Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.
Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.
Připomeňte si definice kosinu a sinusu.
Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.
Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.
Pozitivní směr pohybu trigonometrický kruh je uvažován pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)
Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.
1. Řešte rovnici
Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .
Označme bod pořadnicí na ose y:
Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:
Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.
To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:
, , - sada celých čísel (1)
Podobně má druhá řada řešení tvar:
, Kde , . (2)
Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .
Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:
Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.
Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.
2. Nyní vyřešme rovnici
Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:
Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:
Zapíšeme dvě řady řešení:
,
,
(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.
Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:
3. Řešte rovnici
Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY
Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):
Spojte tento bod s počátkem přímkou a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :
Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:
4. Řešte rovnici
Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.
Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:
Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům:
Protože tyto body jsou od sebe odděleny vzdáleností rovnou , můžeme obecné řešení této rovnice napsat takto:
V uvedených příkladech, ilustrujících řešení nejjednodušších goniometrických rovnic, byly použity tabulkové hodnoty goniometrických funkcí.
Pokud je však na pravé straně rovnice netabulková hodnota, dosadíme hodnotu v obecném řešení rovnice:
SPECIÁLNÍ ŘEŠENÍ:
Označte body na kružnici, jejíž pořadnice je 0:
Označte na kružnici jeden bod, jehož pořadnice je rovna 1:
Označte jeden bod na kružnici, jehož pořadnice je rovna -1:
Protože je obvyklé uvádět hodnoty nejbližší nule, zapíšeme řešení následovně:
Označte body na kružnici, jejíž úsečka je 0:
5.
Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna 1:
Označte jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna -1:
A některé složitější příklady:
1.
Sinus je jedna, pokud je argument
Argument našeho sinu je , takže dostaneme:
Vydělte obě strany rovnice 3:
Odpovědět:
2.
Kosinus je nula, pokud je argument kosinus
Argument našeho kosinus je , takže dostaneme:
Vyjádříme , nejprve se přesuneme doprava s opačným znaménkem:
Zjednodušte pravou stranu:
Vydělte obě části -2:
Všimněte si, že znaménko před členem se nemění, protože k může nabývat libovolných celočíselných hodnot.
Odpovědět:
A na závěr se podívejte na videonávod "Výběr kořenů v goniometrické rovnici pomocí trigonometrické kružnice"
Tím končí rozhovor o řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Příště si povíme, jak to vyřešit.
Vyžaduje znalost základních vzorců trigonometrie - součet druhých mocnin sinu a kosinu, vyjádření tečny přes sinus a kosinus a další. Pro ty, kteří je zapomněli nebo je neznají, doporučujeme přečíst si článek "".
Takže hlavní trigonometrické vzorce víme, že je čas je uvést do praxe. Řešení goniometrických rovnic na správný přístup- docela vzrušující činnost, jako například luštění Rubikovy kostky.
Již ze samotného názvu je zřejmé, že goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá pod znaménkem goniometrické funkce.
Existují tzv. jednoduché goniometrické rovnice. Takto vypadají: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Zvážit, jak řešit takové goniometrické rovnice, pro názornost použijeme již známý trigonometrický kruh.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
postýlka x = a
Jakákoli goniometrická rovnice se řeší ve dvou fázích: rovnici přivedeme do nejjednoduššího tvaru a pak ji vyřešíme jako nejjednodušší goniometrickou rovnici.
Existuje 7 hlavních metod, kterými se goniometrické rovnice řeší.
Variabilní substituce a substituční metoda
Řešení goniometrických rovnic pomocí faktorizace
Redukce na homogenní rovnici
Řešení rovnic, přechodem do polovičního úhlu
Zavedení pomocného úhlu
Vyřešte rovnici 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Pomocí redukčních vzorců dostaneme:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Pro zjednodušení nahradíme cos(x + /6) y a získáme obvyklou kvadratickou rovnici:
2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0
Kořeny, z nichž y 1 = 1, y 2 = 1/2
Nyní se vraťme zpět
Dosadíme nalezené hodnoty y a dostaneme dvě odpovědi:
Jak vyřešit rovnici sin x + cos x = 1 ?
Posuňte vše doleva tak, aby 0 zůstala vpravo:
sin x + cos x - 1 = 0
Ke zjednodušení rovnice používáme výše uvedené identity:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Udělejme faktorizaci:
2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dostaneme dvě rovnice
Rovnice je homogenní s ohledem na sinus a kosinus, pokud všechny její členy s ohledem na sinus a kosinus mají stejný stupeň stejného úhlu. Chcete-li vyřešit homogenní rovnici, postupujte takto:
a) převést všechny své členy na levou stranu;
b) vyškrtněte všechny společné faktory ze závorek;
c) přirovnat všechny faktory a závorky k 0;
d) přijato v závorce homogenní rovnice v menší míře se zase dělí na sinus nebo kosinus ve vyšším stupni;
e) řeš výslednou rovnici pro tg.
Vyřešte rovnici 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Pojďme použít formule hřích 2 x + cos 2 x = 1 a zbavte se otevřené dvojky vpravo:
3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Dělit podle cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Nahradíme tg x y a dostaneme kvadratickou rovnici:
y 2 + 4y +3 = 0, jehož kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 3
Odtud najdeme dvě řešení původní rovnice:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Vyřešte rovnici 3sin x - 5cos x = 7
Pojďme na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Přesunutí všeho doleva:
2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Vydělit cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0
Pro zvážení vezměme rovnici tvaru: a sin x + b cos x \u003d c,
kde a, b, c jsou nějaké libovolné koeficienty a x je neznámá.
Vydělte obě strany rovnice takto:
Nyní mají koeficienty rovnice podle goniometrických vzorců vlastnosti sin a cos, a to: jejich modul není větší než 1 a součet čtverců = 1. Označme je postupně jako cos a sin, kde je tzv. pomocný úhel. Potom bude mít rovnice tvar:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
nebo sin(x + ) = C
Řešení této jednoduché goniometrické rovnice je
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kde
Je třeba poznamenat, že označení cos a sin jsou zaměnitelná.
Vyřešte rovnici sin 3x - cos 3x = 1
V této rovnici jsou koeficienty:
a \u003d, b \u003d -1, takže obě části vydělíme \u003d 2
Při řešení mnoha matematické problémy , zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové úlohy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a čtvercové nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných úkolů je následující: je třeba stanovit, do jakého typu řešený problém patří, pamatovat si na nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.
Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.
Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.
Podle vzhled rovnic někdy je obtížné určit její typ. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.
K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:
1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.
Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.
I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice
Schéma řešení
Krok 1. vyjádřit goniometrická funkce přes známé komponenty.
Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.
Příklad.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Řešení.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Variabilní substituce
Schéma řešení
Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.
Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).
Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.
Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.
Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.
Příklad.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Řešení.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.
4) hřích (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukce pořadí rovnic
Schéma řešení
Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.
Příklad.
cos2x + cos2x = 5/4.
Řešení.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogenní rovnice
Schéma řešení
Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře
a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)
nebo do výhledu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).
Krok 2 Vydělte obě strany rovnice
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
a získejte rovnici pro tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.
Příklad.
5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.
Řešení.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.
3) Nechť tg x = t, pak
t2 + 3t-4 = 0;
t = 1 nebo t = -4, takže
tg x = 1 nebo tg x = -4.
Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců
Schéma řešení
Krok 1. Pomocí všemožných goniometrických vzorců přiveďte tuto rovnici k rovnici, kterou lze řešit metodami I, II, III, IV.
Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.
Příklad.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Řešení.
1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;
Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.
Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi 
důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.
S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.
Goniometrické rovnice zaujímají významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně.
Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!
blog.site, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu je vyžadován odkaz na zdroj.
Při řešení mnoha matematické problémy, zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové problémy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a kvadratické nerovnice, zlomkové rovnice a rovnice, které se redukují na kvadratické. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných úkolů je následující: je nutné stanovit, do jakého typu řešený problém patří, zapamatovat si nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.
Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétního problému závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.
Jiná situace nastává s goniometrické rovnice. Není těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.
Někdy je obtížné určit její typ podle vzhledu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.
K vyřešení goniometrické rovnice musíme zkusit:
1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na "stejné funkce";
3. faktorizovat levou stranu rovnice atp.
Zvážit základní metody řešení goniometrických rovnic.
I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice
Schéma řešení
Krok 1. Vyjádřete goniometrickou funkci pomocí známých složek.
Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.
Příklad.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Řešení.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Variabilní substituce
Schéma řešení
Krok 1. Uveďte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.
Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).
Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.
Krok 4 Proveďte obrácenou substituci.
Krok 5 Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.
Příklad.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Řešení.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 nebo e = -3/2 nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.
4) hřích (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukce pořadí rovnic
Schéma řešení
Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorců pro snížení výkonu:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.
Příklad.
cos2x + cos2x = 5/4.
Řešení.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogenní rovnice
Schéma řešení
Krok 1. Přeneste tuto rovnici do formuláře
a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)
nebo do výhledu
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).
Krok 2 Vydělte obě strany rovnice
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
a získejte rovnici pro tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.
Příklad.
5sin 2 x + 3 sin x cos x - 4 = 0.
Řešení.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.
3) Nechť tg x = t, pak
t2 + 3t-4 = 0;
t = 1 nebo t = -4, takže
tg x = 1 nebo tg x = -4.
Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců
Schéma řešení
Krok 1. Pomocí všemožných goniometrických vzorců přiveďte tuto rovnici k rovnici, kterou lze řešit metodami I, II, III, IV.
Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.
Příklad.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Řešení.
1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;
Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.
Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
V důsledku toho x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpověď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Schopnost a dovednosti řešit goniometrické rovnice jsou velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.
S řešením goniometrických rovnic je spojeno mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. Proces řešení takových úloh jakoby obsahuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají při studiu prvků trigonometrie.
Významné místo v procesu výuky matematiky a rozvoje osobnosti obecně zaujímají goniometrické rovnice.
Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!
stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.
Video kurz "Get an A" obsahuje všechna témata nezbytná pro úspěch složení zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny úkoly 1-13 profilová zkouška matematika. Vhodné také pro absolvování Základního USE v matematice. Pokud chcete zkoušku složit s 90-100 body, je potřeba vyřešit 1. část za 30 minut a bezchybně!
Přípravný kurz na zkoušku pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani humanista.
Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, pasti a tajemství zkoušky. Byly analyzovány všechny relevantní úkoly části 1 z úkolů Bank of FIPI. Kurz plně vyhovuje požadavkům USE-2018.
Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.
Stovky zkouškových úkolů. Textové úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů USE úloh. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly - k úkolu 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení náročné úkoly 2 části zkoušky.
