Itt összegyűjtöttük az alapvető információkat a piramisokról és a kapcsolódó képletekről és fogalmakról. Mindegyiket matematika tanárral tanulják a vizsgára készülve.

Vegyünk egy síkot, egy sokszöget benne fekszik és egy pont S nem fekszik benne. Csatlakoztassa az S-t a sokszög összes csúcsához. A kapott poliédert piramisnak nevezzük. A szegmenseket oldalsó éleknek nevezzük. A sokszöget alapnak, az S pontot pedig a piramis csúcsának nevezzük. Az n számtól függően a piramist háromszögnek (n=3), négyszögletűnek (n=4), ötszögletűnek (n=5) és így tovább nevezzük. A háromszög alakú piramis alternatív neve - tetraéder. A piramis magassága a csúcsától az alapsíkra húzott merőleges.

A piramist helyesnek nevezzük, ha szabályos sokszög, és a piramis magasságának alapja (a merőleges alapja) a középpontja.

Az oktató megjegyzése:
Ne keverje össze a "szabályos piramis" és a "szabályos tetraéder" fogalmát. Egy szabályos piramisban az oldalélek nem feltétlenül egyenlőek az alap éleivel, de egy szabályos tetraéderben az élek mind a 6 éle egyenlő. Ez az ő meghatározása. Könnyű bizonyítani, hogy az egyenlőségből következik, hogy a sokszög P középpontja magassági alappal, tehát a szabályos tetraéder szabályos piramis.

Mi az apotéma?
A piramis apotémája az oldallap magassága. Ha a piramis szabályos, akkor minden apotémája egyenlő. Ennek a fordítottja nem igaz.

Matematika oktató a terminológiájáról: a piramisokkal végzett munka 80%-ban kétféle háromszögből épül fel:
1) Apothem SK és magasság SP
2) Tartalmazza az SA oldalélt és annak PA vetületét

Az ezekre a háromszögekre való hivatkozások egyszerűsítése érdekében kényelmesebb, ha a matematika tanár az elsőt nevezi meg. apotemikus, és a második tengerparti. Sajnos ezt a terminológiát egyik tankönyvben sem találja meg, a tanárnak kell egyoldalúan bevezetnie.

Piramis térfogat képlete:
1) , ahol a piramis alapterülete és a piramis magassága
2) , ahol a beírt gömb sugara, és a terület teljes felület piramisok.
3) , ahol MN bármely két keresztező él távolsága, és a négy fennmaradó él felezőpontjai által alkotott paralelogramma területe.

Piramis magasságú alaptulajdonság:

A P pont (lásd az ábrát) egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) Minden apotém egyenlő
2) Minden oldalfelület egyformán dől az alap felé
3) Minden apotém egyformán hajlik a piramis magasságára
4) A piramis magassága egyformán ferde minden oldallaphoz

Matematikatanár kommentárja: vegye figyelembe, hogy az összes elemet egy egyesíti köztulajdon: így vagy úgy, az oldalsó arcok mindenhol részt vesznek (az apotémák az elemeik). Ezért az oktató kevésbé pontos, de kényelmesebb megfogalmazást tud ajánlani a memorizáláshoz: a P pont egybeesik a beírt kör középpontjával, a gúla alapjával, ha ennek oldallapjairól azonos információ áll rendelkezésre. Ennek bizonyításához elegendő megmutatni, hogy minden apotémikus háromszög egyenlő.

A P pont egybeesik a körülírt kör középpontjával a piramis alapja közelében, ha a három feltétel közül valamelyik teljesül:
1) Minden oldalél egyenlő
2) Minden oldalborda egyformán dől az alap felé
3) Minden oldalborda egyformán dől a magassághoz

Meghatározás

Piramis egy poliéder, amely egy $A_1A_2...A_n$ és $n$ háromszögekből áll, amelyeknek közös csúcsa $P$ (amely nem a sokszög síkjában fekszik), és amelyek szemközti oldalai egybeesnek a sokszög oldalaival. a sokszög.
Megnevezés: $PA_1A_2...A_n$ .
Példa: ötszögletű piramis $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Háromszögek $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ stb. hívott oldalsó arcok piramisok, szegmensek $PA_1, PA_2$ stb. - oldalbordák, sokszög $A_1A_2A_3A_4A_5$ – alapján, $P$ pont – csúcstalálkozó.

Magasság A piramisok a piramis tetejéről az alap síkjára ejtett merőlegesek.

Olyan piramist, amelynek alapjában háromszög van, un tetraéder.

A piramist az ún helyes, ha az alapja egy szabályos sokszög, és az alábbi feltételek egyike teljesül:

$(a)$ a gúla oldalélei egyenlőek;

$(b)$ a gúla magassága átmegy a körülírt kör középpontján az alap közelében;

$(c)$ oldalbordák ugyanabban a szögben dőlnek az alapsíkhoz.

$(d)$ oldallapok ugyanabban a szögben dőlnek az alapsíkhoz.

szabályos tetraéder egy háromszög alakú piramis, amelynek minden lapja egyenlő egyenlő oldalú háromszög.

Tétel

A $(a), (b), (c), (d)$ feltételek egyenértékűek.

Bizonyíték

Rajzold le a piramis magasságát $PH$ . Legyen $\alpha$ a piramis alapjának síkja.

1) Bizonyítsuk be, hogy $(a)$ azt jelenti, hogy $(b)$ . Legyen $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Mert $PH\perp \alpha$ , akkor $PH$ merőleges bármely, ezen a síkon fekvő egyenesre, tehát a háromszögek derékszögűek. Tehát ezek a háromszögek egyenlőek a $PH$ és a $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ közös lábban. Tehát $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Ez azt jelenti, hogy a $A_1, A_2, ..., A_n$ pontok azonos távolságra vannak a $H$ ponttól, tehát ugyanazon a $A_1H$ sugarú körön fekszenek. Ez a kör definíció szerint a $A_1A_2...A_n$ sokszög körül van körülírva.

2) Bizonyítsuk be, hogy $(b)$ azt jelenti, hogy $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ téglalap alakú és két lábon egyenlő. Ezért a szögeik is egyenlőek, ezért $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$.

3) Bizonyítsuk be, hogy $(c)$ azt jelenti, hogy $(a)$ .

Az első ponthoz hasonlóan háromszögek $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ téglalap alakú és a lábszár mentén és éles sarok. Ez azt jelenti, hogy a hipotenuszok is egyenlőek, azaz $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Bizonyítsuk be, hogy $(b)$ azt jelenti, hogy $(d)$ .

Mert szabályos sokszögben a körülírt és a beírt kör középpontja egybeesik (általában ezt a pontot szabályos sokszög középpontjának nevezzük), akkor $H$ a beírt kör középpontja. Rajzoljunk merőlegeseket a $H$ pontból az alap oldalaira: $HK_1, HK_2$ stb. Ezek a beírt kör sugarai (definíció szerint). Ekkor a TTP szerint ($PH$ a síkra merőleges, $HK_1, HK_2$ stb. az oldalakra merőleges vetületek) ferde $PK_1, PK_2$ stb. merőleges az oldalakra $A_1A_2, A_2A_3$ stb. illetőleg. Tehát definíció szerint $\angle PK_1H, \angle PK_2H$ egyenlő az oldallapok és az alap közötti szögekkel. Mert a $PK_1H, PK_2H, ...$ háromszögek egyenlőek (két lábon derékszögűek), akkor a szögek $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$ egyenlőek.

5) Bizonyítsuk be, hogy $(d)$ azt jelenti, hogy $(b)$ .

A negyedik ponthoz hasonlóan a $PK_1H, PK_2H, ...$ háromszögek egyenlőek (a szár és hegyesszög mentén téglalap alakúak), ami azt jelenti, hogy a $HK_1=HK_2=...=HK_n$ szakaszok egyenlőek. Ezért definíció szerint $H$ az alapba írt kör középpontja. De azóta szabályos sokszögeknél a beírt és a körülírt kör középpontja egybeesik, ekkor $H$ a körülírt kör középpontja. Chtd.

Következmény

Egy szabályos gúla oldallapjai egyenlő egyenlő szárú háromszögek.

Meghatározás

A szabályos gúla tetejétől húzott oldallapjának magasságát ún apothema.
Egy szabályos gúla összes oldallapjának apotémjei egyenlők egymással, és egyben mediánok és felezők is.

Fontos jegyzetek

1. Egy szabályos háromszög alakú gúla magassága az alap magasságainak (vagy felezőinek vagy mediánjainak) metszéspontjába esik (az alap szabályos háromszög).

2. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap négyzet).

3. Egy szabályos hatszögletű gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap szabályos hatszög).

4. A piramis magassága merőleges az alján fekvő bármely egyenesre.

Meghatározás

A piramist az ún négyszögletes ha egyik oldaléle merőleges az alap síkjára.

Fontos jegyzetek

1. Tedd téglalap alakú piramis az alapra merőleges él a gúla magassága. Azaz $SR$ a magasság.

2. Mert $SR$ merőleges az alaptól számított bármely egyenesre, akkor $\triangle SRM, \triangle SRP$ derékszögű háromszögek.

3. Háromszögek $\háromszög SRN, \háromszög SRK$ téglalap alakúak is.
Ez azt jelenti, hogy bármely háromszög, amelyet ez az él és az ennek az élnek a csúcsából kilépő átlója alkot, és amely az alapon fekszik, derékszögű lesz.

\[(\Large(\text(a piramis térfogata és felülete)))\]

Tétel

A piramis térfogata egyenlő a gúla alapterületének és magasságának szorzatának egyharmadával: \

Következmények

Legyen $a$ az alap oldala, $h$ a gúla magassága.

1. Egy szabályos háromszög alakú gúla térfogata az $V_(\text(derékszögű háromszög pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Egy szabályos négyszög alakú gúla térfogata az $V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h$.

3. Egy szabályos hatszögletű gúla térfogata a $V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. A szabályos tetraéder térfogata az $V_(\text(jobb tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Tétel

A szabályos gúla oldalfelületének területe megegyezik az alap és az apotém kerülete szorzatának felével.

\[(\Large(\text(Csonka piramis)))\]

Meghatározás

Tekintsünk egy tetszőleges piramist $PA_1A_2A_3...A_n$ . Rajzoljunk egy, a piramis alapjával párhuzamos síkot a gúla oldalélén fekvő bizonyos ponton keresztül. Ez a sík a piramist két poliéderre osztja, amelyek közül az egyik egy piramis ($PB_1B_2...B_n$ ), a másik pedig az ún. csonka piramis($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

A csonka piramisnak két alapja van - sokszög $A_1A_2...A_n$ és $B_1B_2...B_n$ , amelyek hasonlóak egymáshoz.

A csonka gúla magassága a felső alap valamely pontjából az alsó alap síkjára húzott merőleges.

Fontos jegyzetek

1. A csonka gúla minden oldallapja trapéz.

2. A szabályos csonka gúla (vagyis egy szabályos gúla szakaszával kapott gúla) alapjainak középpontjait összekötő szakasz a magasság.

Piramis koncepció

1. definíció

Azt a geometriai alakzatot, amelyet egy sokszög és egy olyan pont alkot, amely nem esik a sokszöget tartalmazó síkban, és a sokszög összes csúcsához kapcsolódik, piramisnak nevezzük (1. ábra).

A sokszöget, amelyből a gúla összeáll, a gúla alapjának nevezzük, a ponthoz kapcsolva kapott háromszögek a gúla oldallapjai, a háromszögek oldalai a gúla oldalai, és az összes pont közös pontja. A háromszög a piramis csúcsa.

A piramisok típusai

A piramis alapjában lévő sarkok számától függően nevezhetjük háromszögnek, négyszögnek és így tovább (2. ábra).

2. ábra.

A piramisok másik típusa a szabályos piramis.

Mutassuk be és bizonyítsuk be egy szabályos piramis tulajdonságát.

1. tétel

A szabályos piramis minden oldallapja egyenlő szárú háromszög, amelyek egyenlőek egymással.

Bizonyíték.

Tekintsünk egy szabályos $n-$gonális piramist, amelynek $S$ csúcsa $h=SO$ magasságú. Írjunk le egy kört az alap körül (4. ábra).

4. ábra

Tekintsük a $SOA$ háromszöget. A Pitagorasz-tétellel azt kapjuk

Nyilvánvaló, hogy bármely oldalél ilyen módon kerül meghatározásra. Ezért minden oldalél egyenlő egymással, vagyis minden oldallap egyenlő szárú háromszög. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek egymással. Mivel az alap szabályos sokszög, az összes oldallap alapja egyenlő egymással. Következésképpen minden oldallap egyenlő a háromszögek III egyenlőségének jele szerint.

A tétel bizonyítást nyert.

Most bemutatjuk a szabályos piramis fogalmához kapcsolódó alábbi definíciót.

3. definíció

A szabályos piramis apotémája az oldallap magassága.

Nyilvánvaló, hogy az 1. Tétel szerint minden apotém egyenlő.

2. tétel

A szabályos piramis oldalfelületét az alap és az apotém fél kerületének szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$szénpiramis alapjának oldalát $a$-ként, az apotémet pedig $d$-ként. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel az 1. Tétel szerint minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

A piramisok másik típusa a csonka piramis.

4. definíció

Ha az alapjával párhuzamos síkot áthúzunk egy közönséges piramison, akkor az e sík és az alap síkja között kialakult alakzatot csonka gúlának nevezzük (5. ábra).

5. ábra Csonka gúla

A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.

3. tétel

A szabályos csonka gúla oldalsó felületének területét az alapok és az apotém félperimétereinek összegének szorzataként határozzuk meg.

Bizonyíték.

Jelöljük a $n-$szénpiramis alapjainak oldalait rendre $a\ és\ b$, az apotémet pedig $d$-val. Ezért az oldalfelület területe egyenlő

Mivel minden oldal egyenlő, akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Feladat példa

1. példa

Határozza meg egy csonka háromszög alakú gúla oldalfelületének területét, ha azt egy szabályos gúlából kapjuk, amelynek alapoldala 4 és apotém 5, az oldallapok középvonalán átmenő síkkal levágva.

Megoldás.

A medián vonaltétel szerint azt kapjuk, hogy a csonka gúla felső alapja $4\cdot \frac(1)(2)=2$, az apotém pedig $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 $.

Ekkor a 3. tétel alapján azt kapjuk

A mű szövege képek és képletek nélkül kerül elhelyezésre.
Teljes verzió munka elérhető a "Munka fájlok" fülön PDF formátumban

Bevezetés

Amikor találkozunk a "piramis" szóval, akkor asszociatív memória Egyiptomba visz minket. Ha a korai építészeti emlékekről beszélünk, akkor vitatható, hogy számuk legalább több száz. Egy 13. századi arab író azt mondta: "A világon minden fél az időtől, és az idő fél a piramisoktól." A piramisok az egyetlen csoda a világ hét csodája közül, amely korunkig, korunkig fennmaradt számítógépes technológia. A kutatóknak azonban még nem sikerült minden rejtélyükhöz nyomot találniuk. Minél többet tudunk meg a piramisokról, annál több kérdés merül fel bennünk. A piramisok érdekesek történészek, fizikusok, biológusok, orvosok, filozófusok stb. számára. Nagy érdeklődésre tartanak számot, és bátorítják tulajdonságaik mélyebb tanulmányozását, mind matematikai, mind egyéb (történelmi, földrajzi stb.) szempontból.

Ezért célja Vizsgálatunk a piramis tulajdonságainak vizsgálata volt különböző nézőpontokból. Köztes célként jelöltük meg: a piramis tulajdonságainak matematikai szempontú figyelembe vételét, a piramis titkainak és rejtelmeinek létezésére vonatkozó hipotézisek tanulmányozását, valamint alkalmazási lehetőségeit.

tárgy tanulmány egy piramis.

Tétel kutatás: a piramis jellemzői és tulajdonságai.

Feladatok kutatás:

Tanulmányozni a kutatási téma tudományos-népszerű irodalmát.

Tekintsük a piramist geometriai testnek.

Határozza meg a piramis tulajdonságait és jellemzőit!

Keressen olyan anyagot, amely megerősíti a piramistulajdonságok használatát különböző területeken tudomány és technológia.

Mód kutatás: elemzés, szintézis, analógia, mentális modellezés.

A munka várható eredménye strukturált információkat kell tartalmaznia a piramisról, tulajdonságairól és alkalmazásairól.

A projekt előkészítésének szakaszai:

A projekt témájának, a céloknak és a célkitűzéseknek a meghatározása.

Tanulmányozás, anyaggyűjtés.

Projektterv készítése.

A projekten végzett tevékenység várható eredményének megfogalmazása, ideértve az új anyagok asszimilációját, az ismeretek, készségek és képességek kialakítását a tantárgyi tevékenységben.

Kutatási eredmények megfogalmazása.

Visszaverődés

Piramis mint geometriai test

Fontolja meg a szó és a kifejezés eredetét " piramis". Azonnal érdemes megjegyezni, hogy a "piramis" vagy " piramis"(Angol), " piramis"(francia, spanyol és szláv nyelvek), piramis(német) nyugati kifejezés, eredete az ókori Görögországból származik. ógörögül πύραμίς ("P iramis"és sokan mások. h. Πύραμίδες « piramisok"") több jelentése is van. Az ókori görögök hívták piramis» egy búzatorta, amely az egyiptomi építmények formájára emlékeztetett. Később a szó jelentése „monumentális szerkezet négyzet alakú terület tövénél és felül találkozó ferde oldalakkal. Az etimológiai szótár azt jelzi, hogy a görög "piramis" az egyiptomi " pimar". A szó első írásos értelmezése "piramis" Európában 1555-ben találták, és jelentése: "a királyok ősi épületeinek egyik típusa". A piramisok mexikói felfedezése és a tudomány 18. századi fejlődése után a piramis nemcsak ősi építészeti emlékművé vált, hanem szabályos geometriai alakzattá is, négy szimmetrikus oldallal (1716). A piramis geometriájának kezdetét az ókori Egyiptomban és Babilonban fektették le, de aktívan fejlesztették Ókori Görögország. Az első, aki megállapította, hogy mekkora a piramis térfogata, Démokritosz volt, és Cnidus Eudoxus bebizonyította.

Az első meghatározás az ókori görög matematikushoz, a hozzánk jutott matematikai elméleti értekezések szerzőjéhez, Eukleidészhez tartozik. A "Kezdetek" XII. kötetében a piramist testi alakként határozza meg, amelyet olyan síkok határolnak, amelyek egy síkból (alapból) egy pontba (tetejébe) futnak össze. De ezt a meghatározást már az ókorban is kritizálták. Ezért Heron a piramis következő meghatározását javasolta: "Ez egy olyan alak, amelyet egy pontban összefutó háromszögek határolnak, és amelynek alapja egy sokszög."

Adrien Marie Legendre francia matematikusnak van egy definíciója, aki 1794-ben „A geometria elemei” című munkájában a következőképpen határozza meg a piramist: „A piramis egy test alakja, amelyet háromszögek alkotnak, amelyek egy pontban összefutnak és különböző oldalain végződnek. lapos alap.”

A modern szótárak a "piramis" kifejezést a következőképpen értelmezik:

	Egy poliéder, amelynek alapja sokszög, a többi lapja pedig olyan háromszög, amelynek közös csúcsa van	Az orosz nyelv magyarázó szótára, szerk. D. N. Ushakova
	Egyenlő háromszögekkel határolt test, amely egy pontban lévő csúcsokból áll, és alapjaikkal négyzetet alkot	V.I.Dal magyarázó szótára
	Olyan poliéder, amelynek alapja sokszög, a többi lapja pedig közös csúcsú háromszög	Magyarázó szótár, szerk. S. I. Ozhegova és N. Yu. Shvedova
	Olyan poliéder, amelynek alapja sokszög, oldallapjai pedig közös csúcsú háromszögek	T. F. Efremov. Az orosz nyelv új magyarázó és származékos szótára.
	Egy poliéder, amelynek egyik lapja sokszög, a többi lapja pedig közös csúcsú háromszög	Idegen szavak szótára
	Egy geometriai test, amelynek alapja sokszög, és oldalai annyi háromszögből állnak, ahány alapnak van olyan oldala, amelyek csúcsai egy ponthoz konvergálnak.	Orosz nyelv idegen szavak szótára
	Egy poliéder, melynek egyik lapja valamiféle lapos sokszög, a többi lap pedig háromszög, melynek alapjai a háromszög alapjának oldalai, és a csúcsok egy pontban összefolynak.	F. Brockhaus, I.A. Efron. enciklopédikus szótár
	Egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a többi lapja pedig olyan háromszög, amelynek közös csúcsa van	Modern Szótár
	Egy poliéder, amelynek egyik lapja sokszög, a többi lapja pedig közös csúcsú háromszög	Matematikai enciklopédikus szótár

A piramis definícióit elemezve arra a következtetésre juthatunk, hogy minden forrás hasonló megfogalmazással rendelkezik:

A piramis olyan poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig olyan háromszögek, amelyeknek közös csúcsa van. Az alap sarkainak száma szerint a piramisok háromszög alakúak, négyszögletesek stb.

Az A 1 A 2 A 3 ... An sokszög a piramis alapja, az RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 háromszögek pedig a gúla oldallapjai, P a teteje a piramis RA 1, RA 2, ..., PAn szakaszai - oldalbordák.

A piramis tetejétől az alap síkjához húzott merőlegest ún h piramisok.

Egy tetszőleges piramison kívül van egy szabályos gúla, melynek alján egy szabályos sokszög és egy csonka gúla található.

terület A piramis teljes felülete az összes lapja területének összege. Teljes = S oldal + S fő, ahol az S oldal az oldallapok területének összege.

Hangerő piramist a következő képlettel találjuk meg: V=1/3S fő.h, ahol S fő. - alapterület, h - magasság.

NAK NEK piramis tulajdonságai viszonyul:

Ha az összes oldalsó él azonos méretű, akkor könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, miközben a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve; oldalbordák az alapsíkkal azonos szöget zárnak be; ráadásul fordítva is igaz, i.e. ha az oldalélek egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha egy kör írható le a gúla alapjához közel, és a gúla teteje ennek a körnek a középpontjába vetül, akkor a piramis összes oldaléle azonos méretű.

Ha az oldallapok dőlésszöge azonos értékű az alap síkjával, akkor könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, miközben a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve. ; az oldallapok magassága az egyenlő hosszúságú; az oldalsó felület területe egyenlő az alap kerülete és az oldalfelület magasságának szorzatának felével.

A piramist az ún helyes, ha az alapja egy szabályos sokszög, és a csúcs az alap közepébe van vetítve. Egy szabályos gúla oldallapjai egyenlő, egyenlő szárú háromszögek (2a. ábra). tengely A szabályos piramist egyenesnek nevezzük, amely tartalmazza a magasságát. Apothem - egy szabályos piramis oldallapjának magassága, a tetejéről húzva.

Négyzet szabályos gúla oldallapját a következőképpen fejezzük ki: Oldal. \u003d 1 / 2P h, ahol P az alap kerülete, h az oldallap magassága (egy szabályos gúla apotémája). Ha a piramist az alappal párhuzamos A'B'C'D' sík metszi, akkor oldalbordákés a magasságot ez a sík arányos részekre osztja; metszetben egy A'B'C'D' sokszöget kapunk, hasonlóan az alaphoz; a szelvény és az alap területei a felülről való távolságuk négyzeteiként viszonyulnak egymáshoz.

Csonka piramisúgy kapjuk, hogy a piramis felső részét az alappal párhuzamos síkkal levágjuk (2b. ábra). A csonka gúla alapjai hasonló ABCD és A`B`C`D` sokszögek, az oldallapok trapéz alakúak. A csonka piramis magassága az alapok közötti távolság. A csonka gúla térfogatát a következő képlet határozza meg: V=1/3 h (S + + S'), ahol S és S' az ABCD és A'B'C'D' alapok területei, h a magasság.

Szabályos csonka n-szögű gúla alapjai - szabályos n-szögek. Egy szabályos csonka gúla oldalfelületének területe a következőképpen fejeződik ki: Oldal. \u003d ½ (P + P') h, ahol P és P' az alapok kerülete, h az oldallap magassága (egy szabályos csonka gúla apotémája)

A piramis csúcsán áthaladó síkok metszete háromszögek. A gúla két nem szomszédos oldalélén áthaladó szakaszt átlós szakasznak nevezzük. Ha a szakasz egy ponton halad át az oldalélen és az alap oldalán, akkor ez az oldal lesz a nyoma a piramis alapjának síkján. A gúla lapján fekvő ponton átmenő metszet és a szakasz adott nyomvonala az alap síkján, akkor a konstrukciót a következőképpen kell elvégezni: keressük meg az adott lap síkjának metszéspontját és a a piramis metszetének nyomát, és jelölje meg; egy adott ponton és az így létrejövő metszésponton átmenő egyenest építsünk; Ismételje meg ezeket a lépéseket a következő arcokra.

Téglalap alakú piramis - ez egy gúla, amelynek az egyik oldaléle merőleges az alapra. Ebben az esetben ez az él lesz a piramis magassága (2c. ábra).

Szabályos háromszög alakú piramis- Ez egy piramis, melynek alapja egy szabályos háromszög, a teteje pedig az alap közepébe vetül. A szabályos háromszög alakú piramis speciális esete az tetraéder. (2a. ábra)

Tekintsük a piramist más geometriai testekkel összekötő tételeket.

Gömb

Egy gömb a piramis közelében írható le, ha a piramis alján egy sokszög található, amely körül kör írható le (a szükséges ill. elégséges állapot). A gömb középpontja a gúla rájuk merőleges éleinek felezőpontjain átmenő síkok metszéspontja lesz. Ebből a tételből az következik, hogy egy gömb leírható bármely háromszögről és bármely szabályos piramisról; Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.

Kúp

A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsai egybeesnek, és az alapja a piramis alapjába van írva. Sőt, csak akkor lehet kúpot beleírni a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek egymással (szükséges és elégséges feltétel); A kúpot a piramis közelébe írtnak nevezzük, ha a csúcsuk egybeesik, az alapja pedig a piramis alapjához közel van felírva. Ezenkívül a gúla közelében lévő kúpot csak akkor lehet leírni, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással (szükséges és elégséges feltétel); Az ilyen kúpok és piramisok magassága megegyezik egymással.

Henger

Gúlába írtnak nevezzük a hengert, ha az egyik alapja egybeesik a gúla metszetébe az alappal párhuzamos síkkal beírt körrel, a másik alapja pedig a piramis alapjához tartozik. Egy hengert a gúla közelében írottnak nevezünk, ha a piramis teteje az egyik alapjához tartozik, a másik alapja pedig a piramis alapjához közel van írva. Ezenkívül csak akkor lehetséges egy hengert a piramis közelében leírni, ha a piramis alján van egy beírt sokszög (szükséges és elégséges feltétel).

Kutatásaik során a tudósok nagyon gyakran használják a piramis tulajdonságait az Aranymetszés arányaival. A következő bekezdésben megvizsgáljuk, hogyan használták az aranymetszet-arányokat a piramisok építésekor, és itt az aranymetszet definíciójával foglalkozunk.

A matematikai enciklopédikus szótár a következő meghatározást adja aranymetszet- ez az AB szegmens két részre osztása oly módon, hogy AC legnagyobb része a teljes AB szegmens és a CB kisebb része között arányos átlag.

Az AB = a szakasz Arany metszetének algebrai megállapítását az a egyenlet megoldására redukáljuk: x = x: (a-x), ahol x megközelítőleg egyenlő 0,62a-val. Az x arány n/n+1= törtekkel fejezhető ki 0,618, ahol n az n számozott Fibonacci-szám.

Az aranymetszés gyakran használatos műalkotásokban, építészetben, és megtalálható a természetben is. Élénk példa erre Apollo Belvedere szobra, a Parthenon. A Parthenon építése során az épület magasságának és hosszának arányát használták, ez az arány 0,618. A körülöttünk lévő tárgyak is példát szolgáltatnak az Aranymetszetre, például sok könyv kötése is 0,618-hoz közeli szélesség-hossz arányt mutat.

Így a kutatási probléma populáris tudományos irodalmát tanulmányozva arra a következtetésre jutottunk, hogy a piramis olyan poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig közös csúcsú háromszögek. Megvizsgáltuk a piramis elemeit, tulajdonságait, típusait és összefüggését az Aranymetszet arányaival.

2. A piramis jellemzői

Tehát a Nagy enciklopédikus szótárban azt írják, hogy a piramis egy monumentális építmény geometriai alakzat piramisok (néha lépcsős vagy torony alakúak). Az ókori egyiptomi fáraók sírjait piramisoknak nevezték a Kr.e. 3-2. évezredben. e., valamint a templomok talapzata Közép- és Dél Amerika kozmológiai kultuszokkal kapcsolatos. Egyiptom grandiózus piramisai között különleges helyet foglal el Kheopsz fáraó nagy piramisa. Mielőtt rátérnénk a Kheopsz-piramis alakjának és méretének elemzésére, emlékeznünk kell arra, hogy az egyiptomiak milyen mértékrendszert használtak. Az egyiptomiak hosszának három egysége volt: "könyök" (466 mm), ami hét "tenyérnek" (66,5 mm) egyenlő, ami viszont négy "ujjjal" (16,6 mm) egyenlő.

A legtöbb kutató egyetért abban, hogy a gúla alapjának oldalának hossza, például GF, L = 233,16 m. Ez az érték majdnem pontosan 500 "könyöknek" felel meg. Az 500 „könyök”-nek teljes mértékben megfelel, ha a „könyök” hosszát 0,4663 m-nek tekintjük.

A piramis magasságát (H) a kutatók 146,6-148,2 m-re becsülik, és a piramis elfogadott magasságától függően a geometriai elemeinek összes aránya változik. Mi az oka a piramis magasságának becsült különbségeinek? A helyzet az, hogy Kheopsz piramisa csonka. Felső emelvénye ma hozzávetőlegesen 10x10 m, egy évszázaddal ezelőtt 6x6 méteres volt, nyilvánvaló, hogy a piramis tetejét leszerelték, és nem felel meg az eredetinek. A piramis magasságának becslésénél figyelembe kell venni egy olyan fizikai tényezőt, mint a szerkezet elhelyezkedése. Mögött hosszú idő kolosszális nyomás hatására (az alsó felület 1 m 2 -enként elérve az 500 tonnát) a piramis magassága csökkent az eredeti magassághoz képest. A piramis eredeti magassága visszaállítható, ha megtalálja a geometriai alapötletet.

1837-ben G. Wise angol ezredes megmérte a piramis lapjainak dőlésszögét: kiderült, hogy a = 51 ° 51 ". Ezt az értéket a legtöbb kutató még ma is felismeri. A jelzett értéke a a szög az érintőnek (tg a) felel meg, amely 1,27306. Ez az érték az AC piramis magasságának és a CB alapjának feléhez viszonyított aránynak felel meg, azaz AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

És itt nagy meglepetésben volt része a kutatóknak! A helyzet az, hogy ha az aranymetszés négyzetgyökét vesszük, akkor a következő eredményt kapjuk = 1,272. Összehasonlítva ezt az értéket a tg a = 1,27306 értékkel, azt látjuk, hogy ezek az értékek nagyon közel állnak egymáshoz. Ha a szöget a \u003d 51 ° 50 "-nek vesszük, azaz csak egy ívperccel csökkentjük, akkor a értéke 1,272 lesz, azaz egybeesik az értékkel. Meg kell jegyezni, hogy 1840-ben G. Wise megismételte méréseit, és tisztázta, hogy a szög értéke a \u003d 51 ° 50 ".

Ezek a mérések a következő érdekes hipotézishez vezették a kutatókat: a Kheopsz-piramis ASV háromszöge az AC / CB = 1,272 arányon alapult.

Most fontolja meg derékszögű háromszög ABC, amelyben a lábak aránya AC / CB =. Ha most az ABC téglalap oldalainak hosszát x-nek, y-nak, z-nek jelöljük, és azt is figyelembe vesszük, hogy az y / x \u003d arány, akkor a Pitagorasz-tételnek megfelelően a z hossz kiszámítható a következővel: képlet:

Ha elfogadjuk, hogy x = 1, y = , akkor:

Azt a derékszögű háromszöget, amelyben az oldalak t::1-ként kapcsolódnak egymáshoz, "arany" derékszögű háromszögnek nevezzük.

Ekkor, ha azt a hipotézist vesszük alapul, hogy a Kheopsz-piramis fő „geometriai ötlete” az „arany” derékszögű háromszög, akkor innen könnyen kiszámítható a Kheopsz-piramis „tervezési” magassága. Ez egyenlő:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 m.

Vezessünk most le néhány további összefüggést Kheopsz piramisára, amelyek az "arany" hipotézisből következnek. Különösen megtaláljuk a piramis külső területének és az alapterületének arányát. Ehhez a CB láb hosszát egységnek vesszük, azaz: CB = 1. De akkor a gúla alapjának oldalának hossza GF = 2, és az EFGH alapterülete egyenlő lesz S EFGH = 4.

Számítsuk ki most a Kheopsz-piramis S D oldallapjának területét. Mivel az AEF háromszög AB magassága egyenlő t-vel, akkor az oldallap területe S D = t lesz. Ekkor a piramis mind a négy oldallapjának összterülete 4t lesz, és a piramis teljes külső területének aránya az alapterülethez egyenlő lesz az aranymetszés. Ez a Kheopsz-piramis fő geometriai titka.

És az egyiptomi piramisok építése során azt találták, hogy a piramis magasságában épült tér pontosan területtel egyenlő az oldalsó háromszögek mindegyike. Ezt a legutóbbi mérések is megerősítik.

Tudjuk, hogy a kör kerülete és átmérője közötti arány a modern matematikusok, iskolások számára jól ismert állandó érték - ez a "Pi" = 3,1416 ... De ha összeadjuk a kör alapjának négy oldalát Kheopsz piramis, 931,22 m-t kapunk. Ezt elosztva a piramis magasságának kétszerese (2x148,208), 3,1416 ..., azaz a „Pi” számot kapjuk. Következésképpen Kheopsz piramisa egyedülálló emlékmű, amely a matematikában fontos szerepet játszó „Pi” szám anyagi megtestesülése.

Így az aranymetszet piramisának méretében - a piramis megkettőzött oldalának és magasságának aránya - a π számhoz nagyon közel álló szám. Természetesen ez is jellemző. Bár sok szerző úgy véli, hogy ez az egybeesés véletlen, mivel a 14/11 tört "jó közelítés négyzetgyök az aranymetszet arányából, illetve a beleírt négyzet és kör területeinek arányából.

Helytelen azonban itt csak az egyiptomi piramisokról beszélni. Nemcsak egyiptomi piramisok léteznek, hanem piramisok egész hálózata van a Földön. A főbb műemlékek (egyiptomi és mexikói piramisok, a Húsvét-sziget és az angliai Stonehenge komplexum) első pillantásra véletlenszerűen szétszórva helyezkednek el bolygónkon. De ha a tanulmány magában foglalja a tibeti piramiskomplexumot, akkor megjelenik a Föld felszínén való elhelyezkedésük szigorú matematikai rendszere. A Himalája gerincének hátterében egyértelműen megkülönböztethető egy piramis alakú képződmény - a Kailash-hegy. Nagyon érdekes Kailash városának, az egyiptomi és mexikói piramisok elhelyezkedése, nevezetesen, ha Kailash városát összekötjük a mexikói piramisokkal, akkor az őket összekötő vonal a Húsvét-szigetre megy. Ha összekapcsolja Kailash városát az egyiptomi piramisokkal, akkor a kapcsolatuk vonala ismét a Húsvét-szigetre megy. Pontosan egynegyede a földgömb. Ha összekapcsoljuk a mexikói és az egyiptomi piramisokat, akkor kettőt fogunk látni egyenlő háromszög. Ha megtalálja a területüket, akkor összegük megegyezik a földgömb területének egynegyedével.

A tibeti piramisok komplexuma között vitathatatlan kapcsolatra derült fény más szerkezetekkelókor - az egyiptomi és mexikói piramisok, a Húsvét-sziget kolosszusai és az angliai Stonehenge komplexum. Tibet fő piramisának magassága - a Kailash-hegy - ez 6714 méter. Távolság Kailash és északi sark egyenlő 6714 kilométer, Kailash és Stonehenge távolsága az 6714 kilométerre. Ha félreteszed a földgömbön az Északi-sarktól ezeket 6714 kilométert, majd eljutunk az úgynevezett Ördögtoronyhoz, amely úgy néz ki, mint egy csonka piramis. És végül pontosan 6714 kilométerre Stonehenge-től a Bermuda-háromszögig.

E vizsgálatok eredményeként megállapítható, hogy a Földön piramis-földrajzi rendszer létezik.

Így a jellemzők a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszés értékével; az aranymetszet piramisának méretében való jelenléte - a gúla kettős oldalának a magasságához viszonyított aránya - a π számhoz értékében nagyon közeli szám, azaz. a Kheopsz-piramis egyedülálló emlékmű, amely a „Pi” szám anyagi megtestesülése; piramisföldrajzi rendszer létezése.

3. A piramis egyéb tulajdonságai és felhasználási területei.

Fontolja meg ennek gyakorlati alkalmazását geometriai alakzat. Például, hologram. Először is nézzük meg, mi az a holográfia. Holográfia - az optikai elektromágneses sugárzás hullámtereinek pontos rögzítésére, reprodukálására és újraformálására szolgáló technológiakészlet, egy speciális fényképezési módszer, amelyben háromdimenziós objektumok képeit rögzítik, majd lézerrel visszaállítják. a legmagasabb fokozat hasonlóak a valódiakhoz. A hologram a holográfia terméke, egy lézerrel létrehozott háromdimenziós kép, amely egy háromdimenziós tárgy képét reprodukálja. Egy szabályos csonka tetraéder piramis segítségével újra létrehozhat egy képet - egy hologramot. Egy áttetsző anyagból egy fotófájl és egy szabályos csonka tetraéder piramis készül. Egy kis behúzás készül a legalsó és a középső pixelből az y tengelyhez képest. Ez a pont szakasz alkotta négyzet oldalának felezőpontja lesz. A fénykép megsokszorozódik, másolatai a másik három oldalhoz képest ugyanúgy elhelyezkednek. Egy piramist helyezünk a négyzetre egy szakaszával lefelé úgy, hogy egybeessen a négyzettel. A monitor fényhullámot hoz létre, és a négy azonos fénykép mindegyike olyan síkban van, amely a piramis lapjának vetülete, és magára az arcra esik. Ennek eredményeként mind a négy oldalon ugyanazok a képeink vannak, és mivel az anyag, amelyből a piramis készült, átlátszó tulajdonsággal rendelkezik, a hullámok megtörve a központban találkoznak. Ennek eredményeként ugyanazt az interferenciamintát kapjuk álló hullám, amelynek központi tengelye, vagy forgástengelye egy szabályos csonka gúla magassága. Ez a módszer a videó képpel is működik, mivel a működési elv változatlan marad.

Különleges eseteket figyelembe véve látható, hogy a piramist széles körben használják Mindennapi élet akár a háztartásban. A piramis alakú gyakran megtalálható, elsősorban a természetben: növények, kristályok, a metánmolekula szabályos háromszög alakú piramis alakú - tetraéder, a gyémántkristály egységcellája is egy tetraéder, melynek középpontjában és négy csúcsában szénatom található. Piramisok találhatók otthon, gyermekjátékok. A gombok, a számítógép-billentyűzetek gyakran hasonlítanak egy négyszögletű csonka piramishoz. Épületelemek vagy maguk építészeti szerkezetek formájában, áttetsző tetőszerkezetként tekinthetők meg.

Vegyünk még néhány példát a "piramis" kifejezés használatára

Ökológiai piramisok- ezek grafikus modellek (általában háromszögek formájában), amelyek tükrözik az egyedek számát (számpiramis), biomasszájuk mennyiségét (biomassza piramis) vagy a bennük lévő energiát (energiapiramis) minden trófiai szinten, és jelzik az összes mutató csökkenése a trofikus szint növekedésével

Információs piramis. A hierarchiát tükrözi különféle fajták információ. Az információszolgáltatás a következő piramisséma szerint épül fel: tetején - a fő mutatók, amelyek segítségével egyértelműen nyomon követheti a vállalkozás mozgásának ütemét a kiválasztott cél felé. Ha valami nincs rendben, akkor a piramis középső szintjére léphet - általánosított adatok. Tisztázzák a képet az egyes mutatókra külön-külön vagy egymáshoz viszonyítva. Ezekből az adatokból meg lehet állapítani lehetséges hely hiba vagy probléma. Többért teljes körű tájékoztatást meg kell fordulnia a piramis alapjához - az összes folyamat állapotának részletes leírása numerikus formában. Ezek az adatok segítenek azonosítani a probléma okát, hogy a jövőben kijavítható és elkerülhető legyen.

Bloom taxonómiája. Bloom taxonómiája a feladatok piramis formájú osztályozását javasolja, amelyet az oktatók állítanak a diákok elé, és ennek megfelelően a tanulási célokat. Az oktatási célokat három területre osztja: kognitív, affektív és pszichomotoros. Az egyes szférákon belül a magasabb szintre lépéshez a korábbi, ebben a szférában megkülönböztetett szintek tapasztalata szükséges.

Pénzügyi piramis- konkrét esemény gazdasági fejlődés. A "piramis" elnevezés világosan illusztrálja azt a helyzetet, amikor a piramis "alján" lévő emberek pénzt adnak egy kis tetejére. Ugyanakkor minden új résztvevő fizet azért, hogy növelje a piramis csúcsára való feljutás lehetőségét.

A szükségletek piramisa Maslow az egyik legnépszerűbb és legismertebb motivációs elméletet – a hierarchia elméletét – tükrözi. igények. Maslow növekvő sorrendben osztotta el a szükségleteket, és az ilyen konstrukciót azzal magyarázta, hogy az ember nem tapasztalhatja meg a szükségleteket. magas szint miközben primitívebb dolgokra van szüksége. Az alacsonyabb szükségletek kielégítésével egyre sürgetőbbé válnak a magasabb szintű szükségletek, de ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a korábbi szükséglet helyét csak akkor foglalja el egy új, amikor az előbbi teljes mértékben ki van elégítve.

Egy másik példa a „piramis” kifejezés használatára az táplálkozási piramis - a táplálkozási szakemberek által kidolgozott egészséges táplálkozás elveinek sematikus ábrázolása. A piramis alján található ételeket a lehető leggyakrabban kell enni, míg a piramis tetején lévő ételeket kerülni kell, vagy korlátozott mennyiségben fogyasztani.

Így a fentiek mindegyike megmutatja a piramis felhasználásának sokféleségét az életünkben. Lehet, hogy a piramisnak sokkal magasabb célja van, és valami többre hivatott, mint ezek gyakorlati módokon felhasználási területei, amelyek már nyitva állnak.

Következtetés

Életünk során folyamatosan találkozunk piramisokkal – ezek ősiek egyiptomi piramisokés játékok, amelyekkel a gyerekek játszanak; építészeti és formatervezési tárgyak, természetes kristályok; olyan vírusok, amelyekben csak számolni lehet elektron mikroszkóp. Létezésének sok évezrede alatt a piramisok egyfajta szimbólummá váltak, amely megszemélyesíti az ember vágyát, hogy elérje a tudás csúcsát.

A vizsgálat során megállapítottuk, hogy a piramisok meglehetősen gyakori jelenségek az egész világon.

Tanulmányoztuk a kutatási témájú populáris tudományos irodalmat, megvizsgáltuk a "piramis" kifejezés különféle értelmezéseit, megállapítottuk, hogy geometriai értelemben a piramis egy poliéder, amelynek alapja egy sokszög, a fennmaradó lapok pedig háromszögek, amelyekben egy gúla van. közös csúcs. Tanulmányoztuk a piramisok típusait (szabályos, csonka, téglalap alakú), az elemeket (apotém, oldallapok, oldalélek, teteje, magassága, alapja, átlós metszete) és az egyenlő oldalélekkel és az oldallapok megdöntött állapotú geometriai piramisok tulajdonságait. az alapsíkhoz egy szögben. Figyelembe vette a piramist más geometriai testekkel (gömb, kúp, henger) összekötő tételeket.

A piramis jellemzői a következők:

a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszés értékével;

az aranymetszet piramisának méretében való jelenléte - a gúla kettős oldalának a magasságához viszonyított aránya - a π számhoz értékében nagyon közeli szám, azaz. a Kheopsz-piramis egyedülálló emlékmű, amely a „Pi” szám anyagi megtestesülése;

piramisföldrajzi rendszer létezése.

Tanulmányoztuk ennek a geometriai alakzatnak a modern alkalmazását. Megvizsgáltuk, hogy a piramis és a hologram hogyan kapcsolódik egymáshoz, felhívtuk a figyelmet arra, hogy a piramis forma leggyakrabban megtalálható a természetben (növények, kristályok, metánmolekulák, a gyémántrács szerkezete stb.). A tanulmány során mindvégig olyan anyagokkal találkoztunk, amelyek megerősítik a piramis tulajdonságainak felhasználását a tudomány és a technika különböző területein, az emberek mindennapi életében, az információelemzésben, a gazdaságban és sok más területen. És arra a következtetésre jutottak, hogy a piramisok talán sokkal magasabb célt szolgálnak, és többre szánják őket, mint a gyakorlati felhasználásukra, amelyek most nyitva vannak.

Bibliográfia.

Van der Waerden, Barthel Leendert. Ébredés tudomány. Matematika Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország. [Szöveg] / B. L. Van der Waerden – KomKniga, 2007

Volosinov A. V. Matematika és művészet. [Szöveg] / A.V. Volosinov - Moszkva: "Felvilágosodás" 2000.

A világtörténelem(gyermeklexikon). [Szöveg] / - M .: „Avanta +”, 1993.

hologram . [Elektronikus forrás] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - cikk az interneten

Geometria [Szöveg]: Proc. 10-11 sejt. oktatási intézmények számára L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov és mások - 22. kiadás. - M.: Felvilágosodás, 2013

Coppens F. A piramisok új korszaka. [Szöveg] / F. Coppens - Szmolenszk: Rusich, 2010

Matematikai enciklopédikus szótár. [Szöveg] / A. M. Prokhorov és mások - M .: Szovjet Enciklopédia, 1988.

Muldashev E.R. Az ókori piramisok és emlékművek világrendszere megmentett minket a világ végétől, de ... [Szöveg] / E.R. Muldashev - M .: "AiF-Print"; M.: "OLMA-PRESS"; Szentpétervár: Kiadó"Neva"; 2003.

Perelman Ya. I. Szórakoztató aritmetika. [Szöveg] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Piramisok. [Szöveg] / Hans Reichard - M .: Szlovákia, 1978

Terra Lexikon. Illusztrált enciklopédikus szótár. [Szöveg] / - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Kheopsz nagy piramisának titkai. [Szöveg]/ Peter Tompkins. - M.: "Tsentropoligraf", 2008

Uvarov V. A piramisok mágikus tulajdonságai. [Szöveg] / V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F. Geometria 10-11. [Szöveg] / I.F. Sharygin:. - M: "Felvilágosodás", 2000

Yakovenko M. A piramis megértésének kulcsa [Elektronikus forrás] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - cikk az interneten

Első szint

Piramis. vizuális útmutató (2019)

Mi az a piramis?

Hogy néz ki?

Látod: az alábbi piramisnál (azt mondják: a bázison"") valamilyen sokszög, és ennek a sokszögnek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik (ezt a pontot " csúcs»).

Ez az egész szerkezet rendelkezik oldalsó arcok, oldalbordákÉs alapbordák. Még egyszer rajzoljunk egy piramist a felsorolt nevekkel együtt:

Néhány piramis nagyon furcsán néz ki, de mégis piramisok.

Itt például elég "ferdén" piramis.

És még egy kicsit a nevekről: ha van egy háromszög a piramis alján, akkor a piramist háromszögnek nevezik;

Ugyanakkor az a pont, ahol leesett magasság, nak, nek hívják magasságú alap. Vegye figyelembe, hogy a "görbe" piramisokban magasság akár a piramison kívül is lehet. Mint ez:

És ebben nincs semmi szörnyű. Úgy néz ki, mint egy tompa háromszög.

Helyes piramis.

Sok összetett szavak? Megfejtjük: "Az alapon - helyesen" - ez érthető. És most ne feledje, hogy egy szabályos sokszögnek van egy középpontja - egy pont, amely a és , és a középpontja.

Nos, és a „teteje az alap közepére vetítve” szavak azt jelentik, hogy a magasság alapja pontosan az alap közepébe esik. Nézd, milyen simán és aranyosan néz ki jobb oldali piramis.

Hatszögletű: az alapnál - szabályos hatszög, a csúcs az alap közepébe van vetítve.

négyszögű: az alapnál - egy négyzet, a teteje ennek a négyzetnek az átlóinak metszéspontjába van vetítve.

háromszög alakú: az alapon egy szabályos háromszög van, ennek a háromszögnek a magasságainak metszéspontjára vetítjük a csúcsot (ezek egyben mediánok és felezők is).

Nagyon a szabályos piramis fontos tulajdonságai:

BAN BEN jobb oldali piramis

minden oldalél egyenlő.
minden oldallap egyenlő szárú háromszög, és ezek a háromszögek mindegyike egyenlő.

Piramis kötet

A piramis térfogatának fő képlete:

Honnan jött pontosan? Ez nem olyan egyszerű, és először csak emlékezni kell arra, hogy a piramisnak és a kúpnak van térfogata a képletben, de a hengernek nincs.

Most számoljuk ki a legnépszerűbb piramisok térfogatát.

Legyen az alap oldala egyenlő, az oldaléle egyenlő. Meg kell találnom és.

Ez egy derékszögű háromszög területe.

Emlékezzünk arra, hogyan keressük ezt a területet. A terület képletét használjuk:

Van "" - ez, és "" - ez is, na.

Most keressük meg.

A Pitagorasz-tétel szerint a

Mit számít ez? Ez a körülírt kör sugara in, mert piramishelyesés innen a központ.

Mivel - a metszéspont és a medián is.

(Pitagorasz-tétel erre)

Helyettesítse a képletben a következőt:

Csatlakoztassunk mindent a térfogati képletbe:

Figyelem: ha van egy szabályos tetraédered (azaz), akkor a képlet a következő:

Legyen az alap oldala egyenlő, az oldaléle egyenlő.

Itt nem kell keresgélni; mert az alján egy négyzet, és ezért.

Találjuk ki. A Pitagorasz-tétel szerint a

Tudjuk? Majdnem. Néz:

(ezt az áttekintés során láttuk).

Helyettesítse a képletben:

És most behelyettesítjük a térfogatképletbe.

Legyen egyenlő az alap oldala, és az oldaléle.

Hogyan lehet megtalálni? Nézd, egy hatszög pontosan hat egyforma szabályos háromszögből áll. A szabályos háromszög alakú gúla térfogatának kiszámításakor már kerestük a szabályos háromszög területét, itt a talált képletet használjuk.

Most keressük meg (ezt).

A Pitagorasz-tétel szerint a

De mit számít? Ez egyszerű, mert (és mindenki másnak is) igaza van.

Cseréljük:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIS. RÖVIDEN A FŐRŐL

A piramis olyan poliéder, amely tetszőleges lapos sokszögből (), egy pontból, amely nem esik az alap síkjában (a piramis teteje), és minden szakaszból, amely a piramis tetejét az alappontokkal (oldalélekkel) összeköti.

A piramis tetejéről az alap síkjára ejtett merőleges.

Helyes piramis- piramis, amelynek alapja szabályos sokszög, és a piramis teteje az alap közepébe vetül.

A szabályos piramis tulajdonságai:

Egy szabályos piramisban minden oldalél egyenlő.
Minden oldallap egyenlő szárú háromszög, és mindegyik háromszög egyenlő.

Piramis magasságú alaptulajdonság:

A piramisok típusai

Feladat példa

Piramis. vizuális útmutató (2019)

Mi az a piramis?

Helyes piramis.

Piramis kötet

A piramis térfogatának fő képlete:

PIRAMIS. RÖVIDEN A FŐRŐL

Lehet, hogy érdekel