Ha a feladatban el kell végezni az f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 függvény teljes tanulmányozását a grafikonjának felépítésével, akkor ezt az elvet részletesen megvizsgáljuk.

Egy ilyen típusú probléma megoldásához a fő elemi függvények tulajdonságait és grafikonjait kell használni. A kutatási algoritmus a következő lépéseket tartalmazza:

A definíciós tartomány megtalálása

Mivel a kutatás a függvény területén folyik, ezzel a lépéssel kell kezdeni.

1. példa

Az adott példa a nevező nulláit keresi, hogy kizárja őket a DPV-ből.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ennek eredményeként gyököket, logaritmusokat és így tovább kaphat. Ezután az ODZ-ben kereshető a gyökér páros fokozat g (x) 4 típusú g (x) ≥ 0 egyenlőtlenséggel, log a g (x) logaritmus esetén a g (x) > 0 egyenlőtlenséggel.

ODZ határok vizsgálata és vertikális aszimptoták keresése

Függőleges aszimptoták vannak a függvény határain, amikor az ilyen pontokban az egyoldali határok végtelenek.

2. példa

Tekintsük például az x = ± 1 2 határpontokat.

Ezután tanulmányozni kell a függvényt, hogy megtaláljuk az egyoldalú határértéket. Ekkor azt kapjuk, hogy: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = határ x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ez azt mutatja, hogy az egyoldali határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy az x = ± 1 2 egyenesek a gráf függőleges aszimptotái.

A függvény vizsgálata páros vagy páratlan esetén

Ha az y (- x) = y (x) feltétel teljesül, a függvényt párosnak tekintjük. Ez arra utal, hogy a gráf szimmetrikusan helyezkedik el O y-hoz képest. Ha az y (- x) = - y (x) feltétel teljesül, a függvényt páratlannak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a szimmetria a koordináták origójához tartozik. Ha legalább egy egyenlőtlenség meghiúsul, általános forma függvényt kapunk.

Az y (- x) = y (x) egyenlőség teljesülése azt jelzi, hogy a függvény páros. A konstrukciónál figyelembe kell venni, hogy O y-hoz képest szimmetria lesz.

Az egyenlőtlenség megoldására növekedési és csökkenési intervallumokat használunk f "(x) ≥ 0 és f" (x) ≤ 0 feltételekkel.

1. definíció

Stacionárius pontok pontok, amelyek a deriváltot nullára fordítják.

Kritikus pontok olyan belső pontok a tartományból, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik.

A döntés meghozatalakor a következő szempontokat kell figyelembe venni:

• az f "(x) > 0 alakú egyenlőtlenség meglévő növekedési és csökkenési intervallumaira a kritikus pontokat nem tartalmazza a megoldás;
• azokat a pontokat, ahol a függvény véges derivált nélkül definiálunk, bele kell foglalni a növekedési és csökkenési intervallumokba (például y \u003d x 3, ahol az x \u003d 0 pont határozza meg a függvényt, a derivált értéke végtelen ezen a ponton y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 benne van a növekedési intervallumban);
• a nézeteltérések elkerülése érdekében az Oktatási Minisztérium által javasolt matematikai szakirodalom használata javasolt.

Kritikus pontok felvétele a növekedési és csökkenési intervallumokba abban az esetben, ha kielégítik a függvény tartományát.

2. definíció

Mert a függvény növekedési és csökkenési intervallumainak meghatározásakor meg kell találni:

• derivált;
• kritikus pontok;
• a definíciós tartományt a kritikus pontok segítségével intervallumokra bontani;
• határozzuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokban, ahol + a növekedés és - a csökkenés.

3. példa

Keresse meg az f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) tartomány deriváltját 2.

Megoldás

A megoldáshoz szüksége van:

• stacionárius pontok keresése, ebben a példában x = 0 ;
• keresse meg a nevező nulláit, a példa a nulla értéket veszi fel x = ± 1 2 -nél.

A numerikus tengely pontjait feltesszük, hogy meghatározzuk az egyes intervallumok deriváltját. Ehhez elegendő bármely pontot kivenni az intervallumból, és számítást végezni. Ha az eredmény pozitív, akkor a grafikonon a +-t rajzoljuk, ami a függvény növekedését, a - pedig a csökkenését jelenti.

Például f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ami azt jelenti, hogy a bal oldali első intervallumnak + jele van. Vegye figyelembe a számot vonal.

Válasz:

• a - ∞ intervallumon a függvény növekedése tapasztalható; - 1 2 és (- 1 2 ; 0 ] ;
• az intervallum csökkenése [0; 1 2) és 1 2; +∞ .

Az ábrán a + és - használatával a függvény pozitivitása és negativitása látható, a nyilak pedig csökkenő és növekszik.

A függvény szélsőpontjai azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és amelyeken keresztül a derivált előjelet vált.

4. példa

Ha egy példát veszünk figyelembe, ahol x \u003d 0, akkor a benne lévő függvény értéke f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Amikor a derivált előjele +-ról -ra változik, és áthalad az x \u003d 0 ponton, akkor a (0; 0) koordinátákkal rendelkező pontot tekintjük a maximális pontnak. Ha a jelet -ról +-ra változtatjuk, akkor a minimum pontot kapjuk.

A konvexitást és a konkávitást az f "" (x) ≥ 0 és f "" (x) ≤ 0 alakú egyenlőtlenségek megoldásával határozzuk meg. Ritkábban használják a homorúság helyett a kidudorodó, a kidudorodás helyett a kidudorodást.

3. definíció

Mert a homorúság és a domborúság hézagainak meghatározása szükséges:

• keresse meg a második származékot;
• keresse meg a második derivált függvényének nulláit;
• szakítsa meg a definíciós tartományt az intervallumokra megjelenő pontokkal;
• határozza meg a rés előjelét.

5. példa

Keresse meg a definíciós tartomány második deriváltját.

Megoldás

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Megtaláljuk a számláló és a nevező nulláit, ahol példánkkal azt kapjuk, hogy az x nevező nullái = ± 1 2

Most pontokat kell feltennie a számegyenesre, és meg kell határoznia a második derivált előjelét minden intervallumból. Ezt értjük

Válasz:

• a függvény konvex a - 1 2 intervallumból; 12;
• a függvény konkáv a résekből - ∞ ; - 1 2 és 1 2 ; +∞ .

4. definíció

inflexiós pont egy x 0 alakú pont; f(x0) . Ha van érintője a függvény grafikonjához, akkor amikor áthalad x 0-n, a függvény előjelét az ellenkezőjére váltja.

Más szóval, ez egy olyan pont, amelyen a második derivált áthalad és előjelet vált, és magukban a pontokban egyenlő nullával, vagy nem létezik. Minden pontot a függvény tartományának tekintünk.

A példában látható volt, hogy nincsenek inflexiós pontok, mivel a második derivált az x = ± 1 2 pontokon áthaladva előjelet változtat. Ők viszont nem tartoznak a definíció tartományába.

Vízszintes és ferde aszimptoták keresése

Ha egy függvényt végtelenben határozunk meg, akkor vízszintes és ferde aszimptotákat kell keresni.

5. definíció

Ferde aszimptoták egyenes vonalak ábrázolják egyenlet adja meg y = k x + b , ahol k = lim x → ∞ f (x) x és b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Ha k = 0 és b nem egyenlő a végtelennel, azt találjuk, hogy a ferde aszimptota lesz vízszintes.

Más szóval, az aszimptoták azok a vonalak, amelyeket a függvény grafikonja a végtelenben közelít. Ez hozzájárul a függvény grafikonjának gyors felépítéséhez.

Ha nincsenek aszimptoták, de a függvény mindkét végtelenben definiálva van, akkor ki kell számítani a függvény határát ezeken a végteleneken, hogy megértsük, hogyan fog viselkedni a függvény grafikonja.

6. példa

Példaként vegyük ezt figyelembe

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

vízszintes aszimptota. A funkció kutatása után elkezdheti felépíteni.

Függvény értékének kiszámítása köztes pontokban

A legpontosabb ábrázolás érdekében ajánlatos a függvény több értékét megkeresni a közbenső pontokban.

7. példa

Az általunk vizsgált példából meg kell találni a függvény értékeit az x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 pontokban. Mivel a függvény páros, azt kapjuk, hogy az értékek egybeesnek az ezekben a pontokban lévő értékekkel, azaz x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Írjuk és oldjuk meg:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

A függvény maximumának és minimumának, inflexiós pontjainak, köztes pontjainak meghatározásához aszimptoták felépítése szükséges. A kényelmes kijelölés érdekében a növekedés, csökkenés, konvexitás, homorúság intervallumait rögzítik. Tekintsük az alábbi ábrát.

A megjelölt pontokon át kell rajzolni a grafikonvonalakat, amelyek segítségével a nyilak követésével közelebb kerülhetsz az aszimptotákhoz.

Ezzel a függvény teljes tanulmányozása véget ért. Vannak olyan esetek, amikor néhány elemi függvényt készítenek, amelyekhez geometriai transzformációkat használnak.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Egy ideje a TheBatben (nem világos, hogy mi okból) az SSL beépített tanúsítványadatbázisa nem működik megfelelően.

A bejegyzés ellenőrzésekor hibaüzenet jelenik meg:

Ismeretlen CA-tanúsítvány
A kiszolgáló nem mutatott be gyökértanúsítványt a munkamenetben, és a megfelelő gyökértanúsítvány nem található a címjegyzékben.
Ez a kapcsolat nem lehet titkos. Kérem
forduljon a szerver rendszergazdájához.

És a válaszok közül választhat - IGEN / NEM. És így minden alkalommal, amikor levelet küld.

Megoldás

Ebben az esetben le kell cserélnie az S/MIME és TLS implementációs szabványt Microsoft CryptoAPI-ra a TheBat-ban!

Mivel az összes fájlt egybe kellett egyesítenem, először mindent konvertáltam doc fájlokat egyetlenbe pdf fájl(az Acrobat programmal), majd egy online konverteren keresztül átviszik az fb2-re. A fájlokat egyenként is konvertálhatja. A formátumok teljesen bármilyenek lehetnek (forrás) és doc, és jpg, sőt zip archívum is!

Az oldal neve megfelel a lényegnek:) Online Photoshop.

Frissítés 2015. május

Találtam még egy szuper oldalt! Még kényelmesebb és funkcionálisabb egy teljesen önkényes kollázs létrehozásához! Ez az oldal http://www.fotor.com/ru/collage/. Használja egészségre. És én magam is használni fogom.

Életében szembesült az elektromos tűzhelyek javításával. Sok mindent csináltam már, sokat tanultam, de valahogy kevés közöm volt a csempéhez. Cserélni kellett az érintkezőket a szabályozókon és az égőkön. Felmerült a kérdés - hogyan lehet meghatározni az égő átmérőjét az elektromos tűzhelyen?

A válasz egyszerűnek bizonyult. Nem kell semmit mérni, nyugodtan meghatározhatod szemmel, hogy milyen méretre van szükséged.

A legkisebb égő 145 milliméter (14,5 centiméter)

Közepes égő 180 milliméter (18 centiméter).

És végül a legtöbb nagy égő 225 milliméter (22,5 centiméter).

Elég, ha szemmel határozza meg a méretet, és megérti, milyen átmérőjű égőre van szüksége. Amikor ezt nem tudtam, szárnyaltam ezekkel a méretekkel, nem tudtam, hogyan kell mérni, melyik szélen kell navigálni stb. Most okoskodtam :) Remélem neked is segített!

Életem során szembesültem egy ilyen problémával. Azt hiszem, nem én vagyok az egyetlen.

Resebnik Kuznyecov.
III Grafikonok

7. feladat Végezze el a függvény teljes tanulmányozását, és készítse el grafikonját!

        Mielőtt elkezdené a beállítások letöltését, próbálja meg megoldani a problémát a 3. lehetőség alábbi mintája szerint. Egyes opciók .rar formátumban vannak archiválva

        7.3 Végezze el a függvény teljes tanulmányozását és ábrázolja azt

Megoldás.

        1) Hatály:         vagy         azaz        .
.
Így:         .

        2) Nincsenek metszéspontok az Ox tengellyel. Valójában az         egyenletnek nincs megoldása.
Nincsenek metszéspontok az Oy tengellyel, mert        .

        3) Funkció se páros, se páratlan. Nincs szimmetria az y tengely körül. Az eredet tekintetében sincs szimmetria. Mert
.
Azt látjuk, hogy         és        .

        4) A függvény folyamatos a tartományban
.

; .

; .
Ezért az         pont a második típusú szakadási pont (végtelen folytonossági hiány).

5) Függőleges aszimptoták:       

Keresse meg a ferde aszimptotát        . Itt

;
.
Ezért van egy vízszintes aszimptotánk: y=0. Nincsenek ferde aszimptoták.

        6) Keresse meg az első származékot. Első származék:
.
És ezért
.
Keressünk olyan stacionárius pontokat, ahol a derivált egyenlő nullával, azaz
.

        7) Keresse meg a második származékot. Második származék:
.
És ezt könnyű ellenőrizni, hiszen

Hogyan vizsgálhatunk egy függvényt és ábrázolhatjuk a grafikonját?

Úgy tűnik, kezdem megérteni a világproletariátus vezetőjének, az 55 kötetben összegyűjtött művek szerzőjének lelkes arcát. A hosszú utazás alapvető információkkal kezdődött függvények és grafikonok, és most egy fáradságos témán végzett munka természetes eredménnyel – egy cikkel – zárul a teljes funkciótanulmányról. A régóta várt feladat a következőképpen fogalmazódik meg:

Vizsgálja meg a függvényt differenciálszámítás módszereivel, és a vizsgálat eredményei alapján készítse el a grafikonját

Vagy röviden: vizsgálja meg a függvényt és ábrázolja.

Miért fedezze fel? Egyszerű esetekben nem lesz nehéz megbirkózni vele elemi függvények segítségével kapott grafikont rajzoljon elemi geometriai transzformációk stb. A tulajdonságok és a grafika azonban több összetett funkciók messze nem nyilvánvalóak, ezért van szükség egy teljes tanulmányra.

A megoldás főbb lépéseit a referenciaanyag foglalja össze Funkciótanulmányi séma, ez a szakasz útmutatója. A báboknak lépésről lépésre a téma magyarázatára van szükségük, az olvasók egy része nem tudja, hol kezdje el és hogyan szervezze meg a tanulást, a haladókat pedig csak néhány pont érdekli. De bárki is vagy, kedves látogató, a javasolt összefoglaló a különböző leckékre mutat rá a legrövidebb idő eligazítja és elvezeti az érdeklődési irányába. Könnyet hullattak a robotok =) A kézikönyv pdf fájl formájában készült és elfoglalta az őt megillető helyet az oldalon Matematikai képletek és táblázatok.

A függvény tanulmányozását 5-6 pontra bontottam:

6) További pontok és grafikon a vizsgálat eredményei alapján.

Ami a végső műveletet illeti, azt hiszem, mindenki mindent ért – nagyon kiábrándító lesz, ha pillanatok alatt áthúzzák, és a feladatot visszaküldik felülvizsgálatra. A HELYES ÉS PONTOS RAJZ a megoldás legfőbb eredménye! Nagyon valószínű, hogy "elfedi" az analitikai mulasztásokat, míg a helytelen és/vagy hanyag ütemezés még egy tökéletesen lebonyolított vizsgálat esetén is problémákat okoz.

Megjegyzendő, hogy más forrásokban a kutatási tételek száma, megvalósításuk sorrendje és a tervezés stílusa jelentősen eltérhet az általam javasolt sémától, de a legtöbb esetben ez is elég. A probléma legegyszerűbb változata mindössze 2-3 szakaszból áll, és valahogy így van megfogalmazva: „feltárja a függvényt a derivált és a diagram segítségével” vagy „feltárja a függvényt az 1. és 2. derivált segítségével, ábrázolja”.

Természetesen, ha egy másik algoritmust részletesen elemez a képzési kézikönyv, vagy tanára szigorúan megköveteli, hogy tartsa be az előadásait, akkor néhány módosítást kell végrehajtania a megoldáson. Nem bonyolultabb, mint a villát láncfűrészes kanálra cserélni.

Ellenőrizzük a páros / páratlan függvényt:

Ezt követi egy sablon leiratkozás:
, tehát ez a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Mivel a függvény folyamatos bekapcsolt állapotban van, nincsenek függőleges aszimptoták.

Nincsenek ferde aszimptoták sem.

jegyzet : Emlékeztetlek arra, hogy minél magasabb növekedési sorrend mint , tehát a végső határ pontosan " plusz végtelenség."

Nézzük meg, hogyan viselkedik a függvény a végtelenben:

Vagyis ha jobbra megyünk, akkor végtelenül felfelé megy a grafikon, ha balra, végtelenül lefelé. Igen, két korlát is van alatta egyetlen rekord. Ha nehézségei vannak a jelek megfejtésével, kérjük, látogassa meg a következő leckét végtelenül kicsi függvények.

Tehát a funkció felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott. Figyelembe véve, hogy nincsenek töréspontjaink, világossá válik és funkció tartomány: szintén tetszőleges valós szám.

HASZNOS TECHNIKA

Minden feladatlépés új információt hoz a függvény grafikonjáról, így a megoldás során célszerű egyfajta LAYOUT alkalmazása. Rajzoljunk a vázlatra egy derékszögű koordináta-rendszert. Mi az, ami biztosan ismert? Először is, a gráfnak nincsenek aszimptotái, ezért nincs szükség egyenes vonalak rajzolására. Másodszor, tudjuk, hogyan viselkedik a függvény a végtelenben. Az elemzés alapján levonjuk az első közelítést:

Vegye figyelembe, hogy a gyakorlatban folytonosság be van kapcsolva, és az a tény, hogy a grafikonnak legalább egyszer kereszteznie kell a tengelyt. Vagy talán több metszéspont is van?

3) A függvény nullái és az állandó előjelű intervallumok.

Először keresse meg a grafikon és az y tengellyel való metszéspontját. Ez egyszerű. A függvény értékét akkor kell kiszámítani, ha:

Félig a tengerszint felett.

A tengellyel való metszéspontok (a függvény nullái) megtalálásához meg kell oldani az egyenletet, és itt kellemetlen meglepetés vár ránk:

A végén egy ingyenes tag lappang, ami jelentősen megnehezíti a feladatot.

Egy ilyen egyenletnek legalább egy valós gyöke van, és ez a gyök leggyakrabban irracionális. A legrosszabb tündérmesében három kismalac vár ránk. Az egyenlet az ún Cardano képletei, de a papírkár szinte az egész tanulmányhoz hasonlítható. Ebben a tekintetben bölcsebb szóban vagy tervezetben megpróbálni legalább egyet felvenni egész gyökér. Ellenőrizzük, hogy ezek a számok:
- nem passzol;
- Van!

Itt szerencse. Sikertelenség esetén tesztelni is lehet, és ha ezek a számok nem egyeznek, akkor attól tartok, nagyon kevés esély van az egyenlet jövedelmező megoldására. Akkor jobb, ha teljesen kihagyod a kutatási pontot - talán az utolsó lépésnél kiderül valami, amikor a további pontok áttörnek. És ha a gyökér (gyökerek) egyértelműen „rossz”, akkor jobb, ha szerényen hallgat a jelek állandóságának intervallumairól, és pontosabban befejezi a rajzot.

Viszont van egy szép gyökünk, ezért felosztjuk a polinomot maradék nélkül:

A polinom polinommal való osztásának algoritmusát a lecke első példája részletesen tárgyalja. Összetett határok.

Ennek eredményeként az eredeti egyenlet bal oldala termékké bővül:

És most egy kicsit róla egészséges módonélet. Ezt persze megértem másodfokú egyenletek minden nap meg kell oldani, de ma kivételt teszünk: az egyenletet két igazi gyökere van.

A számegyenesen ábrázoljuk a talált értékeket És intervallum módszer határozza meg a függvény jeleit:


og Így az intervallumokon diagram található
az x tengely alatt és időközönként - e tengely felett.

A kapott eredmények lehetővé teszik az elrendezés finomítását, és a grafikon második közelítése így néz ki:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a függvénynek legalább egy maximummal kell rendelkeznie az intervallumon, és legalább egy minimummal az intervallumon. Azt viszont nem tudjuk, hogy hányszor, hol és mikor „tekerik fel” a menetrend. Egyébként egy függvénynek végtelen sok lehet szélsőségek.

4) A funkció növelése, csökkentése és szélsőségei.

Keressük a kritikus pontokat:

Ennek az egyenletnek két valós gyökere van. Tegyük őket a számegyenesbe, és határozzuk meg a derivált előjeleit:


Ezért a függvény a és -kal csökken.
Amikor a függvény eléri a maximumot: .
Amikor a függvény eléri a minimumát: .

A megállapított tények meglehetősen merev keretek közé szorítják sablonunkat:

Mondanom sem kell, hogy a differenciálszámítás erős dolog. Végül foglalkozzunk a grafikon alakjával:

5) Konvexitás, homorúság és inflexiós pontok.

Keresse meg a második derivált kritikus pontjait:

Határozzuk meg a jeleket:


A függvénygráf konvex -on és konkáv -on. Számítsuk ki az inflexiós pont ordinátáját: .

Majdnem minden letisztult.

6) Továbbra is meg kell találni a további pontokat, amelyek segítenek a grafikon pontosabb felépítésében és az önteszt elvégzésében. Ebben az esetben kevés, de nem hagyjuk figyelmen kívül:

Végezzük el a rajzot:

zöldben az inflexiós pont meg van jelölve, a keresztek további pontokat jelölnek. Menetrend köbös függvény szimmetrikus inflexiós pontjára, amely mindig pontosan középen helyezkedik el a maximum és a minimum között.

A feladat során három hipotetikus köztes rajzot adtam. A gyakorlatban elég felrajzolni egy koordinátarendszert, bejelölni a talált pontokat, és a vizsgálat minden egyes pontja után fejben kitalálni, hogy nézhet ki a függvény grafikonja. Diákok jó szinten Az előkészítés során nem lesz nehéz egy ilyen elemzést kizárólag az elmében elvégezni, vázlat bevonása nélkül.

Mert független megoldás:

2. példa

Fedezze fel a függvényt, és készítsen grafikont.

Itt minden gyorsabb és szórakoztatóbb, hozzávetőleges példa a lecke végén történő befejezésre.

A tört racionális függvények tanulmányozása sok titkot feltár:

3. példa

A differenciálszámítás módszereivel vizsgálja meg a függvényt, és a vizsgálat eredményei alapján készítse el annak grafikonját.

Megoldás: a vizsgálat első szakasza semmiben nem különbözik, kivéve egy lyukat a definíciós területen:

1) A függvény definiált és folytonos a teljes számegyenesen, kivéve a pontot, tartomány: .

, tehát ez a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Nyilvánvaló, hogy a függvény nem periodikus.

A függvény grafikonja két folytonos ágból áll, amelyek a bal és a jobb félsíkban helyezkednek el – ez az 1. bekezdés talán legfontosabb következtetése.

2) Aszimptoták, egy függvény viselkedése a végtelenben.

a) Egyoldalú határértékek segítségével vizsgáljuk a függvény viselkedését a gyanús pont közelében, ahol a függőleges aszimptotának egyértelműen:

Valójában a funkciók tartósak végtelen szakadék azon a ponton
és az egyenes (tengely) az függőleges aszimptota grafikai művészetek.

b) Ellenőrizze, hogy vannak-e ferde aszimptoták:

Igen, a vonal az ferde aszimptota grafika, ha .

Nincs értelme a korlátokat elemezni, hiszen az már világos, hogy a függvény egy ölelésben a ferde aszimptotájával felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

A vizsgálat második pontja sok fontos információt hozott a funkcióról. Készítsünk egy durva vázlatot:

Az 1. következtetés az előjelállandóság intervallumaira vonatkozik. A "mínusz végtelennél" a függvény grafikonja egyértelműen az x tengely alatt, a "plusz végtelennél" pedig e tengely felett helyezkedik el. Ezenkívül az egyoldalú határértékek azt mondták nekünk, hogy a ponttól balra és jobbra egyaránt a függvény nullánál is nagyobb. Vegye figyelembe, hogy a bal félsíkban a grafikonnak legalább egyszer kereszteznie kell az x tengelyt. A jobb oldali félsíkban előfordulhat, hogy a függvénynek nincsenek nullái.

A 2. következtetés az, hogy a függvény a ponton és attól balra nő (alulról felfelé halad). Ettől a ponttól jobbra a funkció csökken (felülről lefelé halad). A gráf jobb oldali ágának minden bizonnyal rendelkeznie kell legalább egy minimummal. A bal oldalon a szélsőségek nem garantáltak.

A 3. számú következtetés megbízható információt ad a gráf konkávitásáról a pont közelében. Konvexitásról/konkavitásról a végtelenben még nem mondhatunk semmit, hiszen a vonal felülről és alulról is rányomható aszimptotájára. Általánosságban elmondható, hogy jelenleg van egy analitikus módszer ennek kiderítésére, de a diagram alakja "semmiért" egy későbbi szakaszban világosabb lesz.

Miért olyan sok szó? A későbbi kutatási pontok ellenőrzése és a hibák elkerülése érdekében! A további számítások nem mondanak ellent a levont következtetéseknek.

3) A grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjai, a függvény konstans előjelének intervallumai.

A függvény grafikonja nem metszi a tengelyt.

Az intervallum módszerrel meghatározzuk a jeleket:

, Ha ;
, Ha .

A bekezdés eredményei teljes mértékben összhangban vannak az 1. következtetéssel. Minden lépés után nézze meg a piszkozatot, gondolja át gondolatban a tanulmányt, és fejezze be a függvény grafikonjának megrajzolását.

Ebben a példában a számlálót tagokra osztja a nevező, ami nagyon előnyös a megkülönböztetés szempontjából:

Valójában ez már megtörtént az aszimptoták megtalálásakor.

- kritikus pont.

Határozzuk meg a jeleket:

-vel nő és ig csökken

Amikor a függvény eléri a minimumát: .

A 2. következtetéssel sem volt eltérés, és nagy valószínűséggel jó úton haladunk.

Ez azt jelenti, hogy a függvény gráfja konkáv a teljes definíciós tartományon.

Kiváló – és nem kell semmit rajzolnia.

Nincsenek inflexiós pontok.

A homorúság összhangban van a 3. következtetéssel, sőt azt jelzi, hogy a végtelenben (ott is, ott is) a függvény grafikonja található magasabb ferde aszimptotája.

6) Lelkiismeretesen további pontokkal rögzítjük a feladatot. Itt keményen kell dolgoznunk, mert csak két pontot tudunk a tanulmányból.

És egy kép, amelyet valószínűleg sokan már régóta bemutatnak:

A megbízás során ügyelni kell arra, hogy a tanulmányi szakaszok között ne legyen ellentmondás, de esetenként sürgős vagy akár kétségbeejtően zsákutcába kerül a helyzet. Itt az analitika „nem konvergál” – és ennyi. Ebben az esetben vészhelyzeti technikát javaslok: keressünk meg minél több pontot a grafikonhoz (mennyi türelem elég), és jelöljük meg Koordináta sík. A talált értékek grafikus elemzése a legtöbb esetben megmondja, hol az igazság és hol a hazugság. Ezenkívül a grafikon előre elkészíthető valamilyen programmal, például ugyanabban az Excelben (egyértelmű, hogy ehhez készségekre van szükség).

4. példa

A differenciálszámítás módszereivel vizsgálja meg a függvényt, és készítse el annak grafikonját.

Ez egy „csináld magad” példa. Ebben az önkontrollt fokozza a függvény paritása - a grafikon szimmetrikus a tengelyre, és ha valami ellentmond a tanulmányában ezt a tényt, keresse a hibát.

Még ill páratlan függvény csak a esetén vizsgálható, majd használja a gráf szimmetriáját. Ez a megoldás optimális, de véleményem szerint nagyon szokatlannak tűnik. Személy szerint a teljes numerikus tengelyt figyelembe veszem, de továbbra is csak a jobb oldalon találok további pontokat:

5. példa

Végezze el a függvény teljes tanulmányozását, és ábrázolja a grafikonját.

Megoldás: erősen rohant:

1) A függvény definiált és folyamatos a teljes valós egyenesen: .

Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páratlan, grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest.

Nyilvánvaló, hogy a függvény nem periodikus.

2) Aszimptoták, egy függvény viselkedése a végtelenben.

Mivel a függvény folyamatos bekapcsolt állapotban van, nincsenek függőleges aszimptoták

Kitevőt tartalmazó függvények esetén jellemzően különálló a "plusz" és a "mínusz végtelen" tanulmányozása, életünket azonban már csak a gráf szimmetriája is megkönnyíti - vagy van aszimptota a bal és a jobb oldalon, vagy nincs. Ezért mindkét végtelen határ egyetlen bejegyzés alá rendezhető. A megoldás során használjuk L'Hopital szabálya:

Az egyenes (tengely) a grafikon vízszintes aszimptotája.

Figyeld meg, milyen ügyesen kerültem el a teljes algoritmust a ferde aszimptota megtalálásához: a határ teljesen törvényes és tisztázza a függvény végtelenben való viselkedését, a vízszintes aszimptotát pedig "mintha egyszerre" találtuk meg.

A folytonosságból és a horizontális aszimptota létezéséből következik, hogy a függvény felülről korlátozvaÉs alulról korlátozott.

3) A gráf és a koordinátatengelyek metszéspontjai, állandósági intervallumok.

Itt is lerövidítjük a megoldást:
A grafikon az origón halad át.

Nincs más metszéspont a koordinátatengelyekkel. Ráadásul az állandóság intervallumai nyilvánvalóak, és a tengely nem rajzolható: , ami azt jelenti, hogy a függvény előjele csak az „x”-től függ:
, Ha ;
, Ha .

4) A funkció növekedése, csökkentése, szélsőségei.


kritikus pontok.

A pontok szimmetrikusak a nullára, ahogyan annak lennie kell.

Határozzuk meg a derivált jeleit:


A funkció az intervallumon növekszik, az intervallumokon pedig csökken

Amikor a függvény eléri a maximumot: .

Az ingatlan miatt (a függvény furcsasága) a minimum elhagyható:

Mivel a függvény az intervallumon csökken, akkor nyilvánvalóan a grafikon a "mínusz végtelenben" helyezkedik el. alatt aszimptotájával. Az intervallumon a függvény is csökken, de itt az ellenkezője igaz - a maximális ponton való áthaladás után az egyenes felülről közelíti meg a tengelyt.

A fentiekből az is következik, hogy a függvény grafikonja a "mínusz végtelennél" konvex, a "plusz végtelennél" konkáv.

A vizsgálat ezen pontja után megrajzoltuk a függvény értékeinek területét is:

Ha valamelyik ponttal kapcsolatban félreérti, ismételten arra buzdítom, hogy rajzoljon koordinátatengelyeket a füzetébe, és ceruzával a kezében elemezze újra a feladat minden következtetését.

5) A gráf konvexitása, konkávsága, inflexiói.

kritikus pontok.

A pontok szimmetriája megmarad, és valószínűleg nem tévedünk.

Határozzuk meg a jeleket:


A függvény grafikonja konvex on és homorú tovább .

Konvexitás/konkavitás szélsőséges időközönként megerősítést nyert.

Minden kritikus ponton vannak inflexiók a grafikonon. Keressük meg az inflexiós pontok ordinátáit, miközben ismét csökkentjük a számítások számát, a függvény páratlanságát felhasználva: