Téglalap alakú paralelepipedon - A tudás hipermarketje. A paralelepipedon kötete: alapképletek és feladatpéldák

Ebben a leckében mindenki tanulmányozhatja a "Téglalap alakú doboz" témát. A lecke elején megismételjük, mi a tetszőleges és egyenes paralelepipedon, felidézzük a paralelepipedon ellentétes lapjainak és átlóinak tulajdonságait. Ezután megvizsgáljuk, mi az a téglatest, és megvitatjuk fő tulajdonságait.

Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége

Tanulság: Cuboid

Két egyenlő ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammából és négy ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelogrammából álló felületet ún. paralelepipedon(1. ábra).

Rizs. 1 Paralleleppiped

Azaz: van két egyenlő paralelogrammánk ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 (bázisok), párhuzamos síkban helyezkednek el úgy, hogy oldalbordák Az AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 párhuzamosak. Így egy paralelogrammákból álló felületet ún paralelepipedon.

Így a paralelepipedon felülete a paralelepipedont alkotó összes paralelogramma összege.

1. A paralelepipedon szemközti lapjai párhuzamosak és egyenlőek.

(az ábrák egyenlőek, azaz átfedéssel kombinálhatók)

Például:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (a definíció szerint egyenlő paralelogrammák),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (mivel AA 1 B 1 B és DD 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (mivel az AA 1 D 1 D és BB 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai).

2. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot felezik.

Az AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B paralelepipedon átlói egy O pontban metszik egymást, és minden átlót ezzel a ponttal kettéosztunk (2. ábra).

Rizs. 2 A paralelepipedon átlói metszik és felezik a metszéspontot.

3. A paralelepipedon három egyenlő és párhuzamos élének négyszerese: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Meghatározás. A paralelepipedont egyenesnek nevezzük, ha oldalsó élei merőlegesek az alapokra.

Legyen az AA 1 oldalél merőleges az alapra (3. ábra). Ez azt jelenti, hogy az AA 1 egyenes merőleges az AD és AB egyenesekre, amelyek az alap síkjában helyezkednek el. Ezért téglalapok vannak az oldallapokon. Az alapok pedig tetszőleges paralelogrammák. Jelölje ∠BAD = φ, a φ szög tetszőleges lehet.

Rizs. 3 Jobb oldali doboz

Tehát a jobb oldali doboz olyan doboz, amelyben az oldalsó élek merőlegesek a doboz aljára.

Meghatározás. A paralelepipedont téglalap alakúnak nevezzük, ha oldalélei merőlegesek az alapra. Az alapok téglalap alakúak.

A АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 paralelepipedon téglalap alakú (4. ábra), ha:

1. AA 1 ⊥ ABCD (oldalsó éle merőleges az alap síkjára, azaz egyenes paralelepipedon).

2. ∠BAD = 90°, azaz az alap egy téglalap.

Rizs. 4 Cuboid

A téglalap alakú doboz minden tulajdonsággal rendelkezik, mint egy tetszőleges doboz. De vannak további tulajdonságok, amelyek a téglatest definíciójából származnak.

Így, kocka alakú paralelepipedon, amelynek oldalélei merőlegesek az alapra. A téglatest alapja egy téglalap.

1. Egy téglatestben mind a hat lap téglalap.

Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 definíció szerint téglalapok.

2. Az oldalsó bordák merőlegesek az alapra. Szóval mindent oldalsó arcok téglatest - téglalapok.

3. A téglatest minden kétszögű szöge derékszög.

Tekintsük például egy AB élű téglalap alakú paralelepipedon kétszögét, azaz az ABB 1 és ABC síkok közötti diéderszöget.

Az AB egy él, az A 1 pont az egyik síkban - az ABB 1 síkban, a D pont a másikban - az A 1 B 1 C 1 D 1 síkban fekszik. Ekkor a figyelembe vett diéderszög a következőképpen is jelölhető: ∠А 1 АВD.

Vegyük az A pontot az AB élen. Az AA 1 merőleges az AB élre az ABB-1 síkban, az AD merőleges az AB élre az ABC síkban. Ezért ∠A 1 AD az adott diéderszög lineáris szöge. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ami azt jelenti, hogy az AB él diéderszöge 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon bármely kétszöge jó.

Egy téglatest átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzetösszegével.

Jegyzet. A téglatest ugyanazon csúcsából kiinduló három él hossza a téglatest méretei. Néha hossznak, szélességnek, magasságnak is nevezik.

Adott: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - téglalap alakú paralelepipedon (5. ábra).

Bizonyít: .

Rizs. 5 Cuboid

Bizonyíték:

A CC 1 egyenes merőleges az ABC síkra, tehát az AC egyenesre. Tehát a CC 1 A háromszög derékszögű háromszög. A Pitagorasz-tétel szerint:

Fontolgat derékszögű háromszög ABC. A Pitagorasz-tétel szerint:

De a BC és AD a téglalap ellentétes oldalai. Tehát BC = Kr. u. Akkor:

Mert , A , Azt. Mivel CC 1 = AA 1, akkor mit kellett bizonyítani.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek.

Jelöljük a paralelepipedon ABC méreteit a, b, c méretekkel (lásd 6. ábra), akkor AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

A diákok gyakran felháborodva kérdezik: „Hogyan lesz ez hasznos számomra az életben?”. Az egyes témák bármelyik témájában. Ez alól a paralelepipedon térfogatával kapcsolatos téma sem kivétel. És itt csak azt lehet mondani: "Jól fog jönni."

Hogyan lehet például megtudni, hogy egy csomag belefér-e a postaládába? Természetesen próbálgatással is kiválaszthatja a megfelelőt. Mi van, ha nincs ilyen lehetőség? Ezután a számítások segítenek. A doboz kapacitásának ismeretében kiszámíthatja a csomag térfogatát (legalább hozzávetőlegesen), és válaszolhat a kérdésre.

Paralleleppiped és típusai

Ha szó szerint lefordítjuk a nevét az ógörögről, kiderül, hogy ez egy párhuzamos síkokból álló alak. A paralelepipedonnak ilyen ekvivalens definíciói vannak:

paralelogramma formájú alappal rendelkező prizma;
poliéder, amelynek minden lapja paralelogramma.

Típusait aszerint különböztetjük meg, hogy melyik figura fekszik a tövében, és hogyan vannak az oldalbordák irányítva. Általában arról beszélünk ferde paralelepipedon amelynek alapja és minden lapja paralelogramma. Ha az előző nézet oldallapjai téglalapokká válnak, akkor már meg kell hívni közvetlen. És at négyszögletesés az alapnak is 90 fokos szöge van.

Sőt, a geometriában ez utóbbit igyekeznek úgy ábrázolni, hogy észrevehető legyen, hogy minden él párhuzamos. Itt egyébként megfigyelhető a fő különbség a matematikusok és a művészek között. Ez utóbbiak számára fontos, hogy a testet a perspektíva törvényének megfelelően közvetítsék. És ebben az esetben az élek párhuzamossága teljesen láthatatlan.

A bevezetett jelölésről

Az alábbi képletekben a táblázatban feltüntetett jelölések érvényesek.

Képletek egy ferde dobozhoz

Az első és a második a területekhez:

A harmadik a doboz térfogatának kiszámítására szolgál:

Mivel az alap egy paralelogramma, területének kiszámításához a megfelelő kifejezéseket kell használni.

Képletek egy téglatesthez

Az első bekezdéshez hasonlóan - két képlet a területekhez:

És még egy a kötethez:

Első feladat

Feltétel. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon, amelynek térfogata megtalálható. Ismert az átló - 18 cm - és az, hogy 30, illetve 45 fokos szöget zár be az oldallap síkjával, illetve az oldaléllel.

Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához meg kell találnia három derékszögű háromszög összes oldalát. Megadják a szükséges élértékeket, amelyekhez ki kell számítani a térfogatot.

Először ki kell találnia, hol van a 30 fokos szög. Ehhez meg kell rajzolnia az oldallap átlóját ugyanabból a csúcsból, amelyből a paralelogramma főátlója készült. A köztük lévő szög olyan lesz, amire szüksége van.

Az első háromszög, amely az alap egyik oldalát adja, a következő lesz. Tartalmazza a kívánt oldalt és két megrajzolt átlót. Ez téglalap alakú. Most az ellenkező láb (alapoldal) és a hipotenusz (átlós) arányát kell használni. Ez egyenlő a 30°-os szinuszával. Ez azt jelenti, hogy az alap ismeretlen oldalát a rendszer az átló és a 30º vagy ½ szinuszának szorzataként határozza meg. Legyen "a" betűvel jelölve.

A második egy háromszög, amely ismert átlót és egy élt tartalmaz, amellyel 45°-ot alkot. Szintén téglalap alakú, és ismét használhatja a láb és a hipotenusz arányát. Más szóval, az oldalsó él az átlóhoz. Ez egyenlő a 45º koszinuszával. Ez azt jelenti, hogy a "c" az átló és a 45º koszinusz szorzataként kerül kiszámításra.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Ugyanabban a háromszögben egy másik lábat kell találnia. Erre azért van szükség, hogy azután kiszámítsuk a harmadik ismeretlent - „ben”. Legyen "x" betűvel jelölve. Könnyen kiszámítható a Pitagorasz-tétel segítségével:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Most egy másik derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk. Már tartalmaz híres bulik"s", "x" és a számolandó "in":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Mindhárom mennyiség ismert. Használhatja a térfogat képletét, és kiszámíthatja:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Válasz: a paralelepipedon térfogata 729√2 cm 3 .

Második feladat

Feltétel. Keresse meg a paralelepipedon térfogatát! Ismeri a paralelogramma alján fekvő oldalait, 3 és 6 cm-t, valamint hegyesszögét - 45º. Az oldalsó borda 30°-os dőlésszögű az alaphoz képest, és egyenlő 4 cm-rel.

Megoldás. A probléma kérdésének megválaszolásához vegye figyelembe a kötethez írt képletet ferde paralelepipedon. De mindkét mennyiség ismeretlen benne.

Az alap, azaz a paralelogramma területét az a képlet határozza meg, amelyben meg kell szorozni az ismert oldalakat és a köztük lévő hegyesszög szinuszát.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

A második ismeretlen a magasság. Az alap feletti négy csúcs bármelyikéből rajzolható. Megtalálható egy derékszögű háromszögből, amelyben a magasság a láb, az oldalél pedig a befogó. Ebben az esetben egy 30°-os szög az ismeretlen magassággal szemben. Tehát használhatja a láb és a hypotenus arányát.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Most már minden érték ismert, és kiszámolhatja a térfogatot:

V = 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Válasz: térfogata 18 √2 cm 3.

Harmadik feladat

Feltétel. Határozzuk meg a paralelepipedon térfogatát, ha ismert, hogy egyenes. Alapjának oldalai paralelogrammát alkotnak, és egyenlők 2 és 3 cm-rel. Éles sarok közöttük 60º. A paralelepipedon kisebb átlója megegyezik az alap nagyobb átlójával.

Megoldás. A paralelepipedon térfogatának meghatározásához az alapterülettel és magassággal rendelkező képletet használjuk. Mindkét mennyiség ismeretlen, de könnyen kiszámítható. Az első a magasság.

Mivel a paralelepipedon kisebbik átlója akkora, mint a nagyobb alapé, ugyanazzal a d betűvel jelölhetjük őket. A paralelogramma legnagyobb szöge 120º, mivel 180º-ot alkot egy hegyessel. Az alap második átlóját jelöljük "x" betűvel. Most az alap két átlójára koszinusztételek írhatók fel:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 = 2 + 2 - 2ab cos 60º.

Négyzetek nélküli értékek keresése értelmetlen, mert akkor újra a második hatványra emelkednek. Az adatok behelyettesítése után kiderül:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 = 2 + 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Most a magasság, amely egyben a paralelepipedon oldaléle is, a háromszögben lévő láb lesz. A hypotenusa lesz ismert átlója test, és a második láb - "x". Felírhatod a Pitagorasz-tételt:

n 2 = d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Tehát: n = √12 = 2√3 (cm).

Most a második ismeretlen mennyiség az alap területe. A második feladatban említett képlet segítségével számítható ki.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Ha mindent egy térfogati képletbe foglalunk, a következőt kapjuk:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Válasz: V \u003d 18 cm 3.

A negyedik feladat

Feltétel. Meg kell találni a paralelepipedon térfogatát, amely megfelel a következő feltételeknek: az alap egy négyzet, amelynek oldala 5 cm; oldallapjai rombuszok; az alap feletti csúcsok egyike egyenlő távolságra van az alapon fekvő összes csúcstól.

Megoldás. Először is foglalkoznia kell az állapottal. Az első bekezdésben nincs kérdés a térrel kapcsolatban. A második, amely a rombuszokról szól, egyértelművé teszi, hogy a paralelepipedon ferde. Sőt, minden éle egyenlő 5 cm-rel, mivel a rombusz oldalai azonosak. A harmadikból pedig kiderül, hogy a belőle húzott három átló egyenlő. Ez kettő az oldallapokon fekszik, az utolsó pedig a paralelepipedon belül van. És ezek az átlók egyenlőek az éllel, vagyis 5 cm hosszúak is.

A térfogat meghatározásához egy ferde paralelepipedonra írt képletre lesz szüksége. Ismétlem, nincsenek benne ismert mennyiségek. Az alap területét azonban könnyű kiszámítani, mivel ez egy négyzet.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Egy kicsit nehezebb a helyzet a magassággal. Három ábrán lesz ilyen: egy paralelepipedon, egy négyszögletű piramis és egy egyenlő szárú háromszög. Az utolsó körülményt kell használni.

Mivel ez egy magasság, ez egy láb derékszögű háromszögben. A benne lévő hipotenusz egy ismert él lesz, és a második láb egyenlő a négyzet átlójának felével (a magasság egyben a medián). És az alap átlója könnyen megtalálható:

d = √(2*52) = 5√2 (cm).

A magasságot az él második fokának és az átló felének négyzetének különbségeként kell kiszámítani, és ne felejtse el kivonni a négyzetgyököt:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Válasz: 62,5 √2 (cm 3).

kocka alakú

A téglatest olyan derékszögű téglatest, amelyben minden lap téglalap.

Elég, ha körülnézünk, és látni fogjuk, hogy a körülöttünk lévő tárgyak paralelepipedonhoz hasonló alakúak. Eltérhetnek a színükben, sok további részlettel rendelkeznek, de ha ezeket a finomságokat elvetik, akkor azt mondhatjuk, hogy például egy szekrény, egy doboz stb. körülbelül azonos alakú.

Szinte mindennap találkozunk a téglalap alakú paralelepipedon fogalmával! Nézz körül, és mondd meg, hol látsz téglalap alakú dobozokat? Nézzétek meg a könyvet, mert ez pont ilyen forma! Egy tégla, egy gyufásdoboz, egy fahasáb ugyanolyan alakú, és még most is egy téglalap alakú téglatest belsejében vagy, mert az osztályterem ennek a legfényesebb értelmezése. geometriai alakzat.

Gyakorlat: Milyen példákat tudna megnevezni a paralelepipedonra?

Nézzük meg közelebbről a téglatestet. És mit látunk?

Először is látjuk, hogy ez az ábra hat téglalapból áll, amelyek egy téglatest lapjai;

Másodszor, a téglatestnek nyolc csúcsa és tizenkét éle van. A téglatest élei a lapjainak oldalai, a téglatest csúcsai pedig a lapok csúcsai.

Gyakorlat:

1. Mi a neve egy négyszögletes paralelepipedon egyes lapjainak? 2. Milyen paramétereknek köszönhetően mérhető a paralelogramma? 3. Határozza meg az ellentétes oldalakat.

A paralelepipedonok fajtái

De a paralelepipedonok nemcsak téglalap alakúak, hanem egyenesek és ferdeek is lehetnek, és az egyenes vonalakat téglalap alakúra, nem téglalap alakúra és kockákra osztják.

Feladat: Nézze meg a képet, és mondja meg, mely paralelepipedonok láthatók rajta! Miben különbözik a téglatest a kockától?

A téglatest tulajdonságai

A négyszögletes paralelepipedonnak számos fontos tulajdonsága van:

Először is, ennek a geometriai alaknak az átlójának négyzete egyenlő a három fő paramétere négyzeteinek összegével: magasság, szélesség és hosszúság.

Másodszor, mind a négy átlója teljesen azonos.

Harmadszor, ha a paralelepipedon mindhárom paramétere azonos, azaz a hossza, szélessége és magassága egyenlő, akkor egy ilyen paralelepipedont kockának nevezünk, és minden lapja azonos négyzettel lesz egyenlő.

Gyakorlat

1. Egy téglalap alakú paralelepipedonnak egyenlő lapjai vannak? Ha vannak, mutasd meg a képen. 2. Miből geometriai formák egy téglalap alakú paralelepipedon lapjai? 3. Hogyan helyezkednek el az egyenlő lapok egymáshoz képest? 4. Nevezze meg ennek az ábrának az egyenlő lappárjainak számát! 5. Keresse meg a téglatest éleit, amelyek jelzik a hosszát, szélességét, magasságát! Hányat számoltál?

Feladat

Hogy gyönyörűen megszervezzen egy születésnapi ajándékot édesanyjának, Tanya vett egy négyszögletes paralelepipedon alakú dobozt. A doboz mérete 25cm*35cm*45cm. Hogy szép legyen ez a csomag, Tanya úgy döntött, hogy gyönyörű papírral borítja be, melynek ára 3 hrivnya 1 dm2-enként. Mennyi pénzt kell csomagolópapírra költeni?

Tudtad, hogy a híres illuzionista, David Blaine egy kísérlet részeként 44 napot töltött a Temze fölé függesztett üvegdobozban? Ebben a 44 napban nem evett, csak vizet ivott. Dávid önkéntes büntetés-végrehajtási intézetében csak íróeszközöket, párnát és matracot, valamint zsebkendőt vitt magával.

Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége

Tanulság: Cuboid

Két egyenlő ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammából és négy ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelogrammából álló felületet ún. paralelepipedon(1. ábra).

Rizs. 1 Paralleleppiped

Azaz: van két egyforma ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammunk (alapok), ezek párhuzamos síkban helyezkednek el úgy, hogy az AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 oldalélek párhuzamosak legyenek. Így egy paralelogrammákból álló felületet ún paralelepipedon.