Ֆիբոնաչիի թվեր - թվային հաջորդականություն, որտեղ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ հավասար է երկու նախորդների գումարին, այսինքն՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144։ , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025,.. 3478756208 980000,.. 42229701564 9625,.. 19581068021641812000,.. մի շարք պրոֆեսիոնալ գիտնականներ և մաթեմատիկայի սիրահարներ:

1997-ին շարքի մի քանի տարօրինակ առանձնահատկություններ նկարագրեց հետազոտող Վլադիմիր Միխայլովը, ով համոզված էր, որ Բնությունը (ներառյալ Մարդը) զարգանում է այն օրենքների համաձայն, որոնք դրված են այս թվային հաջորդականությամբ:

Ֆիբոնաչիի թվերի շարքի ուշագրավ հատկությունն այն է, որ քանի որ շարքի թվերն ավելանում են, այս շարքի երկու հարևան անդամների հարաբերակցությունը ասիմպտոտիկ կերպով մոտենում է Ոսկե հատվածի ճշգրիտ համամասնությանը (1: 1.618)՝ գեղեցկության և ներդաշնակության հիմքում։ մեզ շրջապատող բնությունը, այդ թվում՝ մարդկային հարաբերություններում։

Նշենք, որ Ֆիբոնաչի ինքն է հայտնաբերել իր հայտնի շարքը՝ անդրադառնալով մեկ տարվա ընթացքում մեկ զույգից ծնված նապաստակների քանակի խնդրին։ Պարզվեց, որ երկրորդից հետո յուրաքանչյուր հաջորդ ամիս ճագարների զույգերի թիվը ճշգրիտ հետևում է թվային շարքին, որն այժմ կրում է նրա անունը: Ուստի պատահական չէ, որ մարդն ինքը դասավորված է Ֆիբոնաչիի շարքի համաձայն։ Յուրաքանչյուր օրգան դասավորված է ըստ ներքին կամ արտաքին երկակիության։

Ֆիբոնաչիի թվերը գրավել են մաթեմատիկոսներին ամենաանսպասելի վայրերում հայտնվելու ունակության պատճառով։ Նկատվել է, օրինակ, որ Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերակցությունները, որոնք վերցված են մեկի միջով, համապատասխանում են բույսերի ցողունի կից տերևների միջև եղած անկյունին, ավելի ճիշտ ասում են, թե շրջադարձի որ մասն է կազմում այս անկյունը. 1/2 - կնձու և լորենիի համար՝ 1/3, հաճարի համար՝ 2/5, կաղնու և խնձորի համար՝ 2/5, բարդիի և վարդի համար՝ 3/8, ուռենու և նուշի համար՝ 5/13 և այլն: Սերմերը հաշվելիս նույն թվերը կգտնեք։ արեւածաղկի պարույրներում, երկու հայելիներից արտացոլվող ճառագայթների քանակով, մեղուներին մի բջիջից մյուսը սողալու տարբերակների քանակով, բազմաթիվ մաթեմատիկական խաղերում ու հնարքներում։

Ո՞րն է տարբերությունը Ոսկե հարաբերակցության պարույրների և Ֆիբոնաչի պարույրների միջև: Ոսկե հարաբերակցության պարույրը կատարյալ է: Այն համապատասխանում է ներդաշնակության առաջնային աղբյուրին: Այս պարույրը ոչ սկիզբ ունի, ոչ վերջ։ Նա անվերջ է: Ֆիբոնաչիի պարույրը սկիզբ ունի, որից սկսում է «թափվել»։ Սա շատ կարևոր գույք է։ Այն թույլ է տալիս Բնությանը հաջորդ փակ ցիկլից հետո իրականացնել նոր պարույրի կառուցումը «զրոյից»:

Պետք է ասել, որ Ֆիբոնաչիի պարույրը կարող է կրկնակի լինել։ Այս կրկնակի պարույրների բազմաթիվ օրինակներ կան, որոնք հայտնաբերվել են ամենուր: Այսպիսով, արևածաղկի պարույրները միշտ փոխկապակցված են Ֆիբոնաչիի շարքի հետ: Նույնիսկ սովորական սոճիի մեջ դուք կարող եք տեսնել այս կրկնակի Ֆիբոնաչի պարույրը: Առաջին պարույրը գնում է մի ուղղությամբ, երկրորդը `մյուս ուղղությամբ: Եթե ​​հաշվենք մի ուղղությամբ պտտվող պարույրի կշեռքների քանակը և մյուս պարույրի մասշտաբների քանակը, ապա կարող ենք տեսնել, որ դրանք միշտ Ֆիբոնաչիի շարքի երկու հաջորդական թվեր են: Այս պարույրների թիվը 8 և 13 է։ Արևածաղկի մեջ կան զույգ պարույրներ՝ 13 և 21, 21 և 34, 34 և 55, 55 և 89։ Եվ այս զույգերից շեղումներ չկան։

Մարդու մոտ, սոմատիկ բջջի քրոմոսոմների հավաքածուում (կան 23 զույգ), ժառանգական հիվանդությունների աղբյուրը 8, 13 և 21 զույգ քրոմոսոմներն են…

Բայց ինչո՞ւ է այս շարքը որոշիչ դեր խաղում Բնության մեջ։ Այս հարցին սպառիչ պատասխան կարող է տալ եռակիության հայեցակարգը, որը որոշում է դրա ինքնապահպանման պայմանները։ Եթե ​​եռյակի «շահերի հավասարակշռությունը» խախտվում է նրա «գործընկերներից» մեկի կողմից, ապա պետք է ուղղվեն մյուս երկու «գործընկերների» «կարծիքները»։ Եռակիության հայեցակարգը հատկապես հստակորեն դրսևորվում է ֆիզիկայում, որտեղ «գրեթե» բոլոր տարրական մասնիկները կառուցվել են քվարկներից: Եթե ​​հիշենք, որ քվարկային մասնիկների կոտորակային լիցքերի հարաբերությունները կազմում են մի շարք, և սրանք Ֆիբոնաչիի շարքի առաջին անդամներն են, որոնք անհրաժեշտ են այլ ձևավորման համար. տարրական մասնիկներ.

Հնարավոր է, որ Ֆիբոնաչիի պարույրը նույնպես կարող է որոշիչ դեր խաղալ հիերարխիկ տարածությունների սահմանափակության և փակության օրինաչափության ձևավորման գործում։ Իսկապես, պատկերացրեք, որ էվոլյուցիայի ինչ-որ փուլում Ֆիբոնաչիի պարույրը հասել է կատարելության (այն չի տարբերվում ոսկե հատվածի պարույրից) և այդ պատճառով մասնիկը պետք է վերածվի հաջորդ «կատեգորիայի»:

Այս փաստերը եւս մեկ անգամ հաստատում են, որ երկակիության օրենքը տալիս է ոչ միայն որակական, այլեւ քանակական արդյունքներ։ Նրանք ստիպում են մեզ մտածել, որ Մակրոկոսմը և մեզ շրջապատող Միկրոկոսմը զարգանում են ըստ նույն օրենքների՝ հիերարխիայի օրենքների, և որ այդ օրենքները նույնն են կենդանի և անշունչ նյութի համար:

Այս ամենը ցույց է տալիս, որ Ֆիբոնաչիի թվերի շարքը բնության մի տեսակ կոդավորված օրենք է։

Քաղաքակրթության զարգացման թվային կոդը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով թվաբանության տարբեր մեթոդներ: Օրինակ՝ կոմպլեքս թվերը միանիշ թվերի վերածելով (օրինակ՝ 15-ը 1+5=6 է և այլն)։ Միխայլովը, Ֆիբոնաչիի շարքի բոլոր կոմպլեքս թվերի հետ կատարելով գումարման նմանատիպ ընթացակարգ, ստացավ այս թվերի հետևյալ շարքը՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, ապա ամեն ինչ կրկնվում է 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. և կրկնվում է նորից ու նորից... Այս շարքն ունի նաև Ֆիբոնաչիի շարքի հատկություններ, յուրաքանչյուր անսահման հաջորդ անդամ հավասար է նախորդների գումարին։ Օրինակ, 13-րդ և 14-րդ անդամների գումարը 15 է, այսինքն. 8 և 8=16, 16=1+6=7։ Ստացվում է, որ այս շարքը պարբերական է՝ 24 անդամի պարբերությամբ, որից հետո կրկնվում է թվերի ամբողջ հերթականությունը։ Ստանալով այս ժամանակահատվածը՝ Միխայլովը մի հետաքրքիր ենթադրություն արեց. թվային կոդըքաղաքակրթության զարգացում.հրատարակված

P.S. Եվ հիշեք, պարզապես փոխելով ձեր գիտակցությունը, մենք միասին փոխում ենք աշխարհը: © econet

Որոշ ժամանակ առաջ ես խոստացել էի մեկնաբանել Տոլկաչովի այն հայտարարությունը, որ Սանկտ Պետերբուրգը կառուցվել է Ոսկե հատվածի սկզբունքով, իսկ Մոսկվան՝ համաչափության սկզբունքով, և այդ պատճառով է այս երկու քաղաքների ընկալման տարբերությունները. այնքան շոշափելի են, և սա է պատճառը, որ մի Սուրբ », Եվ մոսկվացին «գլխով հիվանդանում է», երբ գալիս է Սանկտ Պետերբուրգ: Որոշ ժամանակ է պահանջվում քաղաքին հարմարվելու համար (ինչպես նահանգներ թռչելիս, ժամանակի ընթացքում պետք է հարմարվել):

Փաստն այն է, որ մեր աչքը նայում է` զգալով տարածությունը աչքերի որոշակի շարժումների օգնությամբ` սակադներ (թարգմանաբար` առագաստի ծափ): Աչքը «պոպ» է անում և ազդանշան է ուղարկում ուղեղին՝ «կպչում է մակերեսին: Ամեն ինչ լավ է. Սա տեղեկություն է»: Իսկ կյանքի ընթացքում աչքը ընտելանում է այս սակադների որոշակի ռիթմին։ Եվ երբ այս ռիթմը կտրուկ փոխվում է (քաղաքային լանդշաֆտից անտառ, Ոսկե հատվածից մինչև սիմետրիա), ապա վերակազմավորելու համար անհրաժեշտ է ուղեղի որոշակի աշխատանք:

Այժմ մանրամասները.
ZS-ի սահմանումը հատվածի բաժանումն է երկու մասի այնպիսի հարաբերակցությամբ, որ ավելի մեծ մասը կապված է փոքրի հետ, քանի որ դրանց գումարը (ամբողջ հատվածը) մեծ է։

Այսինքն, եթե c ամբողջ հատվածը վերցնենք 1, ապա a հատվածը հավասար կլինի 0,618, b հատվածը՝ 0,382։ Այսպես, եթե վերցնենք, օրինակ, ԳՍ սկզբունքով կառուցված տաճար, ապա իր բարձրությամբ, ասենք, 10 մետր, գմբեթով թմբուկի բարձրությունը կլինի 3,82 սմ, իսկ հիմքի բարձրությունը. շենքի չափը կլինի 6,18 սմ (Պարզ է, որ պարզության համար իմ վերցրած թվերը հավասար են)

Իսկ ինչպիսի՞ն է կապը GL-ի և Ֆիբոնաչիի թվերի միջև:

Ֆիբոնաչիի հաջորդական թվերն են.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Թվերի օրինաչափությունն այն է, որ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ հավասար է երկու նախորդ թվերի գումարին:
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 և այլն:

իսկ հարակից թվերի հարաբերակցությունը մոտենում է 3S հարաբերակցությանը։
Այսպիսով, 21:34 = 0,617 և 34:55 = 0,618:

Այսինքն՝ ZS-ի հիմքում Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերն են։
Այս տեսանյութը ևս մեկ անգամ հստակ ցույց է տալիս այս կապը AP-ի և Ֆիբոնաչիի թվերի միջև

Էլ որտե՞ղ են հանդիպում AP սկզբունքը և Ֆիբոնաչիի հաջորդականության համարները:

Բույսերի տերևները նկարագրվում են Ֆիբոնաչիի հաջորդականությամբ։ Արևածաղկի սերմերը, սոճու կոները, ծաղկաթերթերը, արքայախնձորի բջիջները նույնպես դասավորված են ըստ Ֆիբոնաչիի հաջորդականության։

թռչնի ձու

Մարդու մատների ֆալանգների երկարությունը մոտավորապես նույնն է, ինչ Ֆիբոնաչիի թվերը: Ոսկե հարաբերակցությունը երևում է դեմքի համամասնություններում։

Էմիլ Ռոզենովն ուսումնասիրել է ZS-ը բարոկկո և կլասիցիզմի դարաշրջանների երաժշտության մեջ՝ որպես օրինակ օգտագործելով Բախի, Մոցարտի, Բեթհովենի ստեղծագործությունները։

Հայտնի է, որ Սերգեյ Էյզենշտեյնը արհեստականորեն կառուցել է «Մարտական ​​նավ Պոտյոմկին» ֆիլմը՝ համաձայն Օրենսդիր ժողովի կանոնների։ Նա ժապավենը բաժանեց հինգ մասի։ Առաջին երեքում գործողությունը զարգանում է նավի վրա։ Վերջին երկուսում՝ Օդեսայում, որտեղ ծավալվում է ապստամբությունը։ Այս անցումը դեպի քաղաք տեղի է ունենում հենց ոսկե հարաբերակցության կետում։ Այո, և յուրաքանչյուր մասում կա շրջադարձային կետ, որը տեղի է ունենում ոսկե հատվածի օրենքի համաձայն: Կադրում, տեսարանում, դրվագում թեմայի զարգացման որոշակի թռիչք կա՝ սյուժե, տրամադրություն։ Էյզենշտեյնը կարծում էր, որ քանի որ նման անցումը մոտ է ոսկե հատվածի կետին, այն ընկալվում է որպես ամենաբնական և բնական:

Շատ դեկորատիվ տարրեր, ինչպես նաև տառատեսակներ, ստեղծվում են GS-ի միջոցով: Օրինակ՝ A. Dürer-ի տառատեսակը (նկարում «Ա» տառը)

Ենթադրվում է, որ «Ոսկե հարաբերակցություն» տերմինը ներմուծել է Լեոնարդո Դա Վինչին, ով ասել է՝ «թող ոչ ոք, չլինելով մաթեմատիկոս, չհամարձակվի կարդալ իմ ստեղծագործությունները» և ցույց է տվել համամասնությունները։ մարդու մարմինըիր հայտնի «Վիտրուվիական մարդը» գծագրում։ «Եթե մենք գոտիով կապենք մարդկային կերպարանքին՝ Տիեզերքի ամենակատարյալ արարածին, ապա չափենք գոտուց մինչև ոտքերի հեռավորությունը, ապա այս արժեքը կվերաբերի նույն գոտուց մինչև գլխի վերև հեռավորությունը, ինչպես մարդու ողջ հասակը գոտիից մինչև ոտքերի երկարությունը»։

Մոնա Լիզայի կամ Ջոկոնդայի հայտնի դիմանկարը (1503) ստեղծվել է ոսկե եռանկյունների սկզբունքով։

Խստորեն ասած՝ աստղն ինքը կամ հնգյակը ԱՊ-ի կառուցումն է։

Ֆիբոնաչիի թվերի շարքը տեսողականորեն մոդելավորվում է (նյութականացված) պարույրի տեսքով

Իսկ բնության մեջ 3S պարույրն այսպիսի տեսք ունի.

Ընդ որում, պարույրը նկատվում է ամենուր(բնության մեջ և ոչ միայն).
- Բույսերի մեծ մասում սերմերը դասավորված են պարույրով
- Սարդը պարուրաձեւ ցանց է հյուսում
- Փոթորիկը պտտվում է
- Հյուսիսային եղջերուների վախեցած երամակը ցրվում է պարույրով:
- ԴՆԹ-ի մոլեկուլը ոլորված է կրկնակի պարույրով: ԴՆԹ-ի մոլեկուլը բաղկացած է երկու ուղղահայաց միահյուսված պարույրներից՝ 34 անգստրոմ երկարությամբ և 21 անգստրոմ լայնությամբ։ 21 և 34 թվերը հաջորդում են միմյանց Ֆիբոնաչիի հաջորդականությամբ։
- Սաղմը զարգանում է պարույրի տեսքով
- պարույր «կոխլեա ներքին ականջում»
- Ջուրն իջնում ​​է արտահոսքի մեջ պարույրով
- Պարույրի դինամիկան ցույց է տալիս մարդու անհատականության և նրա արժեքների զարգացումը պարույրով:
- Եվ իհարկե, Գալակտիկան ինքնին պարույրի տեսք ունի

Այսպիսով, կարելի է պնդել, որ բնությունն ինքնին կառուցված է Ոսկե հատվածի սկզբունքով, այդ իսկ պատճառով այս համամասնությունն ավելի ներդաշնակ է ընկալվում մարդու աչքով։ Դա չի պահանջում «ամրագրել» կամ լրացնել ստացված աշխարհի պատկերը։

Այժմ ճարտարապետության ոսկե հատվածի մասին

Քեոպսի բուրգը ներկայացնում է ԳՍ-ի համամասնությունները: (Ինձ դուր է գալիս լուսանկարը. Սֆինքսի հետ ավազով լցված):

Ըստ Լե Կորբյուզիեի՝ Աբիդոսի փարավոն Սեթի I-ի տաճարի ռելիեֆում և Ռամզես փարավոնին պատկերող ռելիեֆում պատկերների համամասնությունները համապատասխանում են ոսկե հարաբերակցությանը։ Հին հունական Պարթենոնի տաճարի ճակատը նույնպես ոսկե համամասնություններ ունի։

Փարիզի Աստվածամոր տաճարը Փարիզում, Ֆրանսիա:

AP-ի սկզբունքով կառուցված նշանավոր շինություններից է Սանկտ Պետերբուրգի Սմոլնի տաճարը։ Եզրերով դեպի տաճար տանում են երկու արահետ, և եթե դրանց երկայնքով մոտենաք տաճարին, ապա այն կարծես օդ է բարձրանում։

Մոսկվայում կան նաև ZS-ի օգտագործմամբ կառուցված շենքեր։ Օրինակ՝ Սուրբ Վասիլի տաճարը

Այնուամենայնիվ, գերակշռում են այն շենքերը, որոնք օգտագործում են համաչափության սկզբունքները:
Օրինակ՝ Կրեմլը և Սպասկայա աշտարակը։

Կրեմլի պատերի բարձրությունը նույնպես ոչ մի տեղ չի արտացոլում AP սկզբունքը, օրինակ, աշտարակների բարձրության վերաբերյալ: Կամ վերցրեք հյուրանոց Ռուսաստան, կամ հյուրանոց Cosmos:

Միևնույն ժամանակ, AP սկզբունքով կառուցված շենքերը Սանկտ Պետերբուրգում ավելի մեծ տոկոս են կազմում, մինչդեռ դրանք փողոցային շենքեր են։ Լիթինի պողոտա.

Այսպիսով, ոսկե հարաբերակցությունը օգտագործում է 1.68 հարաբերակցություն, իսկ համաչափությունը 50/50 է:
Այսինքն՝ սիմետրիկ շենքերը կառուցված են կողմերի հավասարության սկզբունքով։

GS-ի մեկ այլ կարևոր բնութագիրը նրա դինամիզմն է և բացվելու ցանկությունը՝ պայմանավորված Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությամբ: Մինչդեռ համաչափությունը, ընդհակառակը, ներկայացնում է կայունություն, կայունություն և անշարժություն։

Բացի այդ, լրացուցիչ ZS-ը մտցնում է ջրային տարածքների առատություն Պետրոսի հատակագծում, որը թափվում է քաղաքի վրա և թելադրում քաղաքի ենթակայությունը իրենց ոլորաններին: Իսկ Պետրոսի սխեման ինքնին պարույր կամ սաղմ է հիշեցնում միաժամանակ։

Հռոմի պապը, սակայն, այլ վարկած է հայտնել, թե ինչու են մոսկվացիներն ու պետերբուրգցիները «գլխացավանք» ունենում մայրաքաղաքներ այցելելիս։ Պապը դա կապում է քաղաքների էներգիայի հետ.
Սանկտ Պետերբուրգ - ունի արական սեռ և, համապատասխանաբար, արական էներգիաներ,
Դե, Մոսկվա, համապատասխանաբար, իգականև ունի կանացի էներգիա:

Այսպիսով, մայրաքաղաքների բնակիչները, ովքեր կարգավորել են իրենց մարմնում կանացի և տղամարդկային որոշակի հավասարակշռությունը, դժվարանում են վերակառուցել հարևան քաղաք այցելելիս, և ինչ-որ մեկը կարող է որոշակի դժվարություններ ունենալ այս կամ այն ​​էներգիայի ընկալման հետ, և հետևաբար, հարևան քաղաքը կարող է ընդհանրապես սիրահարված չլինել:

Ի պաշտպանություն այս տարբերակի, այն նաև ասում է, որ բոլորը Ռուս կայսրուհիներՀենց Սանկտ Պետերբուրգում էին նրանք կառավարում, մինչդեռ Մոսկվան տեսնում էր միայն տղամարդ ցարեր։

Օգտագործված ռեսուրսներ.

Կանալիևա Դանա

Այս աշխատանքում մենք ուսումնասիրել և վերլուծել ենք Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերի դրսևորումը մեզ շրջապատող իրականության մեջ։ Մենք զարմանալի մաթեմատիկական կապ ենք հայտնաբերել բույսերում պարույրների քանակի, ցանկացած հորիզոնական հարթության ճյուղերի քանակի և Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերի միջև: Խիստ մաթեմատիկա տեսանք նաև մարդու կառուցվածքում։ Մարդու ԴՆԹ-ի մոլեկուլը, որում գաղտնագրված է մարդու զարգացման ողջ ծրագիրը, շնչառական համակարգը, ականջի կառուցվածքը՝ ամեն ինչ ենթարկվում է որոշակի թվային հարաբերակցության։

Մենք տեսանք, որ բնությունն ունի իր օրենքները՝ արտահայտված մաթեմատիկայի օգնությամբ։

Իսկ մաթեմատիկան շատ է կարևոր ուսումնական գործիքբնության գաղտնիքները.

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

MBOU «Պերվոմայսկայայի միջնակարգ դպրոց»

Օրենբուրգի շրջանի Օրենբուրգսկի շրջան

ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ

«Թվերի հանելուկ

Ֆիբոնաչի»

Ավարտեց՝ Կանալիևա Դանա

6-րդ դասարանի աշակերտ

Գիտական ​​խորհրդատու.

Գազիզովա Վալերիա Վալերիևնա

Բարձրագույն կարգի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

n Փորձարարական

2012 թ

Բացատրական նշում……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ներածություն. Ֆիբոնաչիի թվերի պատմություն………………………………………………………………………………………………………………….

Գլուխ 1. Ֆիբոնաչիի թվերը վայրի բնության մեջ ......... …………………………………………… 5.

Գլուխ 2. Ֆիբոնաչի պարույր .............................................. .. .................................. 9.

Գլուխ 3. Ֆիբոնաչիի թվերը մարդկային հայտնագործություններում .......................................................

Գլուխ 4. Մեր հետազոտությունը……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Գլուխ 5. Եզրակացություն, եզրակացություններ………………………………………………………………………

Օգտագործված գրականության և ինտերնետային կայքերի ցանկ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ուսումնասիրության օբյեկտ.

Մարդ, մարդու կողմից ստեղծված մաթեմատիկական աբստրակցիաներ, մարդու գյուտեր, շրջակա բուսական և կենդանական աշխարհ:

Ուսումնասիրության առարկա.

ուսումնասիրվող առարկաների և երևույթների ձևն ու կառուցվածքը.

Ուսումնասիրության նպատակը.

ուսումնասիրել Ֆիբոնաչիի թվերի դրսևորումը և դրա հետ կապված ոսկե հատվածի օրենքը կենդանի և անշունչ առարկաների կառուցվածքում,

Գտեք Ֆիբոնաչիի թվերի օգտագործման օրինակներ:

Աշխատանքային առաջադրանքներ.

Նկարագրեք, թե ինչպես կարելի է կառուցել Ֆիբոնաչիի շարք և Ֆիբոնաչի պարույր:

Տեսեք մաթեմատիկական օրինաչափությունները մարդու կառուցվածքում, բուսական աշխարհեւ անշունչ բնությունը Ոսկե հատված երեւույթի տեսանկյունից։

Հետազոտական ​​նորույթ.

Ֆիբոնաչիի թվերի հայտնաբերումը մեզ շրջապատող իրականության մեջ.

Գործնական նշանակություն.

Օգտագործելով ձեռք բերված գիտելիքներն ու հմտությունները հետազոտական ​​աշխատանքդպրոցական այլ առարկաներ ուսումնասիրելիս.

Հմտություններ և կարողություններ.

Փորձի կազմակերպում և անցկացում.

Մասնագիտացված գրականության օգտագործում.

Հավաքված նյութը (զեկույց, ներկայացում) վերանայելու կարողության ձեռքբերում.

Աշխատանքների գրանցում գծագրերի, դիագրամների, լուսանկարների հետ:

Ակտիվ մասնակցություն իրենց աշխատանքի քննարկմանը.

Հետազոտության մեթոդներ.

էմպիրիկ (դիտարկում, փորձ, չափում):

տեսական (գիտելիքների տրամաբանական փուլ):

Բացատրական նշում.

«Թվերը կառավարում են աշխարհը: Թիվն այն զորությունն է, որը տիրում է աստվածների և մահկանացուների վրա»: - այսպես էին ասում հին պյութագորացիները: Արդյո՞ք Պյութագորասի ուսմունքի այս հիմքը տեղին է այսօր: Դպրոցում ուսումնասիրելով թվերի գիտությունը՝ մենք ուզում ենք համոզվել, որ, իրոք, ամբողջ Տիեզերքի երևույթները ենթակա են որոշակի թվային հարաբերակցության՝ գտնելու այս անտեսանելի կապը մաթեմատիկայի և կյանքի միջև:

Արդյո՞ք դա իսկապես ամեն ծաղկի մեջ է,

Ե՛վ մոլեկուլում, և՛ գալակտիկայում,

Թվային նախշեր

Այս խիստ «չոր» մաթեմատիկա՞ն։

Մենք դիմեցինք տեղեկատվության ժամանակակից աղբյուրին` ինտերնետին և կարդացինք Ֆիբոնաչիի թվերի, կախարդական թվերի մասին, որոնք հղի են մեծ առեղծվածով: Պարզվում է, որ այս թվերը կարելի է գտնել արևածաղիկների և սոճու կոների մեջ, ճպուռի թեւերի և ծովաստղերի, մարդու սրտի ռիթմերի և երաժշտական ​​ռիթմերի մեջ...

Ինչու՞ է թվերի այս հաջորդականությունն այդքան տարածված մեր աշխարհում:

Մենք ուզում էինք իմանալ Ֆիբոնաչիի թվերի գաղտնիքները: Այս հետազոտական ​​աշխատանքը մեր աշխատանքի արդյունքն է։

Վարկած.

մեզ շրջապատող իրականության մեջ ամեն ինչ կառուցված է զարմանալիորեն ներդաշնակ օրենքների համաձայն՝ մաթեմատիկական ճշգրտությամբ:

Աշխարհում ամեն ինչ մտածված և հաշվարկված է մեր ամենակարևոր դիզայների՝ Բնության կողմից:

Ներածություն. Ֆիբոնաչիի շարքի պատմությունը.

Զարմանալի թվեր է հայտնաբերել միջնադարի իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդոն Պիզայից, ով ավելի հայտնի է որպես Ֆիբոնաչի: Ճանապարհորդելով Արևելքում՝ նա ծանոթանում է արաբական մաթեմատիկայի նվաճումներին և նպաստում դրանց Արևմուտք տեղափոխմանը։ Իր աշխատություններից մեկում, որը վերնագրված է «Հաշվարկների գիրքը», նա Եվրոպային է ներկայացրել մեկը ամենամեծ հայտնագործություններըբոլոր ժամանակների և ժողովուրդների՝ տասնորդական թվային համակարգ։

Մի օր նա տարակուսեց մեկի լուծման շուրջ մաթեմատիկական խնդիր. Նա փորձում էր ստեղծել մի բանաձև, որը նկարագրում էր ճագարների բազմացման հաջորդականությունը:

Լուծումը եղել է թվերի շարք, որոնց յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը նախորդ երկուսի գումարն է.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Այս հաջորդականությունը կազմող թվերը կոչվում են «Ֆիբոնաչիի թվեր», իսկ ինքնին հաջորդականությունը կոչվում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն։

"Եւ ինչ?" - Դուք կասեք, - «Կարո՞ղ ենք մենք ինքներս գալ նմանատիպ թվային շարքեր, որոնք աճում են ըստ տվյալ առաջընթացի»: Իսկապես, երբ Ֆիբոնաչիի շարքը հայտնվեց, ոչ ոք, այդ թվում նաև ինքը, չէր կասկածում, թե որքան մոտ է նրան հաջողվել մոտենալ տիեզերքի ամենամեծ առեղծվածներից մեկի բացահայտմանը:

Ֆիբոնաչիը տարակուսած կյանք է վարել, շատ ժամանակ է անցկացրել բնության գրկում և անտառում զբոսնելիս նկատել է, որ այդ թվերը բառացիորեն սկսել են հետապնդել իրեն։ Բնության մեջ ամենուր նա նորից ու նորից հանդիպեց այս թվերին: Օրինակ՝ բույսերի թերթիկները և տերևները խստորեն տեղավորվում են տվյալ թվային շարքի մեջ։

Ֆիբոնաչիի թվերում կա հետաքրքիր առանձնահատկությունհաջորդ Ֆիբոնաչիի թիվը նախորդի վրա բաժանելու գործակիցը, քանի որ թվերն իրենք աճում են, հակված են 1,618-ի: Հենց այս մշտական ​​բաժանման թիվն էր, որ միջնադարում կոչվում էր Աստվածային համամասնություն և այժմ կոչվում է Ոսկե հատված կամ Ոսկե հարաբերակցություն:

Հանրահաշվում այս թիվը նշվում է հունարեն ֆի (Ф) տառով:

Այսպիսով, φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Անկախ նրանից, թե քանի անգամ բաժանենք մեկը մյուսի վրա, կից թիվը, մենք միշտ կստանանք 1,618, իսկ եթե հակառակն անենք, այսինքն՝ փոքր թիվը բաժանենք մեծի վրա, կստանանք 0,618, սա 1.618-ի հակադարձը, որը նաև կոչվում է ոսկե հարաբերակցություն:

Ֆիբոնաչիի շարքը կարող էր մնալ միայն մաթեմատիկական միջադեպ, եթե չլիներ այն փաստը, որ բույսերի և կենդանական աշխարհի ոսկե բաժանման բոլոր հետազոտողները, չխոսելով արվեստի մասին, անփոփոխ կերպով եկան այս շարքը որպես ոսկե բաժանման օրենքի թվաբանական արտահայտություն: .

Գիտնականները, վերլուծելով այս թվային շարքի հետագա կիրառումը բնական երևույթների և գործընթացների նկատմամբ, պարզեցին, որ այդ թվերը պարունակվում են բառացիորեն վայրի բնության բոլոր օբյեկտներում՝ բույսերում, կենդանիներում և մարդկանց մեջ:

Զարմանալի մաթեմատիկական խաղալիքը պարզվեց, որ ամեն ինչում ներդրված եզակի ծածկագիր է բնական առարկաներԻնքը՝ Տիեզերքի Արարիչը։

Դիտարկենք օրինակներ, որտեղ Ֆիբոնաչիի թվերը հանդիպում են կենդանի և անկենդան բնության մեջ:

Ֆիբոնաչիի թվերը վայրի բնության մեջ.

Եթե ​​նայեք մեզ շրջապատող բույսերին և ծառերին, կարող եք տեսնել, թե դրանցից յուրաքանչյուրը քանի տերեւ ունի: Հեռվից թվում է, թե բույսերի վրա ճյուղերն ու տերեւները դասավորված են պատահական, կամայական հերթականությամբ։ Այնուամենայնիվ, բոլոր բույսերում հրաշքով, մաթեմատիկորեն ճշգրիտ պլանավորված է, թե որ ճյուղը որտեղից կաճի, ինչպես ճյուղեր ու տերևներ կտեղակայվեն ցողունի կամ բնի մոտ։ Բույսն իր ի հայտ գալու առաջին օրվանից իր զարգացման մեջ ճշգրիտ հետևում է այս օրենքներին, այսինքն՝ ոչ մի տերեւ, ոչ մի ծաղիկ պատահական չի հայտնվում։ Նույնիսկ նախքան գործարանի տեսքը արդեն ճշգրիտ ծրագրավորված է: Քանի ճյուղ կլինի ապագա ծառի վրա, որտեղ կաճեն ճյուղերը, քանի տերեւ կլինի յուրաքանչյուր ճյուղի վրա և ինչպես, ինչ հերթականությամբ կդասավորվեն տերևները։ Համագործակցությունբուսաբաններն ու մաթեմատիկոսները լույս են սփռում այս զարմանալի բնական երևույթների վրա: Պարզվեց, որ ճյուղի վրա տերևների դասավորության մեջ (ֆիլոտաքսիս), ցողունի վրա պտույտների քանակով, ցիկլի տերևների քանակով դրսևորվում է Ֆիբոնաչիի շարքը, հետևաբար նաև ոսկե հատվածի օրենքը. դրսևորվում է.

Եթե ​​դուք ձեռնամուխ լինեք վայրի բնության մեջ թվային օրինաչափություններ գտնելու, ապա կնկատեք, որ այդ թվերը հաճախ հանդիպում են տարբեր պարուրաձև ձևերով, որոնցով բուսական աշխարհն այնքան հարուստ է: Օրինակ, տերևի հատումները հարում են ցողունին պարույրով, որն անցնում է դրանց միջևերկու հարակից տերևներ.լրիվ շրջադարձ - պնդուկի մոտ,- կաղնու մոտ - բարդու և տանձի մոտ,- ուռենու մոտ:

Արևածաղկի, Echinacea purpurea-ի և շատ այլ բույսերի սերմերը դասավորված են պարույրներով, և յուրաքանչյուր ուղղությամբ պարույրների թիվը Ֆիբոնաչիի թիվն է։

Արևածաղիկ, 21 և 34 պարույրներ. Էխինացեա, 34 և 55 պարույրներ:

Ծաղիկների հստակ, սիմետրիկ ձևը նույնպես ենթակա է խիստ օրենքի.

Շատ ծաղիկներ ունեն ծաղկաթերթիկների քանակը՝ հենց Ֆիբոնաչիի շարքի թվերը: Օրինակ:

հիրիկ, 3 լեպ. գորտնուկ, 5 պ. ոսկե ծաղիկ, 8 լեպ. դելֆինիում,

13 լեպ.

եղերդիկ, 21 լեփ. aster, 34 lep. երիցուկներ, 55 լեպ.

Ֆիբոնաչիի շարքը բնութագրում է կառուցվածքային կազմակերպությունբազմաթիվ կենդանի համակարգեր:

Մենք արդեն ասացինք, որ Ֆիբոնաչիի շարքի հարևան թվերի հարաբերությունը φ = 1,618 թիվ է։ Պարզվում է, որ մարդն ինքը պարզապես ֆի թվի շտեմարան է։

Մեր մարմնի տարբեր մասերի համամասնությունները կազմում են մի թիվ, որը շատ մոտ է ոսկե հարաբերակցությանը: Եթե ​​այս համամասնությունները համընկնում են ոսկե հարաբերակցության բանաձեւի հետ, ապա մարդու արտաքինը կամ մարմինը համարվում է իդեալական կառուցված։ Մարդու մարմնի վրա ոսկե չափը հաշվարկելու սկզբունքը կարելի է պատկերել գծապատկերի տեսքով։

Մ/մ=1.618

Մարդու մարմնի կառուցվածքում ոսկե հատվածի առաջին օրինակը.

Եթե ​​որպես մարդու մարմնի կենտրոն վերցնենք անոթային կետը, իսկ չափման միավոր՝ մարդու ոտքի և անոթային կետի միջև եղած հեռավորությունը, ապա մարդու հասակը համարժեք է 1,618 թվին։

Մարդու ձեռք

Բավական է միայն ափը մոտեցնել ձեզ հիմա և ուշադիր նայել ցուցամատին, և դուք անմիջապես դրա մեջ կգտնեք ոսկե հատվածի բանաձևը։ Մեր ձեռքի յուրաքանչյուր մատը բաղկացած է երեք ֆալանգներից:
Մատի առաջին երկու ֆալանգների գումարը մատի ողջ երկարության նկատմամբ տալիս է ոսկե հարաբերակցությունը (բացառությամբ բթամատի):

Բացի այդ, միջնամատի և փոքր մատի հարաբերակցությունը նույնպես հավասար է ոսկե հարաբերակցությանը։

Մարդն ունի 2 ձեռք, յուրաքանչյուր ձեռքի մատները բաղկացած են 3 ֆալանգներից (բացառությամբ բթամատի): Յուրաքանչյուր ձեռք ունի 5 մատ, այսինքն՝ ընդհանուր առմամբ 10, բայց բացառությամբ երկու երկֆալանգեալ բութ մատների, ոսկե հարաբերակցության սկզբունքով ստեղծվում է ընդամենը 8 մատ։ Մինչդեռ այս բոլոր 2, 3, 5 և 8 թվերը Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերն են։

Ոսկե հարաբերակցությունը մարդու թոքերի կառուցվածքում

Ամերիկացի ֆիզիկոս Բ.Դ.Ուեսթը և դոկտոր Ա.Լ. Գոլդբերգերը ֆիզիկական և անատոմիական ուսումնասիրությունների ընթացքում պարզել է, որ ոսկե հատվածը գոյություն ունի նաև մարդու թոքերի կառուցվածքում:

Մարդու թոքերը կազմող բրոնխների յուրահատկությունը կայանում է նրանց անհամաչափության մեջ։ Բրոնխները կազմված են երկու հիմնական շնչուղիներից, մեկը (ձախ) ավելի երկար է, իսկ մյուսը (աջ) ավելի կարճ:

Պարզվել է, որ այս անհամաչափությունը շարունակվում է բրոնխների ճյուղերում, բոլոր ավելի փոքր շնչուղիներում։ Ընդ որում, կարճ և երկար բրոնխների երկարության հարաբերակցությունը նույնպես ոսկե հարաբերակցությունն է և հավասար է 1:1,618-ի։

Նկարիչներ, գիտնականներ, մոդելավորողներ, դիզայներներ իրենց հաշվարկները, գծագրերը կամ էսքիզները կատարում են ոսկե հարաբերակցության հարաբերակցության հիման վրա։ Նրանք օգտագործում են չափումներ մարդու մարմնից, որոնք նույնպես ստեղծված են ոսկե հատվածի սկզբունքով։ Լեոնարդո դա Վինչին և Լե Կորբյուզիեն, նախքան իրենց գլուխգործոցները ստեղծելը, վերցրել են մարդու մարմնի պարամետրերը, որոնք ստեղծված են ըստ Ոսկե հարաբերակցության օրենքի։
Մարդկային մարմնի համամասնությունների մեկ այլ, ավելի պրոզաիկ կիրառություն կա: Օրինակ՝ օգտագործելով այս գործակիցները՝ քրեական վերլուծաբաններն ու հնագետները մարդու մարմնի մասերի բեկորներից վերականգնում են ամբողջի տեսքը։

Ոսկե համամասնություններ ԴՆԹ-ի մոլեկուլի կառուցվածքում.

մասին ամբողջ տեղեկատվությունը ֆիզիոլոգիական առանձնահատկություններկենդանի էակները՝ լինի դա բույս, կենդանի կամ մարդ, պահվում են ԴՆԹ-ի մանրադիտակային մոլեկուլում, որի կառուցվածքը պարունակում է նաև ոսկե հարաբերակցության օրենքը։ ԴՆԹ-ի մոլեկուլը բաղկացած է երկու ուղղահայաց միահյուսված պարույրներից։ Այս պարույրներից յուրաքանչյուրն ունի 34 անգստրոմ երկարություն և 21 անգստրոմ լայնություն։ (1 անգստրոմը սանտիմետրի հարյուր միլիոներորդականն է):

Այսպիսով, 21-ը և 34-ը Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությամբ հաջորդող թվեր են, այսինքն՝ ԴՆԹ-ի մոլեկուլի լոգարիթմական պարույրի երկարության և լայնության հարաբերակցությունը կրում է ոսկե հատվածի 1 բանաձևը՝ 1,618:

Ֆի թվին ենթարկվելու ճակատագրից չխուսափեցին ոչ միայն ուղիղ քայլողները, այլեւ բոլոր նրանք, ովքեր լողում են, սողում են, թռչում ու ցատկում։ Մարդու սրտի մկանը կծկվում է իր ծավալի 0,618-ով: Խխունջի պատյանի կառուցվածքը համապատասխանում է Ֆիբոնաչիի համամասնություններին։ Եվ նման օրինակները շատ են՝ ցանկություն կառաջանա ուսումնասիրել բնական առարկաները և գործընթացները: Աշխարհն այնքան է ներծծված Ֆիբոնաչիի թվերով, որ երբեմն թվում է, թե Տիեզերքը կարող է բացատրվել միայն դրանցով:

Ֆիբոնաչի պարույր.

Մաթեմատիկայում չկա որևէ այլ ձև, որն օժտված է պարույրի նման յուրահատուկ հատկություններով, քանի որ
Պարույրի կառուցվածքը հիմնված է Ոսկե հատվածի կանոնի վրա։

Պարույրի մաթեմատիկական կառուցվածքը հասկանալու համար կրկնենք, թե որն է Ոսկե հարաբերակցությունը։

Ոսկե հարաբերակցությունը հատվածի այնպիսի համամասնական բաժանումն է անհավասար մասերի, որում ամբողջ հատվածը կապված է մեծ մասի հետ այնպես, ինչպես ինքնին մեծ մասը՝ փոքրի, կամ, այլ կերպ ասած, ավելի փոքրի հետ։ հատվածը կապված է ավելի մեծի հետ, քանի որ մեծը ամեն ինչի հետ է:

Այսինքն, (a + b) / a = a / b

Կողմերի ճիշտ այս հարաբերակցությամբ ուղղանկյունը կոչվում էր ոսկե ուղղանկյուն: Նրա երկար կողմերը կապված են կարճ կողմերի հետ՝ 1,168։1 հարաբերակցությամբ։
Ոսկե ուղղանկյունը շատ անսովոր հատկություններ ունի: Ոսկե ուղղանկյունից կտրելով այն քառակուսին, որի կողմը հավասար է ուղղանկյան փոքր կողմին,

մենք կրկին ստանում ենք ավելի փոքր ոսկե ուղղանկյուն:

Այս գործընթացը կարող է շարունակվել անվերջ: Քանի որ մենք անընդհատ կտրում ենք քառակուսիները, մենք կստանանք ավելի ու ավելի փոքր ոսկե ուղղանկյուններ: Ավելին, դրանք տեղակայվելու են լոգարիթմական պարույրի մեջ, ինչը կարևոր է բնական առարկաների մաթեմատիկական մոդելներում։

Օրինակ՝ պարուրաձևը կարելի է տեսնել նաև արևածաղկի սերմերի դասավորության մեջ, արքայախնձորների, կակտուսների, վարդի թերթիկների կառուցվածքում և այլն։

Մենք զարմացած և հիացած ենք խեցիների պարուրաձև կառուցվածքով։

Խխունջների մեծ մասում, որոնք ունեն պատյաններ, կեղևը աճում է պարուրաձև տեսքով: Այնուամենայնիվ, կասկած չկա, որ այս անխոհեմ էակները ոչ միայն պատկերացում չունեն պարույրի մասին, այլեւ չունեն նույնիսկ ամենապարզ մաթեմատիկական գիտելիքները իրենց համար պարուրաձեւ պատյան ստեղծելու համար։
Բայց հետո ինչպե՞ս կարող էին այս ոչ խելացի էակները որոշել և ընտրել իրենց համար աճի և գոյության իդեալական ձևը պարուրաձև պատյանի տեսքով: Կարո՞ղ են այս կենդանի էակները, ում գիտնականներ աշխարհկոչում է պարզունակ կյանքի ձևեր, հաշվարկելու համար, որ պատյանի պարուրաձև ձևը իդեալական կլինի դրանց գոյության համար:

Կյանքի այդպիսի նույնիսկ ամենապրիմիտիվ ձևի ծագումը բացատրել բնական որոշ հանգամանքների պատահական զուգադիպությամբ, առնվազն անհեթեթ է: Հասկանալի է, որ այս նախագիծը գիտակցված ստեղծագործություն է։

Մարդու մեջ կան նաև պարույրներ։ Պարույրների օգնությամբ մենք լսում ենք.

Նաև մարդու ներքին ականջում կա Կոխլեա («Խխունջ») օրգան, որը կատարում է ձայնի թրթռումը փոխանցելու գործառույթը։ Ոսկորանման այս կառույցը լցված է հեղուկով և ստեղծվում է ոսկեգույն համամասնություններով խխունջի տեսքով։

Պարույրները մեր ափերի և մատների վրա են.

Կենդանական աշխարհում մենք կարող ենք գտնել նաև պարույրների բազմաթիվ օրինակներ։

Կենդանիների եղջյուրներն ու ժանիքները զարգանում են պարուրաձև ձևով, առյուծների ճանկերը և թութակների կտուցները լոգարիթմական ձևեր են և նման են առանցքի, որը հակված է վերածվել պարույրի։

Հետաքրքիր է, որ փոթորիկը, ցիկլոնային ամպերը պարուրաձև են, և դա պարզ երևում է տիեզերքից.

Օվկիանոսների և ծովերի ալիքներում պարույրը կարելի է մաթեմատիկորեն գծել 1,1,2,3,5,8,13,21,34 և 55 կետերով։

Նման «առօրյա» և «պրոզաիկ» պարույրը նույնպես բոլորը կճանաչեն։

Ի վերջո, ջուրը լոգարանից փախչում է պարույրով.

Այո, և մենք ապրում ենք պարույրի մեջ, քանի որ գալակտիկան պարույր է, որը համապատասխանում է Ոսկե հատվածի բանաձևին:

Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ եթե վերցնենք Ոսկե ուղղանկյունը և այն բաժանենք ավելի փոքր ուղղանկյուններիճշգրիտ Ֆիբոնաչիի հաջորդականությամբ, և հետո նորից ու նորից բաժանեք նրանցից յուրաքանչյուրը նման համամասնությամբ, ստացվում է մի համակարգ, որը կոչվում է Ֆիբոնաչի պարույր:

Այս պարույրը մենք գտանք ամենաանսպասելի առարկաների և երևույթների մեջ։ Այժմ պարզ է, թե ինչու է պարույրը կոչվում նաև «կյանքի կոր»:
Պարույրը դարձել է էվոլյուցիայի խորհրդանիշ, քանի որ ամեն ինչ զարգանում է պարույրով։

Ֆիբոնաչիի թվերը մարդկային գյուտերում.

Բնությունից նայելով Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությամբ արտահայտված օրենքը՝ գիտնականները և արվեստի մարդիկ փորձում են ընդօրինակել այն, մարմնավորել այդ օրենքը իրենց ստեղծագործություններում։

Phi-ի համամասնությունը թույլ է տալիս ստեղծել գեղանկարչության գլուխգործոցներ, գրագետ տեղավորել ճարտարապետական ​​կառույցները տարածության մեջ:

Ոչ միայն գիտնականները, այլև ճարտարապետները, դիզայներներն ու նկարիչները զարմացած են նաուտիլուսի պատյանում գտնվող այս անթերի պարույրով,

զբաղեցնելով ամենափոքր տարածքը և ապահովելով նվազագույն ջերմության կորուստ: Ոգեշնչված «camera nautilus» օրինակով՝ առավելագույնը նվազագույն տարածության մեջ դնելով, ամերիկացի և թայլանդացի ճարտարապետները զբաղված են համապատասխան նախագծեր մշակելով:

Հին ժամանակներից ի վեր Ոսկե հարաբերակցության համամասնությունը համարվում է կատարելության, ներդաշնակության և նույնիսկ աստվածայնության ամենաբարձր համամասնությունը: Ոսկե հարաբերակցությունը կարելի է գտնել քանդակներում, և նույնիսկ երաժշտության մեջ: Օրինակ՝ Մոցարտի երաժշտական ​​ստեղծագործությունները։ Նույնիսկ բաժնետոմսերի գները և եբրայերեն այբուբենը պարունակում են ոսկե հարաբերակցություն:

Բայց մենք ուզում ենք կանգ առնել արդյունավետ արևային կայանք ստեղծելու եզակի օրինակի վրա: Նյու Յորքից ամերիկացի դպրոցական Էյդան Դուայերը ի մի է բերել ծառերի մասին իր գիտելիքները և պարզել, որ արևային էլեկտրակայանների արդյունավետությունը կարելի է բարձրացնել մաթեմատիկայի միջոցով: Ձմեռային զբոսանքի ժամանակ Դուայերը զարմացավ, թե ինչու են ծառերին անհրաժեշտ ճյուղերի և տերևների նման «նախշ»: Նա գիտեր, որ ծառերի վրա ճյուղերը դասավորված են ըստ Ֆիբոնաչիի հաջորդականության, իսկ տերևներն իրականացնում են ֆոտոսինթեզ։

Ինչ-որ պահի խելացի փոքրիկ տղան որոշեց ստուգել՝ արդյոք ճյուղերի այս դիրքն օգնում է ավելի շատ արևի լույս հավաքել: Էիդանն իր տան բակում տերևների փոխարեն փոքր արևային մարտկոցներով պիլոտային կայան է կառուցել և փորձարկել այն գործողության մեջ: Պարզվել է, որ սովորական հարթ արևային մարտկոցի համեմատ նրա «ծառը» հավաքում է 20%-ով ավելի շատ էներգիա և արդյունավետ աշխատում 2,5 ժամ ավելի երկար։

Dwyer-ի արևային ծառի մոդելը և ուսանողական հողամասերը:

«Այն նաև ավելի քիչ տեղ է զբաղեցնում, քան հարթ վահանակը, ձմռանը 50% ավելի շատ արև է հավաքում, նույնիսկ այնտեղ, որտեղ այն չի նայում դեպի հարավ, և այնքան էլ ձյուն չի կուտակում: Բացի այդ, ծառի ձևավորումը շատ ավելին է: հարմար է քաղաքային լանդշաֆտին»,- նշում է երիտասարդ գյուտարարը։

Այդանը ճանաչեց 2011 թվականի լավագույն երիտասարդ բնագետներից մեկը։ 2011 թվականի երիտասարդ բնագետների մրցույթը հյուրընկալվել է Նյու Յորքի Բնական պատմության թանգարանի կողմից: Այդանը ժամանակավոր արտոնագրային հայտ է ներկայացրել իր գյուտի համար.

Գիտնականները շարունակում են ակտիվորեն զարգացնել Ֆիբոնաչի թվերի տեսությունը և ոսկե հարաբերակցությունը։

Յու.Մատիյասևիչը լուծում է Հիլբերտի 10-րդ խնդիրը՝ օգտագործելով Ֆիբոնաչիի թվերը։

Կան մի շարք կիբեռնետիկ խնդիրների լուծման նրբագեղ մեթոդներ (որոնման տեսություն, խաղեր, ծրագրավորում)՝ օգտագործելով Ֆիբոնաչիի թվերը և ոսկե հատվածը։

ԱՄՆ-ում ստեղծվում է նույնիսկ մաթեմատիկական Ֆիբոնաչի ասոցիացիան, որը 1963 թվականից հրատարակում է հատուկ ամսագիր։

Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ Ֆիբոնաչիի հաջորդականության շրջանակը շատ բազմակողմանի է.

Դիտելով բնության մեջ տեղի ունեցող երևույթները՝ գիտնականները զարմանալի եզրակացություններ են արել, որ կյանքում տեղի ունեցող իրադարձությունների ամբողջ հաջորդականությունը, հեղափոխությունները, փլուզումները, սնանկությունները, բարգավաճման շրջանները, արժեթղթերի և արժույթի շուկաներում զարգացման օրենքներն ու ալիքները, ընտանեկան կյանքի ցիկլերը և այսպես շարունակ, կազմակերպվում են ժամանակային մասշտաբով ցիկլերի, ալիքների տեսքով: Այս ցիկլերն ու ալիքները նույնպես բաշխվում են ըստ թվային շարքՖիբոնաչի!

Այս գիտելիքների հիման վրա մարդը կսովորի ապագայում կանխատեսել տարբեր իրադարձություններ և կառավարել դրանք:

4. Մեր հետազոտությունը.

Մենք շարունակեցինք մեր դիտարկումները և ուսումնասիրեցինք կառուցվածքը

Սոճու կոներ

yarrow

մոծակ

մարդ

Եվ մենք համոզվեցինք, որ առաջին հայացքից այդքան տարբեր այս օբյեկտներում անտեսանելիորեն առկա են հենց Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերը։

Այսպիսով, քայլ 1.

Վերցնենք սոճու կոն.

Եկեք մանրամասն նայենք դրան.

Մենք նկատում ենք Ֆիբոնաչիի պարույրների երկու շարք՝ մեկը՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մյուսը՝ դեմ, դրանց թիվը 8 և 13.

Քայլ 2

Վերցնենք մի մանուշակ.

Եկեք ավելի սերտ նայենք ցողունների և ծաղիկների կառուցվածքին.

Նկատի ունեցեք, որ մանուշակի յուրաքանչյուր նոր ճյուղ աճում է սինուսից, իսկ նոր ճյուղերից՝ նոր ճյուղերից։ Հին և նոր ճյուղեր ավելացնելով՝ մենք գտանք Ֆիբոնաչիի թիվը յուրաքանչյուր հորիզոնական հարթությունում։

Քայլ 3

Արդյո՞ք Ֆիբոնաչիի թվերը հայտնվում են տարբեր օրգանիզմների մորֆոլոգիայում: Դիտարկենք հայտնի մոծակը.

Մենք տեսնում ենք՝ 3 զույգ ոտքեր, գլուխ 5 ալեհավաքներ - ալեհավաքներ, որովայնը բաժանված է 8 հատված.

Եզրակացություն:

Մեր հետազոտության ընթացքում մենք տեսանք, որ մեզ շրջապատող բույսերում, կենդանի օրգանիզմներում և նույնիսկ մարդու կառուցվածքում դրսևորվում են Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերը, որն արտացոլում է նրանց կառուցվածքի ներդաշնակությունը:

Մաթեմատիկական ճշգրտությամբ դասավորված են սոճու կոն, մանուշակ, մոծակ, մարդ։

Մենք փնտրում էինք հարցի պատասխանը՝ ինչպե՞ս է Ֆիբոնաչիի շարքը դրսևորվում մեզ շրջապատող իրականության մեջ։ Բայց դրան պատասխանելով՝ ստացան նոր ու նոր հարցեր։

Որտեղի՞ց են եկել այս թվերը: Ո՞վ է տիեզերքի այս ճարտարապետը, ով փորձել է այն կատարյալ դարձնել: Կծիկը պտտվում է, թե ոլորվում:

Որքան զարմանալի է մարդը ճանաչում այս աշխարհը!!!

Գտնելով մի հարցի պատասխանը՝ ստանում է հաջորդը։ Լուծիր, ստացիր երկու նոր։ Զբաղվեք դրանցով, կհայտնվեն ևս երեքը։ Դրանք լուծելով՝ ձեռք կբերի հինգ չլուծված։ Հետո ութ, հետո տասներեք, 21, 34, 55...

Ճանաչո՞ւմ եք։

Եզրակացություն.

Ինքը՝ ստեղծողի կողմից բոլոր առարկաներում

Նշանակվել է եզակի կոդ

Իսկ նա, ով բարեկամ է մաթեմատիկայի հետ,

Նա կիմանա և կհասկանա։

Մենք ուսումնասիրել և վերլուծել ենք Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերի դրսևորումը մեզ շրջապատող իրականության մեջ։ Մենք նաև իմացանք, որ այս թվային շարքի օրինաչափությունները, ներառյալ «Ոսկե» համաչափության օրինաչափությունները, դրսևորվում են տարրական մասնիկների էներգիայի անցումներում, մոլորակային և. տիեզերական համակարգեր, կենդանի օրգանիզմների գենային կառուցվածքներում։

Մենք զարմանալի մաթեմատիկական կապ ենք հայտնաբերել բույսերում պարույրների քանակի, ցանկացած հորիզոնական հարթության ճյուղերի քանակի և Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերի միջև: Մենք տեսանք, թե ինչպես է տարբեր օրգանիզմների մորֆոլոգիան նույնպես ենթարկվում այս խորհրդավոր օրենքին։ Խիստ մաթեմատիկա տեսանք նաև մարդու կառուցվածքում։ Մարդու ԴՆԹ-ի մոլեկուլը, որում կոդավորված է մարդու զարգացման ողջ ծրագիրը, շնչառական համակարգը, ականջի կառուցվածքը՝ ամեն ինչ ենթարկվում է որոշակի թվային հարաբերակցության։

Մենք սովորել ենք, որ սոճու կոները, խխունջների խեցիները, օվկիանոսի ալիքները, կենդանիների եղջյուրները, ցիկլոնային ամպերը և գալակտիկաները բոլորն էլ կազմում են լոգարիթմական պարույրներ։ Նույնիսկ մարդու մատը, որը բաղկացած է երեք ֆալանգներից՝ միմյանց նկատմամբ Ոսկե հարաբերակցությամբ, սեղմվելիս պարուրաձև տեսք է ստանում։

Ժամանակի հավերժությունը և տարածության լուսային տարիները բաժանում են սոճու և պարուրաձև գալակտիկա, բայց կառուցվածքը մնում է նույնը՝ գործակիցը։ 1,618 ! Թերևս սա է բնական երևույթները կառավարող գերագույն օրենքը։

Այսպիսով, հաստատվում է մեր վարկածը հատուկ թվային օրինաչափությունների գոյության մասին, որոնք պատասխանատու են ներդաշնակության համար։

Իսկապես, աշխարհում ամեն ինչ մտածված և հաշվարկված է մեր ամենակարևոր դիզայների՝ Բնության կողմից:

Մենք համոզված ենք, որ Բնությունն ունի իր օրենքները՝ արտահայտված օգնությամբՄաթեմատիկա. Իսկ մաթեմատիկան շատ կարեւոր գործիք է

բացահայտել բնության առեղծվածները:

Գրականության և ինտերնետային կայքերի ցանկ.

1. Vorobyov N. N. Fibonacci թվեր. - Մ., Նաուկա, 1984:
2. Գիկա Մ. Համաչափությունների էսթետիկան բնության և արվեստի մեջ. - Մ., 1936։

3. Դմիտրիև Ա. Քաոս, ֆրակտալներ և տեղեկատվություն: // Գիտություն և կյանք, թիվ 5, 2001 թ.
4. Kashnitsky S. E. Հարմոնիա հյուսված պարադոքսներից // Մշակույթ և

Կյանք. - 1982.- Թիվ 10։
5. Malay G. Harmony - պարադոքսների ինքնությունը // MN. - 1982.- Թիվ 19։
6. Սոկոլով Ա. Ոսկե հատվածի գաղտնիքները // Երիտասարդության տեխնիկա. - 1978.- Թիվ 5։
7. Stakhov A. P. Ոսկե հարաբերակցության ծածկագրեր. - Մ., 1984:
8. Urmantsev Yu. A. Բնության համաչափություն և համաչափության բնույթ: - Մ., 1974:
9. Urmantsev Yu. A. Ոսկե բաժին // Priroda. - 1968.- Թիվ 11։

10. Շևելև Ի.Շ., Մարութաև Մ.Ա., Շմելև Ի.Պ. Ոսկե հարաբերակցություն / երեք

Հայացք ներդաշնակության բնույթին։-Մ., 1990։

11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Համաչափությունը գիտության և արվեստի մեջ. - Մ.:

Նա կպատմի Ֆիբոնաչիի շարքի հայեցակարգի և այն մասին, թե ինչպես է այն կապված ալիքների տեսության հետ, ինչպես նաև կհերքի շարքի կիրառելիությունը բնական գործընթացներին։
, որը վարպետը մշակել է անցյալ դարի 30-ական թվականներին՝ սա ամենահուզիչ բաժիններից մեկն է։ Ինքնին այն մեկուսացված էր նոր գլուխգիտություն, որն ուսումնասիրում է գրաֆիկները: Այն հիմնված է տեսության ոլորտի այլ մասնագետների մշակումների վրա (խորհուրդ եմ տալիս կարդալ՝ հեղինակային գիրք):
Այսպես, օրինակ, իտալացի մեծ մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիը համարվում է գիտնական (որը ես արդեն նշել եմ հոդվածներում -,), ով հիմք է ստեղծել Էլիոթի տեսության համար։

Լավագույն բրոքեր

Ֆիբոնաչիի թվերի թվային շարքը՝ ոսկե հարաբերակցությունը և գործակիցները կամ ուղղման մակարդակները + տեսանյութ։ Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ.

Մասնագետն ապրել է XIII դ. Գիտնականը հրապարակել է աշխատություն, որը կոչվում է «Հաշվարկների գիրք»։ Այս գիրքը Եվրոպային ներկայացրեց մի կարևոր հայտնագործություն այն ժամանակների համար և ոչ միայն հայտնագործությունը՝ տասնորդական թվային համակարգը։ Այս համակարգը շրջանառության մեջ մտցրեց մեզ համար սովորական թվերը՝ զրոյից ինը։

Այս համակարգը առաջինն էր կարևոր ձեռքբերումներԵվրոպան Հռոմի անկումից ի վեր. Ֆիբոնաչի փրկեց թվային գիտությունը միջնադարում: Նա նաև խորը հիմքեր դրեց այլ գիտությունների զարգացման համար, ինչպիսիք են բարձրագույն մաթեմատիկա, ֆիզիկա, աստղագիտություն և մեքենաշինություն:

Դիտեք տեսանյութը

Ինչպե՞ս են հայտնվել թվերը և դրանց ածանցյալները:

Կիրառական խնդիր լուծելով՝ Լեոնարդոն պատահաբար հանդիպեց Ֆիբոնաչիի թվերի հետաքրքիր շարք,որի սկզբում կան երկու միավոր.

Յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նախորդ երկուսի գումարն է: Ամենահետաքրքիրն այն է, որ Ֆիբոնաչիի թվերի շարքը ուշագրավ հաջորդականություն է այն առումով, որ եթե որևէ անդամ բաժանես նախորդի վրա, կստանաս մի թիվ, որը մոտ է 0,618-ին: Այս համարն անվանվեց ոսկե հարաբերակցությունը».

Պարզվեց, որ այս թիվը մարդկությանը հայտնի է շատ վաղուց։ Օրինակ՝ մեջ Հին Եգիպտոսօգտագործելով այն բուրգեր են կառուցել, իսկ հին հույները դրա վրա կառուցել են իրենց տաճարները: Լեոնարդո դա Վինչին ցույց է տվել, թե ինչպես է մարդու մարմնի կառուցվածքը ենթարկվում այս թվին։

Բնությունն օգտագործում է Ֆիբոնաչիի թվերն իր ամենաինտիմ և առաջադեմ տարածքներում: Ատոմային կառուցվածքներից և այլ փոքր ձևերից, ինչպիսիք են ԴՆԹ-ի մոլեկուլները և ուղեղի միկրոմազանոթները, մինչև հսկայականներ, ինչպիսիք են մոլորակների ուղեծրերը և գալակտիկաների կառուցվածքները: Օրինակների թիվն այնքան մեծ է, որ պետք է պնդել, որ բնության մեջ իսկապես գոյություն ունի համամասնությունների որոշակի հիմնական օրենք։

Հետևաբար, զարմանալի չէ, որ Ֆիբոնաչիի շարքը և ոսկե հարաբերակցությունը ճանապարհ են անցել դեպի ֆոնդային գծապատկերներ: Եվ ոչ միայն մեկ թիվ 0,618, այլ նաև դրա ածանցյալները:

Եթե ​​ոսկե հատվածի թիվը բարձրացնեք մինչև առաջին, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ ուժերը և մեկից հանեք արդյունքը, ապա կստանաք. նոր շարքորը կոչվում է « Ֆիբոնաչի վերադարձի գործակիցները«. Մնում է միայն հինգ տասներորդական նշան ավելացնել՝ սա հիսուն տոկոս է:

Սակայն սա այն ամենը չէ, ինչ կարելի է անել ոսկե հարաբերակցությամբ։ Եթե ​​միավորը բաժանենք 0,618-ի, ապա կստանանք 1,618, եթե այն քառակուսի դարձնենք, ապա կստանանք 2,618, եթե այն մեծացնենք խորանարդի մեջ՝ կստանանք 4,236 թիվը։ Սրանք Ֆիբոնաչիի ընդլայնման գործակիցներն են: Այստեղ բացակայում է միայն 3.236 թիվը, որն առաջարկել է Ջոն Մերֆին։

Ի՞նչ են մտածում մասնագետները հաջորդականության մասին:

Ոմանք կասեն, որ այս թվերն արդեն ծանոթ են, քանի որ դրանք օգտագործվում են ծրագրերում տեխնիկական վերլուծություն, որոշելու ուղղման և ընդլայնման չափը։ Բացի այդ, այս նույն շարքերը խաղում են կարևոր դերԷլիոթի ալիքային տեսության մեջ։ Դրանք նրա թվային հիմքն են։

Վոստոկ ներդրումային ընկերության մեր փորձագետ Նիկոլայ Ապացուցված պորտֆելի մենեջեր:

• – Նիկոլայ, ի՞նչ եք կարծում, պատահական է արդյոք Ֆիբոնաչիի թվերի և դրանց ածանցյալների հայտնվելը տարբեր գործիքների գծապատկերներում: Իսկ կարելի՞ է ասել. «Ֆիբոնաչիի շարքը գործնական օգտագործում«պատահում է.
• -Ես վատ եմ վերաբերվում միստիցիզմին։ Եվ նույնիսկ ավելին ֆոնդային բորսայի գծապատկերներում: Ամեն ինչ ունի իր պատճառները. «Ֆիբոնաչիի մակարդակները» գրքում նա գեղեցիկ պատմեց, թե որտեղ է հայտնվում ոսկե հարաբերակցությունը, որ չի զարմացել, որ այն հայտնվել է բորսայի գծապատկերներում։ Բայց իզուր։ Պին հաճախ է հայտնվում իր բերած օրինակներից շատերում: Բայց ինչ-ինչ պատճառներով դա գների հարաբերակցության մեջ չէ։
• - Այսինքն՝ Էլիոթի ալիքի սկզբունքի արդյունավետությանը չե՞ք հավատում։
• -Ոչ, դա չէ հարցը: Ալիքի սկզբունքը մի բան է. Թվային հարաբերակցությունը տարբեր է. Իսկ գնային աղյուսակներում դրանց հայտնվելու պատճառները երրորդն են
• – Ի՞նչ եք կարծում, որո՞նք են ֆոնդային աղյուսակներում ոսկե հատվածի հայտնվելու պատճառները:
• - Այս հարցի ճիշտ պատասխանը կարող է արժանի լինել Նոբելյան մրցանակտնտեսագիտության վրա։ Քանի դեռ կարող ենք կռահել իրական պատճառներ. Նրանք ակնհայտորեն ներդաշնակ չեն բնության հետ: Բորսայական գնագոյացման բազմաթիվ մոդելներ կան: Նրանք չեն բացատրում նշված երեւույթը։ Բայց երեւույթի բնույթը չհասկանալը չպետք է ժխտի երեւույթը որպես այդպիսին։
• – Իսկ եթե այս օրենքը երբևէ բացվի, այն կկարողանա՞ քանդել փոխանակման գործընթացը։
• - Ինչպես ցույց է տալիս ալիքների նույն տեսությունը, բաժնետոմսերի գների փոփոխության օրենքը մաքուր հոգեբանություն է։ Ինձ թվում է՝ այս օրենքի իմացությունը ոչինչ չի փոխի ու չի կարողանա քանդել բորսան։

Նյութը տրամադրում է վեբ վարպետ Մաքսիմի բլոգը։

Մաթեմատիկայի սկզբունքների հիմունքների համընկնումը ամենաշատում տարբեր տեսություններանհավատալի է թվում: Գուցե դա ֆանտազիա է կամ վերջնական արդյունքի ճշգրտում: Սպասիր եւ տես. Շատ բաներ, որոնք նախկինում համարվում էին անսովոր կամ անհնար. օրինակ տիեզերքի հետախուզումը դարձել է սովորական և ոչ ոքի չի զարմացնում: Նաև ալիքի տեսություն, կարող է անհասկանալի լինել, ժամանակի ընթացքում ավելի մատչելի ու հասկանալի կդառնա։ Այն, ինչ նախկինում ավելորդ էր, փորձառու վերլուծաբանի ձեռքում, կդառնա ապագա վարքագիծը կանխատեսելու հզոր գործիք:

Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ.

Նայել

Եվ հիմա, եկեք խոսենք այն մասին, թե ինչպես կարող եք հերքել այն փաստը, որ Ֆիբոնաչի թվային շարքը ներգրավված է բնության ցանկացած օրինաչափության մեջ:

Վերցնենք ցանկացած այլ երկու թիվ և կառուցենք հաջորդականություն նույն տրամաբանությամբ, ինչ Ֆիբոնաչիի թվերը: Այսինքն՝ հաջորդականության հաջորդ անդամը հավասար է երկու նախորդների գումարին։ Օրինակ՝ վերցնենք երկու թիվ՝ 6 և 51։ Այժմ մենք կկառուցենք հաջորդականություն, որը կլրացնենք երկու 1860 և 3009 թվերով։ Նկատի ունեցեք, որ այս թվերը բաժանելիս ստանում ենք ոսկե հատմանը մոտ թիվ։

Միևնույն ժամանակ, այն թվերը, որոնք ստացվել են այլ զույգերի բաժանմամբ, նվազել են առաջինից մինչև վերջինը, ինչը թույլ է տալիս պնդել, որ եթե այս շարքը շարունակվի անորոշ ժամանակով, ապա կստանանք ոսկե հատմանը հավասար թիվ։

Այսպիսով, Ֆիբոնաչիի թվերն իրենք ոչնչով չեն տարբերվում։ Կան թվերի այլ հաջորդականություններ, որոնցից կան անվերջ թիվ, որոնց արդյունքում նույն գործողությունների արդյունքում ստացվում է ոսկե phi թիվը։

Ֆիբոնաչի էզոթերիկ չէր։ Նա չէր ուզում թվերի մեջ միստիկություն մտցնել, նա պարզապես սովորական նապաստակի խնդիր էր լուծում։ Եվ նա գրել է իր առաջադրանքից բխող թվերի հաջորդականությունը՝ առաջին, երկրորդ և մյուս ամիսներին, թե քանի նապաստակ կլինի բազմանալուց հետո։ Մեկ տարվա ընթացքում նա ստացավ այդ նույն հաջորդականությունը։ Եվ հարաբերություններ չստեղծեց: Չկար ոչ մի ոսկե հարաբերակցություն, ոչ մի Աստվածային հարաբերություն: Նրանից հետո այս ամենը հորինվել է Վերածննդի դարաշրջանում։

Մաթեմատիկայից առաջ Ֆիբոնաչիի արժանիքները հսկայական են: Նա արաբներից ընդունեց թվային համակարգը և ապացուցեց դրա վավերականությունը։ Դա ծանր ու երկար պայքար էր։ Հռոմեական թվային համակարգից՝ ծանր և անհարմար հաշվելու համար: Հետո նա անհետացավ ֆրանսիական հեղափոխություն. Դա ոչ մի կապ չունի Ֆիբոնաչիի ոսկե հատվածի հետ։

Պարույրները անսահման շատ են, ամենատարածվածներն են՝ բնական լոգարիթմային պարույրը, Արքիմեդի պարույրը, հիպերբոլիկ պարույրը։

Հրատարակչության հետ միասին հրատարակում ենք մի հատված պրոֆեսորի գրքից կիրառական մաթեմատիկաԷդվարդ Շեյներման «Ուղեցույց մաթեմատիկայի սիրահարների համար», նվիրված ոչ ստանդարտ խնդիրներին հետաքրքիր մաթեմատիկա, հանելուկներ, թվերի և ձևերի տիեզերք։ Անգլերենից թարգմանությունը՝ Ալեքսեյ Օգնևի։

Այս գլխում խոսվում է Ֆիբոնաչիի հայտնի թվերի մասին՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 և այլն։ Պիզայի Լեոնարդո (1170–1250) - առաջին խոշոր մաթեմատիկոսներից մեկը միջնադարյան Եվրոպա. Ֆիբոնաչի մականունը նշանակում է «Բոնաչիի որդի»։ Հեղինակ է «Աբակուսի գրքի», որը ուրվագծում է տասնորդական թվային համակարգը:

Հրապարակներ և դոմինոներ

Սկսենք հրապարակներ և դոմինոներ դնելով: Պատկերացրեք երկար հորիզոնական 1×10 շրջանակ, մենք ցանկանում ենք այն ամբողջությամբ լրացնել 1×1 քառակուսիներով և 1×2 դոմինոներով՝ առանց բացթողումների: Ահա նկարը.

Հարց. Քանի՞ եղանակով կարելի է դա անել:

Հարմարության համար մենք ընտրանքների քանակը նշում ենք F10-ով: Անցիր բոլորի միջով և հետո վերահաշվիր. ծանր աշխատանքհղի է սխալներով. Շատ ավելի լավ է պարզեցնել առաջադրանքը: Եկեք անմիջապես չփնտրենք F10, եկեք սկսենք F1-ից: Դա ավելի հեշտ է, քան երբևէ: 1 × 1 շրջանակը պետք է լցնենք 1 × 1 քառակուսիներով և 1 × 2 դոմինոներով, դոմինոն չի տեղավորվի, մնում է միակ լուծումը՝ վերցրեք մեկ քառակուսի։ Այլ կերպ ասած, F1 = 1:

Հիմա եկեք զբաղվենք F2-ով: Շրջանակի չափը 1 × 2 է։ Այն կարող եք լրացնել երկու քառակուսիով կամ մեկ դոմինոյով։ Այսպիսով, կա երկու տարբերակ, և F2 = 2:

Հաջորդը. Քանի՞ ձևով կարելի է լրացնել 1 × 3 շրջանակը: Առաջին տարբերակը՝ երեք քառակուսի: Եվս երկու տարբերակ՝ մեկ դոմինո (երկուսը չեն տեղավորվի) և ձախ կամ աջ քառակուսի: Այսպիսով, F3 = 3: Եվս մեկ քայլ. վերցրեք 1 × 4 շրջանակ: Նկարը ցույց է տալիս լրացման բոլոր տարբերակները.

Մենք գտել ենք հինգ հնարավորություն, բայց ո՞րն է երաշխիքը, որ ոչինչ բաց չենք թողել։ Ինքդ քեզ փորձարկելու միջոց կա. Շրջանակի ձախ վերջում կարող է լինել կամ քառակուսի կամ դոմինո: Նկարի վերևի շարքում` տարբերակներ, երբ քառակուսին ձախ կողմում է, ներքևի շարքում` երբ դոմինոն ձախ կողմում է:

Ասենք՝ ձախ կողմում քառակուսի է։ Մնացածը պետք է լցվի քառակուսիներով և դոմինոներով։ Այլ կերպ ասած, դուք պետք է լրացնեք վանդակը 1 × 3: Սա տալիս է 3 տարբերակ, քանի որ F3 = 3: Եթե ձախ կողմում դոմինոներ կան, ապա մնացած մասի չափը 1 × 2 է, և կա երկու տարբերակ լրացնելու համար: այն, քանի որ F2 = 2:

Այսպիսով, մենք ունենք 3 + 2 = 5 տարբերակ և համոզվեցինք, որ F4 = 5:

Հիմա դու. Մտածեք մի քանի րոպե և գտեք 1×5 շրջանակի լրացման բոլոր տարբերակները, որոնցից շատերը չկան: Լուծումը գլխի վերջում է: Դուք կարող եք հանգստանալ և մտածել.

Վերադառնանք մեր հրապարակներին։ Ես կցանկանայի հավատալ, որ դուք գտել եք 8 տարբերակ, քանի որ կա 5 եղանակ, որտեղ քառակուսին ձախ կողմում է, և ևս 3 եղանակ, որտեղ դոմինոն ձախ կողմում է: Այսպիսով, F5 = 8:

Եկեք ամփոփենք. Մենք պիտակավորել ենք FN 1 × n շրջանակը քառակուսիներով և դոմինոներով լցնելու եղանակների քանակը: Մենք պետք է գտնենք F10: Ահա այն, ինչ մենք արդեն գիտենք.

Մենք առաջ ենք շարժվում: Ինչի՞ է հավասար F6-ը: Դուք կարող եք նկարել բոլոր տարբերակները, բայց դա ձանձրալի է: Հարցը բաժանենք երկու մասի. Քանի՞ ձևով կարելի է լրացնել 1 × 6 շրջանակը, եթե ձախ կողմում (ա) քառակուսի է և (բ) դոմինո: Լավ նորությունն այն է, որ մենք արդեն գիտենք պատասխանը: Առաջին դեպքում մեզ մնում է հինգ քառակուսի, և մենք գիտենք, որ F5 = 8: Երկրորդ դեպքում մենք պետք է լրացնենք չորս քառակուսի; մենք գիտենք, որ F4 = 5: Այսպիսով, F5 + F4 = 13:

Ինչի՞ է հավասար F7: Նույն նկատառումների հիման վրա F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21: Ինչ վերաբերում է F8-ին: Ակնհայտորեն F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. Եվ այսպես շարունակ: Մենք գտանք հետևյալ հարաբերությունները՝ Fn = Fn-1 + Fn-2:

Եվս մի քանի քայլ, և մենք կգտնենք F10 ցանկալի թիվը: Ճիշտ պատասխանը գլխի վերջում է:

Ֆիբոնաչիի թվեր

Ֆիբոնաչիի թվերը հետևյալ հաջորդականությունն են.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Այն կառուցված է հետևյալ կանոնների համաձայն.

- առաջին երկու համարները 1 և 1;

— յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ստացվում է երկու նախորդների գումարմամբ:

Fn հաջորդականության n-րդ տարրը կնշանակենք՝ սկսած զրոյից՝ F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Հաջորդ տարրը հաշվում ենք բանաձևով՝ Fn. = Fn-1 + Fn-2 .

Ինչպես տեսնում ենք, քառակուսիների և դոմինոների կուտակման խնդիրը մեզ հանգեցրեց Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությանը [ 1 ]Քառակուսիների և դոմինոյի խնդիրում մենք պարզեցինք. F1 = 1 և F2 = 2: Բայց Ֆիբոնաչիի թվերը սկսվում են F0 = 1-ով: Ինչպե՞ս է դա համապատասխանում խնդրի պայմաններին: Քանի՞ եղանակ կա նույն պայմաններում 0 × 1 շրջանակը լրացնելու համար: Քառակուսու երկարությունը և դոմինոյի երկարությունը երկուսն էլ մեծ են զրոյից, ուստի գայթակղություն կա ասելու, որ պատասխանը զրո է, բայց դա այդպես չէ: 0 × 1 ուղղանկյունն արդեն լցված է, բացեր չկան. մեզ քառակուսի կամ դոմինո պետք չէ: Այսպիսով, կա միայն մեկ գործողություն. մի վերցրեք հրապարակ կամ դոմինո: Դու հասկանում ես? Այդ դեպքում շնորհավորում եմ։ Դուք մաթեմատիկոսի հոգի ունեք:

Ֆիբոնաչիի թվերի գումարը

Փորձենք ավելացնել Ֆիբոնաչիի առաջին մի քանի թվերը: Ի՞նչ կարող ենք ասել F0 + F1 +… + Fn ցանկացած n գումարի մասին: Եկեք մի քանի հաշվարկներ անենք և տեսնենք, թե ինչ կլինի: Ուշադրություն դարձրեք ստորև ներկայացված ավելացման արդյունքներին: Տեսնու՞մ եք օրինաչափություն: Մի քիչ սպասեք՝ առաջ անցնելուց առաջ. ավելի լավ է ինքներդ գտնեք պատասխանը, քան պատրաստի լուծումը կարդալը։

Ես կցանկանայի հավատալ, որ դուք տեսաք, որ գումարման արդյունքները, եթե դրանց գումարվում է մեկը, նույնպես շարվում են Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությամբ: Օրինակ՝ F0 թվերը F5-ին գումարելով՝ F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1: F0-ին F6 թվերը գումարելով՝ ստացվում է 33, որը մեկով պակաս է F8 = 34-ից: Մենք կարող ենք գրել ոչ բացասական n ամբողջ թվերի բանաձևը՝ F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1: (*)

Հավանաբար, անձամբ ձեզ համար բավական կլինի տեսնել, որ բանաձևը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:. աշխատում է տասնյակ դեպքերում՝ ստիպելու ձեզ հավատալ, որ դա ճիշտ է, բայց մաթեմատիկոսները քաղց են ապացուցելու: Մենք ուրախ ենք ձեզ ներկայացնել երկու հնարավոր ապացույցներ, որ դա ճշմարիտ է բոլոր ոչ բացասական n ամբողջ թվերի համար:

Առաջինը կոչվում է ապացույց ինդուկցիայի միջոցով, երկրորդը կոչվում է կոմբինատոր ապացույց։

Ապացույց ինդուկցիայի միջոցով

Բանաձև [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:անսահման թվով բանաձևեր է ծալովի տեսքով։ Ապացուցեք, որ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է n-ի որոշակի արժեքի համար, ասենք n = 6-ի համար, պարզ թվաբանական խնդիր է: Բավական կլինի գրել F0-ից F6 թվերը և ավելացնել դրանք՝ F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33:

Հեշտ է տեսնել, որ F8 = 34, այնպես որ բանաձևն աշխատում է: Անցնենք F7-ին։ Եկեք ժամանակ չկորցնենք և գումարենք բոլոր թվերը. մենք արդեն գիտենք գումարը մինչև F6: Այսպիսով, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54: Ինչպես նախկինում, ամեն ինչ համընկնում է ՝ F9 = 55:

Եթե ​​հիմա սկսենք ստուգել, ​​թե արդյոք n = 8-ի բանաձևը գործում է, մեր ուժը վերջապես կսպառվի։ Բայց այնուամենայնիվ, եկեք տեսնենք, թե ինչ ենք մենք արդեն գիտենք և ինչ ենք ուզում պարզել.

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Եկեք օգտագործենք նախորդ արդյունքը՝ (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8:

Մենք, իհարկե, կարող ենք թվաբանական հաշվարկել (F9-1) + F8: Բայց սա մեզ ավելի կհոգնեցնի։ Միևնույն ժամանակ մենք գիտենք, որ F8 + F9 = F10: Այսպիսով, մեզ հարկավոր չէ որևէ բան հաշվարկել կամ նայել Ֆիբոնաչիի թվերի աղյուսակը.

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1:

Մենք հաստատեցինք, որ բանաձևն աշխատում է n = 8-ի համար՝ հիմնվելով այն ամենի վրա, ինչ մենք գիտեինք n = 7-ի մասին:

n = 9-ի դեպքում մենք նույն կերպ ապավինում ենք n = 8-ի արդյունքին (տես ինքներդ): Իհարկե, ապացուցելով ճիշտությունը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1: n-ի համար մենք կարող ենք վստահ լինել, որ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է նաև n + 1-ի համար:

Մենք պատրաստ ենք լիարժեք ապացույց տալ։ Ինչպես արդեն նշվեց, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ներկայացնում է անսահման թվով բանաձևեր n-ի բոլոր արժեքների համար՝ զրոյից մինչև անսահմանություն: Տեսնենք, թե ինչպես է աշխատում ապացույցը:

Նախ մենք ապացուցում ենք [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:պարզագույն դեպքում՝ n = 0-ի համար: Մենք պարզապես ստուգում ենք, որ F0 = F0+2 - 1: Քանի որ F0 = 1 և F2 = 2, ակնհայտորեն 1 = 2 - 1 և F0 = F2-1:

Ավելին, մեզ համար բավական է ցույց տալ, որ n-ի մեկ արժեքի բանաձևի ճիշտությունը (ասենք, n = k) ինքնաբերաբար նշանակում է n + 1-ի ճիշտություն (մեր օրինակում n = k + 1): Մենք պարզապես պետք է ցույց տանք, թե ինչպես է այն աշխատում «ավտոմատ»: Ի՞նչ պետք է անենք։

Վերցնենք մի քանի k թիվ։ Ենթադրենք, մենք արդեն գիտենք, որ F0+F1+…+Fk =Fk+2–1: Մենք փնտրում ենք F0 + F1 +… + Fk + Fk+1 արժեքը:

Մենք արդեն գիտենք Ֆիբոնաչիի թվերի գումարը մինչև Fk, ուստի մենք ստանում ենք.

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1:

Աջ կողմը հավասար է Fk+2 - 1 + Fk+1, և մենք գիտենք, թե ինչի է հավասար Ֆիբոնաչիի հաջորդական թվերի գումարը.

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

Փոխարինեք մեր հավասարման մեջ.

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Հիմա ես կբացատրեմ, թե ինչ ենք արել։ Եթե ​​մենք իմանանք, որ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է, երբ գումարում ենք մինչև Fk թվերը, ապա [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:պետք է ճիշտ լինի, եթե ավելացնենք Fk+1:

Ամփոփել:

Բանաձև [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է n = 0-ի համար:

Եթե ​​բանաձեւը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է n-ի համար, ճիշտ է նաև n + 1-ի համար:

Մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճշմարիտ է n-ի ցանկացած արժեքի համար: Արդյոք դա ճիշտ է [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:համար n=4987? Սա ճշմարիտ է, եթե արտահայտությունը ճշմարիտ է n = 4986-ի համար, որը հիմնված է այն բանի վրա, որ արտահայտությունը ճշմարիտ է n = 4985-ի համար և այլն մինչև n = 0: Հետևաբար, բանաձեւը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ճիշտ է բոլոր հնարավոր արժեքների համար: Ապացուցման այս մեթոդը հայտնի է որպես մաթեմատիկական ինդուկցիա (կամ ապացուցում ինդուկցիայի միջոցով). Մենք ստուգում ենք հիմնական գործը և տալիս ենք ձևանմուշ, որով յուրաքանչյուր հաջորդ դեպք կարող է ապացուցվել նախորդի հիման վրա։

Համակցված ապացույց

Եվ ահա ինքնության բոլորովին այլ ապացույց [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:. Հիմնական մոտեցումն այստեղ օգտվելն է այն փաստից, որ Fn թիվը 1 × n ուղղանկյունը քառակուսիներով և դոմինոներով ծածկելու եղանակների քանակն է։

Հիշեցնեմ, որ մենք պետք է ապացուցենք.

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

Գաղափարն այն է, որ հավասարման երկու կողմերը վերաբերվեն որպես ծածկույթի խնդրի լուծում: Եթե ​​ապացուցենք, որ ձախ և աջ մասերը նույն ուղղանկյան լուծումն են, ապա դրանք կհամընկնեն միմյանց հետ։ Այս տեխնիկան կոչվում է համակցված ապացույց [ 2 ]«Կոմբինատոր» բառն առաջացել է «կոմբինատոր» գոյականից՝ մաթեմատիկայի ճյուղի անվանումից, որի թեման ուղղանկյունի ծածկմանը նման խնդիրներում տարբերակների հաշվարկն է։ «Կոմբինատորիկա» բառն իր հերթին առաջացել է «համակցություններ» բառից։.

Կոմբինատորիկայի ո՞ր հարցն է հավասարումը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:տալիս է երկու ճիշտ պատասխան. Այս գլուխկոտրուկը նման է «Վտանգ» շոուում հայտնաբերված փազլներին: [ 3 ]Հայտնի հեռուստաշոու ԱՄՆ-ում։ Նման է Jeopardy-ին: դուրս գալ տարբեր երկրներ; Ռուսաստանում դա «Սեփական խաղ» է։ - Մոտ. խմբ., որտեղ մասնակիցները պետք է հարց ձեւակերպեն՝ նախապես իմանալով ճիշտ պատասխանը։

Աջ կողմը ավելի պարզ է թվում, ուստի եկեք սկսենք դրանից: Պատասխան՝ Fn+2– 1. Ո՞րն է հարցը։ Եթե ​​պատասխանը լիներ պարզապես Fn+2, մենք հեշտությամբ կարող էինք ձևակերպել հարցը. քանի՞ ձևով կարելի է 1 × (n + 2) ուղղանկյունը սալիկապատել քառակուսիներով և դոմինոներով: Սա գրեթե հենց այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է, բայց պատասխանը մեկից պակաս է: Փորձենք նրբորեն փոխել հարցը և կրճատել պատասխանը։ Եկեք հանենք երեսպատման մի տարբերակ, իսկ մնացածը վերահաշվարկենք։ Դժվարությունը մեկն է գտնել մեկ տարբերակ, որն արմատապես տարբերվում է մնացածից: կա՞ մեկը։

Ծածկման յուրաքանչյուր մեթոդ ներառում է քառակուսիների կամ դոմինոյի օգտագործումը: Միակ տարբերակում ներգրավված են միայն հրապարակները, մյուսներում կա առնվազն մեկ դոմինո։ Սա ընդունենք որպես նոր հարցի հիմք։

Հարց:Քանի՞ տարբերակ կա 1 × (n + 2) ուղղանկյուն շրջանակը քառակուսիներով և դոմինոներով ծածկելու համար, ներառյալ առնվազն մեկ դոմինո:

Այժմ մենք կգտնենք այս հարցի երկու պատասխան. Քանի որ երկուսն էլ ճշմարիտ կլինեն, թվերի միջև մենք կարող ենք վստահորեն հավասարության նշան դնել։

Պատասխաններից մեկն արդեն քննարկել ենք։ Կան Fn+2 stacking տարբերակներ: Դրանցից միայն մեկն է ենթադրում բացառապես հրապարակների օգտագործում՝ առանց դոմինոյի։ Այսպիսով, մեր հարցին թիվ 1 պատասխանն է. Fn+2– 1:

Երկրորդ պատասխանը պետք է լինի՝ հուսով եմ՝ հավասարման ձախ կողմը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:. Տեսնենք, թե ինչպես է այն աշխատում:

Անհրաժեշտ է վերահաշվարկել շրջանակը լրացնելու տարբերակները, ներառյալ առնվազն մեկ դոմինո: Եկեք մտածենք, թե որտեղ է գտնվելու հենց առաջին ոսկորը։ Կան n + 2 դիրքեր, և առաջին սալիկն կարող է լինել 1-ից n + 1 դիրքերում:

Դիտարկենք n = 4 դեպքը: Մենք ուղիներ ենք փնտրում 1 × 6 չափսի շրջանակը լրացնելու համար, որը ներառում է առնվազն մեկ դոմինո: Մենք գիտենք պատասխանը՝ F6 - 1 = 13 - 1 = 12, բայց մենք պետք է այն ստանանք այլ կերպ:

Առաջին դոմինոն կարող է զբաղեցնել հետևյալ դիրքերը.

Առաջին սյունակում ցույց է տրվում այն ​​դեպքը, երբ բռունցքը գտնվում է առաջին դիրքում, երկրորդը՝ երբ ծնկը գտնվում է երկրորդ դիրքում և այլն։

Քանի՞ տարբերակ կա յուրաքանչյուր սյունակում:

Առաջին սյունակը պարունակում է հինգ տարբերակ. Եթե ​​ձախ կողմում դոմինոն դեն նետենք, ապա կստանանք ճիշտ F4 = 5 տարբերակ 1 × 4 ուղղանկյունի համար: Երկրորդ սյունակում կա երեք տարբերակ: Եկեք գցենք դոմինոն և ձախ կողմում գտնվող հրապարակը: Մենք ստանում ենք F3 = 3 տարբերակ 1×3 ուղղանկյունի համար, ինչպես նաև մյուս սյունակների համար: Ահա թե ինչ գտանք.

Այսպիսով, 1 × 6 ուղղանկյուն շրջանակի վրա քառակուսիների և դոմինոների (առնվազն մեկ ոսկոր) սալիկապատելու եղանակների թիվը F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12 է:

Արդյունք՝ F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1:

Դիտարկենք ընդհանուր դեպքը. Մեզ տրված է n + 2 երկարությամբ շրջանակ: Այն լրացնելու քանի՞ եղանակ կա, որում առաջին դոմինոն գտնվում է k դիրքում: Այս դեպքում առաջին k - 1 դիրքերը զբաղեցնում են քառակուսիները։ Այսպիսով, k + 1 դիրքերը զբաղեցված են ընդհանուր [ 4 ]K թիվը կարող է արժեքներ ընդունել 1-ից մինչև n + 1, բայց ոչ ավելին, քանի որ հակառակ դեպքում վերջին դոմինոն դուրս կմնա շրջանակից:. Մնացածը (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 կարելի է լրացնել ցանկացած միջոցով: Սա տալիս է Fn-k+1 տարբերակներ: Եկեք կառուցենք դիագրամ.

Եթե ​​k-ը 1-ից փոխվում է n + 1-ի, ապա n - k + 1-ի արժեքը 0-ից փոխվում է n-ի: Այսպիսով, մեր շրջանակը առնվազն մեկ դոմինոյով լցնելու տարբերակների թիվը Fn + Fn-1 +… + F1 + F0 է:

Եթե ​​տերմինները հակառակ հերթականությամբ դնենք, կստանանք (*) արտահայտության ձախ կողմը։ Այսպիսով, մենք գտանք տրված հարցի երկրորդ պատասխանը՝ F0 +F1 +…+Fn:

Այսպիսով, մենք ունենք երկու պատասխան հարցին. Մեր ստացած երկու բանաձևերի միջոցով ստացված արժեքները համընկնում են, և ինքնությունը [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1:ապացուցված.

Ֆիբոնաչիի հարաբերակցությունը և ոսկե հարաբերակցությունը

Երկու հաջորդական Ֆիբոնաչիի թվերի գումարումը տալիս է հաջորդ Ֆիբոնաչիի թիվը: Այս բաժնում մենք կանդրադառնանք ավելի հետաքրքիր հարցի. ի՞նչ կլինի, եթե Ֆիբոնաչիի թիվը բաժանենք շարքում նախորդող թվի վրա: Եկեք հաշվարկենք Fk1 հարաբերակցությունը: k-ի արժեքների մեծացման համար.

Աղյուսակում կարող եք տեսնել F1/F0-ից F20/19 հարաբերակցությունները:

Որքան մեծանում են Ֆիբոնաչիի թվերը, այնքան Fk+1/Fk հարաբերակցությունը մոտ է հաստատունին, որը մոտավորապես հավասար է 1,61803-ին: Այս թիվը, դուք կզարմանաք, լավ հայտնի է, և եթե այն մուտքագրեք որոնման համակարգ, ոսկե հարաբերակցության մասին շատ էջեր դուրս կգան: Ինչ է դա? Հարևան Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերակցությունը նույնը չէ: Այնուամենայնիվ, գրեթե նույնն է, եթե թվերը բավականաչափ մեծ լինեն։ Եկեք գտնենք 1.61803 թվի բանաձևը և դրա համար որոշ ժամանակ կենթադրենք, որ բոլոր գործակիցները նույնն են։ Ներկայացնում ենք x նշումը՝

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Սա նշանակում է, որ Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 և այլն: Մենք կարող ենք վերաձեւակերպել.

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

Բայց մենք գիտենք, որ Fk+2= Fk+1 + Fk: Այսպիսով, x2>FkFk = xFk + Fk:

Եթե ​​երկու կողմերը բաժանենք Fk-ով և վերադասավորենք տերմինները, կստանանք քառակուսային հավասարում x2-x-1=0. Այն ունի երկու լուծում.

Հարաբերակցությունը պետք է լինի դրական։ Եվ այսպես, մենք ստացանք մեր իմացած թիվը: Սովորաբար, հունարեն φ (phi) տառը օգտագործվում է ոսկե հարաբերակցությունը նշելու համար.

Մենք արդեն նշել ենք, որ հարևան Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերակցությունը մոտենում (հակված է) φ-ին։ Սա զարմանալի է: Սա մեզ հնարավորություն է տալիս հաշվարկելու մոտավոր Ֆիբոնաչիի թվերը: Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությունը F0 F1, F2, F3, F4, F5 շարքն է… Եթե Fk+1/Fk բոլոր գործակիցները նույնն են, ապա կստանանք բանաձևը.

Այստեղ Հետևս մեկ հաստատուն է: Եկեք համեմատենք Fn-ի և φn-ի կլորացված արժեքները տարբեր n-ի համար.

n-ի մեծ արժեքների համար Fn/ φn≈0,723607 հարաբերակցությունը: Այս թիվը հենց φ/root5 է։ Այլ կերպ ասած,

Նկատի ունեցեք, որ եթե կլորացնենք մինչև մոտակա ամբողջ թիվը, ապա կստանանք հենց Fn:

Եթե ​​չես ուզում անհանգստանալ ամբողջ թվով կլորացնելով, ապա Ժակ Բինեի անվան բանաձեւը [ 5 ]Ժակ Բինե (1786–1856) - ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, մեխանիկ և աստղագետ Ֆիբոնաչիի թվերի բանաձևը կոչվել է Բինեի անունով, թեև Աբրահամ դե Մոիվրը (1667–1754) ստացել է այն գրեթե հարյուր տարի առաջ։ - Մոտ. մեկ., ձեզ կտա ճշգրիտ արժեքը.

Լրացրեք շրջանակը 1×5

Մեր շրջանակը կարող է լցվել քառակուսիներով և դոմինոներով հետևյալ եղանակներով.

Կան F4 = 5 տարբերակներ, երբ սկզբում կա քառակուսի, և F3 = 3 տարբերակ, երբ սկզբում կա դոմինո: Ընդհանուր առմամբ, սա տալիս է F5 = F4 + F3 = 8 տարբերակ:

F10 արժեքը(պատասխան հաջորդ հարցը stacking-ի վերաբերյալ) հավասար է 89-ի։