1. Գծային կոտորակային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը
y = P(x) / Q(x) ձևի ֆունկցիան, որտեղ P(x) և Q(x) բազմանդամներ են, կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա:
Դուք հավանաբար արդեն ծանոթ եք ռացիոնալ թվերի հասկացությանը: Նմանապես ռացիոնալ գործառույթներֆունկցիաներ են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների քանորդ:
Եթե կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան երկու գծային ֆունկցիաների քանորդ է՝ առաջին աստիճանի բազմանդամներ, այսինքն. դիտման գործառույթը
y = (ax + b) / (cx + d), ապա այն կոչվում է կոտորակային գծային:
Նկատի ունեցեք, որ y = (ax + b) / (cx + d) ֆունկցիայում c ≠ 0 (հակառակ դեպքում ֆունկցիան դառնում է գծային y = ax/d + b/d) և a/c ≠ b/d (հակառակ դեպքում՝ ֆունկցիան հաստատուն է): Գծային-կոտորակային ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր իրական թվերի համար, բացառությամբ x = -d/c-ի: Գծային-կոտորակային ֆունկցիաների գրաֆիկները իրենց ձևով չեն տարբերվում ձեր իմացած y = 1/x գրաֆիկից: Կոչվում է այն կորը, որը y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլիա. X-ի բացարձակ արժեքի անսահմանափակ աճի դեպքում y = 1/x ֆունկցիան անորոշ ժամանակով նվազում է բացարձակ արժեքով, և գրաֆիկի երկու ճյուղերն էլ մոտենում են աբսցիսայի առանցքին՝ աջը մոտենում է վերևից, իսկ ձախը՝ ներքևից: Այն գծերը, որոնց մոտենում են հիպերբոլայի ճյուղերը, կոչվում են նրա ասիմպտոտներ.
Օրինակ 1
y = (2x + 1) / (x - 3):
Լուծում.
Ընտրենք ամբողջական մասը՝ (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3):
Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով. 2 միավոր հատված վերև:
Ցանկացած y = (ax + b) / (cx + d) կոտորակը կարելի է գրել նույն կերպ՝ ընդգծելով «ամբողջ մասը»: Հետևաբար, բոլոր գծային-կոտորակային ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային առանցքների երկայնքով տարբեր ձևերով տեղաշարժված հիպերբոլաներ են և ձգված Oy առանցքի երկայնքով:
Որոշ կամայական գրաֆիկ կառուցելու համար գծային կոտորակային ֆունկցիաամենևին էլ անհրաժեշտ չէ փոխակերպել այն կոտորակը, որը սահմանում է այս ֆունկցիան։ Քանի որ մենք գիտենք, որ գրաֆիկը հիպերբոլա է, բավական կլինի գտնել այն գծերը, որոնց մոտենում են նրա ճյուղերը՝ հիպերբոլայի ասիմպտոտները x = -d/c և y = a/c:
Օրինակ 2
Գտե՛ք y = (3x + 5)/(2x + 2) ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները։
Լուծում.
Ֆունկցիան սահմանված չէ x = -1-ի համար: Այսպիսով, x = -1 տողը ծառայում է որպես ուղղահայաց ասիմպտոտ: Հորիզոնական ասիմպտոտը գտնելու համար եկեք պարզենք, թե ինչ արժեքներ են մոտենում y(x) ֆունկցիայի արժեքներին, երբ x արգումենտը մեծանում է բացարձակ արժեքով:
Դա անելու համար կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք x-ի.
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x):
Քանի որ x → ∞ կոտորակը հակված է 3/2-ի: Այսպիսով, հորիզոնական ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է y = 3/2:
Օրինակ 3
Գրեք y = (2x + 1)/(x + 1) ֆունկցիան:
Լուծում.
Մենք ընտրում ենք կոտորակի «ամբողջ մասը».
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 1 միավորի տեղաշարժ դեպի ձախ, սիմետրիկ ցուցադրում Ox-ի նկատմամբ և տեղաշարժ։ Oy առանցքի երկայնքով 2 միավոր ընդմիջումներով:
Սահմանման տիրույթը D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞):
Արժեքների միջակայք E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞):
Առանցքներով հատման կետեր. c Oy: (0; 1); գ Եզ՝ (-1/2; 0): Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր միջակայքում:
Պատասխան՝ նկար 1:
2. կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա
Դիտարկենք y = P(x) / Q(x) ձևի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա, որտեղ P(x) և Q(x) առաջինից բարձր աստիճանի բազմանդամներ են:
Նման ռացիոնալ գործառույթների օրինակներ.
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) կամ y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3):
Եթե y = P(x) / Q(x) ֆունկցիան առաջինից բարձր աստիճանի երկու բազմանդամների քանորդն է, ապա դրա գրաֆիկը, որպես կանոն, ավելի բարդ կլինի, և երբեմն դժվար է այն ճշգրիտ կառուցել: , բոլոր մանրամասներով։ Այնուամենայնիվ, հաճախ բավական է կիրառել այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսին մենք արդեն հանդիպել ենք վերևում:
Թող կոտորակը ճիշտ լինի (n< m). Известно, что любую несократимую ռացիոնալ կոտորակկարող է ներկայացվել, և առավել ևս եզակի ձևով, որպես վերջավոր թվով տարրական կոտորակների գումար, որոնց ձևը որոշվում է Q(x) կոտորակի հայտարարի ընդլայնմամբ իրական գործակիցների արտադրյալի մեջ.
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t):
Ակնհայտ է, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ որպես տարրական կոտորակների գրաֆիկների գումար:
Կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների գծագրում
Դիտարկենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա գծագրելու մի քանի եղանակ:
Օրինակ 4
Գրեք y = 1/x 2 ֆունկցիան:
Լուծում.
Մենք օգտագործում ենք y \u003d x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը y \u003d 1 / x 2 գրաֆիկը գծելու համար և օգտագործում ենք գրաֆիկները «բաժանելու» մեթոդը:
Դոմեն D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞):
Արժեքների միջակայք E(y) = (0; +∞):
Առանցքների հետ հատման կետեր չկան։ Ֆունկցիան հավասար է. Բոլոր x-ի համար մեծանում է միջակայքից (-∞; 0), x-ի համար նվազում է 0-ից մինչև +∞:
Պատասխան՝ նկար 2:
Օրինակ 5
Գրեք y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) ֆունկցիան:
Լուծում.
D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞) տիրույթ:
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Այստեղ մենք օգտագործել ենք ֆակտորինգի, կրճատման և գծային ֆունկցիայի կրճատման տեխնիկան։
Պատասխան՝ նկար 3:
Օրինակ 6
Գրեք y \u003d ֆունկցիան (x 2 - 1) / (x 2 + 1):
Լուծում.
Սահմանման տիրույթը D(y) = R է: Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ: Նախքան գծագրելը, մենք կրկին փոխակերպում ենք արտահայտությունը՝ ընդգծելով ամբողջական մասը.
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1):
Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի բանաձևում ամբողջ թվային մասի ընտրությունը հիմնականներից է գրաֆիկները գծագրելիս։
Եթե x → ±∞, ապա y → 1, այսինքն. y = 1 տողը հորիզոնական ասիմպտոտ է:
Պատասխան՝ նկար 4:
Օրինակ 7
Դիտարկենք y = x/(x 2 + 1) ֆունկցիան և փորձեք գտնել դրա ամենամեծ արժեքը, այսինքն. մեծ մասը բարձր կետգրաֆիկի աջ կեսը: Այս գրաֆիկը ճշգրիտ կառուցելու համար այսօրվա գիտելիքները բավարար չեն: Ակնհայտ է, որ մեր կորը չի կարող շատ բարձր «բարձրանալ», քանի որ հայտարարը արագորեն սկսում է «գերազանցել» համարիչը: Տեսնենք, արդյոք ֆունկցիայի արժեքը կարող է հավասար լինել 1-ի: Դա անելու համար հարկավոր է լուծել x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 հավասարումը: Այս հավասարումը իրական արմատներ չունի: Այսպիսով, մեր ենթադրությունը սխալ է: Առավելագույնը գտնելու համար մեծ նշանակությունգործառույթը, դուք պետք է պարզեք, թե որ ամենամեծ A-ի համար լուծում կունենա A \u003d x / (x 2 + 1) հավասարումը: Եկեք փոխարինենք սկզբնական հավասարումը քառակուսայինով. Ax 2 - x + A = 0: Այս հավասարումը լուծում ունի, երբ 1 - 4A 2 ≥ 0: Այստեղից մենք գտնում ենք. ամենաբարձր արժեքը A = 1/2: 
Պատասխան. Նկար 5, առավելագույնը y(x) = ½:
Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկներ:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։
կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:
Ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշ ֆունկցիայի վարքագծի տեսողական ներկայացում է կոորդինատային հարթություն. Սյուժեները օգնում են հասկանալ ֆունկցիայի տարբեր ասպեկտները, որոնք հնարավոր չէ որոշել բուն ֆունկցիայից: Դուք կարող եք կառուցել բազմաթիվ գործառույթների գրաֆիկներ, և դրանցից յուրաքանչյուրը կտրվի որոշակի բանաձևով: Ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցված է որոշակի ալգորիթմի համաձայն (եթե մոռացել եք կոնկրետ ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրման ճշգրիտ գործընթացը):
Քայլեր
Գծային ֆունկցիայի գծագրում
- Եթե թեքությունը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է:
-
Այն կետից, որտեղ ուղիղը հատվում է Y առանցքի հետ, գծեք երկրորդ կետը՝ օգտագործելով ուղղահայաց և հորիզոնական հեռավորությունները: Գծային ֆունկցիան կարելի է գծագրել՝ օգտագործելով երկու կետ։ Մեր օրինակում Y առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0.5); այս կետից տեղափոխեք 2 տարածություն վերև, այնուհետև 1 տարածություն դեպի աջ: Նշեք կետ; այն կունենա կոորդինատներ (1,7): Այժմ դուք կարող եք ուղիղ գիծ գծել:
Քանոնի օգնությամբ ուղիղ գիծ գծեք երկու կետերի միջով:Սխալներից խուսափելու համար գտեք երրորդ կետը, բայց շատ դեպքերում գրաֆիկը կարելի է կառուցել՝ օգտագործելով երկու կետ։ Այսպիսով, դուք գծագրել եք գծային ֆունկցիա:
Որոշեք, արդյոք ֆունկցիան գծային է:Գծային ֆունկցիան տրվում է ձևի բանաձևով F (x) = k x + b (\ցուցադրման ոճ F(x)=kx+b)կամ y = k x + b (\ցուցադրման ոճ y=kx+b)(օրինակ՝ ), և դրա գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ Այսպիսով, բանաձևը ներառում է մեկ փոփոխական և մեկ հաստատուն (հաստատուն)՝ առանց որևէ ցուցիչի, արմատային նշանների և այլն։ Հաշվի առնելով նմանատիպ ձևի ֆունկցիան, նման ֆունկցիա գծելը բավականին պարզ է: Ահա գծային ֆունկցիաների այլ օրինակներ.
Օգտագործեք հաստատուն y առանցքի վրա կետ նշելու համար:(b) հաստատունը Y առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետի «y» կոորդինատն է, այսինքն՝ այն կետ է, որի «x» կոորդինատը 0 է: Այսպիսով, եթե x = 0-ը փոխարինվում է բանաձևով: , ապա y = b (հաստատուն): Մեր օրինակում y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)հաստատունը 5 է, այսինքն՝ Y առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0,5): Գծե՛ք այս կետը կոորդինատային հարթության վրա:
Գտեք գծի թեքությունը:Այն հավասար է փոփոխականի բազմապատկիչին։ Մեր օրինակում y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)«x» փոփոխականով 2 գործակից է; Այսպիսով, թեքությունը 2 է: Թեքությունը որոշում է ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի X առանցքը, այսինքն՝ որքան մեծ է թեքությունը, այնքան ավելի արագ է մեծանում կամ նվազում ֆունկցիան:
Լանջը գրի՛ր կոտորակի տեսքով:Թեքությունը հավասար է թեքության անկյան շոշափմանը, այսինքն՝ ուղղահայաց հեռավորության (ուղիղ գծի երկու կետերի միջև) հորիզոնական հեռավորության (նույն կետերի միջև) հարաբերակցությանը։ Մեր օրինակում թեքությունը 2 է, ուստի կարող ենք ասել, որ ուղղահայաց հեռավորությունը 2 է, իսկ հորիզոնականը՝ 1։ Գրեք սա որպես կոտորակ. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
Կոորդինատային հարթության վրա կետերի գծում
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Կոորդինատային հարթության վրա գծե՛ք կետեր:Կոորդինատների յուրաքանչյուր զույգի համար կատարեք հետևյալը. գտե՛ք համապատասխան արժեքը x առանցքի վրա և գծե՛ք ուղղահայաց գիծ (կետագիծ); գտի՛ր y առանցքի վրա համապատասխան արժեքը և գծի՛ր հորիզոնական գիծ (կետագիծ): Նշեք երկու կետավոր գծերի հատման կետը. Այսպիսով, դուք գծագրել եք գրաֆիկի կետ:
Ջնջել կետագծերը:Դա արեք կոորդինատային հարթության վրա բոլոր գրաֆիկական կետերը գծելուց հետո: Նշում. f(x) = x ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որն անցնում է կոորդինատների կենտրոնով [կետ կոորդինատներով (0,0)]; f(x) = x + 2 գծապատկերը f(x) = x ուղիղին զուգահեռ ուղիղ է, բայց վեր է շարժվել երկու միավորով և, հետևաբար, անցնում է (0,2) կոորդինատներով կետով (քանի որ հաստատունը 2 է) .
Սահմանեք ֆունկցիա:Ֆունկցիան նշվում է որպես f(x): «y» փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները կոչվում են ֆունկցիայի տիրույթ, իսկ «x» փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները՝ ֆունկցիայի տիրույթ։ Օրինակ՝ դիտարկենք y = x+2 ֆունկցիան, այն է՝ f(x) = x+2:
Գծե՛ք երկու հատվող ուղղահայաց գծեր:Հորիզոնական գիծը X-առանցքն է, ուղղահայաց գիծը Y-առանցքն է:
Նշեք կոորդինատների առանցքները:Յուրաքանչյուր առանցք բաժանեք հավասար հատվածների և համարակալեք դրանք: Առանցքների հատման կետը 0 է։ X առանցքի համար աջ կողմում գծագրված են դրական թվերը (0-ից), իսկ ձախում՝ բացասական թվերը։ Y առանցքի համար դրական թվերը գծագրվում են վերևում (0-ից), իսկ բացասական թվերը ներքևում:
Գտեք «y» արժեքները «x» արժեքներից:Մեր օրինակում f(x) = x+2: Փոխարինեք որոշակի «x» արժեքներ այս բանաձևում՝ համապատասխան «y» արժեքները հաշվարկելու համար: Եթե տրված է բարդ ֆունկցիա, ապա պարզեցրե՛ք այն՝ մեկուսացնելով «y»-ը հավասարման մի կողմում:
Բարդ ֆունկցիայի գծագրում
-
Գտե՛ք մի քանի կետերի կոորդինատները և գծե՛ք դրանք կոորդինատային հարթության վրա։Պարզապես ընտրեք մի քանի x արժեքներ և միացրեք դրանք ֆունկցիայի մեջ՝ համապատասխան y արժեքները գտնելու համար: Այնուհետև գծեք կետերը կոորդինատային հարթության վրա: Որքան բարդ է ֆունկցիան, այնքան ավելի շատ միավորներ պետք է գտնել և կիրառել: Շատ դեպքերում փոխարինեք x = -1; x = 0; x = 1, բայց եթե ֆունկցիան բարդ է, գտի՛ր սկզբնաղբյուրի յուրաքանչյուր կողմում երեք կետ:
- Գործառույթի դեպքում y = 5 x 2 + 6 (\ցուցադրման ոճ y=5x^(2)+6)Փոխարինեք հետևյալ «x» արժեքները՝ -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10: Դուք բավականաչափ միավորներ կստանաք:
- Խելամտորեն ընտրեք ձեր x արժեքները: Մեր օրինակում հեշտ է հասկանալ, որ բացասական նշանը դեր չի խաղում. «y» արժեքը x \u003d 10-ում և x \u003d -10-ում նույնը կլինի:
-
- Եթե չգիտեք, թե ինչ անել, սկսեք փոխարինել գործառույթով տարբեր իմաստներ«x» գտնել «y» արժեքները (և, հետևաբար, կետերի կոորդինատները): Տեսականորեն, ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է կառուցել միայն այս մեթոդով (եթե, իհարկե, մենք փոխարինում ենք x արժեքների անսահման բազմազանություն):
Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները։Ֆունկցիայի զրոները «x» փոփոխականի արժեքներն են, որոնցում y=0, այսինքն՝ սրանք գրաֆիկի հատման կետերն են x առանցքի հետ: Նկատի ունեցեք, որ ոչ բոլոր գործառույթներն ունեն զրոներ, բայց սա առաջին քայլն է ցանկացած ֆունկցիայի գրաֆիկի գծագրման գործընթացում: Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար այն հավասարեցրեք զրոյի: Օրինակ:
Գտեք և նշեք հորիզոնական ասիմպտոտները:Ասիմպտոտը այն գիծն է, որին մոտենում է ֆունկցիայի գրաֆիկը, բայց երբեք չի հատում (այսինքն՝ ֆունկցիան այս տարածքում սահմանված չէ, օրինակ, երբ բաժանվում է 0-ի): Նշեք ասիմպտոտը կետավոր գծով: Եթե «x» փոփոխականը կոտորակի հայտարարի մեջ է (օրինակ. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), հայտարարը դրեք զրո և գտեք «x»: «x» փոփոխականի ստացված արժեքներում գործառույթը սահմանված չէ (մեր օրինակում գծեք գծեր x = 2 և x = -2 միջով), քանի որ չեք կարող բաժանել 0-ի: Բայց ասիմպտոտները գոյություն ունեն ոչ միայն այն դեպքերում, երբ ֆունկցիան պարունակում է կոտորակային արտահայտություն. Հետևաբար, խորհուրդ է տրվում օգտագործել ողջամտությունը.
Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:
Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում
Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:
Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:
Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:
Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.
- Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:
Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.
- Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
- Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
- Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
- Եթե դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:
Բացահայտում երրորդ կողմերին
Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:
Բացառություններ.
- Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական կարգով, դատական վարույթում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
- Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:
Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն
Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:
Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով
Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:
Կոորդինատային առանցքի վրա հատվածի երկարությունը հայտնաբերվում է բանաձևով.
Կոորդինատային հարթության վրա հատվածի երկարությունը որոնվում է բանաձևով.
Եռաչափ կոորդինատային համակարգում հատվածի երկարությունը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.
Հատվածի միջին մասի կոորդինատները (կոորդինատային առանցքի համար օգտագործվում է միայն առաջին բանաձևը, կոորդինատային հարթության համար՝ առաջին երկու բանաձևերը, եռաչափ կոորդինատային համակարգի համար՝ բոլոր երեք բանաձևերը) հաշվարկվում են բանաձևերով.
Գործառույթձևի համապատասխանություն է y= զ(x) փոփոխականների միջև, որոնց շնորհիվ յուրաքանչյուրը որոշի արժեք է համարում փոփոխական x(փաստարկ կամ անկախ փոփոխական) համապատասխանում է մեկ այլ փոփոխականի որոշակի արժեքին, y(կախյալ փոփոխական, երբեմն այս արժեքը պարզապես կոչվում է ֆունկցիայի արժեք): Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան ենթադրում է արգումենտի մեկ արժեքը Xկախված փոփոխականի միայն մեկ արժեք կարող է լինել ժամը. Այնուամենայնիվ, նույն արժեքը ժամըկարելի է ձեռք բերել տարբեր X.
Գործառույթի շրջանակըանկախ փոփոխականի բոլոր արժեքներն են (գործառույթի փաստարկը, սովորաբար X) որի համար սահմանված է ֆունկցիան, այսինքն. դրա իմաստը գոյություն ունի. Նշված է սահմանման տիրույթը Դ(y) Մեծ հաշվով, դուք արդեն ծանոթ եք այս հայեցակարգին։ Ֆունկցիայի շրջանակը այլ կերպ կոչվում է վավեր արժեքների տիրույթ կամ ODZ, որը դուք կարողացել եք գտնել երկար ժամանակ:
Ֆունկցիոնալ տիրույթայս ֆունկցիայի կախյալ փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքներն են: Նշվում է Ե(ժամը).
Ֆունկցիան բարձրանում էայն միջակայքի վրա, որի վրա արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Գործառույթի նվազումայն միջակայքի վրա, որի վրա արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի փոքր արժեքին:
Գործառույթների միջակայքերըանկախ փոփոխականի այն ընդմիջումներն են, որոնց դեպքում կախված փոփոխականը պահպանում է իր դրական կամ բացասական նշանը:
Գործառույթների զրոներարգումենտի այն արժեքներն են, որոնց համար ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի: Այս կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է աբսցիսային առանցքը (OX առանցքը): Շատ հաճախ ֆունկցիայի զրոները գտնելու անհրաժեշտությունը նշանակում է պարզապես լուծել հավասարումը։ Նաև հաճախ մշտական նշանի միջակայքերը գտնելու անհրաժեշտությունը նշանակում է անհավասարությունը պարզապես լուծելու անհրաժեշտություն:
Գործառույթ y = զ(x) կոչվում են նույնիսկ X
Սա նշանակում է, որ փաստարկի ցանկացած հակադիր արժեքի դեպքում զույգ ֆունկցիայի արժեքները հավասար են: Ժամանակացույց նույնիսկ գործառույթմիշտ սիմետրիկ y-ի y առանցքի նկատմամբ:
Գործառույթ y = զ(x) կոչվում են տարօրինակ, եթե այն սահմանված է սիմետրիկ բազմության վրա և ցանկացածի համար Xսահմանման տիրույթից հավասարությունը կատարվում է.
Սա նշանակում է, որ փաստարկի ցանկացած հակադիր արժեքի դեպքում կենտ ֆունկցիայի արժեքները նույնպես հակադիր են: Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը միշտ սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Զույգ և-ի արմատների գումարը տարօրինակ հատկանիշներ(x առանցքի OX-ի հատման կետերը) միշտ զրո է, քանի որ յուրաքանչյուր դրական արմատի համար Xբացասական արմատ ունի X.
Կարևոր է նշել, որ որոշ ֆունկցիաներ պարտադիր չէ, որ լինեն զույգ կամ կենտ: Կան բազմաթիվ գործառույթներ, որոնք ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ: Նման գործառույթները կոչվում են գործառույթները ընդհանուր տեսարան , և վերը նշված հավասարություններից կամ հատկություններից ոչ մեկը չի համապատասխանում նրանց:
Գծային ֆունկցիակոչվում է ֆունկցիա, որը կարող է տրվել բանաձևով.
Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է և ընդհանուր դեպքում այսպիսի տեսք ունի (օրինակ է տրված այն դեպքի համար, երբ. կ> 0, այս դեպքում ֆունկցիան մեծանում է. գործի համար կ < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ (պարաբոլա)
Պարաբոլայի գրաֆիկը տրվում է քառակուսի ֆունկցիայով.
Քառակուսային ֆունկցիան, ինչպես ցանկացած այլ ֆունկցիա, հատում է OX առանցքը այն կետերում, որոնք նրա արմատներն են. x 1 ; 0) և ( x 2; 0): Եթե արմատներ չկան, ապա քառակուսի ֆունկցիան չի հատում OX առանցքը, եթե կա մեկ արմատ, ապա այս կետում ( x 0; 0) քառակուսի ֆունկցիան դիպչում է միայն OX առանցքին, բայց չի հատում այն: Քառակուսային ֆունկցիան միշտ հատում է OY առանցքը կոորդինատներով մի կետում՝ (0; գ) Քառակուսային ֆունկցիայի (պարաբոլա) գրաֆիկը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ (նկարը ցույց է տալիս օրինակներ, որոնք հեռու են պարաբոլների բոլոր հնարավոր տեսակներից).
Որտեղ:
- եթե գործակիցը ա> 0, ֆունկցիայի մեջ y = կացին 2 + bx + գ, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;
- եթե ա < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևերի միջոցով. X գագաթներ (էջ- վերևի նկարներում պարաբոլայի (կամ այն կետի, որտեղ քառակուսի եռանկյունը հասնում է իր առավելագույն կամ նվազագույն արժեքին).
Y գագաթներ (ք- վերևի նկարներում) պարաբոլայի կամ առավելագույնը, եթե պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև ( ա < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ա> 0), արժեքը քառակուսի եռանկյուն:
Այլ գործառույթների գրաֆիկներ
հզորության գործառույթը
Ահա ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների մի քանի օրինակներ.
Հակադարձ համեմատական կախվածությունկանչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.
Կախված թվի նշանից կՀակադարձ համեմատական գրաֆիկը կարող է ունենալ երկու հիմնական տարբերակ.
Ասիմպտոտայն ուղիղն է, որին ֆունկցիայի գրաֆիկի տողը մոտենում է անսահմանորեն մոտ, բայց չի հատվում։ Ասիմպտոտներ գրաֆիկների համար հակադարձ համեմատականությունվերևի նկարում ներկայացված են կոորդինատային առանցքները, որոնց ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտենում է անսահմանորեն, բայց չի հատում դրանք:
էքսպոնենցիալ ֆունկցիահիմքով Ականչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.
աժամանակացույցը էքսպոնենցիալ ֆունկցիակարող է ունենալ երկու հիմնարար տարբերակ (մենք կտանք նաև օրինակներ, տես ստորև).
լոգարիթմական ֆունկցիականչել բանաձևով տրված ֆունկցիան.
Կախված նրանից, թե թիվը մեկից մեծ է, թե փոքր աԼոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը կարող է ունենալ երկու հիմնական տարբերակ.
Ֆունկցիայի գրաֆիկ y = |x| Ինչպես նշված է հետեւյալում:
Պարբերական (եռանկյունաչափական) ֆունկցիաների գրաֆիկներ
Գործառույթ ժամը = զ(x) կոչվում է պարբերական, եթե կա այդպիսի ոչ զրոյական թիվ Տ, Ինչ զ(x + Տ) = զ(x), ցանկացածի համար Xգործառույթի շրջանակից դուրս զ(x) Եթե ֆունկցիան զ(x) պարբերական է ժամանակաշրջանով Տ, ապա ֆունկցիան.
Որտեղ: Ա, կ, բհաստատուն թվեր են, և կհավասար չէ զրոյի, նաև պարբերական կետով Տ 1, որը որոշվում է բանաձևով.
Պարբերական ֆունկցիաների օրինակների մեծ մասը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են: Ահա հիմնականի գրաֆիկները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկի մի մասը y= մեղք x(ամբողջ գրաֆիկը շարունակվում է անորոշ ձախ և աջ), ֆունկցիայի գրաֆիկը y= մեղք xկանչեց սինուսոիդ:
Ֆունկցիայի գրաֆիկ y= cos xկանչեց կոսինուսային ալիք. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Քանի որ սինուսի գրաֆիկը, այն շարունակվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ.
Ֆունկցիայի գրաֆիկ y=tg xկանչեց տանգենոիդ. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Ինչպես մյուս պարբերական ֆունկցիաների գրաֆիկները, այս գրաֆիկը կրկնվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ:
Եվ վերջապես ֆունկցիայի գրաֆիկը y=ctg xկանչեց կոտանգենտոիդ. Այս գրաֆիկը ներկայացված է հետևյալ նկարում. Ինչպես մյուս պարբերական և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, այս գրաֆիկը կրկնվում է անորոշ ժամանակով OX առանցքի երկայնքով դեպի ձախ և աջ:
Այս երեք կետերի հաջող, ջանասիրաբար և պատասխանատու իրականացումը թույլ կտա Ձեզ ցույց տալ գերազանց արդյունք CT-ի վրա՝ առավելագույնը, ինչի ընդունակ եք:
Սխա՞լ եք գտել:
Եթե կարծում եք, որ սխալ եք գտել ուսումնական նյութեր, ապա գրեք, խնդրում եմ, այդ մասին փոստով։ Կարող եք նաև հայտնել սխալի մասին սոցիալական ցանց(). Նամակում նշեք թեման (ֆիզիկա կամ մաթեմատիկա), թեմայի կամ թեստի անվանումը կամ համարը, առաջադրանքի համարը կամ տեքստի (էջի) այն տեղը, որտեղ, ըստ Ձեզ, սխալ կա։ Նաև նկարագրեք, թե որն է ենթադրյալ սխալը: Ձեր նամակն աննկատ չի մնա, սխալը կա՛մ կուղղվի, կա՛մ ձեզ կբացատրեն, թե ինչու դա սխալ չէ։
