Füüsikas kasutatakse spektri uurimiseks sageli klaasist kolmnurkset prismat valge valgus, sest see on võimeline selle eraldi komponentideks lagundama. Selles artiklis käsitleme mahu valemit
Mis on kolmnurkne prisma?
Enne mahuvalemi andmist kaaluge selle joonise omadusi.
Selle saamiseks peate võtma suvalise kujuga kolmnurga ja nihutama seda teatud kaugusel endaga paralleelselt. Kolmnurga tipud alg- ja lõppasendis peaksid olema ühendatud sirgete segmentidega. Saadud kolmemõõtmelist kujundit nimetatakse kolmnurkseks prismaks. Sellel on viis külge. Kahte neist nimetatakse alusteks: need on paralleelsed ja üksteisega võrdsed. Vaadeldava prisma alusteks on kolmnurgad. Ülejäänud kolm külge on rööpkülikukujulised.
Vaadeldavat prismat iseloomustavad lisaks külgedele kuus tippu (iga aluse kohta kolm) ja üheksa serva (6 serva asetsevad aluste tasapindades ja 3 serva moodustuvad külgede lõikumisel). Kui külgmised ribid risti alustega, siis nimetatakse sellist prismat ristkülikukujuliseks prismaks.
Kolmnurkse prisma erinevus kõigist teistest selle klassi kujunditest seisneb selles, et see on alati kumer (nelja-, viie-, ...-, n-nurksed prismad võivad olla ka nõgusad).
See on ristkülikukujuline kujund, mille põhjas asub võrdkülgne kolmnurk.
Üldtüüpi kolmnurkse prisma ruumala
Kuidas leida kolmnurkse prisma ruumala? valem sisse üldine vaade sarnane mis tahes tüüpi prisma omaga. Sellel on järgmine matemaatiline tähistus:
Siin h on joonise kõrgus, see tähendab selle aluste vaheline kaugus, S o on kolmnurga pindala.
S o väärtuse saab leida, kui kolmnurga jaoks on teada mõned parameetrid, näiteks üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja üks nurk. Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kõrgusest ja selle külje pikkusest, millele see kõrgus on langetatud.
Mis puutub joonise kõrgusesse h, siis seda on kõige lihtsam leida ristkülikukujulise prisma puhul. Viimasel juhul langeb h kokku külgserva pikkusega.
Korrapärase kolmnurkse prisma ruumala
Kolmnurkse prisma ruumala üldvalemist, mis on toodud artikli eelmises osas, saab kasutada tavalise kolmnurkse prisma vastava väärtuse arvutamiseks. Kuna selle alus on võrdkülgne kolmnurk, on selle pindala:
Selle valemi saab igaüks, kui ta mäletab, et võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on üksteisega võrdsed ja moodustavad 60 o. Siin on sümbol a kolmnurga külje pikkus.
Kõrgus h on serva pikkus. Vundamendiga pole sellel midagi pistmist. parem prisma ja võib võtta suvalisi väärtusi. Selle tulemusel näeb õige kujuga kolmnurkse prisma ruumala valem välja järgmine:
Pärast juure arvutamist saame selle valemi ümber kirjutada järgmiselt:
Seega, et leida tavalise prisma ruumala koos kolmnurkne alus, on vaja aluse külg ruudukujuliseks muuta, see väärtus korrutada kõrgusega ja saadud väärtus korrutada 0,433-ga.
Tahke geomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).
Kuidas prisma välja näeb
Korrapärane nelinurkne prisma on kuuseeder, mille alused on 2 ruutu ja külgmised näod kujutatud ristkülikutega. Teine nimi sellele geomeetriline kujund- sirge rööptahukas.
Joonis, mis kujutab nelinurkset prismat, on näidatud allpool.
Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Neid nimetatakse tavaliselt:
Mõnikord leiate geomeetria probleemidest lõigu mõiste. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik mahulise keha punktid, mis kuuluvad lõiketasandisse. Lõige on risti (ristib joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne ehitatavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.
Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.
Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid suhteid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria käigus (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).
Pindala ja maht
Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse ja kõrguse pindala:
V = Sprim h
Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:
V = a² h
Kui me räägime kuubist - tavaline prisma koos võrdse pikkusega, laius ja kõrgus, arvutatakse maht järgmiselt:
Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle pühkimist.
Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:
Sside = Pos h
Kuna ruudu ümbermõõt on P = 4a, valem on järgmisel kujul:
Sside = 4a h
Kuubiku jaoks:
Sside = 4a²
Prisma kogupindala arvutamiseks lisage külgpinnale 2 aluspinda:
Täis = Sside + 2Sbase
Nelinurkse korrapärase prisma puhul on valem järgmine:
Täis = 4a h + 2a²
Kuubi pindala jaoks:
Täis = 6a²
Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.
Prisma elementide leidmine
Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab tuletada valemeid:
- põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
- kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
- baaspindala: Sprim = V / h;
- külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.
Diagonaallõike pindala määramiseks peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:
Sdiag = ah√2
Prisma diagonaali arvutamiseks kasutatakse valemit:
dprize = √(2a² + h²)
Et mõista, kuidas ülaltoodud suhteid rakendada, võite harjutada ja lahendada mõned lihtsad ülesanded.
Näited probleemidest koos lahendustega
Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamitel ilmuvad ülesanded.
1. harjutus.
Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm.Kuidas on liiva tase, kui viia see sama kujuga, kuid 2 korda pikema põhjapikkusega anumasse?
Seda tuleks argumenteerida järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkuse saate määratleda kui a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:
V₁ = ha² = 10a²
Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Kuna V1 = V2, võib väljendeid võrdsustada:
10a² = 4ha²
Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:
Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.
2. ülesanne.
ABCDA₁B₁C₁D₁ on tavaline prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.
Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.
Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võib järeldada, et alus on ruut diagonaaliga 6√2. Külgpinna diagonaal on sama väärtusega, seetõttu on külgpinnal ka aluspinnaga võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.
Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kogupindala leitakse kuubi valemiga:
Täis = 6a² = 6 6² = 216
3. ülesanne.
Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?
Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised, see tähendab korrapärased nelinurgad ja selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, võime järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.
Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.
Väljak kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².
Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50 30 = 1500 rubla.
Seega piisab ristkülikukujulise prisma ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.
Kuidas leida kuubi pindala
Mis on prisma ruumala ja kuidas seda leida
Prisma ruumala on selle aluse pindala korrutis selle kõrgusega.
Siiski teame, et prisma põhjas võib olla kolmnurk, ruut või mõni muu hulktahukas.
Seetõttu peate prisma ruumala leidmiseks lihtsalt arvutama prisma aluse pindala ja korrutama selle pindala selle kõrgusega.
See tähendab, et kui prisma põhjas on kolmnurk, peate kõigepealt leidma kolmnurga pindala. Kui prisma alus on ruut või mõni muu hulknurk, peate esmalt leidma ruudu või muu hulknurga pindala.
Tuleb meeles pidada, et prisma kõrgus on prisma aluste suhtes tõmmatud risti.
Mis on prisma
Nüüd meenutagem prisma määratlust.
Prisma on hulknurk, mille kaks tahku (alust) on paralleelsetes tasandites ja kõik servad väljaspool neid tahke on paralleelsed.
Lihtsamalt öeldes:
Prisma on mis tahes geomeetriline kujund, millel on kaks võrdset alust ja lamedat tahku.
Prisma nimi sõltub selle aluse kujust. Kui prisma alus on kolmnurk, siis nimetatakse sellist prismat kolmnurkseks. Mitmetahuline prisma on geomeetriline kujund, mille alus on hulktahukas. Prisma on ka omamoodi silinder.
Millised on prisma tüübid
Kui vaatame ülaltoodud joonist, näeme, et prismad on sirged, korrapärased ja kaldu.
Harjutus
1. Mis on õige prisma?
2. Miks seda nii nimetatakse?
3. Kuidas nimetatakse prismat, mille alused on korrapärased hulknurgad?
4. Mis on selle kuju kõrgus?
5. Kuidas nimetatakse prismat, mille servad ei ole risti?
6. Defineeri kolmnurkne prisma.
7. Kas prisma võib olla rööptahukas?
8. Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse poolregulaarseks hulknurgaks?
Millistest elementidest koosneb prisma?
Prisma koosneb sellistest elementidest nagu alumine ja ülemine alus, külgpinnad, servad ja tipud.
Prisma mõlemad alused asuvad tasapinnal ja on üksteisega paralleelsed.
Püramiidi külgpinnad on rööpkülikukujulised.
Külgpind püramiid on külgmiste tahkude summa.
Külgpindade ühised küljed pole midagi muud kui selle joonise külgmised servad.
Püramiidi kõrgus on segment, mis ühendab aluste tasapindu ja on nendega risti.
Prisma omadused
Geomeetrilisel kujundil, nagu prismal, on mitmeid omadusi. Vaatame neid omadusi lähemalt:
Esiteks nimetatakse prisma aluseid võrdseteks hulknurkadeks;
Teiseks on prisma külgpinnad esitatud rööpküliku kujul;
Kolmandaks on sellel geomeetrilisel kujundil paralleelsed ja võrdsed servad;
Neljandaks on prisma kogupindala:
Ja nüüd kaaluge teoreemi, mis annab valemi külgpinna ja tõestuse arvutamiseks.
Kas olete sellele mõelnud huvitav fakt et prisma ei saa olla ainult geomeetriline keha, vaid ka teised meid ümbritsevad objektid. Isegi tavaline lumehelves võib olenevalt temperatuurirežiimist muutuda kuusnurkse kujuga jääprismaks.
Kuid kaltsiidikristallidel on selline ainulaadne nähtus, et need lagunevad kildudeks ja võtavad rööptahuka kuju. Ja mis kõige üllatavam, ükskõik kui väikeseks kaltsiidikristallid purustatakse, on tulemus alati sama, need muutuvad tillukesteks rööptahukateks.
Selgub, et prisma on populaarsust kogunud mitte ainult matemaatikas, demonstreerides oma geomeetrilist keha, vaid ka kunstivaldkonnas, kuna see on selliste suurte kunstnike nagu P. Picasso, Braque, Grissi jt maalide aluseks.
Videokursus "Saa A" sisaldab kõiki edukaks tegemiseks vajalikke teemasid eksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik ülesanded 1-13 profiilieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.
Kogu vajalik teooria. Kiired viisid eksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus väljakutseid pakkuvad ülesanded 2 osa eksamit.
Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate välja mõtlema, milline see välja näeb.
Üldine teooria
Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, iga hulktahukas võib olla selle aluses - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Mis ei kehti külgpindade kohta - nende suurus võib oluliselt erineda.
Ülesannete lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. Võib-olla on vaja teada külgpinda, st kõiki tahke, mis ei ole alused. täispind juba tekib kõigi prisma moodustavate nägude liit.
Mõnikord ilmuvad ülesannetes kõrgused. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.
Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluse pindala ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemises ja alumises küljes on samad näitajad, on nende pindalad võrdsed.
kolmnurkne prisma
Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. See on teatavasti erinev. Kui siis piisab meenutamisest, et selle pindala määrab pool jalgade korrutisest.
Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.
Aluse pindala üldisel kujul väljaselgitamiseks on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge võetakse selle külge tõmmatud kõrgusele.
Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). See kirje sisaldab poolperimeetrit (p), st kolme külje summa jagatud kahega.
Teiseks: S = ½ n a * a.
Kui soovite teada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Sellel on oma valem: S = ¼ a 2 * √3.
nelinurkne prisma
Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.
Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = av, kus a, b on ristküliku küljed.
Kui tegemist on nelinurkse prismaga, arvutatakse tavalise prisma aluspind ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub baasis. S = 2.
Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S \u003d a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendav valem: n a \u003d b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n ja selle nurga vastas.
Kui prisma põhjas asub romb, on selle pindala määramiseks vaja sama valemit, mis rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.
Regulaarne viisnurkne prisma
See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille alasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujundid võivad olla erineva arvu tippudega.
Kuna prisma alus on tavaline viisnurk, siis saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.
Regulaarne kuusnurkne prisma
Viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtte kohaselt on võimalik jagada aluse kuusnurk 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluse pindala valem on sarnane eelmisele. Ainult selles tuleks korrutada kuuega.
Valem näeb välja selline: S = 3/2 ja 2 * √3.
Ülesanded
Nr 1. Antud on korrapärane sirge, mille diagonaal on 22 cm, hulktahuka kõrgus 14 cm. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala.
Lahendus. Prisma alus on ruut, kuid selle külg pole teada. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment "x" hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, x 2 \u003d a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd on aluspinda lihtne välja selgitada: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna väärtuse ja neljakordistama külje. Viimast on lihtne leida ristküliku valemiga: korruta hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindala on 960 cm 2 .
Vastus. Prisma aluspind on 144 cm2. Kogu pind - 960 cm 2 .
Nr 2. Dana Alusel asub kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage pindalad: põhi ja külgpind.
Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga ¼ ja ruutjuur 3-ga. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.
Kõik külgpinnad on ühesugused ja on ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks piisab nende arvude korrutamisest. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Seejärel keritakse külgpinna pindala 180 cm2.
Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.
