Číslo 0 může být reprezentováno jako jakási hranice oddělující svět reálných čísel od imaginárních nebo záporných. Kvůli nejednoznačné poloze se mnoho operací s touto číselnou hodnotou nepodřizuje matematické logice. Nemožnost dělení nulou je toho zářným příkladem. A povolené aritmetické operace s nulou lze provádět pomocí obecně uznávaných definic.

Historie nuly

Nula je referenčním bodem ve všech standardních číselných soustavách. Evropané začali toto číslo používat relativně nedávno, ale mudrci starověké Indie používali nulu tisíc let, než prázdné číslo začali pravidelně používat evropští matematici. Ještě před Indy byla v mayském číselném systému nula povinnou hodnotou. Tito Američané používali duodecimální systém a první den každého měsíce začínali nulou. Zajímavé je, že u Mayů se znak pro „nulu“ zcela shodoval se znakem pro „nekonečno“. Staří Mayové tedy dospěli k závěru, že tato množství jsou totožná a nepoznatelná.

Matematické operace s nulou

Standardní matematické operace s nulou lze zredukovat na několik pravidel.

Sčítání: pokud k libovolnému číslu přidáte nulu, nezmění se jeho hodnota (0+x=x).

Odečítání: při odečtení nuly od libovolného čísla zůstane hodnota odečteného nezměněna (x-0=x).

Násobení: libovolné číslo vynásobené 0 dává v součinu 0 (a*0=0).

Dělení: Nulu lze dělit libovolným nenulovým číslem. V tomto případě bude hodnota takového zlomku 0. A dělení nulou je zakázáno.

Umocňování. Tuto akci lze provést s libovolným číslem. Libovolné číslo umocněné na nulu dá 1 (x 0 = 1).

Nula k libovolné mocnině se rovná 0 (0 a \u003d 0).

V tomto případě okamžitě vzniká rozpor: výraz 0 0 nedává smysl.

Paradoxy matematiky

To, že dělení nulou je nemožné, ví mnoho lidí ze školy. Ale z nějakého důvodu není možné vysvětlit důvod takového zákazu. Proč vlastně neexistuje vzorec dělení nulou, ale jiné akce s tímto číslem jsou docela rozumné a možné? Odpověď na tuto otázku dávají matematici.

Jde o to, že obvyklé aritmetické operace, ve kterých se školáci učí základní škola ve skutečnosti si nejsou tak rovni, jak si myslíme. Všechny jednoduché operace s čísly lze zredukovat na dvě: sčítání a násobení. Tyto operace jsou podstatou samotného konceptu čísla a zbytek operací je založen na použití těchto dvou.

Sčítání a násobení

Vezměme si standardní příklad odčítání: 10-2=8. Ve škole se uvažuje jednoduše: když se z deseti předmětů odeberou dva, zůstane osm. Ale matematici se na tuto operaci dívají zcela jinak. Koneckonců pro ně neexistuje žádná taková operace jako odčítání. Tento příklad lze zapsat i jinak: x+2=10. Pro matematiky je neznámým rozdílem jednoduše číslo, které je třeba přidat ke dvěma, aby bylo osm. A zde není nutné žádné odčítání, stačí najít vhodnou číselnou hodnotu.

Násobení a dělení se řeší stejným způsobem. V příkladu 12:4=3 lze pochopit, že mluvíme o rozdělení osmi objektů na dvě stejné hromádky. Ale ve skutečnosti je to jen obrácený vzorec pro psaní 3x4 \u003d 12. Takových příkladů pro dělení lze uvést donekonečna.

Příklady na dělení 0

Tady je trochu jasné, proč není možné dělit nulou. Násobení a dělení nulou má svá pravidla. Všechny příklady na dílek této veličiny lze formulovat jako 6:0=x. Ale toto je obrácené vyjádření výrazu 6 * x = 0. Ale jak víte, jakékoli číslo vynásobené 0 dává v součinu pouze 0. Tato vlastnost je vlastní samotnému konceptu nulové hodnoty.

Ukazuje se, že takové číslo, které po vynásobení 0 dává nějakou hmatatelnou hodnotu, neexistuje, tzn. daný úkol nemá řešení. Člověk by se takové odpovědi neměl bát, je to přirozená odpověď na problémy tohoto typu. Jen psát 6:0 nedává žádný smysl a nemůže to nic vysvětlit. Tento výraz lze ve zkratce vysvětlit nesmrtelným „žádné dělení nulou“.

Je tam operace 0:0? Pokud je operace násobení 0 legální, lze nulu dělit nulou? Ostatně rovnice ve tvaru 0x5=0 je zcela legální. Místo čísla 5 můžete dát 0, součin se od toho nezmění.

Opravdu, 0x0=0. Ale stále nemůžete dělit 0. Jak již bylo řečeno, dělení je jen opakem násobení. Pokud tedy v příkladu 0x5=0 potřebujete určit druhý faktor, dostaneme 0x0=5. Nebo 10. Nebo nekonečno. Dělení nekonečna nulou – jak se vám líbí?

Pokud se ale do výrazu vejde jakékoli číslo, pak to nedává smysl, nemůžeme si vybrat jedno z nekonečné množiny čísel. A pokud ano, znamená to, že výraz 0:0 nedává smysl. Ukazuje se, že ani nulu samotnou nelze dělit nulou.

algebra pro pokročilé

Dělení nulou je bolest hlavy pro školní matematiku. Studoval v technické univerzity matematická analýza mírně rozšiřuje pojetí problémů, které nemají řešení. Například již slavný výraz 0:0 jsou přidány nové, které nemají žádné řešení školní kurzy matematika:

• nekonečno děleno nekonečnem: ∞:∞;
• nekonečno mínus nekonečno: ∞−∞;
• jednotka zvýšena na nekonečnou mocninu: 1 ∞ ;
• nekonečno násobeno 0: ∞*0;
• některé další.

Řešit takové výrazy elementárními metodami je nemožné. Vyšší matematika ale díky dalším možnostem řady podobných příkladů dává konečná řešení. To je patrné zejména při úvahách o problémech z teorie limit.

Zveřejnění nejistoty

V teorii limit je hodnota 0 nahrazena podmíněnou infinitesimálou variabilní. A převedou se výrazy, ve kterých se při dosazení požadované hodnoty získá dělení nulou. Níže je standardní příklad limitní expanze pomocí obvyklých algebraických transformací:

Jak můžete vidět na příkladu, prosté zmenšení zlomku přináší jeho hodnotu ke zcela racionální odpovědi.

Při zvažování limitů goniometrické funkce jejich výrazy bývají redukovány na první úžasný limit. Když uvažujeme limity, ve kterých jde jmenovatel do 0, když je limita dosazena, použije se druhá významná limita.

L'Hopitalova metoda

V některých případech mohou být limity výrazů nahrazeny limitou jejich derivátů. Guillaume Lopital - francouzský matematik, zakladatel francouzské školy matematická analýza. Dokázal, že limity výrazů se rovnají limitám derivátů těchto výrazů. V matematickém zápisu je jeho pravidlo následující.

Prezentace na lekci

Stáhnout prezentaci (489,5 kB)

1. Zaveďte speciální případy násobení s 0 a 1.
2. Upevňovat význam násobení a komutativní vlastnost násobení, rozvíjet výpočetní dovednosti.
3. Rozvíjet pozornost, paměť, mentální operace, řeč, kreativitu, zájem o matematiku.

Zařízení: Prezentace snímků: Příloha1.

1. Organizační moment.

Dnes je pro nás neobvyklý den. Na lekci jsou hosté. Potěšte mě, přátelé, hosty svými úspěchy. Otevřete sešity, zapište si číslo, třídní práce. Na okraj označte svou náladu na začátku lekce. Snímek 2

Celá třída slovně opakuje násobilku na kartách a mluví nahlas (Děti označují špatné odpovědi tleskáním).

Fizkultminutka („Mozková gymnastika“, „Klobouk na zamyšlení“, pro dýchání).

2. Vyjádření učebního úkolu.

2.1. Úkoly pro rozvoj pozornosti.

Na tabuli a na stole mají děti dvoubarevný obrázek s čísly:

– Co je zajímavého na psaných číslech? (Psáno různými barvami; všechna „červená“ čísla jsou sudá a „modrá“ lichá.)
Jaké je další číslo? (10 je kulaté a zbytek ne; 10 jsou dvě číslice a zbytek jsou jediné číslice; 5 se opakuje dvakrát a ostatní jsou po jedné.)
- Uzavřu číslo 10. Je mezi ostatními čísly něco navíc? (3 - on nemá pár pod 10, ale ostatní ano.)
– Najděte součet všech „červených“ čísel a zapište jej do červeného čtverce. (30.)
– Najděte součet všech „modrých“ čísel a zapište jej do modrého čtverce. (23.)
O kolik více je 30 než 23? (Dne 7.)
Kolik je 23 méně než 30? (Také v 7.)
Jakou akci jste hledali? (Odčítání.) Snímek 3.

2.2. Úkoly pro rozvoj paměti a řeči. Aktualizace znalostí.

a) - Zopakujte v pořadí slova, která budu jmenovat: termín, termín, součet, redukovaný, odečtený, rozdíl. (Děti se snaží reprodukovat slovosled.)
Jaké akční složky byly pojmenovány? (Sčítání a odčítání.)
Jakou akci znáte? (Násobení, dělení.)
- Vyjmenuj složky násobení. (Multiplikátor, multiplikátor, produkt.)
Co znamená první násobitel? (Stejné podmínky v součtu.)
Co znamená druhý násobitel? (Počet takových výrazů.)

Zapište definici násobení.

b) Podívejte se do poznámek. Jaký úkol budete dělat?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a

(Nahraďte součet produktem.)

Co se bude dít? (První výraz má 5 členů, z nichž každý je roven 12, takže se rovná 12 5. Podobně - 33 4 a 3)

c) Pojmenujte obrácenou operaci. (Nahraďte produkt součtem.)

– Součin nahraďte součtem ve výrazech: 99 2. 8 4. b 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). snímek 4.

d) Na tabuli jsou napsány rovnice:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Obrázky jsou umístěny vedle každé rovnosti.

Zvířátka lesní školy byla na misi. Udělali to správně?

Děti zjistí, že slon, tygr, zajíc a veverka udělali chybu, vysvětlí, jaké jsou jejich chyby. Snímek 5.

e) Porovnejte výrazy:

8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
a 3. a 2 + a

(8 5 \u003d 5 8, protože součet se nemění od přeskupení podmínek;
5 6 > 3 6, protože nalevo a napravo je 6 členů, ale členy nalevo jsou větší;
34 9 > 31 2. protože nalevo je více termínů a samotné termíny jsou větší;
a 3 \u003d a 2 + a, protože nalevo a napravo jsou 3 termíny, rovnající se a.)

Jaká vlastnost násobení byla použita v prvním příkladu? (Posun.) Snímek 6.

2.3. Formulace problému. Stanovení cílů.

Jsou rovnoprávnosti pravdivé? Proč? (Správně, protože součet je 5 + 5 + 5 = 15. Pak se součet o jeden člen zvýší o 5 a součet se zvýší o 5.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Pokračujte v tomto vzoru doprava. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
- Pokračujte nyní doleva. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Co znamená výraz 5 1? 50? (? Problém!)

Výrazy 5 1 a 5 0 však nedávají smysl. Můžeme souhlasit s tím, že tyto rovnosti budeme považovat za pravdivé. K tomu však musíme zkontrolovat, zda neporušujeme komutativní vlastnost násobení.

Účelem naší lekce tedy je určit, zda můžeme spočítat rovnosti 5 1 = 5 a 5 0 = 0 správně?

Problém s lekcí! Snímek 7.

3. „Objevování“ nových znalostí dětmi.

a) - Postupujte podle kroků: 1 7, 1 4, 1 5.

Děti řeší příklady s komentáři v sešitu a na tabuli:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

- Udělejte závěr: 1 a -? (1 a = a.) Karta je vystavena: 1 a = a

b) - Mají výrazy 7 1, 4 1, 5 1 smysl? Proč? (Ne, protože součet nemůže mít jeden člen.)

– Čemu by se měly rovnat, aby nedošlo k porušení komutativní vlastnosti násobení? (7 1 se také musí rovnat 7, takže 7 1 = 7.)

41 = 4; 5 1 = 5.

- Udělejte závěr: a 1 =? (a 1 = a.)

Karta je vystavena: a 1 = a. První karta je umístěna na druhé: a 1 \u003d 1 a \u003d a.

- Shoduje se náš závěr s tím, co jsme získali na numerickém paprsku? (Ano.)
– Přeložte tuto rovnost do ruštiny. (Když vynásobíte číslo 1 nebo 1 číslem, dostanete stejné číslo.)
- Výborně! Takže budeme uvažovat: a 1 \u003d 1 a \u003d a. snímek 8.

2) Podobně je studován případ násobení s 0. Závěr:

- když je číslo vynásobeno 0 nebo 0 číslem, získá se nula: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. snímek 9.
- Porovnejte obě rovnosti: co vám připomíná 0 a 1?

Děti vyjadřují své názory. Můžete je upozornit na obrázky:

1 – „zrcadlo“, 0 – „strašné zvíře“ nebo „neviditelná čepice“.

Výborně! Takže vynásobením 1 dostaneme stejné číslo. (1 - "zrcadlo") a když vynásobíme 0, dostaneme 0 ( 0 - „strop neviditelnosti“).

4. Tělesná výchova (pro oči - „kruh“, „nahoru - dolů“, pro ruce - „zámek“, „vačky“).

5. Primární upevnění.

Příklady jsou napsané na tabuli:

Děti je řeší v sešitu a na tabuli s výslovností přijatých pravidel hlasitým projevem, např.:

3 1 = 3, protože při vynásobení čísla 1 získáme stejné číslo (1 je „zrcadlo“) atd.

a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.

- Při násobení 145 neznámým číslem vyšlo 145. Takže vynásobili 1 x = 1. atd.

- Vynásobení 8 neznámým číslem se ukázalo jako 0. Takže vynásobeno 0 x \u003d 0. A tak dále.

6. Samostatná práce s validací třídy. snímek 10.

Děti samostatně řeší nahrané příklady. Pak hotovo

kontrolují si odpovědi s výslovností v hlasitém projevu, správně vyřešené příklady označují plusem, opravují vzniklé chyby. Ti, kteří udělali chyby, dostanou podobný úkol na kartičce a samostatně na něm pracují, zatímco třída řeší opakovací úlohy.

7. Úkoly k opakování. (Pracovat v párech). Snímek 11.

a) - Chcete vědět, co vás čeká v budoucnu? Zjistíte to dešifrováním záznamu:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Pravidlo násobení 1 a 0

Podle obecně uznávané definice, nula je číslo, které odděluje kladná čísla od záporných čísel na číselné ose. Nula- toto je nejproblematičtější místo v matematice, které se neřídí logikou a všemi matematickými operacemi s nula založené nikoli na logice, ale na obecně uznávaných definicích.

První příklad problému nula jsou přirozená čísla. v ruských školách nula není přirozené číslo, na jiných školách je nula přirozené číslo. Protože pojem „přirozená čísla“ je umělým oddělením některých čísel od všech ostatních podle určitých kritérií, nemůže existovat žádný matematický důkaz přirozenosti nebo nepřirozenosti nuly. Nula je považována za neutrální prvek s ohledem na operace sčítání a odčítání.

Nula je považována za celé číslo bez znaménka. Taky nula je považováno za sudé číslo, protože když vydělíte nulu dvěma, dostanete celé číslo nula.

Nula je první číslice ve všech standardních číselných soustavách. V pozičních číselných soustavách, ke kterým patří nám známá desítková číselná soustava, číslice nula indikují nepřítomnost hodnoty pro tento bit při zápisu čísla. Mayští indiáni používali nulu ve svém duodecimálním číselném systému tisíc let před indickými matematiky. Každý měsíc začínal dnem nula v mayském kalendáři. Zajímavé je, že stejné znamení nula Mayští matematici také označovali nekonečno – druhý problém moderní matematiky.

slovo " nula"V arabština zní jako "syfr". Z arabského slova nula(syfr) došlo ke slovu "číslo".

Jak vyhláskovat - nula nebo nula? Slova nula a nula mají stejný význam, ale liší se v použití. Obvykle, nula používané v každodenní řeči a v řadě stabilních kombinací, nula- v terminologii, ve vědecké řeči. Oba pravopisy tohoto slova jsou správné. Například: Dělení nulou. Celá nula. Nulová pozornost. Nula bez hůlky. absolutní nula. Nulový bod pět.

V gramatice odvozená slova od slov nula A nula se píší takto: nula nebo nula, nula nebo nula, nula nebo nula, nula nebo méně obyčejná nula, nula-nula. Například: Pod nulou. Rovná se nule. Snížit na nulu. Nultý poledník. Nulový nájezd kilometrů. Ve dvanáct nula nula.

V matematické operace s nulou k dnešnímu dni byly definovány následující výsledky:

přidání- pokud přidáte k libovolnému číslu nula, číslo zůstane nezměněno; pokud k nula přidejte libovolné číslo, výsledek sčítání bude stejný libovolné číslo:

odčítání- pokud odečtete od libovolného čísla nula, číslo zůstane nezměněno; pokud od nula odečtěte libovolné číslo, výsledkem bude stejné libovolné číslo s opačným znaménkem:

násobení- je-li jakékoli číslo vynásobeno nulou, je výsledkem nula; Pokud se nula vynásobí libovolným číslem, výsledek je nula:

divize- rozdělení podle nula zakázáno, protože výsledek neexistuje; obecně přijímaný pohled na problém dělení nulou je uveden v práci Alexandra Sergeeva“ Proč nemůžete dělit nulou?» ; pro zvědavce byl napsán další článek, který pojednává o možnosti dělení nulou:

a: 0 = žádné dělení nulou, kde A nerovná se nule

nula dělit nulou- výraz nedává smysl, protože jej nelze definovat:

0: 0 = výraz nedává smysl

nula dělená číslem- Kdyby nula děleno číslem bude výsledek vždy nula, bez ohledu na to, jaké číslo je ve jmenovateli (výjimkou z tohoto pravidla je číslo nula, viz výše):

0:a=0, kde A nerovná se nule

nula k výkonu — nula v jakékoli míře rovné nula:

0 a = 0, kde A nerovná se nule

umocňování- libovolné číslo k mocnině nula rovná se jedné (číslo na mocninu 0):

a 0 = 1, kde A nerovná se nule

nula na mocninu nuly- výraz nedává smysl, protože jej nelze definovat (nula na nulu, 0 na mocninu 0):

0 0 = výraz nedává smysl

extrakce kořenů je kořenem jakéhokoli stupně nula rovná se nula:

0 1/a = 0, kde A nerovná se nule

faktoriál- faktoriál nuly nebo nulový faktoriál se rovná jedné:

distribuce číslic- při výpočtu rozdělení čísel nula považováno za bezvýznamné číslo. Změna přístupu v pravidlech pro počítání rozdělení číslic, když nula považována za VÝZNAMNOU číslici vám umožní získat přesnější výsledky rozložení číslic ve všech standardních číselných soustavách, včetně dvojkové číselné soustavy.

Koho zajímá otázka nula, navrhuji přečíst si článek "Historie nuly" od J. J. O'Connora a E. F. Robertsona, přeložený I. Yu. Osmolovským.

Pokud se vám tento příspěvek líbil a chcete se dozvědět více, pomozte mi s dalším obsahem.

Nyní malá reklama.Domácí vodní filtry pomohou čistit vodu a učinit ji bezpečnější k pití. Kvalita kohoutkové vody dnes neodpovídá bezpečnostním požadavkům na lidské zdraví. Používání vodních filtrů se stává nezbytností v každé domácnosti.

Tvorba cen stránek, výrobní závod Moskva. Tvorba a produkce webových stránek Mira Ave. vám pomůže získat vaši reprezentaci ve virtuálním světě. Krásné a funkční stránky pro různé potřeby, vytváření stránek pro vaše potřeby.

Speciální projekt „45 minut“ pořádá pravidelné soutěže pro učitele v různých akademických disciplín. Tvorba vlastních stránek, portfolia učitelů, výměna pedagogických zkušeností, příprava na zkoušky.

ndspaces.narod.ru

Jak násobit 0,1

Pojďme si pravidlo rozebrat a podívat se na příklady, jak vynásobit libovolné číslo 0,1.

Vynásobení čísla 0,1 lze tedy nahradit dělením 10. In obecný pohled dá se to napsat takto:

Zde přichází na řadu pravidlo.

pravidlo násobení 0,1

Chcete-li vynásobit číslo 0,1, musíte posunout čárku v záznamu tohoto čísla o jednu číslici doleva.

Při psaní přirozeného čísla nepište na konci čárku:

Vynásobení přirozeného čísla číslem 0,1 znamená posunutí této čárky o jeden znak doleva:

Pokud je poslední číslice v záznamu přirozeného čísla nula, vynásobením tohoto čísla 0,1 dostaneme přirozené číslo (protože nula za desetinnou čárkou na konci čísla se nepíše):

Vynásobte 0,1 společný zlomek, je nutné uvést oba zlomky do stejného tvaru - buď převést obyčejný zlomek na desetinný, nebo desetinný na obyčejný.

www.for6cl.uznateshe.ru

Pravidlo pro násobení libovolného čísla nulou

Už ve škole se nám učitelé snažili vtlouct do hlavy to nejjednodušší pravidlo: "Jakékoli číslo vynásobené nulou se rovná nule!", - ale přesto kolem něj neustále vzniká spousta kontroverzí. Někdo si právě zapamatoval pravidlo a nezatěžuje se otázkou „proč?“. "Tady nemůžete dělat všechno, protože ve škole to říkali, pravidlo je pravidlo!" Někdo může naplnit půl sešitu vzorci, dokazujícími toto pravidlo nebo naopak jeho nelogičnost.

Kdo má nakonec pravdu

Během těchto sporů se oba lidé s opačnými názory na sebe dívají jako beran a ze všech sil dokazují, že mají pravdu. I když, když se na ně podíváte ze strany, neuvidíte jednoho, ale dva berany, kteří se o sebe opírají svými rohy. Jediný rozdíl mezi nimi je, že jeden je o něco méně vzdělaný než druhý.

To je zajímavé: bitové termíny - co to je?

Nejčastěji se ti, kdo považují toto pravidlo za špatné, snaží volat po logice tímto způsobem:

Mám na stole dvě jablka, když k nim dám nula jablek, to znamená, že nepoložím ani jedno, moje dvě jablka z toho nezmizí! Pravidlo je nelogické!

Jablka skutečně nikam nezmizí, ale ne proto, že by pravidlo bylo nelogické, ale proto, že se zde používá trochu jiná rovnice: 2 + 0 \u003d 2. Takže takový závěr okamžitě zahodíme - je nelogický, ačkoli má opačný cíl - volání k logice.

To je zajímavé: Jak najít rozdíl čísel v matematice?

Co je násobení

Původní pravidlo násobení byl definován pouze pro přirozená čísla: násobení je číslo, které k sobě přičítá určitý počet opakování, což implikuje přirozenost čísla. Jakékoli číslo s násobením lze tedy zredukovat na tuto rovnici:

1. 25x3=75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25x3 = 25 + 25 + 25

Z této rovnice plyne závěr, že násobení je zjednodušené sčítání.

To je zajímavé: co je kruhová tětiva v geometrii, definici a vlastnostech.

Co je nula

Každý ví od dětství: nula je prázdnota, přestože tato prázdnota má své označení, nenese vůbec nic. Starověcí východní vědci uvažovali jinak – k problému přistupovali filozoficky a nakreslili nějaké paralely mezi prázdnotou a nekonečnem a viděli v tomto čísle hluboký smysl. Nula, která má hodnotu prázdnoty, stojící vedle libovolného přirozeného čísla ji totiž desetkrát násobí. Odtud veškerá polemika kolem násobení – toto číslo v sobě nese tolik nekonzistencí, že je těžké se nenechat zmást. K identifikaci prázdných bitů se navíc neustále používá nula desetinné zlomky, to se provádí před i za čárkou.

Je možné se množit prázdnotou

Je možné násobit nulou, ale je to zbytečné, protože, co se říká, ale i při násobení záporná čísla bude stále nula. Stačí si zapamatovat toto nejjednodušší pravidlo a tuto otázku již nikdy nepokládat. Ve skutečnosti je vše jednodušší, než se na první pohled zdá. Neexistují žádné skryté významy a tajemství, jak věřili starověcí vědci. Nejlogičtější vysvětlení bude uvedeno níže, že toto násobení je zbytečné, protože při vynásobení čísla jím vyjde stále to samé – nula.

To je zajímavé: jaký je modul čísla?

Vrátíme-li se na úplný začátek, argument o dvou jablkách, 2 krát 0, vypadá takto:

• Pokud sníte dvě jablka pětkrát, pak snězte 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 jablek
• Pokud sníte dvě z nich třikrát, snězte 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 jablek
• Pokud sníte dvě jablka nulakrát, nic se nesní - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

Koneckonců, jíst jablko 0x znamená nesníst ani jedno. To bude jasné i tomu nejmenšímu dítěti. Ať se nám to líbí nebo ne, vyjde 0, dvojku nebo trojku lze nahradit naprosto libovolným číslem a vyjde naprosto to samé. A zjednodušeně řečeno, nula je nic a když máte nic tu není, pak bez ohledu na to, jak moc násobíte - je to všechno stejné bude nula. Neexistuje žádná magie a nic nevytvoří jablko, i když vynásobíte 0 milionem. Toto je nejjednodušší, nejsrozumitelnější a nejlogičtější vysvětlení pravidla násobení nulou. Člověku, který má daleko ke všem vzorcům a matematice, bude takové vysvětlení stačit, aby se disonance v hlavě vyřešila a vše do sebe zapadlo.

Ze všeho výše uvedeného vyplývá další důležité pravidlo:

Nemůžeš dělit nulou!

I toto pravidlo nám od dětství tvrdošíjně vtloukáme do hlavy. Prostě víme, že to nejde a basta, aniž bychom si cpali hlavu zbytečnými informacemi. Pokud náhle dostanete otázku, z jakého důvodu je zakázáno dělit nulou, většina bude zmatená a nebude schopna jasně odpovědět na nejjednodušší otázku ze školního vzdělávacího programu, protože zde není tolik sporů a rozporů. kolem tohoto pravidla.

Všichni si jen zapamatovali pravidlo a nedělí nulou, aniž by tušili, že odpověď leží na povrchu. Sčítání, násobení, dělení a odčítání jsou nestejné, pouze násobení a sčítání je toho plného a z nich jsou stavěny všechny další manipulace s čísly. To znamená, že záznam 10: 2 je zkratkou rovnice 2 * x = 10. Záznam 10: 0 je tedy stejná zkratka 0 * x = 10. Ukazuje se, že dělení nulou je úkolem, který je třeba najít číslo, vynásobením 0, dostanete 10 A už jsme přišli na to, že takové číslo neexistuje, což znamená, že tato rovnice nemá řešení a bude a priori nesprávná.

Řeknu vám to

Abychom nedělili 0!

Odřízněte 1, jak chcete,

Jen nedělte 0!

obrazovanie.guru

Násobení 0 a 1. 2. stupeň

Prezentace na lekci

Pozornost! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat celý rozsah prezentace. Jestli máte zájem tato práce stáhněte si prosím plnou verzi.

Cíle lekce:

• Vzdělávací:
  • formovat schopnost provádět násobení s nulou a jedničkou;
  • formovat schopnost správně číst matematické výrazy, pojmenovávat složky násobení;
  • upevnit schopnost nahradit součin čísel součtem a slovně vypočítat jejich hodnotu; formovat počáteční dovednosti práce s testem.
• Vzdělávací:
  • podporovat rozvoj matematické řeči, pracovní paměti, dobrovolné pozornosti, vizuálně efektivního myšlení.
• Vzdělávací:
  • rozvíjet kulturu chování přední práce, individuální práce; zájem o předmět.

Typ lekce- lekce objevování nových poznatků.

Formování nových dovedností je možné pouze v aktivitě, proto byla při vývoji lekce použita technologie metody aktivity. Využití této technologie je významným faktorem pro zvýšení efektivity studentů při osvojování oborových znalostí, utváření vzdělanosti univerzální akce: regulační, komunikativní, kognitivní.

Rozvinutá lekce má následující strukturu:

1. Získání primárních zkušeností s prováděním akce a motivace.
2. Vytvoření nové metody (algoritmu) akce, vytvoření primárních vazeb s existujícími metodami.
3. Nácvik, ujasnění souvislostí, sebekontrola a náprava.
4. Ovládání.

Vybavení na lekci:

• Standard: učebnici, tabulku pro vyplňování testových odpovědí, barevné papírové hvězdičky, poznámky pro studenty.
• Inovační: multimediální projektor, interaktivní tabule, multimediální prezentace "Cesta na planetu multiplikace"

Využití multimediálních prvků v lekci přináší prvek novosti, zviditelní pracovní proces a pomůže učiteli soustředit se na hlavní body. Práce na každé fázi lekce je postavena jako jakýsi dialog mezi učitelem a studenty, ve kterém interaktivní tabule slouží jako demonstrátor pro řešení otázek. Jeho použití v vzdělávací proces umožňuje dosáhnout vysoký stupeňúčinnost.

Třída: 3

Prezentace na lekci

Zpět dopředu

Pozornost! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat celý rozsah prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Cílová:

1. Zaveďte speciální případy násobení s 0 a 1.
2. Upevňovat význam násobení a komutativní vlastnost násobení, rozvíjet výpočetní dovednosti.
3. Rozvíjet pozornost, paměť, mentální operace, řeč, kreativitu, zájem o matematiku.

Zařízení: Prezentace snímků: Příloha1.

Během vyučování

1. Organizační moment.

Dnes je pro nás neobvyklý den. Na lekci jsou hosté. Potěšte mě, přátelé, hosty svými úspěchy. Otevřete sešity, zapište si číslo, třídní práce. Na okraj označte svou náladu na začátku lekce. Snímek 2

Celá třída slovně opakuje násobilku na kartách a mluví nahlas (Děti označují špatné odpovědi tleskáním).

Fizkultminutka („Mozková gymnastika“, „Klobouk na zamyšlení“, pro dýchání).

2. Vyjádření učebního úkolu.

2.1. Úkoly pro rozvoj pozornosti.

Na tabuli a na stole mají děti dvoubarevný obrázek s čísly:

– Co je zajímavého na psaných číslech? (Psáno různými barvami; všechna „červená“ čísla jsou sudá a „modrá“ lichá.)
Jaké je další číslo? (10 je kulaté a zbytek ne; 10 jsou dvě číslice a zbytek jsou jediné číslice; 5 se opakuje dvakrát a ostatní jsou po jedné.)
- Uzavřu číslo 10. Je mezi ostatními čísly něco navíc? (3 - on nemá pár pod 10, ale ostatní ano.)
– Najděte součet všech „červených“ čísel a zapište jej do červeného čtverce. (30.)
– Najděte součet všech „modrých“ čísel a zapište jej do modrého čtverce. (23.)
O kolik více je 30 než 23? (Dne 7.)
Kolik je 23 méně než 30? (Také v 7.)
Jakou akci jste hledali? (Odčítání.) Snímek 3.

2.2. Úkoly pro rozvoj paměti a řeči. Aktualizace znalostí.

a) - Zopakujte v pořadí slova, která budu jmenovat: termín, termín, součet, redukovaný, odečtený, rozdíl. (Děti se snaží reprodukovat slovosled.)
Jaké akční složky byly pojmenovány? (Sčítání a odčítání.)
Jakou akci znáte? (Násobení, dělení.)
- Vyjmenuj složky násobení. (Multiplikátor, multiplikátor, produkt.)
Co znamená první násobitel? (Stejné podmínky v součtu.)
Co znamená druhý násobitel? (Počet takových výrazů.)

Zapište definici násobení.

a + A+… + A= an

b) Podívejte se do poznámek. Jaký úkol budete dělat?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a

(Nahraďte součet produktem.)

Co se bude dít? (První výraz má 5 členů, z nichž každý je roven 12, takže se rovná 12 5. Podobně - 33 4 a 3)

c) Pojmenujte obrácenou operaci. (Nahraďte produkt součtem.)

– Součin nahraďte součtem ve výrazech: 99 2. 8 4. b 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). snímek 4.

d) Na tabuli jsou napsány rovnice:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Obrázky jsou umístěny vedle každé rovnosti.

Zvířátka lesní školy byla na misi. Udělali to správně?

Děti zjistí, že slon, tygr, zajíc a veverka udělali chybu, vysvětlí, jaké jsou jejich chyby. Snímek 5.

e) Porovnejte výrazy:

8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
a 3... a 2 + a

(8 5 \u003d 5 8, protože součet se nemění od přeskupení podmínek;
5 6 > 3 6, protože nalevo a napravo je 6 členů, ale členy nalevo jsou větší;
34 9 > 31 2. protože nalevo je více termínů a samotné termíny jsou větší;
a 3 \u003d a 2 + a, protože nalevo a napravo jsou 3 termíny, rovnající se a.)

Jaká vlastnost násobení byla použita v prvním příkladu? (Posun.) Snímek 6.

2.3. Formulace problému. Stanovení cílů.

Jsou rovnoprávnosti pravdivé? Proč? (Správně, protože součet je 5 + 5 + 5 = 15. Pak se součet o jeden člen zvýší o 5 a součet se zvýší o 5.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Pokračujte v tomto vzoru doprava. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
- Pokračujte nyní doleva. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Co znamená výraz 5 1? 50? (? Problém!)

Výsledek diskuze:

Výrazy 5 1 a 5 0 však nedávají smysl. Můžeme souhlasit s tím, že tyto rovnosti budeme považovat za pravdivé. K tomu však musíme zkontrolovat, zda neporušujeme komutativní vlastnost násobení.

Účelem naší lekce tedy je určit, zda můžeme spočítat rovnosti 5 1 = 5 a 5 0 = 0 správně?

Problém s lekcí! Snímek 7.

3. „Objevování“ nových znalostí dětmi.

a) - Postupujte podle kroků: 1 7, 1 4, 1 5.

Děti řeší příklady s komentáři v sešitu a na tabuli:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

- Udělejte závěr: 1 a -? (1 a = a.) Karta je vystavena: 1 a = a

b) - Mají výrazy 7 1, 4 1, 5 1 smysl? Proč? (Ne, protože součet nemůže mít jeden člen.)

– Čemu by se měly rovnat, aby nedošlo k porušení komutativní vlastnosti násobení? (7 1 se také musí rovnat 7, takže 7 1 = 7.)

41 = 4; 5 1 = 5.

- Udělejte závěr: a 1 =? (a 1 = a.)

Karta je vystavena: a 1 = a. První karta je umístěna na druhé: a 1 \u003d 1 a \u003d a.

- Shoduje se náš závěr s tím, co jsme získali na numerickém paprsku? (Ano.)
– Přeložte tuto rovnost do ruštiny. (Když vynásobíte číslo 1 nebo 1 číslem, dostanete stejné číslo.)
- Výborně! Takže budeme uvažovat: a 1 \u003d 1 a \u003d a. snímek 8.

2) Podobně je studován případ násobení s 0. Závěr:

- když je číslo vynásobeno 0 nebo 0 číslem, získá se nula: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. snímek 9.
- Porovnejte obě rovnosti: co vám připomíná 0 a 1?

Děti vyjadřují své názory. Můžete je upozornit na obrázky:

1 – „zrcadlo“, 0 – „strašné zvíře“ nebo „neviditelná čepice“.

Výborně! Takže vynásobením 1 dostaneme stejné číslo. (1 - "zrcadlo") a když vynásobíme 0, dostaneme 0 ( 0 - „strop neviditelnosti“).

4. Tělesná výchova (pro oči - „kruh“, „nahoru - dolů“, pro ruce - „zámek“, „vačky“).

5. Primární upevnění.

Příklady jsou napsané na tabuli:

23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =

Děti je řeší v sešitu a na tabuli s výslovností přijatých pravidel hlasitým projevem, např.:

3 1 = 3, protože při vynásobení čísla 1 získáme stejné číslo (1 je „zrcadlo“) atd.

a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.

- Při násobení 145 neznámým číslem vyšlo 145. Takže vynásobili 1 x = 1. atd.

a) 8 x = 0; b) x 1 \u003d 0.

- Vynásobení 8 neznámým číslem se ukázalo jako 0. Takže vynásobeno 0 x \u003d 0. A tak dále.

6. Samostatná práce s třídní kontrolou. snímek 10.

Děti samostatně řeší nahrané příklady. Pak hotovo

kontrolují si odpovědi s výslovností v hlasitém projevu, správně vyřešené příklady označují plusem, opravují vzniklé chyby. Ti, kteří udělali chyby, dostanou podobný úkol na kartičce a samostatně na něm pracují, zatímco třída řeší opakovací úlohy.

7. Úkoly k opakování. (Pracovat v párech). Snímek 11.

a) - Chcete vědět, co vás čeká v budoucnu? Zjistíte to dešifrováním záznamu:

G – 49:7 Ó – 9 8 n – 9 9 PROTI – 45:5 čt – 6 6 d – 7 8 s – 24:3

81	72	5	8	36	7	72	56

"Co nás tedy čeká?" (Nový rok.)

b) - "Napadlo mě číslo, odečetl jsem od něj 7, přidal 15, pak přidal 4 a dostal jsem 45. Jaké číslo mě napadlo?"

Opačné operace musí být provedeny v opačném pořadí: 45 - 4 - 15 + 7 = 31.

8. Výsledek lekce.snímek 12.

Jaká jsou nová pravidla?
Co jsi měl rád? co bylo těžké?
Lze tyto znalosti uplatnit v reálném životě?
Na okrajích můžete vyjádřit svou náladu na konci lekce.
Vyplňte tabulku sebehodnocení:

chci vědět více
dobře, ale umím to lépe
Zatímco jsem v nesnázích

Děkujeme za vaši práci, odvedli jste skvělou práci!

9. Domácí úkol

str. 72–73 Pravidlo, č. 6.

Pokud se můžeme spolehnout na jiné zákony aritmetiky, pak lze tento konkrétní fakt dokázat.

Předpokládejme, že existuje číslo x, pro které x * 0 = x" a x" není nula (pro jednoduchost budeme předpokládat, že x" > 0)

Potom na jedné straně x * 0 = x", na druhé straně x * 0 = x * (1 - 1) = x - x

Ukazuje se, že x - x = x", odkud x = x + x", tj. x > x, což nemůže být pravda.

To znamená, že náš předpoklad vede k rozporu a neexistuje takové číslo x, pro které by x * 0 nebylo rovno nule.

předpoklad nemůže být pravdivý, protože je to jen předpoklad! nikdo prostá řeč neumím to vysvětlit nebo je to těžké! pokud 0 * x = 0 pak 0 * x = (0 + 0) * x \u003d 0 * x + 0 * x a v důsledku toho snížili zprava doleva 0 \u003d 0 * x je to údajně matematický důkaz ! ale takový nesmysl s touto nulou si strašně odporuje a podle mě 0 nemá být číslo, ale pouze abstraktní pojem! Aby se pouzí smrtelníci nespálili v mozku tím, že fyzická přítomnost předmětů, když se zázračně znásobila ničím, nedala vzniknout ničemu!

P/s není mi úplně jasné, ne matematikovi, ale obyčejnému smrtelníkovi, kde jsi vzal jednotky v uvažovací rovnici (jako 0 je totéž jako 1-1)

Jsem blázen do uvažování, jako že existuje nějaké X a ať je to libovolné číslo

je v rovnici 0 a po jejím vynásobení nastavíme všechny číselné hodnoty na nulu

proto X je číselná hodnota a 0 je počet akcí provedených na čísle X (a akce jsou zase zobrazeny v číselném formátu)

PŘÍKLAD na jablka)):

Kolja měl 5 jablek, vzal tato jablka a šel na trh, aby navýšil kapitál, ale den se ukázal jako deštivý, zamračený obchod nevyšel a Kalek se vrátil domů bez ničeho. V matematickém jazyce vypadá příběh o Koljovi a jablkách takto

5 jablek * 0 prodejů = vytvořených 0 zisků 5*0=0

Než šel do bazaru, šel Kolja utrhnout 5 jablek ze stromu a zítra šel sbírat, ale z nějakého vlastního důvodu nedosáhl ...

Jablka 5, strom 1, 5*1=5 (Kolya natrhal 5 jablek 1. den)

Jablka 0, strom 1, 0*1=0 (ve skutečnosti výsledek Koljovy práce druhého dne)

Metlou matematiky je slovo "předpokládejme"

Odpovědět

A pokud jiným způsobem, 5 jablek na 0 jablek \u003d kolik jablek, v matematice by to mělo být nula a tak

Ve skutečnosti jakákoli čísla dávají smysl pouze tehdy, jsou-li spojena s hmotnými předměty, jako je 1 kráva, 2 krávy nebo cokoli jiného, ​​a objevil se účet, aby bylo možné spočítat předměty a ne jen tak, a nastává paradox, nemám krávu a soused má krávu a mou nepřítomnost vynásobíme sousedovou krávou, pak by jeho kráva měla zmizet, násobení je obecně vynalezeno pro usnadnění sčítání velké množství identické položky, kdy je obtížné je spočítat metodou sčítání, například peníze byly naskládány do sloupců po 10 mincích a poté byl počet sloupců vynásoben počtem mincí ve sloupci, což je mnohem jednodušší než sčítání. ale pokud se počet sloupců vynásobí nulou coinů, tak to přirozeně dopadne nulou, ale pokud jsou sloupce i mince, tak jak je nevynásobit nulou, mince nikam nepůjdou, protože jsou, a i když je to jedna mince, tak sloupec se skládá z jedné mince, takže se nikam nedostanete, takže nula při vynásobení nulou se získá jen za určitých podmínek, tedy při absenci materiální složky a když budu mít 2 ponožky, jelikož je nenásobíš nulou, tak nikam nepůjdou .

Kterou z těchto částek lze podle vás nahradit produktem?

Pojďme se takto hádat. V prvním součtu jsou členy stejné, číslo pět se opakuje čtyřikrát. Sčítání tedy můžeme nahradit násobením. První faktor ukazuje, který termín se opakuje, druhý faktor ukazuje, kolikrát se tento termín opakuje. Součet nahradíme součinem.

Zapišme si řešení.

V druhém součtu jsou podmínky jiné, nelze jej tedy nahradit produktem. Přidáme podmínky a dostaneme odpověď 17.

Zapišme si řešení.

Lze součin nahradit součtem stejných výrazů?

Zvažte díla.

Pojďme jednat a vyvodit závěr.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Můžeme uzavřít: vždy je počet jednotkových členů roven číslu, kterým je jednotka násobena.

Prostředek, vynásobením jedničky libovolným číslem získáte stejné číslo.

1 * a = a

Zvažte díla.

Tyto součiny nelze nahradit součtem, protože součet nemůže mít jeden člen.

Produkty ve druhém sloupci se liší od produktů v prvním sloupci pouze v pořadí faktorů.

To znamená, že aby nedošlo k porušení komutativní vlastnosti násobení, jejich hodnoty se musí také rovnat prvnímu faktoru.

Pojďme to uzavřít: Když se libovolné číslo vynásobí číslem jedna, získá se číslo, které bylo vynásobeno.

Tento závěr zapíšeme jako rovnost.

a * 1 = a

Řešte příklady.

Tip: nezapomeňte na závěry, které jsme učinili v lekci.

Vyzkoušej se.

Nyní se podívejme na produkty, kde jeden z faktorů je nulový.

Zvažte produkty, kde je první faktor nula.

Nahraďme součiny součtem identických pojmů. Pojďme jednat a vyvodit závěr.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Počet nulových členů je vždy roven číslu, kterým se nula násobí.

Prostředek, Když vynásobíte nulu číslem, dostanete nulu.

Tento závěr zapíšeme jako rovnost.

0 * a = 0

Zvažte produkty, kde je druhý faktor nulový.

Tyto součiny nelze nahradit součtem, protože součet nemůže mít nulové členy.

Porovnejme díla a jejich významy.

0*4=0

Produkty druhého sloupce se liší od produktů prvního sloupce pouze v pořadí faktorů.

To znamená, že aby nedošlo k porušení komutativní vlastnosti násobení, jejich hodnoty se také musí rovnat nule.

Udělejme závěr: Vynásobením libovolného čísla nulou vznikne nula.

Tento závěr zapíšeme jako rovnost.

a * 0 = 0

Ale nelze dělit nulou.

Řešte příklady.

Tip: nezapomeňte na závěry z lekce. Při výpočtu hodnot druhého sloupce buďte opatrní při určování pořadí operací.

Vyzkoušej se.

Dnes jsme se v lekci seznámili se speciálními případy násobení 0 a 1, procvičili násobení 0 a 1.

Bibliografie

1. M.I. Moro, M.A. Bantová aj. Matematika: Učebnice. Třída 3: ve 2 částech, část 1. - M .: "Osvícení", 2012.
2. M.I. Moro, M.A. Bantová aj. Matematika: Učebnice. Třída 3: ve 2 částech, část 2. - M .: "Osvícení", 2012.
3. M.I. Moreau. Lekce matematiky: Směrnice pro učitele. 3. třída - M.: Vzdělávání, 2012.
4. Regulační dokument. Sledování a hodnocení výsledků učení. - M.: "Osvícení", 2011.
5. "Škola Ruska": Programy pro základní škola. - M.: "Osvícení", 2011.
6. S.I. Volkov. Matematika: Ověřovací práce. 3. třída - M.: Vzdělávání, 2012.
7. V.N. Rudnitská. Testy. - M.: "Zkouška", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domácí práce

1. Najděte význam výrazů.

2. Najděte význam výrazů.

3. Porovnejte hodnoty výrazu.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Udělejte úkol na téma hodiny pro své spolubojovníky.