1. definíció

Egy $X$ valószínűségi változó normális eloszlású (Gauss-eloszlás), ha eloszlásának sűrűségét a következő képlet határozza meg:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Itt $aϵR$ a matematikai elvárás, és $\sigma >0$ a szórás.

A normál eloszlás sűrűsége.

Mutassuk meg, hogy ez a függvény valóban eloszlássűrűség. Ehhez ellenőrizze a következő feltételt:

Tekintsük a helytelen $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))) integrált ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

Végezzük el a behelyettesítést: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Mivel a $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ páros függvény, akkor

Az egyenlőség fennáll, így a $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2 (\sigma )^2))$ valóban egyesek eloszlássűrűsége valószínűségi változó.

Tekintsük a $\varphi \left(x\right)$ normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének néhány legegyszerűbb tulajdonságát:

A normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének grafikonja szimmetrikus az $x=a$ egyeneshez képest.
A $\varphi \left(x\right)$ függvény maximumát $x=a$-nál éri el, míg a $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
A $\varphi \left(x\right)$ függvény $x>a$-ként csökken és $x-ként nő
A $\varphi \left(x\right)$ függvény inflexiós pontjai $x=a+\sigma $ és $x=a-\sigma $ helyen vannak.
A $\varphi \left(x\right)$ függvény aszimptotikusan megközelíti az $Ox$ tengelyt: $x\to \pm \infty $.
A sematikus grafikon így néz ki (1. ábra).

1.ábra 1. Normál eloszlási sűrűség diagram

Figyeljük meg, hogy ha $a=0$, akkor a függvény grafikonja szimmetrikus a $Oy$ tengelyhez képest. Ezért a $\varphi \left(x\right)$ függvény páros.

Valószínűségi normális eloszlási függvény.

A normális eloszlás valószínűségi eloszlásfüggvényének meghatározásához a következő képletet használjuk:

Ennélfogva,

2. definíció

A $F(x)$ függvényt szabványos normál eloszlásnak nevezzük, ha $a=0,\ \sigma =1$, azaz:

Itt $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ a Laplace függvény.

3. definíció

$Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ függvény valószínűségi integrálnak nevezzük.

A normális eloszlás numerikus jellemzői.

Matematikai elvárás: $M\left(X\right)=a$.

Variancia: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

Átlagos négyzetes eloszlás: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

1. példa

Példa egy probléma megoldására a normális eloszlás fogalmán.

1. feladat: A $X$ útvonal hossza véletlenszerű folytonos érték. $X$ eloszlása a normál eloszlási törvény szerint történik, melynek átlagértéke 4$$ kilométer, szórása 100$ méter.

Keresse meg a $X$ eloszlási sűrűségfüggvényt.
Készítse el az eloszlássűrűség diagramos diagramját!
Keresse meg az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!
Keresse meg a szórást.

Először képzeljük el az összes mennyiséget egy dimenzióban: 100 m = 0,1 km

Az 1. definícióból a következőket kapjuk:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

(mert $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

Az eloszlási sűrűségfüggvény tulajdonságait felhasználva azt kaptuk, hogy a $\varphi \left(x\right)$ függvény grafikonja szimmetrikus az $x=4$ egyenesre.

A függvény maximumát a $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt() pontban éri el 2\pi )))$

A sematikus grafikon így néz ki:

2. ábra.

A $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac() eloszlásfüggvény definíciója szerint -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, van:

$D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.

A valószínűség-eloszlás normális törvénye

Túlzás nélkül filozófiai törvénynek nevezhető. A körülöttünk lévő világ különféle tárgyait és folyamatait megfigyelve gyakran találkozunk azzal a ténnyel, hogy valami nem elég, és van egy norma:

Itt van egy alapnézet sűrűségfüggvények normál valószínűségi eloszlás, és üdvözlöm Önt ebben a legérdekesebb leckében.

Milyen példákat lehet mondani? Ők csak a sötétség. Ez például az emberek magassága, súlya (és nem csak), fizikai ereje, szellemi képességei stb. "tömeg" van (így vagy úgy)és mindkét irányban vannak eltérések.

Ezek az élettelen tárgyak eltérő jellemzői (azonos méretek, súly). Ez a folyamatok véletlenszerű időtartama, például egy százméteres verseny ideje vagy a gyanta borostyánsárgává alakulása. A fizikából a levegőmolekulák jutottak eszembe: vannak köztük lassúak, vannak gyorsak, de a legtöbben „normál” sebességgel mozognak.

Ezután még egyet elkanyarodunk a középponttól szórásés számolja ki a magasságot:

Pontok jelölése a rajzon (zöld szín) és látjuk, hogy ez bőven elég.

Az utolsó szakaszban gondosan rajzolunk egy grafikont, és különösen óvatosan tükrözze azt domborúság / homorúság! Nos, valószínűleg már régen rájöttél, hogy az abszcissza tengely az vízszintes aszimptota, és erre abszolút lehetetlen „felmászni”!

A megoldás elektronikus kialakításával a grafikon Excelben könnyen felépíthető, és magamnak is váratlanul egy rövid videót is rögzítettem ebben a témában. De először beszéljünk arról, hogyan változik a normál görbe alakja a és értékétől függően.

Amikor növeli vagy csökkenti az "a" értéket (változatlan "szigmával") a gráf megtartja alakját és jobbra/balra mozog illetőleg. Így például amikor a függvény alakot ölt a gráfunk pedig 3 egységgel balra "mozog" - pontosan az origóhoz:

Egy normális eloszlású, nulla matematikai elvárású mennyiség teljesen természetes nevet kapott - központosított; sűrűségfüggvénye az még, és a grafikon szimmetrikus az y tengelyre.

A "szigma" változása esetén ("a" állandóval), a grafikon "a helyén marad", de megváltoztatja alakját. Ha megnagyobbodik, alacsonyabb lesz és megnyúlik, mint egy polip, amely kifeszíti a csápjait. És fordítva, amikor a grafikont csökkentjük keskenyebbé és magasabbá válik- derül ki "meglepett polip". Igen, at csökken"szigma" kétszer: az előző diagram szűkül és kétszer nyúlik fel:

Minden teljes összhangban van gráfok geometriai transzformációi.

Az egységértékű normál eloszlást „szigma”-nak nevezzük normalizálva, és ha az is központosított(a mi esetünkben), akkor egy ilyen eloszlást nevezünk alapértelmezett. Még több is van benne egyszerű funkció sűrűség, amivel már találkoztunk lokális Laplace-tétel: . A szabványos disztribúció széles körben alkalmazható a gyakorlatban, és hamarosan végre megértjük a célját.

Most pedig nézzünk egy filmet:

Igen, nagyon helyes – valahogy méltatlanul az árnyékban maradtunk valószínűségi eloszlási függvény. Emlékszünk rá meghatározás:
- annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó KEVESEBB értéket vesz fel, mint a változó, amely az összes valós értéket "plusz" végtelenig "futja".

Az integrálon belül általában más betűt használnak, hogy ne legyenek "átfedések" a jelöléssel, mert itt minden érték hozzá van rendelve helytelen integrál, ami megegyezik néhány szám az intervallumból.

Szinte az összes értéket nem lehet pontosan kiszámítani, de mint az imént láttuk, a modern számítási teljesítmény mellett ez nem nehéz. Tehát a szabványos elosztási függvényhez a megfelelő Excel-függvény általában egy argumentumot tartalmaz:

=NORMSDIST(z)

Egy, kettő – és kész:

A rajzon jól látható az összes megvalósítása eloszlásfüggvény tulajdonságai, és a technikai árnyalatokból itt érdemes odafigyelni vízszintes aszimptotákés egy inflexiós pont.

Most pedig idézzük fel a téma egyik kulcsfeladatát, nevezetesen annak megtudását, hogyan találjuk meg - annak a valószínűségét, hogy egy normál valószínűségi változó értéket vesz fel az intervallumból. Geometriailag ez a valószínűség egyenlő terület a normál görbe és az x tengely között a megfelelő szakaszban:

de minden alkalommal köszörül ki egy hozzávetőleges értéket ésszerűtlen, ezért ésszerűbb a használata "könnyű" képlet:
.

! is emlékszik , Mit

Itt újra használhatja az Excelt, de van néhány jelentős „de”: egyrészt nem mindig van kéznél, másrészt a „kész” értékek valószínűleg kérdéseket vetnek fel a tanárban. Miért?

Korábban többször beszéltem erről: egykor (és nem is olyan régen) egy közönséges számológép luxus volt, és a vizsgált probléma „kézi” megoldásának módja a mai napig megmaradt az oktatási irodalomban. A lényege, hogy szabványosítani az "alfa" és a "béta" értékek, azaz a megoldást a standard eloszlásra csökkentik:

jegyzet : a függvény könnyen beszerezhető az általános esetbőllineáris segítségével helyettesítések. Aztán és:

és a helyettesítésből csak az a képlet következik, amely az önkényes eloszlás értékeiről a standard eloszlás megfelelő értékeire való átmenetre vonatkozik.

Miért van erre szükség? Az a tény, hogy az értékeket őseink alaposan kiszámították, és egy speciális táblázatban foglalták össze, amely számos, a terverről szóló könyvben megtalálható. De még gyakoribb az értéktáblázat, amivel már foglalkoztunk is Laplace-integrál tétel:

Ha rendelkezésünkre áll a Laplace-függvény értéktáblázata , akkor ezen keresztül megoldjuk:

A törtértékeket hagyományosan 4 tizedesjegyre kerekítik, ahogy az a szabványos táblázatban is történik. És az irányításért 5. tétel elrendezés.

Emlékeztetlek erre, és a félreértések elkerülése végett mindig irányítani, MILYEN funkció táblázata a szemed előtt.

Válasz százalékban kell megadni, ezért a számított valószínűséget meg kell szorozni 100-zal, és az eredményt értelmes megjegyzéssel kell ellátni:

- 5-70 m-es repüléssel a kagylók körülbelül 15,87%-a esik le

Egyedül edzünk:

3. példa

A gyárilag legyártott csapágyak átmérője normális eloszlású, 1,5 cm-es elvárású, 0,04 cm-es szórással rendelkező véletlenszerű változó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott csapágy mérete 1,4 és 1,6 cm között mozog.

A mintamegoldásban és az alábbiakban a Laplace-függvényt fogom használni, mint a leggyakoribb lehetőséget. Egyébként vedd figyelembe, hogy a megfogalmazás szerint itt az intervallum végeit veheted figyelembe a mérlegelésbe. Ez azonban nem kritikus.

És már ebben a példában találkoztunk egy speciális esettel - amikor az intervallum szimmetrikus a -hoz képest matematikai elvárás. Ilyen helyzetben felírható a következő formában, és a Laplace-függvény páratlanságát felhasználva leegyszerűsítjük a munkaképletet:

A delta paramétert hívják eltérés a matematikai elvárásból, és a kettős egyenlőtlenség segítségével „pakolható”. modul:

annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke kisebb mértékben tér el a matematikai elvárástól, mint .

Nos, az egy sorban elférő megoldás :)
annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen vett csapágy átmérője 1,5 cm-től legfeljebb 0,1 cm-rel tér el.

Ennek a feladatnak az eredménye az egységhez közelinek bizonyult, de még nagyobb megbízhatóságot szeretnék - nevezetesen, hogy megtudjam, milyen határok között van az átmérő majdnem mindenki csapágyak. Van ennek valamilyen kritériuma? Létezik! A kérdésre ad választ az ún

három szigma szabály

A lényege az gyakorlatilag megbízható az a tény, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó értéket vesz az intervallumból .

Valójában a várttól való eltérés valószínűsége kisebb, mint:
vagy 99,73%

Ami a "csapágyakat" illeti - ez 9973 darab 1,38-1,62 cm átmérőjű, és csak 27 "nem szabványos" példány.

A gyakorlati kutatásban a „három szigma” szabályt általában ellenkező irányban alkalmazzák: ha statisztikusan azt találta, hogy szinte minden érték vizsgált valószínűségi változó 6 szórás intervallumba illeszkedik, akkor alapos okunk van feltételezni, hogy ez az érték a normál törvény szerint oszlik el. Az ellenőrzés az elmélet segítségével történik statisztikai hipotézisek.

Folytatjuk a kemény szovjet feladatok megoldását:

4. példa

A mérési hiba véletlenszerű értékét a normál törvény szerint osztjuk el, nulla matematikai várakozással és 3 gramm szórással. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő mérés abszolút értékben legfeljebb 5 gramm hibával történik.

Megoldás Nagyon egyszerű. A feltétel szerint, és azonnal megjegyezzük, hogy a következő mérlegeléskor (valami vagy valaki) majdnem 100%-ban 9 grammos pontossággal kapjuk meg az eredményt. De a problémában van egy szűkebb eltérés, és a képlet szerint:

- annak a valószínűsége, hogy a következő mérés 5 grammot meg nem haladó hibával történik.

Válasz:

A megoldott probléma alapvetően különbözik a látszólag hasonlótól. 3. példa lecke arról egyenletes eloszlás. Hiba történt kerekítés mérési eredményeket, itt maguknak a méréseknek a véletlenszerű hibájáról van szó. Az ilyen hibák magának az eszköznek a műszaki jellemzői miatt merülnek fel. (a megengedett hibák köre általában az útlevélben van feltüntetve), és a kísérletező hibájából is - amikor például "szemmel" ugyanazon skálák nyíláról veszünk leolvasást.

Többek között vannak ún szisztematikus mérési hibák. Ez már nem véletlenszerű a készülék helytelen beállítása vagy működése miatt fellépő hibák. Így például a nem beállított mérlegek folyamatosan „hoznak hozzá” egy kilogrammot, az eladó pedig rendszeresen alulsúlyozza a vásárlókat. Vagy nem szisztematikusan, mert lehet rövidíteni. Mindenesetre egy ilyen hiba nem lesz véletlen, és a várakozása eltér a nullától.

…Sürgősen kidolgozok egy értékesítési képzést =)

Oldjuk meg a problémát egyedül:

5. példa

A görgő átmérője véletlenszerű, normális eloszlású valószínűségi változó, szórása mm. Határozza meg annak a matematikai elvárással szimmetrikus intervallumnak a hosszát, amelybe a gyöngy átmérőjének hossza valószínűséggel esik.

5. tétel* tervezési elrendezés segíteni. Felhívjuk figyelmét, hogy a matematikai elvárás itt nem ismert, de ez a legkevésbé sem zavarja a probléma megoldását.

És a vizsgafeladat, amit az anyag konszolidálására nagyon ajánlok:

6. példa

Egy normális eloszlású valószínűségi változót paraméterei (matematikai elvárás) és (szórás) adnak meg. Kívánt:

a) írja fel a valószínűségi sűrűséget, és ábrázolja sematikusan annak grafikonját;
b) határozza meg annak valószínűségét, hogy értéket vesz fel az intervallumból ;
c) határozza meg annak valószínűségét, hogy a modulo legfeljebb -tól tér el;
d) a "három szigma" szabályt alkalmazva keresse meg a valószínűségi változó értékeit.

Ilyen problémákat mindenhol felkínálnak, és a gyakorlati évek során több százat és százat sikerült megoldanom. Gyakorold a kézi rajzolást és a papírtáblázat használatát ;)

Nos, elemezek egy példát a megnövekedett összetettségre:

7. példa

Egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége a következő alakkal rendelkezik . Find , matematikai elvárás , variancia , eloszlásfüggvény , diagramsűrűség és eloszlásfüggvények , find .

Megoldás: először is figyeljünk arra, hogy a feltétel nem mond semmit a valószínűségi változó természetéről. Önmagában a kiállító jelenléte nem jelent semmit: lehet pl. demonstratív vagy általában önkényes folyamatos elosztás. Ezért az eloszlás „normálisságát” továbbra is alá kell támasztani:

Mivel a funkció meghatározva at Bármi valós érték , és ez formára redukálható, akkor a valószínűségi változó a normál törvény szerint eloszlik.

Bemutatjuk. Ezért válasszon egy teljes négyzetetés megszervezni háromemeletes tört:

Ügyeljen arra, hogy végezzen ellenőrzést, és állítsa vissza az indikátort az eredeti formájába:

amit látni akartunk.

És így:
- által hatalmi szabály"lecsípni". És itt azonnal leírhatja a nyilvánvaló numerikus jellemzőket:

Most keressük meg a paraméter értékét. Mivel a normál eloszlási szorzó alakja és , akkor:
, amelyből kifejezzük és behelyettesítjük a függvényünkbe:
, ami után még egyszer végigmegyünk a szemünkkel a rekordon és megbizonyosodunk arról, hogy a kapott függvénynek megvan a formája .

Ábrázoljuk a sűrűséget:

és az eloszlásfüggvény diagramja :

Ha nincs kéznél Excel és még egy normál számológép sem, akkor az utolsó diagram könnyen elkészíthető manuálisan! Ezen a ponton az eloszlási függvény értéket vesz fel, és itt van

A véletlenszerű változók véletlenszerű eseményekhez kapcsolódnak. Véletlenszerű eseményekről akkor beszélünk, amikor lehetetlen egyértelműen megjósolni a bizonyos feltételek mellett elérhető eredményt.

Tegyük fel, hogy egy közönséges érmét dobunk fel. Általában ennek az eljárásnak az eredménye nem egyértelműen biztos. Biztosan csak azt mondhatjuk, hogy két dolog közül az egyik megtörténik: vagy a fejek, vagy a farok hullanak ki. Ezen események bármelyike véletlenszerű lesz. Megadhat egy változót, amely leírja ennek a véletlenszerű eseménynek az eredményét. Nyilvánvaló, hogy ez a változó két különálló értéket vesz fel: heads and tails. Mivel nem tudjuk előre pontosan megjósolni, hogy ez a változó a két lehetséges érték közül melyiket fogja felvenni, vitatható, hogy ebben az esetben valószínűségi változókkal van dolgunk.

Tegyük fel most, hogy a kísérletben az alany reakcióidejét értékeljük valamilyen inger hatására. Általában kiderül, hogy még akkor is, ha a kísérletvezető minden intézkedést megtesz a kísérleti körülmények szabványosítására, minimalizálva vagy akár kiküszöbölve az inger megjelenítésének lehetséges eltéréseit, az alany reakcióidejének mért értékei továbbra is eltérnek. Ebben az esetben azt mondják, hogy az alany reakcióidejét egy valószínűségi változó írja le. Mivel a kísérletben elvileg tetszőleges reakcióidő-értéket kaphatunk - a mérések eredményeként megkapható reakcióidő lehetséges értékeinek halmaza végtelennek bizonyul -, azt mondják, hogy kb. folytonosság ezt a valószínűségi változót.

Felmerül a kérdés: vannak-e szabályszerűségek a valószínűségi változók viselkedésében? A kérdésre a válasz igenlőnek bizonyul.

Tehát, ha határozatlan ideig költ nagy szám Ha ugyanazt az érmét dobja fel, azt fogja tapasztalni, hogy az érme mindkét oldalán megközelítőleg azonos előfordulások száma lesz, kivéve persze, ha az érme hamis és nem hajlított meg. Ennek a mintának a hangsúlyozására bevezetjük a véletlenszerű esemény valószínűségének fogalmát. Nyilvánvaló, hogy érmefeldobás esetén a két lehetséges esemény egyike hiba nélkül bekövetkezik. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek a két eseménynek a teljes valószínűsége, más néven összvalószínűség, 100%. Ha feltételezzük, hogy az érme teszteléséhez kapcsolódó két esemény azonos valószínűséggel következik be, akkor az egyes kimenetelek valószínűsége külön-külön nyilvánvalóan 50%. Így az elméleti megfontolások lehetővé teszik, hogy leírjuk egy adott valószínűségi változó viselkedését. Egy ilyen leírás benne matematikai statisztika kifejezéssel jelöljük "egy valószínűségi változó eloszlása".

Bonyolultabb a helyzet egy olyan valószínűségi változóval, amelynek nincs jól definiált értékkészlete, pl. folyamatosnak bizonyul. De még ebben az esetben is megfigyelhető viselkedésének néhány fontos szabályszerűsége. Tehát az alany reakcióidejének mérésével végzett kísérlet során megjegyezhető, hogy az alany reakciói időtartamának különböző intervallumait értékeljük változó mértékben valószínűségek. Valószínűleg ritka, hogy az alany túl gyorsan reagál. Például a szemantikai döntési feladatokban az alanyok gyakorlatilag nem tudnak többé-kevésbé pontosan válaszolni 500 ms-nál (1/2 s) kisebb sebességgel. Hasonlóképpen nem valószínű, hogy az alany, aki hűségesen követi a kísérletező utasításait, nagymértékben késlelteti válaszát. A szemantikai döntési problémákban például az 5 másodpercnél hosszabbra becsült válaszokat általában megbízhatatlannak tekintik. Ennek ellenére 100%-os biztonsággal feltételezhető, hogy az alany reakcióideje 0 és + co között lesz. De ez a valószínűség a valószínűségi változó egyes egyedi értékeinek valószínűségeinek összege. Ezért a folytonos valószínűségi változó eloszlása így írható le folyamatos funkció y = f (x ).

Ha diszkrét valószínűségi változóval van dolgunk, amikor minden lehetséges értéke előre ismert, mint például az érme esetében, általában nem túl nehéz modellt építeni az eloszlására. Elegendő csak néhány ésszerű feltevést bevezetni, ahogy azt a vizsgált példában is tettük. Bonyolultabb a helyzet a folytonos nagyságok eloszlásával, amelyek előre ismeretlen számú értéket vesznek fel. Természetesen, ha például kidolgoznánk egy elméleti modellt, amely leírja egy kísérleti alany viselkedését a reakcióidő mérésével egy szemantikai megoldási feladat megoldása során, akkor megpróbálhatnánk e modell alapján leírni az elméleti ugyanazon alany reakcióidejének specifikus értékeinek eloszlása egy és ugyanazon inger bemutatásakor. Ez azonban nem mindig lehetséges. Ezért a kísérletező kénytelen lehet azt feltételezni, hogy az őt érdeklő valószínűségi változó eloszlását valamilyen, már előre tanulmányozott törvény írja le. Leggyakrabban, bár ez nem mindig teljesen helyes, erre a célra az úgynevezett normál eloszlást használják, amely bármely valószínűségi változó eloszlásának szabványaként működik, függetlenül annak természetétől. Ezt az eloszlást először a 18. század első felében írták le matematikailag. de Moivre.

Normális eloszlás akkor fordul elő, amikor a számunkra érdekes jelenség végtelen számú véletlenszerű tényező hatásának van kitéve, amelyek kiegyenlítik egymást. Formálisan a normális eloszlás, amint azt de Moivre megmutatta, a következő összefüggéssel írható le:

Ahol x egy számunkra érdekes valószínűségi változót képvisel, amelynek viselkedését tanulmányozzuk; R az ehhez a valószínűségi változóhoz tartozó valószínűségi érték; π és e - jól ismert matematikai állandók, amelyek leírják a kerület és az átmérő arányát, illetve a természetes logaritmus alapját; μ és σ2 a valószínűségi változó normális eloszlásának, illetve a valószínűségi változó matematikai elvárásának és varianciájának paraméterei X.

A normális eloszlás leírásához szükségesnek és elegendőnek bizonyul csak a μ és σ2 paraméterek meghatározása.

Ezért, ha van egy valószínűségi változónk, amelynek viselkedését az (1.1) egyenlet írja le tetszőleges μ és σ2 értékekkel, akkor ezt úgy jelölhetjük Ν (μ, σ2) anélkül, hogy emlékezne ennek az egyenletnek minden részletére.

Rizs. 1.1.

Bármely eloszlás vizuálisan ábrázolható gráf formájában. Grafikusan a normál eloszlás harang alakú görbe alakja van, melynek pontos alakját az eloszlás paraméterei határozzák meg, azaz. matematikai elvárás és szórás. A normális eloszlás paraméterei szinte bármilyen értéket vehetnek fel, aminek csak a kísérletező által használt mérési skála szab határt. Elméletileg a matematikai elvárás értéke tetszőleges szám lehet a -∞ és +∞ közötti számtartományból, a variancia pedig tetszőleges nemnegatív szám lehet. Ezért végtelen szám van különféle fajták normális eloszlás, és ennek megfelelően egy végtelen görbehalmaz, amely ábrázolja (azonban hasonló harang alakú). Nyilvánvaló, hogy lehetetlen mindegyiket leírni. Ha azonban ismertek egy adott normális eloszlás paraméterei, akkor azt át lehet alakítani az ún egységnyi normál eloszlás, amelynek matematikai elvárása egyenlő nullával, szórása pedig eggyel. Ezt a normális eloszlást is nevezik alapértelmezett vagy z-eloszlás. Az egységnyi normális eloszlás görbéjét a ábra mutatja. 1.1, amelyből nyilvánvaló, hogy a normál eloszlás harang alakú görbéjének teteje jellemzi a matematikai elvárás értékét. A normál eloszlás másik paramétere - a diszperzió - a harang alakú görbe vízszinteshez (abszcissza tengely) viszonyított "terjedésének" mértékét jellemzi.

Véletlen, ha a tapasztalat eredményeként bizonyos valószínűséggel valós értékeket tud felvenni. A valószínűségi változó legteljesebb, legkimerítőbb jellemzője az eloszlás törvénye. Az eloszlási törvény egy függvény (táblázat, grafikon, képlet), amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy egy X valószínűségi változó mekkora valószínűséggel vesz fel egy bizonyos xi értéket, vagy egy bizonyos intervallumba esik. Ha egy valószínűségi változónak adott eloszlási törvénye van, akkor azt mondjuk, hogy ennek a törvénynek megfelelően oszlik el, vagy ennek az eloszlási törvénynek engedelmeskedik.

Minden elosztási törvény egy olyan függvény, amely teljes mértékben leír egy valószínűségi változót valószínűségi szempontból. A gyakorlatban egy X valószínűségi változó valószínűségi eloszlását gyakran csak teszteredmények alapján kell megítélni.

Normális eloszlás

Normális eloszlás, más néven Gauss-eloszlás, egy valószínűségi eloszlás, amely döntő szerepet játszik számos tudásterületen, különösen a fizikában. Fizikai mennyiség normális eloszlásnak engedelmeskedik, ha nagyszámú véletlenszerű zaj befolyásolja. Nyilvánvaló, hogy ez a helyzet rendkívül gyakori, így elmondhatjuk, hogy az összes eloszlás közül a normál eloszlás fordul elő leggyakrabban a természetben - innen ered az egyik elnevezése is.

A normál eloszlás két paramétertől függ - az eltolástól és a léptéktől, vagyis matematikai szempontból nem egy eloszlásról van szó, hanem ezek egész családjáról. A paraméterértékek megfelelnek az átlag (matematikai elvárás) és szórás (szórás) értékeknek.

A standard normál eloszlás egy normális eloszlás, amelynek átlaga 0 és szórása 1.

Aszimmetria együttható

A ferdeségi együttható pozitív, ha az eloszlás jobb vége hosszabb, mint a bal, ellenkező esetben negatív.

Ha az eloszlás szimmetrikus a matematikai elváráshoz képest, akkor a ferdeségi együtthatója nulla.

A minta ferdeségi együtthatóját az eloszlás szimmetria-vizsgálatára, valamint egy durva előzetes normalitásvizsgálatra használjuk. Lehetővé teszi a normalitás hipotézisének elutasítását, de nem engedi elfogadni.

Kurtosis együttható

A kurtózis együtthatója (élességi együttható) egy valószínűségi változó eloszlása csúcsának élességének mértéke.

A "mínusz három" a képlet végén kerül bevezetésre úgy, hogy a normál eloszlás gördülési együtthatója nulla legyen. Pozitív, ha az eloszlás várható értékhez közeli csúcsa éles, negatív, ha a csúcs sima.

Egy valószínűségi változó pillanatai

A valószínűségi változó momentuma egy adott valószínűségi változó eloszlásának numerikus jellemzője.

Normális eloszlás ( normális eloszlás) - játszik fontos szerep adatelemzésben.

Néha a kifejezés helyett Normál terjesztés használja a kifejezést Gauss-eloszlás K. Gauss tiszteletére (régebbi, ma gyakorlatilag nem használt kifejezések: Gauss törvény, Gauss-Laplace eloszlás).

Egyváltozós normális eloszlás

A normál eloszlás sűrűsége:

Ebben a képletben rögzített paraméterek, - átlagos, - alapértelmezett eltérés.

A különböző paraméterek sűrűségének grafikonjait adjuk meg.

A normális eloszlás karakterisztikus függvénye a következőképpen alakul:

A jellemző funkció és beállítás megkülönböztetése t = 0, bármilyen sorrendű pillanatokat kapunk.

A normál eloszlási sűrűséggörbe szimmetrikus a következőhöz képest, és ezen a ponton egyetlen maximuma van, egyenlő

A szórás paramétere 0 és ∞ között változik.

Átlagos -∞ és +∞ között változik.

A paraméter növekedésével a görbe a tengely mentén terjed x, 0-ra hajló az átlagérték körül zsugorodik (a paraméter a szórást, szóródást jellemzi).

Amikor megváltozik a görbe a tengely mentén eltolódik x(lásd a grafikonokat).

A és a paraméterek változtatásával különféle modelleket kapunk a telefonálás során felmerülő valószínűségi változókról.

A normál törvény tipikus alkalmazása például a távközlési adatok elemzésénél a jelmodellezés, a zaj, interferencia, hibák, forgalom leírása.

Az egyváltozós normális eloszlás grafikonjai

1. ábra Normál eloszlási sűrűségdiagram: az átlag 0, a szórása 1

2. ábra: A standard normál eloszlás sűrűségdiagramja az összes megfigyelés 68%-át és 95%-át tartalmazó területekkel

3. ábra Normál eloszlások sűrűségdiagramja nulla átlaggal és különböző eltérésekkel (=0,5, =1, =2)

4. ábra Két normál eloszlás grafikonja: N(-2,2) és N(3,2).

Vegye figyelembe, hogy a paraméter megváltoztatásakor az eloszlás középpontja eltolódott.

Megjegyzés

Egy programban STATISZTIKA az N(3,2) jelölés normál vagy Gauss-törvényként értendő, amelynek paraméterei: átlag = 3 és szórás =2.

A szakirodalomban néha a második paramétert úgy értelmezik diszperzió, azaz négyzet szórás.

Normál eloszlású százalékpontszámítások valószínűségi kalkulátorral STATISZTIKA

Valószínűség-kalkulátor használata STATISZTIKA az eloszlások különféle jellemzőit ki lehet számítani a régi könyvekben használt nehézkes táblázatok igénybevétele nélkül.

1. lépés. Elindítjuk Elemzés / Valószínűség kalkulátor / Elosztások.

A terjesztési szakaszban válassza a lehetőséget Normál.

5. ábra A valószínűségi eloszlás kalkulátor indítása

2. lépés Adja meg a minket érdeklő paramétereket.

Például egy normális eloszlás 95%-os kvantilisét szeretnénk kiszámítani, amelynek átlaga 0 és szórása 1.

Adja meg ezeket a paramétereket a számológép mezőiben (lásd a számológép átlag és szórása mezőket).

Vezessük be a p=0,95 paramétert.

"Reverse f.r." jelölőnégyzet. automatikusan megjelenik. Jelölje be a „Grafikon” négyzetet.

Kattintson a "Számítás" gombra a jobb felső sarokban.

6. ábra Paraméterbeállítás

3. lépés A Z mezőben az eredményt kapjuk: a kvantilis értéke 1,64 (lásd a következő ablakot).

7. ábra A számológép eredményének megtekintése

8. ábra Sűrűség- és eloszlásfüggvények diagramjai. Egyenes x=1,644485

9. ábra A normál eloszlási függvény grafikonjai. Függőleges pontozott vonalak - x=-1,5, x=-1, x=-0,5, x=0

10. ábra A normál eloszlási függvény grafikonjai. Függőleges pontozott vonalak - x=0,5, x=1, x=1,5, x=2

Normális eloszlási paraméterek becslése

A normál eloszlási értékeket a segítségével lehet kiszámítani interaktív számológép.

Kétváltozós normális eloszlás

Az egyváltozós normális eloszlás természetes módon általánosít kétdimenziós normális eloszlás.

Például, ha egy jelet csak egy ponton vesz figyelembe, akkor elegendő az egydimenziós eloszlás, két ponton - kétdimenziós eloszlás, három ponton - háromdimenziós eloszlás stb.

A kétváltozós normális eloszlás általános képlete:

Hol van a páronkénti korreláció között x1És x2;

x1 illetőleg;

Egy változó átlaga és szórása x2 illetőleg.

Ha a valószínűségi változók X 1És X 2 függetlenek, akkor a korreláció rendre 0, = 0, a kitevőben lévő középtag eltűnik, és megkapjuk:

f(x1,x2) = f(x1)*f(x2)

Független mennyiségek esetén a kétdimenziós sűrűség két egydimenziós sűrűség szorzatára bomlik.

Kétváltozós normál sűrűségű diagramok

11. ábra: Kétváltozós normális eloszlás sűrűségdiagramja (nulla átlagvektor, egységnyi kovariancia mátrix)

12. ábra A kétdimenziós normális eloszlás sűrűségdiagramjának metszete a z=0,05 síkon

13. ábra A kétváltozós normális eloszlás sűrűségdiagramja (nulla várakozási vektor, kovariancia mátrix 1-gyel a főátlón és 0,5-tel az oldalátlón)

14. ábra: A 2D normálsűrűség diagram metszete (várakozási vektor nulla, kovariancia mátrix 1-el a főátlón és 0,5-tel az oldalátlón) a z= 0,05 síkon

15. ábra Kétváltozós normális eloszlás sűrűségdiagramja (nulla várakozási vektor, kovariancia mátrix 1-el a főátlón és -0,5-tel az oldalátlón)

16. ábra: A kétdimenziós normális eloszlás sűrűségi görbéjének keresztmetszete (nulla várakozási vektor, kovariancia mátrix 1-gyel a főátlón és -0,5-tel az oldalátlón) a z=0,05 síkon.

17. ábra: 2D normál eloszlási sűrűségek görbéinek keresztmetszete z=0,05 síkon

A kétváltozós normál eloszlás jobb megértéséhez próbálja meg a következő feladatot.

Feladat. Nézd meg a kétváltozós normális eloszlás grafikonját. Gondoljunk csak bele, ábrázolható-e egy egydimenziós normális eloszlású gráf elforgatásaként? Mikor kell alkalmazni a deformációs technikát?