Při řešení porovnejte velikosti a veličiny praktické úkoly měl od pradávna. Zároveň se objevila taková slova jako více a méně, vyšší a nižší, lehčí a těžší, tišší a hlasitější, levnější a dražší atd. označující výsledky porovnávání homogenních veličin.

Pojmy více a méně vznikly v souvislosti s počítáním předmětů, měřením a porovnáváním veličin. Například matematici starověkého Řecka věděli, že strana jakéhokoli trojúhelníku je menší než součet ostatních dvou stran a že větší strana trojúhelníku leží proti většímu úhlu. Archimédes při počítání obvodu kruhu zjistil, že obvod každého kruhu se rovná trojnásobku průměru s přebytkem, který je menší než sedmina průměru, ale větší než deset sedmdesát jednan průměru.

Symbolicky zapište vztahy mezi čísly a veličinami pomocí znaků > a b. Zápisy, ve kterých jsou dvě čísla spojena jedním ze znamének: > (větší než), S numerickými nerovnostmi jste se setkali i v prvouce. Víte, že nerovnosti mohou a nemusí být pravdivé. Například \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je platná číselná nerovnost, 0,23 > 0,235 je neplatná číselná nerovnost.

Nerovnosti, které zahrnují neznámé, mohou být pravdivé pro některé hodnoty neznámých a nepravdivé pro jiné. Například nerovnost 2x+1>5 je pravdivá pro x = 3, ale nepravdivá pro x = -3. Pro nerovnost s jednou neznámou můžete zadat úkol: vyřešte nerovnost. Problémy řešení nerovnic v praxi jsou kladeny a řešeny neméně často než problémy řešení rovnic. Mnoho ekonomických problémů se například redukuje na studium a řešení soustav lineárních nerovnic. V mnoha odvětvích matematiky jsou nerovnosti běžnější než rovnice.

Některé nerovnosti slouží jako jediný pomocný prostředek k prokázání nebo vyvrácení existence určitého objektu, například kořene rovnice.

Numerické nerovnosti

Můžete porovnat celá čísla? desetinná místa. Znát pravidla srovnávání obyčejné zlomky se stejnými jmenovateli, ale různými čitateli; se stejnými čitateli, ale různými jmenovateli. Zde se dozvíte, jak porovnat libovolná dvě čísla nalezením znaménka jejich rozdílu.

Porovnávání čísel se v praxi hojně využívá. Například ekonom porovnává plánované ukazatele se skutečnými, lékař porovnává teplotu pacienta s normálem, soustružník porovnává rozměry obráběného dílu s etalonem. Ve všech těchto případech se některá čísla porovnávají. V důsledku porovnávání čísel vznikají číselné nerovnosti.

Definice.Číslo a je větší než číslo b if rozdíl a-b pozitivní. Číslo a menší než číslo b je-li rozdíl a-b záporný.

Je-li a větší než b, pak píší: a > b; je-li a menší než b, pak píší: a Nerovnice a > b tedy znamená, že rozdíl a - b je kladný, tzn. a - b > 0. Nerovnice a Pro libovolná dvě čísla a a b z následujících tří vztahů a > b, a = b, a Teorém. Pokud a > b a b > c, pak a > c.

Teorém. Pokud se na obě strany nerovnosti přidá stejné číslo, pak se znaménko nerovnosti nezmění.
Následek. Jakýkoli člen lze přenést z jedné části nerovnosti do druhé změnou znaménka tohoto členu na opačné.

Teorém. Pokud jsou obě strany nerovnosti vynásobeny stejným kladným číslem, pak se znaménko nerovnosti nezmění. Jsou-li obě strany nerovnosti vynásobeny stejně záporné číslo, pak bude znaménko nerovnosti obráceno.
Následek. Pokud jsou obě části nerovnosti děleny stejným kladným číslem, pak se znaménko nerovnosti nemění. Pokud jsou obě části nerovnosti děleny stejným záporným číslem, pak se znaménko nerovnosti změní na opačné.

Víte, že číselné rovnosti lze sčítat a násobit člen po členu. Dále se dozvíte, jak provádět podobné akce s nerovnostmi. V praxi se často využívá možnost sčítat a násobit nerovnosti člen po členu. Tyto akce vám pomohou vyřešit problémy s vyhodnocováním a porovnáváním hodnot výrazů.

Při řešení různých problémů je často nutné sčítat nebo násobit člen po členu levou a pravou část nerovností. Někdy se říká, že se nerovnosti sčítají nebo násobí. Pokud například turista ušel první den více než 20 km a druhý den více než 25 km, pak lze tvrdit, že za dva dny ušel více než 45 km. Podobně, pokud je délka obdélníku menší než 13 cm a šířka je menší než 5 cm, pak lze tvrdit, že plocha tohoto obdélníku je menší než 65 cm2.

Při zvažování těchto příkladů, následující věty o sčítání a násobení nerovností:

Teorém. Při sčítání nerovností stejného znaménka dostaneme nerovnici stejného znaménka: je-li a > b a c > d, pak a + c > b + d.

Teorém. Při násobení nerovností stejného znaménka, pro které jsou levá a pravá strana kladné, dostaneme nerovnost stejného znaménka: jsou-li a > b, c > d a a, b, c, d kladná čísla, pak ac > bd.

Nerovnice se znaménkem > (větší než) a 1/2, 3/4 b, c Spolu s přísnými znaménky nerovnosti > a Stejně tak nerovnost \(a \geq b \) znamená, že číslo a je větší než nebo rovno b, tj. a ne menší než b.

Nerovnice obsahující znaménko \(\geq \) nebo znaménko \(\leq \) se nazývají nepřísné. Například \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nejsou striktní nerovnosti.

Všechny vlastnosti přísných nerovností jsou platné i pro nepřísné nerovnosti. Navíc, pokud pro striktní nerovnice byla znaménka > považována za opačná, a víte, že k vyřešení řady aplikovaných úloh musíte sestavit matematický model ve formě rovnice nebo soustavy rovnic. Dále se dozvíte, že matematickými modely pro řešení mnoha problémů jsou nerovnosti s neznámými. Představíme si koncept řešení nerovnice a ukážeme si, jak zkontrolovat, zda je dané číslo řešením konkrétní nerovnice.

Nerovnosti formy
\(ax > b, \quad sekera, kde aab jsou daná čísla, a x je neznámé, se nazývá lineární nerovnosti s jednou neznámou.

Definice.Řešení nerovnosti s jednou neznámou je hodnota neznámé, pro kterou se tato nerovnost změní ve skutečnou číselnou nerovnost. Vyřešit nerovnost znamená najít všechna její řešení nebo zjistit, že žádná neexistují.

Rovnice jste vyřešili tak, že jste je zredukovali na nejjednodušší rovnice. Podobně při řešení nerovností má člověk tendenci je pomocí vlastností redukovat do podoby nejjednodušších nerovností.

Řešení nerovnic druhého stupně s jednou proměnnou

Nerovnosti formy
\(ax^2+bx+c >0 \) a \(ax^2+bx+c, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla a \(a \neq 0 \) se nazývají nerovnosti druhého stupně s jednou proměnnou.

Řešení nerovnosti
\(ax^2+bx+c >0 \) nebo \(ax^2+bx+c \) lze považovat za hledání mezer, kde funkce \(y= ax^2+bx+c \) nabývá kladné hodnoty nebo záporné hodnoty K tomu stačí analyzovat, jak je graf funkce \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) umístěn v souřadnicové rovině: kam směřují větve paraboly - nahoru nebo dolů , zda parabola protíná osu x a pokud se protíná, tak v jakých bodech.

Algoritmus pro řešení nerovností druhého stupně s jednou proměnnou:
1) najděte diskriminant čtvercového trinomu \(ax^2+bx+c\) a zjistěte, zda má trojčlen kořeny;
2) má-li trojčlen kořeny, pak je označte na ose x a vyznačenými body nakreslete schematickou parabolu, jejíž větve směřují nahoru na a > 0 nebo dolů na a 0 nebo níže na a 3) najděte mezery na osa x, pro kterou jsou paraboly bodů umístěny nad osou x (pokud řeší nerovnost \(ax^2+bx+c >0 \)) nebo pod osou x (pokud nerovnici řeší
\(ax^2+bx+c Řešení nerovnic metodou intervalů

Zvažte funkci
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Definičním oborem této funkce je množina všech čísel. Nuly funkce jsou čísla -2, 3, 5. Rozdělují definiční obor funkce na intervaly \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) a \( (5; +\infty) \)

Pojďme zjistit, jaké jsou znaky této funkce v každém z uvedených intervalů.

Výraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je součinem tří faktorů. Znaménko každého z těchto faktorů v uvažovaných intervalech je uvedeno v tabulce:

Obecně nechť je funkce dána vzorcem
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kde x je proměnná a x 1 , x 2 , ..., x n nejsou stejná čísla. Čísla x 1 , x 2 , ..., x n jsou nuly funkce. V každém z intervalů, do kterých je definiční obor rozdělen nulami funkce, je zachováno znaménko funkce a při průchodu nulou se mění její znaménko.

Tato vlastnost se používá k řešení nerovností formuláře
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kde x 1 , x 2 , ..., x n nejsou stejná čísla

Uvažovaná metoda řešení nerovnic se nazývá metoda intervalů.

Uveďme příklady řešení nerovnic intervalovou metodou.

Vyřešte nerovnost:

\(x(0,5-x)(x+4) Je zřejmé, že nuly funkce f(x) = x(0,5-x)(x+4) jsou body \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Vyneseme nuly funkce na reálnou osu a vypočítáme znaménko na každém intervalu:

Vybereme ty intervaly, na kterých je funkce menší nebo rovna nule, a zapíšeme odpověď.

Odpovědět:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \vpravo) \hrnek \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co se stalo "čtvercová nerovnost"? Není otázka!) Pokud vezmete žádný kvadratickou rovnici a změnit v ní znaménko "=" (rovná se) libovolné ikoně nerovnosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dostaneme kvadratickou nerovnost. Například:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2+3x > 0

3. x2 ≤ 4

No, máte představu...)

Vědomě jsem zde propojil rovnice a nerovnice. Faktem je, že prvním krokem k řešení žádný čtvercová nerovnost - vyřešit rovnici, ze které je tato nerovnost vytvořena. Z tohoto důvodu – nemožnost řešit kvadratické rovnice automaticky vede k úplnému selhání v nerovnicích. Je nápověda jasná?) Pokud něco, podívejte se, jak vyřešit případné kvadratické rovnice. Vše je tam podrobně popsáno. A v této lekci se budeme zabývat nerovnostmi.

Nerovnice připravená k řešení má tvar: vlevo, odjet - čtvercový trojčlen ax 2 +bx+c, vpravo - nula. Znakem nerovnosti může být naprosto cokoliv. První dva příklady jsou zde jsou připraveni na rozhodnutí. Třetí příklad je třeba ještě připravit.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Na youtube kanál našeho webu, abyste byli informováni o všech nových video lekcích.

Nejprve si připomeňme základní vzorce stupňů a jejich vlastnosti.

Součin čísla A vyskytuje se na sobě nkrát, můžeme tento výraz zapsat jako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Napájení popř exponenciální rovnice - jedná se o rovnice, ve kterých jsou proměnné v mocninách (nebo exponentech) a základem je číslo.

Příklady exponenciálních rovnic:

V tomto příkladu je číslo 6 základ, je vždy dole a proměnná X stupně nebo míry.

Uveďme více příkladů exponenciálních rovnic.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0

Nyní se podívejme, jak se řeší exponenciální rovnice?

Vezměme si jednoduchou rovnici:

2 x = 2 3

Takový příklad lze vyřešit i v mysli. Je vidět, že x=3. Koneckonců, aby se levá a pravá strana rovnaly, musíte místo x umístit číslo 3.
Nyní se podívejme, jak by mělo být toto rozhodnutí učiněno:

2 x = 2 3
x = 3

Abychom tuto rovnici vyřešili, odstranili jsme stejné důvody(tedy dvojky) a zapsal, co zbylo, to jsou stupně. Dostali jsme odpověď, kterou jsme hledali.

Nyní si shrňme naše řešení.

Algoritmus pro řešení exponenciální rovnice:
1. Nutno zkontrolovat stejný zda základy rovnice vpravo a vlevo. Pokud důvody nejsou stejné, hledáme možnosti řešení tohoto příkladu.
2. Poté, co jsou základy stejné, rovnat se stupně a řešit výslednou novou rovnici.

Nyní vyřešme několik příkladů:

Začněme jednoduše.

Základy na levé a pravé straně se rovnají číslu 2, což znamená, že můžeme základnu zahodit a srovnat jejich stupně.

x+2=4 Ukázalo se, že nejjednodušší rovnice.
x=4-2
x=2
Odpověď: x=2

V následujícím příkladu můžete vidět, že základy jsou různé, jedná se o 3 a 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Nejprve přeneseme devět na pravou stranu, dostaneme:

Nyní musíte vytvořit stejné základy. Víme, že 9=3 2 . Použijme mocninný vzorec (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyní je jasné, že základny na levé a pravé straně jsou stejné a rovné třem, což znamená, že je můžeme zahodit a srovnat stupně.

3x=2x+16 dostal nejjednodušší rovnici
3x-2x=16
x=16
Odpověď: x=16.

Podívejme se na následující příklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Nejprve se podíváme na základny, základny jsou různé dva a čtyři. A my musíme být stejní. Čtyřnásobek převedeme podle vzorce (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A také používáme jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Přidejte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Uvedli jsme příklad stejné důvody. Ale překáží nám další čísla 10 a 24. Co s nimi dělat? Když se podíváte pozorně, můžete vidět, že na levé straně opakujeme 2 2x, zde je odpověď - můžeme dát 2 2x ze závorek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítejme výraz v závorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celou rovnici vydělíme 6:

Představte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 základny jsou stejné, zahoďte je a srovnejte stupně.
2x \u003d 2 se ukázalo jako nejjednodušší rovnice. Vydělíme 2, dostaneme
x = 1
Odpověď: x = 1.

Pojďme řešit rovnici:

9 x - 12 x 3 x +27 = 0

Pojďme se transformovat:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnici:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše základy jsou stejné, rovny 3. V tomto příkladu je zřejmé, že první trojice má stupeň dvakrát (2x) než druhá (jen x). V tomto případě se můžete rozhodnout substituční metoda. Číslo s nejmenším stupněm je nahrazeno:

Poté 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Všechny stupně nahradíme x v rovnici za t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratická rovnice. Řešíme přes diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Zpět k proměnné X.

Vezmeme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to znamená,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Byl nalezen jeden kořen. Hledáme druhého z t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpověď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stránkách se můžete v sekci POMOC ROZHODNOUT klást otázky, které vás zajímají, určitě vám odpovíme.

Připojte se ke skupině

Jednoduše řečeno, jde o zeleninu vařenou ve vodě podle speciální receptury. Budu zvažovat dvě počáteční složky (zeleninový salát a vodu) a hotový výsledek- boršč. Geometricky to může být znázorněno jako obdélník, ve kterém jedna strana označuje salát, druhá strana označuje vodu. Součet těchto dvou stran bude označovat boršč. Úhlopříčka a plocha takového obdélníku "boršč" jsou čistě matematické pojmy a nikdy se nepoužívají v receptech na boršč.

Jak se hlávkový salát a voda promění v boršč z hlediska matematiky? Jak se může součet dvou segmentů proměnit v trigonometrii? Abychom to pochopili, potřebujeme lineární úhlové funkce.

O lineárních úhlových funkcích v učebnicích matematiky nic nenajdete. Ale bez nich nemůže být žádná matematika. Zákony matematiky, stejně jako zákony přírody, fungují, ať víme, že existují, nebo ne.

Lineární úhlové funkce jsou zákony sčítání. Podívejte se, jak se algebra mění v geometrii a geometrie v trigonometrii.

Je možné se obejít bez lineárních úhlových funkcí? Můžete, protože matematici se bez nich stále obejdou. Trik matematiků spočívá v tom, že nám vždy říkají jen o těch problémech, které sami dokážou vyřešit, a nikdy nám neřeknou o problémech, které vyřešit neumí. Vidět. Známe-li výsledek sčítání a jeden člen, pomocí odčítání najdeme druhý člen. Všechno. Jiné problémy neznáme a nejsme schopni je řešit. Co dělat, když známe pouze výsledek sčítání a neznáme oba pojmy? V tomto případě je třeba výsledek sčítání rozložit na dva členy pomocí lineárních úhlových funkcí. Dále si sami vybíráme, jaký může být jeden člen, a lineární úhlové funkce ukazují, jaký by měl být druhý člen, aby výsledek sčítání byl přesně takový, jaký potřebujeme. Takových dvojic pojmů může být nekonečně mnoho. V Každodenní život jde nám to velmi dobře bez rozkladu součtu, stačí nám odečítání. Ale při vědecký výzkum přírodní zákony, rozklad součtu na termíny může být velmi užitečný.

Další zákon sčítání, o kterém matematici neradi mluví (jejich další trik), vyžaduje, aby výrazy měly stejnou měrnou jednotku. U salátu, vody a boršče to mohou být jednotky hmotnosti, objemu, ceny nebo měrné jednotky.

Obrázek ukazuje dvě úrovně rozdílu pro matematiku. První úrovní jsou rozdíly v poli čísel, které jsou uvedeny A, b, C. To je to, co dělají matematici. Druhou úrovní jsou rozdíly v oblasti měrných jednotek, které jsou uvedeny v hranatých závorkách a jsou označeny písmenem U. To je to, co fyzikové dělají. Můžeme chápat třetí rovinu – rozdíly v rozsahu popisovaných objektů. Různé objekty mohou mít stejný počet stejných měrných jednotek. Jak je to důležité, můžeme vidět na příkladu trigonometrie boršče. Pokud ke stejnému označení měrných jednotek pro různé objekty přidáme dolní indexy, můžeme přesně říci které matematická hodnota popisuje konkrétní objekt a jak se mění v průběhu času nebo ve vztahu k našemu jednání. dopis W Vodu označím písmenem S Salát označím písmenem B- boršč. Zde je návod, jak by vypadaly funkce lineárního úhlu pro boršč.

Pokud odebereme část vody a část salátu, společně se promění v jednu porci boršče. Zde vám navrhuji, abyste si trochu odpočinuli od boršče a zavzpomínali na své vzdálené dětství. Pamatujete si, jak nás učili skládat zajíčky a kachny dohromady? Bylo nutné zjistit, kolik zvířat dopadne. Co nás tedy učili dělat? Naučili nás oddělovat jednotky od čísel a sčítat čísla. Ano, libovolné číslo lze přidat k libovolnému jinému číslu. To je přímá cesta k autismu moderní matematiky – nerozumíme čemu, není jasné proč, a velmi špatně rozumíme tomu, jak to souvisí s realitou, protože matematici operují pouze na jedné úrovni rozdílu. Bude správnější naučit se přecházet z jedné jednotky měření na druhou.

A zajíčci, kachny a zvířátka se dají spočítat na kusy. Jedna společná jednotka měření pro různé objekty nám umožňuje je sčítat. Toto je dětská verze problému. Podívejme se na podobný problém u dospělých. Co získáte, když přidáte zajíčky a peníze? Zde jsou dvě možná řešení.

První možnost. Určíme tržní hodnotu zajíčků a přidáme ji k dostupné hotovosti. Dostali jsme celkovou hodnotu našeho bohatství v penězích.

Druhá možnost. K počtu bankovek, které máme, můžete přidat počet zajíčků. Množství movitého majetku získáme na kusy.

Jak vidíte, stejný zákon sčítání umožňuje získat různé výsledky. Vše záleží na tom, co přesně chceme vědět.

Ale zpět k našemu boršči. Nyní vidíme, co se stane pro různé hodnoty úhlu funkcí lineárního úhlu.

Úhel je nulový. Máme salát, ale žádnou vodu. Nemůžeme vařit boršč. Nulové je také množství boršče. To vůbec neznamená, že nulový boršč se rovná nule vody. Nulový boršč může být i na nulovém salátu (pravý úhel).

Pro mě osobně je to hlavní matematický důkaz toho, že . Nula po přidání nemění číslo. Je to proto, že samotné sčítání je nemožné, pokud existuje pouze jeden člen a druhý člen chybí. Můžete se k tomu vztahovat, jak chcete, ale pamatujte – všechny matematické operace s nulou vymysleli sami matematici, takže zahoďte logiku a hloupě cpete definice vymyšlené matematiky: „dělení nulou je nemožné“, „libovolné číslo vynásobené nulou“ rovná se nule“, „za bodem nula“ a další nesmysly. Stačí si jednou zapamatovat, že nula není číslo, a už nikdy nebudete mít otázku, zda je nula přirozené číslo nebo ne, protože taková otázka obecně ztrácí veškerý význam: jak lze považovat číslo za číslo, které není číslem? . Je to jako ptát se, jaké barvě přiřadit neviditelnou barvu. Přidání nuly k číslu je jako malování barvou, která neexistuje. Zamávali suchým štětcem a všem řekli, že „máme natřeno“. Ale to jsem trochu odbočil.

Úhel je větší než nula, ale menší než čtyřicet pět stupňů. Máme hodně salátu, ale málo vody. V důsledku toho získáme hustý boršč.

Úhel je čtyřicet pět stupňů. Máme stejné množství vody a salátu. Tohle je perfektní boršč (nech mi kuchařky prominou, je to jen matematika).

Úhel je větší než čtyřicet pět stupňů, ale menší než devadesát stupňů. Máme hodně vody a málo salátu. Získejte tekutý boršč.

Pravý úhel. Máme vodu. Na salát zůstaly jen vzpomínky, protože pokračujeme v měření úhlu od čáry, která kdysi salát označovala. Nemůžeme vařit boršč. Množství boršče je nulové. V tom případě vydržte a pijte vodu, dokud je k dispozici)))

Tady. Něco takového. Mohu zde vyprávět další příběhy, které se zde budou více než hodit.

Oba přátelé měli své podíly na společném podnikání. Po vraždě jednoho z nich vše připadlo na druhého.

Vznik matematiky na naší planetě.

Všechny tyto příběhy jsou vyprávěny jazykem matematiky pomocí lineárních úhlových funkcí. Někdy jindy ti to ukážu skutečné místo tyto funkce ve struktuře matematiky. Mezitím se vraťme k trigonometrii boršče a uvažujme projekce.

Sobota 26. října 2019

Shlédl jsem zajímavé video o Grandiho řada Jedna mínus jedna plus jedna mínus jedna - Numberphile. Matematici lžou. Ve svých úvahách neprovedli test rovnosti.

To rezonuje s mým uvažováním o .

Podívejme se blíže na známky toho, že nás matematici podvádějí. Hned na začátku úvahy matematici říkají, že součet posloupnosti ZÁVISÍ na tom, zda je v ní počet prvků sudý či nikoliv. To je OBJEKTIVNĚ ZJISTITÝ FAKT. Co se stane dál?

Dále matematici odečítají posloupnost od jednoty. K čemu to vede? To vede ke změně počtu prvků v posloupnosti – sudé číslo se změní na liché, liché na sudé. Koneckonců jsme do sekvence přidali jeden prvek rovný jedné. Přes veškerou vnější podobnost se sekvence před transformací nerovná sekvenci po transformaci. I když mluvíme o nekonečné posloupnosti, musíme si pamatovat, že nekonečná posloupnost s lichým počtem prvků se nerovná nekonečné posloupnosti se sudým počtem prvků.

Vložením rovnítka mezi dvě posloupnosti různé v počtu prvků matematici tvrdí, že součet posloupnosti NEZÁVISÍ na počtu prvků v posloupnosti, což je v rozporu s OBJEKTIVNĚ PROVEDENÝM FAKTEM. Další úvahy o součtu nekonečné posloupnosti jsou nepravdivé, protože jsou založeny na falešné rovnosti.

Pokud vidíte, že matematici v průběhu důkazů umisťují závorky, přeskupují prvky matematického výrazu, něco přidávají nebo ubírají, buďte velmi opatrní, pravděpodobně se vás snaží oklamat. Stejně jako zaklínači karet i matematici odvádějí vaši pozornost různými manipulacemi s výrazem, aby vám nakonec dali falešný výsledek. Pokud nemůžete zopakovat karetní trik, aniž byste znali tajemství klamu, pak je v matematice všechno mnohem jednodušší: o klamu nemáte ani podezření, ale opakování všech manipulací s matematický výraz umožňuje přesvědčit ostatní o správnosti výsledku, stejně jako jste byli kdysi přesvědčeni vy.

Otázka z publika: A nekonečno (jako počet prvků v posloupnosti S), je sudé nebo liché? Jak můžete změnit paritu něčeho, co žádnou paritu nemá?

Nekonečno pro matematiky je jako Království nebeské pro kněze - nikdo tam nikdy nebyl, ale každý přesně ví, jak tam všechno funguje))) Souhlasím, po smrti vám bude naprosto lhostejné, zda jste žili sudý nebo lichý počet dní , ale ... Když přidáme jen jeden den na začátku tvého života, dostaneme úplně jiného člověka: jeho příjmení, jméno a patronymie jsou úplně stejné, jen datum narození je úplně jiné - narodil se jako jeden den před vámi.

A teď k věci))) Předpokládejme, že konečná posloupnost, která má paritu, tuto paritu ztratí při přechodu do nekonečna. Pak každý konečný segment nekonečné posloupnosti musí také ztratit paritu. Toto nepozorujeme. To, že nemůžeme s jistotou říci, zda je počet prvků v nekonečné posloupnosti sudý nebo lichý, vůbec neznamená, že parita zmizela. Parita, pokud existuje, nemůže zmizet v nekonečnu beze stopy, jako v obalu ostřejší karty. Pro tento případ existuje velmi dobrá analogie.

Už jste se někdy zeptali kukačky sedící v hodinách, kterým směrem se otáčí hodinová ručička? U ní se šipka otáčí v opačném směru, než tomu říkáme „ve směru hodinových ručiček“. Může to znít paradoxně, ale směr otáčení závisí výhradně na tom, ze které strany rotaci pozorujeme. A tak máme jedno kolo, které se otáčí. Nemůžeme říci, kterým směrem rotace nastává, protože ji můžeme pozorovat jak z jedné strany roviny rotace, tak z druhé. O tom, že dochází k rotaci, můžeme jen dosvědčit. Úplná analogie s paritou nekonečné posloupnosti S.

Nyní přidáme druhé rotující kolo, jehož rovina rotace je rovnoběžná s rovinou rotace prvního rotačního kola. Stále nemůžeme přesně říci, kterým směrem se tato kola točí, ale můžeme s naprostou jistotou říci, zda se obě kola točí stejným směrem nebo opačným směrem. Porovnání dvou nekonečných sekvencí S A 1-S, ukázal jsem pomocí matematiky, že tyto posloupnosti mají různou paritu a dávat mezi ně rovnítko je chyba. Osobně matematice věřím, matematikům nevěřím))) Mimochodem, abychom plně pochopili geometrii transformací nekonečných posloupností, je nutné zavést pojem "simultánnost". To bude potřeba nakreslit.

Středa 7. srpna 2019

Na závěr rozhovoru o , musíme zvážit nekonečnou množinu. Dá se říci, že koncept „nekonečna“ působí na matematiky jako hroznýš na králíka. Chvějící se hrůza z nekonečna připravuje matematiky o zdravý rozum. Zde je příklad:

Původní zdroj je umístěn. Alfa označuje reálné číslo. Rovnítko ve výše uvedených výrazech znamená, že pokud k nekonečnu přidáte číslo nebo nekonečno, nic se nezmění, výsledkem bude stejné nekonečno. Vezmeme-li jako příklad nekonečnou množinu přirozená čísla, uvažované příklady mohou být uvedeny v následující podobě:

Aby matematici vizuálně dokázali svůj případ, přišli s mnoha různými metodami. Osobně se na všechny tyto metody dívám jako na tance šamanů s tamburínami. V podstatě všichni dojdou na to, že buď některé pokoje nejsou obsazené a jsou v nich usazeni noví hosté, nebo je část návštěvníků vyhozena na chodbu, aby uvolnila místo pro hosty (velmi lidsky). Svůj pohled na taková rozhodnutí jsem prezentovala formou fantastického příběhu o Blondýně. Na čem je založena moje úvaha? Přesun nekonečného počtu návštěvníků trvá nekonečně dlouho. Poté, co vyklidíme první pokoj pro hosty, bude vždy jeden z návštěvníků chodit po chodbě ze svého pokoje do dalšího až do konce času. Časový faktor lze samozřejmě hloupě ignorovat, ale to už bude z kategorie „zákon není psán pro hlupáky“. Vše závisí na tom, co děláme: přizpůsobujeme realitu matematickým teoriím nebo naopak.

Co je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, který má vždy libovolný počet volných míst, bez ohledu na počet obsazených pokojů. Pokud jsou všechny pokoje v nekonečné chodbě „pro návštěvy“ obsazeny, je zde další nekonečná chodba s pokoji pro „hosty“. Takových chodeb bude nekonečně mnoho. „Nekonečný hotel“ má přitom nekonečný počet pater v nekonečném počtu budov na nekonečném počtu planet v nekonečném počtu vesmírů stvořených nekonečným počtem Bohů. Matematici se naproti tomu nedokážou vzdálit banálním každodenním problémům: Bůh-Alláh-Buddha je vždy jen jeden, hotel je jeden, chodba je jen jedna. Matematici se tedy snaží žonglovat se sériovými čísly hotelových pokojů a přesvědčují nás, že je možné „strčit do nešvaru“.

Logiku své úvahy vám předvedu na příkladu nekonečné množiny přirozených čísel. Nejprve musíte odpovědět na velmi jednoduchou otázku: kolik množin přirozených čísel existuje - jedna nebo mnoho? Na tuto otázku neexistuje správná odpověď, protože jsme sami vynalezli čísla, v přírodě žádná čísla nejsou. Ano, příroda umí perfektně počítat, ale k tomu používá jiné matematické nástroje, které nám nejsou známé. Jak si příroda myslí, řeknu vám to jindy. Protože jsme vynalezli čísla, sami rozhodneme, kolik množin přirozených čísel existuje. Zvažte obě možnosti, jak se na skutečného vědce sluší a patří.

Možnost jedna. „Nechte nás dostat“ jedinou sadu přirozených čísel, která leží klidně na polici. Bereme tuto sadu z police. To je vše, žádná další přirozená čísla na poličce nezůstala a není ani kde vzít. Nemůžeme přidat jeden do této sady, protože ji již máme. Co když opravdu chceš? Žádný problém. Můžeme vzít jednotku z již odebrané sady a vrátit ji do police. Poté můžeme vzít jednotku z police a přidat ji k tomu, co nám zbylo. Výsledkem je opět nekonečná množina přirozených čísel. Všechny naše manipulace můžete napsat takto:

Zaznamenal jsem akce v algebraický systém notaci a v systému notace přijatém v teorii množin, s podrobným výčtem prvků množiny. Dolní index označuje, že máme jednu a jedinou sadu přirozených čísel. Ukazuje se, že množina přirozených čísel zůstane nezměněna pouze tehdy, když se od ní jedno odečte a stejné se přičte.

Možnost dvě. Na poličce máme mnoho různých nekonečných množin přirozených čísel. Zdůrazňuji - JINÉ, přesto, že jsou prakticky k nerozeznání. Bereme jednu z těchto sad. Pak vezmeme jedno z jiné množiny přirozených čísel a přidáme ho k množině, kterou jsme již vzali. Můžeme dokonce sečíst dvě sady přirozených čísel. Zde je to, co získáme:

Indexy „jedna“ a „dva“ označují, že tyto prvky patřily do různých sad. Ano, pokud přidáte jedničku k nekonečné množině, výsledkem bude také nekonečná množina, ale nebude stejná jako původní množina. Pokud se k jedné nekonečné množině přidá další nekonečná množina, výsledkem je nová nekonečná množina sestávající z prvků prvních dvou množin.

Množina přirozených čísel se používá k počítání stejně jako pravítko pro měření. Nyní si představte, že jste k pravítku přidali jeden centimetr. Toto již bude jiný řádek, který se nebude rovnat původnímu.

Můžete přijmout nebo nepřijmout moji úvahu - je to vaše věc. Pokud ale někdy narazíte na matematické problémy, zamyslete se, zda nejdete cestou falešného uvažování, prošlapaného generacemi matematiků. Hodiny matematiky v nás totiž v první řadě utvářejí ustálený stereotyp myšlení a teprve pak nám přidávají rozumové schopnosti (nebo naopak zbavují svobodného myšlení).

pozg.ru

Neděle 4. srpna 2019

Psal jsem příspěvek k článku o a viděl jsem tento úžasný text na Wikipedii:

Čteme: „... bohatý teoretický základ Babylonská matematika neměla holistický charakter a byla zredukována na soubor různorodých technik, postrádajících společný systém a důkazní základna.

Páni! Jak jsme chytří a jak dobře dokážeme vidět nedostatky druhých. Je pro nás slabé dívat se na moderní matematiku ve stejném kontextu? Mírně parafrázuji výše uvedený text, osobně jsem dostal následující:

Bohatý teoretický základ moderní matematiky nemá celostní charakter a je redukován na soubor nesourodých oddílů, postrádajících společný systém a důkazní základnu.

Nebudu chodit daleko, abych potvrdil svá slova – má jazyk a konvence, které se liší od jazyka a konvencí mnoha jiných odvětví matematiky. Stejná jména v různých odvětvích matematiky mohou mít různé významy. Nejviditelnějším omylům moderní matematiky chci věnovat celý cyklus publikací. Brzy se uvidíme.

Sobota 3. srpna 2019

Jak rozdělit množinu na podmnožiny? Chcete-li to provést, musíte zadat novou měrnou jednotku, která je přítomna v některých prvcích vybrané sady. Zvažte příklad.

Ať máme mnoho A skládající se ze čtyř lidí. Tato sada je tvořena na základě "lidí" Označme prvky této sady prostřednictvím písmene A, dolní index s číslem bude uvádět pořadové číslo každé osoby v této sadě. Zaveďme novou měrnou jednotku „sexuální charakteristika“ a označme ji písmenem b. Protože sexuální charakteristiky jsou vlastní všem lidem, násobíme každý prvek souboru A na pohlaví b. Všimněte si, že naše sada „lidé“ se nyní stala sadou „lidé s pohlavím“. Poté můžeme pohlavní znaky rozdělit na mužské bm a dámské bw genderové charakteristiky. Nyní můžeme použít matematický filtr: vybereme jednu z těchto sexuálních charakteristik, nezáleží na tom, která je mužská nebo ženská. Je-li v člověku přítomen, pak ho vynásobíme jednou, pokud takový znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A pak aplikujeme obvyklou školní matematiku. Podívejte se, co se stalo.

Po násobení, redukcích a přeskupení jsme dostali dvě podmnožiny: mužskou podmnožinu bm a podskupina žen bw. Přibližně stejným způsobem uvažují matematici, když aplikují teorii množin v praxi. Ale nepouštějí nás do detailů, ale dávají nám hotový výsledek – „spousta lidí se skládá z podmnožiny mužů a podmnožiny žen“. Přirozeně vás může napadnout otázka, jak správně aplikovat matematiku ve výše uvedených transformacích? Troufám si vás ujistit, že ve skutečnosti jsou transformace provedeny správně, stačí znát matematické zdůvodnění aritmetiky, Booleovy algebry a dalších úseků matematiky. co to je? Někdy jindy vám o tom povím.

Pokud jde o nadmnožiny, je možné spojit dvě sady do jedné nadmnožiny výběrem měrné jednotky, která je přítomna v prvcích těchto dvou sad.

Jak vidíte, jednotky měření a běžná matematika dělají z teorie množin minulost. Známkou toho, že s teorií množin není vše v pořádku, je to, že matematici přišli s vlastním jazykem a notací pro teorii množin. Matematici dělali to, co kdysi dělali šamani. Jen šamani vědí, jak „správně“ uplatnit své „znalosti“. Tyto „znalosti“ nás učí.

Na závěr vám chci ukázat, jak matematici manipulují
Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita dosud nebyla schopna dospět ke společnému názoru na podstatu paradoxů ... matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzikálního hlediska to vypadá jako zpomalení času, až se úplně zastaví v okamžiku, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není kompletní řešení Problémy. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne donekonečna vysoká čísla, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii se logický paradox překonává velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že v každém okamžiku letící šíp spočívá v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Na co se chci zaměřit Speciální pozornost, je, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.
Postup ukážu na příkladu. Vybíráme "červená pevná látka v pupínku" - to je náš "celek". Zároveň vidíme, že tyto věci jsou s mašlí a jsou bez mašle. Poté vybereme část „celku“ a vytvoříme sadu „s mašličkou“. Takto se šamani živí tím, že spojují svou teorii množin s realitou.

Nyní uděláme malý trik. Vezměme „pevné v pupínku s mašlí“ a sjednoťme tyto „celek“ podle barvy a vybereme červené prvky. Dostali jsme hodně "červené". Nyní záludná otázka: jsou přijaté sady "s mašličkou" a "červenou" stejnou sadou nebo dvěma různými sadami? Odpověď znají jen šamani. Přesněji oni sami nic nevědí, ale jak říkají, tak je.

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že teorie množin je zcela zbytečná, pokud jde o realitu. Jaké je tajemství? Vytvořili jsme sadu "červený pevný pupínek s mašlí". Formování probíhalo podle čtyř různých měrných jednotek: barva (červená), síla (plná), drsnost (v hrbolu), dekorace (s mašlí). Pouze množina měrných jednotek umožňuje adekvátně popsat skutečné objekty v jazyce matematiky. Tady je to, jak to vypadá.

Písmeno "a" s různými indexy označuje různé jednotky měření. V závorkách jsou zvýrazněny měrné jednotky, podle kterých je v předběžné fázi přidělen „celek“. Jednotka měření, podle které je sestava tvořena, je vyjmuta ze závorek. Poslední řádek zobrazuje konečný výsledek - prvek sady. Jak vidíte, pokud použijeme jednotky k vytvoření množiny, pak výsledek nezávisí na pořadí našich akcí. A to je matematika a ne tance šamanů s tamburínami. Šamani mohou „intuitivně“ dojít ke stejnému výsledku a argumentovat „samozřejmostí“, protože jednotky měření nejsou zahrnuty v jejich „vědeckém“ arzenálu.

Pomocí měrných jednotek je velmi snadné rozbít jednu nebo spojit několik sad do jedné nadmnožiny. Podívejme se blíže na algebru tohoto procesu.