Mi az a logaritmus?

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Különösen - egyenletek logaritmussal.

Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Nem hiszed? Bírság. Most 10-20 percig:

1. Értsd mi az a logaritmus.

2. Tanulj meg egy egész osztályt megoldani exponenciális egyenletek. Még ha nem is hallott róluk.

3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.

Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismernie, és azt, hogy egy szám hogyan emelhető hatványra ...

Úgy érzem, kételkedsz... Nos, tarts időt! Megy!

Először fejben oldja meg a következő egyenletet:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Primitívek táblázata.

A határozatlan integrál tulajdonságai lehetővé teszik, hogy egy függvény ismert differenciáljából megtaláljuk antideriváltját. Így az egyenlőségeket és az fő származéktáblázatából lehet elemi függvények készíts egy táblázatot a primitívekből.

Visszahívás derivált táblázat, differenciálok formájában írjuk.

Például keressük meg a hatványfüggvény határozatlan integrálját.

A differenciáltábla használata , ezért a határozatlan integrál tulajdonságai alapján rendelkezünk . Ezért vagy egy másik bejegyzésben

Határozzuk meg a hatványfüggvény antideriváltjainak halmazát p = -1 esetén. Nekünk van . Utalva a természetes logaritmus differenciáltáblázatára , ennélfogva, . Ezért .

Remélem érted az ötletet.

Az antiderivatívek (határozatlan integrálok) táblázata.

A táblázat bal oldali oszlopában található képleteket alapvető antiderivatíveknek nevezzük. A jobb oldali oszlop képletei nem alapvetőek, de nagyon gyakran használják határozatlan integrálok keresésekor. Megkülönböztetéssel ellenőrizhetők.

Közvetlen integráció.

A közvetlen integráció a határozatlan integrálok tulajdonságainak felhasználásán alapul , , integrációs szabályok és a primitívek táblázatai.

Általában az integrandust először kissé át kell alakítani, hogy az alapintegrálok táblázatát és az integrálok tulajdonságait lehessen használni.

Példa.

Keresse meg az integrált .

Megoldás.

A 3-as együttható az integráljel alól a tulajdonság alapján kivehető:

Váltsunk át integrand(trigonometriai képletek szerint):

Mivel az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével, akkor

Ideje rátérni a primitívek táblázatára:

Válasz:

.

Példa.

Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás.

Az antiderivatívek táblázatához fordulunk exponenciális függvény: . vagyis .

Ha az integrációs szabályt használjuk , akkor nálunk van:

Így az antiderivatívek táblázata a tulajdonságokkal és az integrációs szabállyal együtt lehetővé teszi, hogy nagyon sok határozatlan integrált találjunk. Azonban korántsem mindig lehetséges az integrandus transzformációja az antiderivatív tábla használatára.

Például az antiderivált táblázatban nincs integrálja a logaritmusfüggvénynek, az arcszinusz, az arccosinus, az arctangens és az arckotangens, az érintő és a kotangens függvényeknek. Megtalálásukra speciális módszereket alkalmaznak. De erről bővebben a következő részben:

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Integrálok táblázata. Táblázatos nem határozott integrálok. (Egyszerű integrálok és paraméteres integrálok). Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet.

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Táblázatos határozatlan integrálok. (Egyszerű integrálok és paraméteres integrálok).
Teljesítmény funkció integrált.	Teljesítmény funkció integrált.
Integrál, amely egy teljesítményfüggvény integráljává redukálódik, ha x-et a differenciál előjele alatt hajtjuk.
	Az exponenciális integrál, ahol a egy állandó szám.
Összetett exponenciális függvény integrálja.	Az exponenciális függvény integrálja.
A természetes logaritmussal egyenlő integrál.	Integrál: "Hosszú logaritmus".
	Integrál: "Hosszú logaritmus".
Integrál: "Magas logaritmus".	Az integrál, ahol a számlálóban x a differenciál előjele alá kerül (az előjel alatti konstans összeadható és kivonható is), ennek eredményeként hasonló a természetes logaritmussal egyenlő integrálhoz.
Integrál: "Magas logaritmus".
Koszinusz integrál.	Szinusz integrál.
Az érintővel egyenlő integrál.	A kotangenssel egyenlő integrál.
Integrál egyenlő arcszinusszal és arcszinusszal
Egy integrál, amely egyenlő az inverz és az inverz koszinuszokkal.	Integrál, amely megegyezik az arctangenssel és az ívkotangenssel.
Az integrál egyenlő a koszekánssal.	Integrál egyenlő a szekánssal.
Az ívessel egyenlő integrál.	Az ív koszekánsával egyenlő integrál.
Az ívessel egyenlő integrál.	Az ívessel egyenlő integrál.
A hiperbolikus szinusznak megfelelő integrál.	A hiperbolikus koszinusznak megfelelő integrál.
A hiperbolikus szinusznak megfelelő integrál, ahol a sinhx a hiperbolikus szinusz az angolban.	A hiperbolikus koszinusznak megfelelő integrál, ahol sinhx a hiperbolikus szinusz az angol változatban.
A hiperbolikus érintővel egyenlő integrál.	A hiperbolikus kotangenssel egyenlő integrál.
A hiperbolikus szekánssal egyenlő integrál.	A hiperbolikus koszekánssal egyenlő integrál.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Integrációs szabályok.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet Integrációs szabályok.
Termék (függvény) integrálása konstanssal:
A függvények összegének integrálása:
határozatlan integrálok:
Integrálás alkatrész képlet szerint határozott integrálok:
Newton-Leibniz képlet határozott integrálok:	Ahol F(a), F(b) az antiderivatívek értékei a b és a pontokban.

Származékos táblázat. Táblázat származékai. A termék származéka. A magán szó származéka. Komplex függvény származéka.

Ha x független változó, akkor:

Származékos táblázat. Táblázat származékok. "táblázati származék" - igen, sajnos így keresik őket az interneten
	Hatványfüggvény derivált
	A kitevő származéka
Összetett exponenciális függvény deriváltja	Az exponenciális függvény deriváltja
Logaritmikus függvény deriváltja	A természetes logaritmus származéka
	Függvény természetes logaritmusának deriváltja
Szinusz derivált	koszinusz-származék
Koszekáns származék	Szekáns származék
Az arcszinusz származéka	Ív koszinusz derivált
Az arcszinusz származéka	Ív koszinusz derivált
Érintő derivált	Kotangens derivált
Ívtangens derivált	Az inverz érintő származéka
Ívtangens derivált	Az inverz érintő származéka
Arcsekant származék	Az ív koszekáns származéka
Arcsekant származék	Az ív koszekáns származéka
A hiperbolikus szinusz származéka A hiperbolikus szinusz származéka az angol változatban	Hiperbolikus koszinusz-származék A hiperbolikus koszinusz származéka az angol változatban
A hiperbolikus érintő származéka	A hiperbolikus kotangens származéka
A hiperbolikus szekáns származéka	A hiperbolikus koszekáns származéka

Differenciálási szabályok. A termék származéka. A magán szó származéka. Komplex függvény származéka.
Egy szorzat (függvény) származéka konstanssal:
Az összeg származéka (függvények):
A szorzat (a függvények) származéka:
A (függvények) hányadosának deriváltja:
Egy összetett függvény származéka:

A logaritmusok tulajdonságai. A logaritmusok alapképletei. Tizedes (lg) és természetes logaritmus (ln).

Alapvető logaritmikus azonosság
Mutassuk meg, hogyan tehető exponenciálissá az a b alak bármely függvénye. Mivel az e x alakú függvényt exponenciálisnak nevezzük, akkor
Bármely a b alakú függvény tíz hatványaként ábrázolható

ln természetes logaritmus (e logaritmusalap = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor sorozat. Egy függvény kiterjesztése egy Taylor sorozatban.

Kiderült, hogy a legtöbb gyakorlatilag találkoztunk A matematikai függvények egy adott pont közelében tetszőleges pontossággal ábrázolhatók a változó hatványait növekvő sorrendben tartalmazó hatványsorok formájában. Például az x=1 pont közelében:

Az úgynevezett sorok használatakor Taylor rows, mondjuk algebrai, trigonometrikus és exponenciális függvényeket tartalmazó vegyes függvények tisztán algebrai függvényekként fejezhetők ki. Sorozatok segítségével sokszor gyorsan elvégezhető a differenciálás és az integráció.

Az a pont közelében lévő Taylor sorozatnak a következő formái vannak:

1) , ahol f(x) egy olyan függvény, amelynek minden rendjének deriváltja van x=a helyen. R n - a Taylor-sorozat maradék tagját a kifejezés határozza meg

2)

A sorozat k-edik együtthatóját (x k-nél) a képlet határozza meg

3) A Taylor sorozat speciális esete a Maclaurin sorozat (=McLaren) (a bomlás az a=0 pont körül megy végbe)

ha a=0

a sorozat tagjait a képlet határozza meg

A Taylor sorozat alkalmazásának feltételei.

1. Ahhoz, hogy az f(x) függvény Taylor-sorozatban kibővüljön a (-R;R) intervallumon, szükséges és elegendő, hogy a Taylor-képlet (Maclaurin (=McLaren)) maradék tagja ehhez függvény nullára hajlik a k →∞ pontnál a megadott intervallumon (-R;R).

2. Szükséges, hogy ennek a függvénynek legyenek deriváltjai azon a ponton, amelynek közelében Taylor sorozatot fogunk építeni.

A Taylor sorozat tulajdonságai.

Ha f egy analitikus függvény, akkor a Taylor-sor az f tartományának bármely a pontjában konvergál f-hez az a szomszédságában.

Vannak végtelenül differenciálható függvények, amelyek Taylor-sora konvergál, de különbözik az a bármely környezetében lévő függvénytől. Például:

Taylor sorozatot használunk a közelítésben (közelítés - tudományos módszer, amely abból áll, hogy egyes objektumokat másokkal helyettesítünk, bizonyos értelemben az eredetihez közeli, de egyszerűbb) függvényeket polinomokkal. Különösen a linearizálás ((linearis - lineáris), a zárt nemlineáris rendszerek közelítő ábrázolásának egyik módszere, amelyben a nemlineáris rendszer tanulmányozását egy lineáris rendszer elemzése váltja fel, az eredetivel egyenértékű értelemben .) egyenletek Taylor-sorozattá történő kiterjesztésével és az összes fenti elsőrendű tag levágásával történik.

Így szinte minden függvény adott pontossággal polinomként ábrázolható.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren,Taylor a 0. pont közelében) és Taylor az 1. pont közelében. A Taylor és MacLaren sorozatok fő függvényeinek kiterjesztésének első feltételei.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (= MacLaren, Taylor a 0 pont közelében)

Példák néhány gyakori Taylor-sorozat-bővítésre az 1. pont körül