Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oluline on oskus neid lahendada.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a , b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. Neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruut- ja lineaarvõrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Las see antakse ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac .

See valem peab olema peast teada. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel arvavad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskriminandi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit samal viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane võrrand jääb alles:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on võrdne nulliga - juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid välja kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu – aga te ei aja koefitsiente segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui "täidate oma käe", ei pea te mõne aja pärast enam kõiki koefitsiente välja kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd lahenduse juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest – saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siin aitab jällegi ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, värvige iga samm - ja vabanege vigadest väga kiiresti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb definitsioonis esitatust mõnevõrra. Näiteks:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2–16 = 0.

On lihtne näha, et nendes võrrandites puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: nende jaoks pole vaja isegi diskriminanti arvutada. Nii et tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on väga keeruline juhtum võimalik, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b \u003d c \u003d 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 \u003d 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x \u003d 0.

Vaatleme teisi juhtumeid. Olgu b \u003d 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c \u003d 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, on viimasel võrrandil mõtet ainult siis, kui (−c / a ) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + c = 0 rahuldab ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c / a )< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminant vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0. Piisab kui väljendada x 2 väärtust ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Nüüd käsitleme võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi faktoriseerimisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks analüüsime mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Pärast seda, kui oleme uurinud võrduste mõistet, nimelt ühte nende tüüpidest - arvulisi võrdusi, saame liikuda edasi teise juurde oluline vaade- võrrandid. Selle materjali raames selgitame, mis on võrrand ja selle juur, sõnastame peamised definitsioonid ja anname erinevaid näiteid võrrandid ja nende juurte leidmine.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Võrrandi mõiste

Tavaliselt uuritakse võrrandi mõistet kohe alguses. koolikursus algebra. Siis määratletakse see järgmiselt:

Definitsioon 1

Võrrand nimetatakse võrdsus tundmatu arvuga leida.

Tundmatuid on tavaks tähistada väikeste ladina tähtedega, näiteks t, r, m jne, kuid kõige sagedamini kasutatakse x, y, z. Teisisõnu, võrrand määrab selle salvestuse vormi, see tähendab, et võrdsus on võrrand ainult siis, kui see viiakse teatud kujule - see peab sisaldama tähte, mille väärtus tuleb leida.

Toome mõned näited kõige lihtsamatest võrranditest. Need võivad olla võrdsused kujul x = 5, y = 6 jne, aga ka need, mis sisaldavad aritmeetilisi tehteid, näiteks x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

Pärast sulgude kontseptsiooni uurimist ilmub sulgudega võrrandite mõiste. Nende hulka kuuluvad 7 (x − 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 jne. Leitav täht võib esineda rohkem kui üks kord, kuid mitu, nagu näiteks võrrand x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . Samuti võivad tundmatud paikneda mitte ainult vasakul, vaid ka paremal või mõlemas osas korraga, näiteks x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 või 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Pärast seda, kui õpilased on tutvunud tervikliku, tõelise, ratsionaalse, naturaalarvud, samuti logaritmid, juured ja astmed, ilmuvad uued võrrandid, mis hõlmavad kõiki neid objekte. Oleme selliste väljendite näidetele pühendanud eraldi artikli.

7. klassi programmis ilmneb kõigepealt muutujate mõiste. Need on tähed, mis võivad omandada erinevaid väärtusi (lisateavet leiate artiklist numbriliste, literaalsete ja muutujatega avaldiste kohta). Selle kontseptsiooni põhjal saame võrrandi uuesti määratleda:

2. definitsioon

Võrrand on võrdus, mis hõlmab muutujat, mille väärtust tuleb arvutada.

See tähendab, et näiteks avaldis x + 3 \u003d 6 x + 7 on võrrand muutujaga x ja 3 y − 1 + y \u003d 0 on võrrand muutujaga y.

Ühes võrrandis võib olla mitte üks muutuja, vaid kaks või enam. Neid nimetatakse vastavalt kahe, kolme muutujaga võrranditeks jne. Kirjutame definitsiooni:

3. määratlus

Kahe (kolme, nelja või enama) muutujaga võrrandeid nimetatakse võrranditeks, mis sisaldavad sobivat arvu tundmatuid.

Näiteks võrrand kujul 3, 7 x + 0, 6 = 1 on võrrand ühe muutujaga x ja x − z = 5 on võrrand kahe muutujaga x ja z. Kolme muutujaga võrrandi näide oleks x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Võrrandi juur

Kui me räägime võrrandist, on kohe vaja määratleda selle juure mõiste. Proovime selgitada, mida see tähendab.

Näide 1

Meile antakse võrrand, mis sisaldab ühte muutujat. Kui me selle asemel asendame tundmatu kiri arv, siis saab võrrandist arvuline võrdus - kas tõene või väär. Seega, kui võrrandis a + 1 \u003d 5 asendame tähe numbriga 2, muutub võrdsus valeks ja kui 4, siis saame õige võrdsuse 4 + 1 \u003d 5.

Meid huvitavad rohkem just need väärtused, millega muutuja muutub tõeliseks võrdsuseks. Neid nimetatakse juurteks või lahendusteks. Paneme definitsiooni kirja.

4. definitsioon

Võrrandi juur nimeta muutuja väärtus, mis muudab antud võrrandi tõeliseks võrrandiks.

Juure võib nimetada ka otsuseks või vastupidi – mõlemad need mõisted tähendavad sama asja.

Näide 2

Selle määratluse selgitamiseks võtame näite. Eespool esitasime võrrandi a + 1 = 5 . Definitsiooni kohaselt on juur sel juhul 4, kuna tähe asendamisel annab see õige numbrilise võrdsuse ja kaks ei ole lahendus, kuna see vastab valele võrdsusele 2 + 1 \u003d 5.

Mitu juurt võib ühel võrrandil olla? Kas igal võrrandil on juur? Vastame neile küsimustele.

Samuti on olemas võrrandid, millel pole üht juurt. Näide oleks 0 x = 5 . Võime sellesse sisestada lõputult palju erinevaid arve, kuid ükski neist ei muuda seda tõeliseks võrduseks, kuna 0-ga korrutamine annab alati 0 .

On ka võrrandeid, millel on mitu juurt. Neil võib olla nii piiratud kui ka lõputult palju juuri.

Näide 3

Niisiis, võrrandis x - 2 \u003d 4 on ainult üks juur - kuus, x 2 \u003d 9 kaks juurt - kolm ja miinus kolm, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 kolm juurt - null, üks ja kaks, võrrandis x=x on lõpmatult palju juuri.

Nüüd selgitame, kuidas võrrandi juuri õigesti kirjutada. Kui neid pole, siis kirjutame nii: "võrrandil pole juuri." Samuti on sel juhul võimalik märkida tühja hulga märki ∅ . Kui juured on olemas, siis kirjutame need komadega eraldatuna või märgime hulga elementidena, lisades need lokkis sulgudesse. Seega, kui mis tahes võrrandil on kolm juurt - 2, 1 ja 5, siis kirjutame - 2, 1, 5 või (- 2, 1, 5) .

Lubatud on kirjutada juured kõige lihtsamate võrrandite kujul. Niisiis, kui võrrandis on tundmatu tähistatud tähega y ja juured on 2 ja 7, siis kirjutame y \u003d 2 ja y \u003d 7. Mõnikord lisatakse tähtedele alaindeksid, näiteks x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Seega näitame juurte numbreid. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis kirjutame vastuse numbrilise intervallina või kasutame üldtunnustatud tähistust: naturaalarvude hulk on tähistatud N, täisarvud - Z, reaalarvud - R. Oletame, et kui meil on vaja kirjutada, et võrrandi lahenduseks on suvaline täisarv, siis kirjutame, et x ∈ Z ja kui mõni reaalarv on ühest üheksani, siis y ∈ 1, 9.

Kui võrrandil on kaks, kolm või enam juurt, siis reeglina ei räägita juurtest, vaid võrrandi lahenditest. Sõnastame mitme muutujaga võrrandi lahendi definitsiooni.

Definitsioon 5

Kahe, kolme või enama muutujaga võrrandi lahendus on muutujate kaks, kolm või enam väärtust, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Selgitame definitsiooni näidetega.

Näide 4

Oletame, et meil on avaldis x + y = 7 , mis on kahe muutujaga võrrand. Asendage esimene ja kaks teist. Saame vale võrdsuse, mis tähendab, et see väärtuspaar ei ole selle võrrandi lahendus. Kui võtame paari 3 ja 4, siis võrdsus muutub tõeseks, mis tähendab, et oleme leidnud lahenduse.

Sellistel võrranditel võib ka olla juurteta või neid võib olla lõpmatu arv. Kui meil on vaja üles kirjutada kaks, kolm, neli või enam väärtust, siis eraldame need sulgudes komadega. See tähendab, et ülaltoodud näites näeb vastus välja selline (3 , 4) .

Praktikas tuleb enamasti tegeleda ühte muutujat sisaldavate võrranditega. Nende lahendamise algoritmi käsitleme üksikasjalikult võrrandite lahendamisele pühendatud artiklis.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Üsna sageli leidub võrrandites juurmärki ja paljud arvavad ekslikult, et selliseid võrrandeid on raske lahendada. Selliste võrrandite jaoks matemaatikas on spetsiaalne termin, mida nimetatakse juurega võrranditeks - irratsionaalvõrrandid.

Peamine erinevus juurega võrrandite lahendamisel teistest võrranditest, näiteks ruut-, logaritmilistest, lineaarsetest võrranditest, seisneb selles, et neil puudub standardne lahendusalgoritm. Seetõttu on irratsionaalse võrrandi lahendamiseks vaja analüüsida lähteandmeid ja valida sobivam lahendus.

Enamasti kasutatakse seda tüüpi võrrandite lahendamiseks meetodit, mille abil tõsta võrrandi mõlemad osad samale astmele.

Oletame, et on antud järgmine võrrand:

\[\sqrt((5x-16))=x-2\]

Teeme võrrandi mõlemad pooled ruudus:

\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], millest saame järjestikku:

Olles saanud ruutvõrrandi, leiame selle juured:

Vastus: \

Kui asendame need väärtused võrrandis, saame õige võrdsuse, mis näitab saadud andmete õigsust.

Kust saab võrgulahendaja abil juurtega võrrandit lahendada?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Munitsipaalharidusasutus

"Kudinskaja 2. keskkool"

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise viisid

Lõpetanud: Egorova Olga,

Juhendaja:

Õpetaja

matemaatika,

kõrgem kvalifikatsioon

Sissejuhatus....……………………………………………………………………………………… 3

Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid…………………………………6

1.1 C osa irratsionaalvõrrandite lahendamine……….….….……………………21

2. jagu. Individuaalsed ülesanded…………………………………………….....………...24

Vastused………………………………………………………………………………………….25

Bibliograafia…….…………………………………………………………………….26

Sissejuhatus

aastal omandatud matemaatikaharidus üldhariduskool, on kõige olulisem komponent Üldharidus ja üldine kultuur kaasaegne inimene. Peaaegu kõik, mis tänapäeva inimest ümbritseb, on kõik ühel või teisel viisil seotud matemaatikaga. Ja viimased edusammud füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogias ei jäta kahtlustki, et tulevikus jääb asjade seis samaks. Seetõttu on paljude otsus praktilisi ülesandeid taandub otsusele mitmesugused võrrandid, et õppida, kuidas neid lahendada. Üks neist tüüpidest on irratsionaalvõrrandid.

Irratsionaalsed võrrandid

Võrrandit, mis sisaldab radikaali märgi all tundmatut (või tundmatust ratsionaalset algebralist avaldist) nimetatakse irratsionaalne võrrand. Elementaarmatemaatikas otsitakse irratsionaalsetele võrranditele lahendusi reaalarvude hulgast.

Iga irratsionaalse võrrandi saab elementaaralgebraliste tehtete abil (korrutamine, jagamine, mõlema võrrandiosa tõstmine täisarvuni) taandada ratsionaalseks algebraliseks võrrandiks. Tuleb meeles pidada, et saadud ratsionaalne algebraline võrrand ei pruugi olla algse irratsionaalse võrrandiga samaväärne, nimelt võib see sisaldada "lisa" juuri, mis ei ole algse irratsionaalse võrrandi juured. Seega, leides juured saadud ratsionaalne algebraline võrrand, tuleb kontrollida, kas kõik ratsionaalse võrrandi juured on irratsionaalvõrrandi juured.

Üldiselt on raske ühtegi täpsustada universaalne meetod mis tahes irratsionaalse võrrandi lahendus, kuna on soovitav, et algse irratsionaalvõrrandi teisenduste tulemusena ei saadaks lihtsalt mingisugune ratsionaalne algebraline võrrand, mille juurte hulgas on selle irratsionaalse võrrandi juured, vaid ratsionaalne algebraline võrrand, mis on moodustatud väikseima võimaliku astme polünoomidest. Soov saada see võimalikult väikese astme polünoomidest moodustatud ratsionaalne algebraline võrrand on üsna loomulik, kuna ratsionaalse algebralise võrrandi kõigi juurte leidmine võib iseenesest olla üsna keeruline ülesanne, mida suudame täielikult lahendada vaid väga piiratud arvul. juhtumitest.

Irratsionaalvõrrandite tüübid

Irratsionaalsete võrrandite lahendamine ühtlane aste alati helistab rohkem probleeme kui paaritu astme irratsionaalvõrrandite lahendus. Paaritu astmega irratsionaalsete võrrandite lahendamisel ODZ ei muutu. Seetõttu käsitleme allpool irratsionaalseid võrrandeid, mille aste on paaris. Irratsionaalseid võrrandeid on kahte tüüpi:

2..

Vaatleme neist esimest.

odz võrrand: f(x)≥ 0. ODZ-s on võrrandi vasak pool alati mittenegatiivne, seega saab lahendus eksisteerida ainult siis, kui g(x)≥ 0. Sel juhul on võrrandi mõlemad pooled mittenegatiivsed ja astendamine 2 n annab samaväärse võrrandi. Me saame sellest aru

Pöörame tähelepanu asjaolule, et samas ODZ tehakse automaatselt ja te ei saa seda kirjutada, vaid tingimustg(x) ≥ 0 tuleb kontrollida.

Märge: See on väga oluline samaväärsuse tingimus. Esiteks vabastab see õpilase uurimise vajadusest ja pärast lahenduste leidmist kontrollige tingimust f(x) ≥ 0 - juuravaldise mittenegatiivsust. Teiseks keskendub see seisukorra kontrollimiseleg(x) ≥ 0 on parema külje mittenegatiivsused. Peale ruudustamist on võrrand ju lahendatud st lahendatakse kaks võrrandit korraga (kuid arvtelje erinevatel intervallidel):

1. - kus g(x)≥ 0 ja

2. - kus g(x) ≤ 0.

Samal ajal teevad paljud ODZ-i leidmise kooliharjumuse kohaselt selliste võrrandite lahendamisel täpselt vastupidist:

a) kontrolli pärast lahenduste leidmist tingimust f(x) ≥ 0 (mis on automaatselt täidetud), tee aritmeetilisi vigu ja saad vale tulemuse;

b) ignoreerida tingimustg(x) ≥ 0 – ja jällegi võib vastus olla vale.

Märge: Samaväärsuse tingimus on eriti kasulik trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kus ODZ leidmine on seotud trigonomeetriliste võrratuste lahendamisega, mis on palju keerulisem kui trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Registreeruge trigonomeetrilised võrrandidühtlased tingimused g(x)≥ 0 ei ole alati lihtne teha.

Mõelge teist tüüpi irratsionaalsetele võrranditele.

. Olgu võrrand . Tema ODZ:

ODZ-s on mõlemad küljed mittenegatiivsed ja ruudustamine annab samaväärse võrrandi f(x) =g(x). Seetõttu ODZ-is või

Selle lahendusmeetodi puhul piisab, kui kontrollida ühe funktsiooni mittenegatiivsust - saate valida lihtsama.

Jaotis 1. Irratsionaalvõrrandite lahendamise meetodid

1 meetod. Vabanemine radikaalidest, tõstes võrrandi mõlemad pooled järjestikku vastava loomuliku võimsuseni

Kõige sagedamini kasutatav meetod irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks on radikaalidest vabastamise meetod, tõstes võrrandi mõlemad osad järjestikku vastavale naturaalastmele. Sel juhul tuleb meeles pidada, et kui võrrandi mõlemad osad on tõstetud paaritu astmeni, on saadud võrrand võrdne algse astmega ja kui võrrandi mõlemad osad tõstetakse paaris astmeni, on tulemuseks võrrand ei ole üldiselt algse võrrandiga samaväärne. Seda saab hõlpsasti kontrollida, tõstes võrrandi mõlemad pooled mis tahes ühtlase astmeni. Selle toimingu tulemuseks on võrrand , mille lahenduste hulk on lahendushulkade liit: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Vaatamata Selle puuduse tõttu on protseduur võrrandi mõlema osa tõstmiseks mõne (sageli isegi) astmeni, mis on kõige levinum protseduur irratsionaalvõrrandi taandamiseks ratsionaalseks võrrandiks.

Lahenda võrrand:

Kus on mõned polünoomid. Reaalarvude hulgast juure eraldamise toimingu määratluse kohaselt on tundmatute lubatud väärtused https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Kuna 1. võrrandi mõlemad osad olid ruudus, siis võib selguda, et kõik 2. võrrandi juured ei ole algvõrrandi lahendid, tuleb juured üle kontrollida.

Lahenda võrrand:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Tõstades võrrandi mõlemad pooled kuubiks, saame

Arvestades, et https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(viimasel võrrandil võivad olla juured, mis üldiselt ei ole võrrand ).

Tõstame selle võrrandi mõlemad pooled kuubiks: . Kirjutame võrrandi ümber kujul x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Kontrollides teeme kindlaks, et x1 = 0 on võrrandi (-2 ≠ 1) kõrvaljuur ja x2 = 1 rahuldab algne võrrand.

Vastus: x = 1.

2 meetod. Kõrvaloleva tingimuste süsteemi asendamine

Paarisjärku radikaale sisaldavate irratsionaalsete võrrandite lahendamisel võivad vastustesse ilmuda kõrvalised juured, mida pole alati lihtne tuvastada. Kõrvaliste juurte tuvastamise ja kõrvaldamise hõlbustamiseks asendatakse see irratsionaalsete võrrandite lahendamise käigus kohe külgneva tingimuste süsteemiga. Täiendavad ebavõrdsused süsteemis võtavad tegelikult arvesse lahendatava võrrandi ODZ-d. ODZ leiate eraldi ja saate seda hiljem arvesse võtta, kuid eelistatav on kasutada segatud tingimuste süsteeme: väiksem on oht midagi unustada, võrrandi lahendamisel mitte arvestada. Seetõttu on mõnel juhul ratsionaalsem kasutada segasüsteemidele ülemineku meetodit.

Lahenda võrrand:

Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

See võrrand on samaväärne süsteemiga

Vastus: võrrandil pole lahendeid.

3 meetod. N-nda juure omaduste kasutamine

Irratsionaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse n-nda astme juure omadusi. aritmeetiline juur n- th kraadi hulgast A helistada mittenegatiivsele numbrile, n- i mille aste on võrdne A. Kui n- isegi( 2n), siis a ≥ 0, vastasel juhul juur puudub. Kui n- kummaline( 2 n+1), siis a on suvaline ja = - ..gif" width="45" height="19"> Seejärel:

2.

3.

4.

5.

Neid valemeid formaalselt (ilma näidatud piiranguid arvesse võtmata) rakendades tuleb meeles pidada, et nende vasaku ja parema osa ODZ võib olla erinev. Näiteks on avaldis defineeritud f ≥ 0 Ja g ≥ 0, ja väljend on nagu f ≥ 0 Ja g ≥ 0, sama hästi kui f ≤ 0 Ja g ≤ 0.

Iga valemi 1–5 puhul (ilma näidatud piiranguid arvesse võtmata) võib selle parempoolse osa ODZ olla laiem kui vasaku ODZ. Sellest järeldub, et võrrandi teisendused valemite 1–5 formaalse kasutamisega "vasakult paremale" (nagu need on kirjutatud) viivad võrrandini, mis on algse võrrandi tagajärg. Sel juhul võivad ilmneda algse võrrandi kõrvalised juured, seega on kontrollimine algse võrrandi lahendamisel kohustuslik samm.

Võrrandite teisendamine valemite 1–5 formaalse kasutamisega "paremalt vasakule" on vastuvõetamatu, kuna on võimalik hinnata algse võrrandi ODZ-d ja sellest tulenevalt juurte kadumist.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

mis on originaali tagajärg. Selle võrrandi lahendus taandatakse võrrandite hulga lahendamiseks .

Selle hulga esimesest võrrandist leiame https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27">, kust leiame . Seega juured see võrrand võib olla ainult numbrid ( -1) ja (-2) Kontrollimine näitab, et mõlemad leitud juured vastavad sellele võrrandile.

Vastus: -1,-2.

Lahendage võrrand:.

Lahendus: identiteetide põhjal asendage esimene termin sõnaga . Pange tähele, et kahe mittenegatiivse arvu summana vasakul küljel. "Eemaldage" moodul ja pärast sarnaste terminite toomist lahendage võrrand. Kuna , saame võrrandi . Alates ja , seejärel https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Vastus: x = 4,25.

4 meetod. Uute muutujate kasutuselevõtt

Teine näide irratsionaalvõrrandi lahendamisest on viis, kuidas sisestatakse uusi muutujaid, mille suhtes saadakse kas lihtsam irratsionaalvõrrand või ratsionaalvõrrand.

Irratsionaalsete võrrandite lahendamise, asendades võrrandi selle tagajärjega (koos järgneva juurte kontrollimisega), saab läbi viia järgmiselt:

1. Leidke algse võrrandi ODZ.

2. Liigu võrrandilt selle tagajärgedele.

3. Leia saadud võrrandi juured.

4. Kontrolli, kas leitud juured on algvõrrandi juured.

Kontroll on järgmine:

A) kontrollitakse iga leitud ODZ juure kuulumist algsesse võrrandisse. Need juured, mis ei kuulu ODZ-i, on algse võrrandi jaoks kõrvalised.

B) iga algvõrrandi ODZ-s sisalduva juure puhul kontrollitakse, kas iga algvõrrandi lahendamise käigus tekkinud ja paarisastmeni tõstetud võrrandi vasak- ja parempoolsel osal on samad märgid. Need juured, mille paarisastmeks tõstetud võrrandi osadel on erinevad märgid, on algse võrrandi jaoks kõrvalised.

C) otsese asendamise teel kontrollitakse ainult neid juuri, mis kuuluvad algvõrrandi ODZ-sse ja mille mõlemal algvõrrandi lahendamisel tekkinud ja paarisastmele tõstetud võrrandi mõlemal osal on samad märgid. algne võrrand.

Selline lahendusmeetod koos näidatud kontrollimeetodiga võimaldab vältida tülikaid arvutusi juhul, kui viimase võrrandi iga leitud juur asendatakse otse esialgsega.

Lahendage irratsionaalne võrrand:

.

Selle võrrandi lubatud väärtuste kogum:

Seadistamisel saame pärast asendamist võrrandi

või sellega samaväärne võrrand

mida võib vaadelda ruutvõrrandina . Selle võrrandi lahendamisel saame

.

Seetõttu on algse irratsionaalvõrrandi lahendushulk kahe järgmise võrrandi lahendushulkade liit:

, .

Kuubige mõlema võrrandi mõlemad pooled ja saame kaks ratsionaalset algebralist võrrandit:

, .

Neid võrrandeid lahendades leiame, et sellel irratsionaalsel võrrandil on üks juur x = 2 (kontrollida pole vaja, kuna kõik teisendused on samaväärsed).

Vastus: x = 2.

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Tähistage 2x2 + 5x - 2 = t. Seejärel saab algne võrrand kuju . Saadud võrrandi mõlemad osad ruudustades ja sarnased liikmed tuues saame võrrandi , mis on eelmise tagajärg. Sellest leiame t = 16.

Tulles tagasi tundmatu x juurde, saame võrrandi 2x2 + 5x - 2 = 16, mis on algse tagajärg. Kontrollides veendume, et selle juured x1 \u003d 2 ja x2 \u003d - 9/2 on algse võrrandi juured.

Vastus: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 meetod. Identiteedi võrrandi teisendus

Irratsionaalvõrrandi lahendamisel ei tohiks alustada võrrandi lahendamist mõlema võrrandiosa tõstmisest loomuliku astmeni, püüdes taandada irratsionaalvõrrandi lahendit ratsionaalse algebralise võrrandi lahendamisele. Esiteks on vaja näha, kas võrrandist on võimalik teha mingi identne teisendus, mis võib selle lahendamist oluliselt lihtsustada.

Lahenda võrrand:

Selle võrrandi kehtivate väärtuste komplekt: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Jagage see võrrand .

.

Saame:

Kui a = 0, ei ole võrrandil lahendeid; jaoks , võrrandi saab kirjutada kujul

sest sellel võrrandil pole lahendeid, kuna ühegi jaoks X, mis kuulub võrrandi lubatud väärtuste hulka, on võrrandi vasakul küljel olev avaldis positiivne;

kui võrrandil on lahendus

Võttes arvesse, et võrrandi lubatavate lahendite hulk määratakse tingimusega , saame lõpuks:

Selle irratsionaalse võrrandi lahendamisel on https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> võrrandi lahendus . Kõigi muude väärtuste puhul X võrrandil pole lahendeid.

NÄIDE 10:

Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Süsteemi ruutvõrrandi lahendus annab kaks juurt: x1 \u003d 1 ja x2 \u003d 4. Saadud juurtest esimene ei rahulda süsteemi ebavõrdsust, seega x \u003d 4.

Märkmed.

1) Identsete teisenduste läbiviimine võimaldab meil ilma kontrollimiseta hakkama saada.

2) Võrratus x - 3 ≥0 viitab identsetele teisendustele, mitte võrrandi valdkonnale.

3) Võrrandi vasakul küljel on kahanev funktsioon ja selle võrrandi paremal küljel kasvav funktsioon. Vähenevate ja suurenevate funktsioonide graafikutel nende definitsioonivaldkondade ristumiskohas võib olla ainult üks ühine punkt. Ilmselgelt on meie puhul x = 4 graafikute lõikepunkti abstsiss.

Vastus: x = 4.

6 meetod. Funktsioonide määratlemise valdkonna kasutamine võrrandite lahendamisel

See meetod on kõige tõhusam, kui lahendate võrrandeid, mis sisaldavad funktsioone https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> ja leiate selle ala määratlusi (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, siis peate kontrollima, kas võrrand on intervalli lõpus tõene, pealegi kui< 0, а b >0, siis on vaja kontrollida intervalle (a;0) Ja . E(y) väikseim täisarv on 3.

Vastus: x = 3.

8 meetod. Tuletise rakendamine irratsionaalvõrrandite lahendamisel

Kõige sagedamini kasutatakse tuletismeetodil võrrandite lahendamisel hinnangumeetodit.

NÄIDE 15:

Lahendage võrrand: (1)

Lahendus: alates https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> või (2). Mõelge funktsioonile ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> üldse ja seetõttu suureneb. Seetõttu võrrand on samaväärne võrrandiga, mille juur on algse võrrandi juur.

Vastus:

NÄIDE 16:

Lahendage irratsionaalne võrrand:

Funktsiooni määratluspiirkond on segment. Leia suurim ja väikseim väärtus selle funktsiooni väärtused intervallil . Selleks leiame funktsiooni tuletise f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Leiame funktsiooni väärtused f(x) lõigu otstes ja punktis : nii, aga ja seetõttu on võrdsus võimalik ainult tingimusel https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Kontrollimine näitab, et arv 3 on selle võrrandi juur.

Vastus: x = 3.

9 meetod. Funktsionaalne

Eksamitel pakuvad nad mõnikord ka võrrandite lahendamist, mille saab kirjutada kujul , kus on teatud funktsioon.

Näiteks mõned võrrandid: 1) 2) . Tõepoolest, esimesel juhul , teisel juhul . Seetõttu lahendage irratsionaalvõrrandid järgmise väitega: kui funktsioon on hulgal rangelt kasvav X ja mis tahes , siis võrrandid jne on hulgal samaväärsed X .

Lahendage irratsionaalne võrrand: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> suurendades rangelt komplekti R, ja https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > millel on kordumatu juur Seetõttu on ka ekvivalentvõrrandil (1) unikaalne juur

Vastus: x = 3.

NÄIDE 18:

Lahendage irratsionaalne võrrand: (1)

Definitsiooni järgi ruutjuur saame, et kui võrrandil (1) on juured, siis kuuluvad need hulka https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Kaaluge funktsiooni https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> selle komplekti rangelt suurenemist mis tahes ..gif" width="100" korral kõrgus ="41">, millel on üks juur Seetõttu ja samaväärne sellega komplektis X võrrandil (1) on üks juur

Vastus: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Lahendus: see võrrand on samaväärne segasüsteemiga

Algebra õppimisel seisavad õpilased silmitsi mitmesuguste võrranditega. Lihtsamate hulgast võib nimetada lineaarseid, mis sisaldavad üht tundmatut. Kui muutuja matemaatilises avaldises tõstetakse teatud astmeni, siis nimetatakse võrrandit ruut-, kuup-, bi-ruut jne. Need avaldised võivad sisaldada ratsionaalseid arve. Kuid on ka irratsionaalseid võrrandeid. Need erinevad teistest funktsiooni olemasolu poolest, kus tundmatu on radikaali märgi all (st puhtalt väliselt võib siin muutujat näha ruutjuure all kirjutatuna). Irratsionaalsete võrrandite lahendamisel on oma omadused. Muutuja väärtuse arvutamisel õige vastuse saamiseks tuleb neid arvesse võtta.

"Sõnades kirjeldamatu"

Pole saladus, et iidsed matemaatikud opereerisid peamiselt ratsionaalsete arvudega. Nende hulka kuuluvad, nagu teate, selle kogukonna esindajad täisarvud, mida väljendatakse tavaliste ja kümnendmurdude kaudu. Siiski õppisid irratsionaalseid võrrandeid lahendama ka Lähis- ja Lähis-Ida, aga ka India teadlased, kes arendavad trigonomeetriat, astronoomiat ja algebrat. Näiteks kreeklased teadsid selliseid koguseid, kuid pannes need sõnalisse vormi, kasutasid nad mõistet "alogos", mis tähendas "väljendamatut". Mõnevõrra hiljem nimetasid eurooplased neid jäljendades selliseid numbreid "kurdiks". Need erinevad kõigist teistest selle poolest, et neid saab esitada vaid lõpmatu mitteperioodilise murdena, mille lõplikku arvulist avaldist on lihtsalt võimatu saada. Seetõttu kirjutatakse sellised arvude valdkonna esindajad sagedamini numbrite ja märkide kujul mõne avaldisena, mis asub teise või suurema astme juure all.

Eelneva põhjal proovime defineerida irratsionaalset võrrandit. Sellised väljendid sisaldavad nn "väljestamatuid numbreid", mis on kirjutatud ruutjuure märgiga. Need võivad olla kõikvõimalikud üsna keerulised valikud, kuid kõige lihtsamal kujul näevad need välja nagu alloleval fotol.

Irratsionaalsete võrrandite lahendusele üle minnes on kõigepealt vaja arvutada muutuja lubatud väärtuste vahemik.

Kas väljendil on mõtet?

Saadud väärtuste kontrollimise vajadus tuleneb omadustest. Nagu teada, on selline väljend vastuvõetav ja omab mingit tähendust ainult teatud tingimustel. Paarisjuure korral peavad kõik radikaalavaldised olema positiivsed või võrdsed nulliga. Kui see tingimus ei ole rahul, siis ei saa esitatud matemaatilist tähistust tähenduslikuks pidada.

Toome konkreetse näite irratsionaalsete võrrandite lahendamisest (allpool olev pilt).

Sel juhul on ilmne, et neid tingimusi ei saa täita ühegi soovitud väärtusega võetud väärtuse puhul, kuna selgub, et 11 ≤ x ≤ 4. See tähendab, et lahenduseks saab olla ainult Ø.

Analüüsi meetod

Ülaltoodust selgub, kuidas lahendada teatud tüüpi irratsionaalvõrrandeid. Lihtne analüüs võib siin olla tõhus.

Anname mitmeid näiteid, mis seda taas selgelt demonstreerivad (alloleval fotol).

Esimesel juhul saab väljendit hoolikalt kaaludes kohe ülimalt selgeks, et see ei saa olla tõsi. Tõepoolest, võrdsuse vasakul poolel tuleks saada positiivne arv, mis ei saa mingil juhul olla võrdne -1-ga.

Teisel juhul võib kahe positiivse avaldise summa lugeda võrdseks nulliga ainult siis, kui x - 3 = 0 ja x + 3 = 0 korraga. Jällegi, see on võimatu. Ja nii tuleks vastusesse uuesti kirjutada Ø.

Kolmas näide on väga sarnane eelmisele. Tõepoolest, siin nõuavad ODZ tingimused, et täidetud oleks järgmine absurdne ebavõrdsus: 5 ≤ x ≤ 2. Ja sellisel võrrandil sarnasel viisil ei saa olla helilahendusi.

Piiramatu suum

Irratsionaalse olemust saab kõige selgemalt ja täielikumalt selgitada ja teada ainult lõputu arvude jada kaudu. kümnendmurd. Ja konkreetne, markantne näide selle perekonna liikmetest on pi. Mitte ilmaasjata eeldatakse, et see matemaatiline konstant on tuntud juba iidsetest aegadest, kuna seda on kasutatud ringi ümbermõõdu ja pindala arvutamisel. Kuid eurooplaste seas viisid selle esimesena ellu inglane William Jones ja šveitslane Leonhard Euler.

See konstant tekib järgmiselt. Kui võrrelda kõige erinevamaid ümbermõõte, siis on nende pikkuste ja läbimõõtude suhe tingimata võrdne sama arvuga. See on pi. Kui väljendada harilik murd, siis ligikaudu saame 22/7. Esmalt tegi seda suur Archimedes, kelle portree on näidatud ülaloleval joonisel. Seetõttu sai tema nime sarnane number. Kuid see ei ole selgesõnaline, vaid võib-olla kõige hämmastavama arvu ligikaudne väärtus. Geniaalne teadlane leidis soovitud väärtuse 0,02 täpsusega, kuid tegelikult pole sellel konstandil tegelikku väärtust, vaid seda väljendatakse kui 3,1415926535 ... See on lõputu arvude jada, mis läheneb lõputult teatud müütilisele väärtusele.

Ruudukujundamine

Aga tagasi irratsionaalsete võrrandite juurde. Tundmatu leidmiseks kasutage antud juhul väga sageli lihtne meetod: ruudustage olemasoleva võrdsuse mõlemad pooled. See meetod annab tavaliselt häid tulemusi. Kuid tuleks arvestada irratsionaalsete väärtuste salakavalusega. Kõik selle tulemusena saadud juurikad tuleb üle kontrollida, sest need ei pruugi sobida.

Kuid jätkame näidete kaalumist ja proovime leida muutujaid äsja pakutud viisil.

Vieta teoreemi abil on üsna lihtne leida suuruste soovitud väärtusi pärast seda, kui oleme teatud toimingute tulemusena moodustanud ruutvõrrandi. Siin selgub, et juurte hulgas on 2 ja -19. Kontrollides, asendades saadud väärtused algse avaldisega, saate aga veenduda, et ükski neist juurtest ei sobi. See on ebaratsionaalsete võrrandite puhul tavaline nähtus. See tähendab, et meie dilemmal pole jällegi lahendusi ja vastuses tuleks märkida tühi hulk.

Keerulisemad näited

Mõnel juhul tuleb avaldise mõlemad pooled ruudustada mitte üks kord, vaid mitu korda. Mõelge näidetele, kus ülaltoodu on vajalik. Neid saab näha allpool.

Pärast juurte kättesaamist ärge unustage neid kontrollida, sest võib tekkida lisajuur. Tuleks selgitada, miks see võimalik on. Sellise meetodi rakendamisel toimub võrrandi ratsionaliseerimine mingil moel. Kuid vabanedes meile vastumeelsetest juurtest, mis ei lase meil aritmeetilisi tehteid teha, laiendame me justkui olemasolevat väärtuste vahemikku, mis on (nagu aru saate) tagajärgedest. Seda ennetades teeme kontrolli. Sel juhul on võimalus veenduda, et ainult üks juurtest sobib: x = 0.

Süsteemid

Mida teha juhtudel, kui on vaja lahendada irratsionaalsete võrrandite süsteeme ja meil pole mitte üks, vaid kaks tervet tundmatut? Siin toimime samamoodi nagu tavajuhtudel, kuid võttes arvesse andmete ülaltoodud omadusi matemaatilised avaldised. Ja loomulikult peaksite iga uue ülesande puhul rakendama loomingulist lähenemist. Kuid jällegi on parem kõike arvesse võtta konkreetne näide allpool. Siin ei pea mitte ainult leidma muutujad x ja y, vaid märkima vastuses ka nende summa. Seega on olemas süsteem, mis sisaldab irratsionaalseid koguseid (vt fotot allpool).

Nagu näete, pole selline ülesanne üleloomulikult raske. Peate lihtsalt olema nutikas ja arvama, et esimese võrrandi vasak pool on summa ruut. Sarnased ülesanded on ka eksamil.

Irratsionaalne matemaatikas

Iga kord tekkis inimkonnal vajadus luua uut tüüpi numbreid, kui tal puudus „ruum” mõne võrrandi lahendamiseks. Irratsionaalsed arvud pole erand. Nagu näitavad ajaloost pärit faktid, juhtisid suured targad sellele esimest korda tähelepanu juba enne meie ajastut, 7. sajandil. Seda tegi Indiast pärit matemaatik, tuntud kui Manava. Ta mõistis selgelt, et mõnest naturaalarvust on võimatu juurt eraldada. Näiteks hõlmavad need 2; 17 või 61, nagu ka paljud teised.

Samale järeldusele jõudis ka üks Pythagoreanist, mõtleja nimega Hippasus, kes püüdis teha arvutusi pentagrammi külgede arvuliste avaldiste abil. Avastades matemaatilisi elemente, mida ei saa arvuliselt väljendada ja millel puuduvad omadused tavalised numbrid, vihastas ta kolleegid nii välja, et visati üle parda merre. Fakt on see, et teised Pythagoraslased pidasid tema mõttekäiku mässuks universumi seaduste vastu.

Radikaalne märk: evolutsioon

"Kurtide" arvude arvväärtuse väljendamise juurmärki hakati kasutama irratsionaalsete võrratuste ja võrrandite lahendamisel kaugeltki kohe. Esimest korda hakkasid Euroopa, eriti itaalia matemaatikud radikaalile mõtlema 13. sajandi paiku. Samal ajal tekkis neil idee kasutada tähistamiseks ladina tähte R. Kuid saksa matemaatikud käitusid oma töödes teisiti. Neile meeldis rohkem täht V. Saksamaal levis peagi tähis V (2), V (3), mis oli mõeldud väljendama ruutjuurt 2, 3 jne. Hiljem sekkusid hollandlased ja muutsid radikaali märki. Ja Rene Descartes viis evolutsiooni lõpule, viies ruutjuure märgi tänapäevase täiuslikkuseni.

Vabanemine ebaratsionaalsest

Irratsionaalsed võrrandid ja ebavõrdsused võivad sisaldada muutujat mitte ainult ruutjuure märgi all. See võib olla mis tahes määral. Kõige tavalisem viis sellest vabanemiseks on tõsta võrrandi mõlemad pooled sobiva astmeni. See on peamine tegevus, mis aitab irratsionaalsete toimingute puhul. Toimingud paarisjuhtumitel ei erine eriti nendest, mida oleme juba varem analüüsinud. Siin tuleks arvesse võtta radikaali avaldise mittenegatiivsuse tingimusi ja ka lahenduse lõpus on vaja välja sõeluda muutujate kõrvalised väärtused viisil, nagu näidati juba kaalutud näited.

Lisateisendustest, mis aitavad õiget vastust leida, kasutatakse sageli avaldise korrutamist konjugaadiga, samuti on sageli vaja sisestada uus muutuja, mis muudab lahendamise lihtsamaks. Mõnel juhul on tundmatute väärtuse leidmiseks soovitatav kasutada graafikuid.