Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է քառակուսի եռանկյունները բաժանել գծային գործոնների: Դրա համար անհրաժեշտ է հիշել Վիետայի թեորեմը և դրա հակադարձությունը։ Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով տարրալուծել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև պարզեցնել արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ:

Այն, ինչ ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ինքնությունը ճշմարիտ է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում- քառակուսի եռանդամի, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը քայքայվում է գծային գործակիցների։

Ապացույց:

Ապացույց այս փաստըկատարվում է օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, որը մենք դիտարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմը ենթադրում է հետևյալ պնդումը, որ.

Մենք տեսնում ենք, որ, համաձայն Վիետայի թեորեմի, այսինքն, փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա տարրալուծումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես ընդլայնելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք գործակցել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե այն ունի արմատներ, կարող է այս թեորեմի համաձայն գծային գործակիցների վերածել ըստ բանաձևի.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք որևէ հավասարման համար հնարավոր է նման ֆակտորիզացիա.

Օրինակ վերցնենք հավասարումը. Նախ ստուգենք խտրականի նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է մեծ լինի 0-ից, հետևաբար այս դեպքում ֆակտորավորումն ըստ ուսումնասիրված թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործակիցների քայքայելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում խնդիրը կլուծենք առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ քայքայվելով գործոնների: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը հետևյալն է. գրեք քառակուսի հավասարում այնպես, որ դրանք լինեն դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներն են տրված թվեր. Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է հակադարձ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում , եւ .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Դուք պետք է կրճատեք կոտորակը:

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործոնացված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել։

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել համարիչը։

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է գործոնավորվել, գտնել տարբերակիչը: Քանի որ , ապա նշանը կախված է արտադրանքից (պետք է 0-ից պակաս լինի), այս օրինակում, այսինքն. տրված հավասարումըարմատներ ունի.

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ հավաքել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն, եթե ենթադրենք, որ և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, ապա ստացվում է հետևյալ համակարգը. այսինքն՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք փոխարինել դրանց արժեքները սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Հիշեք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք լուծել խնդիրը համարիչի փոխարեն փոխարինելով .

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն.

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Առաջադրանք թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​այս հավասարման արմատները գոյություն ունեն, ապա , հարցն այն է, թե երբ.

Պլան - դասի ամփոփում (MBOU «Չեռնոմորսկայա ավագ դպրոց№2"

Ուսուցչի անունը

Պոնոմարենկո Վլադիսլավ Վադիմովիչ

Նյութ

Հանրահաշիվ

Դասի ամսաթիվը

19.09.2018

№ դաս

Դասարան

9Բ

Դասի թեմա

(ըստ KTP-ի)

«Քառակուսի եռանդամի տարրալուծումը գործոնների»

նպատակադրում

- կրթական: սովորեցնել ուսանողներին, թե ինչպես ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը, սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել ֆակտորիզացիայի ալգորիթմը քառակուսի եռանկյունՕրինակներ լուծելիս հաշվի առեք GIA տվյալների բազայի առաջադրանքները, որոնք օգտագործում են քառակուսի եռանկյունը գործոնների վերածելու ալգորիթմը

- զարգացող: դպրոցականների մոտ զարգացնել խնդիրներ ձևակերպելու, դրանց լուծման ուղիներ առաջարկելու ունակություն, նպաստել դպրոցականների՝ ճանաչողական օբյեկտում հիմնականը կարևորելու հմտությունների զարգացմանը։

- կրթական: օգնել ուսանողներին գիտակցել համատեղ գործունեության արժեքը, նպաստել երեխաների ինքնատիրապետման, ինքնագնահատման և ուսումնական գործունեության ինքնաուղղման հմտությունների զարգացմանը:

Դասի տեսակը

ուսուցում և նոր գիտելիքների առաջնային համախմբում:

Սարքավորումներ:

մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, էկրան, համակարգիչ, դիդակտիկ նյութ, դասագրքեր, տետրեր, շնորհանդեսդասին

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպման ժամանակը. ուսուցիչը ողջունում է ուսանողներին, ստուգում դասի պատրաստակամությունը.

Աշակերտներին մոտիվացնում է.

Այսօր համատեղ գործունեության դասի ընթացքում մենք կհաստատենք Պոյայի խոսքերը (Սլայդ 1) («Խնդիրը, որը դուք լուծում եք, կարող է շատ համեստ լինել, բայց եթե այն մարտահրավեր է նետում ձեր հետաքրքրասիրությանը, և եթե այն ինքնուրույն լուծեք, ապա կարող եք. փորձառությունը, որը տանում է բացել մտքի լարվածությունը և վայելել հաղթանակի բերկրանքը։ Պոյա դուռ։)

Հաղորդագրություն Պոյայի մասին (Սլայդ 2)

Ես ուզում եմ վիճարկել ձեր հետաքրքրասիրությունը: Դիտարկենք GIA-ի առաջադրանքը: Կազմեք ֆունկցիան .

Կարո՞ղ ենք վայելել հաղթանակի բերկրանքը և կատարել այս առաջադրանքը: (խնդրահարույց իրավիճակ):

Ինչպե՞ս լուծել այս խնդիրը:

- Ուրվագծեք այս խնդիրը լուծելու գործողությունների ծրագիր:

Ուղղում է դասի պլանը, մեկնաբանում ինքնուրույն աշխատանքի սկզբունքը.

Անկախ աշխատանք(դասարանին բաժանել թերթիկներ՝ անկախ աշխատանքի տեքստով) (Հավելված 1)

Անկախ աշխատանք

Բազմապատկել:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

2 ա 2 - 2 բ 2 –a + b;

2x 2 - 7x - 4.

Կրճատել կոտորակը.

ՍլայդԻնքնաքննության պատասխաններով։

Հարց դասարանին:

Բազմանդամի գործակցման ի՞նչ մեթոդներ եք օգտագործել:

Դուք կարողացե՞լ եք ֆակտորիզացնել բոլոր բազմանդամները:

Կարո՞ղ են բոլոր կոտորակները կրճատվել:

Խնդիր 2:Սլայդ

Ինչպես ֆակտորիզացնել բազմանդամը

2 x 2 – 7 x – 4?

Ինչպե՞ս նվազեցնել կոտորակը:

Ճակատային հետազոտություն:

Որոնք են բազմանդամները

2 x 2 – 7 x- 4 ևx 2 – 5 x +6?

Սահմանի՛ր քառակուսի եռանկյուն:

Ի՞նչ գիտենք քառակուսի եռանկյունի մասին:

Ինչպե՞ս գտնել դրա արմատները:

Ինչն է որոշում արմատների քանակը:

Համեմատեք այս գիտելիքները մեզ անհրաժեշտի հետ և ձևակերպեք դասի թեման: (Դրանից հետո էկրանին ցուցադրվում է դասի թեման)Սլայդ

Սահմանեք դասի նպատակըՍլայդ

Տեսնենք վերջնական արդյունքըՍլայդ

Հարց դասարանին.Ինչպե՞ս լուծել այս խնդիրը:

Դասարանը աշխատում է խմբերով.

Առաջադրանք խմբերի համար.

Բովանդակության աղյուսակում գտեք ցանկալի էջը, մատիտը ձեռքին կարդացեք 4-րդ կետը, ընդգծեք հիմնական գաղափարը, կազմեք ալգորիթմ, որով կարող է ֆակտորիզացվել ցանկացած քառակուսի եռանկյուն:

Ստուգելով, որ առաջադրանքը ավարտված է դասարանի կողմից ( ճակատային աշխատանք):

Ինչ է հիմնական գաղափարըկետ 4?Սլայդ(էկրանին՝ քառակուսի եռանկյունը գործակիցների վերածելու բանաձևը):

ալգորիթմ էկրանին.Սլայդ

1. Քառակուսի եռանկյունը հավասարեցրու զրոյի:

2. Գտի՛ր տարբերակողին:

3. Գտի՛ր քառակուսի եռանդամի արմատները:

4. Գտնված արմատները փոխարինի՛ր բանաձևով.

5. Անհրաժեշտության դեպքում փակագծերում մուտքագրեք առաջատար գործակիցը:

Ուրիշ մեկըփոքր խնդիր Եթե ​​D=0, հնարավո՞ր է քառակուսի եռանկյունը գործոնացնել, և եթե այո, ինչպե՞ս:

(Հետազոտությունխմբերով):

Սլայդ(էկրանի վրա.

Եթե ​​D = 0, ապա
.

Եթե ​​քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի,

ապա դա չի կարող գործոնավորվել):

Անկախ աշխատանքում վերադառնանք առաջադրանքին. Այժմ կարո՞ղ ենք քառակուսի եռանկյունները ֆակտորիզացնել2 x 2 – 7 x- 4 ևx 2 – 5 x +6?

Դասարանը աշխատում է ինքնուրույն, բազմապատկվում, ես անհատական ​​եմ աշխատում թույլ սովորողների հետ։

Սլայդ(լուծույթով)Փոխադարձ ստուգում

Կարո՞ղ ենք կրճատել կոտորակը:

Կրճատիր կոտորակը, ես գրատախտակ եմ կանչում ուժեղ աշակերտին:

Եկեք վերադառնանք առաջադրանքինGIA-ից: Կարո՞ղ ենք այժմ գծապատկերել ֆունկցիան?

Ո՞րն է այս ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Նոթատետրում գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Փորձարկում (Հետանկախ աշխատանք)Հավելված 2

Ինքնաքննություն և ինքնագնահատումՈւսանողներին տրվեցին թռուցիկներ (Հավելված 3), որտեղ նրանք պետք է գրեն իրենց պատասխանները: Նրանք տալիս են գնահատման չափանիշներ:

Գնահատման չափանիշներ.

3 առաջադրանք՝ գնահատում «4»

4 առաջադրանք՝ «5» դասարան

Արտացոլում:(Սլայդ)

1. Այսօր դասին ես սովորեցի ...

2. Այսօր դասին ես կրկնեցի ...

3. Ես ուղղեցի…

4. Ինձ դուր եկավ ...

5. Ես ինձ գնահատական ​​տվեցի դասի գործունեության համար ...

6. Աշխատանքի ո՞ր տեսակներն են դժվարություններ առաջացրել և պահանջում են կրկնություն...

7. Հասե՞լ ենք նախատեսված արդյունքին:

Սլայդ. Շնորհակալություն դասի համար:

Հավելված 1

Անկախ աշխատանք

Բազմապատկել:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 - 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2 ա 2 - 2 բ 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Կրճատել կոտորակը.

Հավելված 2

Փորձարկում

1 տարբերակ

ֆակտորիզացնել?

x 2 - 8x+ 7;

x 2 - 8x+ 16 ;

x 2 - 8x+ 9;

x 2 - 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Պատասխան._________ .

Կրճատել կոտորակը.

x – 3;

x + 3;

x – 4;

մեկ այլ պատասխան.

Փորձարկում

Տարբերակ 2

Ո՞ր քառակուսի եռանկյունը չի կարող լինել pֆակտորիզացնել?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 - 8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Ո՞ր բազմանդամը պետք է փոխարինել էլիպսիսին, որպեսզի հավասարություն լինի.2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Պատասխան._________ .

Կրճատել կոտորակը.

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

մեկ այլ պատասխան.

Հավելված 3

Գրի՛ր պատասխանները։

Գնահատման չափանիշներ.

Ճիշտ է արված առաջադրանք 2 - դասարան «3»

3 առաջադրանք՝ գնահատում «4»

4 առաջադրանք՝ «5» դասարան

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջադրանք թիվ 2

Առաջադրանք թիվ 3

1 տարբերակ

Տարբերակ 2

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես կարելի է քառակուսի եռանկյունները բաժանել գծային գործոնների: Դրա համար անհրաժեշտ է հիշել Վիետայի թեորեմը և դրա հակադարձությունը։ Այս հմտությունը կօգնի մեզ արագ և հարմար կերպով տարրալուծել քառակուսի եռանկյունները գծային գործակիցների, ինչպես նաև պարզեցնել արտահայտություններից բաղկացած կոտորակների կրճատումը:

Այսպիսով, վերադառնանք քառակուսի հավասարմանը, որտեղ:

Այն, ինչ ունենք ձախ կողմում, կոչվում է քառակուսի եռանկյուն:

Թեորեմը ճշմարիտ է.Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ինքնությունը ճշմարիտ է

Որտեղ է առաջատար գործակիցը, հավասարման արմատներն են:

Այսպիսով, մենք ունենք քառակուսի հավասարում` քառակուսի եռանկյուն, որտեղ քառակուսի հավասարման արմատները կոչվում են նաև քառակուսի եռանդամի արմատներ: Հետևաբար, եթե մենք ունենք քառակուսի եռանդամի արմատներ, ապա այս եռանկյունը քայքայվում է գծային գործակիցների։

Ապացույց:

Այս փաստի ապացույցն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով, որը մենք դիտարկել ենք նախորդ դասերում:

Հիշենք, թե ինչ է մեզ ասում Վիետայի թեորեմը.

Եթե ​​քառակուսի եռանդամի արմատներն են, որոնց համար , ապա .

Այս թեորեմը ենթադրում է հետևյալ պնդումը, որ.

Մենք տեսնում ենք, որ, համաձայն Վիետայի թեորեմի, այսինքն, փոխարինելով այս արժեքները վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Ք.Ե.Դ.

Հիշեցնենք, որ մենք ապացուցեցինք այն թեորեմը, որ եթե քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա տարրալուծումը վավեր է:

Այժմ հիշենք քառակուսի հավասարման օրինակ, որի վրա մենք ընտրել ենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Այս փաստից մենք կարող ենք ստանալ հետևյալ հավասարությունը՝ շնորհիվ ապացուցված թեորեմի.

Այժմ ստուգենք այս փաստի ճիշտությունը՝ պարզապես ընդլայնելով փակագծերը.

Մենք տեսնում ենք, որ մենք ճիշտ ենք գործակցել, և ցանկացած եռանկյուն, եթե այն ունի արմատներ, կարող է այս թեորեմի համաձայն գծային գործակիցների վերածել ըստ բանաձևի.

Այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք, թե արդյոք որևէ հավասարման համար հնարավոր է նման ֆակտորիզացիա.

Օրինակ վերցնենք հավասարումը. Նախ ստուգենք խտրականի նշանը

Եվ մենք հիշում ենք, որ մեր սովորած թեորեմը կատարելու համար D-ն պետք է մեծ լինի 0-ից, հետևաբար այս դեպքում ֆակտորավորումն ըստ ուսումնասիրված թեորեմի անհնար է։

Հետևաբար ձևակերպում ենք նոր թեորեմ՝ եթե քառակուսի եռանկյունը արմատներ չունի, ապա այն չի կարող քայքայվել գծային գործոնների։

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք Վիետայի թեորեմը՝ քառակուսի եռանկյունը գծային գործակիցների քայքայելու հնարավորությունը, և այժմ կլուծենք մի քանի խնդիր։

Առաջադրանք թիվ 1

Այս խմբում մենք իրականում խնդիրը կլուծենք առաջադրվածին հակառակ: Մենք ունեինք հավասարում, և մենք գտանք դրա արմատները՝ քայքայվելով գործոնների: Այստեղ մենք կանենք հակառակը. Ենթադրենք, մենք ունենք քառակուսի հավասարման արմատներ

Հակադարձ խնդիրը հետևյալն է. գրեք քառակուսի հավասարում այնպես, որ դրանք լինեն դրա արմատները:

Այս խնդիրը լուծելու 2 եղանակ կա.

Քանի որ հավասարման արմատներն են, ուրեմն քառակուսի հավասարում է, որի արմատներին տրված են թվեր: Այժմ բացենք փակագծերը և ստուգենք.

Սա առաջին ձևն էր, որով մենք ստեղծեցինք քառակուսի հավասարում տրված արմատներով, որը չունի այլ արմատներ, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում ունի առավելագույնը երկու արմատ:

Այս մեթոդը ներառում է հակադարձ Վիետայի թեորեմի օգտագործումը:

Եթե ​​հավասարման արմատներն են, ապա դրանք բավարարում են այն պայմանին, որ .

Կրճատված քառակուսի հավասարման համար , , այսինքն այս դեպքում , եւ .

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք քառակուսի հավասարում, որն ունի տրված արմատները։

Առաջադրանք թիվ 2

Դուք պետք է կրճատեք կոտորակը:

Մենք ունենք եռանկյուն համարիչում և եռանդամ՝ հայտարարում, և եռանդամները կարող են գործոնացվել կամ չգործել: Եթե ​​և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը գործոնացված են, ապա դրանց մեջ կարող են լինել հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել։

Առաջին հերթին անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել համարիչը։

Նախ, դուք պետք է ստուգեք, թե արդյոք այս հավասարումը կարող է գործոնավորվել, գտնել տարբերակիչը: Քանի որ , ապա նշանը կախված է արտադրյալից (պետք է 0-ից փոքր լինի), այս օրինակում, այսինքն՝ տրված հավասարումն ունի արմատներ։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Այս դեպքում, քանի որ գործ ունենք արմատների հետ, բավական դժվար կլինի պարզապես արմատներ հավաքել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ գործակիցները հավասարակշռված են, այսինքն, եթե ենթադրենք, որ և այս արժեքը փոխարինենք հավասարման մեջ, ապա ստացվում է հետևյալ համակարգը. այսինքն՝ 5-5=0։ Այսպիսով, մենք ընտրել ենք այս քառակուսի հավասարման արմատներից մեկը։

Մենք կփնտրենք երկրորդ արմատը՝ փոխարինելով այն, ինչ արդեն հայտնի է հավասարումների համակարգում, օրինակ՝ , այսինքն. .

Այսպիսով, մենք գտել ենք քառակուսի հավասարման երկու արմատները և կարող ենք փոխարինել դրանց արժեքները սկզբնական հավասարման մեջ՝ այն գործոնավորելու համար.

Հիշեք սկզբնական խնդիրը, մեզ անհրաժեշտ էր կրճատել կոտորակը:

Փորձենք լուծել խնդիրը համարիչի փոխարեն փոխարինելով .

Պետք է չմոռանալ, որ այս դեպքում հայտարարը չի կարող հավասար լինել 0-ի, այսինքն.

Եթե ​​այս պայմանները բավարարված են, ապա մենք կրճատել ենք սկզբնական կոտորակը մինչև ձևը:

Առաջադրանք թիվ 3 (առաջադրանք պարամետրով)

Պարամետրի ինչ արժեքներով է քառակուսի հավասարման արմատների գումարը

Եթե ​​այս հավասարման արմատները գոյություն ունեն, ապա , հարցն այն է, թե երբ.

Այս առցանց հաշվիչը նախատեսված է ֆունկցիայի ֆակտորիզացիայի համար:

Օրինակ՝ ֆակտորիզացնել՝ x 2 /3-3x+12: Գրենք որպես x^2/3-3*x+12: Կարող եք նաև օգտվել այս ծառայությունից, որտեղ բոլոր հաշվարկները պահվում են Word ձևաչափով։

Օրինակ՝ տարրալուծել տերմինների։ Եկեք այն գրենք որպես (1-x^2)/(x^3+x) . Լուծման առաջընթացը տեսնելու համար սեղմեք Ցույց տալ քայլերը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է արդյունքը ստանալ Word ձևաչափով, օգտվեք այս ծառայությունից:

Նշում«pi» թիվը (π) գրվում է pi ; քառակուսի արմատը որպես sqrt, օրինակ՝ sqrt(3), tg-ի շոշափողը գրվում է որպես tan: Պատասխանի համար տե՛ս «Այլընտրանք» բաժինը:

1. Եթե ​​տրված է պարզ արտահայտություն, օրինակ՝ 8*d+12*c*d, ապա արտահայտության ֆակտորավորումը նշանակում է գործոնավորել արտահայտությունը։ Դա անելու համար հարկավոր է ընդհանուր գործոններ գտնել: Այս արտահայտությունը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ 4*d*(2+3*c) .
2. Արտադրյալն արտահայտեք երկու երկանդամների տեսքով՝ x 2 + 21yz + 7xz + 3xy: Այստեղ մենք արդեն պետք է գտնենք մի քանի ընդհանուր գործոն՝ x(x + 7z) + 3y(x + 7z): Հանում ենք (x+7z) և ստանում՝ (x+7z)(x + 3y) .

տես նաև Բազմանդամների բաժանումը անկյունով (ցուցված են սյունակով բաժանման բոլոր քայլերը)

Օգտակար են ֆակտորիզացիայի կանոնները սովորելիս կրճատված բազմապատկման բանաձևեր, որով պարզ կլինի, թե ինչպես կարելի է բացել փակագծերը քառակուսիով.

1. (ա+բ) 2 = (ա+բ)(ա+բ) = ա 2 +2աբ+բ 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Ֆակտորինգի մեթոդներ

Մի քանի հնարքներ սովորելուց հետո ֆակտորիզացիալուծումները կարելի է դասակարգել հետևյալ կերպ.

1. Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
2. Որոնեք ընդհանուր գործոն:

Բերված է բազմանդամների գործոնացման 8 օրինակ։ Դրանք ներառում են քառակուսի և երկքառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ, ռեկուրսիվ բազմանդամների օրինակներ և երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների ամբողջ թվային արմատներ գտնելու օրինակներ։

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Բազմանդամների ֆակտորինգի մեթոդներ
Քառակուսային հավասարման արմատները
Խորանարդային հավասարումների լուծում

1. Քառակուսային հավասարման լուծման օրինակներ

Օրինակ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Հանեք x 2 փակագծերի համար.
.
2 + x - 6 = 0:
.
Հավասարումների արմատները.
, .

.

Օրինակ 1.2

Երրորդ աստիճանի բազմանդամի գործոնավորում.
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Փակագծերից հանում ենք x-ը.
.
Լուծում ենք x քառակուսային հավասարումը 2 + 6 x + 9 = 0:
Դրա տարբերակիչն է.
Քանի որ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա հավասարման արմատները բազմապատիկ են.
.

Այստեղից մենք ստանում ենք բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների.
.

Օրինակ 1.3

Հինգերորդ աստիճանի բազմանդամի գործակցում.
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Հանեք x 3 փակագծերի համար.
.
Լուծում ենք x քառակուսային հավասարումը 2 - 2 x + 10 = 0.
Դրա տարբերակիչն է.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, հավասարման արմատները բարդ են.
, .

Բազմանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է իրական գործակիցներով ֆակտորինգը, ապա.
.

Բանաձևերի միջոցով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Երկ քառակուսի բազմանդամների օրինակներ

Օրինակ 2.1

Գործոնացնել երկքառակուսի բազմանդամը.
x 4 + x 2 - 20.

Կիրառեք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Օրինակ 2.2

Բազմանդամի ֆակտորինգ, որը վերածվում է երկքառակորդի.
x 8 + x 4 + 1.

Կիրառեք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Օրինակ 2.3 ռեկուրսիվ բազմանդամով

Ռեկուրսիվ բազմանդամի գործոնավորում.
.

Ռեկուրսիվ բազմանդամն ունի կենտ աստիճան։ Հետևաբար այն ունի արմատ x = - 1 . Բազմանդամը բաժանում ենք x-ի (-1) = x + 1. Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.
Մենք կատարում ենք փոխարինում.
, ;
;


;
.

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Օրինակ 3.1

Բազմանդամի գործակցում.
.

Ենթադրենք հավասարումը

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Այսպիսով, մենք գտանք երեք արմատ.
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Քանի որ սկզբնական բազմանդամը երրորդ աստիճանի է, այն չունի ավելի քան երեք արմատ։ Քանի որ մենք գտել ենք երեք արմատ, դրանք պարզ են: Հետո
.

Օրինակ 3.2

Բազմանդամի գործակցում.
.

Ենթադրենք հավասարումը

ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Ապա դա թվի բաժանարարն է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
-2, -1, 1, 2 .
Փոխարինեք այս արժեքները մեկ առ մեկ.
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ.
x 1 = -1 .
Բազմանդամը բաժանում ենք x - x-ի 1 = x - (-1) = x + 1:


Հետո,
.

Այժմ մենք պետք է լուծենք երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինող x = -1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x 2 = -1 . Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները.
.