Bármely sokszög feküdhet a prizma alján - háromszög, négyszög stb. Mindkét alap teljesen azonos, és ennek megfelelően, ami által a párhuzamos lapok szögei kapcsolódnak egymáshoz, mindig párhuzamosak. A szabályos prizma alján egy szabályos sokszög található, vagyis olyan, amelynek minden oldala egyenlő. Egyenes prizmában az oldallapok közötti élek merőlegesek az alapra. Ebben az esetben tetszőleges számú szögű sokszög feküdhet az egyenes prizma alapján. Azt a prizmát, amelynek alapja paralelogramma, paralelcsőnek nevezzük. A téglalap a paralelogramma speciális esete. Ha ez a szám az alapnál fekszik, és oldalsó arcok az alapra merőlegesen elhelyezkedő paralelepipedont téglalap alakúnak nevezzük. Ennek a geometriai testnek a második neve téglalap alakú.

Hogy néz ki

Téglalap alakú prizmák körülvéve modern ember elég kevés. Ez például a szokásos karton cipők alól, számítógép alkatrészek stb. Nézz körül. Még egy szobában is biztosan sok téglalap alakú prizmát fog látni. Ez egy számítógépház, egy könyvespolc, egy hűtőszekrény, egy szekrény, és sok más elem. A forma elsősorban azért rendkívül népszerű, mert a lehető leghatékonyabb térhasználatot teszi lehetővé, akár a belső teret díszítjük, akár a dolgokat költözés előtt kartonba pakoljuk.

A téglalap alakú prizma tulajdonságai

A téglalap alakú prizmának számos sajátos tulajdonsága van. Bármely lappár szolgálhat ennek a célra, mivel az összes szomszédos felület azonos szögben helyezkedik el egymással, és ez a szög 90 °. Egy téglalap alakú prizma térfogata és felülete könnyebben kiszámítható, mint bármely másé. Vegyünk bármilyen tárgyat, amely téglalap alakú prizma alakú. Mérje meg a hosszát, szélességét és magasságát. A térfogat meghatározásához elegendő ezeket a méréseket megszorozni. Vagyis a képlet így néz ki: V \u003d a * b * h, ahol V a térfogat, a és b az alap oldalai, h az a magasság, amely egybeesik ennek a geometriai testnek az oldalélével. Az alapterületet az S1=a*b képlet alapján számítjuk ki. Az oldalfelület megszerzéséhez először ki kell számítani az alap kerületét a P=2(a+b) képlettel, majd meg kell szorozni a magassággal. Kiderül, hogy az S2=P*h=2(a+b)*h képlet. A téglalap alakú prizma teljes felületének kiszámításához adja hozzá az alapterület és az oldalfelület területének kétszeresét. A képlet: S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Előadás: Prizma, alapjai, oldalélei, magassága, oldalfelület; egyenes prizma; jobb prizma

Prizma

Ha nálunk tanult lapos figurák a múltbeli kérdésekből azt jelenti, hogy teljesen készen állnak a háromdimenziós figurák tanulmányozására. Az első szilárd, amelyet megtanulunk, egy prizma lesz.

Prizma- Ez egy háromdimenziós test, amelynek sok arca van.

Ennek az ábrának két sokszöge van az alapoknál, amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, és minden oldallap paralelogramma alakú.

1. ábra. 2

Tehát nézzük meg, miből áll a prizma. Ehhez vegye figyelembe az 1. ábrát

Mint korábban említettük, a prizmának két egymással párhuzamos alapja van - ezek az ABCEF és a GMNJK ötszögek. Ráadásul ezek a sokszögek egyenlőek egymással.

A prizma összes többi lapját oldallapoknak nevezzük - paralelogrammákból állnak. Például BMNC, AGKF, FKJE stb.

Az összes oldallap közös felületét ún oldalfelület.

Minden szomszédos oldalpárnak van egy közös oldala. Az ilyen közös oldalt élnek nevezzük. Például MB, CE, AB stb.

Ha a prizma felső és alsó alapját merőleges köti össze, akkor azt a prizma magasságának nevezzük. Az ábrán a magasság OO 1 egyenes vonallal van jelölve.

A prizmáknak két fő típusa van: ferde és egyenes.

Ha oldalbordák a prizmák nem merőlegesek az alapokra, akkor egy ilyen prizmát nevezünk ferde.

Ha egy prizma minden éle merőleges az alapokra, akkor egy ilyen prizmát ún. egyenes.

Ha egy prizma alapjai szabályos sokszögek (egyenlő oldalúak), akkor az ilyen prizmát ún. helyes.

Ha a prizma alapjai nem párhuzamosak egymással, akkor egy ilyen prizmát hívunk megcsonkított.

A 2. ábrán láthatja

Képletek egy prizma térfogatának, területének meghatározásához

Három alapvető képlet létezik a térfogat meghatározására. Alkalmazásukban különböznek egymástól:

Hasonló képletek a prizma felületének meghatározására:

Poliéder

A sztereometria vizsgálatának fő tárgya a háromdimenziós testek. Test a tér valamely felület által határolt része.

poliéder Olyan testet, amelynek felülete véges számú sík sokszögből áll, ún. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha a felületén lévő minden lapos sokszög síkjának egyik oldalán fekszik. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (négyzetek csúcsait) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

prizma poliédernek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő sík sokszögből áll, amelyek párhuzamos transzlációval kombinálódnak, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket ún prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalélei.

Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két olyan csúcsát összekötő szakaszt nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz prizma átlós(). A prizmát ún n-szén ha alapja n-szög.

Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek abból a tényből következnek, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.

A prizma felületét alapok és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.

egyenes prizma

A prizmát ún egyenes ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát ún ferde.

Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

teljes prizma felület az oldalfelület és az alapterületek összege.

Helyes prizma egyenes prizmának nevezzük szabályos sokszög a bázison.

13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe megegyezik a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy ennek megfelelően az oldalsó élével).

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjainál lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:

,

ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspontot kettéosztjuk.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy T szerint körülbelül két, a harmadikkal párhuzamos egyenes. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és a vonalak ugyanabban a síkban (a síkban) fekszenek. Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján az átlói és metszik egymást, és a metszéspont felezik, amit igazolni kellett.

Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap kocka alakú. Nál nél kocka alakú minden lap téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát lineáris méreteinek (méréseknek) nevezzük. Három méret van (szélesség, magasság, hosszúság).

13.3. Tétel. Egy téglatestben bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével (a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).

Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

Feladatok

13.1 Hány átlót tesz ki n- karbon prizma

13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalélek távolsága 37, 13 és 40. Határozza meg a nagyobb oldallap és a szemközti oldalél közötti távolságot!

13.3 Az alsó bázis oldalán keresztül a megfelelő háromszög prizma egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat a szakaszok mentén, amelyek szöge . Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Definíció 1. Prizmás felület
Tétel 1. Prizmás felület párhuzamos szakaszain
Definíció 2. Prizmás felület merőleges metszete
Definíció 3. Prizma
Definíció 4. Prizmamagasság
Definíció 5. Közvetlen prizma
2. Tétel. A prizma oldalfelületének területe

Párhuzamos :
Definíció 6. Paralleleppiped
3. Tétel Egy paralelepipedon átlóinak metszéspontjáról
Definíció 7. Jobb oldali paralelepipedon
Definíció 8. Téglalap alakú paralelepipedon
Definíció 9. A paralelepipedon méretei
Definíció 10. Kocka
Definíció 11. Romboéder
Tétel 4. Négyszögletes paralelepipedon átlóiról
5. Tétel. Prizma térfogata
Tétel 6. Egyenes prizma térfogata
7. Tétel. Téglalap alakú paralelepipedon térfogata

prizma poliédernek nevezzük, amelyben két lap (alap) párhuzamos síkban fekszik, és az ezeken a lapokon nem fekvő élek párhuzamosak egymással.
Az alapoktól eltérő arcokat hívják oldalsó.
Az oldallapok és alapok oldalait ún prizma élei, az élek végeit ún a prizma csúcsai. Oldalsó bordákéleknek nevezzük, amelyek nem tartoznak az alapokhoz. Az oldallapok egyesülését ún a prizma oldalfelülete, és az összes arc egyesülését hívják a prizma teljes felülete. Prizma magassága a felső alap pontjából az alsó alap síkjába ejtett merőlegest vagy ennek a merőlegesnek a hosszát nevezzük. egyenes prizma prizmának nevezzük, amelyben az oldalélek merőlegesek az alapok síkjaira. helyes egyenes prizmának nevezzük (3. ábra), melynek alapjában szabályos sokszög fekszik.

Megnevezések:
l - oldalsó borda;
P - alap kerülete;
S o - alapterület;
H - magasság;
P ^ - a merőleges szakasz kerülete;
S b - oldalfelület;
V - térfogat;
S p - a prizma teljes felületének területe.

V=SH S p \u003d S b + 2S o S b = P^l

1. definíció . A prizmatikus felület több, egy egyenessel párhuzamos sík részeiből álló alakzat, amelyet azok az egyenesek határolnak, amelyek mentén ezek a síkok egymást követően metszik egymást *; ezek a vonalak párhuzamosak egymással és ún a prizmatikus felület élei.
*Feltételezzük, hogy minden két egymást követő sík metszi egymást, és az utolsó sík metszi az elsőt.

1. tétel . A prizmatikus felület egymással párhuzamos (de az éleivel nem párhuzamos) síkok metszete egyenlő sokszögek.
Legyen ABCDE és A"B"C"D"E egy prizmatikus felület két párhuzamos sík metszete. Annak igazolására, hogy a két sokszög egyenlő-e, elég megmutatni, hogy az ABC és az A"B"C" háromszögek egyenlőek és azonos forgási irányúak, és ugyanez igaz az ABD és A"B"D", ABE és A"BDE háromszögekre is. De ezeknek a háromszögeknek a megfelelő oldalai párhuzamosak (például AC párhuzamos A "C"-vel), mint egy bizonyos sík és két párhuzamos sík metszésvonala; ebből következik, hogy ezek az oldalak egyenlőek (pl. AC egyenlő A"C") mint ellentétes oldalak paralelogramma, és hogy az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek és azonos irányúak.

2. definíció . A prizmatikus felület merőleges metszete ennek a felületnek az éleire merőleges sík metszete. Az előző tétel alapján ugyanannak a prizmatikus felületnek minden merőleges szakasza egyenlő sokszög lesz.

3. definíció . A prizma olyan poliéder, amelyet egy prizmás felület és két egymással párhuzamos sík határol (de nem párhuzamos a prizmafelület éleivel).
Az ezekben az utolsó síkokban fekvő arcokat ún prizma alapok; prizmás felülethez tartozó lapok - oldalsó arcok; a prizmatikus felület élei - a prizma oldalélei. Az előző tétel értelmében a prizma alapjai az egyenlő sokszögek. A prizma minden oldallapja paralelogrammák; minden oldalél egyenlő egymással.
Nyilvánvaló, hogy ha az ABCDE prizma alapja és az AA" élek egyike adott nagyságrendben és irányban, akkor az AA" éllel egyenlő és párhuzamos BB", CC", .. élek megrajzolásával lehet prizmát építeni.

4. definíció . A prizma magassága az alapjainak síkjai közötti távolság (HH").

5. definíció . Egy prizmát egyenesnek nevezünk, ha alapjai egy prizmatikus felület merőleges metszetei. Ebben az esetben a prizma magassága természetesen az övé oldalborda; oldalsó élek lesznek téglalapok.
A prizmák az oldallapok száma szerint osztályozhatók, egyenlő számú az alapjául szolgáló sokszög oldalai. Így a prizmák lehetnek háromszögűek, négyszögletesek, ötszögűek stb.

2. tétel . A prizma oldalfelületének területe megegyezik az oldalsó él és a merőleges szakasz kerületének szorzatával.
Legyen ABCDEA "B" C "D" E" egy adott prizma, és abcd a merőleges metszetét úgy, hogy az ab, bc, .. szakaszok merőlegesek legyenek oldaléleire. Az ABA "B" lap paralelogramma; területe egyenlő az AA "alap szorzatával a magassággal, amely egybeesik ab-vel; a BCV "C" felület területe egyenlő a BB" alap szorzatával a bc magassággal stb. Ezért az oldalfelület (azaz az oldallapok területének összege) egyenlő az oldalél szorzatával, más szóval az AA", BB" szakaszok teljes hosszával, de +c +m a.d +c +m a.d +c +m a + + m + .