Je nepravděpodobné, že by v životě naší redakce uplynul alespoň jeden rok, aniž by obdržela dobrý tucet důkazů Fermatovy věty. Nyní, po „vítězství“ nad ním, proudění opadlo, ale nevyschlo.

Samozřejmě, abychom to úplně nevysušili, zveřejňujeme tento článek. A ne na svou obranu - prý proto jsme mlčeli, sami jsme ještě nedospěli k diskusi o tak složitých problémech.

Pokud se vám ale článek zdá opravdu složitý, podívejte se rovnou na jeho konec. Budete muset cítit, že vášně se dočasně uklidnily, věda neskončila a brzy budou do redakce zaslány nové důkazy nových teorémů.

Zdá se, že 20. století nebylo marné. Nejprve lidé na okamžik vytvořili druhé Slunce odpálením vodíkové bomby. Pak se prošli po Měsíci a nakonec dokázali notoricky známou Fermatovu větu. Z těchto tří zázraků jsou první dva na rtech, protože měly obrovské sociální důsledky. Naopak, třetí zázrak vypadá jako další vědecká hračka – srovnatelná s teorií relativity, kvantová mechanika a Gödelova věta o neúplnosti aritmetiky. Relativita a kvanta však vedly fyziky k vodíková bomba a výzkum matematiků naplnil náš svět počítači. Bude tento řetězec zázraků pokračovat do 21. století? Je možné vysledovat souvislost mezi dalšími vědeckými hračkami a revolucemi v našem každodenním životě? Umožňuje nám toto spojení dělat úspěšné předpovědi? Zkusme to pochopit na příkladu Fermatovy věty.

Pro začátek poznamenejme, že se narodila mnohem později, než byl její přirozený termín. Ostatně prvním speciálním případem Fermatovy věty je Pythagorova rovnice X 2 + Y 2 = Z 2 , vztahující délky stran pravoúhlého trojúhelníku. Když Pythagoras před pětadvaceti stoletími dokázal tento vzorec, okamžitě si položil otázku: Je v přírodě mnoho trojúhelníků, v nichž mají obě přepony a přepony celé číslo? Zdá se, že Egypťané znali pouze jeden takový trojúhelník - se stranami (3, 4, 5). Není ale těžké najít další možnosti: například (5, 12, 13) , (7, 24, 25) nebo (8, 15, 17) . Ve všech těchto případech má délka přepony tvar (A 2 + B 2), kde A a B jsou prvočísla různé parity. V tomto případě jsou délky nohou rovny (A 2 - B 2) a 2AB.

Když si Pythagoras všiml těchto vztahů, snadno dokázal, že jakákoli trojice čísel (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) je řešením rovnice X 2 + Y 2 \u003d Z 2 a nastaví obdélník se vzájemně jednoduchými délkami stran. Je také vidět, že počet různých trojic tohoto druhu je nekonečný. Ale mají všechna řešení Pythagorovy rovnice tento tvar? Pythagoras nebyl schopen dokázat ani vyvrátit takovou hypotézu a přenechal tento problém potomkům, aniž by na to upozornil. Kdo chce upozornit na své neúspěchy? Zdá se, že poté problém integrálních pravoúhlých trojúhelníků ležel na sedm století v zapomnění - dokud se v Alexandrii neobjevil nový matematický génius jménem Diophantus.

Víme o něm málo, ale je jasné, že nebyl nic jako Pythagoras. Cítil se jako král v geometrii a dokonce i mimo ni – ať už v hudbě, astronomii nebo politice. První aritmetické spojení mezi délkami stran harmonické harfy, první model vesmíru ze soustředných sfér nesoucích planety a hvězdy se Zemí ve středu a konečně první republika vědců v italském městě Crotone - to jsou osobní úspěchy Pythagora. Co by takovým úspěchům mohl oponovat Diophantus – skromný badatel velkého Muzea, které už dávno není chloubou městského davu?

Jen jedna věc: lepší porozumění starověkčísla, jejichž zákony Pythagoras, Euklides a Archimedes sotva stačili pocítit. Všimněte si, že Diophantus ještě nevlastnil systém poziční notace velká čísla ale věděl co záporná čísla a pravděpodobně strávil mnoho hodin přemýšlením o tom, proč je součin dvou záporných čísel kladný. Svět celých čísel byl poprvé odhalen Diophantovi jako zvláštní vesmír, odlišný od světa hvězd, segmentů nebo mnohostěnů. Hlavním zaměstnáním vědců v tomto světě je řešení rovnic, skutečný mistr najde všechna možná řešení a dokazuje, že žádná jiná řešení neexistují. To je to, co udělal Diophantus kvadratická rovnice Pythagoras, a pak si pomyslel: má alespoň jedno řešení podobnou kubickou rovnici X 3 + Y 3 = Z 3?

Diophantus takové řešení nenašel, neúspěšný byl i jeho pokus dokázat, že řešení neexistují. Proto, když Diophantus sepsal výsledky své práce v knize „Aritmetika“ (to byla první světová učebnice teorie čísel), analyzoval Pythagorovu rovnici podrobně, ale nenaznačil ani slovo o možných zobecněních této rovnice. Ale mohl: koneckonců to byl Diophantus, kdo jako první navrhl označení mocnin celých čísel! Ale bohužel: koncept „sešitu úkolů“ byl helénské vědě a pedagogice cizí a vydávání seznamů nevyřešených problémů bylo považováno za neslušné zaměstnání (jen Sokrates jednal jinak). Pokud nemůžete problém vyřešit - mlčte! Diophantus se odmlčel a toto mlčení se vleklo čtrnáct století – až do nástupu New Age, kdy byl obnoven zájem o proces lidského myšlení.

Kdo na přelomu 16.-17. století o ničem nefantazíroval! Neúnavný kalkulátor Kepler se snažil uhodnout souvislost mezi vzdálenostmi od Slunce k planetám. Pythagoras selhal. Keplerův úspěch přišel poté, co se naučil integrovat polynomy a další jednoduché funkce. Naopak snílek Descartes neměl rád dlouhé výpočty, ale byl to on, kdo poprvé představil všechny body roviny nebo prostoru jako sady čísel. Tento odvážný model redukuje jakýkoli geometrický problém o obrazcích na nějaký algebraický problém o rovnicích - a naopak. Například celočíselná řešení Pythagorovy rovnice odpovídají celočíselným bodům na povrchu kužele. Plocha odpovídající kubické rovnici X 3 + Y 3 = Z 3 vypadá komplikovaněji, její geometrické vlastnosti Pierru Fermatovi nic nenapovídaly a musel si razit nové cesty divočinou celých čísel.

V roce 1636 se Diophantova kniha, právě přeložená do latiny z řeckého originálu, dostala do rukou mladého právníka z Toulouse, který náhodou přežil v nějakém byzantském archivu a přivezl do Itálie jeden z římských uprchlíků v době turecké zřícenina. Fermat při čtení elegantní diskuse o Pythagorově rovnici přemýšlel: je možné najít takové řešení, které se skládá ze tří čtvercových čísel? Neexistují malá čísla tohoto druhu: je snadné to ověřit výčtem. A co velká rozhodnutí? Bez počítače by Fermat nemohl provést numerický experiment. Všiml si ale, že pro každé „velké“ řešení rovnice X 4 + Y 4 = Z 4 lze sestrojit menší řešení. Součet čtvrtých mocnin dvou celých čísel se tedy nikdy nerovná stejné mocnině třetího čísla! A co součet dvou kostek?

Inspirován úspěchem pro stupeň 4, Fermat se pokusil upravit "metodu sestupu" pro stupeň 3 - a uspěl. Ukázalo se, že z těch jednotlivých krychlí, na které se rozpadla velká krychle s celočíselnou délkou hrany, nelze poskládat dvě malé krychle. Triumfální Fermat udělal krátkou poznámku na okraj Diophantovy knihy a poslal do Paříže dopis s podrobnou zprávou o svém objevu. Odpovědi se ale nedočkal – i když matematici z hlavního města obvykle rychle zareagovali na další úspěch svého osamělého kolegy-soupeře v Toulouse. Co se tady děje?

Velmi jednoduché: do poloviny sedmnáctého století aritmetika vyšla z módy. Velké úspěchy italských algebraistů 16. století (kdy byly řešeny polynomiální rovnice 3. a 4. stupně) se nestaly začátkem všeobecné vědecké revoluce, protože neumožňovaly řešit nové světlé problémy v sousedních vědních oborech. Kdyby Kepler dokázal odhadnout oběžné dráhy planet pomocí čisté aritmetiky... Ale bohužel to vyžadovalo matematickou analýzu. To znamená, že se musí rozvíjet – až k úplnému triumfu matematické metody v přírodních vědách! Ale analýza vyrůstá z geometrie, zatímco aritmetika zůstává polem hry pro nečinné právníky a další milovníky věčné vědy o číslech a číslech.

Fermatovy aritmetické úspěchy se tedy ukázaly jako předčasné a zůstaly nedoceněny. Nezlobilo ho to: pro slávu matematika mu byla poprvé odhalena fakta diferenciálního počtu, analytické geometrie a teorie pravděpodobnosti. Všechny tyto Fermatovy objevy okamžitě vstoupily do zlatého fondu nové evropské vědy, zatímco teorie čísel ustoupila na dalších sto let do pozadí – dokud ji neoživil Euler.

Tento „král matematiků“ 18. století byl mistrem ve všech aplikacích analýzy, ale nezanedbával ani aritmetiku, protože nové metody analýzy vedly k neočekávaným faktům o číslech. Kdo by si pomyslel, že nekonečný součet inverzních čtverců (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) se rovná π 2 /6? Kdo z Helénů mohl předvídat, že podobná řada umožní dokázat iracionalitu čísla π?

Takové úspěchy donutily Eulera, aby pečlivě znovu přečetl dochované Fermatovy rukopisy (naštěstí je syn velkého Francouze dokázal publikovat). Je pravda, že důkaz „velké věty“ pro stupeň 3 se nezachoval, ale Euler jej snadno obnovil pouhým poukazem na „metodu sestupu“ a okamžitě se pokusil přenést tuto metodu na další prvostupňový stupeň - 5.

To tam nebylo! V Eulerově uvažování se objevilo komplexní čísla, kterého si Fermat stihl nevšimnout (taková je obvyklá spousta objevitelů). Ale faktorizace komplexních celých čísel je delikátní záležitost. Ani Euler to zcela nepochopil a „Fermatův problém“ odložil, ve spěchu, aby dokončil své hlavní dílo – učebnici „Základy analýzy“, která měla pomoci každému talentovanému mladému muži postavit se na roveň Leibnizovi a Euler. Vydání učebnice bylo dokončeno v Petrohradě v roce 1770. Ale Euler se k Fermatově větě nevrátil, protože si byl jistý, že vše, čeho se jeho ruce a mysl dotkly, nezapomene nová vědecká mládež.

A tak se stalo: Eulerovým nástupcem v teorii čísel se stal Francouz Adrien Legendre. Na konci 18. století dokončil důkaz Fermatovy věty pro stupeň 5 – a přestože neuspěl na velká prvočísla, sestavil další učebnici teorie čísel. Kéž její malí čtenáři předčí autora stejně, jako čtenáři Matematických principů přírodní filozofie předčili velkého Newtona! Legendre se nevyrovnal Newtonovi nebo Eulerovi, ale mezi jeho čtenáři byli dva géniové: Carl Gauss a Evariste Galois.

Tak vysokou koncentraci géniů napomohla Francouzská revoluce, která vyhlásila státní kult Rozumu. Poté se každý talentovaný vědec cítil jako Kolumbus nebo Alexandr Veliký, schopný objevit nebo dobýt nový svět. Mnohým se to podařilo, a proto se v 19. století stal vědecký a technický pokrok hlavním hybatelem evoluce lidstva a všichni rozumní vládci (Napoleonem počínaje) si toho byli vědomi.

Gauss byl povahově blízký Kolumbovi. Neuměl ale (stejně jako Newton) zaujmout představivost panovníků či studentů krásnými řečmi, a proto své ambice omezil na sféru vědeckých koncepcí. Tady si mohl dělat, co chtěl. Například starodávný problém trisekce úhlu z nějakého důvodu nelze vyřešit pomocí kružítka a pravítka. S pomocí komplexních čísel znázorňujících body roviny převádí Gauss tento problém do jazyka algebry - a získává obecnou teorii proveditelnosti určitých geometrických konstrukcí. Tak se zároveň objevil rigorózní důkaz o nemožnosti sestrojit pravidelný 7- nebo 9-úhelník pomocí kružítka a pravítka a takový způsob sestrojení pravidelného 17-úhelníku, který provedli nejmoudřejší geometrové z Hellasu. nesnít.

Takový úspěch se samozřejmě nedává nadarmo: člověk musí vymýšlet nové koncepty, které odrážejí podstatu věci. Newton představil tři takové koncepty: flux (derivát), fluent (integrál) a mocninná řada. Stačily k vytvoření matematické analýzy a prvního vědeckého modelu fyzického světa, včetně mechaniky a astronomie. Gauss také představil tři nové koncepty: vektorový prostor, pole a prstenec. Vyrostla z nich nová algebra, která podřadila řeckou aritmetiku a teorii numerických funkcí vytvořenou Newtonem. Zbývalo podřídit Aristotelem vytvořenou logiku algebře: pak by bylo možné pomocí výpočtů prokázat odvoditelnost či neodvoditelnost jakýchkoliv vědeckých tvrzení z tohoto souboru axiomů! Pochází například Fermatova věta z axiomů aritmetiky nebo Euklidův postulát rovnoběžných čar pochází z jiných axiomů planimetrie?

Gauss neměl čas na uskutečnění tohoto smělého snu - ačkoli pokročil daleko a uhodl možnost existence exotických (nekomutativních) algeber. První neeuklidovskou geometrii se podařilo postavit pouze odvážnému Rusovi Nikolaji Lobačevskému a první nekomutativní algebru (Teorie skupin) zvládl Francouz Evariste Galois. A teprve mnohem později než Gaussova smrt - v roce 1872 - mladý Němec Felix Klein uhodl, že rozmanitost možných geometrií může být uvedena do vzájemné korespondence s rozmanitostí možných algeber. Jednoduše řečeno, každá geometrie je definována svou grupou symetrie – zatímco obecná algebra studuje všechny možné grupy a jejich vlastnosti.

Ale takové pochopení geometrie a algebry přišlo mnohem později a útok na Fermatovu větu se obnovil ještě za Gaussova života. Sám Fermatovu větu zanedbal z principu: není věcí krále řešit jednotlivé problémy, které se nehodí do bystré vědecké teorie! Ale Gaussovi studenti, vyzbrojení jeho novou algebrou a klasickou Newtonovou a Eulerovou analýzou, uvažovali jinak. Nejprve Peter Dirichlet dokázal Fermatovu větu pro stupeň 7 pomocí kruhu komplexních celých čísel generovaných kořeny tohoto stupně jednoty. Poté Ernst Kummer rozšířil Dirichletovu metodu na VŠECHNO jednoduché stupně(!) - tak se mu to zdálo unáhlené a triumfoval. Brzy však přišlo vystřízlivění: důkaz projde bezchybně, pouze pokud je každý prvek prstenu jedinečně rozložen na prvočinitele! U obyčejných celých čísel byla tato skutečnost známa již Euklidovi, ale pouze Gauss podal její přísný důkaz. Ale co celá komplexní čísla?

Podle „zásady největšího neštěstí“ může a MĚLO by dojít k nejednoznačné faktorizaci! Jakmile se Kummer naučil vypočítat míru nejednoznačnosti metodami matematické analýzy, objevil tento špinavý trik v kruhu pro stupeň 23. Gauss neměl čas se o této verzi exotické komutativní algebry dozvědět, ale Gaussovi studenti rostli místo dalšího špinavého triku novou krásnou Teorii ideálů. Pravda, při řešení Fermatova problému to příliš nepomohlo: vyjasnila se pouze jeho přirozená složitost.

Po celé 19. století si tento starověký idol od svých obdivovatelů vyžádal stále více obětí v podobě nových komplexních teorií. Není divu, že na začátku 20. století byli věřící znechuceni a bouřili se a odmítali svůj bývalý idol. Slovo „fermatista“ se mezi lidmi stalo nadávkou profesionální matematici. A přestože byla udělena značná cena za úplný důkaz Fermatovy věty, její žadatelé byli většinou sebevědomí ignoranti. Nejsilnější matematici té doby – Poincaré a Hilbert – se tomuto tématu vzdorně vyhýbali.

V roce 1900 Hilbert nezařadil Fermatovu větu do seznamu třiadvaceti hlavních problémů, kterým matematika dvacátého století čelí. Pravda, do jejich řady zařadil obecný problém řešitelnosti diofantických rovnic. Poselství bylo jasné: po vzoru Gausse a Galoise tvořte obecné teorie nové matematické objekty! Pak jednoho krásného (ale předem nepředvídatelného) dne stará tříska sama vypadne.

Tak jednal velký romantik Henri Poincaré. Zanedbával mnoho „věčných“ problémů a celý život studoval SYMETRIE různých objektů matematiky nebo fyziky: buď funkce komplexní proměnné, nebo trajektorie pohybu nebeských těles, nebo algebraické křivky či hladké variety (to jsou vícerozměrné zobecnění zakřivených linky). Motiv jeho jednání byl jednoduchý: mají-li dva různé předměty podobnou symetrii, znamená to, že mezi nimi existuje vnitřní vztah, který zatím nejsme schopni pochopit! Například každá z dvourozměrných geometrií (Euklidova, Lobačevskij nebo Riemann) má svou vlastní grupu symetrie, která působí v rovině. Ale body roviny jsou komplexní čísla: tímto způsobem je působení jakékoli geometrické grupy přeneseno do obrovského světa komplexních funkcí. Je možné a nutné studovat nejsymetričtější z těchto funkcí: AUTOMORFNÍ (které podléhají Euklidovské skupině) a MODULARNÍ (které podléhají Lobačevského skupině)!

V rovině jsou také eliptické křivky. Nemají nic společného s elipsou, ale jsou dány rovnicemi tvaru Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, a proto se protínají s libovolnou přímkou ​​ve třech bodech. Tato skutečnost nám umožňuje zavést násobení mezi body eliptické křivky - přeměnit ji na grupu. Algebraická struktura této grupy odráží geometrické vlastnosti křivky, možná je jednoznačně určena její grupou? Tato otázka stojí za prostudování, protože u některých křivek se skupina, která nás zajímá, se ukazuje jako modulární, to znamená, že souvisí s Lobačevského geometrií ...

Takto uvažoval Poincaré a sváděl matematickou mládež Evropy, ale na začátku 20. století tato pokušení nevedla k jasným teorémům nebo hypotézám. S Hilbertovou výzvou to dopadlo jinak: studovat obecná řešení diofantických rovnic s celočíselnými koeficienty! V roce 1922 spojil mladý Američan Lewis Mordell množinu řešení takové rovnice (jedná se o vektorový prostor určité dimenze) s geometrickým rodem komplexní křivky, která je touto rovnicí dána. Mordell došel k závěru, že pokud je stupeň rovnice dostatečně velký (více než dva), pak je rozměr prostoru řešení vyjádřen pomocí rodu křivky, a proto je tento rozměr KONEČNÝ. Naopak – na mocninu 2 má Pythagorova rovnice NEKONEČNO ROZMĚRNOU rodinu řešení!

Mordell samozřejmě viděl souvislost své hypotézy s Fermatovou větou. Pokud se zjistí, že pro každý stupeň n > 2 je prostor celých řešení Fermatovy rovnice konečnorozměrný, pomůže to dokázat, že taková řešení vůbec neexistují! Mordell ale neviděl žádný způsob, jak svou hypotézu dokázat – a přestože žil dlouhý život, přeměnu této hypotézy ve Faltingsovu větu nečekal. Stalo se tak v roce 1983, v úplně jiné době, po velkých úspěších algebraické topologie variet.

Poincaré vytvořil tuto vědu jakoby náhodou: chtěl vědět, co jsou trojrozměrné variety. Ostatně Riemann přišel na strukturu všech uzavřených ploch a dostal velmi jednoduchou odpověď! Pokud v trojrozměrném nebo vícerozměrném případě taková odpověď neexistuje, musíte přijít se systémem algebraických invariantů variety, který určuje její geometrickou strukturu. Nejlepší je, když takové invarianty jsou prvky některých skupin - komutativních nebo nekomutativních.

I když se to může zdát zvláštní, tento odvážný plán Poincarého uspěl: byl uskutečněn v letech 1950 až 1970 díky úsilí mnoha geometrů a algebraistů. Až do roku 1950 docházelo k tichému hromadění různých metod pro klasifikaci variet a po tomto datu se zdálo, že se nashromáždilo kritické množství lidí a nápadů a došlo k explozi, srovnatelné s vynálezem matematické analýzy v 17. století. Ale analytická revoluce trvala století a půl a pokryla tvůrčí biografie čtyř generací matematiků – od Newtona a Leibnize po Fouriera a Cauchyho. Naopak topologická revoluce dvacátého století byla do dvaceti let – díky velký počet její členové. Zároveň vznikla početná generace sebevědomých mladých matematiků, kteří ve své historické vlasti najednou zůstali bez práce.

V sedmdesátých letech se vrhli do přilehlých oblastí matematiky a teoretická fyzika. Mnozí vytvořili své vlastní vědecké školy na desítkách univerzit v Evropě a Americe. Mezi těmito centry stále koluje mnoho studentů různého věku a národností, s různými schopnostmi a sklony a každý se chce proslavit nějakým objevem. Bylo to v tomto pandemoniu, kdy byly Mordellovy domněnky a Fermatova věta konečně prokázány.

První vlaštovka, neznalá svého osudu, však vyrostla v Japonsku v hladových a nezaměstnaných poválečných letech. Jméno vlaštovky bylo Yutaka Taniyama. V roce 1955 tomuto hrdinovi bylo 28 let a rozhodl se (spolu s přáteli Goro Shimurou a Takauji Tamagawou) oživit matematický výzkum v Japonsku. kde začít? Samozřejmě s překonáním izolace od zahraničních kolegů! A tak v roce 1955 uspořádali tři mladí Japonci v Tokiu první mezinárodní konferenci o algebře a teorii čísel. Bylo to zjevně snazší udělat to v Japonsku převychované Američany než v Rusku zmrazeném Stalinem...

Mezi čestnými hosty byli dva hrdinové z Francie: Andre Weil a Jean-Pierre Serre. Zde měli Japonci velké štěstí: Weil byl uznávaným šéfem francouzských algebraistů a členem Bourbakiho skupiny a mladý Serre hrál podobnou roli mezi topology. V bouřlivých diskusích s nimi praskaly hlavy japonské mládeže, rozpouštěly se jim mozky, ale nakonec vykrystalizovaly takové nápady a plány, které se v jiném prostředí jen těžko mohly zrodit.

Jednoho dne Taniyama oslovil Weila s dotazem na eliptické křivky a modulární funkce. Francouz nejprve ničemu nerozuměl: Taniyama nebyl mistrem mluvení anglicky. Pak byla podstata věci jasná, ale Taniyama nedokázal dát svým nadějím přesnou formulaci. Jediné, co Weil mohl mladému Japonci odpovědět, bylo, že pokud bude mít velké štěstí, pokud jde o inspiraci, pak z jeho nejasných hypotéz vyroste něco rozumného. Ale zatímco naděje na to je slabá!

Weil si zjevně nevšiml nebeského ohně v Taniyamově pohledu. A došlo k požáru: zdá se, že nezkrotná myšlenka na zesnulého Poincarého se na okamžik přesunula do Japonců! Taniyama dospěl k názoru, že každá eliptická křivka je generována modulárními funkcemi – přesněji řečeno, je „uniformována modulární formou“. Bohužel, toto přesné znění se zrodilo mnohem později - v rozhovorech Taniyamy s jeho přítelem Shimurou. A pak Taniyama spáchal sebevraždu v návalu deprese... Jeho hypotéza zůstala bez majitele: nebylo jasné, jak ji dokázat ani kde ji otestovat, a proto ji dlouho nikdo nebral vážně. První odezva přišla až o třicet let později – skoro jako za Fermatovy éry!

Ledy se prolomily v roce 1983, kdy sedmadvacetiletý Němec Gerd Faltings celému světu oznámil: Mordellova domněnka byla prokázána! Matematici byli ve střehu, ale Faltings byl skutečný Němec: v jeho dlouhém a komplikovaném důkazu nebyly žádné mezery. Prostě nastal čas, nashromáždila se fakta a pojmy – a nyní se jednomu talentovanému algebraistovi, opírajícímu se o výsledky deseti dalších algebraistů, podařilo vyřešit problém, který na mistra čekal šedesát let. To není v matematice 20. století nic neobvyklého. Stojí za to připomenout problém sekulárního kontinua v teorii množin, Burnsideovy dva domněnky v teorii grup nebo Poincarého domněnku v topologii. Konečně, v teorii čísel, nastal čas sklízet starou úrodu... Který vrchol bude další v řadě dobytých matematiků? Zhroutí se Eulerův problém, Riemannova hypotéza nebo Fermatova věta? Je to dobré!

A nyní, dva roky po odhalení Faltingse, se v Německu objevil další inspirovaný matematik. Jmenoval se Gerhard Frey a tvrdil něco zvláštního: že Fermatova věta je ODVOZENA z Taniyamova dohadu! Freyův styl vyjadřování myšlenek bohužel připomínal spíše nešťastníka Taniyamu než jeho jasného krajana Faltingse. V Německu Freyovi nikdo nerozuměl a odjel do zámoří - do honosného města Princeton, kde si po Einsteinovi zvykli na ne takové návštěvníky. Není divu, že si tam hnízdo udělal Barry Mazur, všestranný topolog, jeden z hrdinů nedávného útoku na hladké rozvody. A vedle Mazura vyrostl student – ​​Ken Ribet, stejně zkušený ve spletitosti topologie a algebry, ale přesto se nijak neoslavuje.

Když poprvé slyšel Freyovy projevy, Ribet usoudil, že jde o nesmysl a téměř sci-fi (pravděpodobně Weil reagoval na Taniyamova odhalení stejným způsobem). Ribet ale na tuto "fantazii" nemohl zapomenout a občas se k ní duševně vracel. O šest měsíců později Ribet uvěřil, že ve Freyových fantaziích je něco rozumného, ​​a o rok později se rozhodl, že on sám může Freyovu podivnou hypotézu téměř dokázat. Některé „díry“ ale zůstaly a Ribet se rozhodl vyzpovídat svého šéfa Mazura. Pozorně studenta poslouchal a klidně odpověděl: „Ano, udělal jsi všechno! Zde musíte použít transformaci Ф, zde - použijte Lemma B a K a vše bude mít dokonalou podobu! Ribet tedy udělal skok z temnoty do nesmrtelnosti pomocí katapultu v osobě Freye a Mazura. Upřímně řečeno, všechny – spolu s pozdním Taniyamou – by měly být považovány za důkazy Fermatovy poslední věty.

Ale tady je problém: své tvrzení odvodili z hypotézy Taniyama, která sama o sobě nebyla prokázána! Co když je nevěrná? Matematici už dávno vědí, že „cokoli vyplývá ze lži“, pokud je Taniyamův odhad špatný, pak Ribetova bezvadná úvaha je bezcenná! Naléhavě potřebujeme dokázat (nebo vyvrátit) Taniyamovu domněnku – jinak někdo jako Faltings dokáže Fermatovu větu jiným způsobem. Stane se hrdinou!

Je nepravděpodobné, že se někdy dozvíme, kolik mladých nebo ostřílených algebraistů skočilo na Fermatovu větu po úspěchu Faltingse nebo po vítězství Ribeta v roce 1986. Všichni se snažili pracovat skrytě, aby v případě neúspěchu nebyli zařazeni mezi komunitu „dummy“-fermatistů. Je známo, že nejúspěšnější ze všech - Andrew Wiles z Cambridge - pocítil chuť vítězství až na začátku roku 1993. To Wilese ani tak nepotěšilo, jako spíš vyděsilo: co když jeho důkaz o domněnce Taniyamy ukázal chybu nebo mezeru? Pak jeho vědecká pověst zanikla! Důkaz je nutné pečlivě zapsat (bude to ale mnoho desítek stran!) a odložit o šest měsíců nebo rok, abyste si jej později mohli chladnokrevně a pečlivě přečíst... Ale co pokud někdo během této doby zveřejní svůj důkaz? Ach potíže...

Přesto Wiles přišel s dvojím způsobem, jak rychle otestovat svůj důkaz. Nejprve musíte důvěřovat jednomu ze svých spolehlivých přátel a kolegů a sdělit mu celý průběh uvažování. Zvenčí jsou všechny chyby viditelnější! Zadruhé je třeba na toto téma přečíst speciální kurz pro chytré studenty a postgraduální studenty: tito chytří lidé neuniknou jediné lektorské chybě! Jen jim do poslední chvíle neříkejte konečný cíl kurzu – jinak se o něm dozví celý svět! A samozřejmě musíte hledat takové publikum mimo Cambridge - je to lepší ani ne v Anglii, ale v Americe ... Co by mohlo být lepší než vzdálený Princeton?

Wiles tam šel na jaře roku 1993. Jeho trpělivý přítel Niklas Katz po vyslechnutí Wilesovy dlouhé zprávy v ní našel řadu mezer, ale všechny se daly snadno napravit. Postgraduální studenti z Princetonu ale brzy utekli z Wilesova speciálního kurzu, protože nechtěli následovat rozmarné myšlenky lektora, který je vede neznámo kam. Po takové (ne nijak zvlášť hluboké) recenzi svého díla se Wiles rozhodl, že je čas odhalit světu velký zázrak.

V červnu 1993 se v Cambridge konala další konference věnovaná „teorii Iwasawa“ – oblíbené sekci teorie čísel. Wiles se rozhodl říct svůj důkaz o Taniyamově domněnce, aniž by až do samého konce oznámil hlavní výsledek. Reportáž pokračovala dlouho, ale úspěšně, postupně se začali hrnout novináři, kteří cosi tušili. Konečně udeřil hrom: Fermatův teorém je dokázán! Všeobecnou radost nezastínily žádné pochybnosti: zdá se, že vše je jasné... Ale o dva měsíce později si Katz přečetl závěrečný text Wilese a všiml si v něm další mezery. Určitý přechod v uvažování se opíral o „Eulerův systém“ – ale to, co Wiles vybudoval, takový systém nebyl!

Wiles zkontroloval úzké hrdlo a uvědomil si, že se zde spletl. Ještě horší: není jasné, jak nahradit chybnou úvahu! Následovaly nejtemnější měsíce Wilesova života. Dříve volně syntetizoval bezprecedentní důkaz z materiálu, který měl k dispozici. Nyní je svázán s úzkým a jasným úkolem – bez jistoty, že má řešení a že se mu ho v dohledné době podaří najít. Nedávno Frey neodolal stejnému boji - a nyní bylo jeho jméno zakryto jménem šťastného Ribeta, i když se Freyův odhad ukázal jako správný. A co se stane s MÝM odhadem a MÝM jménem?

Tato dřina trvala přesně jeden rok. V září 1994 byl Wiles připraven přiznat porážku a přenechat hypotézu Taniyamy šťastnějším nástupcům. Poté, co učinil takové rozhodnutí, začal pomalu znovu číst svůj důkaz - od začátku do konce, naslouchal rytmu uvažování, znovu prožíval potěšení z úspěšných objevů. Když však Wiles dorazil na „prokleté“ místo, v duchu neslyšel falešnou poznámku. Byl průběh jeho uvažování stále bezchybný a chyba vznikla pouze ve SLOVNÍM popisu mentálního obrazu? Pokud zde žádný „Eulerův systém“ neexistuje, co se zde skrývá?

Najednou mě napadla jednoduchá myšlenka: „Eulerův systém“ nefunguje tam, kde je použitelná teorie Iwasawa. Proč tuto teorii neaplikovat přímo – naštěstí je blízká a známá i samotnému Wilesovi? A proč tento přístup nezkusil hned od začátku, ale nechal se unést cizí vizí problému? Wiles si na tyto detaily již nemohl vzpomenout – a staly se zbytečnými. Provedl potřebnou úvahu v rámci teorie Iwasawa a za půl hodiny vše dopadlo! Tím byla – se zpožděním jednoho roku – uzavřena poslední mezera v důkazu Taniyamovy domněnky. Finální text byl vydán na milost a nemilost skupině recenzentů nejslavnějšího matematického časopisu, o rok později prohlásili, že nyní nejsou žádné chyby. V roce 1995 tak poslední Fermatova domněnka zemřela ve věku tří set šedesáti let a změnila se v osvědčenou větu, která nevyhnutelně vstoupí do učebnic teorie čísel.

Shrneme-li tři století trvající povyk kolem Fermatovy věty, musíme vyvodit podivný závěr: tento hrdinský epos se nemohl stát! Ve skutečnosti Pythagorova věta vyjadřuje jednoduché a důležité spojení mezi vizuálním přírodní objekty- délka segmentů. Totéž se ale nedá říci o Fermatově větě. Vypadá to spíše jako kulturní nadstavba na vědeckém substrátu – jako dosažení severního pólu Země nebo let na Měsíc. Připomeňme si, že oba tyto výkony zpívali spisovatelé dlouho předtím, než byly uskutečněny – v dávných dobách, po objevení Euklidových „Prvků“, ale ještě před objevením Diophantovy „Aritmetiky“. Takže potom byla veřejná potřeba intelektuálních vykořisťování tohoto druhu - alespoň imaginární! Dříve měli Heléni dost Homérových básní, stejně jako sto let před Fermatem měli Francouzi dost náboženských vášní. Pak ale náboženské vášně utichly – a věda stála vedle nich.

V Rusku takové procesy začaly před sto padesáti lety, kdy Turgeněv postavil Jevgenije Bazarova na roveň Jevgenije Oněgina. Je pravda, že spisovatel Turgeněv špatně chápal motivy činů vědce Bazarova a neodvážil se je zpívat, ale to brzy udělal vědec Ivan Sechenov a osvícený novinář Jules Verne. Spontánní vědecká a technologická revoluce potřebuje kulturní skořápku, aby pronikla do myslí většiny lidí, a zde přichází na řadu nejprve sci-fi a poté populárně-vědecká literatura (včetně časopisu „Knowledge is Power“).

Zároveň konkrétní vědecké téma není vůbec důležitý pro širokou veřejnost a není příliš důležitý ani pro hrdiny. Když se tedy Amundsen doslechl o dosažení severního pólu Pearym a Cookem, okamžitě změnil cíl své již připravené expedice - a brzy dosáhl jižního pólu, před Scottem o měsíc. Později úspěšné obeplutí Země Jurijem Gagarinem přimělo prezidenta Kennedyho změnit dřívější cíl amerického vesmírného programu na dražší, ale mnohem působivější: přistání lidí na Měsíci.

Už dříve bystrý Hilbert odpověděl na naivní otázku studentů: „Řešení jakého vědeckého problému by bylo nyní nejužitečnější“? - odpověděl vtipem: „Chyť mouchu dál opačná strana Měsíc! Na zmatenou otázku: "Proč je to nutné?" - následuje jasná odpověď: „TO nikdo nepotřebuje! Ale přemýšlejte o nich vědecké metody A technické prostředky, kterou budeme muset vyvinout, abychom takový problém vyřešili – a jakou spoustu dalších krásných problémů cestou vyřešíme!

Přesně to se stalo s Fermatovou větou. Euler to mohl přehlédnout.

V tomto případě by se modlou matematiků stal nějaký jiný problém – možná také z teorie čísel. Například problém Eratosthena: existuje konečná nebo nekonečná množina prvočísel dvojčat (například 11 a 13, 17 a 19 a tak dále)? Nebo Eulerův problém: je každé sudé číslo součtem dvou prvočísel? Nebo: existuje algebraický vztah mezi čísly π a e? Tyto tři problémy dosud nebyly vyřešeny, ačkoli ve 20. století se matematici přiblížili k pochopení jejich podstaty. Ale toto století dalo vzniknout mnoha novým, neméně zajímavé úkoly, zejména na průsecích matematiky s fyzikou a dalšími odvětvími přírodních věd.

V roce 1900 Hilbert vybral jeden z nich: vytvořit úplný systém axiomů matematické fyziky! O sto let později není tento problém ani zdaleka vyřešen, už jen proto, že arzenál matematických fyzikálních prostředků neustále roste a ne všechny mají rigorózní opodstatnění. Ale po roce 1970 se teoretická fyzika rozdělila na dvě větve. Jeden (klasický) od dob Newtona modeluje a předpovídá STABILNÍ procesy, druhý (novorozenecký) se snaží formalizovat interakci NESTABILNÍCH procesů a způsoby jejich řízení. Je jasné, že tato dvě odvětví fyziky musí být axiomatizována odděleně.

První z nich se bude řešit pravděpodobně za dvacet nebo padesát let...

A co chybí druhé větvi fyziky – té, která má na starosti všechny druhy evoluce (včetně exotických fraktálů a podivných atraktorů, ekologie biocenóz a Gumiljovovy teorie vášně)? To pravděpodobně brzy nepochopíme. Ale uctívání vědců k nové modle se již stalo masovým fenoménem. Pravděpodobně se zde odehraje epos, srovnatelný s tří století trvající biografií Fermatova teorému. Takže na křižovatkách různé vědy rodí se stále více nových idolů - podobných náboženským, ale složitější a dynamičtější ...

Člověk zřejmě nemůže zůstat člověkem, aniž by čas od času svrhl staré modly a nevytvářel nové – v bolesti i s radostí! Pierre Fermat měl štěstí, že byl v osudný okamžik blízko horkého místa zrození nového idolu – a podařilo se mu zanechat na novorozenci otisk své osobnosti. Takový osud lze závidět a není hříchem jej napodobovat.

Sergej Smirnov
"Vědění je moc"

HISTORIE VELKÉ FERMATOVY VĚTY
Velká záležitost

Jednou jsem v novoročním vydání mailing listu o tom, jak se dělají toasty, jen tak mimochodem zmínil, že na konci 20. století došlo k jedné grandiózní události, které si mnozí nevšimli – konečně byla prokázána tzv. Fermatova poslední věta. Při této příležitosti jsem mezi dopisy, které jsem dostal, našel dvě odpovědi od dívek (jedním z nich, pokud si pamatuji, je Vika, žákyně deváté třídy ze Zelenogradu), které tato skutečnost překvapila.

A překvapilo mě, jak moc se dívky zajímají o problémy moderní matematiky. Proto si myslím, že nejen dívky, ale i chlapci všech věkových kategorií – od středoškoláků až po důchodce, budou mít také zájem o poznání historie Velké věty.

Důkaz Fermatovy věty je velká událost. A od té doby není zvykem vtipkovat se slovem „skvělý“, pak se mi zdá, že každý sebeúctyhodný řečník (a my všichni, když říkáme řečníci) je prostě povinen znát historii věty.

Pokud se vám stalo, že vás matematika nebaví tak, jako ji miluji já, podívejte se na některá prohloubení podrobně letmým pohledem. Pochopil jsem, že ne všichni čtenáři našeho mailing listu mají zájem bloudit v divočině matematiky, snažil jsem se neuvádět žádné vzorce (kromě rovnice Fermatovy věty a několika hypotéz) a zjednodušit pokrytí některých konkrétních problémů jako co nejvíce.

Jak Fermat vařil kaši

Francouzský právník a na částečný úvazek velký matematik 17. století Pierre Fermat (1601-1665) předložil jedno kuriózní tvrzení z oblasti teorie čísel, které se později stalo známým jako Fermatova Velká (nebo Velká) věta. Toto je jedna z nejznámějších a nejfenomenálních matematických vět. Pravděpodobně by vzrušení kolem toho nebylo tak silné, kdyby v knize Diofanta Alexandrijského (3. století n. l.) „Aritmetika“, kterou Fermat často studoval, dělal si poznámky na jejích širokých okrajích a kterou jeho syn Samuel laskavě uchoval pro potomky , nebyl nalezen přibližně následující záznam velkého matematika:

"Mám velmi překvapivý důkaz, ale je příliš velký na to, aby se vešel na okraj."

Právě tento vstup způsobil následující grandiózní zmatek kolem teorému.

Takže slavný vědec řekl, že dokázal svou větu. Položme si otázku: skutečně to dokázal, nebo lhal banálně? Nebo existují jiné verze vysvětlující výskyt onoho okrajového záznamu, který mnoha matematikům příštích generací nedovolil klidně spát?

Historie Velké věty je stejně fascinující jako dobrodružství v čase. Fermat uvedl v roce 1636, že rovnice tvaru x n + y n = z n nemá žádná řešení v celých číslech s exponentem n>2. Toto je vlastně poslední Fermatova věta. V tomto zdánlivě jednoduchém matematickém vzorci vesmír zamaskoval neuvěřitelnou složitost. Americký matematik narozený ve Skotsku Eric Temple Bell ve své knize The Final Problem (1961) dokonce navrhl, že lidstvo možná přestane existovat dříve, než dokáže prokázat Fermatovu poslední větu.

Je poněkud zvláštní, že se tato věta z nějakého důvodu zpozdila se svým zrodem, protože situace byla dlouho opožděná, protože její speciální případ pro n = 2 – další slavný matematický vzorec – Pythagorova věta, vznikl o dvacet dva století dříve. Na rozdíl od Fermatovy věty má Pythagorova věta nekonečný počet celočíselných řešení, například takové Pythagorovy trojúhelníky: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Grand Theorem syndrom

Kdo se jen nepokusil dokázat Fermatovu větu. Každý začínající student považoval za svou povinnost použít Velkou větu, ale nikdo to nedokázal. Nejprve to sto let nefungovalo. Pak ještě stovku. A dál. Mezi matematiky se začal rozvíjet hromadný syndrom: "Jak to? Fermat to dokázal, ale co když nemůžu, nebo co?" - a někteří z nich se na tomto základě zbláznili plný smysl tohle slovo.

Bez ohledu na to, jak moc byla věta testována, vždy se ukázala jako pravdivá. Znal jsem jednoho energického programátora, který byl posedlý myšlenkou vyvrátit Velkou větu tím, že se pokusil najít alespoň jedno z jejích řešení (protipříklad) iterací přes celá čísla pomocí rychlého počítače (v té době častěji nazývaného počítač). Věřil v úspěch svého podniku a rád říkal: "Ještě trochu - a vypukne senzace!" Myslím, že v různých částech naší planety bylo značné množství tohoto druhu odvážných hledačů. Žádné řešení samozřejmě nenašel. A žádné počítače, ani s pohádkovou rychlostí, by nikdy nemohly ověřit teorém, protože všechny proměnné této rovnice (včetně exponentů) se mohou zvětšovat do nekonečna.

Věta vyžaduje důkaz

Matematici vědí, že pokud věta není dokázána, může z ní vyplynout cokoli (ať už pravdivé nebo nepravdivé), jako tomu bylo u některých jiných hypotéz. Například Pierre Fermat v jednom ze svých dopisů navrhl, že čísla ve tvaru 2 n + 1 (takzvaná Fermatova čísla) jsou nutně prvočísla (to znamená, že nemají celočíselné dělitele a jsou dělitelná pouze sama o sobě beze zbytku). a jednou), jestliže n je mocnina dvou (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 atd.). Fermatova hypotéza žila více než sto let – dokud Leonhard Euler v roce 1732 neukázal, že

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Poté, téměř o 150 let později (1880), Fortune Landry zohlednil následující Fermatovo číslo:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Jak mohli najít dělitele těchto velkých čísel bez pomoci počítačů - to ví jen Bůh. Euler zase předložil hypotézu, že rovnice x 4 + y 4 + z 4 =u 4 nemá řešení v celých číslech. Zhruba o 250 let později, v roce 1988, se však Nahumovi Elkisovi z Harvardu podařilo objevit (již s pomocí počítačový program), Co

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Proto Fermatova Poslední věta vyžadovala důkaz, jinak to byla jen hypotéza a klidně se mohlo stát, že někde v nekonečných číselných polích se řešení rovnice Velké věty ztratilo.

Nejvirtuóznější a nejplodnější matematik 18. století Leonhard Euler, jehož archiv záznamů lidstvo utřídilo téměř století, dokázal Fermatovu větu pro mocniny 3 a 4 (nebo spíše zopakoval ztracené důkazy samotného Pierra Fermata) ; jeho následovník v teorii čísel, Legendre (a nezávisle Dirichlet) - pro stupeň 5; Kulhavý - pro stupeň 7. Ale v obecný pohled věta zůstala neprokázaná.

1. března 1847 na schůzi pařížské akademie věd dva významný matematik- Gabriel Lame a Augustin Cauchy - řekli, že došli na konec důkazu Velké věty a měli závod, publikovali své důkazy po částech. Souboj mezi nimi byl ale přerušen, protože v jejich důkazech byla objevena stejná chyba, na kterou upozornil německý matematik Ernst Kummer.

Na počátku 20. století (1908) odkázal bohatý německý podnikatel, filantrop a vědec Paul Wolfskel sto tisíc marek každému, kdo by předložil úplný důkaz Fermatovy věty. Již v prvním roce po zveřejnění Wolfskellova závěti Göttingenskou akademií věd byl zavalen tisíci důkazů od milovníků matematiky a tento proud se po desetiletí nezastavil, ale jak si dokážete představit, všechny obsahovaly chyby . Říká se, že akademie připravila formuláře s následujícím obsahem:

Milý ___________________________!
Ve vašem důkazu Fermatovy věty na ____ stránce ____ řádek shora
Ve vzorci byla nalezena následující chyba: ___________________________:,

Které byly zaslány nešťastným uchazečům o ocenění.

Tehdy se v kruhu matematiků objevila polopohrdavá přezdívka - fermista. Tak se jmenoval každý sebevědomý povýšenec, kterému chyběly znalosti, ale měl více než ambice narychlo se pokusit dokázat Velkou větu, a pak, aniž by si povšiml vlastních chyb, hrdě se plácl do prsou, hlasitě prohlásil: „Dokázal jsem první Fermatova věta! Každý farmář, i kdyby byl desetitisící, se považoval za prvního – to bylo směšné. Jednoduchý vzhled Velká věta Fermistům natolik připomínala snadnou kořist, že se absolutně nestyděli, že se s tím nedokázali vyrovnat ani Euler a Gauss.

(Fermisté kupodivu existují dodnes. Sice jeden z nich nevěřil, že teorém dokázal jako klasický fermista, ale donedávna se o to pokoušel - odmítl mi věřit, když jsem mu řekl, že Fermatova věta již byla dokázal).

Nejmocnější matematici, možná v tichu svých kanceláří, se také snažili opatrně přistupovat k této nesnesitelné tyči, ale nemluvili o tom nahlas, aby nebyli označeni za fermisty, a tím nepoškodili jejich vysokou autoritu.

V té době se objevil důkaz věty pro exponent n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Podivná hypotéza

Až do poloviny dvacátého století nebyly v historii Velké věty pozorovány žádné velké pokroky. Brzy se ale v matematickém životě odehrála zajímavá událost. V roce 1955 28letý japonský matematik Yutaka Taniyama předložil tvrzení ze zcela jiné oblasti matematiky, nazývané hypotéza Taniyama (neboli hypotéza Taniyama-Shimura-Weil), která byla na rozdíl od opožděné Fermatovy věty napřed. své doby.

Taniyamova domněnka říká: "každá eliptická křivka odpovídá určité modulární formě." Tento výrok pro tehdejší matematiky zněl asi tak absurdně, jako zní výrok pro nás: „každému stromu odpovídá určitý kov“. Je snadné uhodnout, jak se k takovému tvrzení může normální člověk vztahovat – prostě ho nebude brát vážně, což se stalo: matematici hypotézu jednomyslně ignorovali.

Malé vysvětlení. Eliptické křivky, známé již dlouhou dobu, mají dvourozměrný tvar (umístěný v rovině). Modulární funkce, objevené v 19. století, mají čtyřrozměrnou podobu, takže si je svým trojrozměrným mozkem neumíme ani představit, ale umíme je popsat matematicky; modulární formy jsou navíc úžasné v tom, že mají maximální možnou symetrii - lze je posouvat (posouvat) v libovolném směru, zrcadlit, fragmenty lze zaměňovat, otáčet nekonečně mnoha způsoby - a jejich vzhled se nemění. Jak vidíte, eliptické křivky a modulární formy nemají mnoho společného. Taniyamova hypotéza tvrdí, že popisné rovnice těchto dvou vzájemně si odpovídajících absolutně odlišných matematických objektů lze rozšířit do stejné matematické řady.

Taniyamova hypotéza byla příliš paradoxní: kombinovala zcela odlišné koncepty – spíše jednoduché ploché křivky a nepředstavitelné čtyřrozměrné tvary. Tohle nikdy nikoho nenapadlo. Když na mezinárodním matematickém sympoziu v Tokiu v září 1955 Taniyama předvedl několik korespondencí mezi eliptickými křivkami a modulárními formami, všichni v tom neviděli nic jiného než legrační náhodu. Na Taniyamovu skromnou otázku: je možné najít odpovídající modulární funkci pro každou eliptickou křivku, dal ctihodný Francouz Andre Weil, který byl v té době jedním z nejlepších světových specialistů na teorii čísel, docela diplomatickou odpověď, co, říkají? , pokud zvídavý Taniyama neopustí nadšení, tak možná bude mít štěstí a jeho neuvěřitelná hypotéza se potvrdí, ale to se nesmí stát brzy. Obecně, stejně jako mnoho dalších vynikajících objevů, byla Taniyamova hypotéza zpočátku ignorována, protože k ní ještě nedospěli – téměř nikdo ji nechápal. Pouze jeden Taniyamův kolega, Goro Shimura, dobře znal svého velmi nadaného přítele, intuitivně cítil, že jeho hypotéza je správná.

O tři roky později (1958) spáchal Yutaka Taniyama sebevraždu (avšak samurajské tradice jsou v Japonsku silné). Z hlediska zdravého rozumu - nepochopitelný čin, zvláště když uvážíte, že se velmi brzy měl oženit. Vůdce mladých japonských matematiků zahájil svou sebevražednou poznámku takto: "Včera jsem o sebevraždě nepřemýšlel. V poslední době jsem často od ostatních slýchal, že jsem unavený psychicky i fyzicky. Vlastně ani teď nechápu, proč jsem dělat toto...“ a tak dále na třech listech. Je samozřejmě škoda, že to byl osud zajímavého člověka, ale všichni géniové jsou trochu zvláštní - proto jsou géniové (z nějakého důvodu mě napadla slova Arthura Schopenhauera: „v běžném životě génius je stejně užitečný jako dalekohled v divadle“). Hypotéza byla opuštěna. Nikdo nevěděl, jak to dokázat.

Deset let se o Taniyamově hypotéze téměř nemluvilo. Ale na počátku 70. let se stala populární – pravidelně ji kontroloval každý, kdo jí rozuměl – a vždy se potvrdila (jako ve skutečnosti Fermatova věta), ale stejně jako dříve to nikdo nedokázal.

Úžasné spojení mezi těmito dvěma hypotézami

Uplynulo dalších 15 let. V roce 1984 došlo k jedné klíčové události v životě matematiky, která spojila extravagantní japonskou domněnku s Fermatovou poslední větou. Němec Gerhard Frey předložil kuriózní prohlášení, podobné teorému: "Pokud se Taniyamova domněnka prokáže, pak bude následně prokázána i Fermatova poslední věta." Jinými slovy, Fermatův teorém je důsledkem Taniyamovy domněnky. (Frey pomocí důmyslných matematických transformací zredukoval Fermatovu rovnici do podoby rovnice eliptické křivky (stejné, jaká se objevuje v Taniyamově hypotéze), svůj předpoklad víceméně doložil, ale nedokázal to). A jen o rok a půl později (1986) profesor Kalifornské univerzity Kenneth Ribet Freyův teorém jasně dokázal.

Co se teď stalo? Nyní se ukázalo, že vzhledem k tomu, že Fermatův teorém je již přesně důsledkem Taniyamovy domněnky, stačí pouze dokázat to druhé, aby se zlomily vavříny dobyvatele legendární Fermatovy věty. Hypotéza se ale ukázala jako obtížná. V průběhu staletí navíc matematici začali být alergičtí na Fermatovu větu a mnozí z nich usoudili, že vyrovnat se s Taniyamovou domněnkou bude také téměř nemožné.

Smrt Fermatovy hypotézy. Zrození teorému

Uplynulo dalších 8 let. Jeden progresivní anglický profesor matematiky z Princetonské univerzity (New Jersey, USA), Andrew Wiles, si myslel, že našel důkaz Taniyamovy domněnky. Pokud génius není plešatý, pak zpravidla rozcuchaný. Wiles je rozcuchaný, proto vypadá jako génius. Vstup do historie je samozřejmě lákavý a velmi žádoucí, ale Wiles se jako skutečný vědec nelichotil, když si uvědomil, že tisíce fermistů před ním také viděly strašidelné důkazy. Před předložením svého důkazu světu jej proto pečlivě zkontroloval sám, ale protože si uvědomil, že může mít subjektivní zaujatost, zapojil do kontrol i ostatní, například pod rouškou běžných matematických úloh občas házel různé útržky jeho důkaz pro chytré postgraduální studenty. Wiles později přiznal, že nikdo kromě jeho ženy nevěděl, že pracuje na dokazování Velké věty.

A tak po dlouhých kontrolách a bolestných úvahách Wiles konečně sebral odvahu a možná, jak si sám myslel, i aroganci, a 23. června 1993 na matematické konferenci o teorii čísel v Cambridge oznámil svůj velký úspěch.

Byla to samozřejmě senzace. Takovou obratnost od málo známého matematika nikdo nečekal. Pak přišel tisk. Všechny trýznil planoucí zájem. Před zvědavýma očima publika se objevovaly štíhlé formule jako tahy krásného obrazu. Skuteční matematici jsou ostatně takoví – dívají se na všemožné rovnice a nevidí v nich čísla, konstanty a proměnné, ale slyší hudbu, jako když se Mozart dívá na notovou osnovu. Stejně jako když čteme knihu, díváme se na písmena, ale zdá se, že si jich nevšímáme, ale okamžitě vnímáme význam textu.

Předložení důkazu se zdálo být úspěšné - nebyly v něm nalezeny žádné chyby - nikdo neslyšel jedinou falešnou poznámku (i když většina matematiků na něj prostě zírala jako prvňáčci na integrál a ničemu nerozuměla). Všichni usoudili, že se stala událost velkého rozsahu: Taniyamova hypotéza byla prokázána a následně i Fermatova poslední věta. Ale asi o dva měsíce později, několik dní předtím, než se měl rukopis Wilesova důkazu dostat do oběhu, bylo zjištěno, že je nekonzistentní (Katz, kolega Wilese, poznamenal, že jedna úvaha se opírala o „Eulerův systém“, ale co postavený Wilesem, nebyl takový systém), ačkoli obecně byly Wilesovy techniky považovány za zajímavé, elegantní a inovativní.

Wiles analyzoval situaci a rozhodl, že prohrál. Lze si představit, jak celou svou bytostí cítil, co to znamená „od velkého po směšný jeden krok“. "Chtěl jsem vstoupit do historie, ale místo toho jsem se přidal k týmu klaunů a komiků - arogantních farmářů" - přibližně takové myšlenky ho v bolestném období jeho života vyčerpávaly. Pro něj, vážného matematika, to byla tragédie a svůj důkaz odhodil na druhou kolej.

Ale o něco málo více než rok později, v září 1994, když společně se svým kolegou Taylorem z Oxfordu přemýšleli o tomto úzkém hrdle důkazu, ten náhle dostal nápad, že by „Eulerův systém“ mohl být změněn na teorii Iwasawa (část teorie čísel). Pak zkusili použít teorii Iwasawa, obešli se bez „Eulerova systému“ a všichni se sešli. Opravená verze důkazu byla předložena k ověření a o rok později bylo oznámeno, že je v něm vše naprosto jasné, bez jediné chyby. V létě 1995 vyšel v jednom z předních matematických časopisů – „Annals of Mathematics“ – úplný důkaz Taniyamovy domněnky (proto Fermatova velká (velká) věta), která zabírala celé číslo – přes sto listů. Důkaz je tak složitý, že jej v celém rozsahu dokázalo pochopit jen několik desítek lidí na celém světě.

Na konci 20. století tak celý svět uznal, že ve 360. roce svého života se Fermatova poslední věta, která byla ve skutečnosti celou dobu jen hypotézou, stala ověřenou větou. Andrew Wiles dokázal Fermatovu Velkou (Velkou) větu a vstoupil do historie.

Myslíš, že jsi dokázal větu...

Štěstí objevitele jde vždy k někomu samotnému - je to on, kdo posledním úderem kladiva rozlouskne tvrdý oříšek poznání. Nelze však ignorovat mnohé předchozí rány, které po staletí vytvořily trhlinu ve Velké větě: Euler a Gauss (králové matematiky své doby), Evariste Galois (který dokázal založit teorii grup a polí ve svém krátkém 21. -roční život, jehož díla byla uznána jako brilantní až po jeho smrti), Henri Poincaré (zakladatel nejen bizarních modulárních forem, ale i konvenčnosti - filozofický směr), David Gilbert (jeden z nejsilnějších matematiků 20. století) , Yutaku Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbet, Richard Taylor a další skutečných vědců(těchto slov se nebojím).

Důkaz Fermatovy poslední věty lze přirovnat k takovým úspěchům dvacátého století, jako byl vynález počítače, jaderné bomby a vesmírných letů. Sice se o tom tak moc neví, protože nenapadá zónu našich momentálních zájmů, jako je televize nebo elektrická žárovka, ale byl to záblesk supernovy, který jako všechny neměnné pravdy bude vždy svítit lidstvo.

Můžete říci: „Přemýšlejte, dokázal jste nějakou větu, kdo to potřebuje?". Slušná otázka. Odpověď Davida Gilberta sem přesně zapadne. Kdy na otázku: "co je teď nejdůležitějším úkolem vědy?", odpověděl: "chytit mouchu na odvrácené straně Měsíce". byl rozumně tázán: „ale kdo to potřebuje?“, odpověděl takto: „Nikdo to nepotřebuje. Ale zamyslete se nad tím, jak důležité nejtěžší úkoly zamyslete se nad tím, kolik problémů bylo lidstvo schopno vyřešit za 360 let, než dokázalo Fermatovu větu. Při hledání jejího důkazu byla objevena téměř polovina moderní matematiky. Musíme také vzít v úvahu, že matematika je avantgardou vědy (a , mimochodem jediná z věd, která je postavena bez jediné chyby), a jakékoli vědecké úspěchy a vynálezy začínají právě zde.“ Jak poznamenal Leonardo da Vinci, „pouze ta doktrína, která je potvrzena matematicky, může být uznána jako věda. ."

* * *

A nyní se vraťme na začátek našeho příběhu, vzpomeňte si na záznam Pierra Fermata na okraji Diofantovy učebnice a znovu se sami sebe zeptejte: skutečně Fermat svou větu dokázal? To samozřejmě nemůžeme vědět s jistotou a jako v každém případě i zde vznikají různé verze:

Verze 1: Fermat svou větu dokázal. (Na otázku: „Měl Fermat přesně stejný důkaz své věty?“ Andrew Wiles poznamenal: „Fermat nemohl mít tak důkaz. To je důkaz 20. století.“ Chápeme, že v 17. století matematika samozřejmě nebyla stejná jako na konci 20. století – v té době d, Artagnan, královna věd, přesto vlastní tyto objevy (modulární formy, Taniyamovy teorémy, Frey atd.), které pouze umožnily dokázat Fermatovu poslední větu. Samozřejmě lze předpokládat: co si sakra nedělá legraci - co kdyby Fermat hádal jinak Tato verze, i když je pravděpodobná, je podle většiny matematiků prakticky nemožná);
Verze 2: Pierre de Fermat se zdálo, že dokázal svou větu, ale v jeho důkazu byly chyby. (To znamená, že Fermat sám byl také prvním fermatistou);
Verze 3: Fermat svou větu neprokázal, ale jednoduše lhal na okraj.

Pokud je jedna z posledních dvou verzí správná, což je nejpravděpodobnější, lze vyvodit jednoduchý závěr: skvělí lidé, i když jsou skvělí, dokážou také chybovat nebo jim někdy nevadí lhát(v zásadě bude tento závěr užitečný pro ty, kteří mají sklon zcela důvěřovat svým idolům a jiným vládcům myšlenek). Proto při čtení děl autoritativních synů lidstva nebo poslouchání jejich patetických projevů máte plné právo pochybovat o jejich prohlášeních. (Vezměte prosím na vědomí, že pochybovat neznamená odmítat).

Dotisk materiálů článků je možný pouze s povinnými odkazy na stránky (na internetu - hypertextový odkaz) a autorovi

FERMATOVÁ VELKÁ VĚTA - výrok Pierra Fermata (francouzského právníka a matematika na částečný úvazek), že diofantická rovnice X n + Y n = Z n , s exponentem n>2, kde n = celé číslo, nemá kladné řešení celá čísla. Autorův text: "Je nemožné rozložit krychli na dvě krychle nebo dvojmocninu na dvě kvadráty nebo obecně mocninu větší než dvě na dvě mocniny se stejným exponentem."

"Fermat a jeho věta", Amadeo Modigliani, 1920

S touto větou přišel 29. března 1636 Pierre. A po nějakých 29 letech zemřel. Ale tam to všechno začalo. Vždyť bohatý německý matematik jménem Wolfskel odkázal sto tisíc marek tomu, kdo předloží úplný důkaz Fermatovy věty! Ale vzrušení kolem teorému bylo spojeno nejen s tímto, ale také s profesionálním matematickým vzrušením. Sám Fermat naznačil matematické komunitě, že zná důkaz – krátce před svou smrtí, v roce 1665, zanechal na okraji knihy Diophantus z Alexandrie „Aritmetika“ následující záznam: „Mám velmi úžasný důkaz, ale je příliš velký na to, aby se dal umístit na pole."

Právě tato nápověda (plus samozřejmě peněžní odměna) přiměla matematiky neúspěšně utrácet nejlepší roky(Podle propočtů amerických vědců na tom strávili celkem jen profesionální matematici 543 let).

V určitém okamžiku (v roce 1901) získaly práce na Fermatově větě pochybnou slávu „práce podobné hledání perpetum mobile“ (dokonce se objevilo hanlivé označení – „fermatisté“). A najednou, 23. června 1993, na matematické konferenci o teorii čísel v Cambridge, anglický profesor matematiky z Princetonské univerzity (New Jersey, USA) Andrew Wiles oznámil, že konečně dokázal Fermata!

Důkaz však nebyl jen komplikovaný, ale také zjevně chybný, jak na Wilese upozornili jeho kolegové. Profesor Wiles ale celý život snil o prokázání teorému, a tak není divu, že v květnu 1994 předložil vědecké komunitě novou, vylepšenou verzi důkazu. Nebyla v tom žádná harmonie, krása a ještě to bylo velmi složité - fakt, že matematici tento důkaz celý rok (!) rozebírají, aby pochopili, zda není chybný, mluví za vše!

Nakonec se ale Wilesův důkaz ukázal jako správný. Ale matematici neodpustili Pierru Fermatovi jeho narážku na aritmetiku a ve skutečnosti ho začali považovat za lháře. Ve skutečnosti byl prvním, kdo zpochybňoval Fermatovu morální integritu, sám Andrew Wiles, který poznamenal, že "Fermat nemohl mít takový důkaz. Toto je důkaz z dvacátého století." Pak mezi jinými vědci zesílil názor, že Fermat „nedokázal svou větu jiným způsobem a Fermat ji z objektivních důvodů nemohl dokázat tak, jak šel Wiles“.

Ve skutečnosti to Fermat samozřejmě mohl dokázat a o něco později tento důkaz znovu vytvoří analytici Nové analytické encyklopedie. Jenže – jaké jsou tyto „objektivní důvody“?
Ve skutečnosti existuje jen jeden takový důvod: v těch letech, kdy žil Fermat, se Taniyamova domněnka nemohla objevit, na čemž Andrew Wiles postavil svůj důkaz, protože modulární funkce, na kterých Taniyamova domněnka funguje, byly objeveny až v r. konec XIX století.

Jak Wiles sám dokázal větu? Otázka není nečinná – je to důležité pro pochopení toho, jak mohl Fermat sám dokázat svou větu. Wiles postavil svůj důkaz na důkazu Taniyamovy domněnky, kterou v roce 1955 předložil 28letý japonský matematik Yutaka Taniyama.

Dohad zní takto: "každá eliptická křivka odpovídá určité modulární formě." Eliptické křivky, známé již dlouhou dobu, mají dvourozměrný tvar (umístěný v rovině), zatímco modulární funkce mají čtyřrozměrný tvar. To znamená, že Taniyamova hypotéza kombinovala zcela odlišné koncepty – jednoduché ploché křivky a nepředstavitelné čtyřrozměrné formy. Samotný fakt spojování různě dimenzionálních obrazců v hypotéze se vědcům zdál absurdní, proto mu v roce 1955 nebyl přikládán žádný význam.

Na podzim roku 1984 se však na „Tanijamovu hypotézu“ náhle znovu vzpomnělo a nejen že se vzpomnělo, ale její možný důkaz byl spojen s důkazem Fermatovy věty! To udělal matematik ze Saarbrückenu Gerhard Frey, který vědecké komunitě řekl, že „pokud by někdo dokázal Taniyamovu domněnku, pak by byla prokázána Fermatova poslední věta“.

Co udělal Frey? Fermatovu rovnici převedl na kubickou, poté upozornil na skutečnost, že eliptická křivka získaná převodem Fermatovy rovnice na kubickou nemůže být modulární. Taniyamova domněnka však uvedla, že jakákoli eliptická křivka může být modulární! V souladu s tím nemůže existovat eliptická křivka vytvořená z Fermatovy rovnice, což znamená, že nemohou existovat celá řešení a Fermatova věta, což znamená, že je pravdivá. No, v roce 1993 Andrew Wiles jednoduše dokázal Taniyamovu domněnku, a tedy Fermatovu větu.

Fermatův teorém však lze dokázat mnohem jednodušeji, na základě stejné multidimenzionality, na které operovali Taniyama i Frey.

Pro začátek si dejte pozor na podmínku, kterou stanovil sám Pierre Fermat - n>2. Proč byla tato podmínka nutná? Ano, už jen za to, že pro n=2 se obyčejná Pythagorova věta X 2 +Y 2 =Z 2 stává speciálním případem Fermatovy věty, která má nekonečný počet celočíselných řešení - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 a tak dále. Pythagorova věta je tedy výjimkou z Fermatovy věty.

Proč ale právě v případě n=2 k takové výjimce dochází? Vše zapadne na své místo, pokud vidíte vztah mezi stupněm (n=2) a rozměrem samotného obrázku. Pythagorejský trojúhelník je dvourozměrný obrazec. Není překvapením, že Z (to znamená přeponu) lze vyjádřit pomocí větví (X a Y), což mohou být celá čísla. Velikost úhlu (90) umožňuje uvažovat přeponu jako vektor a nohy jsou vektory umístěné na osách a vycházející z počátku. V souladu s tím je možné vyjádřit dvourozměrný vektor, který neleží na žádné z os, pomocí vektorů, které na nich leží.

Nyní, když půjdeme do třetí dimenze, a tedy do n=3, abychom vyjádřili trojrozměrný vektor, nebude dostatek informací o dvou vektorech, a proto bude možné vyjádřit Z ve Fermatově rovnici v alespoň tři členy (tři vektory ležící respektive na třech osách souřadnicového systému).

Pokud n=4, pak by měly být 4 členy, pokud n=5, pak by mělo být 5 členů a tak dále. V tomto případě bude celých řešení více než dost. Například 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 a tak dále (můžete zvolit jiné příklady pro n=3, n=4 a tak dále).

Co z toho všeho vyplývá? Z toho plyne, že Fermatova věta skutečně nemá žádná úplná řešení pro n>2 – ale pouze proto, že rovnice sama o sobě je nesprávná! Se stejným úspěchem bychom se mohli pokusit vyjádřit objem kvádru pomocí délek jeho dvou hran - to je samozřejmě nemožné (celá řešení nebudou nikdy nalezena), ale jen proto, že najít objem kvádru , musíte znát délky všech tří jeho hran.

Když se slavného matematika Davida Gilberta zeptali, co je nyní nejdůležitějším úkolem vědy, odpověděl „chytit mouchu na odvrácené straně Měsíce“. Na rozumnou otázku "Kdo to potřebuje?" odpověděl takto: "Nikdo to nepotřebuje. Ale přemýšlejte o tom, kolik důležitých a složitých úkolů musíte vyřešit, abyste toho dosáhli."

Jinými slovy, Fermat (především právník!) zahrál vtipný právní vtip na celý matematický svět založený na špatné inscenováníúkoly. Ve skutečnosti navrhl, aby matematici našli odpověď, proč moucha nemůže žít na druhé straně Měsíce, a na okraj Aritmetiky chtěl pouze napsat, že na Měsíci prostě není vzduch, tzn. nemohou existovat celočíselná řešení jeho věty pro n>2 jen proto, že každá hodnota n musí odpovídat určitému počtu členů na levé straně jeho rovnice.

Ale byl to jen vtip? Vůbec ne. Fermatova genialita spočívá právě v tom, že vlastně jako první viděl vztah mezi stupněm a rozměrem matematického útvaru – tedy naprosto ekvivalentnímu počtu členů na levé straně rovnice. Smyslem jeho slavné věty bylo právě to, aby matematický svět myšlenku tohoto vztahu nejen prosadil, ale také inicioval důkaz existence tohoto vztahu – intuitivně pochopitelného, ​​ale matematicky dosud nepodloženého.

Fermat jako nikdo jiný pochopil, že navázání vztahu mezi zdánlivě odlišnými předměty je nesmírně plodné nejen v matematice, ale i v jakékoli vědě. Takový vztah ukazuje na nějaký hluboký princip, který je základem obou objektů a umožňuje jim hlubší pochopení.

Fyzici například zpočátku považovali elektřinu a magnetismus za zcela nesouvisející jevy a v 19. století si teoretici a experimentátoři uvědomili, že elektřina a magnetismus spolu úzce souvisí. Výsledkem bylo hlubší pochopení jak elektřiny, tak magnetismu. Elektrické proudy generovat magnetické pole a magnety mohou indukovat elektřinu ve vodičích v blízkosti magnetů. To vedlo k vynálezu dynam a elektromotorů. Nakonec se zjistilo, že světlo je výsledkem soustředění harmonické vibrace magnetická a elektrická pole.

Matematika Fermatovy doby sestávala z ostrovů znalostí v moři nevědomosti. Geometry studovaly tvary na jednom ostrově a matematici studovali pravděpodobnost a náhodu na druhém ostrově. Jazyk geometrie byl velmi odlišný od jazyka teorie pravděpodobnosti a algebraická terminologie byla cizí těm, kdo mluvili pouze o statistice. Matematika naší doby se bohužel skládá z přibližně stejných ostrovů.

Farma si jako první uvědomila, že všechny tyto ostrovy jsou vzájemně propojené. A jeho slavná věta – Fermatova VELKÁ VĚTA – je toho vynikajícím potvrzením.

Takže Fermatova poslední věta (často nazývaná poslední Fermatova věta), formulovaná v roce 1637 skvělým francouzským matematikem Pierrem Fermatem, je ve své podstatě velmi jednoduchá a srozumitelná každému člověku se středoškolským vzděláním. Říká, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá žádná přirozená (tedy nezlomková) řešení pro n> 2. Vše se zdá být jednoduché a jasné , ale nejlepší matematici a obyčejní amatéři bojovali o hledání řešení více než tři a půl století.

Proč je tak slavná? Teď to zjistíme...



Existuje málo dokázaných, neprokázaných a přesto neprokázaných vět? Jde o to, že Fermatův poslední teorém je největším kontrastem mezi jednoduchostí formulace a složitostí důkazu. Fermatův poslední teorém je neuvěřitelně obtížný úkol, a přesto jeho formulaci pochopí každý s 5. třídou střední škola, ale důkazem není ani žádný profesionální matematik. Ani ve fyzice, ani v chemii, ani v biologii, ani v téže matematice neexistuje jediný problém, který by byl formulován tak jednoduše, ale zůstal tak dlouho nevyřešený. 2. Z čeho se skládá?

Začněme pythagorejskými kalhotami Formulace je opravdu jednoduchá – na první pohled. Jak víme z dětství, "Pythagorejské kalhoty jsou si ze všech stran rovné." Problém vypadá tak jednoduše, protože byl založen na matematickém tvrzení, které každý zná – Pythagorově větě: v jakémkoli pravoúhlý trojuhelníkčtverec postavený na přeponě se rovná součtu čtverců postavených na nohách.

V 5. století př. Kr. Pythagoras založil pythagorejské bratrstvo. Pythagorejci mimo jiné studovali celočíselné trojnásobky splňující rovnici x²+y²=z². Dokázali to Pythagorejská trojčata nekonečně mnoho a získali obecné vzorce pro jejich nalezení. Museli se snažit hledat trojky nebo více. vysoké stupně. Přesvědčeni, že to nefunguje, Pythagorejci zanechali svých marných pokusů. Členové bratrstva byli více filozofové a estéti než matematici.


To znamená, že je snadné vybrat sadu čísel, která dokonale splňují rovnost x² + y² = z²

Počínaje 3, 4, 5 - žák základní školy skutečně chápe, že 9 + 16 = 25.

Nebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvělé.

No a tak dále. Co když vezmeme podobnou rovnici x³+y³=z³ ? Možná existují i ​​taková čísla?




A tak dále (obr. 1).

No, ukázalo se, že ne. Tady trik začíná. Jednoduchost je zřejmá, protože je těžké dokázat ne přítomnost něčeho, ale naopak nepřítomnost. Když je potřeba dokázat, že řešení existuje, lze a měl by se jednoduše předložit toto řešení.

Absenci je obtížnější dokázat: někdo například říká: taková a taková rovnice nemá řešení. Dát ho do louže? snadné: bam - a tady to je, řešení! (uveďte řešení). A je to, soupeř je poražen. Jak prokázat nepřítomnost?

Říct: „Taková řešení jsem nenašel“? Nebo jste možná špatně hledali? A co když jsou, jen hodně velké, no, takové, že ani supervýkonný počítač ještě nemá dost síly? To je to, co je těžké.

Vizuálně to lze znázornit takto: vezmeme-li dva čtverce vhodných velikostí a rozebereme je na jednotkové čtverce, pak z tohoto svazku jednotkových čtverců získáme třetí čtverec (obr. 2):


A totéž udělejme se třetím rozměrem (obr. 3) – nefunguje to. Není dostatek kostek nebo zbývají další:





Ale matematik 17. století, Francouz Pierre de Fermat, nadšeně studoval obecnou rovnici x n+yn=zn . A nakonec došel k závěru: pro n>2 celočíselná řešení neexistují. Fermatův důkaz je nenávratně ztracen. Rukopisy hoří! Zůstává jen jeho poznámka v Diophantusově Aritmetice: "Našel jsem skutečně úžasný důkaz tohoto tvrzení, ale okraje jsou zde příliš úzké na to, aby to obsáhly."

Ve skutečnosti se věta bez důkazu nazývá hypotéza. Ale Fermat má pověst toho, že se nikdy nemýlí. I když nezanechal důkaz o žádném prohlášení, bylo to následně potvrzeno. Navíc Fermat dokázal svou tezi pro n=4. Takže hypotéza francouzského matematika vstoupila do dějin jako poslední Fermatova věta.

Po Fermatovi pracovali na hledání důkazu takové velké mozky jako Leonhard Euler (v roce 1770 navrhl řešení pro n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (tito vědci společně našli důkaz pro n = 5 v roce 1825), Gabriel Lame (který našel důkaz pro n = 7) a mnoho dalších. V polovině 80. let minulého století bylo jasné, že vědecký svět je na cestě ke konečnému řešení Fermatovy poslední věty, ale teprve v roce 1993 matematici viděli a uvěřili, že sága trvající tři století o nalezení důkazu Poslední Fermatova věta byla téměř u konce.

Je snadné ukázat, že stačí dokázat Fermatovu větu pouze pro prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pro kompozit n zůstává důkaz platný. Ale prvočísel je nekonečně mnoho...

V roce 1825 pomocí metody Sophie Germain dokázaly matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle na sobě větu pro n=5. V roce 1839 ukázal Francouz Gabriel Lame pravdivost věty pro n=7 stejnou metodou. Postupně byla věta dokázána pro téměř všech n méně než sto.


Konečně německý matematik Ernst Kummer v brilantní studii ukázal, že matematické metody 19. století nemohou větu obecně dokázat. Cena Francouzské akademie věd, založená v roce 1847 za důkaz Fermatovy věty, zůstala nepřidělena.

V roce 1907 se bohatý německý průmyslník Paul Wolfskel rozhodl vzít si život kvůli nešťastné lásce. Jako správný Němec stanovil datum a čas sebevraždy: přesně o půlnoci. Poslední den sepsal závěť a napsal dopisy přátelům a příbuzným. Obchod skončil před půlnocí. Musím říct, že Pavla zajímala matematika. Protože neměl co dělat, zašel do knihovny a začal číst Kummerův slavný článek. Najednou se mu zdálo, že Kummer udělal chybu ve svých úvahách. Wolfskehl s tužkou v ruce začal analyzovat tuto část článku. Uplynula půlnoc, přišlo ráno. Mezera v důkazu byla vyplněna. A samotný důvod sebevraždy teď vypadal naprosto směšně. Pavel roztrhal dopisy na rozloučenou a přepsal závěť.

Brzy zemřel přirozenou smrtí. Dědicové byli pěkně překvapeni: 100 000 marek (více než 1 000 000 současných liber šterlinků) bylo převedeno na účet Královské vědecké společnosti v Göttingenu, která ve stejném roce vyhlásila soutěž o Wolfskelovu cenu. 100 000 marek se opíralo o dokazování Fermatovy věty. Za vyvrácení teorému se neměl platit ani fenig...

Většina profesionálních matematiků považovala hledání důkazu Fermatovy poslední věty za ztracený případ a rezolutně odmítla ztrácet čas takovým marným cvičením. Ale amatéři dovádějí ke slávě. Pár týdnů po oznámení zasáhla univerzitu v Göttingenu lavina „důkazů“. Profesor E. M. Landau, jehož povinností bylo analyzovat zaslané důkazy, rozdal svým studentům karty:


Vážení (y). . . . . . . .

Děkuji za rukopis, který jste poslal s důkazem Fermatovy poslední věty. První chyba je na stránce ... na řádku ... . Kvůli tomu celý důkaz ztrácí platnost.
Profesor E. M. Landau











V roce 1963 Paul Cohen, čerpající z Gödelových zjištění, prokázal neřešitelnost jednoho z třiadvaceti Hilbertových problémů, hypotézy kontinua. Co když je Fermatův poslední teorém také neřešitelný?! Ale opravdoví fanatici Velké věty vůbec nezklamali. Nástup počítačů nečekaně dal matematikům novou metodu důkazu. Po druhé světové válce skupiny programátorů a matematiků dokázaly Fermatovu poslední větu pro všechny hodnoty n do 500, poté do 1 000 a později do 10 000.

V 80. letech Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. letech matematici tvrdili, že Fermatův poslední teorém platí pro všechny hodnoty n až do 4 milionů. Ale pokud se od nekonečna odečte byť jen bilion bilionů, nezmenší se. Matematiky statistiky nepřesvědčí. Dokázat Velkou větu znamenalo dokázat ji pro VŠECHNY n jít do nekonečna.




V roce 1954 se dva mladí přátelé japonští matematici pustili do studia modulárních forem. Tyto formy generují řadu čísel, z nichž každé - svou vlastní řadu. Taniyama náhodou porovnal tyto série se sériemi generovanými eliptickými rovnicemi. Shodovali se! Ale modulární formy jsou geometrické objekty, zatímco eliptické rovnice jsou algebraické. Mezi tak odlišnými objekty nikdy nebylo nalezeno spojení.

Nicméně po pečlivém testování přátelé předložili hypotézu: každá eliptická rovnice má dvojče - modulární formu a naopak. Právě tato hypotéza se stala základem celého trendu v matematice, ale dokud nebyla prokázána hypotéza Taniyama-Shimura, mohla se celá budova každou chvíli zřítit.

V roce 1984 Gerhard Frey ukázal, že řešení Fermatovy rovnice, pokud existuje, může být zahrnuto do nějaké eliptické rovnice. O dva roky později profesor Ken Ribet dokázal, že tato hypotetická rovnice nemůže mít v modulárním světě obdobu. Od nynějška byl Fermatův poslední teorém neoddělitelně spojen s domněnkou Taniyama-Shimura. Když jsme dokázali, že každá eliptická křivka je modulární, docházíme k závěru, že neexistuje žádná eliptická rovnice s řešením Fermatovy rovnice a Fermatova poslední věta by byla okamžitě prokázána. Ale třicet let nebylo možné dokázat domněnku Taniyama-Shimura a naděje na úspěch byly stále méně a méně.

V roce 1963, když mu bylo pouhých deset let, byl Andrew Wiles již fascinován matematikou. Když se dozvěděl o Velké větě, uvědomil si, že se od ní nemůže odchýlit. Jako školák, student, postgraduální student se na tento úkol připravoval.

Když se Wiles dozvěděl o zjištěních Kena Ribeta, vrhl se na dokazování domněnky Taniyama-Shimura. Rozhodl se pracovat v naprosté izolaci a utajení. "Pochopil jsem, že všechno, co má něco společného s Fermatovou poslední větou, je příliš zajímavé... Příliš mnoho diváků záměrně zasahuje do dosažení cíle." Sedm let tvrdé práce se vyplatilo, Wiles konečně dokončil důkaz domněnky Taniyama-Shimura.

V roce 1993 anglický matematik Andrew Wiles představil světu svůj důkaz Fermatovy poslední věty (Wiles četl jeho senzační zprávu na konferenci v Institutu Sira Isaaca Newtona v Cambridge), práce na níž trvala více než sedm let.







Zatímco humbuk v tisku pokračoval, začala seriózní práce na ověření důkazů. Každý důkaz musí být pečlivě prozkoumán, než může být důkaz považován za přísný a přesný. Wiles strávil hektické léto čekáním na zpětnou vazbu recenzentů a doufal, že by mohl získat jejich souhlas. Na konci srpna našli znalci nedostatečně podložený rozsudek.

Ukázalo se, že toto rozhodnutí obsahuje hrubou chybu, i když obecně platí. Wiles se nevzdal, povolal si na pomoc známého specialistu na teorii čísel Richarda Taylora a již v roce 1994 zveřejnili opravený a doplněný důkaz věty. Nejúžasnější na tom je, že tato práce zabrala až 130 (!) stran matematického časopisu Annals of Mathematics. Ani tím ale příběh neskončil - poslední tečka byla učiněna až v následujícím roce 1995, kdy byla zveřejněna konečná a z matematického hlediska „ideální“ verze důkazu.

„...půl minuty po začátku slavnostní večeře u příležitosti jejích narozenin jsem Nadii předal rukopis kompletního důkazu“ (Andrew Wales). Zmínil jsem se, že matematici jsou zvláštní lidé?






Tentokrát o důkazu nebylo pochyb. Dva články byly podrobeny nejpečlivější analýze a v květnu 1995 byly publikovány v Annals of Mathematics.

Od té chvíle uplynulo hodně času, ale ve společnosti stále panuje názor na neřešitelnost Fermatovy poslední věty. Ale i ti, kteří o nalezeném důkazu vědí, pokračují v práci tímto směrem – málokdo je spokojen s tím, že Velká věta vyžaduje řešení na 130 stran!

Proto jsou nyní síly tolika matematiků (většinou amatérů, nikoli profesionálních vědců) vrženy do hledání jednoduchého a stručného důkazu, ale tato cesta s největší pravděpodobností nikam nevede ...