ega bo'lishi kerak.

Erkin tebranishlarni tavsiflovchi tenglamaning yechimi.(3.11) tenglamaning yechimini quyidagi shaklda yozamiz:

va ikkinchi hosila quyidagicha bo'ladi:

Biz (3.11) tenglamani oldik. Demak, (3.12) funksiya (3.11) dastlabki tenglamaning yechimidir. Bu tenglamaning yechimi ham funktsiya bo'ladi

(3.14) ga ko'ra, tana koordinatasining vaqtga bog'liqligi grafigi kosinus to'lqinidir (3.6-rasmga qarang).

Garmonik tebranishlarning davri va chastotasi. Vibratsiyalar paytida tana harakatlari vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Tizim bir to'liq tebranishlar siklini yakunlagan T vaqt davri tebranishlar davri deb ataladi.

Davrni bilib, siz tebranishlar chastotasini, ya'ni vaqt birligidagi tebranishlar sonini, masalan, soniyada aniqlashingiz mumkin. Agar T vaqtida bitta tebranish sodir bo'lsa, u holda sekunddagi tebranishlar soni

Xalqaro birliklar tizimida (SI) tebranishlar chastotasi, agar soniyada bitta tebranish sodir bo'lsa, bittaga teng. Chastota birligi nemis fizigi G. Gerts sharafiga gerts (qisqartirilgan: Hz) deb ataladi.

2 soniyada tebranishlar soni:

Qiymat - tsiklik yoki dumaloq, tebranishlar chastotasi. Agar (3.14) tenglamada t vaqti bir davrga teng bo'lsa, u holda T \u003d 2. Shunday qilib, agar t \u003d 0 x \u003d x m vaqtida, u holda t \u003d T x \u003d x m vaqtida, ya'ni orqali bir davrga teng vaqt davri, tebranishlar takrorlanadi.

Erkin tebranishlar chastotasi tebranish tizimining tabiiy chastotasi 1 bilan topiladi.

Erkin tebranishlar chastotasi va davrining tizim xususiyatlariga bog'liqligi.(3.13) tenglamaga muvofiq prujinaga ulangan jismning tebranishlarining tabiiy chastotasi quyidagilarga teng:

U qanchalik katta bo'lsa, prujinaning qattiqligi k qanchalik katta bo'lsa va qanchalik kam bo'lsa, tana massasi m. Buni tushunish oson: qattiq buloq tanaga ko'proq tezlashishni beradi, tananing tezligini tezroq o'zgartiradi. Va tana qanchalik massiv bo'lsa, kuch ta'sirida tezlikni sekin o'zgartiradi. Tebranish davri:

Har xil qattiqlikdagi buloqlar va har xil massali jismlarga ega bo'lgan holda, (3.13) va (3.18) formulalar u T ning k va m ga bog'liqligi tabiatini to'g'ri tasvirlashini tajribadan tekshirish oson.

Shunisi e'tiborga loyiqki, jismning prujinada tebranish davri va mayatnikning kichik burilish burchaklarida tebranish davri tebranish amplitudasiga bog'liq emas.

Mayatnikning tebranishlarini tavsiflovchi (3.10) tenglamadagi tezlanish t va siljish x o'rtasidagi proportsionallik koeffitsienti moduli (3.11) tenglamadagi kabi siklik chastota kvadratidir. Shunday qilib, ipning vertikaldan og'ish burchagining kichik burchaklarida matematik mayatnikning tebranishlarining tabiiy chastotasi mayatnik uzunligiga va erkin tushish tezlashishiga bog'liq:

Bu formulani birinchi marta I. Nyutonning zamondoshi golland olimi G. Gyuygens olgan va sinab ko'rgan. Bu faqat ipning egilishning kichik burchaklari uchun amal qiladi.

1 Ko'pincha, qisqacha aytganda, biz tsiklik chastotani shunchaki chastota deb ataymiz. Siklik chastotani odatdagi chastotadan notalash orqali ajrata olasiz.

Mayatnik uzunligi bilan tebranish davri ortadi. Bu mayatnikning massasiga bog'liq emas. Buni turli mayatniklar bilan tajriba orqali osongina tekshirish mumkin. Tebranish davrining erkin tushish tezlanishiga bog'liqligini ham topish mumkin. G qanchalik kichik bo'lsa, mayatnikning tebranish davri shunchalik uzoqroq bo'ladi va shuning uchun mayatnik bilan soat shunchalik sekin ishlaydi. Shunday qilib, novda ustidagi og'irlik ko'rinishidagi mayatnikli soat, agar u yerto'ladan Moskva universitetining yuqori qavatiga (balandligi 200 m) ko'tarilsa, bir kunda deyarli 3 sekundga orqada qoladi. Va bu faqat balandlik bilan erkin tushish tezlashuvining pasayishi bilan bog'liq.

Mayatnikning tebranish davrining g qiymatiga bog'liqligi amaliyotda qo'llaniladi. Tebranish davrini o'lchab, g ni juda aniq aniqlash mumkin. Gravitatsiya ta'sirida tezlashuv geografik kenglikka qarab o'zgaradi. Ammo ma'lum bir kenglikda ham hamma joyda bir xil emas. Axir, zichlik er qobig'i hamma joyda bir xil emas. Zich jinslar paydo bo'lgan joylarda g tezlanishi biroz kattaroqdir. Bu foydali qazilmalarni qidirishda hisobga olinadi.

Shunday qilib, temir javhari an'anaviy jinslarga nisbatan yuqori zichlikka ega. Akademik A. A. Mixaylov rahbarligida olib borilgan Kursk yaqinidagi tortishish kuchini tezlashtirish o'lchovlari temir rudasining joylashishini aniqlashtirishga imkon berdi. Ular birinchi marta magnit o'lchovlari orqali kashf etilgan.

Mexanik tebranishlarning xossalari ko'pgina elektron tarozilarning qurilmalarida qo'llaniladi. O'lchanadigan tana platformaga joylashtiriladi, uning ostida qattiq buloq o'rnatiladi. Natijada, bor mexanik tebranishlar, chastotasi mos keladigan sensor tomonidan o'lchanadi. Ushbu sensorga ulangan mikroprotsessor tebranish chastotasini tortilgan tananing massasiga aylantiradi, chunki bu chastota massaga bog'liq.

Tebranish davri uchun olingan formulalar (3.18) va (3.20) garmonik tebranishlar davri tizimning parametrlariga (bahorning qattiqligi, ip uzunligi va boshqalar) bog'liqligini ko'rsatadi.

Myakishev G. Ya., Fizika. 11-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / G. Ya. Myakishev, B. V. Buxovtsev, V. M. Charugin; ed. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 17-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M.: Ta'lim, 2008. - 399 b.: kasal.

Sinf bo'yicha mavzularning to'liq ro'yxati, kalendar rejasi fizika fanidan maktab o'quv dasturiga ko'ra online, 11-sinf uchun fizikadan video material yuklab olish

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, matallar, krossvordlar, tirnoqlar Qo'shimchalar tezislar maqolalar, qiziquvchan varaqlar uchun chiplar darsliklar, asosiy va qo'shimcha atamalarning lug'ati Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlarini eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi ko'rsatmalar muhokama dasturlari Integratsiyalashgan darslar