Véletlen változó hívott változó, amely minden teszt eredményeként előre vesz egyet ismeretlen érték véletlenszerű okoktól függ. A véletlenszerű változókat nagy latin betűkkel jelöljük: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Típusuk szerint a valószínűségi változók diszkrétÉs folyamatos.

Diszkrét valószínűségi változó- ez egy olyan valószínűségi változó, amelynek értéke legfeljebb megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálható. A megszámlálhatóság azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó értékei felsorolhatók.

1. példa . Adjunk példákat diszkrét valószínűségi változókra:

a) a célponton elért találatok száma $n$ lövéssel, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) az érme feldobásakor kihullott címerek száma, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) a fedélzetre érkezett hajók száma (megszámlálható értékkészlet).

d) a központba érkező hívások száma (megszámlálható értékkészlet).

1. Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye.

Egy diszkrét $X$ valószínűségi változó a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket veheti fel $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ valószínűségekkel. Ezen értékek és valószínűségeik közötti megfelelést nevezzük diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye. Általános szabály, hogy ezt a megfelelést egy táblázat segítségével adjuk meg, amelynek első sorában a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékei vannak feltüntetve, a második sorban pedig az ezeknek az értékeknek megfelelő valószínűségek a $ p_1,\pontok ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(tömb)$

2. példa . Legyen a $X$ valószínűségi változó a kockadobáskor dobott pontok száma. Egy ilyen $X$ valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Mindezen értékek valószínűsége 1/6 $. Ezután az $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(tömb)$

Megjegyzés. Mivel a $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ események egy teljes eseménycsoportot alkotnak a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényében, a valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie eggyel, azaz $\sum( p_i)=1$.

2. Diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása megadja a "központi" értékét. Egy diszkrét valószínűségi változóhoz várható érték a $x_1,\pontok ,\ x_n$ értékek és az ezeknek az értékeknek megfelelő $p_1,\pontok ,\ p_n$ valószínűségek szorzataként kerül kiszámításra, azaz: $M\left(X\right) =\sum^n_(i=1 )(p_ix_i)$. Az angol irodalomban egy másik $E\left(X\right)$ jelölést használnak.

Elvárás tulajdonságai$M\bal(X\jobb)$:

$M\left(X\right)$ a legkisebb és a között van legmagasabb értékeket valószínűségi változó $X$.
Egy konstans matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval, azaz. $M\left(C\right)=C$.
A konstans tényező kivehető a várakozási előjelből: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik összegével: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3. példa . Keressük meg a $2$ példából a $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\(6) felett)+4\cdot ((1)\(6) felett)+5\cdot ((1)\(6) felett)+6\cdot ((1) )\over(6))=3,5.$$

Megfigyelhetjük, hogy a $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb ($1$) és legnagyobb ($6$) értéke között van.

4. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $3X+5$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

5. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=4$. Határozzuk meg a $2X-9$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával megkapjuk: $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója.

Az azonos matematikai elvárásokkal rendelkező valószínűségi változók lehetséges értékei eltérően szóródhatnak az átlagos értékeik körül. Például kettőben diákcsoportok GPA a valószínűségszámítás vizsgája 4-nek bizonyult, de az egyik csoportban mindenki jó tanulónak bizonyult, a másik csoportban pedig csak három és kiváló tanuló. Ezért szükség van egy valószínűségi változónak egy olyan numerikus karakterisztikára, amely megmutatja egy valószínűségi változó értékeinek terjedését a matematikai elvárása körül. Ez a jellemző a diszperzió.

Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója$X$ a következő:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Az angol szakirodalomban a $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ jelölést használják. Nagyon gyakran a $D\left(X\right)$ variancia kiszámítása a következő képlettel történik: $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) balra(X \jobbra)\jobbra))^2$.

Diszperziós tulajdonságok$D\bal(X\jobb)$:

A diszperzió mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz. $D\left(X\right)\ge 0$.
Az állandótól való diszperzió egyenlő nullával, azaz. $D\left(C\right)=0$.
Az állandó tényezőt ki lehet venni a diszperziós előjelből, feltéve, hogy négyzetes, pl. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
A független valószínűségi változók különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6. példa . Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó varianciáját a $2$ példából.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\bal(1-3,5\jobb))^2+((1)\over(6))\cdot (\bal(2-3,5\jobb))^2+ \pontok +((1)\(6) felett)\cdot (\bal(6-3,5\jobb))^2=((35)\(12))\körülbelül 2,92.$$

7. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $4X+1$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\bal (X\jobb)=16\cdot 2=32$.

8. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=3$. Határozzuk meg a $3-2X$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\bal(X\jobb)=4\cdot 3=12$.

4. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozat formájában történő ábrázolásának módja nem az egyetlen, és ami a legfontosabb, nem univerzális, mivel folytonos valószínűségi változót nem lehet eloszlássorozattal megadni. Van egy másik módja a valószínűségi változó ábrázolásának - az eloszlási függvény.

elosztási függvény Az $X$ valószínűségi változó egy $F\left(x\right)$ függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint valamilyen $x$ rögzített érték, azaz $F\left(x\ jobb)$ )=P\left(X< x\right)$

Az eloszlási függvény tulajdonságai:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó értéket vesz fel a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból, egyenlő az eloszlásfüggvény értékei közötti különbséggel ezen intervallum végén : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - nem csökkenő.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9. példa . Keressük meg a $2$ példából a $F\left(x\right)$ eloszlási függvényt a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényéhez.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(tömb)$

Ha $x\le 1$, akkor nyilvánvalóan $F\left(x\right)=0$ (beleértve a $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Ha 1 dollár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ha 2 dollár< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ha 3 dollár< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ha 4 dollár< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ha 5 dollár< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ha $x > 6$, akkor $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Tehát $F(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1,\ \ x > 6 esetén.
\end(mátrix)\jobbra.$

Fontolja meg a diszkrét disztribúciókat, amelyeket gyakran használnak a szolgáltatási rendszerek modellezéséhez.

Bernoulli eloszlás. A Bernoulli-séma független kísérletek sorozata, amelyek mindegyikében csak két kimenetel lehetséges - "siker" és "kudarc" valószínűségekkel. RÉs q = 1 - R. Legyen a valószínűségi változó x két értéket vehet fel megfelelő valószínűséggel:

A Bernoulli-eloszlásfüggvény alakja

Ennek grafikonja az ábrán látható. 11.1.

Véletlenszerű érték ezzel az eloszlással egyenlő a Bernoulli-séma egy-egy kísérletében elért sikerek számával.

A generáló függvény a (11.1) és (11.15) szerint a következőképpen kerül kiszámításra

Rizs. 11.1.

A (11.6) képlet segítségével megkapjuk az eloszlás matematikai elvárását:

A generáló függvény második deriváltját a (11.17) szerint számítjuk ki.

A (11.7) alapján megkapjuk az eloszlási varianciát

A Bernoulli-eloszlás nagy szerepet játszik a tömegszolgáltatás elméletében, modellje bármely véletlenszerű kísérletnek, amelynek eredménye két egymást kizáró osztályba tartozik.

Geometriai eloszlás. Tegyük fel, hogy az események egymástól függetlenül, diszkrét időpontokban következnek be. Annak a valószínűsége, hogy egy esemény bekövetkezik R,és annak a valószínűsége, hogy nem fog megtörténni q = 1-p, Például egy vevő, aki rendelést adott le.

Jelölje r to annak a valószínűsége, hogy egy esemény először megtörténik Nak nek, azok. Nak nek-edik ügyfél megrendelt, és az előző Nak nek- 1 nincs ügyfél. Ekkor ennek az összetett eseménynek a valószínűsége meghatározható a független események valószínűségeinek szorzatának tételével

ábra mutatja a geometriai eloszlású események valószínűségét. 11.2.

Az összes lehetséges esemény valószínűségének összege

képviseli geometriai progresszió, így az eloszlást ún geometriai.óta (1 - R)

Véletlenszerű érték Xs A geometriai eloszlás jelentése a Bernoulli-séma első sikeres kísérletének száma.

Rizs. 11.2.

Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy esemény bekövetkezik X>k

és a geometriai eloszlásfüggvény

Számítsuk ki a geometriai eloszlás generáló függvényét (11.1) és (11.20) szerint!

a (11.6) szerinti geometriai eloszlás matematikai elvárása

és a (11.7) szerinti diszperzió

A geometriai eloszlást a folytonos exponenciális eloszlás diszkrét változatának tekintik, és számos szolgáltatási rendszerek modellezéséhez hasznos tulajdonsággal is rendelkezik. Az exponenciális eloszláshoz hasonlóan a geometriai eloszlásnak sincs memóriája:

azok. ha / sikertelen kísérlet, akkor annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez többet kell elvégezni júj tapasztalatok megszerzése megegyezik annak a valószínűségével új sorozat teszteket kell végezni az első siker érdekében. / "kísérletek. Más szóval a korábbi kísérleteknek nincs hatása a jövőbeli kísérletekre és a kísérletek függetlenek. Ez gyakran igaz. Például a vevők függetlenek, és a rendeléseket véletlenszerűen adják meg.

Tekintsünk egy példát egy olyan rendszerre, amelynek működési paraméterei geometriai eloszlásnak vannak kitéve.

A mester rendelkezésére áll P azonos pótalkatrészek. Minden részlet valószínű q hibája van. A javítás során az alkatrészt beépítik a készülékbe, amelynek működőképességét ellenőrizzük. Ha az eszköz nem működik, akkor az alkatrészt egy másikra cserélik. Egy valószínűségi változót tekintünk x- az ellenőrizendő alkatrészek száma.

A tesztelt részek számának valószínűsége a táblázatban látható értékekkel rendelkezik:


					rya"~ x

Itt q = 1 - R.

Az ellenőrzött részek számának matematikai elvárása a következőképpen van meghatározva

Binomiális eloszlás. Tekintsünk egy valószínűségi változót

Ahol Xj paraméterrel a Bernoulli-eloszlásnak engedelmeskedik Rés a valószínűségi változók Xj független.

Véletlenszerű érték x egyenlő lesz az egységek előfordulásának számával P tesztek, pl. A binomiális eloszlású valószínűségi változó a sikerek számát jelenti P független tesztek.

A (11.9) szerint a egymástól független, Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók összegének generáló függvénye egyenlő a generáló függvényeik szorzatával (11.17):

A (11.26) generáló függvényt sorozattá bővítve megkapjuk

A generáló függvény (11.1) definíciójával összhangban annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó xértelmét veszi fel Nak nek:

Ahol binomiális együtthatók.

11 óta és egységek per P helyek C* módokon rendezhetők, akkor a mintákat tartalmazó minták száma Nak nek az egységek nyilván ugyanazok lesznek.

A binomiális törvény eloszlásfüggvényét a képlet számítja ki

Az elosztást ún binomiális amiatt, hogy az alakban szereplő valószínűségek a binomiális kiterjesztésének feltételei:

Nyilvánvaló, hogy az összes lehetséges kimenetel teljes valószínűsége 1:

A (11.29)-ből a binomiális együtthatók számos hasznos tulajdonságát kaphatjuk meg. Például mikor R =1, q=1 kapunk

Ha feltesszük R =1, q= - 1, akkor

Bármely 1k esetén a következő összefüggések érvényesek:

Annak a valószínűsége, hogy be P tesztek esetén az esemény: 1) kevesebb, mint &time; még 2 Nak nek egyszer; 3) legalább &time; 4) legfeljebb & alkalommal, keresse meg a következő képletek szerint:

A (11.6) segítségével definiáljuk a matematikai elvárást binomiális eloszlás

és a (11.7) szerint - diszperzió:

Nézzünk néhány példát olyan rendszerekre, amelyek működési paramétereit a binomiális eloszlás írja le.

1. Egy 10 termékből álló tétel egy nem szabványos terméket tartalmaz. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy 5 termékből álló véletlenszerű minta esetén mindegyik szabványos lesz (esemény A).

Az összes véletlenszerű minta száma p - S, e 0, és az eseményt előnyben részesítő minták száma a P= C 9 5 . Így a kívánt valószínűség egyenlő

2. Egy új lakás bejáratánál, 2 Nak nekúj elektromos lámpák. Valószínűleg minden elektromos lámpa kiég az év során R. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az év során az eredetileg bekapcsolt lámpák legalább felét újakra kell cserélni (az esemény A):

3. Egy adott fogyasztói csoportba tartozó személy az 1-es terméket 0,2-es valószínűséggel, a 2-es terméket 0,3-as valószínűséggel, a 3-ast 0,4-es valószínűséggel, a 4-es terméket 0,1-es valószínűséggel részesíti előnyben.6 fős fogyasztói csoport. Keresse meg a következő események valószínűségét: A - a csoportba legalább 4 olyan fogyasztó tartozik, akik a 3. terméket részesítik előnyben; BAN BEN- a csoportban legalább egy fogyasztó van, aki a 4. terméket preferálja.

Ezek a valószínűségek a következők:

A nagy /? a valószínűségszámítások nehézkessé válnak, ezért határtételeket használnak.

Lokális Laplace-tétel, amely szerint a valószínűség R p (k) képlet határozza meg

Ahol - Gauss-függvény;

Laplace-integrál tétel annak a valószínűségének kiszámítására szolgál, hogy P független tesztek esetén az esemény legalább megtörténik Nak nek ( egyszer és nem tovább 2-hez egyszer:

Nézzünk példákat ezeknek a tételeknek a használatára.

1. A varróműhely szabott ruhákat gyárt, amelyek 90%-a legmagasabb minőség. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 200 termék közül legalább 160 és legfeljebb 170 lesz a legjobb minőségű.

Megoldás:

2. Egy biztosítótársaságnak 12 000 ügyfele van. Mindegyikük, biztosítva magát egy baleset ellen, 10 ezer rubel járul hozzá. Baleset valószínűsége R - 0,006, és 1 millió rubel kifizetése az áldozatnak. Határozzuk meg a biztosító nyereségét, 0,995 valószínűséggel; vagyis milyen nyereségre számíthat a biztosító 0,005-ös kockázati szinten.

Megoldás: Az összes ügyfél teljes hozzájárulása 12 000-10 000 = 120 millió rubel. A társaság nyeresége a számtól függ Nak nek balesetek, és az egyenlőség határozza meg: R = 120 000-1000 /: ezer rubel.

Ezért olyan A/ számot kell találni, amely az esemény valószínűsége P(k > M) nem haladta meg a 0,005-öt. Ezután 0,995 valószínűséggel a nyereség R = 120 000-10 004 / ezer rubel.

Egyenlőtlenség P(k > M) P(k0,995. Mivel hogy > 0, akkor R( 0 0,995. Ennek a valószínűségnek a becsléséhez a Laplace-féle integráltételt használjuk P- 12 000 és /?=0,006, #=0,994:

Mert*! F(x]) = -0,5.

Így meg kell találni, hogy melyikhez A/

Találunk (M- 72)/8,5 > 2,58. Ennélfogva, M>12+ 22 = 94.

Tehát 0,995 valószínűséggel a vállalat garantálja a nyereséget

Gyakran meg kell határozni a legvalószínűbb számot 0-ra. Egy esemény valószínűsége számos sikerrel 0-ra meghaladja vagy legalább nem kisebb, mint a többi lehetséges vizsgálati eredmény valószínűsége. Legvalószínűbb szám 0-ra a kettős egyenlőtlenségből határozzuk meg

3. Legyen 25 fogyasztási cikk minta. Annak a valószínűsége, hogy mindegyik minta elfogadható lesz az ügyfél számára, 0,7. Meg kell határozni az ügyfelek számára elfogadható minták legvalószínűbb számát. Szerző: (11.39)

Innen 0-ra - 18.

Poisson-eloszlás. A Poisson-eloszlás határozza meg annak valószínűségét, hogy nagyon nagy számok tesztek P, amelyek mindegyikében egy esemény valószínűsége R nagyon kicsi, az esemény pontosan meg fog történni hogy schz.

Hagyd dolgozni pr \u003d k; ez azt jelenti, hogy egy esemény átlagos előfordulási száma különböző kísérletsorozatokban, i.e. különféle P, változatlan marad. Ebben az esetben a Poisson-eloszlás használható a binomiális eloszlás közelítésére:

Mivel nagy P

A Poisson-eloszlás generáló függvényét (11.1) as-ból számítjuk ki

ahol a Maclaurin képlet szerint

A generáló függvény együtthatóinak tulajdonságának megfelelően az előfordulási valószínűség Nak nek sikerek átlagos számú sikerrel x kiszámítása: (11,40).

ábrán. A 11.3 a Poisson-eloszlás valószínűségi sűrűségét mutatja.

A Poisson-eloszlás generáló függvénye a binomiális eloszlás generáló függvényének soros kiterjesztésével is megkapható. pr \u003d X nál nél P-» oo és a Maclaurin-képlet (11.42):

Rizs. 11.3.

A matematikai elvárást a (11.6)-al határozzuk meg.

és a (11.7) szerinti diszperzió

Tekintsünk egy példát egy rendszerre Poisson-eloszlású paraméterekkel.

A cég 500 terméket küldött az üzletbe. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a termékek szállítás közben megsérülnek: pontosan 3 (R esemény); kevesebb, mint 3 (esemény BAN BEN) több mint 3 (Q esemény; legalább egy (esemény D).

Szám P= Az 500 nagy valószínűséggel R= 0,002 kicsi, a figyelembe vett események (termékkárosodás) függetlenek, ezért a (11,40) Poisson-képlet használható.

Nál nél x=pr= 500 0,002=1 kapjuk:

A Poisson-eloszlás számos hasznos tulajdonsággal rendelkezik a szolgáltatási rendszerek modellezéséhez.

1. Valószínűségi változók összege X \u003d X ( + X 2 Poisson-eloszlással szintén a Poisson-törvény szerint oszlik el.

Ha a valószínűségi változóknak vannak generáló függvényei:

akkor a (11.9) szerint a független Poisson-eloszlású valószínűségi változók összegének generáló függvénye a következő lesz:

A kapott eloszlás paramétere a X x + X 2.

2. Ha a halmaz elemszáma./V engedelmeskedik a paraméterrel rendelkező Poisson-eloszlásnak xés minden elemet egymástól függetlenül választanak ki valószínűséggel R, majd a méret mintaelemei Y paraméterrel a Poisson-törvény szerint elosztva pX.

Hadd , Ahol megfelel a Bernoulli-eloszlásnak, és N- Poisson-eloszlás. A megfelelő generáló függvények a (11.17), (11.41) szerint:

Valószínűségi változó függvényének generálása Y a (11.14) szerint kerül kiszámításra

azok. generáló függvény megfelel a Poisson-eloszlásnak a paraméterrel pX.

3. A 2. tulajdonság következtében a következő tulajdonság érvényesül. Ha a halmaz elemeinek számát a Poisson-törvény szerint osztjuk el a paraméterrel xés a halmaz véletlenszerűen van elosztva /?, és valószínűségekkel 2. o = 1 - R két csoportba, akkor a készletek méretei 7V, ill N 2 függetlenek és Poisson-eloszlásúak paraméterekkel p(kÉs p(k.

A könnyebb használat érdekében bemutatjuk a kapott eredményeket diszkrét eloszlások táblázat formájában. 11.1 és 11.2.

11.1. táblázat. A diszkrét eloszlások főbb jellemzői

terjesztés	Sűrűség	Hatótávolság	Lehetőségek	tn \|		C X--2
Bernoulli	P(X = ) = p P (X = 0} = R + Z= 1	P - 0,1
Geometriai	p(-p) - 1	k = 1,2,...			^ 1 1 \|	1 -R
Binomiális	-tól p-ig (- R g-ig	* = 1,2,...,#"			pr( - p)	1 -p pr
Poisson	E-k Nak nek!	k = 1,2,...

11. táblázat 2. Diszkrét eloszlások függvényeinek generálása

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1. Milyen valószínűségi eloszlásokat sorolunk diszkrétnek?
2. Mi az a generáló függvény, és mire használják?
3. Hogyan lehet kiszámítani a valószínűségi változók momentumait a generáló függvény segítségével?
4. Mi a független valószínűségi változók összegének generáló függvénye?
5. Mit nevezünk összetett eloszlásnak, és hogyan számítjuk ki az összetett eloszlások generáló függvényeit?
6. Adja meg a Bernoulli-eloszlás főbb jellemzőit, mondjon példát a szolgáltatási feladatokban való felhasználására!
7. Adja meg a geometriai eloszlás főbb jellemzőit, mondjon példát a szolgáltatási feladatokban való felhasználásra!
8. Adja meg a binomiális eloszlás főbb jellemzőit, mondjon példát a szolgáltatási feladatokban való felhasználásra!
9. Adja meg a Poisson-eloszlás főbb jellemzőit, mondjon példát a szolgáltatási feladatokban való felhasználására!

Külön kiemelhetjük a diszkrét valószínűségi változók eloszlásának leggyakoribb törvényeit:

Binomiális eloszlás törvénye
Poisson-eloszlási törvény
Geometriai eloszlási törvény
Hipergeometriai eloszlási törvény

A diszkrét valószínűségi változók adott eloszlásainál az értékük valószínűségét, valamint a numerikus jellemzőket (matematikai elvárás, variancia stb.) bizonyos "képletek" szerint számítják ki. Ezért nagyon fontos ismerni az ilyen típusú eloszlásokat és alapvető tulajdonságaikat.

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A $X$ diszkrét valószínűségi változóra akkor vonatkozik a binomiális valószínűségi eloszlás, ha a $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ értékeket veszi fel $P\left(X=k\right)= valószínűséggel C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Valójában a $X$ valószínűségi változó a $A$ esemény előfordulásának száma $n$ független kísérletekben. A $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a várható érték: $M\left(X\right)=np$, a variancia: $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Példa . Két gyerek van a családban. Feltételezve, hogy egy fiú és egy lány születési valószínűsége 0,5 $, keresse meg a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvényét - a fiúk számát a családban.

Legyen a $\xi $ valószínűségi változó a fiúk száma a családban. Azok az értékek, amelyeket a $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ vehet fel. Ezen értékek valószínűségét a $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) képlettel találhatjuk meg )$, ahol $n =2$ - független kísérletek száma, $p=0.5$ - esemény bekövetkezésének valószínűsége $n$ próbasorozatban. Kapunk:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Ekkor a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvénye a $0,\ 1,\ 2$ értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés, azaz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tömb)$

Az eloszlási törvényben szereplő valószínűségek összegének $1$-nak kell lennie, azaz $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 dollár.

Várakozás $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variancia $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, szórás $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kb. 0.707 $.

2. Poisson-eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak nem negatív egész értékeket vehet fel $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűséggel $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Megjegyzés. Ennek az eloszlásnak az a sajátossága, hogy a kísérleti adatok alapján a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ becsléseket találjuk, ha a kapott becslések közel vannak egymáshoz, akkor okunk van azt állítani, hogy a valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik.

Példa . Példák a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változókra: azoknak az autóknak a száma, amelyeket holnap szervizelnek egy benzinkút; a gyártott termék hibás tételeinek száma.

Példa . Az üzem 500 dollárnyi terméket küldött a bázisra. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002 USD. Keresse meg a $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényét, számával egyenlő sérült termékek; ami egyenlő a következővel: $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Legyen egy diszkrét $X$ valószínűségi változó a sérült elemek száma. Egy ilyen valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik a $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ paraméterrel. Az értékek valószínűsége $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás és szórás egyenlő egymással és egyenlő a $\lambda $ paraméterrel, azaz $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Az eloszlás geometriai törvénye.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak természetes értékeket vehet fel $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűségekkel $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) jobbra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, akkor azt mondjuk, hogy egy ilyen $X$ valószínűségi változóra vonatkozik a valószínűség-eloszlás geometriai törvénye. Valójában úgy tűnik, hogy a geometriai eloszlás Bernoulli kísérletei az első sikerhez.

Példa . Példák a geometriai eloszlású valószínűségi változókra: a lövések száma a cél első találata előtt; az eszköz tesztjeinek száma az első meghibásodás előtt; az érmefeldobások száma az első head up előtt, és így tovább.

Egy geometriai eloszlás alá tartozó valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Példa . Az ívóhely felé vezető halmozgás során egy 4$-os zár található. Annak a valószínűsége, hogy egy hal áthalad az egyes zsilipeken $p=3/5$. Készítse el a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozatát - a hal által áthaladt zsilipek számát a zsilip első megállása előtt. Keresse meg a következőt: $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Legyen a $X$ valószínűségi változó azoknak a zsilipeknek a száma, amelyeken a hal áthaladt a zsilip első megállója előtt. Egy ilyen valószínűségi változóra a valószínűségi eloszlás geometriai törvénye vonatkozik. Az értékek, amelyeket a $X valószínűségi változó felvehet: 1, 2, 3, 4. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet számítja ki: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, ahol: $ p=2/5$ - annak a valószínűsége, hogy a halak átkerülnek a zsilipen, $q=1-p=3/5$ - a halak átjutásának valószínűsége a zsilipen, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over(5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\(5) felett)\jobbra))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 1 és 2 és 3 és 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tömb)$

Várható érték:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Diszperzió:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ bal(1-2,176\jobb))^2+0,24\cdot (\bal(2-2176\jobb))^2+0,144\cdot (\bal(3-2176\jobb))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\kb. 1,377.$

Szórás:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\körülbelül 1173.$

4. Hipergeometriai eloszlási törvény.

Ha vannak $N$ objektumok, amelyek között $m$ objektumok rendelkeznek az adott tulajdonsággal. Véletlenszerűen, csere nélkül, $n$ objektum kinyerésre kerül, amelyek között van $k$ objektum, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. A hipergeometrikus eloszlás lehetővé teszi annak a valószínűségét, hogy egy mintában pontosan $k$ objektum rendelkezik egy adott tulajdonsággal. Legyen a $X$ valószínűségi változó azon objektumok száma a mintában, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. Ezután a $X$ valószínűségi változó értékeinek valószínűsége:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Megjegyzés. Az Excel $f_x$ függvényvarázsló HYPERGEOMET statisztikai függvénye lehetővé teszi annak meghatározását, hogy bizonyos számú próba sikeres lesz-e.

$f_x\ to $ statisztikai$\ to $ HIPERGEOMET$\ to $ rendben. Megjelenik egy párbeszédpanel, amelyet ki kell töltenie. A grafikonon Sikerek_száma_mintában adja meg a $k$ értékét. minta nagysága egyenlő: $n$. A grafikonon Sikerek_száma a populációban adja meg a $m$ értékét. Népesség egyenlő: $N$.

A geometriai eloszlási törvény hatálya alá tartozó $X$ diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\over(N))\jobbra)\balra(1-((n)\over(N))\jobbra))\over(N-1))$.

Példa . A bank hitelosztályán 5 felsőfokú pénzügyi és 3 felsőfokú végzettségű szakember dolgozik jogi oktatás. A bank vezetése úgy döntött, hogy 3 szakembert küld továbbképzésre, véletlenszerűen kiválasztotta őket.

a) Készítsen elosztási sorozatot a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező, továbbképzésre irányítható szakemberek számáról;

b) Határozza meg ennek az eloszlásnak a numerikus jellemzőit!

Legyen a $X$ valószínűségi változó a kiválasztott három közül a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek száma. Azok az értékek, amelyeket $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ vehet fel. Ez az $X$ valószínűségi változó a hipergeometrikus eloszlás szerint oszlik el a következő paraméterekkel: $N=8$ - populáció mérete, $m=5$ - sikerek száma a sokaságban, $n=3$ - mintanagyság, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - a mintában szereplő sikerek száma. Ekkor a $P\left(X=k\right)$ valószínűségek kiszámíthatók a következő képlettel: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ felett. Nekünk van:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\körülbelül 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\körülbelül 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\körülbelül 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\körülbelül 0,179.$

Ekkor a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozata:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 0 és 1 és 2 és 3 \\
\hline
p_i és 0,018 és 0,268 és 0,536 és 0,179 \\
\hline
\end(tömb)$

Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó numerikus jellemzőit a hipergeometriai eloszlás általános képleteivel!

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\bal(1-((m)\over (N))\right)\bal(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\jobbra))\over (8-1))=((225)\over (448))\körülbelül 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\körülbelül 0,7085.$

6. fejezet Folyamatos valószínűségi változók.

§ 1. Folyamatos valószínűségi változó sűrűsége és eloszlásfüggvénye.

A folytonos valószínűségi változó értékkészlete megszámlálhatatlan, és általában valamilyen véges vagy végtelen intervallumot jelent.

Egy valószínűségi térben (W, S, P) megadott x(w) valószínűségi változót hívjuk folyamatos(abszolút folytonos) W, ha létezik olyan nemnegatív függvény, hogy bármely x esetén az Fx(x) eloszlásfüggvény integráltként ábrázolható

A függvényt függvénynek nevezzük valószínűségeloszlási sűrűség.

Az eloszlási sűrűségfüggvény tulajdonságai a definícióból következnek:

1..gif" width="97" height="51">

3. A folytonossági pontokon az eloszlássűrűség egyenlő az eloszlásfüggvény deriváltjával: .

4. Az eloszlássűrűség meghatározza egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, mivel ez határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó az intervallumba esik:

5. Annak a valószínűsége, hogy egy folytonos valószínűségi változó meghatározott értéket vesz fel, nulla: . Ezért a következő egyenlőségek igazak:

Az eloszlási sűrűségfüggvény diagramját ún eloszlási görbe, és az eloszlási görbe és az x tengely által határolt terület egyenlő eggyel. Ekkor geometriailag az Fx(x) eloszlásfüggvény értéke az x0 pontban az az eloszlási görbe és az x tengely által határolt terület, amely az x0 ponttól balra fekszik.

1. feladat. A folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének alakja a következő:

Határozzuk meg a C állandót, állítsuk össze az Fx(x) eloszlásfüggvényt és számítsuk ki a valószínűséget.

Megoldás. A C állandó a következő feltételből adódik:

ahol C=3/8.

Az Fx(x) eloszlásfüggvény összeállításához vegye figyelembe, hogy az intervallum az x argumentum tartományát (a számtengelyt) három részre osztja: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

mivel a féltengelyen az x sűrűség nulla. A második esetben

Végül az utolsó esetben, amikor x>2,

Mivel a sűrűség eltűnik a féltengelyen. Tehát megkapjuk az eloszlásfüggvényt

Valószínűség képlettel számoljuk ki. És így,

2. § Folytonos valószínűségi változó numerikus jellemzői

Várható érték a folyamatosan elosztott valószínűségi változók esetében a következő képlet határozza meg: https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ha a jobb oldali integrál abszolút konvergál.

Diszperzió x képlettel számítható ki , valamint, mint a diszkrét esetben, a https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> képlet szerint.

Az 5. fejezetben a diszkrét valószínűségi változókra megadott összes elvárás és variancia tulajdonság a folytonos valószínűségi változókra is érvényes.

2. feladat. Számítsa ki az 1. feladatból származó x valószínűségi változóhoz a matematikai elvárást és szórást .

Megoldás.

És az azt jelenti

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Az egyenletes eloszlássűrűség grafikonját lásd az ábrán. .

6.2. Eloszlási függvény és eloszlási sűrűség. egységes törvény

Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó Fx(x) eloszlásfüggvénye a

Fx(x)=

Matematikai elvárás és diszperzió; .

Az exponenciális (exponenciális) eloszlás. A nem negatív értékeket felvevő x folytonos valószínűségi változó exponenciális eloszlása l>0 paraméterrel, ha a valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége egyenlő

px(x)=

Rizs. 6.3. Az exponenciális törvény eloszlásfüggvénye és eloszlási sűrűsége.

Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényének van formája

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> és , ha eloszlássűrűsége egyenlő

A normális törvény szerint elosztott összes valószínűségi változók halmazát paraméterekkel és paraméterekkel jelöljük.

Egy normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az

Rizs. 6.4. A normáltörvény eloszlásfüggvénye és eloszlási sűrűsége

A normál eloszlási paraméterek a matematikai elvárások https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Abban az esetben, amikor https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normális eloszlás hívott alapértelmezett, és az ilyen terjesztések osztálya https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

míg az eloszlásfüggvény

Egy ilyen integrált nem lehet analitikusan kiszámolni (nem „kvadratúrákba” veszik), ezért a függvényhez táblázatokat állítanak össze. A függvény a 4. fejezetben bemutatott Laplace függvényhez kapcsolódik

a következő összefüggést . A paraméterek tetszőleges értékei esetén https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> a valószínűségi változó eloszlási függvénye a Laplace-függvényhez kapcsolódik a következő összefüggés segítségével:

Ezért a képlettel kiszámítható annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó egy intervallumba esik

Egy nem negatív x valószínűségi változót log-normális eloszlásúnak nevezünk, ha a h=lnx logaritmusa megfelel a normál törvénynek. Egy log-normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája Mx= és Dx=.

3. feladat. Adjunk meg egy véletlenszerű értéket https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Megoldás. Itt és https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplace-eloszlás az fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> függvény állítja be, és a kurtózis gx=3.

6.5. Laplace-eloszlási sűrűségfüggvény.

Az x valószínűségi változó szét van osztva Weibull törvény, ha az eloszlássűrűség függvénye egyenlő: https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

A Weibull disztribúció számos műszaki eszköz hibamentes működési idejét követi. Ennek a profilnak a feladataiban fontos jellemző a t kor vizsgált elemeinek meghibásodási aránya (halálozási ráta) l(t), amelyet az l(t)= összefüggés határoz meg. Ha a=1, akkor a Weibull-eloszlás exponenciális eloszlássá, ha a=2 - ún. Rayleigh.

A Weibull-eloszlás matematikai elvárása: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, ahol Г(а) az Euler funkció..

Az alkalmazott statisztika különféle problémáiban gyakran találkozhatunk úgynevezett „csonka” eloszlással. Például az adóhatóság érdekelt azon személyek jövedelmének elosztásában, akiknek éves jövedelme meghaladja az adótörvények által meghatározott c0 küszöböt. Ezek az eloszlások megközelítőleg megegyeznek a Pareto-eloszlással. Pareto eloszlás függvények adják

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> valószínűségi változó x és monoton differenciálható függvény ..gif" width="200" height="51">

Itt https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

4. feladat. A valószínűségi változó egyenletesen oszlik el az intervallumon. Határozzuk meg egy valószínűségi változó sűrűségét.

Megoldás. A probléma feltételéből következik, hogy

Ezután a funkció egy monoton és differenciálható függvény az intervallumon, és rendelkezik inverz függvény , amelynek deriváltja egyenlő Ezért,

§ 5. Folyamatos valószínűségi változók párja

Legyen adott két folytonos x és h valószínűségi változó. Ekkor az (x, h) pár meghatároz egy "véletlenszerű" pontot a síkon. Egy (x, h) párt hívunk véletlen vektor vagy kétdimenziós valószínűségi változó.

közös elosztási funkció x és h valószínűségi változók, és a függvény neve F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. ízületi sűrűség az x és h valószínűségi változók valószínűségi eloszlása olyan függvény, hogy .

Az együttes eloszlási sűrűség ezen definíciójának jelentése a következő. Annak valószínűségét, hogy egy „véletlen pont” (x, h) egy síkban lévő területre esik, egy háromdimenziós alakzat térfogataként számítják ki - egy „görbült” henger, amelyet a felület határol https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Két valószínűségi változó együttes eloszlásának legegyszerűbb példája a kétdimenziós egyenletes eloszlás a forgatásonA. Legyen adott egy M területű korlátos halmaz, amelyet az (x, h) pár eloszlásaként definiálunk a következő kötéssűrűséggel:

5. feladat. Legyen egy kétdimenziós véletlenszerű vektor (x, h) egyenletes eloszlású a háromszögben. Számítsa ki az x>h egyenlőtlenség valószínűségét!

Megoldás. A jelzett háromszög területe egyenlő (lásd a sz. ábrát?). A kétdimenziós egyenletes eloszlás definíciója értelmében az x, h valószínűségi változók együttes sűrűsége egyenlő

Az esemény megfelel a díszletnek síkon, vagyis félrepülőn. Aztán a valószínűség

A B félsíkon az illesztési sűrűség nullával egyenlő a https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> halmazon kívül. , a B félsík két halmazra van osztva és https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> és , a második integrál pedig nulla, mivel ott az illesztési sűrűség nulla. Ezért

Ha az (x, h) pár együttes eloszlási sűrűsége adott, akkor az x és h sűrűségeket és komponenseket ún. magánsűrűségekés a következő képletekkel számítják ki:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

A px(x), ph(y) sűrűségű folytonos eloszlású valószínűségi változóknál a függetlenség ezt jelenti

6. feladat. Határozza meg az előző feladat feltételei között, hogy az x és h véletlenvektor komponensei függetlenek-e?

Megoldás. Számítsuk ki a részsűrűségeket és . Nekünk van:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Nyilvánvaló, hogy esetünkben https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x és h együttes sűrűsége, valamint j(x, y) tehát két argumentum függvénye

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

7. feladat. Az előző feladat körülményei között számítsa ki.

Megoldás. A fenti képlet szerint a következőket kapjuk:

A háromszög ábrázolása mint

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

5. § Két folytonos valószínűségi változó összegének sűrűsége

Legyenek x és h független valószínűségi változók, amelyek sűrűsége https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Az x + valószínűségi változó sűrűsége h képletből számítjuk ki konvolúciók

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Számítsa ki az összegsűrűséget.

Megoldás. Mivel x és h az exponenciális törvény szerint oszlik el a paraméterrel, sűrűségük egyenlő

Ennélfogva,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ha x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatív, ezért . Ezért ha https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Így megkaptuk a választ:

A https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> rendszerint 0 és 1 paraméterrel oszlik el. Az x1 és x2 véletlenszerű változók függetlenek és normálisak eloszlások rendre a1 és a2 paraméterekkel Bizonyítsuk be, hogy x1 + x2 normális eloszlású Az x1, x2, ... xn véletlenszerű változók eloszlásúak és függetlenek, és azonos eloszlássűrűség-függvénnyel rendelkeznek

Keresse meg a mennyiségek eloszlásfüggvényét és eloszlási sűrűségét:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn); b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Az x1, x2, ... xn véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak az [а, b] intervallumon. Keresse meg a mennyiségek eloszlásfüggvényeit és eloszlási sűrűségfüggvényeit!

x(1) = min(x1,x2, ...xn) és x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Bizonyítsa be, hogy M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

A valószínűségi változó eloszlása a Cauchy-törvény szerint történik Keresse meg: a) az a együtthatót; b) eloszlási függvény; c) a (-1, 1) intervallum eltalálásának valószínűsége. Mutassuk meg, hogy az x elvárása nem létezik. A valószínűségi változó betartja a Laplace-törvényt l (l>0) paraméterrel: Keresse meg az a együtthatót; grafikonokat készíteni az eloszlássűrűségről és az eloszlásfüggvényről; keresse meg Mx és Dx; találja meg az események valószínűségét (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Írja fel az eloszlássűrűség képletét, keresse meg Mx és Dx értékeket.

Számítástechnikai feladatok.

Egy véletlenszerű A pont egyenletes eloszlású egy R sugarú körben. Határozza meg egy pont és a kör középpontja közötti r távolságának matematikai elvárását és szórását! Mutassuk meg, hogy az r2 mennyiség egyenletesen oszlik el az intervallumon.

Egy valószínűségi változó eloszlássűrűsége a következő:

Számítsa ki a C állandót, az F(x) eloszlásfüggvényt és a valószínűséget! Egy valószínűségi változó eloszlássűrűsége a következő:

Számítsa ki a C állandót, az F(x) eloszlásfüggvényt és a valószínűséget! Egy valószínűségi változó eloszlássűrűsége a következő:
Számítsa ki a C állandót, az F(x) eloszlásfüggvényt, a szórást és a valószínűséget A véletlen változónak eloszlásfüggvénye van

Számítsa ki egy valószínűségi változó sűrűségét, a matematikai elvárást, a varanciát és a valószínűséget Ellenőrizze, hogy a függvény =
egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye lehet. Keresse meg ennek a mennyiségnek a numerikus jellemzőit: Mx és Dx. A valószínűségi változó egyenletesen oszlik el a szegmensen. Írja fel az eloszlási sűrűséget! Keresse meg az eloszlási függvényt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a szegmensen és a szegmensen eltalál egy valószínűségi változó. Az x eloszlássűrűség az

Határozzuk meg a c állandót, a h = eloszlássűrűséget és a valószínűséget!

P (0,25

A számítógép üzemideje exponenciális törvény szerint oszlik el, az l = 0,05 paraméterrel (hiba per óra), azaz sűrűségfüggvénye van

p(x) = .

Egy adott probléma megoldásához a gép 15 perces problémamentes működésére van szükség. Ha a probléma megoldása során hiba lép fel, akkor a hiba csak a megoldás végén észlelhető, és a probléma újra megoldódik. Határozza meg: a) annak valószínűségét, hogy a feladat megoldása során nem következik be hiba; b) az átlagos idő, ameddig a probléma megoldódik.

Egy 24 cm hosszú rúd két részre van törve; feltételezzük, hogy a töréspont egyenletesen oszlik el a rúd teljes hosszában. Mekkora a legtöbb bot átlagos hossza? Egy 12 cm hosszú darabot véletlenszerűen két részre vágunk. A vágási pont egyenletesen oszlik el a szegmens teljes hosszában. Mekkora a szakasz egy kis részének átlagos hossza? A valószínűségi változó egyenletesen oszlik el az intervallumon. Határozzuk meg egy valószínűségi változó eloszlássűrűségét a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Mutassuk meg, hogy ha x-nek van folytonos eloszlásfüggvénye

F(x) = P(x

Határozzuk meg két független x és h mennyiség összegének sűrűségfüggvényét és eloszlásfüggvényét egységes eloszlási törvényekkel az intervallumokon, ill. Az x és h valószínűségi változók függetlenek és egyenletes eloszlásúak az intervallumokon, ill. Számítsa ki az x+h összeg sűrűségét! Az x és h valószínűségi változók függetlenek és egyenletes eloszlásúak az intervallumokon, ill. Számítsa ki az x+h összeg sűrűségét! Az x és h valószínűségi változók függetlenek és egyenletes eloszlásúak az intervallumokon, ill. Számítsa ki az x+h összeg sűrűségét! A véletlen változók függetlenek, és exponenciális eloszlásúak a sűrűséggel . Határozzuk meg összegük eloszlási sűrűségét! Határozzuk meg a független x és h valószínűségi változók összegének eloszlását, ahol x egyenletes eloszlású az intervallumon, h pedig exponenciális eloszlású l paraméterrel. Keresse meg P , ha x-nek van: a) normális eloszlása a és s2 paraméterekkel; b) exponenciális eloszlás l paraméterrel; c) egyenletes eloszlás a [-1;1] intervallumon. Az x, h együttes eloszlása egyenletes négyzetes
K = (x, y): |x| +|y|2 GBP). Valószínűség keresése . x és h függetlenek? Az x és h valószínűségi változók egy párja egyenletesen oszlik el a K= háromszögben. Számítsd ki az x és h sűrűséget! Függetlenek ezek a valószínűségi változók? Keresse meg a valószínűséget. Az x és h véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak az intervallumokon és [-1,1]. Keresse meg a valószínűséget. Egy kétdimenziós valószínűségi változó (x, h) egyenletesen eloszlik egy négyzetben, amelynek csúcsai (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Keresse meg a közös eloszlásfüggvény értékét az (1, -1) pontban! Az (x, h) véletlen vektor egyenletesen oszlik el egy 3 sugarú körön belül, amelynek középpontja az origóban van. Írjon egy kifejezést az együttes eloszlási sűrűségre! Határozza meg, hogy ezek a valószínűségi változók függőek-e. Számítsa ki a valószínűséget. Az x és h valószínűségi változók egy párja egyenletesen oszlik el egy trapézben, amelynek csúcsai a (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0) pontokban találhatók. Határozzuk meg ennek a valószínűségi változópárnak az együttes eloszlási sűrűségét és a komponensek sűrűségét! x és h függ? Egy véletlenszerű pár (x, h) egyenletesen oszlik el a félkörön belül. Keresse meg az x és h sűrűséget, vizsgálja meg a függőségük kérdését! Két x és h valószínűségi változó együttes sűrűsége a .
Keresse meg az x, h sűrűséget. Vizsgáljuk meg x és h függésének kérdését! Egy véletlenszerű pár (x, h) egyenletesen oszlik el a halmazon. Keresse meg az x és h sűrűséget, vizsgálja meg a függőségük kérdését! Keresse meg M(xh). Az x és h véletlen változók függetlenek, és az exponenciális törvény szerint vannak elosztva a Find paraméterrel

A normális eloszlású valószínűségi változókkal kapcsolatos számos problémában meg kell határozni annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó, amely megfelel a paraméterek normáltörvényének, a tól -ig terjedő intervallumba esik. Ennek a valószínűségnek a kiszámításához az általános képletet használjuk

ahol a mennyiség eloszlásfüggvénye .

Határozzuk meg egy normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó paraméteres eloszlásfüggvényét. Az érték eloszlási sűrűsége:

. (6.3.2)

Innen megtaláljuk az eloszlásfüggvényt

. (6.3.3)

Végezzük el a változó változtatását az integrálban (6.3.3)

és hozd a formába:

(6.3.4)

Az integrált (6.3.4) nem elemi függvényekkel fejezzük ki, hanem egy speciális függvénnyel számítható, amely a kifejezés egy meghatározott integrálját fejezi ki vagy (ún. valószínűségi integrál), amelyhez táblázatokat állítanak össze. . Az ilyen funkcióknak számos változata létezik, például:

;

stb. Ízlés kérdése, hogy ezek közül a funkciók közül melyiket használjuk. Ilyen funkcióként fogunk választani

. (6.3.5)

Könnyen belátható, hogy ez a függvény nem más, mint egy normális eloszlású, paraméterekkel rendelkező valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

Egyetértünk abban, hogy a függvényt normál eloszlású függvénynek nevezzük. A függelék (1. táblázat) a függvényértékek táblázatait mutatja be.

Fejezzük ki a mennyiség eloszlásfüggvényét (6.3.3) paraméterekkel és normáleloszlási függvényben. Magától értetődően,

. (6.3.6)

Most nézzük meg, hogy mekkora valószínűséggel találunk el egy valószínűségi változót a től ig terjedő szegmensben. A (6.3.1) képlet szerint

Így kifejeztük annak valószínűségét, hogy egy 0,1-es paraméterekkel rendelkező legegyszerűbb normáltörvénynek megfelelő standard eloszlásfüggvény szerint egy normális törvény szerint eloszló, tetszőleges paraméterű valószínűségi változó a diagramra esik. Figyeljük meg, hogy a (6.3.7) képlet függvényargumentumai nagyon egyszerű jelentéssel bírnak: a szakasz jobb vége és a szórás középpontja közötti távolság van, szórással kifejezve; - Ugyanez a távolság a szelvény bal végére, és ez a távolság pozitívnak tekinthető, ha a vége a diszperziós középponttól jobbra található, és negatívnak, ha balra van.

Mint minden eloszlási függvény, a függvénynek is a következő tulajdonságai vannak:

3. - nem csökkenő funkció.

Ráadásul az origóra vonatkozó paraméterekkel rendelkező normális eloszlás szimmetriájából az következik

Ezzel a tulajdonsággal tulajdonképpen csak az argumentum pozitív értékeire lehetne korlátozni a függvénytáblázatokat, de a szükségtelen műveletek (egyből kivonás) elkerülése érdekében a függelék 1. táblázata megadja az értékeket pozitív és negatív érvek egyaránt.

A gyakorlatban gyakran találkozunk azzal a problémával, hogy kiszámítsuk annak valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó a diszperziós középpontra szimmetrikus területre esik. Tekintsünk egy ilyen hosszúságú szakaszt (6.3.1. ábra). Számítsuk ki ennek a webhelynek a valószínűségét a (6.3.7) képlet segítségével:

Figyelembe véve a függvény (6.3.8) tulajdonságát, és a (6.3.9) képlet bal oldalát tömörebb alakot adva, egy képletet kapunk arra vonatkozóan, hogy egy normális törvény szerint eloszlású valószínűségi változó mekkora valószínűséggel eshet a szórási középponthoz képest szimmetrikus szakasz:

. (6.3.10)

Oldjuk meg a következő problémát. Tegyünk félre a szórási középpontból egymás utáni hosszúságú szegmenseket (6.3.2. ábra), és számítsuk ki annak valószínűségét, hogy mindegyikbe egy valószínűségi változó esik. Mivel a normáltörvény görbéje szimmetrikus, elegendő az ilyen szakaszokat csak egy irányba halasztani.

A (6.3.7) képlet szerint a következőket kapjuk:

(6.3.11)

Amint az ezekből az adatokból látható, a következő szegmensek (ötödik, hatodik stb.) 0,001 pontosságú eltalálásának valószínűsége nullával egyenlő.

A szegmensek eltalálásának valószínűségét 0,01-re (legfeljebb 1%-ra) kerekítve három könnyen megjegyezhető számot kapunk:

0,34; 0,14; 0,02.

Ennek a három értéknek az összege 0,5. Ez azt jelenti, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó esetén minden diszperzió (a százalék töredékéig) belefér a szakaszba.

Ez lehetővé teszi egy valószínűségi változó szórásának és matematikai elvárásának ismeretében, hogy megközelítőleg jelezzük a gyakorlatban lehetséges értékeinek tartományát. A valószínűségi változó lehetséges értékeinek tartományának becslésének ezt a módszerét a matematikai statisztika „három szigma szabályaként” ismeri. A három szigma szabálya egy közelítő módszert is jelent egy valószínűségi változó szórásának meghatározására: az átlagtól gyakorlatilag lehetséges legnagyobb eltérést veszik, és elosztják hárommal. Természetesen ez a durva módszer csak akkor ajánlható, ha nincs más, pontosabb módszer a meghatározására.

Példa 1. A normális törvény szerint elosztott valószínűségi változó hiba egy bizonyos távolság mérésében. Méréskor szisztematikus hiba megengedett az 1,2 (m) túlbecslés irányában; a mérési hiba szórása 0,8 (m). Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mért érték eltérése a valódi értéktől abszolút értékben nem haladja meg az 1,6 (m)-t!

Megoldás. A mérési hiba egy valószínűségi változó, amely a normál törvénynek engedelmeskedik, és paraméterekkel. Meg kell találnunk annak a valószínűségét, hogy ez a mennyiség a -tól -ig terjedő intervallumra esik. A (6.3.7) képlet alapján:

A függvénytáblázatok segítségével (Függelék, 1. táblázat) a következőket találjuk:

; ,

2. példa Keresse meg ugyanazt a valószínűséget, mint az előző példában, de azzal a feltétellel, hogy nincs szisztematikus hiba.

Megoldás. A (6.3.10) képlet alapján, feltételezve, hogy a következőt kapjuk:

Példa 3. Egy sávnak (autóútnak) látszó célpontra, amelynek szélessége 20 m, az autópályára merőleges irányban lövöldözzünk. A célzás az autópálya középvonala mentén történik. A tüzelési irány szórása egyenlő m. A tüzelési irányban szisztematikus hiba van: az alullövés 3 m. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy lövéssel eltalálja az autópályát!