Tahke geomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb

Korrapärane nelinurkne prisma on kuuseeder, mille alused on 2 ruutu ja külgmised näod kujutatud ristkülikutega. Teine nimi sellele geomeetriline kujund- sirge rööptahukas.

Joonis, mis kujutab nelinurkset prismat, on näidatud allpool.

Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Neid nimetatakse tavaliselt:

Mõnikord leiate geomeetria probleemidest lõigu mõiste. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik mahulise keha punktid, mis kuuluvad lõiketasandisse. Lõige on risti (ristib joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne ehitatavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid suhteid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria käigus (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse ja kõrguse pindala:

V = Sprim h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a² h

Kui me räägime kuubist - tavaline prisma koos võrdse pikkusega, laius ja kõrgus, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle pühkimist.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Pos h

Kuna ruudu ümbermõõt on P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks lisage külgpinnale 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Sbase

Nelinurkse korrapärase prisma puhul on valem järgmine:

Täis = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab tuletada valemeid:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sprim = V / h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Diagonaallõike pindala määramiseks peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutatakse valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas ülaltoodud suhteid rakendada, võite harjutada ja lahendada mõned lihtsad ülesanded.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamitel ilmuvad ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm.Kuidas on liiva tase, kui viia see sama kujuga, kuid 2 korda pikema põhjapikkusega anumasse?

Seda tuleks argumenteerida järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkuse saate määratleda kui a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, võib väljendeid võrdsustada:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on tavaline prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võib järeldada, et alus on ruut diagonaaliga 6√2. Külgpinna diagonaal on sama väärtusega, seetõttu on külgpinnal ka aluspinnaga võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemiga:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised, see tähendab korrapärased nelinurgad ja selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, võime järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Väljak kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50 30 = 1500 rubla.

Seega piisab ristkülikukujulise prisma ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.

Kuidas leida kuubi pindala

Prisma külgpinna pindala. Tere! Selles väljaandes analüüsime stereomeetriat käsitlevate ülesannete rühma. Mõelge kehade kombinatsioonile - prisma ja silinder. Praegu lõpetab see artikkel tervet artiklite sarja, mis on seotud ülesannete tüüpide kaalumisega stereomeetrias.

Kui tegumipanka ilmuvad uued ülesanded, siis loomulikult tuleb edaspidi blogisse täiendusi. Kuid sellest, mis on juba olemas, on täiesti piisav, et saaksite eksami raames õppida kõiki ülesandeid lühikese vastusega lahendama. Materjali jätkub aastateks (matemaatika programm on staatiline).

Esitatud ülesanded on seotud prisma pindala arvutamisega. Märgin, et allpool käsitleme sirget prismat (ja vastavalt ka sirget silindrit).

Valemeid teadmata saame aru, et prisma külgpind on kõik selle külgpinnad. Sirges prismas on külgpinnad ristkülikud.

Sellise prisma külgpind on võrdne kõigi selle külgpindade (st ristkülikute) pindalade summaga. Kui me räägime tavalisest prismast, millesse on sisse kirjutatud silinder, siis on selge, et selle prisma kõik tahud on VÕRDSED ristkülikud.

Formaalselt külgpindala parem prisma võib väljendada nii:

27064. Korrapärane nelinurkne prisma on ümbritsetud silindri ümber, mille põhja raadius ja kõrgus on 1. Leidke prisma külgpinna pindala.

Selle prisma külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga ristkülikust. Esikülje kõrgus on 1, prisma aluse serv on 2 (need on silindri kaks raadiust), seega on külgpinna pindala:

Külgpind:

73023. Leidke korrapärase kolmnurkse prisma külgpinna pindala, mis on ümbritsetud silindri ümber, mille põhiraadius on √0,12 ja mille kõrgus on 3.

Antud prisma külgpind on võrdne summaga kolm külgpinnad (ristkülikud). Külgpinna pindala leidmiseks peate teadma selle kõrgust ja aluse serva pikkust. Kõrgus on kolm. Leidke aluse serva pikkus. Mõelge projektsioonile (pealtvaade):

Meil on tavaline kolmnurk, millesse on sisse kirjutatud ring raadiusega √0,12. Täisnurksest kolmnurgast AOC leiame AC. Ja siis AD (AD=2AC). Tangensi määratluse järgi:

Seega AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Seega on külgpinna pindala võrdne:

27066. Leidke korrapärase kuusnurkse prisma külgpinna pindala, mis on ümbritsetud silindri ümber, mille põhiraadius on √75 ja mille kõrgus on 1.

Soovitud pindala on võrdne kõigi külgpindade pindalade summaga. Tavalise kuusnurkse prisma puhul on külgpinnad võrdsed ristkülikud.

Näo pindala leidmiseks peate teadma selle kõrgust ja alusserva pikkust. Kõrgus on teada, see võrdub 1-ga.

Leidke aluse serva pikkus. Mõelge projektsioonile (pealtvaade):

Meil on tavaline kuusnurk, millesse on sisse kirjutatud ring raadiusega √75.

Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABO. Me teame jala OB (see on silindri raadius). saame määrata ka nurga AOB, see on võrdne 300-ga (kolmnurk AOC on võrdkülgne, OB on poolitaja).

Kasutame puutuja määratlust in täisnurkne kolmnurk:

AC \u003d 2AB, kuna OB on mediaan, see tähendab, et see jagab AC pooleks, mis tähendab AC \u003d 10.

Seega on külgpinna pindala 1∙10=10 ja külgpinna pindala on:

76485. Leidke korrapärase kolmnurkse prisma külgpinna pindala, mis on kantud silindrisse, mille aluse raadius on 8√3 ja mille kõrgus on 6.

Määratud kolme võrdse suurusega tahu (ristküliku) prisma külgpinna pindala. Pindala leidmiseks on vaja teada prisma aluse serva pikkust (me teame kõrgust). Kui arvestada projektsiooni (pealtvaade), on meil tavaline kolmnurk, mis on kirjutatud ringi. Selle kolmnurga külgi väljendatakse raadiuses järgmiselt:

Selle suhte üksikasjad. Nii et see saab olema võrdne

Siis on külgpinna pindala võrdne: 24∙6=144. Ja vajalik ala:

245354. Korrapärane nelinurkne prisma on ümbritsetud silindri lähedal, mille põhiraadius on 2. Prisma külgpindala on 48. Leidke silindri kõrgus.

Kõik on lihtne. Meil on neli külgpinda, mis on pindalalt võrdsed, seega on ühe külje pindala 48:4=12. Kuna silindri aluse raadius on 2, siis on prisma aluse serv varajane 4 - see võrdub silindri läbimõõduga (need on kaks raadiust). Teame näo pindala ja ühe serva pindala, teiseks on kõrgus 12:4=3.

27065. Leidke korrapärase kolmnurkse prisma külgpinna pindala, mis on ümbritsetud silindri ümber, mille põhiraadius on √3 ja mille kõrgus on 2.

Lugupidamisega Aleksander.

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on kolmemõõtmelised kehad. Keha on mingi pinnaga piiratud ruumiosa.

hulktahukas Keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest, nimetatakse. Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. See sisaldab 12 serva (ruutude külgi) ja 8 tippu (ruutude tippe).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

prisma nimetatakse hulktahukaks, mis koosneb kahest paralleeltasandil paiknevast tasapinnalisest hulknurgast, mis on kombineeritud paralleeltranslatsiooni teel, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest segmentidest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-kivisüsi kui selle alus on n-nurk.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlkega:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

sirge prisma

Prismat nimetatakse sirge kui selle külgmised servad on alustega risti. Vastasel juhul nimetatakse prismat kaldus.

Sirge prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

täisprisma pind on külgpinna ja aluste pindalade summa.

Õige prisma nimetatakse sirgeks prismaks korrapärane hulknurk baasis.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või samaväärselt külgservaga).

Tõestus. Sirge prisma külgpinnad on ristkülikud, mille alused on prisma aluste hulknurkade küljed ja kõrgused on prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja lõikepunkt jagatakse pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööptahukad, siis ja , mis tähendab, et vastavalt T-le umbes kaks sirget, mis on paralleelsed kolmandaga . Lisaks tähendab see, et jooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja lõikepunkt pooleks, mida tuli tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik risttahukas. Kõik risttahuka küljed on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmisteks). Seal on kolm suurust (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ruutkujulises diagonaalis võrdub iga diagonaali ruut selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

risttahukas, mille kõik servad on võrdsed, nimetatakse kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali teeb n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgpinna ja vastaskülje serva vahel.

13.3 Läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje tõmmatakse tasapind, mis lõikub külgpindadega mööda segmente, mille vaheline nurk on . Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

Definitsioon. Prisma- see on hulktahukas, mille kõik tipud asuvad kahel paralleelsel tasapinnal ja samal kahel tasapinnal on prisma kaks tahku, mis on vastavalt võrdsed hulknurgad paralleelsed küljed, ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad külgpind prismad .

Prisma kõik külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Servad, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal nimetatakse lõiku, mille otsteks on prisma kaks tippu, mis ei asu selle ühel küljel (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse möödasõidu järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, ainult tipud asuvad üks alus on tähistatud tähtedega ilma indeksita ja teine ​​- indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on alus viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga kuna sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku on prisma alused, 5 tahku on rööpkülikukujulised, on selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab silma konkreetne tüüp: tavalised prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Tavalise prisma kõik külgpinnad on võrdsed ristkülikud. Prisma erijuhtum on rööptahukas.

Parallelepiped

Parallelepiped- See on nelinurkne prisma, mille põhjas asub rööpkülik (kaldus rööptahukas). Parempoolne rööptahukas- rööptahukas, mille külgservad on risti aluse tasanditega.

risttahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

Rööptahuka mõned omadused on sarnased rööpküliku üldtuntud omadustega Võrdsete mõõtmetega ristkülikukujulist rööptahukat nimetatakse nn. kuubik .Kuubi kõik tahud on võrdsed ruudud.Diagonaali ruut on võrdne tema kolme mõõtme ruutude summaga

,

kus d on ruudu diagonaal;
a - ruudu külg.

Prisma idee annab:

• mitmesugused arhitektuurilised struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkimiskastid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpindala

Prisma kogupindala on selle kõigi tahkude pindalade summa Külgmine pindala nimetatakse selle külgpindade pindalade summaks. prisma alused on võrdsed hulknurgad, siis on nende pindalad võrdsed. Sellepärast

S täis \u003d S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S peamine- baaspind

Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool\u003d P peamine * h,

Kus S pool on sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, võrdne külgribi.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

"Pythagorase teoreemi õppetund" - Pythagorase teoreem. Määrake nelinurga KMNP tüüp. Soojendama. Sissejuhatus teoreemi. Määrake kolmnurga tüüp: Tunniplaan: Ajalooline kõrvalepõige. Lihtsate probleemide lahendamine. Ja leidke 125 jala pikkune redel. Arvutage trapetsi ABCD kõrgus CF. Tõestus. Piltide näitamine. Teoreemi tõestus.

"Prisma ruumala" - Prisma mõiste. otseprisma. Algprisma ruumala on võrdne korrutisega S · h. Kuidas leida sirge prisma ruumala? Prisma saab jagada sirgjoonteks kolmnurksed prismad kõrgusega h. Joonistage kolmnurga ABC kõrgus merepinnast. Probleemi lahendus. Tunni eesmärgid. Põhisammud otsese prisma teoreemi tõestamisel? Prisma ruumala teoreemi uurimine.

"Prisma polühedra" – defineerige hulktahukas. DABC on tetraeeder, kumer hulktahukas. Prismade kasutamine. Kus kasutatakse prismasid? ABCDMP on oktaeedr, mis koosneb kaheksast kolmnurgast. ABCDA1B1C1D1 on rööptahukas, kumer hulktahukas. Kumer hulktahukas. Hulktahuka mõiste. Polüeeder A1A2..AnB1B2..Bn on prisma.

"Prisma klass 10" – Prisma on hulktahukas, mille tahud on paralleelsetes tasandites. Prisma kasutamine igapäevaelus. Sside = Ppõhine. + h Sirge prisma korral: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Kallutatud. Õige. Otse. Prisma. Valemid ala leidmiseks. Prisma kasutamine arhitektuuris. Sp.p \u003d S pool + 2 S põhinev.

"Pythagorase teoreemi tõestus" - geomeetriline tõestus. Pythagorase teoreemi tähendus. Pythagorase teoreem. Eukleidese tõestus. "Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga." Teoreemi tõestused. Teoreemi tähtsus seisneb selles, et sellest või selle abil saab tuletada enamiku geomeetria teoreemidest.