Arvu x ruutjuur on arv a, mis korrutades iseendaga annab arvu x: a * a = a^2 = x, √x = a. Nagu iga arvu puhul, saate ruutjuurtega teha liitmise ja lahutamise aritmeetilisi tehteid.

Juhend

• Esiteks lisamisel ruutjuured proovige neid juuri välja tõmmata. See on võimalik, kui juuremärgi all olevad numbrid on täiuslikud ruudud. Näiteks olgu antud avaldis √4 + √9. Esimene arv 4 on arvu 2 ruut. Teine arv 9 on arvu 3 ruut. Nii selgub, et: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Kui märgi all pole juuri täisruudud, siis proovi juuremärgi alt välja võtta arvu kordaja. Näiteks oletame, et √24 + √54 on antud. Faktoriseerige arvud: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Arvu 24 koefitsient on 4, mille saab ruutjuure märgist välja võtta. Arvu 54 koefitsient on 9. Seega selgub, et: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Antud näites osutus kordaja juurmärgist välja võtmise tulemusena antud avaldise lihtsustamiseks.
• Olgu kahe ruutjuure summa murdosa nimetajaks, näiteks A / (√a + √b). Ja olgu teie ülesandeks "vabaneda nimetaja irratsionaalsusest". Seejärel saate kasutada järgmist meetodit. Korrutage murdosa lugeja ja nimetaja avaldisega √a - √b. Seega saadakse nimetajas lühendatud korrutamise valem: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Analoogiliselt, kui nimetajas on antud juurte erinevus: √a - √b, siis tuleb murdosa lugeja ja nimetaja korrutada avaldisega √a + √b. Näiteks kui antud murdosa 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Vaata rohkem keeruline näide irratsionaalsusest vabanemine nimetajas. Olgu murru 12 / (√2 + √3 + √5) antud. Murru lugeja ja nimetaja on vaja korrutada avaldisega √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Ja lõpuks, kui vajate ainult ligikaudset väärtust, saate kalkulaatoril ruutjuured välja arvutada. Arvutage iga numbri väärtused eraldi ja kirjutage üles vajaliku täpsusega (näiteks kaks kohta pärast koma). Ja seejärel sooritage vajalikud aritmeetilised toimingud nagu tavaliste numbrite puhul. Oletame näiteks, et soovite teada avaldise √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 ligikaudset väärtust.

Arvu ruutjuure eraldamine ei ole ainus tehe, mida selle matemaatilise nähtusega teha saab. Sama hästi kui tavalised numbrid, ruutjuured liidetakse ja lahutatakse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutjuurte liitmise ja lahutamise reeglid

Definitsioon 1

Sellised toimingud nagu ruutjuure liitmine ja lahutamine on võimalikud ainult siis, kui juuravaldis on sama.

Näide 1

Saate avaldisi liita või lahutada 2 3 ja 6 3, aga mitte 56 Ja 9 4 . Kui on võimalik avaldist lihtsustada ja viia see sama juurnumbriga juurtesse, siis lihtsustada ja seejärel liita või lahutada.

Juurtegevused: põhitõed

Näide 2

6 50 - 2 8 + 5 12

Toimingu algoritm:

1. Lihtsusta juuravaldist. Selleks on vaja juuravaldis lagundada 2 teguriks, millest üks on ruutarv (arv, millest eraldatakse täisarv Ruutjuur nt 25 või 9).
2. Seejärel peate võtma ruutnumbri juure ja kirjutage saadud väärtus juuremärgi ette. Pange tähele, et teine ​​tegur sisestatakse juuremärgi alla.
3. Pärast lihtsustamisprotsessi on vaja juurtele alla joonida samade radikaalsete avaldistega - ainult neid saab liita ja lahutada.
4. Samade radikaalavaldistega juurte puhul on vaja liita või lahutada juuremärgile eelnevad tegurid. Juureavaldis jääb muutumatuks. Ärge liitke ega lahutage juurarve!

Vihje 1

Kui teil on näide koos suur summa identsed radikaalavaldised, siis kriipsutage sellised avaldised arvutusprotsessi hõlbustamiseks alla ühe-, kahe- ja kolmekordse joonega.

Näide 3

Proovime seda näidet:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Kõigepealt peate 50 lagundama kaheks teguriks 25 ja 2, seejärel võtma 25 juure, mis on 5, ja võtma juure alt välja 5. Pärast seda peate korrutama 5 6-ga (juures olev kordaja) ja saama 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Esiteks peate 8 jaotama kaheks teguriks: 4 ja 2. Seejärel eraldage 4-st juur, mis võrdub 2-ga, ja võtke 2 juure alt välja. Pärast seda peate korrutama 2 2-ga (tegur juurtes) ja saama 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Esiteks peate 12 lagundama 2 teguriks: 4 ja 3. Seejärel eraldage juur 4-st, mis on 2, ja võtke see juure alt välja. Pärast seda peate korrutama 2 5-ga (tegur juurtes) ja saama 10 3 .

Lihtsustamise tulemus: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Selle tulemusena nägime, kui palju identseid radikaalseid väljendeid see näide sisaldab. Nüüd harjutame teiste näidetega.

Näide 4

• Lihtsusta (45) . Tegutseme 45: (45) = (9 × 5) ;
• Võtame juure alt välja 3 (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Liidame tegurid juurtes: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Näide 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Lihtsustamine 6 40 . Jaotame teguri 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Võtame juure alt välja 2 (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Korrutame tegurid, mis on juure ees: 12 10;
• Avaldise kirjutame lihtsustatud kujul: 12 10 - 3 10 + 5;
• Kuna kahel esimesel liikmel on samad juurarvud, saame need lahutada: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Näide 6

Nagu näeme, ei ole radikaalarvude lihtsustamine võimalik, seetõttu otsime näites samade radikaalarvudega liikmeid, teostame matemaatilised tehted(liita, lahuta jne) ja kirjuta tulemus:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Nõuanne:

• Enne liitmist või lahutamist tuleb radikaalseid avaldisi (võimaluse korral) lihtsustada.
• Erinevate juuravaldistega juurte liitmine ja lahutamine on rangelt keelatud.
• Ärge liitke ega lahutage täisarvu ega ruutjuurt: 3 + (2 x) 1/2 .
• Murdudega toimingute tegemisel tuleb leida iga nimetajaga jaguv arv, seejärel viia murrud ühise nimetajani, seejärel lisada lugejad ja jätta nimetajad muutmata.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes on tugevad "mitte väga. »
Ja neile, kes “väga ühtlane. "")

Eelmises tunnis saime aru, mis on ruutjuur. On aeg välja mõelda, mis need on juurte valemid, mis on juure omadused ja mida selle kõige vastu teha saab.

Juurvalemid, juuromadused ja juurtega toimingute reeglid on sisuliselt sama asi. Ruutjuurte valemeid on üllatavalt vähe. Mis muidugi rõõmustab! Pigem võib kirjutada palju igasuguseid valemeid, aga praktiliseks ja enesekindlaks juurtega tööks piisab vaid kolmest. Kõik muu tuleneb neist kolmest. Kuigi paljud eksivad juurte kolmes valemis, jah.

Alustame kõige lihtsamast. Siin ta on:

Tuletan teile meelde (eelmisest õppetunnist): a ja b on mittenegatiivsed arvud! Vastasel juhul pole valemil mõtet.

See juurte omadus, nagu näete, lihtne, lühike ja kahjutu. Kuid selle juurvalemiga saate teha palju kasulikke asju! Heidame pilgu peale näiteid kõik need kasulikud asjad.

Kasulik asi kõigepealt. See valem võimaldab meil paljundada juuri.

Kuidas juuri paljundada?

Jah, väga lihtne. Otse valemi juurde. Näiteks:

Näib, et need on paljunenud, mis siis? Kas rõõmu on palju? Nõustun, natuke. Aga kuidas see teile meeldib näide?

Juured ei ole täpselt teguritest välja võetud. Ja tulemus on suurepärane! Juba parem, eks? Igaks juhuks annan teada, et kordajaid võib olla nii palju kui soovid. Juurkorrutise valem töötab endiselt. Näiteks:

Nii et korrutamisega on kõik selge, miks seda vaja on juurte omadus- on ka arusaadav.

Kasulik asi teine. Numbri sisestamine juure märgi alla.

Kuidas sisestada numbri juure alla?

Oletame, et meil on selline väljend:

Kas on võimalik peita kahekesi juure sisse? Lihtsalt! Kui teha juur kahest, töötab juurte korrutamise valem. Ja kuidas teha kahest juuri? Jah, see pole ka küsimus! Kahekordne on ruutjuur neljast!

Juure, muide, saab teha mis tahes mittenegatiivsest arvust! See on ruutjuur selle arvu ruudust. 3 on 9. juur. 8 on 64. juur. 11 on 121. juur. No ja nii edasi.

Muidugi pole vaja nii detailselt värvida. Välja arvatud alustuseks. Piisab mõistmisest, et juure alla saab tuua iga mittenegatiivse arvu, mis on korrutatud juurega. Aga ära unusta! - juure all muutub see number ruut ise. Seda toimingut – arvu sisestamist juure alla – võib nimetada ka arvu korrutamiseks juurega. Üldiselt võib kirjutada:

Protsess on lihtne, nagu näete. Miks teda vaja on?

Nagu iga ümberkujundamine, avardab see protseduur meie võimalusi. Võimalused muuta julm ja ebamugav ilme pehmeks ja kohevaks). Siin on teile lihtne näide:

Nagu sa näed juuromadus, mis võimaldab juuremärgi alla teguri sisse viia, sobib lihtsustamiseks üsna hästi.

Lisaks muudab kordaja lisamine juure alla erinevate juurte väärtuste võrdlemise lihtsaks ja lihtsaks. Ilma igasuguse arvutuse ja kalkulaatorita! Kolmas kasulik asi.

Kuidas juuri võrrelda?

See oskus on väga oluline kindlatel missioonidel, moodulite avamisel ja muudel lahedatel asjadel.

Võrrelge neid väljendeid. Kumb on rohkem? Ilma kalkulaatorita! Igaühel kalkulaator. uh-ah. Ühesõnaga, kõik saavad sellega hakkama!)

Sa ei ütle seda kohe. Ja kui sisestate numbrid juure märgi alla?

Pidage meeles (äkki ei teadnud?): kui juuremärgi all olev arv on suurem, siis on juur ise suurem! Siit ka kohe õige vastus, ilma keeruliste arvutuste ja arvutusteta:

See on suurepärane, eks? Kuid see pole veel kõik! Tuletage meelde, et kõik valemid töötavad nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Oleme seni kasutanud juurte vasakult paremale korrutamise valemit. Käivitame selle juuromaduse tagurpidi, paremalt vasakule. Nagu nii:

Ja mis vahet sellel on? Kas see annab sulle midagi!? Kindlasti! Nüüd näete ise.

Oletame, et peame eraldama (ilma kalkulaatorita!) arvu 6561 ruutjuure. Mõned inimesed selles etapis langevad ülesandega ebavõrdsesse võitlusse. Aga me oleme kangekaelsed, me ei anna alla! Kasulik asi neljas.

Kuidas suurtest arvudest juuri välja tõmmata?

Tuletame meelde tootest juurte eraldamise valemit. See, mille ma ülal postitasin. Aga kus on meie töö? Meil on tohutu number 6561 ja kõik. Jah, kunsti pole olemas. Aga kui me seda vajame, siis me teeme! Arvutame selle arvu. Meil on õigus.

Kõigepealt mõtleme välja, millega see arv täpselt jagub? Mida, sa ei tea!? Kas unustasite jaguvuse märgid!? Asjatult. Minge erijaotisse 555, teema "Murrud", seal need on. See arv jagub 3 ja 9-ga. Sest numbrite summa (6+5+6+1=18) jagub nende arvudega. See on üks jagatavuse märke. Me ei pea jagama kolmega (nüüd saate aru, miks), kuid me jagame 9-ga. Vähemalt nurgas. Saame 729. Seega leidsime kaks tegurit! Esimene on üheksane (valisime ise), teine ​​aga 729 (selline tuli välja). Võid juba kirjutada:

Saad idee? Teeme sama numbriga 729. See jagub ka 3 ja 9-ga. Jällegi, me ei jaga 3-ga, me jagame 9-ga. Saame 81. Ja me teame seda arvu! Kirjutame üles:

Kõik osutus lihtsaks ja elegantseks! Juur tuli jupphaaval ära võtta, no okei. Seda saab teha mis tahes suured numbrid. Korrutage need ja minge!

Muide, miks sa ei pidanud 3-ga jagama, kas sa arvasid? Jah, sest kolme juur pole täpselt välja võetud! Mõistlik on laguneda sellisteks teguriteks, et vähemalt üks juur saaks hästi välja tõmmata. See on 4, 9, 16 ja nii edasi. Jagage oma tohutu arv kordamööda nende arvudega, näete, ja teil veab!

Aga mitte tingimata. Võib-olla ei vea. Oletame, et arv 432, kui arvestada ja kasutada toote juurvalemit, annab järgmise tulemuse:

No okei. Igatahes oleme seda väljendit lihtsustanud. Matemaatikas on kombeks kõige rohkem lahkuda väike arv võimalikust. Lahendamise käigus sõltub kõik näitest (võib-olla on kõike vähendatud ilma lihtsustamiseta), kuid vastuses on vaja anda tulemus, mida ei saa veelgi lihtsustada.

Muide, kas sa tead, mida me nüüd 432 juurega teinud oleme?

Meie juure märgi alt välja võetud tegurid ! Seda operatsiooni nimetatakse nii. Ja siis ülesanne langeb - " juure märgi alt faktor välja võtta"Aga mehed isegi ei tea.) Siin on teile veel üks kasu juure omadused. Kasulik asi viies.

Kuidas kordajat juure alt välja võtta?

Kergesti. Faktoriseerige juurekspressioon ja ekstraheerige ekstraheeritud juured. Me vaatame:

Ei midagi üleloomulikku. Oluline on valida õiged kordajad. Siin oleme 72 jaganud 36 2-ks. Ja kõik osutus hästi. Või oleksid nad võinud selle erinevalt lagundada: 72 = 6 12. Ja mida!? Ei 6-st ega 12-st juurt ei ekstraheerita. Mida teha?!

See on korras. Või otsige muid lagunemisvõimalusi või jätkake kõike lõpuni paigutamist! Nagu nii:

Nagu näha, läks kõik korda. See, muide, pole kõige kiirem, kuid kõige usaldusväärsem viis. Jagage arv väikseimateks teguriteks ja koguge samad kuhjadesse. Meetodit rakendatakse edukalt ka ebamugavate juurte paljundamisel. Näiteks peate arvutama:

Korrutage kõik - saate hullu numbri! Ja kuidas siis sellest juuri välja tõmmata ?! Korrutada uuesti? Ei, me ei vaja lisatööd. Laguneme kohe teguriteks ja kogume sama hunnikutesse:

See on kõik. Muidugi pole vaja peatuseni välja laduda. Kõik määravad teie isiklikud võimed. Viinud näite olekusse, kus kõik on sulle selge nii et saate juba lugeda. Peaasi, et mitte vigu teha. Mitte mees matemaatika jaoks, vaid matemaatika mehe jaoks!)

Rakendame teadmisi praktikas? Alustame lihtsast:

Ruutjuurte lisamise reegel

Ruutjuurte omadused

Seni oleme arvudega teinud viis aritmeetilist tehtet: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja astendamine ning arvutustes kasutati aktiivselt nende tehte erinevaid omadusi, näiteks a + b = b + a ja n -b n = (ab) n jne.

See peatükk tutvustab uus operatsioon- mittenegatiivse arvu ruutjuure eraldamine. Selle edukaks kasutamiseks peate tutvuma selle toimingu omadustega, mida me selles jaotises teeme.

Tõestus. Tutvustame järgmist tähistust:
Me peame seda tõestama negatiivsed arvud x, y, z, x = yz.

Seega x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Siis x 2 \u003d y 2 z 2, st x 2 \u003d (yz) 2.

Kui ruudud kaks mittenegatiivset arvu on võrdsed, siis on arvud ise võrdsed, mis tähendab, et võrdsusest x 2 \u003d (yz) 2 järeldub, et x \u003d yz ja see tuli tõestada.

Anname teoreemi tõestuse lühiülevaate:

Märkus 1. Teoreem jääb kehtima ka juhul, kui radikaalavaldis on rohkem kui kahe mittenegatiivse teguri korrutis.

Märkus 2. Teoreem 1 saab kirjutada kasutades "kui. , siis” (nagu matemaatika teoreemide puhul kombeks). Anname vastava sõnastuse: kui a ja b on mittenegatiivsed arvud, siis võrdsus .

Nii sõnastame järgmise teoreemi.

(Lühike sõnastus, mida on praktikas mugavam kasutada: murdosa juur võrdub juurte murdosaga või jagatise juur võrdub juurte jagatisega.)

Seekord anname tõestuse lühiülevaate ja võite proovida teha asjakohaseid kommentaare, mis on sarnased nendega, mis moodustasid teoreemi 1 tõestuse olemuse.

Näide 1. Arvutage .
Lahendus. Kasutades esimest omadust ruutjuured(Teoreem 1), saame

Märkus 3. Muidugi saab seda näidet lahendada erinevalt, eriti kui teil on käepärast kalkulaator: korrutage arvud 36, 64, 9 ja seejärel võtke saadud korrutise ruutjuur. Siiski nõustute, et ülal pakutud lahendus näeb välja kultuursem.

Märkus 4. Esimese meetodi puhul tegime otsearvutused. Teine viis on elegantsem:
kandideerisime valem a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) ja kasutas ruutjuurte omadust.

Märkus 5. Mõned "kuumpead" pakuvad mõnikord näitele 3 järgmist "lahendust".

See pole muidugi tõsi: näete – tulemus ei ole sama, mis meie näites 3. Fakt on see, et omadust pole kui nr ja omadused Seal on ainult ruutjuurte korrutamist ja jagamist puudutavad omadused. Olge ettevaatlik ja ettevaatlik, ärge võtke soovmõtlemisi.

Näide 4. Arvutage: a)
Lahendus. Mis tahes algebra valemit kasutatakse mitte ainult "paremalt vasakule", vaid ka "vasakult paremale". Seega tähendab ruutjuurte esimene omadus seda, et vajadusel saab seda esitada kujul , ja vastupidi, mille saab asendada avaldisega Sama kehtib ka ruutjuurte teise omaduse kohta. Seda silmas pidades lahendame pakutud näite.

Lõigu lõpetuseks märgime veel ühte üsna lihtsat ja samal ajal olulist omadust:
kui a > 0 ja n - naturaalarv , See

Näide 5 Arvutama , kasutamata arvude ruutude tabelit ja kalkulaatorit.

Lahendus. Jagame juurarvu algteguriteks:

Märkus 6. Seda näidet saab lahendada samamoodi nagu § 15 sarnast näidet. On lihtne arvata, et vastuseks saab "80 sabaga", kuna 80 2 2 . Leiame "saba", st soovitud numbri viimase numbri. Siiani teame, et kui juur on ekstraheeritud, võib vastuseks olla 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 või 89. Kontrollida tuleb ainult kahte numbrit: 84 ja 86, kuna ainult need, ruudus olles annab tulemuseks neljakohaline 6-ga lõppev arv, st. sama number, mis lõpeb numbriga 7056. Meil ​​on 84 2 \u003d 7056 - see on see, mida me vajame. Tähendab,

Mordkovitš A.G., Algebra. 8. klass: Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid – 3. väljaanne, lõpetatud. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 lk.: ill.

Allalaaditavad raamatud, matemaatikaõpikud, kokkuvõte õpetaja ja õpilaste abistamiseks, veebis õppimiseks

Kui teil on selle õppetüki jaoks parandusi või ettepanekuid, kirjutage meile.

Kui soovite näha muid õppetundide parandusi ja ettepanekuid, vaadake siit - Haridusfoorum.

Kuidas lisada ruutjuuri

Arvu ruutjuur X helistas numbrile A, mis korrutab ennast iseendaga ( A*A) oskab anda numbri X.
Need. A * A = A 2 = X, Ja √X = A.

Üle ruutjuurte ( √x), nagu ka teiste arvude puhul, saate teha aritmeetilisi toiminguid, nagu lahutamine ja liitmine. Juurte lahutamiseks ja liitmiseks tuleb need ühendada nendele toimingutele vastavate märkide abil (näiteks √x - √y ).
Ja seejärel viige juured kõige lihtsamale kujule - kui nende vahel on sarnaseid, peate tegema valatud. See seisneb selles, et sarnaste liikmete koefitsiendid võetakse koos vastavate terminite märkidega, seejärel pannakse need sulgudesse ja ühisjuur kuvatakse kordistaja sulgudest väljaspool. Saadud koefitsienti on tavapäraste reeglite kohaselt lihtsustatud.

1. samm. Ruutjuurte ekstraheerimine

Esiteks, ruutjuurte lisamiseks peate esmalt need juured ekstraheerima. Seda saab teha, kui juuremärgi all olevad numbrid on täiuslikud ruudud. Võtke näiteks antud avaldis √4 + √9 . Esimene number 4 on arvu ruut 2 . Teine number 9 on arvu ruut 3 . Seega on võimalik saada järgmine võrdsus: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Kõik, näide on lahendatud. Kuid see ei juhtu alati nii.

Samm 2. Arvu kordaja väljavõtmine juure alt

Kui juuremärgi all pole täisruutusid, võid proovida arvu kordaja juuremärgi alt välja võtta. Võtke näiteks väljend √24 + √54 .

Faktoriseerime arvud:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

hulgas 24 meil on kordaja 4 , saab selle ruutjuure märgi alt välja võtta. hulgas 54 meil on kordaja 9 .

Saame võrdsuse:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Seda näidet arvestades saame teguri eemaldamise juurmärgi alt, lihtsustades sellega antud avaldist.

3. samm. Nimetaja vähendamine

Vaatleme järgmist olukorda: näiteks kahe ruutjuure summa on murdosa nimetaja, A / (√a + √b).
Nüüd seisame silmitsi ülesandega "vabaneda nimetaja irratsionaalsusest".
Kasutame järgmist meetodit: korruta murdosa lugeja ja nimetaja avaldisega √a - √b.

Nüüd saame nimetajas lühendatud korrutusvalemi:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Samamoodi, kui nimetaja sisaldab juurte erinevust: √a - √b, korrutatakse murdosa lugeja ja nimetaja avaldisega √a + √b.

Võtame näitena murdosa:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Näide kompleksnimetaja vähendamisest

Nüüd käsitleme üsna keerulist näidet nimetaja irratsionaalsusest vabanemiseks.

Võtame näitena murdosa: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Peate võtma selle lugeja ja nimetaja ning korrutama avaldisega √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Samm 4. Arvutage kalkulaatoril ligikaudne väärtus

Kui vajate ainult ligikaudset väärtust, saate seda teha kalkulaatoris, arvutades ruutjuurte väärtuse. Iga numbri jaoks eraldi arvutatakse ja registreeritakse väärtus vajaliku täpsusega, mis määratakse kümnendkohtade arvuga. Lisaks tehakse kõik vajalikud toimingud nagu tavaliste numbrite puhul.

Hinnangulise arvutuse näide

On vaja arvutada selle avaldise ligikaudne väärtus √7 + √5 .

Selle tulemusena saame:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Pange tähele: ruutjuuri ei tohi mingil juhul algarvudena lisada, see on täiesti vastuvõetamatu. See tähendab, et kui liita ruutjuur viie ja kolmega, ei saa me kaheksa ruutjuurt.

Kasulik nõuanne: kui otsustate arvu faktoriseerida, peate juurmärgi alt ruudu tuletamiseks tegema pöördkontrolli, st korrutama kõik arvutuste tulemusel saadud tegurid ja selle lõpptulemuse. matemaatiline arvutus peaks olema arv, mis meile algselt anti.

Tegevus juurtega: liitmine ja lahutamine

Arvu ruutjuure eraldamine ei ole ainus tehe, mida selle matemaatilise nähtusega teha saab. Nii nagu tavalisi numbreid, saab ka ruutjuuri liita ja lahutada.

Ruutjuurte liitmise ja lahutamise reeglid

Sellised toimingud nagu ruutjuure liitmine ja lahutamine on võimalikud ainult siis, kui juuravaldis on sama.

Saate avaldisi liita või lahutada 2 3 ja 6 3, aga mitte 56 Ja 9 4 . Kui on võimalik avaldist lihtsustada ja viia see sama juurnumbriga juurtesse, siis lihtsustada ja seejärel liita või lahutada.

Juurtegevused: põhitõed

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Lihtsusta juuravaldist. Selleks on vaja juuravaldis lagundada 2 teguriks, millest üks on ruutarv (arv, millest kogu ruutjuur eraldatakse, näiteks 25 või 9).
2. Seejärel peate võtma ruutnumbri juure ja kirjutage saadud väärtus juuremärgi ette. Pange tähele, et teine ​​tegur sisestatakse juuremärgi alla.
3. Pärast lihtsustamisprotsessi on vaja juurtele alla joonida samade radikaalsete avaldistega - ainult neid saab liita ja lahutada.
4. Samade radikaalavaldistega juurte puhul on vaja liita või lahutada juuremärgile eelnevad tegurid. Juureavaldis jääb muutumatuks. Ärge liitke ega lahutage juurarve!

Kui teil on näide paljude identsete radikaalavaldistega, siis kriipsutage sellised avaldised arvutusprotsessi hõlbustamiseks alla ühe-, kahe- ja kolmekordse joonega.

Proovime seda näidet:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Kõigepealt peate 50 lagundama kaheks teguriks 25 ja 2, seejärel võtma 25 juure, mis on 5, ja võtma juure alt välja 5. Pärast seda peate korrutama 5 6-ga (juures olev kordaja) ja saama 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Esiteks peate 8 jaotama kaheks teguriks: 4 ja 2. Seejärel eraldage 4-st juur, mis võrdub 2-ga, ja võtke 2 juure alt välja. Pärast seda peate korrutama 2 2-ga (tegur juurtes) ja saama 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Esiteks peate 12 lagundama 2 teguriks: 4 ja 3. Seejärel eraldage juur 4-st, mis on 2, ja võtke see juure alt välja. Pärast seda peate korrutama 2 5-ga (tegur juurtes) ja saama 10 3 .

Lihtsustamise tulemus: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Selle tulemusena nägime, kui palju identseid radikaalseid väljendeid see näide sisaldab. Nüüd harjutame teiste näidetega.

• Lihtsusta (45) . Tegutseme 45: (45) = (9 × 5) ;
• Võtame juure alt välja 3 (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Liidame tegurid juurtes: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Lihtsustamine 6 40 . Jaotame teguri 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Võtame juure alt välja 2 (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Korrutame tegurid, mis on juure ees: 12 10;
• Avaldise kirjutame lihtsustatud kujul: 12 10 - 3 10 + 5;
• Kuna kahel esimesel liikmel on samad juurarvud, saame need lahutada: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Nagu näeme, pole radikaalarvude lihtsustamine võimalik, seetõttu otsime näites samade radikaalarvudega liikmeid, sooritame matemaatilisi tehteid (liita, lahutada jne) ja kirjutame tulemuse:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Nõuanne:

• Enne liitmist või lahutamist tuleb radikaalseid avaldisi (võimaluse korral) lihtsustada.
• Erinevate juuravaldistega juurte liitmine ja lahutamine on rangelt keelatud.
• Ärge liitke ega lahutage täisarvu ega ruutjuurt: 3 + (2 x) 1/2 .
• Murdudega toimingute tegemisel tuleb leida iga nimetajaga jaguv arv, seejärel viia murrud ühise nimetajani, seejärel lisada lugejad ja jätta nimetajad muutmata.

Aritmeetilise ruutjuure omadused. Aritmeetilise ruutjuure võimsus

Aritmeetiliste ruutjuurte teisendamine. Aritmeetiliste ruutjuurte teisendamine

Ekstraheerida polünoomi ruutjuur, on vaja polünoom arvutada ja saadud arvust välja võtta juur.

Tähelepanu! Igast liikmest (vähendatud ja lahutatud) juurt eraldi välja võtta on võimatu.

Shchob võita polünoomi ruutjuur, on nõue arvutada rikas liige ja lahutatud arvust võtta juur.

Respekt! Nahalisandist (muutunud ja nähtav) OKremo juurt on võimatu välja tõmmata.

Korrutise ruutjuure eraldamine (jagatis), saate arvutada iga teguri (dividendi ja jagaja) ruutjuure ja võtta saadud väärtused korrutise järgi (jagatis).

Dobutka (osade) ruutjuure võitmiseks, saate arvutada naha kordaja ruutjuure (jagatud ja dilnik) ja eemaldada väärtuse, võttes täiendava (sagedane).

Et võtta murru ruutjuur, peate eraldama lugeja ja nimetaja ruutjuure eraldi ning jätma saadud väärtused murdarvuks või arvutama jagatisena (võimaluse korral tingimuse järgi).

Murru ruutjuure võitmiseks, tuleb võtta ruutjuur numbriraamatust ja okremo bännerist ning murdosaga murru väärtus ära võtta või osaks lugeda (nagu mõistuse jaoks võimalik).

Juuremärgi alt saab teguri välja võtta ja juurmärgi alla teguri sisse viia. Faktori väljavõtmisel ekstraheeritakse sellest juur ja sissetoomisel tõstetakse see vastava astmeni.

3. juuremärki saab korrutada ja juurmärki saab korrutada. Kordaja süül väänatakse juured ja sissetoomisega ehitatakse juured kõrgematele jalgadele.

Näited. Rakenda

Ruutjuurte summa (erinevuse) teisendamiseks tuleb viia juuravaldised astme ühele alusele, võimalusel võtta astmetest välja juured ja kirjutada need juurte märkide ette ning ülejäänud ruutjuured saab lisada samu juuravaldisi, mille puhul koefitsiendid liidetakse enne märgijuurt ja lisatakse sama ruutjuur.

Ruutjuurte summa (maksumuse) ümbertegemiseks on vaja võimalusel viia juurjuured astme ühele alusele, võtta sammude juur ja need enne märke üles kirjutada. juured ja samade juursõnadega ruutjuurte lahendus, mida ma saan kokku liita ja sama ruutjuure lisada.

Toome kõik radikaalsed avaldised 2. alusesse.

Alates ühtlane aste juur ekstraheeritakse täielikult, paaritu kraadist, 1. astme aluse juur jäetakse juure märgi alla.

Anname sarnased täisarvud ja liidame samade juurtega koefitsiendid. Kirjutame binoomarvu arvu ja summa binoomi korrutisena.

Viige kõik virazi alamjuured alusele 2.

Paarisastmest tõmmatakse juured reas, paarita astmest 1. etapi aluse juured täidetakse juure märgi alla.

Soovitatav on lisada samadele juurtele sarnased arvud ja koefitsiendid. Binoomi kirjutame sumibinoomi arvu i täienduseks.

Toome radikaalavaldised väikseima baasi või väikseimate alustega astmete korrutisesse. Eraldame juure paarisastmelistest radikaalavaldistest, jäägid jätame astme aluse kujule indikaatoriga 1 või selliste aluste korrutise juuremärgi alla. Anname sarnased terminid (liidetakse samade juurte koefitsiendid).

Viime virazi juure väikseima aluseni või kõige väiksemate alustega sammude lisamiseni. Viraas juurte all olevatest auravatest astmetest võetakse juured, astme aluse ülejääk indikaatoriga 1 või selliste aluste lisamine täidetakse juure märgi all. Soovitame sarnaseid termineid (liideme samade juurte koefitsiendid).

Asendame murdude jagamise korrutisega (teise murru asendamisega pöördarvuga). Korrutage lugejad ja nimetajad eraldi. Iga juuremärgi all tõstame esile kraadid. Tühistame lugejas ja nimetajas samad tegurid. Me eraldame juured isegi jõududest.

Asendame murdude jagamise korrutisega (teise murru asendamisega tagastusega). Korrutage okremo numbrid ja murdude ribareklaamid. Juure nahamärgi all on näha sammud. Kiirendame samu kordajaid numbriraamatus ja bänneris. Süüdistage kaksikastmete juurt.

Kahe ruutjuure võrdlemiseks, tuleb nende radikaalavaldisi taandada sama alusega kraadini, siis mida rohkem on näidatud radikaalavaldise astmeid, seda suurem on ruutjuure väärtus.

Selles näites ei saa radikaalavaldisi taandada ühele alusele, kuna esimeses on alus 3 ning teises 3 ja 7.

Teine viis võrdlemiseks on sisestada radikaalavaldisesse juure koefitsient ja võrrelda radikaalavaldiste arvväärtusi. Ruutjuure puhul, mida suurem on juuravaldis, seda suurem on juure väärtus.

Kahe ruutjuure sobitamiseks, tuleb nende alamjuured viia samale tasemele, samas kui mida suurem on viiruse alamjuure astme näitaja, seda suurem on ruutjuure väärtus.

Sel juhul ei ole võimalik virazi juurjuuri ühele alusele tuua, kuna esimeses on alus 3 ja teises 3 ja 7.

Teine võrdsustamise viis on lisada juureviraasile juurkoefitsient ja võrdsustada juurviraasi arvväärtusi. Ruutjuurel on rohkem alamjuure virazi, seda suurem on juure väärtus.

Kasutades korrutamise distributiivset seadust ja samade eksponentide (meie puhul ruutjuurte) juurte korrutamise reeglit, saime juuremärgi all oleva korrutisega kahe ruutjuure summa. Me lagundame 91 algteguriteks ja võtame juured välja tavaliste radikaalsete teguritega (13 * 5) sulgudest.

Oleme saanud juure ja binoomide korrutise, milles üks monoomidest on täisarv (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny korrutamise seadus ja juurte korrutamise reegel samade näitajatega (meie puhul - ruutjuured) võttis kahe ruutjuure summa koos juure lisamärgiga. Me saame lihtsate sõnadega välja panna 91 kordajat ja võtta kaare juure juurkordistitest (13 * 5).

Võtsime juurde juure ja kahendarvu, millel on täisarvus (1) üks mononoom.

Näide 9:

Radikaalsetes avaldistes valime tegurite abil arvud, millest saame kogu ruutjuure eraldada. Eraldame astmetest ruutjuured ja paneme arvud ruutjuurte koefitsientide järgi.

Selle polünoomi liikmetel on ühine tegur √3, mille saab sulgudest välja võtta. Tutvustame sarnaseid termineid.

Alamjuurviraasides nähakse seda arvu kordajatena, millest saab võtta ruutjuure. Süüdistame astmete ruutjuuri ja paneme arvud ruutjuurte koefitsientide järgi.

Selle polünoomi liikmetel on ühine kordaja √3, mida võib süüdistada kätes. Soovitame sarnaseid täiendusi.

Kahe summa ja vahe korrutis samad alused(3 ja √5), kasutades lühendatud korrutamisvalemit, saab kirjutada aluste ruutude erinevusena.

Ruutjuur ruudus on alati võrdne radikaalavaldisega, seega vabaneme avaldises radikaalist (juurmärgist).

Kahe identse aluse (3 і √5) Dobutoki summa ja erinevuse kiirkorrutamise valemist saab kirjutada ruutbaaside erinevusena.

Ruutjuur ruudu zavzhd võrdub alamjuure viraasiga, seega nimetame viraasi radikaali (juuremärki).

Tagasi kooli. Juurte lisamine

Meie ajal, kaasaegsed elektroonilised arvutid, arvu juure arvutamine ei ole esindatud väljakutseid pakkuv ülesanne. Näiteks √2704=52, arvutab selle teie eest iga kalkulaator. Õnneks pole kalkulaator ainult Windowsis, vaid ka tavalises, isegi kõige lihtsamas telefonis. Tõsi, kui äkitselt (väikese tõenäosusega, mille arvutamine, muide, sisaldab ka juurte lisamist) leiate end vaba rahata, peate paraku lootma ainult oma ajudele.

Meeletreening ei vea kunagi alt. Eriti neile, kes numbritega nii tihti ei tööta ja veel enam juurtega. Juurte liitmine ja lahutamine on igavlevale meelele hea treening. Ja ma näitan teile samm-sammult juurte lisamist. Avaldiste näited võivad olla järgmised.

Lihtsustatav võrrand on järgmine:

See on irratsionaalne väljend. Selle lihtsustamiseks tuleb kõik radikaalsed avaldised taandada üldine vaade. Teeme seda etappide kaupa:

Esimest numbrit ei saa enam lihtsustada. Liigume edasi teise ametiaja juurde.

3√48 faktoriseerime 48: 48=2×24 või 48=3×16. Ruutjuur 24st ei ole täisarv, s.t. on murdosa jääk. Kuna vajame täpset väärtust, siis ligikaudsed juured meile ei sobi. 16 ruutjuur on 4, võta see juuremärgi alt välja. Saame: 3×4×√3=12×√3

Meie järgmine väljend on negatiivne, s.t. kirjutatud miinusmärgiga -4×√(27.) Faktooring 27. Saame 27 = 3 × 9. Murdtegureid me ei kasuta, sest ruutjuurt on murrudest keerulisem arvutada. Märgi alt võtame välja 9, st. arvutage ruutjuur. Saame järgmise avaldise: -4×3×√3 = -12×√3

Järgmine liige √128 arvutab juure alt väljavõetava osa. 128=64×2 kus √64=8. Kui see muudab teie jaoks lihtsamaks, saate seda avaldist esitada järgmiselt: √128=√(8^2×2)

Kirjutame avaldise ümber lihtsustatud terminitega:

Nüüd liidame sama radikaalavaldisega numbrid. Erinevate radikaalavaldistega avaldisi ei saa liita ega lahutada. Juurte lisamine nõuab selle reegli järgimist.

Saame järgmise vastuse:

√2=1×√2 - Loodan, et algebras on kombeks selliste elementide väljajätmine teile uudiseks.

Avaldisi saab esitada mitte ainult ruutjuurtega, vaid ka kuup- või n-nda juurtega.

Juurte liitmine ja lahutamine koos erinevad näitajad kraadi, kuid samaväärse radikaali avaldisega, toimub järgmiselt:

Kui meil on avaldis nagu √a+∛b+∜b, siis saame seda avaldist lihtsustada järgmiselt:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Oleme taandanud kaks sarnast liiget juure ühiseks eksponendiks. Siin kasutati juurte omadust, mis ütleb: kui radikaalavaldise astme arv ja juureksponenti arv korrutada sama arvuga, siis selle arvutus jääb muutumatuks.

Märkus: eksponendid lisatakse ainult siis, kui need on korrutatud.

Vaatleme näidet, kus avaldises esinevad murded.

Lahendame selle samm-sammult:

5√8=5*2√2 - võtame väljatõmmatud osa juure alt välja.

Kui juure keha on esindatud murdosaga, siis sageli see murd ei muutu, kui võtta dividendi ja jagaja ruutjuur. Selle tulemusena oleme saavutanud ülalkirjeldatud võrdsuse.

Siin on vastus.

Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et paarisastmelise astendajaga juurt ei eraldata negatiivsetest arvudest. Kui paarisastmeline radikaalavaldis on negatiivne, siis on avaldis lahendamatu.

Juurte lisamine on võimalik ainult siis, kui radikaalavaldised langevad kokku, kuna need on sarnased terminid. Sama kehtib ka erinevuse kohta.

Erinevate arvuliste astendajatega juurte liitmine toimub mõlema termini taandamise teel ühise juurastmeni. See seadus toimib samamoodi nagu murdude liitmisel või lahutamisel ühise nimetajani taandamine.

Kui radikaalavaldis sisaldab astmeni tõstetud arvu, saab seda avaldist lihtsustada eeldusel, et juure ja astendaja vahel on ühine nimetaja.

Korrutise ja murdosa ruutjuur

A ruutjuur on arv, mille ruut on a. Näiteks arvud -5 ja 5 on arvu 25 ruutjuured. See tähendab, et võrrandi x^2=25 juured on arvu 25 ruutjuured. Nüüd peate õppima, kuidas töötada ruutjuuroperatsioon: uurige selle põhiomadusi.

Toote ruutjuur

√(a*b)=√a*√b

Kahe mittenegatiivse arvu korrutise ruutjuur võrdub nende arvude ruutjuurte korrutisega. Näiteks √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Oluline on mõista, et see omadus kehtib ka juhul, kui radikaalavaldis on kolme, nelja jne korrutis. mittenegatiivsed kordajad.

Mõnikord on selle omaduse teine ​​sõnastus. Kui a ja b on mittenegatiivsed arvud, siis kehtib järgmine võrdus: √(a*b) =√a*√b. Nende vahel pole absoluutselt mingit vahet, võib kasutada kas üht või teist sõnastust (kumb on mugavam meeles pidada).

Murru ruutjuur

Kui a>=0 ja b>0, siis on tõene järgmine võrdsus:

√(a/b)=√a/√b.

Näiteks √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Sellel omadusel on ka erinev sõnastus, minu arvates mugavam meeles pidada.
Jagatise ruutjuur võrdub juurte jagatisega.

Väärib märkimist, et need valemid töötavad nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. See tähendab, et vajadusel saame juurte korrutist esindada toote juurena. Sama kehtib ka teise kinnisvara kohta.

Nagu näete, on need omadused väga mugavad ja ma soovin, et liitmiseks ja lahutamiseks oleksid samad omadused:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Kuid kahjuks on sellised omadused kandilised pole juuri, ja nii arvutustes teha ei saa..

• 13. Liiklusristmikelt läbi sõitmine 2018 kommentaaridega veebis 13.1. Paremale või vasakule pöörates peab juht andma teed jalakäijatele ja jalgratturitele, kes ületavad sõiduteed, millele ta pöörab. See juhend kehtib kõigi […]
• Lastevanemate koosolek"Lapsevanemate õigused, kohustused ja vastutus" Tunni esitlus Lae esitlus alla (536,6 kB) Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki […]
• Piirkondlik emakapital Oreli piirkonnas Regionaalne sünnituspealinn (MK) Orelis ja Oryoli piirkonnas asutati 2011. aastal. Nüüd on see lisameede suurperede sotsiaaltoetuseks ühekordse […]
• Varajase registreerimise ühekordse toetuse suurus 2018. aastal Teie taotletud lehte ei leitud. Võib-olla olete sisestanud vale aadressi või leht on kustutatud. Kasutage […]
• Majandusasjade jurist majandussfäär on üsna lai mõiste. Sellised teod hõlmavad pettusi, ebaseaduslikku äritegevust, rahapesu, ebaseaduslikku pangandust […]
• Keskpanga pressiteenistus Venemaa Föderatsioon(Venemaa Pank) pressiteenistus 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Venemaa Panga välis- ja avalike suhete osakond teatab ajutise valitsuse ametisse nimetamise kohta, et vastavalt lõikele 2 […]
• üldised omadused ja lühiülevaade veeteedest Vesikondade klassifikatsioon Lõbusõidu (väikeste) paatide navigeerimiseks kasutatavate vesikondade klassifitseerimine, mille järelevalvet teostab Venemaa GIMS, viiakse läbi sõltuvalt […]
• Kucherena = Viktor Tsoi advokaat Ja see on eksklusiiv: tänane kiri Anatoli Kucherenalt. Teema jätkuks. Keegi pole seda kirja veel avaldanud. Ja peakski, ma arvan. 1 osa hetkel. Varsti avaldan kuulsa advokaadi allkirjaga teise osa. Miks see oluline on? […]

Juurte liitmine ja lahutamine- üks levinumaid "komistuskivisid" neile, kes võtavad keskkoolis matemaatika (algebra) kursuse. Nende õige liitmise ja lahutamise õppimine on aga väga oluline, sest näited juurte summa või erinevuse kohta sisalduvad Unified põhiprogrammis. Riigieksam erialal "matemaatika".

Selliste näidete lahenduse valdamiseks on teil vaja kahte asja - reeglite mõistmist ja praktikat. Olles lahendanud ühe või kaks tosinat tüüpilist näidet, viib õpilane selle oskuse automatismi ja siis pole tal eksamil midagi karta. Aritmeetiliste tehtete valdamist on soovitatav alustada liitmisest, sest nende liitmine on veidi lihtsam kui lahutamine.

Kõige lihtsam on seda selgitada ruutjuure näitega. Matemaatikas on väljakujunenud mõiste "ruut". "Ruut" tähendab kindla arvu endaga ühekordset korrutamist.. Näiteks kui panete ruudu 2, saate 4. Kui panete ruutu 7, saate 49. Ruut 9 on 81. Seega on 4 ruutjuur 2, 49 on 7 ja 81 ruut on 9.

Selle teema õpetamine matemaatikas algab reeglina ruutjuurtest. Et see kohe kindlaks teha, õpilane Keskkool peab teadma peast korrutustabelit. Kes seda tabelit hästi ei tunne, peab kasutama vihjeid. Tavaliselt on arvust juurruudu eraldamise protsess toodud tabelina paljude kaantel kooli vihikud matemaatika.

Juured on järgmist tüüpi:

• ruut;
• kuubik (või nn kolmas aste);
• neljas aste;
• viies aste.

Lisamise reeglid

Tüüpinäite edukaks lahendamiseks tuleb arvestada, et mitte kõik juurarvud saab üksteisega virnastada. Et neid saaks kokku panna, tuleb need ühtseks mustriks viia. Kui see pole võimalik, pole probleemil lahendust. Selliseid probleeme leidub sageli ka matemaatikaõpikutes kui omamoodi lõksu õpilastele.

Lisamine ei ole ülesannetes lubatud, kui radikaalavaldised erinevad üksteisest. Seda saab illustreerida hea näide:

• õpilane seisab silmitsi ülesandega: liita ruutjuur 4-st ja 9-st;
• kogenematu õpilane, reeglite tundmine, kirjutab tavaliselt: "ruutjuur 4-st + juur 9-st \u003d juur 13-st."
• on väga lihtne tõestada, et selline lahendusviis on vale. Selleks tuleb leida ruutjuur 13-st ja kontrollida, kas näide on õigesti lahendatud;
• kasutades mikrokalkulaatorit, saate kindlaks teha, et see on ligikaudu 3,6. Nüüd jääb üle lahendust kontrollida;
• juur 4=2 ja 9=3;
• Kahe ja kolme summa on viis. Seega võib seda lahendusalgoritmi pidada valeks.

Kui juurtel on sama aste, kuid erinevad numbrilised avaldised, võetakse see sulgudest välja ja kahe radikaalavaldise summa. Seega on see sellest summast juba välja võetud.

Lisamise algoritm

Lihtsaima probleemi õigeks lahendamiseks on vaja:

1. Määrake, mis täpselt lisamist vajab.
2. Uurige, kas matemaatikas kehtivatest reeglitest juhindudes on võimalik üksteisele väärtusi lisada.
3. Kui neid ei saa lisada, peate need muutma nii, et neid saaks lisada.
4. Pärast kõigi vajalike teisenduste tegemist on vaja liita ja valmis vastus üles kirjutada. Lisamine võib toimuda mõtteliselt või kalkulaatoriga, olenevalt näite keerukusest.

Mis on sarnased juured

Lisanäite õigeks lahendamiseks tuleb ennekõike mõelda, kuidas seda lihtsustada. Selleks peavad teil olema algteadmised, mis on sarnasus.

Võimalus tuvastada sarnaseid, aitab kiiresti lahendada sama tüüpi liitmisnäiteid, viies need lihtsustatud kujule. Tüüpilise lisamise näite lihtsustamiseks peate:

1. Leidke sarnased ja jagage need ühte rühma (või mitmesse rühma).
2. Kirjutage olemasolev näide ümber nii, et sama näitajaga juured järgneksid selgelt üksteisele (seda nimetatakse "rühmitamiseks").
3. Järgmiseks tuleks avaldis uuesti kirjutada, seekord nii, et sarnased (millel on sama näitaja ja sama tüvikuju) järgneksid ka üksteisele.

Pärast seda on lihtsustatud näidet tavaliselt lihtne lahendada.

Mis tahes lisamise näite õigeks lahendamiseks peate selgelt mõistma liitmise põhireegleid ning teadma ka, mis on juur ja kuidas see juhtub.

Mõnikord tunduvad sellised ülesanded esmapilgul väga keerulised, kuid tavaliselt on need sarnased rühmitades hõlpsasti lahendatavad. Kõige tähtsam on harjutamine ja siis hakkab õpilane "ülesandeid nagu pähklid klõpsima". Juurte liitmine on matemaatika üks olulisemaid harusid, mistõttu peaksid õpetajad eraldama selle õppimiseks piisavalt aega.

Video

See video aitab teil ruutjuurtega võrrandeid mõista.

Arvu juurt on kõige lihtsam lahutada kalkulaatori abil. Kuid kui teil pole kalkulaatorit, peate teadma ruutjuure arvutamise algoritmi. Fakt on see, et arv ruudus asub juure all. Näiteks 4 ruut on 16. See tähendab, et 16 ruutjuur võrdub neljaga. Samuti on 5 ruudus 25. Seetõttu on 25 juur 5. Ja nii edasi.

Kui arv on väike, saab seda hõlpsasti verbaalselt lahutada, näiteks 25 juur on 5 ja juur 144-12. Kalkulaatoril saab ka arvutada, seal on spetsiaalne juurikoon, tuleb number sisse sõita ja ikoonile vajutada.

Ruutjuure tabel aitab ka:

On ka teisi viise, mis on keerulisemad, kuid väga tõhusad:

Mis tahes arvu juure saab kalkulaatori abil lahutada, eriti kuna need on tänapäeval igas telefonis.

Võite proovida umbkaudselt välja mõelda, kuidas antud arv võib välja tulla, korrutades ühe arvu endaga.



Arvu ruutjuure arvutamine pole keeruline, eriti kui on olemas spetsiaalne tabel. Algebratundidest tuntud tabel. Sellist toimingut nimetatakse arvu a ruutjuure võtmiseks, teisisõnu võrrandi lahendamiseks. Peaaegu kõigil nutitelefonide kalkulaatoritel on ruutjuure funktsioon.



Teadaoleva arvu ruutjuure eraldamise tulemuseks on teine ​​arv, mis teise astmeni (ruut) tõstes annab sama arvu, mida me teame. Mõelge ühele asulate kirjeldusele, mis tundub lühike ja arusaadav:







Siin on video sellel teemal:

Arvu ruutjuure arvutamiseks on mitu võimalust.

Kõige populaarsem viis on kasutada spetsiaalset juurtabelit (vt allpool).

Samuti on igal kalkulaatoril funktsioon, mille abil leiad juure.

Või kasutades spetsiaalset valemit.



Arvu ruutjuure eraldamiseks on mitu võimalust. Üks neist on kiireim, kasutades kalkulaatorit.

Kuid kui kalkulaatorit pole, saate seda käsitsi teha.

Tulemus saab olema täpne.

Põhimõte on peaaegu sama, mis veeruga jagamisel:



















Proovime ilma kalkulaatorita leida arvu ruutjuure väärtuse, näiteks 190969.







Seega on kõik äärmiselt lihtne. Arvutustes on peamine kinni pidada teatud lihtsad reeglid ja mõtle loogiliselt.

Selleks vajate ruutude tabelit



Näiteks 100 juur = 10, 20 = 400 43-st = 1849

Nüüd saavad peaaegu kõik kalkulaatorid, sealhulgas nutitelefonides olevad, arvutada arvu ruutjuure. AGA kui teil pole kalkulaatorit, saate numbri juure leida mitmel lihtsal viisil:

Peamine faktoriseerimine



Tegutsege juurarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt juurnumbrist saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Arvu tegurid, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutnumbrid. Esiteks proovige juurarv ruututeguriteks faktoriseerida.

Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, mis on ruutarv, mis jagub 25-ga. Jagades 400 25-ga, saad 16, mis on samuti ruutnumber. Seega saab 400 arvestada ruutteguriteks 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.

Kirjutage see üles järgmiselt: 400 = (25 x 16).



Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, st (a x b) = a x b. Seda reeglit kasutades võtke iga ruutteguri ruutjuur ja vastuse leidmiseks korrutage saadud tulemused.

Meie näites võtke 25 ja 16 ruutjuur.



Kui radikaalarv ei lagune kaheks ruudu kordaja(mis juhtub enamasti), ei leia te täpset vastust täisarvuna. Kuid saate probleemi lihtsustada, kui jagate juurarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja hariliku teguri juure.

Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kahe ruutteguriga, kuid selle saab arvestada järgmiste teguritega: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:



Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda ruutjuurte väärtustega, mis on juurarvule kõige lähemal (mõlemal pool arvujoont). Saate juure väärtuse kui kümnendmurd, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.

Läheme tagasi meie näite juurde. Juurearv on 3. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 1 (1 = 1) ja 4 (4 = 2). Seega on 3 väärtus vahemikus 1 kuni 2. Kuna 3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: 3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgi numbriga: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Kui teete arvutused kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.

See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Näiteks kaaluge 35. Juurearv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on 25 (25 = 5) ja 36 (36 = 6). Seega on väärtus 35 vahemikus 5 kuni 6. Kuna väärtus 35 on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on vaid 1 väiksem kui 36), siis võime öelda, et 35 on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatorist kontrollides saab meile vastus 5,92 - meil oli õigus.



Teine võimalus on juurarvu faktoriseerimine algteguriteks. Arvu algtegurid, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid ritta ja leidke identsete tegurite paarid. Selliseid tegureid saab juure märgist välja võtta.

Näiteks arvutage ruutjuur 45-st. Jagame juurarvu algteguriteks: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Seega 45 \u003d (3 x 3 x 5). Juuremärgist saab välja võtta 3: 45 = 35. Nüüd saame hinnata 5.

Mõelge veel ühele näitele: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Teil on kolm kordajat 2; võta paar tükki ja võta juure märgist välja.

2(2 x 11) = 22 x 11. Nüüd saad hinnata 2 ja 11 ning leida ligikaudse vastuse.

Abiks võib olla ka see õppevideo:

Numbri juure eraldamiseks peaksite kasutama kalkulaatorit või kui sobivat pole, soovitan teil minna sellele saidile ja lahendada probleem kasutades Interneti-kalkulaator, mis annab sekunditega õige väärtuse.