Fibonači skaitļi - skaitliska secība, kurā katrs nākamais sērijas loceklis ir vienāds ar divu iepriekšējo daļu summu, tas ir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 , 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 75025,.. 347875928, 347875920 980000,.. 42229701564 9625,.. 19581068021641812000,.. dažādi profesionāli zinātnieki un matemātikas amatieri.

1997. gadā vairākas dīvainas sērijas iezīmes aprakstīja pētnieks Vladimirs Mihailovs, kurš bija pārliecināts, ka daba (arī Cilvēks) attīstās saskaņā ar likumiem, kas ir noteikti šajā skaitliskā secībā.

Ievērojama Fibonači skaitļu sērijas īpašība ir tāda, ka, palielinoties rindas skaitļiem, divu blakus esošo šīs rindas locekļu attiecība asimptotiski tuvojas precīzai Zelta griezuma proporcijai (1: 1,618) - skaistuma un harmonijas pamatam. daba mums apkārt, arī cilvēku attiecībās.

Ņemiet vērā, ka pats Fibonači atklāja savu slaveno sēriju, pārdomājot problēmu par to trušu skaitu, kuriem vajadzētu piedzimt no viena pāra viena gada laikā. Izrādījās, ka katrā nākamajā mēnesī pēc otrā trušu pāru skaits precīzi seko digitālajai sērijai, kas tagad nes viņa vārdu. Tāpēc nav nejaušība, ka cilvēks pats ir sakārtots pēc Fibonači sērijas. Katrs orgāns ir sakārtots atbilstoši iekšējai vai ārējai dualitātei.

Fibonači skaitļi ir piesaistījuši matemātiķus, jo tie spēj parādīties visnegaidītākajās vietās. Ir novērots, piemēram, ka Fibonači skaitļu attiecības, ņemtas caur vienu, atbilst leņķim starp blakus esošajām lapām uz augu stumbra, precīzāk, tie saka, cik liela ir šī leņķa pagrieziena proporcija: 1/2 - gobai un liepai, 1/3 - dižskābarža, 2/5 - ozolam un ābelei, 3/8 - papelei un rozei, 5/13 - vītolam un mandelēm uc Tos pašus skaitļus atradīsi, skaitot sēklas saulespuķu spirālēs, no diviem spoguļiem atstaroto staru skaitā, iespēju skaitā, kā bites rāpot no vienas šūnas uz otru, daudzās matemātiskās spēlēs un trikos.

Kāda ir atšķirība starp Zelta proporcijas spirāli un Fibonači spirāli? Zelta griezuma spirāle ir ideāla. Tas atbilst primārajam harmonijas avotam. Šai spirālei nav ne sākuma, ne beigu. Viņa ir bezgalīga. Fibonači spirālei ir sākums, no kura tā sāk “attīties”. Tas ir ļoti svarīgs īpašums. Tas ļauj Dabai pēc nākamā slēgtā cikla veikt jaunas spirāles uzbūvi no “nulles”.

Jāteic, ka Fibonači spirāle var būt dubultā. Visur ir atrodami daudzi šo dubulto spirāļu piemēri. Tātad saulespuķu spirāles vienmēr korelē ar Fibonači sēriju. Pat parastā priežu čiekurā var redzēt šo dubulto Fibonači spirāli. Pirmā spirāle iet vienā virzienā, otrā - otrā. Ja saskaitām skalu skaitu spirālē, kas griežas vienā virzienā, un skalu skaitu otrā spirālē, mēs varam redzēt, ka tie vienmēr ir divi secīgi Fibonači sērijas skaitļi. Šo spirāļu skaits ir 8 un 13. Saulespuķēs ir spirāļu pāri: 13 un 21, 21 un 34, 34 un 55, 55 un 89. Un no šiem pāriem nav nekādu noviržu!..

Cilvēkam somatisko šūnu hromosomu komplektā (no tiem ir 23 pāri) iedzimto slimību avots ir 8, 13 un 21 hromosomu pāris ...

Bet kāpēc šim seriālam ir izšķiroša loma dabā? Trīskāršības jēdziens, kas nosaka tās pašsaglabāšanās nosacījumus, var sniegt izsmeļošu atbildi uz šo jautājumu. Ja triādes "interešu līdzsvaru" pārkāpj kāds no tās "partneriem", abu pārējo "partneru" "viedokļi" ir jālabo. Trīskāršības jēdziens īpaši skaidri izpaužas fizikā, kur no kvarkiem tika uzbūvētas “gandrīz” visas elementārdaļiņas. Ja atceramies, ka kvarka daļiņu frakcionēto lādiņu attiecības veido virkni, un tie ir pirmie Fibonači sērijas locekļi, kas nepieciešami, lai veidotu citus elementārdaļiņas.

Iespējams, ka Fibonači spirālei var būt arī izšķiroša loma hierarhisko telpu ierobežotības un noslēgtības modeļa veidošanā. Patiešām, iedomājieties, ka kādā evolūcijas posmā Fibonači spirāle ir sasniegusi pilnību (tā ir kļuvusi neatšķirama no zelta griezuma spirāles), un šī iemesla dēļ daļiņa ir jāpārveido nākamajā "kategorijā".

Šie fakti vēlreiz apstiprina, ka dualitātes likums dod ne tikai kvalitatīvus, bet arī kvantitatīvus rezultātus. Tie liek mums domāt, ka makrokosmoss un mikrokosmoss mums apkārt attīstās saskaņā ar vieniem un tiem pašiem likumiem – hierarhijas likumiem un ka šie likumi ir vienādi gan dzīvajai, gan nedzīvajai matērijai.

Tas viss norāda, ka Fibonači skaitļu sērija ir sava veida šifrēts dabas likums.

Civilizācijas attīstības digitālo kodu var noteikt, izmantojot dažādas metodes numeroloģijā. Piemēram, pārvēršot kompleksos skaitļus viencipara skaitļos (piemēram, 15 ir 1+5=6 utt.). Veicot līdzīgu saskaitīšanas procedūru ar visiem Fibonači sērijas kompleksajiem skaitļiem, Mihailovs saņēma šādas šo skaitļu sērijas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8. , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, tad viss atkārtojas 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. un atkārtojas vēl un vēl... Šai sērijai ir arī Fibonači sērijas īpašības, katrs bezgalīgi nākamais termins ir vienāds ar iepriekšējo summu. Piemēram, 13. un 14. terminu summa ir 15, t.i. 8 un 8=16, 16=1+6=7. Izrādās, ka šī sērija ir periodiska, ar 24 terminu periodu, pēc kura atkārtojas visa skaitļu secība. Saņēmis šo periodu, Mihailovs izvirzīja interesantu pieņēmumu - 24 ciparu kopa nav sava veida digitālais kods civilizācijas attīstība?publicēts

P.S. Un atceries, tikai mainot savu apziņu – kopā mēs mainām pasauli! © econet

Pirms kāda laika solīju komentēt Tolkačova teikto, ka Sanktpēterburga celta pēc Zelta griezuma principa, bet Maskava - pēc simetrijas principa un tāpēc arī šo divu pilsētu uztveres atšķirības. ir tik sataustāmi, un tāpēc pēterburgietim, ierodoties Maskavā, "slimst galva", bet maskavietim "slimst galva", kad viņš ierodas Sanktpēterburgā. Paiet zināms laiks, lai pielāgotos pilsētai (kā lidojot uz štatiem - ar laiku jāpielāgojas).

Fakts ir tāds, ka mūsu acs izskatās - izjūtot telpu ar noteiktu acu kustību palīdzību - saccades (tulkojumā - buru plaksts). Acs izdara "spraudienu" un nosūta signālu smadzenēm "notikusi saķere ar virsmu. Viss ir kārtībā. Tā ir informācija." Un acs dzīves laikā pierod pie noteikta šo sakāžu ritma. Un, kad šis ritms krasi mainās (no pilsētas ainavas uz mežu, no Zelta sekcijas līdz simetrijai), tad, lai pārkonfigurētu, ir nepieciešams smadzeņu darbs.

Tagad sīkāka informācija:
ZS definīcija ir segmenta sadalīšana divās daļās tādā proporcijā, ka lielākā daļa ir saistīta ar mazāko, jo to summa (viss segments) ir ar lielāko.

Tas ir, ja mēs ņemam visu segmentu c kā 1, tad segments a būs vienāds ar 0,618, segments b - 0,382. Tātad, ja mēs ņemam ēku, piemēram, templi, kas celta pēc GS principa, tad ar tā augstumu, teiksim, 10 metri, bungas augstums ar kupolu būs 3,82 cm, bet pamatnes augstums. no ēkas būs 6,18 cm. (Skaidrs, ka skaitļi, kurus es pieņēmu, ir vienādi skaidrības labad)

Un kāda ir saistība starp GL un Fibonači skaitļiem?

Fibonači kārtas numuri ir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Skaitļu modelis ir tāds, ka katrs nākamais skaitlis ir vienāds ar divu iepriekšējo skaitļu summu.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 utt.

un blakus esošo skaitļu attiecība tuvojas attiecībai 3S.
Tātad 21:34 = 0,617 un 34:55 = 0,618.

Tas ir, ZS pamatā ir Fibonači secības skaitļi.
Šis video vēlreiz skaidri parāda šo saistību starp AP un Fibonači skaitļiem

Kur vēl satiekas AP princips un Fibonači kārtas numuri?

Augu lapas apraksta Fibonači secība. Pēc Fibonači secības sakārtotas arī saulespuķu sēklas, priežu čiekuri, ziedu ziedlapiņas, ananāsu šūnas.

putnu ola

Cilvēka pirkstu falangu garums ir aptuveni tāds pats kā Fibonači skaitļiem. Zelta griezums ir redzams sejas proporcijās.

Emīls Rozenovs pētījis ZS baroka un klasicisma laikmeta mūzikā, kā piemēru izmantojot Baha, Mocarta, Bēthovena darbus.

Ir zināms, ka Sergejs Eizenšteins mākslīgi uzbūvēja filmu "Kaujas kuģis Potjomkins" saskaņā ar Likumdošanas asamblejas noteikumiem. Viņš salauza lenti piecās daļās. Pirmajos trijos darbība attīstās uz kuģa. Pēdējās divās - Odesā, kur risinās sacelšanās. Šī pāreja uz pilsētu notiek tieši zelta griezuma punktā. Jā, un katrā daļā ir pagrieziena punkts, kas notiek saskaņā ar zelta griezuma likumu. Kadrā, ainā, epizodē ir zināms lēciens tēmas attīstībā: sižets, noskaņa. Eizenšteins uzskatīja, ka, tā kā šāda pāreja ir tuvu zelta griezuma punktam, tā tiek uztverta kā dabiskākā un dabiskākā.

Izmantojot GS, tiek veidoti daudzi dekoratīvie elementi, kā arī fonti. Piemēram, A. Dīrera fonts (attēlā burts “A”)

Tiek uzskatīts, ka terminu "zelta attiecība" ieviesa Leonardo Da Vinči, kurš teica: "Lai neviens, nebūdams matemātiķis, neuzdrošinās lasīt manus darbus" un parādīja proporcijas. cilvēka ķermenis savā slavenajā zīmējumā "Vitruvian Man". "Ja mēs piesienam cilvēka figūru - vispilnīgāko Visuma radījumu - ar jostu un pēc tam izmērām attālumu no jostas līdz pēdām, tad šī vērtība attieksies uz attālumu no tās pašas jostas līdz galvas augšdaļai, kā visā cilvēka augumā līdz garumam no jostas līdz pēdām.

Slavenais Monas Lizas jeb Džokondas portrets (1503) tapis pēc zelta trīsstūru principa.

Stingri sakot, pati zvaigzne jeb pentaklis ir AP konstrukcija.

Fibonači skaitļu sērija ir vizuāli modelēta (materializēta) spirāles formā

Un dabā 3S spirāle izskatās šādi:

Tajā pašā laikā spirāle tiek novērota visur(dabā un ne tikai):
- Sēklas lielākajā daļā augu ir sakārtotas spirālē
- Zirneklis auž tīklu spirālē
- Viesuļvētra spirālē
- Nobijies ziemeļbriežu bars izklīst pa spirāli.
- DNS molekula ir savīti dubultā spirālē. DNS molekula sastāv no divām vertikāli savītām spirālēm, kuru garums ir 34 angstremi un 21 angstremu platums. Cipari 21 un 34 seko viens otram Fibonači secībā.
- Embrijs attīstās spirāles formā
- Spirālveida "gliemenes iekšējā ausī"
- Ūdens pa spirāli iet pa kanalizāciju
- Spirālveida dinamika parāda cilvēka personības un viņa vērtību attīstību spirālē.
- Un, protams, pašai Galaxy ir spirāles forma

Līdz ar to var apgalvot, ka pati daba ir veidota pēc Zelta griezuma principa, tāpēc šo proporciju cilvēka acs uztver harmoniskāk. Tas neprasa "salabot" vai papildināt iegūto pasaules ainu.

Tagad par zelta griezumu arhitektūrā

Heopsa piramīda attēlo GS proporcijas. (Man patīk fotogrāfija - ar Sfinksu, kas nokaisīta ar smiltīm).

Pēc Lekorbizjē teiktā, reljefā no faraona Seti I tempļa Abidosā un reljefā, kurā attēlots faraons Ramzess, figūru proporcijas atbilst zelta griezumam. Arī sengrieķu Partenona tempļa fasādei ir zelta proporcijas.

Parīzes Dievmātes katedrāle Parīzē, Francijā.

Viena no izcilākajām celtnēm, kas veidota pēc AP principa, ir Smoļnijas katedrāle Sanktpēterburgā. Uz katedrāli gar malām ved divi celiņi, un, ja pa tām tuvojas katedrālei, tad tā it kā paceļas gaisā.

Maskavā ir arī ēkas, kas izgatavotas, izmantojot ZS. Piemēram, Svētā Bazilika katedrāle

Tomēr dominē ēkas, kurās tiek izmantoti simetrijas principi.
Piemēram, Kremlis un Spasskaya tornis.

Kremļa mūru augstums arī nekur neatspoguļo AP principu attiecībā uz, piemēram, torņu augstumu. Vai arī dodieties uz viesnīcu Krievija vai Cosmos.

Tajā pašā laikā Sanktpēterburgā procentuāli lielāku īpatsvaru veido pēc AP principa celtās ēkas, savukārt tās ir ielu ēkas. Liteiny avēnija.

Tādējādi zelta attiecība izmanto attiecību 1,68, un simetrija ir 50/50.
Tas ir, simetriskas ēkas tiek būvētas pēc pušu vienlīdzības principa.

Vēl viena svarīga GS īpašība ir tā dinamisms un vēlme izvērsties, pateicoties Fibonači skaitļu secībai. Savukārt simetrija, gluži pretēji, apzīmē stabilitāti, stabilitāti un nekustīgumu.

Turklāt papildu ZS ievieš Pētera plānā ūdens telpu pārpilnību, kas plūst pāri pilsētai un diktē pilsētas pakļautību saviem līkumiem. Un pati Pētera shēma vienlaikus atgādina spirāli vai embriju.

Pāvests gan izteica atšķirīgu versiju, kāpēc maskaviešiem un Sanktpēterburgas iedzīvotājiem “sāp galva”, apmeklējot galvaspilsētas. Pāvests to saista ar pilsētu enerģijām:
Sanktpēterburga - ir vīrišķīgs dzimums un attiecīgi vīrišķās enerģijas,
Nu, Maskava - attiecīgi - sieviete un tajā ir sievišķīgas enerģijas.

Tātad galvaspilsētu iedzīvotājiem, kuri ir noskaņojušies uz savu noteiktu sievišķā un vīrišķā līdzsvara līdzsvaru savā ķermenī, ir grūti atjaunoties, viesojoties kaimiņu pilsētā, un kādam var rasties grūtības ar vienas vai otras enerģijas uztveri, un tāpēc kaimiņu pilsēta var nebūt iemīlējusies!

Atbalstot šo versiju, arī teikts, ka viss Krievijas ķeizarienes tieši Pēterburgā viņi valdīja, kamēr Maskava redzēja tikai vīriešu kārtas carus!

Izmantotie resursi.

Kanalieva Dana

Šajā rakstā mēs esam pētījuši un analizējuši Fibonači secības skaitļu izpausmi apkārtējā realitātē. Mēs esam atklājuši pārsteidzošu matemātisko saistību starp spirāļu skaitu augos, zaru skaitu jebkurā horizontālā plaknē un skaitļiem Fibonači secībā. Mēs arī redzējām stingru matemātiku cilvēka struktūrā. Cilvēka DNS molekula, kurā ir šifrēta visa cilvēka attīstības programma, elpošanas sistēma, auss uzbūve - viss pakļaujas noteiktām skaitliskām attiecībām.

Mēs esam redzējuši, ka dabai ir savi likumi, kas izteikti ar matemātikas palīdzību.

Un matemātika ir ļoti svarīgs mācību līdzeklis dabas noslēpumi.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

MBOU "Pervomaiskaya vidusskola"

Orenburgas apgabala Orenburgas rajons

PĒTNIECĪBA

"Ciparu mīkla

Fibonači"

Pabeidza: Kanalieva Dana

6. klases skolnieks

Zinātniskais padomnieks:

Gazizova Valērija Valerievna

Augstākās kategorijas matemātikas skolotājs

n. Eksperimentāls

2012. gads

Paskaidrojuma piezīme…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ievads. Fibonači skaitļu vēsture…………………………………………………………… 4.

1. nodaļa. Fibonači skaitļi savvaļas dabā.......……. ……………………………………… 5.

2. nodaļa. Fibonači spirāle................................................ .. ........………………… 9.

3. nodaļa. Fibonači skaitļi cilvēku izgudrojumos .........……………………………….

4. nodaļa. Mūsu pētījumi……………………………………………………………………………………………….

5. nodaļa. Secinājumi, secinājumi…………………………………………………………………

Izmantotās literatūras un interneta vietņu saraksts…………………………………………..21.

Pētījuma objekts:

Cilvēks, cilvēka radītās matemātiskās abstrakcijas, cilvēka izgudrojumi, apkārtējā flora un fauna.

Studiju priekšmets:

pētāmo objektu un parādību forma un struktūra.

Pētījuma mērķis:

pētīt Fibonači skaitļu izpausmes un ar to saistītās zelta griezuma likumus dzīvo un nedzīvu objektu struktūrā,

atrodiet Fibonači skaitļu izmantošanas piemērus.

Darba uzdevumi:

Aprakstiet, kā izveidot Fibonači sēriju un Fibonači spirāli.

Skatiet matemātiskos modeļus cilvēka struktūrā, flora un nedzīvā daba no Zelta griezuma fenomena viedokļa.

Pētījuma jaunums:

Fibonači skaitļu atklāšana mums apkārtējā realitātē.

Praktiskā nozīme:

Izmantojot iegūtās zināšanas un prasmes pētnieciskais darbs apgūstot citus skolas priekšmetus.

Prasmes un iemaņas:

Eksperimenta organizēšana un veikšana.

Speciālās literatūras izmantošana.

Apgūt spēju pārskatīt savākto materiālu (referāts, prezentācija)

Darba reģistrācija ar rasējumiem, diagrammām, fotogrāfijām.

Aktīva līdzdalība sava darba apspriešanā.

Pētījuma metodes:

empīrisks (novērojums, eksperiments, mērījums).

teorētiskais (loģisks zināšanu posms).

Paskaidrojuma piezīme.

"Cipari valda pār pasauli! Skaitlis ir spēks, kas valda pār dieviem un mirstīgajiem!” - tā teica senie pitagorieši. Vai šis Pitagora mācības pamats mūsdienās ir aktuāls? Studējot skaitļu zinātni skolā, mēs vēlamies pārliecināties, vai visa Visuma parādības patiešām ir pakļautas noteiktām skaitliskām attiecībām, lai atrastu šo neredzamo saikni starp matemātiku un dzīvi!

Vai tiešām katrā ziedā,

Gan molekulā, gan galaktikā,

Skaitliskie raksti

Šī stingrā "sausā" matemātika?

Mēs pievērsāmies mūsdienīgam informācijas avotam - internetam un lasījām par Fibonači skaitļiem, par burvju skaitļiem, kas ir pilni ar lielu noslēpumu. Izrādās, šie skaitļi atrodami saulespuķēs un priežu čiekuros, spāru spārnos un jūras zvaigznēs, cilvēka sirds ritmos un mūzikas ritmos...

Kāpēc šī skaitļu secība ir tik izplatīta mūsu pasaulē?

Mēs vēlējāmies uzzināt par Fibonači skaitļu noslēpumiem. Šis pētnieciskais darbs ir mūsu darba rezultāts.

Hipotēze:

mums apkārtējā realitātē viss ir uzbūvēts pēc pārsteidzoši harmoniskiem likumiem ar matemātisku precizitāti.

Visu pasaulē ir pārdomājis un aprēķinājis mūsu svarīgākais dizainers - Daba!

Ievads. Fibonači sērijas vēsture.

Apbrīnojamus skaitļus atklāja viduslaiku itāļu matemātiķis Leonardo no Pizas, labāk pazīstams kā Fibonači. Ceļojot pa Austrumiem, viņš iepazinās ar arābu matemātikas sasniegumiem un veicināja to pārcelšanu uz Rietumiem. Vienā no saviem darbiem ar nosaukumu "Aprēķinu grāmata" viņš Eiropai prezentēja vienu no lielākajiem atklājumiem visu laiku un tautu – decimālo skaitļu sistēma.

Kādu dienu viņš neizpratnē par vienu risinājumu matemātiska problēma. Viņš mēģināja izveidot formulu, kas apraksta trušu audzēšanas secību.

Risinājums bija numuru sērija, kura katrs nākamais skaitlis ir divu iepriekšējo summu summa:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Skaitļus, kas veido šo secību, sauc par "Fibonači skaitļiem", bet pašu secību sauc par Fibonači secību.

"Un ko tad?" - jūs teiksiet: "Vai mēs paši varam izdomāt līdzīgas skaitliskās rindas, kas aug atbilstoši noteiktai progresijai?" Patiešām, kad parādījās Fibonači sērija, nevienam, tostarp viņam pašam, nebija aizdomas, cik tuvu viņam izdevās pietuvoties viena no lielākajiem Visuma noslēpumiem!

Fibonači dzīvoja savrupu dzīvi, daudz laika pavadīja dabā un, pastaigājoties mežā, pamanīja, ka šie skaitļi viņu burtiski sāka vajāt. Visur dabā viņš atkal un atkal satika šos skaitļus. Piemēram, augu ziedlapiņas un lapas stingri iekļaujas noteiktā skaitļu sērijā.

Fibonači skaitļos ir interesanta iezīme: koeficients no nākamā Fibonači skaitļa dalīšanas ar iepriekšējo, pašiem skaitļiem augot, ir 1,618. Tas bija šis nemainīgais dalījuma skaitlis, ko viduslaikos sauca par dievišķo proporciju, un tagad to dēvē par zelta griezumu vai zelta attiecību.

Algebrā šis skaitlis tiek apzīmēts ar grieķu burtu phi (Ф)

Tātad φ = 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Neatkarīgi no tā, cik reizes mēs dalām vienu ar otru, blakus esošo skaitli, mēs vienmēr saņemsim 1,618. Un, ja mēs rīkojamies pretēji, tas ir, mēs sadalām mazāko skaitli ar lielāko, mēs iegūstam 0,618, tas ir 1,618 apgrieztā vērtība, ko sauc arī par zelta griezumu.

Fibonači sērija varēja palikt tikai matemātisks incidents, ja vien visi zelta dalījuma pētnieki augu un dzīvnieku pasaulē, nemaz nerunājot par mākslu, vienmēr nonāktu pie šīs sērijas kā zelta dalījuma likuma aritmētiskā izteiksme. .

Zinātnieki, analizējot šīs skaitļu sērijas turpmāko pielietojumu dabas parādībām un procesiem, atklāja, ka šie skaitļi ir burtiski visos savvaļas objektos, augos, dzīvniekos un cilvēkos.

Pārsteidzoša matemātikas rotaļlieta izrādījās unikāls kods, kas iestrādāts visā dabas objekti pats Visuma Radītājs.

Apsveriet piemērus, kur Fibonači skaitļi ir atrodami dzīvā un nedzīvā dabā.

Fibonači skaitļi savvaļas dzīvniekiem.

Ja paskatās uz augiem un kokiem mums apkārt, var redzēt, cik lapu katram ir. No tālienes šķiet, ka zari un lapas uz augiem ir sakārtotas nejauši, patvaļīgā secībā. Taču visos augos brīnumaini, matemātiski precīzi izplānots, kurš zars no kurienes izaugs, kā zari un lapas atradīsies pie stumbra vai stumbra. Jau no pirmās parādīšanās dienas augs savā attīstībā precīzi ievēro šos likumus, tas ir, nejauši neparādās neviena lapa, neviens zieds. Pat pirms auga izskats jau ir precīzi ieprogrammēts. Cik zaru būs topošajam kokam, kur augs zari, cik lapu būs uz katra zara un kā, kādā secībā lapas tiks sakārtotas. Sadarbība botāniķi un matemātiķi atklāj šīs apbrīnojamās dabas parādības. Izrādījās, ka lapu izvietojumā uz zara (filotaksi), apgriezienu skaitā uz stublāja, lapu skaitā ciklā izpaužas Fibonači sērija, un līdz ar to arī zelta griezuma likums. izpaužas.

Ja jūs meklējat savvaļas dzīvnieku skaitliskos modeļus, jūs ievērosiet, ka šie skaitļi bieži sastopami dažādās spirālveida formās, ar kurām augu pasaule ir tik bagāta. Piemēram, lapu spraudeņi piekļaujas kātam spirālē, kas stiepjas starp tāmdivas blakus esošās lapas:pilns pagrieziens - pie lazdas,- pie ozola - pie papeles un bumbieres,- pie vītola.

Saulespuķu, Echinacea purpurea un daudzu citu augu sēklas ir izkārtotas spirālēs, un spirāļu skaits katrā virzienā ir Fibonači skaitlis.

Saulespuķe, 21 un 34 spirāles. Echinacea, 34 un 55 spirāles.

Arī uz skaidru, simetrisku ziedu formu attiecas stingrs likums.

Daudziem ziediem ir ziedlapu skaits - tieši tādi skaitļi no Fibonači sērijas. Piemēram:

varavīksnene, 3 lep. sviests, 5 lep. zelta zieds, 8 lep. delphinium,

13 lep.

cigoriņi, 21 lep. aster, 34 lep. margrietiņas, 55 lep.

Fibonači sērija raksturo strukturālā organizācija daudzas dzīvas sistēmas.

Mēs jau teicām, ka blakus esošo skaitļu attiecība Fibonači sērijā ir skaitlis φ = 1,618. Izrādās, ka vīrietis pats ir tikai skaitļa phi krātuve.

Dažādu mūsu ķermeņa daļu proporcijas veido skaitli, kas ir ļoti tuvu zelta griezumam. Ja šīs proporcijas sakrīt ar zelta griezuma formulu, tad tiek uzskatīts, ka cilvēka izskats vai ķermenis ir ideāli uzbūvēts. Cilvēka ķermeņa zelta mēra aprēķināšanas principu var attēlot diagrammas veidā.

M/m = 1,618

Pirmais zelta griezuma piemērs cilvēka ķermeņa struktūrā:

Ja par cilvēka ķermeņa centru ņemam nabas punktu un par mērvienību attālumu starp cilvēka pēdu un nabas punktu, tad cilvēka augums ir līdzvērtīgs skaitlim 1,618.

Cilvēka roka

Pietiek tikai tagad pievilkt plaukstu sev tuvāk un uzmanīgi aplūkot rādītājpirkstu, un tajā uzreiz atradīsi zelta griezuma formulu. Katrs mūsu rokas pirksts sastāv no trim falangām.
Pirksta pirmo divu falangu summa attiecībā pret visu pirksta garumu dod zelta griezumu (izņemot īkšķi).

Turklāt attiecība starp vidējo un mazo pirkstu arī ir vienāda ar zelta griezumu.

Cilvēkam ir 2 rokas, katras rokas pirksti sastāv no 3 falangām (izņemot īkšķi). Katrai rokai ir 5 pirksti, tas ir, kopā 10, bet, izņemot divus divu falangu īkšķus, pēc zelta griezuma principa tiek izveidoti tikai 8 pirksti. Tā kā visi šie skaitļi 2, 3, 5 un 8 ir Fibonači secības skaitļi.

Zelta griezums cilvēka plaušu struktūrā

Amerikāņu fiziķis B.D.Vests un doktors A.L. Goldbergers fizisko un anatomisko pētījumu laikā atklāja, ka zelta griezums pastāv arī cilvēka plaušu struktūrā.

Bronhu, kas veido cilvēka plaušas, īpatnība slēpjas to asimetrijā. Bronhus veido divi galvenie elpceļi, viens (pa kreisi) ir garāks, bet otrs (labais) ir īsāks.

Tika konstatēts, ka šī asimetrija turpinās bronhu zaros, visos mazākajos elpceļos. Turklāt īso un garo bronhu garuma attiecība ir arī zelta attiecība un ir vienāda ar 1:1,618.

Mākslinieki, zinātnieki, modes dizaineri, dizaineri veic savus aprēķinus, zīmējumus vai skices, pamatojoties uz zelta griezuma attiecību. Tie izmanto mērījumus no cilvēka ķermeņa, kas arī izveidoti pēc zelta griezuma principa. Leonardo Da Vinči un Le Korbizjē pirms savu šedevru radīšanas ņēma cilvēka ķermeņa parametrus, kas izveidoti saskaņā ar Zelta koeficienta likumu.
Ir vēl viens, prozaiskāks cilvēka ķermeņa proporciju pielietojums. Piemēram, izmantojot šīs attiecības, noziedzīgie analītiķi un arheologi atjauno kopuma izskatu no cilvēka ķermeņa daļu fragmentiem.

Zelta proporcijas DNS molekulas struktūrā.

Visa informācija par fizioloģiskās īpašības dzīvās būtnes, vai tas būtu augs, dzīvnieks vai cilvēks, glabājas mikroskopiskā DNS molekulā, kuras struktūrā ir arī zelta griezuma likums. DNS molekula sastāv no divām vertikāli savītām spirālēm. Katra no šīm spirālēm ir 34 angstrēmu gara un 21 angstremu plata. (1 angstroms ir simtmiljonā centimetra daļa).

Tātad 21 un 34 ir skaitļi, kas seko viens pēc otra Fibonači skaitļu secībā, tas ir, DNS molekulas logaritmiskās spirāles garuma un platuma attiecībai ir zelta griezuma formula 1: 1,618.

No likteņa paklausības skaitlim phi neizbēga ne tikai stāvus staigulīši, bet arī visi tie, kas peld, rāpo, lido un lec. Cilvēka sirds muskulis saraujas līdz 0,618 no tā tilpuma. Gliemeža čaumalas struktūra atbilst Fibonači proporcijām. Un tādu piemēru ir gana - būtu vēlme izpētīt dabas objektus un procesus. Pasaule ir tik caurstrāvota ar Fibonači skaitļiem, ka dažkārt šķiet, ka Visumu var izskaidrot tikai ar tiem.

Fibonači spirāle.

Matemātikā nav citas formas, kam būtu tādas pašas unikālas īpašības kā spirālei, jo
Spirāles struktūra ir balstīta uz Zelta sekcijas likumu!

Lai saprastu spirāles matemātisko uzbūvi, atkārtosim, kas ir Zelta attiecība.

Zelta attiecība ir tāds proporcionāls segmenta dalījums nevienlīdzīgās daļās, kurā viss segments ir saistīts ar lielāko daļu tāpat kā pati lielākā daļa ir saistīta ar mazāko jeb, citiem vārdiem sakot, mazāko. segments ir saistīts ar lielāko, jo lielākais ir ar visu.

Tas ir, (a + b) / a = a / b

Taisnstūri ar tieši šādu malu attiecību sauca par zelta taisnstūri. Tās garās malas ir saistītas ar īsajām malām attiecībā 1,168:1.
Zelta taisnstūrim ir daudz neparastu īpašību. No zelta taisnstūra nogriež kvadrātu, kura mala ir vienāda ar taisnstūra mazāko malu,

mēs atkal iegūstam mazāku zelta taisnstūri.

Šo procesu var turpināt bezgalīgi. Turpinot griezt kvadrātus, mēs iegūsim arvien mazākus zelta taisnstūrus. Turklāt tie atradīsies logaritmiskā spirālē, kas ir svarīgi dabas objektu matemātiskajos modeļos.

Piemēram, spirālveida formu var redzēt arī saulespuķu sēklu izkārtojumā, ananāsos, kaktusos, rožu ziedlapu struktūrā utt.

Mūs pārsteidz un iepriecina gliemežvāku spirālveida struktūra.

Lielākajai daļai gliemežu, kam ir čaumalas, čaula aug spirālveida formā. Tomēr nav šaubu, ka šīm nesaprātīgajām būtnēm ne tikai nav ne jausmas par spirāli, bet arī nav pat visvienkāršāko matemātisku zināšanu, lai izveidotu sev spirāles apvalku.
Bet kā tad šīs nesaprātīgās būtnes varēja pašas noteikt un izvēlēties ideālo izaugsmes un eksistences formu spirālveida apvalka formā? Vai šīs dzīvās radības, kuras zinātniskā pasaule dēvē par primitīvām dzīvības formām, varēja aprēķināt, ka čaulas spirālveida forma būtu ideāla viņu eksistencei?

Mēģināt šādas pat primitīvākās dzīvības formas izcelsmi izskaidrot ar nejaušu dabisku apstākļu sakritību ir vismaz absurds. Skaidrs, ka šis projekts ir apzināta radīšana.

Spirāles ir arī cilvēkā. Ar spirāļu palīdzību mēs dzirdam:

Tāpat cilvēka iekšējā ausī atrodas orgāns Cochlea ("Gliemeža"), kas veic skaņas vibrācijas pārraides funkciju. Šī kaulam līdzīgā struktūra ir piepildīta ar šķidrumu un izveidota gliemeža formā ar zelta proporcijām.

Spirāles atrodas uz mūsu plaukstām un pirkstiem:

Dzīvnieku valstībā mēs varam atrast arī daudzus spirāļu piemērus.

Dzīvnieku ragi un ilkņi attīstās spirālveida formā, lauvu nagi un papagaiļu knābji ir logaritmiskas formas un atgādina ass formu, kas mēdz pārvērsties spirālē.

Interesanti, ka spirālē griežas viesuļvētra, ciklona mākoņi, un tas ir skaidri redzams no kosmosa:

Okeāna un jūras viļņos spirāli var matemātiski attēlot ar punktiem 1,1,2,3,5,8,13,21,34 un 55.

Ikviens atpazīs arī šādu “ikdienišķu” un “prozaisku” spirāli.

Galu galā ūdens no vannas istabas plūst spirālē:

Jā, un mēs dzīvojam spirālē, jo galaktika ir spirāle, kas atbilst Zelta griezuma formulai!

Tātad, mēs noskaidrojām, ka, ja ņemam zelta taisnstūri un sadalām to mazākos taisnstūrosprecīzā Fibonači secībā un pēc tam sadalot katru no tām šādās proporcijās atkal un atkal, jūs iegūstat sistēmu, ko sauc par Fibonači spirāli.

Mēs atradām šo spirāli visnegaidītākajos objektos un parādībās. Tagad ir skaidrs, kāpēc spirāli sauc arī par "dzīves līkni".
Spirāle ir kļuvusi par evolūcijas simbolu, jo viss attīstās pa spirāli.

Fibonači skaitļi cilvēku izgudrojumos.

Izlūruši no dabas likumu, ko pauž Fibonači skaitļu secība, zinātnieki un mākslas cilvēki cenšas to atdarināt, iemiesot šo likumu savos darbos.

Phi proporcija ļauj izveidot glezniecības šedevrus, kompetenti pielāgot arhitektūras struktūras telpā.

Ne tikai zinātnieki, bet arī arhitekti, dizaineri un mākslinieki ir pārsteigti par šo nevainojamo spirāli pie nautilus čaumalas,

aizņem vismazāko vietu un nodrošina vismazākos siltuma zudumus. Iedvesmojoties no “camera nautilus” piemēra, kas ļauj maksimāli izmantot minimālo vietu, amerikāņu un taizemiešu arhitekti ir aizņemti, izstrādājot atbilstošus dizainus.

Kopš neatminamiem laikiem Zelta koeficienta proporcija tika uzskatīta par augstāko pilnības, harmonijas un pat dievišķuma proporciju. Zelta griezumu var atrast skulptūrās un pat mūzikā. Piemērs ir Mocarta muzikālie darbi. Pat akciju cenas un ebreju alfabēts satur zelta griezumu.

Taču mēs vēlamies pakavēties pie unikāla efektīvas saules enerģijas iekārtas izveides piemēra. Amerikāņu skolnieks no Ņujorkas Aidans Dvaiers apkopoja savas zināšanas par kokiem un atklāja, ka saules elektrostaciju efektivitāti var palielināt, izmantojot matemātiku. Pastaigājoties ziemā, Dvaiers prātoja, kāpēc kokiem vajadzīgs šāds zaru un lapu “raksts”. Viņš zināja, ka zari uz kokiem ir sakārtoti pēc Fibonači secības un lapas veic fotosintēzi.

Kādā brīdī kāds gudrs zēns nolēma pārbaudīt, vai šī zaru pozīcija palīdz savākt vairāk saules gaismas. Aidans savā pagalmā uzcēla izmēģinājuma rūpnīcu ar maziem saules paneļiem lapu vietā un pārbaudīja to darbībā. Izrādījās, ka, salīdzinot ar parasto plakano saules bateriju, viņa “koks” savāc par 20% vairāk enerģijas un efektīvi darbojas 2,5 stundas ilgāk.

Dvaira saules koka modelis un studentu zemes gabali.

"Un šī instalācija arī aizņem mazāk vietas nekā plakans panelis, savāc 50% vairāk saules ziemā pat tur, kur neskatās uz dienvidiem, un tajā neuzkrājas sniegs tādā daudzumā. Turklāt koku dizains ir daudz piemērotāks pilsētas ainavai,» atzīmē jaunais izgudrotājs.

Aidans atpazina viens no 2011. gada labākajiem jaunajiem dabaszinātniekiem. 2011. gada Jaunā dabaszinātnieka konkursu rīkoja Ņujorkas Dabas vēstures muzejs. Aidans iesniedza pagaidu patenta pieteikumu savam izgudrojumam.

Zinātnieki turpina aktīvi attīstīt Fibonači skaitļu teoriju un zelta griezumu.

Ju.Matijasevičs atrisina Hilberta 10. uzdevumu, izmantojot Fibonači skaitļus.

Ir elegantas metodes vairāku kibernētisko problēmu risināšanai (meklēšanas teorija, spēles, programmēšana), izmantojot Fibonači skaitļus un zelta griezumu.

ASV tiek veidota pat Mathematical Fibonacci asociācija, kas kopš 1963. gada izdod īpašu žurnālu.

Tātad, mēs redzam, ka Fibonači secības darbības joma ir ļoti daudzpusīga:

Vērojot dabā notiekošās parādības, zinātnieki ir izdarījuši pārsteidzošus secinājumus, ka visa dzīvē notiekošo notikumu virkne, revolūcijas, sabrukumi, bankroti, labklājības periodi, likumi un attīstības viļņi akciju un valūtu tirgos, ģimenes dzīves cikli un tā tālāk , tiek organizēti laika skalā ciklu, viļņu veidā. Šie cikli un viļņi tiek sadalīti arī saskaņā ar skaitliskās sērijas Fibonači!

Balstoties uz šīm zināšanām, cilvēks iemācīsies paredzēt dažādus notikumus nākotnē un vadīt tos.

4. Mūsu pētījums.

Mēs turpinājām savus novērojumus un pētījām struktūru

priežu čiekuri

pelašķi

ods

cilvēks

Un mēs pārliecinājāmies, ka šajos objektos, kas ir tik atšķirīgi no pirmā acu uzmetiena, Fibonači secības skaitļi ir nemanāmi.

Tātad 1. solis.

Ņemsim priežu čiekuru:

Apskatīsim to tuvāk:

Mēs pamanām divas Fibonači spirāļu sērijas: viena - pulksteņrādītāja virzienā, otra - pret, to skaits 8 un 13.

2. darbība

Ņemsim pelašķu:

Apskatīsim tuvāk stublāju un ziedu struktūru:

Ņemiet vērā, ka katrs jauns pelašķa zars izaug no sinusa, un no jaunā zara izaug jauni zari. Pievienojot vecos un jaunos zarus, katrā horizontālajā plaknē atradām Fibonači skaitli.

3. darbība

Vai Fibonači skaitļi parādās dažādu organismu morfoloģijā? Apsveriet labi zināmo odu:

Mēs redzam: 3 pāris kājas, galva 5 antenas - antenas, vēders ir sadalīts 8 segmenti.

Secinājums:

Mūsu pētījumos mēs redzējām, ka augos ap mums, dzīvos organismos un pat cilvēka struktūrā izpaužas skaitļi no Fibonači secības, kas atspoguļo to struktūras harmoniju.

Priežu čiekurs, pelašķi, ods, cilvēks ir izkārtoti ar matemātisku precizitāti.

Mēs meklējām atbildi uz jautājumu: kā Fibonači sērija izpaužas realitātē mums apkārt? Bet, atbildot uz to, tika saņemti jauni un jauni jautājumi.

No kurienes radās šie skaitļi? Kas ir šis Visuma arhitekts, kurš mēģināja to padarīt perfektu? Vai spole griežas vai atgriežas?

Cik apbrīnojami cilvēks pazīst šo pasauli!!!

Atradis atbildi uz vienu jautājumu, viņš saņem nākamo. Atrisiniet to, iegūstiet divus jaunus. Tikt galā ar viņiem, parādīsies vēl trīs. Tos atrisinājis, viņš iegūs piecus neatrisinātos. Tad astoņi, tad trīspadsmit, 21, 34, 55...

Vai jūs atpazīstat?

Secinājums.

Pats radītājs visos objektos

Ir piešķirts unikāls kods

Un tas, kurš ir draudzīgs ar matemātiku,

Viņš zinās un sapratīs!

Mēs esam pētījuši un analizējuši Fibonači secības skaitļu izpausmi apkārtējā realitātē. Tāpat uzzinājām, ka šīs skaitļu rindas likumsakarības, tai skaitā "Zelta" simetrijas likumsakarības, izpaužas elementārdaļiņu enerģētiskajās pārejās, planētu un kosmosa sistēmas, dzīvo organismu gēnu struktūrās.

Mēs esam atklājuši pārsteidzošu matemātisko saistību starp spirāļu skaitu augos, zaru skaitu jebkurā horizontālā plaknē un skaitļiem Fibonači secībā. Esam redzējuši, kā šim noslēpumainajam likumam pakļaujas arī dažādu organismu morfoloģija. Mēs arī redzējām stingru matemātiku cilvēka struktūrā. Cilvēka DNS molekula, kurā ir šifrēta visa cilvēka attīstības programma, elpošanas sistēma, auss uzbūve - viss pakļaujas noteiktām skaitliskām attiecībām.

Mēs esam iemācījušies, ka priežu čiekuri, gliemežvāki, okeāna viļņi, dzīvnieku ragi, ciklonu mākoņi un galaktikas veido logaritmiskas spirāles. Pat cilvēka pirksts, ko veido trīs falangas attiecībā pret otru zelta griezumā, saspiežot, iegūst spirālveida formu.

Laika mūžība un telpas gaismas gadi atdala priežu čiekuru un spirālveida galaktiku, taču struktūra paliek nemainīga: koeficients 1,618 ! Varbūt tas ir augstākais likums, kas regulē dabas parādības.

Tādējādi tiek apstiprināta mūsu hipotēze par īpašu skaitlisko modeļu esamību, kas ir atbildīgi par harmoniju.

Patiešām, visu pasaulē ir izdomājis un aprēķinājis mūsu svarīgākais dizainers - Daba!

Mēs esam pārliecināti, ka dabai ir savi likumi, kas izteikti ar matemātika. Un matemātika ir ļoti svarīgs instruments

atklāt dabas noslēpumus.

Literatūras un interneta vietņu saraksts:

1. Vorobjovs N. N. Fibonači skaitļi. - M., Nauka, 1984. gads.
2. Gika M. Proporciju estētika dabā un mākslā. - M., 1936. gads.

3. Dmitrijevs A. Haoss, fraktāļi un informācija. // Zinātne un Dzīve, 2001. gada 5. nr.
4. Kašņitskis S. E. No paradoksiem austa harmonija // Kultūra un

Dzīve. - 1982.- 10.nr.
5. Malajietis G. Harmonija - paradoksu identitāte // MN. - 1982.- 19.nr.
6. Sokolovs A. Zelta griezuma noslēpumi // Jaunības tehnika. - 1978.- 5.nr.
7. Stahovs A. P. Zelta griezuma kodi. - M., 1984. gads.
8. Urmantsevs Yu. A. Dabas simetrija un simetrijas būtība. - M., 1974. gads.
9. Urmantsevs Yu. A. Zelta griezums // Priroda. - 1968.- 11.nr.

10. Ševeļevs I.Š., Marutajevs M.A., Šmeļevs I.P. Zelta koeficients/trīs

Ieskats harmonijas būtībā.-M., 1990.

11. Šubņikovs A. V., Koptsiks V. A. Simetrija zinātnē un mākslā. -M.:

Viņš pastāstīs par Fibonači sērijas jēdzienu un to saistību ar viļņu teoriju, kā arī atspēkos sērijas pielietojamību dabas procesiem.
, kuru meistars izstrādāja pagājušā gadsimta 30. gados – šī ir viena no aizraujošākajām sadaļām. Pats par sevi tas tika izolēts jauna nodaļa zinātne, kas pēta grafikus. Tas ir balstīts uz citu speciālistu izstrādnēm teorijas jomā (iesaku izlasīt - grāmatu zem autorības).
Tā, piemēram, izcilais itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači tiek uzskatīts par zinātnieku (ko jau rakstos minēju -,), kurš radīja pamatu Eliota teorijai.

Labākais brokeris

Fibonači skaitļu digitālā sērija - zelta griezums un koeficienti jeb korekcijas līmeņi + video. Fibonači skaitļi dabā.

Speciālists dzīvoja XIII gs. Zinātnieks publicēja darbu ar nosaukumu "Aprēķinu grāmata". Šī grāmata iepazīstināja Eiropu ar tiem laikiem svarīgu atklājumu un ne tikai atklājumu - decimālo skaitļu sistēmu. Šī sistēma ieviesa apritē mums ierastos skaitļus no nulles līdz deviņiem.

Šī sistēma bija pirmā nozīmīgi sasniegumi Eiropa kopš Romas krišanas. Fibonači saglabāja skaitlisko zinātni viduslaikiem. Viņš arī ielika dziļus pamatus citu zinātņu, piemēram, augstākās matemātikas, fizikas, astronomijas un mašīnbūves, attīstībai.

Skatīties video

Kā radās skaitļi un to atvasinājumi?

Risinot lietišķu problēmu, Leonardo paklupa dīvaina Fibonači skaitļu sērija, kura sākumā ir divas vienības.

Katrs nākamais termins ir iepriekšējo divu summu summa. Pats ziņkārīgākais ir tas, ka Fibonači skaitļu sērija ir ievērojama secība, jo, sadalot jebkuru vārdu ar iepriekšējo, iegūstat skaitli, kas ir tuvu 0,618. Šis numurs tika nosaukts zelta griezums».

Izrādījās, ka šis skaitlis cilvēcei ir zināms ļoti ilgu laiku. Piemēram, iekšā senā Ēģipte cēla piramīdas, izmantojot to, un senie grieķi uz tās cēla savus tempļus. Leonardo da Vinči parādīja, kā cilvēka ķermeņa uzbūve pakļaujas šim skaitlim.

Daba izmanto Fibonači skaitļus savās intīmākajās un attīstītākajās vietās. No atomu struktūrām un citām mazām formām, piemēram, DNS molekulām un smadzeņu mikrokapilāriem, līdz milzīgām, piemēram, planētu orbītām un galaktiku struktūrām. Piemēru skaits ir tik liels, ka vajadzētu iebilst, ka dabā patiešām pastāv zināms proporciju pamatlikums.

Tāpēc nav pārsteidzoši, ka Fibonači sērija un zelta griezums iekļuva akciju diagrammās. Un ne tikai viens skaitlis 0,618, bet arī tā atvasinājumi.

Ja paaugstināsiet zelta sekcijas skaitli līdz pirmajai, otrajai, trešajai un ceturtajai pakāpei un atņemat rezultātu no viena, tad jauna rinda ko sauc " Fibonači retracementa koeficienti". Atliek tikai pievienot piecu desmitdaļu atzīmi - tas ir piecdesmit procenti.

Tomēr tas nav viss, ko var izdarīt ar zelta griezumu. Ja vienību sadalām ar 0,618, tad iegūstam 1,618, ja kvadrātā, tad iegūstam 2,618, ja izceļam kubā, iegūstam skaitli 4,236. Tie ir Fibonači izplešanās koeficienti. Šeit trūkst tikai skaitļa 3,236, ko ierosināja Džons Mērfijs.

Ko eksperti domā par secību?

Daži teiks, ka šie skaitļi jau ir pazīstami, jo tos izmanto programmās tehniskā analīze, lai noteiktu korekcijas un paplašināšanas apjomu. Turklāt šīs pašas rindas spēlē svarīga loma Eliota viļņu teorijā. Tie ir tā skaitliskā bāze.

Mūsu eksperts Nikolajs Provens investīciju kompānijas Vostok portfeļa pārvaldnieks.

• – Nikolaj, kā tu domā, vai Fibonači skaitļu un to atvasinājumu parādīšanās dažādu instrumentu topos ir nejaušība? Un vai var teikt: "Fibonači sērija praktiska izmantošana"notiek?
• – Man ir slikta attieksme pret mistiku. Un vēl jo vairāk biržu topos. Visam ir savi iemesli. grāmatā "Fibonači līmeņi" viņš skaisti stāstīja, kur parādās zelta griezums, ka nav pārsteigts, ka tā parādījās biržas grafikos. Bet velti! Pī bieži parādās daudzos viņa sniegtajos piemēros. Bet nez kāpēc tas nav cenu attiecībās.
• – Tātad jūs neticat Eliota viļņa principa efektivitātei?
• – Nē, ne par to ir runa. Viļņu princips ir viena lieta. Skaitliskā attiecība ir atšķirīga. Un iemesli to parādīšanai cenu diagrammās ir trešais
• – Kādi, jūsuprāt, ir zelta sadaļas parādīšanās iemesli akciju topos?
• - Pareiza atbilde uz šo jautājumu var būt pelnījusi Nobela prēmija par ekonomiku. Kamēr vien varam uzminēt patiesie iemesli. Tie nepārprotami nesaskan ar dabu. Ir daudz biržas cenu noteikšanas modeļu. Tie neizskaidro norādīto parādību. Bet, neizprotot fenomena būtību, nevajadzētu noliegt parādību kā tādu.
• – Un, ja šis likums kādreiz tiks atvērts, vai tas spēs sagraut maiņas procesu?
• – Kā liecina šī pati viļņu teorija, akciju cenu izmaiņu likums ir tīrā psiholoģija. Man šķiet, ka šī likuma zināšanas neko nemainīs un biržu sagraut nevarēs.

Materiālu nodrošina tīmekļa pārziņa Maksima emuārs.

Matemātikas principu pamatu sakritība visvairāk dažādas teorijasšķiet neticami. Varbūt tā ir fantāzija vai pielāgošanās gala rezultātam. Gaidi un redzēsi. Liela daļa no tā, kas iepriekš tika uzskatīts par neparastu vai neiespējamu: piemēram, kosmosa izpēte ir kļuvusi par ikdienu un nevienu nepārsteidz. Arī viļņu teorija, var būt nesaprotami, ar laiku tas kļūs pieejamāks un saprotamāks. Tas, kas iepriekš bija nevajadzīgs pieredzējuša analītiķa rokās, kļūs par spēcīgu instrumentu turpmākās uzvedības prognozēšanai.

Fibonači skaitļi dabā.

Skaties

Un tagad parunāsim par to, kā jūs varat atspēkot faktu, ka Fibonacci digitālā sērija ir saistīta ar jebkādiem dabas modeļiem.

Ņemsim jebkurus citus divus skaitļus un izveidosim secību ar tādu pašu loģiku kā Fibonači skaitļiem. Tas ir, nākamais secības dalībnieks ir vienāds ar divu iepriekšējo summu. Piemēram, ņemsim divus skaitļus: 6 un 51. Tagad mēs izveidosim secību, kuru pabeigsim ar diviem skaitļiem 1860 un 3009. Ņemiet vērā, ka, sadalot šos skaitļus, mēs iegūstam skaitli, kas ir tuvu zelta griezumam.

Tajā pašā laikā skaitļi, kas iegūti, dalot citus pārus, samazinājās no pirmā uz pēdējo, kas ļauj apgalvot, ka, ja šī sērija tiks turpināta bezgalīgi, mēs iegūsim skaitli, kas vienāds ar zelta griezumu.

Tādējādi paši Fibonači skaitļi ne ar ko neatšķiras. Ir arī citas skaitļu virknes, no kurām ir bezgalīgs skaitlis, kuras šo pašu darbību rezultātā dod zelta skaitli phi.

Fibonači nebija ezotēriķis. Viņš nevēlējās ielikt skaitļos nekādu mistiku, viņš tikai risināja parastu truša problēmu. Un viņš uzrakstīja skaitļu secību, kas izrietēja no viņa uzdevuma pirmajā, otrajā un citos mēnešos, cik trušu būs pēc audzēšanas. Gada laikā viņš saņēma tādu pašu secību. Un neveidoja attiecības. Nebija ne zelta griezuma, ne dievišķās attiecības. Tas viss tika izgudrots pēc viņa renesansē.

Pirms matemātikas Fibonači tikumi ir milzīgi. Viņš pieņēma skaitļu sistēmu no arābiem un pierādīja tās derīgumu. Tā bija smaga un ilga cīņa. No romiešu skaitļu sistēmas: smags un neērts skaitīšanai. Pēc tam viņa pazuda franču revolūcija. Tam nav nekāda sakara ar Fibonači zelta griezumu.

Spirāles ir bezgala daudz, populārākās ir: dabiskā logaritma spirāle, Arhimēda spirāle, hiperboliskā spirāle.

Kopā ar izdevniecību "" publicējam fragmentu no Profesora grāmatas lietišķā matemātika Edvards Šeinermans "Ceļvedis matemātikas cienītājiem", veltīts nestandarta jautājumiem aizraujoša matemātika, mīklas, skaitļu un formu visums. Alekseja Ogņeva tulkojums no angļu valodas.

Šajā nodaļā ir runāts par slavenajiem Fibonači skaitļiem: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 utt. Šī sērija tika nosaukta Leonardo no Pizas vārdā, labāk pazīstams kā Fibonači. Leonardo no Pizas (1170–1250) - viens no pirmajiem lielākajiem matemātiķiem viduslaiku Eiropa. Segvārds Fibonači nozīmē "Bonači dēls". Abakusa grāmatas autors, kurā izklāstīta decimālo skaitļu sistēma.

Kvadrāti un domino

Sāksim ar kvadrātu un domino kauliņu ieklāšanu. Iedomājieties garu horizontālu 1 × 10 rāmi. Mēs vēlamies to pilnībā aizpildīt ar 1 × 1 kvadrātiem un 1 × 2 domino kauliņiem, neatstājot tukšumus. Šeit ir attēls:

Jautājums: Cik dažādos veidos to var izdarīt?

Ērtības labad opciju skaitu apzīmējam ar F10. Izejiet tos visus un pēc tam pārrēķiniet - smagais darbs pilns ar kļūdām. Daudz labāk ir vienkāršot uzdevumu. Nemeklēsim F10 uzreiz, sāksim ar F1. Tas ir vieglāk nekā jebkad agrāk! Mums jāaizpilda 1 × 1 rāmis ar rūtiņām 1 × 1 un domino kauliņiem 1 × 2. Domino nederēs, paliek vienīgais risinājums: paņemiet vienu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, F1 = 1.

Tagad tiksim galā ar F2. Rāmja izmērs ir 1 × 2. Varat to aizpildīt ar diviem kvadrātiem vai vienu domino. Tātad ir divas iespējas, un F2 = 2.

Nākamais: Cik daudzos veidos var aizpildīt 1 × 3 kadru? Pirmais variants: trīs kvadrāti. Divas citas iespējas: viens domino (divi nederēs) un kvadrāts kreisajā vai labajā pusē. Tātad, F3 = 3. Vēl viens solis: paņemiet 1 × 4 kadru. Attēlā parādītas visas aizpildīšanas iespējas:

Esam atraduši piecas iespējas, bet kāda ir garantija, ka neko neesam palaiduši garām? Ir veids, kā pārbaudīt sevi. Rāmja kreisajā galā var būt kvadrāts vai domino. Augšējā rindā attēlā - opcijas, kad kvadrāts ir pa kreisi, apakšējā rindā - kad domino ir pa kreisi.

Pieņemsim, ka tas ir kvadrāts kreisajā pusē. Pārējais ir jāaizpilda ar kvadrātiem un domino kauliņiem. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāaizpilda lodziņš 1 × 3. Tas dod 3 iespējas, jo F3 = 3. Ja kreisajā pusē ir domino kauliņi, atlikušās daļas izmērs ir 1 × 2, un ir divas aizpildīšanas iespējas. tā, jo F2 = 2.

Tātad mums ir 3 + 2 = 5 iespējas, un mēs pārliecinājāmies, ka F4 = 5.

Tagad Tu. Padomājiet pāris minūtes un atrodiet visas 1×5 rāmja aizpildīšanas iespējas.Tādu nav daudz. Risinājums ir nodaļas beigās. Jūs varat atpūsties un domāt.

Atgriezīsimies pie saviem laukumiem. Gribētos ticēt, ka esat atradis 8 variantus, jo ir 5 klāšanas veidi, kur laukums ir kreisajā pusē un vēl 3 veidi, kur domino ir kreisajā pusē. Tātad F5 = 8.

Apkoposim. Mēs esam apzīmējuši FN vairākus veidus, kā aizpildīt 1 × n rāmi ar kvadrātiem un domino kauliņiem. Mums jāatrod F10. Lūk, ko mēs jau zinām:

Mēs ejam tālāk. Ar ko ir vienāds ar F6? Jūs varat zīmēt visas iespējas, bet tas ir garlaicīgi. Sadalīsim jautājumu divās daļās. Cik daudzos veidos var aizpildīt 1 × 6 rāmi, ja kreisajā pusē ir (a) kvadrāts un (b) domino? Labā ziņa ir tā, ka mēs jau zinām atbildi! Pirmajā gadījumā mums paliek pieci kvadrāti, un mēs zinām, ka F5 = 8. Otrajā gadījumā mums ir jāaizpilda četri kvadrāti; mēs zinām, ka F4 = 5. Tātad F5 + F4 = 13.

Ar ko ir vienāds ar F7? Pamatojoties uz tiem pašiem apsvērumiem, F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. Kā ar F8? Acīmredzot F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. Un tā tālāk. Mēs atradām šādu sakarību: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Vēl daži soļi - un mēs atradīsim vēlamo numuru F10. Pareizā atbilde ir nodaļas beigās.

Fibonači skaitļi

Fibonači skaitļi ir secība:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Tas ir veidots saskaņā ar šādiem noteikumiem:

— pirmie divi skaitļi 1 un 1;

— katru nākamo skaitli iegūst, saskaitot divus iepriekšējos.

Apzīmēsim secības Fn n-to elementu, sākot no nulles: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Nākamo elementu aprēķinām pēc formulas: Fn = Fn-1 + Fn-2 .

Kā redzam, kvadrātu un domino kauliņu salikšanas problēma noveda mūs pie Fibonači skaitļu secības [ 1 ]Kvadrātu un domino kauliņu uzdevumā mēs noskaidrojām: F1 = 1 un F2 = 2. Bet Fibonači skaitļi sākas ar F0 = 1. Kā tas saskan ar uzdevuma nosacījumiem? Cik daudzos veidos ir iespējams aizpildīt lodziņu 0 × 1 ar tādiem pašiem nosacījumiem? Kvadrātiņa garums un domino kauliņa garums ir lielāks par nulli, tāpēc pastāv kārdinājums teikt, ka atbilde ir nulle, bet tā nav. 0 × 1 taisnstūris jau ir aizpildīts, nav atstarpju; mums nevajag ne kvadrātu, ne domino. Tādējādi ir tikai viena rīcība: neņemiet kvadrātu vai domino kauliņus. Vai tu saproti? Tādā gadījumā apsveicu. Jums ir matemātiķa dvēsele!

Fibonači skaitļu summa

Mēģināsim pievienot dažus pirmos Fibonači skaitļus. Ko mēs varam teikt par summu F0 + F1 +… + Fn jebkuram n? Veiksim dažus aprēķinus un redzēsim, kas notiks. Ievērojiet tālāk norādītos pievienošanas rezultātus. Vai jūs redzat modeli? Mazliet uzgaidiet, pirms turpināt: labāk, ja atbildi atrodat pats, nevis lasiet gatavu risinājumu.

Gribētos ticēt, ka redzējāt, ka summēšanas rezultāti, ja tiem pieskaita vienu, arī sarindojas Fibonači skaitļu secībā. Piemēram, saskaitot skaitļus F0 uz F5, iegūstam: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Saskaitot skaitļus F0 līdz F6, iegūst 33, kas ir par vienu mazāks par F8 = 34. Varam uzrakstīt formulu nenegatīviem veseliem skaitļiem n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Droši vien jums personīgi pietiks, lai redzētu, ka formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. darbojas duci gadījumu, lai liktu jums noticēt, ka tā ir patiesība, bet matemātiķi alkst pēc pierādījumiem. Mēs esam priecīgi iepazīstināt jūs ar diviem iespējamiem pierādījumiem, ka tas attiecas uz visiem nenegatīviem veseliem skaitļiem n.

Pirmo sauc par pierādījumu ar indukcijas palīdzību, otro sauc par kombinatorisko pierādījumu.

Pierādīšana ar indukciju

Formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. ir bezgalīgs formulu skaits salocītā veidā. Pierādiet, ka [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. patiesība noteiktai n vērtībai, piemēram, n = 6, ir vienkārša aritmētiska problēma. Pietiks pierakstīt skaitļus no F0 līdz F6 un tos pievienot: F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.

Ir viegli redzēt, ka F8 = 34, tāpēc formula darbojas. Pārejam uz F7. Netērēsim laiku un saskaitīsim visus skaitļus: mēs jau zinām summu līdz F6. Tādējādi (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Tāpat kā iepriekš, viss saplūst: F9 = 55.

Ja tagad sāksim pārbaudīt, vai formula n = 8 darbojas, mūsu spēki beidzot izsīks. Bet tomēr, paskatīsimies, ko mēs jau zinām un ko vēlamies uzzināt:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Izmantosim iepriekšējo rezultātu: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Mēs, protams, varam aritmētiski aprēķināt (F9-1) + F8. Bet tas mūs vēl vairāk nogurs. Tajā pašā laikā mēs zinām, ka F8 + F9 = F10. Tādējādi mums nekas nav jāaprēķina vai jāielūkojas Fibonači skaitļu tabulā:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Mēs pārliecinājāmies, ka formula darbojas n = 8, pamatojoties uz to, ko mēs zinājām par n = 7.

Gadījumā, ja n = 9, mēs paļaujamies uz rezultātu n = 8 tādā pašā veidā (skatiet paši). Protams, pierādot [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. attiecībā uz n mēs varam būt pārliecināti, ka [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. attiecas arī uz n + 1.

Mēs esam gatavi sniegt pilnīgu pierādījumu. Kā jau minēts, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. apzīmē bezgalīgu skaitu formulu visām n vērtībām no nulles līdz bezgalībai. Apskatīsim, kā darbojas pierādījums.

Vispirms mēs pierādīsim [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. vienkāršākajā gadījumā, ja n = 0. Mēs vienkārši pārbaudām, vai F0 = F0+2 - 1. Tā kā F0 = 1 un F2 = 2, acīmredzot 1 = 2 - 1 un F0 = F2-1.

Turklāt mums pietiek parādīt, ka formulas pareizība vienai n vērtībai (teiksim, n = k) automātiski nozīmē pareizību n + 1 (mūsu piemērā n = k + 1). Mums vienkārši jāparāda, kā tas darbojas “automātiski”. Kas mums jādara?

Ņemsim kādu skaitli k. Pieņemsim, ka mēs jau zinām, ka F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Mēs meklējam vērtību F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.

Mēs jau zinām Fibonači skaitļu summu līdz Fk, tāpēc mēs iegūstam:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

Labā puse ir vienāda ar Fk+2 - 1 + Fk+1, un mēs zinām, kāda ir secīgu Fibonači skaitļu summa:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) – 1 = Fk+3–1

Aizstājiet mūsu vienādojumu:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Tagad es paskaidrošu, ko mēs esam izdarījuši. Ja mēs zinām, ka [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. ir taisnība, ja mēs summējam skaitļus līdz Fk, tad [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. vajadzētu būt patiesam, ja pievienojam Fk+1.

Apkopot:

Formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. patiess n = 0.

Ja formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. ir taisnība n, tas attiecas arī uz n + 1.

Mēs varam droši teikt, ka [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. ir taisnība jebkurai n vērtībai. Tā ir patiesība [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. n=4987? Tas ir taisnība, ja izteiksme ir patiesa n = 4986, kuras pamatā ir izteiksme, kas ir patiesa n = 4985, un tā tālāk līdz n = 0. Tāpēc formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. attiecas uz visām iespējamām vērtībām. Šī pierādīšanas metode ir pazīstama kā matemātiskā indukcija (vai pierādījums ar indukciju). Mēs pārbaudām pamatgadījumu un dodam veidni, pēc kuras katru nākamo gadījumu var pierādīt, pamatojoties uz iepriekšējo.

Kombinatoriskais pierādījums

Un šeit ir pavisam cits identitātes pierādījums [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Galvenā pieeja šeit ir izmantot to, ka skaitlis Fn ir to veidu skaits, kā nosegt 1 × n taisnstūri ar kvadrātiem un domino kauliņiem.

Ļaujiet man jums atgādināt, ka mums ir jāpierāda:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2-1. (*)

Ideja ir uzskatīt abas vienādojuma puses kā apšuvuma problēmas risinājumu. Ja mēs pierādīsim, ka kreisā un labā daļa ir viena un tā paša taisnstūra risinājums, tās sakritīs viena ar otru. Šo paņēmienu sauc par kombinatorisko pierādījumu [ 2 ]Vārds "kombinatorisks" ir cēlies no lietvārda "kombinatorisks" - matemātikas nozares nosaukuma, kuras priekšmets ir iespēju aprēķins uzdevumos, kas līdzinās taisnstūra segšanai. Vārds "kombinatorika" savukārt ir cēlies no vārda "kombinācijas"..

Kāds jautājums kombinatorikā ir vienādojums [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. dod divas pareizas atbildes? Šī mīkla ir līdzīga tām, kas atrodamas raidījumā Jeopardy! [ 3 ]Populārs TV šovs ASV. Līdzīgi kā Jeopardy! iznāc iekšā dažādas valstis; Krievijā tā ir "Sava spēle". - Apm. ed., kur dalībniekiem jāformulē jautājums, jau iepriekš zinot pareizo atbildi.

Labā puse izskatās vienkāršāka, tāpēc sāksim ar to. Atbilde: Fn+2– 1. Kāds ir jautājums? Ja atbilde būtu vienkārši Fn+2, mēs varētu viegli formulēt jautājumu: cik daudzos veidos 1 × (n + 2) taisnstūri var izrotāt ar kvadrātiem un domino kauliņiem? Tas ir gandrīz tieši tas, kas jums nepieciešams, taču atbilde ir mazāka par vienu. Mēģināsim maigi mainīt jautājumu un samazināt atbildi. Noņemsim vienu oderes versiju un pārrēķināsim pārējo. Grūtības ir atrast vienu iespēju, kas radikāli atšķiras no pārējām. Vai tāds ir?

Katra apšuvuma metode ietver kvadrātu vai domino kauliņu izmantošanu. Vienīgajā variantā ir iesaistīti tikai laukumi, pārējās ir vismaz viens domino. Ņemsim to par pamatu jaunam jautājumam.

Jautājums: Cik daudz iespēju ir 1 × (n + 2) taisnstūra rāmja pārklāšanai ar kvadrātiem un domino kauliņiem, ieskaitot vismaz vienu domino?

Tagad mēs atradīsim divas atbildes uz šo jautājumu. Tā kā abi būs patiesi, starp skaitļiem varam droši likt vienādības zīmi.

Mēs jau esam apsprieduši vienu no atbildēm. Ir Fn+2 sakraušanas iespējas. Tikai viens no tiem ir saistīts tikai ar kvadrātu izmantošanu bez domino kauliņiem. Tādējādi atbilde #1 uz mūsu jautājumu ir: Fn+2–1.

Otrajai atbildei vajadzētu būt - es ceru - vienādojuma kreisajā pusē [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Apskatīsim, kā tas darbojas.

Ir jāpārrēķina rāmja aizpildīšanas iespējas, iekļaujot vismaz vienu domino. Padomāsim, kur atradīsies pats pirmais kauls. Ir n + 2 pozīcijas, un pirmā flīze var būt pozīcijās no 1 līdz n + 1.

Aplūkosim gadījumu n = 4. Mēs meklējam veidus, kā aizpildīt 1 × 6 kadru, kas ietver vismaz vienu domino. Mēs zinām atbildi: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, bet mums tā ir jāiegūst citā veidā.

Pirmais domino var ieņemt šādas pozīcijas:

Pirmajā slejā ir parādīts gadījums, kad dūre atrodas pirmajā pozīcijā, otrajā - kad dūre atrodas otrajā pozīcijā utt.

Cik daudz iespēju ir katrā kolonnā?

Pirmajā kolonnā ir piecas iespējas. Ja mēs atmetam domino kauliņus kreisajā pusē, taisnstūrim 1 × 4 iegūstam tieši F4 = 5. Otrajā kolonnā ir trīs iespējas. Nometīsim domino kauliņus un kvadrātu pa kreisi. 1×3 taisnstūrim iegūstam F3 = 3. Līdzīgi arī pārējām kolonnām. Lūk, ko mēs atradām:

Tādējādi kvadrātu un domino kauliņu (vismaz viena kaula) flīzēšanas veidu skaits uz 1 × 6 taisnstūra rāmja ir F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Izvade: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Apskatīsim vispārīgo gadījumu. Mums ir dots rāmis, kura garums ir n + 2. Cik daudzos veidos to var aizpildīt, ja pirmais domino atrodas kādā pozīcijā k? Šajā gadījumā pirmās k - 1 pozīcijas aizņem kvadrāti. Tādējādi kopā ir aizņemtas k + 1 pozīcijas [ 4 ]Skaitlim k var būt vērtības no 1 līdz n + 1, bet ne vairāk, jo pretējā gadījumā pēdējais domino izkļūs no rāmja.. Atlikušos (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 var aizpildīt ar jebkādiem līdzekļiem. Tas dod Fn-k+1 opcijas. Izveidosim diagrammu:

Ja k mainās no 1 uz n + 1, n - k + 1 vērtība mainās no 0 uz n. Tādējādi iespēju skaits mūsu rāmja aizpildīšanai ar vismaz vienu domino ir Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Ja mēs saliekam terminus apgrieztā secībā, mēs iegūstam izteiksmes kreiso pusi (*). Tādējādi mēs esam atraduši otro atbildi uz uzdoto jautājumu: F0 +F1 +…+Fn.

Tātad mums ir divas atbildes uz šo jautājumu. Vērtības, kas iegūtas, izmantojot divas mūsu iegūtās formulas, sakrīt, un identitāte [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. pierādīts.

Fibonači attiecība un zelta attiecība

Saskaitot divus secīgus Fibonači skaitļus, tiek iegūts nākamais Fibonači skaitlis. Šajā sadaļā mēs pieskarsimies interesantākam jautājumam: kas notiks, ja dalīsim Fibonači skaitli ar skaitli, kas ir pirms tā sērijā? Aprēķināsim attiecību Fk1. Lai palielinātu k vērtības.

Tabulā var redzēt attiecības no F1/F0 līdz F20/19.

Jo lielāki kļūst Fibonači skaitļi, jo tuvāk Fk+1/Fk attiecība ir konstantei, kas aptuveni vienāda ar 1,61803. Šis skaitlis – būsiet pārsteigts – ir labi zināms, un, ievadot to meklētājā, daudz lappušu par zelta griezumu izkritīs. Kas tas ir? Blakus esošo Fibonači skaitļu attiecība nav vienāda. Tomēr tas ir gandrīz vienāds, ja skaitļi ir pietiekami lieli. Atradīsim formulu skaitlim 1.61803, un tam kādu laiku pieņemsim, ka visas attiecības ir vienādas. Mēs ieviešam apzīmējumu x:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Tas nozīmē, ka Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 utt. Mēs varam pārformulēt:

Fk+2=xFk+1=x2>Fk.

Bet mēs zinām, ka Fk+2= Fk+1 + Fk. Tādējādi x2>FkFk = xFk + Fk.

Ja sadalām abas puses ar Fk un pārkārtojam terminus, iegūstam kvadrātvienādojums: x2-x-1=0. Tam ir divi risinājumi:

Attiecībai jābūt pozitīvai. Un tā mēs saņēmām mums zināmo numuru. Parasti grieķu burtu φ (phi) izmanto, lai apzīmētu zelta attiecību:

Mēs jau esam atzīmējuši, ka blakus esošo Fibonači skaitļu attiecība tuvojas (tiecas) uz φ. Tas ir pārsteidzošs. Tas dod mums vēl vienu veidu, kā aprēķināt aptuvenos Fibonači skaitļus. Fibonači skaitļu secība ir virkne F0 F1, F2, F3, F4, F5… Ja visas attiecības Fk+1/Fk ir vienādas, iegūstam formulu:

Šeit Ar ir vēl viena konstante. Salīdzināsim Fn un φn noapaļotās vērtības dažādiem n:

Lielām n vērtībām attiecība Fn/φn≈0,723607. Šis skaitlis ir tieši φ/root5. Citiem vārdiem sakot,

Ņemiet vērā, ka noapaļojot līdz tuvākajam veselajam skaitlim, mēs iegūstam tieši Fn.

Ja nevēlaties mocīties ar noapaļošanu līdz veselam skaitlim, tad Žaka Binē vārdā nosauktā formula [ 5 ]Žaks Binē (1786–1856) - franču matemātiķis, mehāniķis un astronoms Fibonači skaitļu formula ir nosaukta Binē vārdā, lai gan Abraham de Moivre (1667–1754) to bija atvasinājis gandrīz simts gadus agrāk. - Apm. per., sniegs precīzu vērtību:

Aizpildiet rāmi 1 × 5

Mūsu rāmi var aizpildīt ar kvadrātiem un domino kauliņiem šādos veidos:

Ir F4 = 5 iespējas, ja sākumā ir kvadrāts, un F3 = 3 iespējas, ja sākumā ir domino. Kopumā tas dod F5 = F4 + F3 = 8 opcijas.

F10 vērtība(atbilde uz Nākamais jautājums attiecībā uz sakraušanu) ir vienāds ar 89.