Selle abiga Interneti-kalkulaator leidke nurk joonte vahel. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Joontevahelise nurga arvutamiseks määrake mõõde (2-kui sirgjoont vaadeldakse tasapinnal, 3- kui sirgjoont vaadeldakse ruumis), sisestage võrrandi elemendid lahtritesse ja klõpsake nuppu " Lahenda" nuppu. Vaata teoreetilist osa allpool.

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhend. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendarvudena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täisarvud või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

1. Tasapinna sirgetevaheline nurk

Sirged on antud kanooniliste võrranditega

1.1. Joontevahelise nurga määramine

Laske jooned kahemõõtmelisse ruumi L 1 ja L

Seega võib valemist (1.4) leida sirgetevahelise nurga L 1 ja L 2. Nagu on näha jooniselt 1, moodustavad ristuvad jooned külgnevaid nurki φ Ja φ 1 . Kui leitud nurk on suurem kui 90°, siis leiad minimaalse nurga joonte vahel L 1 ja L 2: φ 1 =180-φ .

Valemist (1.4) saab tuletada kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused.

Näide 1. Määrake sirgete vaheline nurk

Lihtsustame ja lahendame:

1.2. Paralleelsete joonte seisund

Lase φ =0. Siis cosφ=1. Sel juhul on avaldis (1.4) järgmine:

,

,

Näide 2. Tehke kindlaks, kas sirged on paralleelsed

Võrdsus (1.9) on täidetud, seega sirged (1.10) ja (1.11) on paralleelsed.

Vastus. Sirged (1.10) ja (1.11) on paralleelsed.

1.3. Joonte perpendikulaarsuse tingimus

Lase φ =90°. Siis cosφ=0. Sel juhul on avaldis (1.4) järgmine:

Näide 3. Määrake, kas sirged on risti

Tingimus (1.13) on täidetud, seega sirged (1.14) ja (1.15) on risti.

Vastus. Sirged (1.14) ja (1.15) on risti.

Sirged jooned on antud üldvõrranditega

1.4. Joontevahelise nurga määramine

Las kaks rida L 1 ja L 2 on antud üldvõrranditega

Kahe vektori skalaarkorrutise definitsioonist saame:

Näide 4. Leidke sirgetevaheline nurk

Väärtuste asendamine A 1 , B 1 , A 2 , B 2 tolli (1,23), saame:

See nurk on suurem kui 90°. Leidke minimaalne nurk joonte vahel. Selleks lahutage see nurk 180-st:

Teisest küljest paralleelsete joonte tingimus L 1 ja L 2 on samaväärne kollineaarsete vektorite tingimusega n 1 ja n 2 ja seda saab esitada järgmiselt:

Võrdsus (1.24) on täidetud, seega sirged (1.26) ja (1.27) on paralleelsed.

Vastus. Sirged (1.26) ja (1.27) on paralleelsed.

1.6. Joonte perpendikulaarsuse tingimus

Joonte perpendikulaarsuse tingimus L 1 ja L 2 saab ekstraheerida valemist (1.20) asendades cos(φ )=0. Seejärel skalaarkorrutis ( n 1 ,n 2) = 0. Kus

Võrdsus (1.28) on täidetud, seega sirged (1.29) ja (1.30) on risti.

Vastus. Sirged (1.29) ja (1.30) on risti.

2. Ruumijoontevaheline nurk

2.1. Joontevahelise nurga määramine

Laske jooned ruumi L 1 ja L 2 on antud kanooniliste võrranditega

kus | q 1 | ja | q 2 | suunavektori moodulid q 1 ja q 2 vastavalt, φ -vektoritevaheline nurk q 1 ja q 2 .

Avaldisest (2.3) saame:

.

Lihtsustame ja lahendame:

.

Otsime nurga üles φ

Olgu jooned antud ruumis l Ja m. Läbi ruumi mingi punkti A tõmbame sirgjooned l 1 || l Ja m 1 || m(joonis 138).

Pange tähele, et punkti A saab valida suvaliselt, eelkõige võib see asuda ühel antud sirgel. Kui sirge l Ja m lõikuvad, siis A võib võtta nende sirgete lõikepunktiks ( l 1 =l Ja m 1 = m).

Nurk mitteparalleelsete joonte vahel l Ja m on ristuvate sirgjoonte poolt moodustatud külgnevatest nurkadest väikseima väärtus l 1 Ja m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Eeldatakse, et paralleelsete joonte vaheline nurk on null.

Nurk ridade vahel l Ja m tähistatakse \(\widehat((l;m)) \). Definitsioonist järeldub, et kui seda mõõdetakse kraadides, siis 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° ja kui radiaanides, siis 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Ülesanne. Antakse kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (joonis 139).

Leidke nurk sirgete AB ja DC 1 vahel.

Sirge AB ja DC 1 ristmik. Kuna sirge DC on paralleelne sirgega AB, siis sirgete AB ja DC 1 vaheline nurk on definitsiooni kohaselt võrdne \(\widehat(C_(1)DC)\).

Seega \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Otsene l Ja m helistas risti, kui \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Näiteks kuubis

Joontevahelise nurga arvutamine.

Kahe sirge vahelise nurga arvutamise ülesanne ruumis lahendatakse samamoodi nagu tasapinnal. Tähistame φ-ga joonte vahelist nurka l 1 Ja l 2 , ja läbi ψ - suunavektorite vaheline nurk A Ja b need sirged jooned.

Siis kui

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (joonis 206.6), siis φ = 180° - ψ. On ilmne, et mõlemal juhul on tõene võrdsus cos φ = |cos ψ|. Vastavalt valemile (nullist erineva vektorite a ja b vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutisega jagatuna nende pikkuste korrutisega) saame

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

seega,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Olgu sirged antud nende kanooniliste võrranditega

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Ja \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Seejärel määratakse joonte vaheline nurk φ valemi abil

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Kui üks sirgetest (või mõlemad) on antud mittekanooniliste võrranditega, tuleb nurga arvutamiseks leida nende joonte suunavektorite koordinaadid ja seejärel kasutada valemit (1).

Ülesanne 1. Arvutage ridadevaheline nurk

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ja\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Sirgete suunavektoritel on koordinaadid:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Valemi (1) järgi leiame

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 60°.

2. ülesanne. Arvutage ridadevaheline nurk

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) ja \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(juhtumid) $$

Juhtvektori taga A võta esimene rida vektorprodukt normaalvektorid n 1 = (3; 0; -12) ja n 2 = (1; 1; -3) seda sirget määratlevad tasapinnad. Valemiga \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) saame

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Samamoodi leiame teise sirge suunavektori:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Kuid valem (1) arvutab soovitud nurga koosinuse:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Seetõttu on nende joonte vaheline nurk 90°.

3. ülesanne. Kolmnurkpüramiidis MAVS on servad MA, MB ja MC üksteisega risti, (joon. 207);

nende pikkused on vastavalt 4, 3, 6. Punkt D on keskmine [MA]. Leidke nurk φ sirgete CA ja DB vahel.

Olgu SA ja DB sirgete SA ja DB suunavektorid.

Võtame koordinaatide alguspunktiks punkti M. Ülesande tingimuse järgi on meil A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Seetõttu \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Kasutame valemit (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Koosinuste tabeli järgi leiame, et sirgjoonte CA ja DB vaheline nurk on ligikaudu 72 °.

Igal matemaatikaeksamiks valmistuval õpilasel on kasulik korrata teemat “Joondevahelise nurga leidmine”. Nagu näitab statistika, tekitavad selle stereomeetria sektsiooni ülesanded atesteerimistesti sooritamisel raskusi paljudele õpilastele. Samas leidub USE-s nii põhi- kui ka sirgete vahelise nurga leidmist nõudvaid ülesandeid profiili tase. See tähendab, et igaüks peaks suutma need lahendada.

Põhilised hetked

Ruumis on 4 joonte vastastikust paigutust. Need võivad kokku langeda, ristuda, olla paralleelsed või ristuvad. Nende vaheline nurk võib olla terav või sirge.

Ühtse riigieksami või näiteks lahenduse joonte vahelise nurga leidmiseks saavad Moskva ja teiste linnade koolilapsed selles stereomeetria jaotises probleemide lahendamiseks kasutada mitmeid meetodeid. Ülesande saate täita klassikaliste konstruktsioonide abil. Selleks tasub selgeks õppida stereomeetria põhiaksioomid ja teoreemid. Õpilane peab oskama loogiliselt üles ehitada arutluskäiku ja koostada jooniseid, et viia ülesanne planimeetrilise ülesandeni.

Rakendades saate kasutada ka vektorkoordinaatide meetodit lihtsad valemid, reeglid ja algoritmid. Peamine asi on sel juhul kõigi arvutuste korrektne sooritamine. Lihvige oma probleemide lahendamise oskusi stereomeetrias ja muudel teemadel koolikursus aitab sind haridusprojekt"Školkovo".

A. Olgu antud kaks joont Need jooned, nagu 1. peatükis märgitud, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektorite projektsioonid.Nurk nende vektorite vahel on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu on ülesanne taandatud vektorite vahelise nurga määramisele, saame

Lihtsuse huvides võime terava positiivse nurga mõistmiseks kokku leppida kahe sirge vahelise nurga (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel saadakse miinusmärk, tuleb see kõrvale jätta, st jätta alles ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake ridade vaheline nurk

Valemi (1) järgi on meil

Koos. Kui on näidatud, milline nurga külgedest on selle algus ja milline on selle lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemitest (1) veel midagi välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 valemi (1) paremal küljel saadud märk näitab, milline nurk - terav või nüri - moodustab teise joone esimesega.

(Tõepoolest, jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud joontevahelise nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on vajalik ja piisav tingimus, et kaks sirget oleksid paralleelsed.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

risti, sest

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage läbi punkti antud sirgega paralleelne sirge

Otsus tehakse nii. Kuna soovitud sirge on paralleelne etteantud sirgega, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand. kujul (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirgjoone võrrand

on järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta vektorit projektsioonidega A ja suunavaks vektoriks, vaid tuleb võita vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt tingimusele, et mõlemad vektorid on risti, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lõpmatul arvul viisidel, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga. Aga kõige lihtsam on see võtta. Siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand kujul

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

on järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega

Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2 . Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem. Sirged Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB on proportsionaalsed. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Läbiva sirge võrrand antud punkt

Selle joonega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv ja sirgega y \u003d kx + b risti kulgev sirge on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Võrrandisüsteemi lahendusena võib leida koordinaadid x 1 ja y 1:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirgjoone võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.

Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrand. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kahte punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge kalle määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A Ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaldevõrranditega on antud kaks sirget

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese sirge kalle teise sirge kaldest.

Kui sirge võrrandid on antud üldine vaade

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, siis vajalik ja piisav seisukord nende paralleelsus seisneb nende nurkkoefitsientide võrdsuses:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et koefitsiendid vastavatel voolukoordinaatidel nende võrrandites on võrdelised, s.t.

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende kalded on suuruselt pöördsuurused ja vastasmärgilised, s.t.

Selle tingimuse võib kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) on võrdsuse täitmine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine ​​risti antud sirgega l.