Reprezentujte komplexní čísla v goniometrickém tvaru online. Goniometrické a exponenciální tvary komplexního čísla. Komplexní čísla xi

2.3. Trigonometrický tvar komplexních čísel

Nechť je uveden vektor komplexní rovinačíslo .

Označte φ úhel mezi kladnou poloosou Ox a vektorem (úhel φ je považován za kladný, pokud se počítá proti směru hodinových ručiček, a záporný v opačném případě).

Délku vektoru označíme r. Pak . Označujeme také

Zápis nenulového komplexního čísla z jako

se nazývá trigonometrický tvar komplexního čísla z. Číslo r se nazývá modul komplexního čísla z a číslo φ se nazývá argument tohoto komplexního čísla a značí se Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexního čísla - (Eulerův vzorec) - exponenciální forma zápisu komplexního čísla:

Komplexní číslo z má nekonečně mnoho argumentů: pokud φ0 je libovolný argument čísla z, pak všechny ostatní lze najít vzorcem

Pro komplexní číslo není argument ani goniometrický tvar definován.

Argumentem nenulového komplexního čísla je tedy jakékoli řešení soustavy rovnic:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexního čísla z, která splňuje nerovnosti, se nazývá hlavní hodnota a značí se arg z.

Argumenty Arg z a arg z jsou příbuzné rovností

, (4)

Vzorec (5) je důsledkem soustavy (3), takže všechny argumenty komplexního čísla splňují rovnost (5), ale ne všechna řešení φ rovnice (5) jsou argumenty čísla z.

Hlavní hodnotu argumentu nenulového komplexního čísla najdeme ve vzorcích:

Vzorce pro násobení a dělení pro komplexní čísla v trigonometrický tvar mít následující tvar:

. (7)

Při zvýšení komplexního čísla na přirozenou mocninu se používá de Moivreův vzorec:

Při extrakci kořene z komplexního čísla se používá vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítejte , kde .

Znázorněme řešení tohoto výrazu v exponenciálním tvaru zápisu komplexního čísla: .

Pokud , tak .

Pak , . Proto tedy A , Kde .

Odpovědět: , na .

Úloha 55. Napište komplexní čísla v goniometrickém tvaru:

A); b) ; V); G); e) ; E) ; a) .

Protože trigonometrický tvar komplexního čísla je , pak:

a) V komplexním čísle: .

Proto

b) , kde ,

G) , kde ,

E) .

a) , A , Že .

Proto

Odpovědět: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla

nech, .

Pak , , .

Protože a , , pak , a

Proto tedy

Odpovědět: , Kde .

Úloha 57. Pomocí goniometrického tvaru komplexního čísla proveďte následující akce: .

Představte si čísla a v trigonometrickém tvaru.

1), kde Pak

Zjištění hodnoty hlavního argumentu:

Dosadíme hodnoty a do výrazu dostaneme

2) kde pak

Pak

3) Najděte podíl

Za předpokladu k=0, 1, 2 dostaneme tři různé významy požadovaný kořen:

Pokud, pak

pokud, tak

pokud, tak .

Odpovědět: :

: .

Úloha 58. Nechť , , , jsou různá komplexní čísla a . Dokázat to

číslo je skutečné kladné číslo;

b) rovnost platí:

a) Představme si tato komplexní čísla v goniometrickém tvaru:

Protože .

Předstírejme to. Pak

Poslední výraz je kladné číslo, protože pod sinusovými znaménky jsou čísla z intervalu.

protože číslo skutečné a pozitivní. Pokud jsou a a b komplexní čísla a jsou reálné a větší než nula, pak .

Kromě,

tím je prokázána požadovaná rovnost.

Úloha 59. Zapište číslo v algebraickém tvaru .

Číslo reprezentujeme v goniometrickém tvaru a pak najdeme jeho algebraický tvar. My máme . Pro dostaneme systém:

Z toho plyne rovnost: .

Použití De Moivreova vzorce:

dostaneme

Nalezen trigonometrický tvar dané číslo.

Nyní zapíšeme toto číslo v algebraickém tvaru:

Odpovědět: .

Úloha 60. Najděte součet , ,

Zvažte součet

Aplikováním De Moivreho vzorce zjistíme

Tento součet je součtem n členů geometrická progrese se jmenovatelem a prvním členem .

Aplikováním vzorce pro součet členů takové progrese máme

Zvýraznění imaginární část v posledním výrazu najdeme

Oddělením reálné části získáme také následující vzorec: , , .

Úloha 61. Najděte součet:

A) ; b) .

Podle Newtonova vzorce pro zvýšení na moc máme

Podle De Moivreova vzorce zjistíme:

Porovnáním skutečných a imaginárních částí získaných výrazů pro , máme:

A .

Tyto vzorce lze zapsat v kompaktní formě takto:

, kde - celá částčísla a.

Úloha 62. Najděte všechny, pro které .

Protože a poté pomocí vzorce

, Abychom extrahovali kořeny, dostaneme ,

Proto, , ,

, .

Body odpovídající číslům jsou umístěny ve vrcholech čtverce vepsaného do kružnice o poloměru 2 se středem v bodě (0;0) (obr. 30).

Odpovědět: , ,

, .

Úloha 63. Vyřešte rovnici , .

Podle podmínky; proto tato rovnice nemá kořen, a proto je ekvivalentní rovnici.

Aby číslo z bylo kořenem této rovnice, je nutné, aby číslo bylo kořenem n-tý stupeň od čísla 1.

Z toho vyplývá, že původní rovnice má kořeny určené z rovností

Tím pádem,

tj. ,

Odpovědět: .

Úloha 64. Vyřešte rovnici v množině komplexních čísel.

Protože číslo není kořenem této rovnice, pak je tato rovnice ekvivalentní rovnici

Tedy rovnice.

Všechny kořeny této rovnice jsou získány ze vzorce (viz úloha 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslete na komplexní rovinu množinu bodů, které splňují nerovnosti: . (2. způsob, jak vyřešit problém 45)

Nechat .

Komplexní čísla se stejnými moduly odpovídají bodům roviny ležícím na kružnici se středem v počátku, takže nerovnost splnit všechny body otevřený kroužek, ohraničené kružnicemi se společným středem v počátku a poloměry a (obr. 31). Nechť nějaký bod komplexní roviny odpovídá číslu w0. Číslo , má modul krát menší než modul w0, argument, který je větší než argument w0. Z geometrického hlediska lze bod odpovídající w1 získat pomocí stejnoměrnosti se středem v počátku a koeficientu , jakož i otáčením proti směru hodinových ručiček vzhledem k počátku. V důsledku aplikace těchto dvou transformací na body prstence (obr. 31) se prstenec promění v prstenec ohraničený kružnicemi se stejným středem a poloměry 1 a 2 (obr. 32).

proměna je implementován pomocí paralelního překladu na vektoru . Přenesením prstence se středem v bodě do naznačeného vektoru získáme prstenec stejné velikosti se středem v bodě (obr. 22).

Navrhovaná metoda, která využívá myšlenku geometrických transformací roviny, je pravděpodobně méně pohodlná v popisu, ale je velmi elegantní a efektivní.

Úloha 66. Zjistěte, zda .

Nechte , pak a . Původní rovnost bude mít formu . Z podmínky rovnosti dvou komplexních čísel dostaneme , , odkud , . Tím pádem, .

Zapišme číslo z v goniometrickém tvaru:

, Kde , . Podle De Moivreova vzorce najdeme .

Odpověď: - 64.

Úloha 67. Pro komplexní číslo najděte všechna komplexní čísla taková, že , a .

Představme si číslo v trigonometrickém tvaru:

. Proto, . Pro číslo, které dostaneme, se může rovnat buď .

V prvním případě , ve druhém

Odpovědět: , .

Úloha 68. Najděte součet čísel takový, že . Zadejte jedno z těchto čísel.

Všimněte si, že již ze samotné formulace problému lze pochopit, že součet kořenů rovnice lze nalézt bez výpočtu samotných kořenů. Opravdu, součet kořenů rovnice je koeficient , braný s opačným znaménkem (zobecněná Vieta věta), tj.

Studenti, školní dokumentace, vyvozují závěry o stupni asimilace tento koncept. Shrňte studium rysů matematického myšlení a procesu utváření pojmu komplexní číslo. Popis metod. Diagnostika: I stage. Rozhovor byl veden s učitelkou matematiky, která v 10. třídě vyučuje algebru a geometrii. Rozhovor se odehrál po nějaké době...

Resonance" (!)), která zahrnuje i hodnocení vlastního chování. 4. Kritické hodnocení vlastního chápání situace (pochybnosti). 5. Konečně využití doporučení právní psychologie(účetnictví právníka psychologické aspekty provedené odborné úkony – odborná a psychická připravenost). Podívejme se nyní na psychologickou analýzu právních skutečností. ...

Matematika trigonometrické substituce a ověření účinnosti vypracované metodiky výuky. Etapy práce: 1. Vypracování volitelného předmětu na téma: "Využití goniometrické substituce pro řešení algebraických úloh" se studenty tříd s. hloubkové studium matematika. 2. Vedení vypracovaného volitelného kurzu. 3. Provedení diagnostické kontroly...

Kognitivní úlohy jsou určeny pouze k doplnění stávajících učebních pomůcek a měly by být ve vhodné kombinaci se všemi tradičními prostředky a prvky. vzdělávací proces. Rozdíl mezi učebními cíli ve vyučování humanitních věd z přesného, z matematické problémy spočívá pouze v tom, že v historických problémech nejsou žádné vzorce, rigidní algoritmy atd., což komplikuje jejich řešení. ...

Přednáška

Trigonometrický tvar komplexního čísla

Plán

1.Geometrická reprezentace komplexních čísel.

2. Trigonometrický zápis komplexních čísel.

3. Akce na komplexních číslech v goniometrickém tvaru.

Geometrická reprezentace komplexních čísel.

a) Komplexní čísla jsou reprezentována body roviny podle následujícího pravidla: A + bi = M ( A ; b ) (Obr. 1).

Obrázek 1

b) Komplexní číslo lze znázornit jako vektor, který začíná v boděO a končí v daném bodě (obr. 2).

Obrázek 2

Příklad 7. Vykreslete body představující komplexní čísla:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (obr. 3).

Obrázek 3

Trigonometrický zápis komplexních čísel.

Komplexní čísloz = A + bi lze nastavit pomocí poloměru - vektoru se souřadnicemi( A ; b ) (obr. 4).

Obrázek 4

Definice . Délka vektoru představující komplexní čísloz , se nazývá modul tohoto čísla a označuje se nebor .

Pro libovolné komplexní čísloz jeho modulr = | z | je určen jednoznačně vzorcem .

Definice . Hodnota úhlu mezi kladným směrem reálné osy a vektorem reprezentující komplexní číslo se nazývá argument tohoto komplexního čísla a označuje seA rg z neboφ .

Argument komplexního číslaz = 0 neurčitý. Argument komplexního číslaz≠ 0 je vícehodnotová veličina a je určena až do termínu2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Kdearg z - hlavní hodnota argumentu, uzavřená v intervalu(-π; π] , to je-π < arg z ≤ π (někdy je hodnota patřící do intervalu brána jako hlavní hodnota argumentu .

Tento vzorec pror =1 často označovaný jako De Moivreův vzorec:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Příklad 11 Vypočítejte(1 + i ) 100 .

Napišme komplexní číslo1 + i v trigonometrickém tvaru.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + hřeším )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + hřeším 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extrakce odmocnina z komplexního čísla.

Při extrakci druhé odmocniny komplexního číslaA + bi máme dva případy:

Lib > o , Že ;

3.1. Polární souřadnice

Často se používá v letadle polární souřadnicový systém . Je definováno, je-li dán bod O, volán pól a paprsek vycházející z tyče (pro nás je to osa Ox) je polární osa. Poloha bodu M je určena dvěma čísly: poloměr (neboli radius vector) a úhel φ mezi polární osou a vektorem .Úhel φ se nazývá polární úhel; měřeno v radiánech a počítáno proti směru hodinových ručiček od polární osy.

Poloha bodu v polárním souřadnicovém systému je dána uspořádanou dvojicí čísel (r; φ). Na pólu r = 0 a φ není definováno. Pro všechny ostatní body r > 0 a φ je definováno až do násobku 2π. V tomto případě je dvojicím čísel (r; φ) a (r 1 ; φ 1) přiřazen stejný bod, jestliže .

Pro pravoúhlý souřadnicový systém xOy Kartézské souřadnice body lze snadno vyjádřit pomocí polárních souřadnic takto:

3.2. Geometrická interpretace komplexního čísla

Uvažujme na kartézské rovině pravoúhlý systém souřadnice xOy.

Každému komplexnímu číslu z=(a, b) je přiřazen bod roviny se souřadnicemi ( x, y), kde souřadnice x = a, tzn. reálná část komplexního čísla a souřadnice y = bi je imaginární část.

Rovina, jejíž body jsou komplexní čísla, je komplexní rovina.

Na obrázku komplexní číslo z = (a, b) zápasový bod M(x, y).

Cvičení.Obrázek zapnutý souřadnicová rovina komplexní čísla:

3.3. Trigonometrický tvar komplexního čísla

Komplexní číslo v rovině má souřadnice bodu M(x; y). kde:

Psaní komplexního čísla - trigonometrický tvar komplexního čísla.

Volá se číslo r modul komplexní číslo z a je označeno. Modul je nezáporné reálné číslo. Pro .

Modul je nulový tehdy a jen tehdy z = 0, tj. a=b=0.

Zavolá se číslo φ argument z a označeny. Argument z je definován nejednoznačně, stejně jako polární úhel v polárním souřadnicovém systému, a to až do násobku 2π.

Pak přijmeme: , kde φ je nejmenší hodnotu argument. To je zřejmé

Při hlubším studiu tématu se zavádí pomocný argument φ*, takový, že

Příklad 1. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla.

Řešení. 1) uvažujeme modul: ;

2) hledám φ: ;

3) trigonometrický tvar:

Příklad 2 Najděte algebraický tvar komplexního čísla .

Zde stačí hodnoty dosadit goniometrické funkce a transformovat výraz:

Příklad 3 Najděte modul a argument komplexního čísla;

1) ;

2); φ - za 4 čtvrtletí:

3.4. Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru

· Sčítání a odčítání je pohodlnější provádět s komplexními čísly v algebraickém tvaru:

· Násobení– pomocí jednoduchých goniometrických transformací lze ukázat, že při násobení se moduly čísel vynásobí a přidají se argumenty: ;

KOMPLEXNÍ ČÍSLA XI

§ 256. Trigonometrický tvar komplexních čísel

Nechte komplexní číslo a + bi odpovídá vektoru OA> se souřadnicemi ( a, b ) (viz obr. 332).

Označte délku tohoto vektoru r a úhel, který svírá s osou X , přes φ . Podle definice sinus a kosinus:

A / r = cos φ , b / r = hřích φ .

Proto A = r cos φ , b = r hřích φ . Ale v tomto případě komplexní číslo a + bi lze napsat jako:

a + bi = r cos φ + ir hřích φ = r (cos φ + i hřích φ ).

Jak víte, druhá mocnina délky libovolného vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. Proto r 2 = A 2 + b 2, odkud r = √a 2 + b 2

Tak, libovolné komplexní číslo a + bi může být reprezentován jako :

a + bi = r (cos φ + i hřích φ ), (1)

kde r = √a 2 + b 2 a úhel φ určeno z podmínky:

Tato forma zápisu komplexních čísel se nazývá trigonometrický.

Číslo r ve vzorci (1) se nazývá modul a úhel φ - argument, komplexní číslo a + bi .

Pokud jde o komplexní číslo a + bi není roven nule, pak je jeho modul kladný; -li a + bi = 0, tedy a = b = 0 a pak r = 0.

Modul jakéhokoli komplexního čísla je jednoznačně určen.

Pokud jde o komplexní číslo a + bi se nerovná nule, pak je jeho argument určen vzorcem (2) rozhodně až do úhlu násobku 2 π . Li a + bi = 0, tedy a = b = 0. V tomto případě r = 0. Ze vzorce (1) je snadné to pochopit jako argument φ v tomto případě si můžete vybrat jakýkoli úhel: koneckonců pro jakýkoli φ

0 (cos φ + i hřích φ ) = 0.

Proto nulový argument není definován.

Modul komplexního čísla r někdy označují | z |, a argument arg z . Podívejme se na několik příkladů reprezentace komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Příklad. 1. 1 + i .

Pojďme najít modul r a argument φ Tohle číslo.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Proto hřích φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, odkud φ = π / 4 + 2nπ .

Tím pádem,

1 + i = √ 2 ,

Kde P - libovolné celé číslo. Obvykle se z nekonečné množiny hodnot argumentu komplexního čísla vybere jedna, která je mezi 0 a 2 π . V tomto případě je tato hodnota π / 4. Proto

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i hřích π / 4)

Příklad 2 Napište v goniometrickém tvaru komplexní číslo √ 3 - i . My máme:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, hřích φ = - 1 / 2

Tedy až do úhlu dělitelného 2 π , φ = 11 / 6 π ; proto,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i hřích 11/6 π ).

Příklad 3 Napište v goniometrickém tvaru komplexní číslo já

komplexní číslo i odpovídá vektoru OA> končící v bodě A osy na s pořadnicí 1 (obr. 333). Délka takového vektoru je rovna 1 a úhel, který svírá s osou úsečky, je roven π / 2. Proto

i = cos π / 2 + i hřích π / 2 .

Příklad 4 Napište komplexní číslo 3 v goniometrickém tvaru.

Komplexní číslo 3 odpovídá vektoru OA > X úsečka 3 (obr. 334).

Délka takového vektoru je 3 a úhel, který svírá s osou x, je 0. Proto

3 = 3 (cos 0 + i hřích 0),

Příklad 5 Napište v goniometrickém tvaru komplexní číslo -5.

Komplexní číslo -5 odpovídá vektoru OA> končící v bodě osy X s úsečkou -5 (obr. 335). Délka takového vektoru je 5 a úhel, který svírá s osou x, je π . Proto

5 = 5 (cos π + i hřích π ).

Cvičení

2047. Napište tato komplexní čísla v trigonometrickém tvaru a definujte jejich moduly a argumenty:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Označte v rovině množiny bodů reprezentujících komplexní čísla, jejichž moduly r a argumenty φ splňují podmínky:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Mohou být čísla zároveň modulem komplexního čísla? r A - r ?

2050. Může být argument komplexního čísla zároveň úhly? φ A - φ ?

Prezentujte tato komplexní čísla v goniometrickém tvaru definováním jejich modulů a argumentů:

2051*. 1 + cos α + i hřích α . 2054*. 2 (cos 20° - i hřích 20°).

2052*. hřích φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i hřích 15°).

Akce na komplexních číslech zapsaných v algebraické formě

Algebraický tvar komplexního čísla z =(A,b se nazývá algebraické vyjádření tvaru

z = A + bi.

Aritmetické operace s komplexními čísly z 1 = a 1 +b 1 i A z 2 = a 2 +b 2 i, zapsané v algebraické formě, se provádějí následovně.

1. Součet (rozdíl) komplexních čísel

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

těch. sčítání (odčítání) se provádí podle pravidla sčítání polynomů s redukcí podobných členů.

2. Součin komplexních čísel

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

těch. násobení se provádí podle obvyklého pravidla pro násobení polynomů s přihlédnutím k tomu, že i 2 = 1.

3. Dělení dvou komplexních čísel se provádí podle následujícího pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

těch. dělení se provádí vynásobením dividendy a dělitele konjugátem dělitele.

Umocňování komplexních čísel je definováno takto:

Je snadné to ukázat

Příklady.

1. Najděte součet komplexních čísel z 1 = 2 – i A z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Najděte součin komplexních čísel z 1 = 2 – 3i A z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3já∙ 5i = 7+22i.

3. Najděte soukromé z z divize z 1 \u003d 3–2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Řešte rovnici:, X A y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Díky rovnosti komplexních čísel máme:

kde x=–1 , y= 4.

5. Vypočítejte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Vypočítejte, zda .

7. Vypočítejte převrácenou hodnotu čísla z=3-i.

Komplexní čísla v goniometrickém tvaru

komplexní rovina se nazývá rovina s kartézskými souřadnicemi ( x, y), pokud každý bod se souřadnicemi ( a, b) je přiřazeno komplexní číslo z = a + bi. V tomto případě se nazývá osa úsečky reálná osa a osa y je imaginární. Potom každé komplexní číslo a+bi geometricky znázorněna na rovině jako bod A (a, b) nebo vektor .

Proto poloha bodu A(a tedy komplexní číslo z) lze nastavit délkou vektoru | | = r a úhel j tvořený vektorem | | s kladným směrem reálné osy. Délka vektoru se nazývá modul komplexního čísla a označuje se | z|=r a úhel j volal argument komplexního čísla a označeny j = argz.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z= 0.

Z Obr. 2 to ukazuje.

Argument komplexního čísla je definován nejednoznačně, a to až do 2 pk, kÎ Z.

Z Obr. 2 také ukazuje, že pokud z=a+bi A j=argz,Že

cos j =, hřích j =, tg j =.

Li zОR A z > 0 pak argz = 0 +2pk;

Li z ОR A z< 0 pak argz = p + 2pk;

Li z= 0,argz neurčitý.

Hlavní hodnota argumentu je určena na intervalu 0 £argz 2 £ p,

nebo -p£ arg z £ p.

Příklady:

1. Najděte modul komplexních čísel z 1 = 4 – 3i A z 2 = –2–2i.