Ja nepieciešams palielināt noteiktu skaitli līdz pakāpei, varat izmantot . Tagad mēs to aplūkosim tuvāk spēku īpašības.
Eksponenciālie skaitļi paver lielas iespējas, tās ļauj pārvērst reizināšanu saskaitīšanā, turklāt saskaitīšana ir daudz vienkāršāka nekā reizināšana.
Piemēram, mums ir jāreizina 16 ar 64. Šo divu skaitļu reizinājums ir 1024. Bet 16 ir 4x4 un 64 ir 4x4x4. Tātad 16 reizes 64 = 4x4x4x4x4, kas arī ir 1024.
Skaitli 16 var attēlot arī kā 2x2x2x2 un 64 kā 2x2x2x2x2x2, un, reizinot, mēs atkal iegūstam 1024.
Tagad izmantosim noteikumu. 16 = 4 2 vai 2 4 , 64 = 4 3 vai 2 6 , savukārt 1024 = 6 4 = 4 5 vai 2 10 .
Tāpēc mūsu problēmu var uzrakstīt citā veidā: 4 2 x4 3 =4 5 vai 2 4 x2 6 =2 10, un katru reizi mēs iegūstam 1024.
Mēs varam atrisināt vairākus līdzīgus piemērus un redzēt, ka skaitļu reizināšana ar pakāpēm samazinās līdz eksponentu pievienošana, vai eksponents, protams, ar nosacījumu, ka faktoru bāzes ir vienādas.
Tādējādi mēs varam, nereizinot, uzreiz teikt, ka 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.
Šis noteikums ir spēkā arī dalot skaitļus ar pakāpēm, taču šajā gadījumā piem dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta. Tādējādi 2 5:2 3 =2 2 , kas iekšā regulāri cipari ir vienāds ar 32:8=4, tas ir, 2 2 . Apkoposim:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m un n ir veseli skaitļi.
No pirmā acu uzmetiena tā varētu šķist skaitļu reizināšana un dalīšana ar pakāpēm nav ļoti ērti, jo vispirms skaitlis ir jāattēlo eksponenciālā formā. Nav grūti attēlot skaitļus 8 un 16 šādā formā, tas ir, 2 3 un 2 4, bet kā to izdarīt ar skaitļiem 7 un 17? Vai arī ko darīt tajos gadījumos, kad skaitli var attēlot eksponenciālā formā, bet skaitļu eksponenciālo izteiksmju pamati ir ļoti atšķirīgi. Piemēram, 8×9 ir 2 3 x 3 2 , un tādā gadījumā mēs nevaram summēt eksponentus. Ne 2 5, ne 3 5 nav atbilde, ne arī atbilde starp abiem.
Vai tad vispār ir vērts mocīties ar šo metodi? Noteikti ir tā vērts. Tas sniedz milzīgas priekšrocības, īpaši sarežģītiem un laikietilpīgiem aprēķiniem.
Jēdziens grāds matemātikā tiek ieviests jau 7. klasē algebras stundā. Un nākotnē visā matemātikas studiju laikā šis jēdziens tiek aktīvi izmantots tā dažādās formās. Grādi ir diezgan grūts temats, kas prasa vērtību iegaumēšanu un spēju pareizi un ātri skaitīt. Lai ātrāk un labāk strādātu ar matemātikas grādiem, viņi izdomāja grāda īpašības. Tie palīdz samazināt lielus aprēķinus, zināmā mērā pārvērst milzīgu piemēru vienā skaitļā. Īpašību nav tik daudz, un tās visas ir viegli atcerēties un pielietot praksē. Tāpēc rakstā aplūkotas galvenās grāda īpašības, kā arī to pielietošanas vieta.
pakāpes īpašības
Mēs apskatīsim 12 grādu īpašības, ieskaitot grādu īpašības ar tādi paši pamatojumi, un katram īpašumam mēs sniedzam piemēru. Katrs no šiem īpašumiem palīdzēs ātrāk atrisināt problēmas ar grādiem, kā arī pasargās jūs no daudzām skaitļošanas kļūdām.
1. īpašums.
Daudzi cilvēki ļoti bieži aizmirst par šo īpašību, pieļauj kļūdas, attēlojot skaitli līdz nulles grādiem kā nulli.
2. īpašums.
3. īpašums.
Jāatceras, ka šo īpašību var izmantot tikai skaitļus reizinot, ar summu tas nedarbojas! Un mēs nedrīkstam aizmirst, ka šīs un turpmākās īpašības attiecas tikai uz pilnvarām ar tādu pašu bāzi.
4. īpašums.
Ja skaitlis saucējā tiek paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, tad, atņemot, saucēja pakāpe tiek ņemta iekavās, lai turpmākajos aprēķinos pareizi aizstātu zīmi.
Īpašums darbojas tikai dalot, nevis atņemot!
5. īpašums.
6. īpašums.
Šo īpašumu var attiecināt arī uz otrā puse. Vienība, kas zināmā mērā dalīta ar skaitli, ir šis skaitlis ar negatīvu pakāpju.
7. īpašums.
Šo īpašumu nevar attiecināt uz summu un starpību! Palielinot summu vai starpību līdz pakāpei, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas, nevis pakāpes īpašības.
8. īpašums.
9. īpašums.
Šī īpašība darbojas jebkurai daļējai pakāpei ar skaitītāju, kas vienāds ar vienu, formula būs tāda pati, tikai saknes pakāpe mainīsies atkarībā no pakāpes saucēja.
Arī šis īpašums bieži tiek izmantots apgrieztā secībā. Jebkura skaitļa pakāpes sakni var attēlot kā šo skaitli ar pakāpju, kas dalīts ar saknes pakāpi. Šis īpašums ir ļoti noderīgs gadījumos, kad skaitļa sakne nav iegūta.
10. īpašums.
Šis īpašums darbojas ne tikai ar kvadrātsakne un otrā pakāpe. Ja saknes pakāpe un pakāpe, kādā šī sakne ir pacelta, ir vienāda, tad atbilde būs radikāla izteiksme.
11. īpašums.
Šo īpašumu risinot ir jāspēj laicīgi ieraudzīt, lai paglābtos no milzīgiem aprēķiniem.
12. īpašums.
Katrs no šiem rekvizītiem tiksies vairāk nekā vienu reizi uzdevumos, to var dot tīrā veidā, vai arī tas var prasīt dažas transformācijas un citu formulu izmantošanu. Tāpēc pareizam risinājumam nepietiek tikai ar īpašību pārzināšanu, ir jāpraktizē un jāsavieno pārējās matemātiskās zināšanas.
Pakāpju pielietojums un to īpašības
Tos aktīvi izmanto algebrā un ģeometrijā. Atsevišķa, svarīga vieta ir matemātikas grādiem. Ar to palīdzību tiek risināti eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā arī pilnvaras bieži sarežģī vienādojumus un piemērus, kas saistīti ar citām matemātikas sadaļām. Eksponenti palīdz izvairīties no lieliem un gariem aprēķiniem, ir vieglāk samazināt un aprēķināt eksponentus. Bet, lai strādātu ar lieliem vai lieliem skaitļiem, jums jāzina ne tikai pakāpes īpašības, bet arī kompetenti jāstrādā ar bāzēm, jāspēj tās sadalīt, lai atvieglotu savu uzdevumu. Ērtības labad jums jāzina arī to skaitļu nozīme, kas palielināti pakāpē. Tas samazinās risināšanas laiku, novēršot vajadzību pēc gariem aprēķiniem.
Pakāpes jēdzienam logaritmos ir īpaša loma. Tā kā logaritms būtībā ir skaitļa spēks.
Vēl viens pilnvaru izmantošanas piemērs ir saīsinātās reizināšanas formulas. Viņi nevar izmantot grādu īpašības, tie tiek sadalīti atbilstoši īpaši noteikumi, bet katra saīsinātā reizināšanas formula vienmēr satur pilnvaras.
Grādi tiek aktīvi izmantoti arī fizikā un datorzinātnēs. Visi tulkojumi SI sistēmā tiek veikti, izmantojot grādus, un turpmāk, risinot uzdevumus, tiek pielietotas pakāpes īpašības. Datorzinātnēs skaitīšanas ērtībai un skaitļu uztveres vienkāršošanai tiek aktīvi izmantotas divu pakāpes. Turpmākie aprēķini mērvienību konvertēšanai vai uzdevumu aprēķini, tāpat kā fizikā, notiek, izmantojot pakāpes īpašības.
Grādi ir ļoti noderīgi arī astronomijā, kur reti var atrast grāda īpašību lietojumu, bet paši grādi tiek aktīvi izmantoti, lai saīsinātu dažādu lielumu un attālumu fiksēšanu.
Grādi tiek izmantoti arī ikdienā, aprēķinot laukumus, apjomus, attālumus.
Ar grādu palīdzību jebkurā zinātnes jomā tiek uzrakstītas ļoti lielas un ļoti mazas vērtības.
eksponenciālie vienādojumi un nevienādības
Grāda īpašības ieņem īpašu vietu tieši tajā eksponenciālie vienādojumi un nevienlīdzības. Šie uzdevumi ir ļoti izplatīti, piemēram skolas kurss kā arī eksāmenos. Tie visi tiek atrisināti, pielietojot pakāpes īpašības. Nezināmais vienmēr atrodas pašā pakāpē, tāpēc, zinot visas īpašības, šādu vienādojumu vai nevienādību atrisināt nebūs grūti.
Pirmais līmenis
Grāds un tā īpašības. Visaptverošs ceļvedis (2019)
Kāpēc nepieciešami grādi? Kur tev tās vajadzīgas? Kāpēc jums jāvelta laiks to pētīšanai?
Lai uzzinātu visu par grādiem, kam tie ir paredzēti, kā izmantot savas zināšanas Ikdiena izlasi šo rakstu.
Un, protams, zinot grādus, jūs tuvināsies panākumiem nokārtojot OGE vai vienoto valsts eksāmenu un iestāties sapņu universitātē.
Ejam... (Ejam!)
Svarīga piezīme! Ja formulu vietā redzat muļķību, iztīriet kešatmiņu. Lai to izdarītu, nospiediet taustiņu kombināciju CTRL+F5 (operētājsistēmā Windows) vai Cmd+R (operētājsistēmā Mac).
PIRMAIS LĪMENIS
Eksponentēšana ir tāda pati matemātiskā darbība kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.
Tagad es visu paskaidrošu cilvēku valodaļoti vienkāršus piemērus. Esi uzmanīgs. Piemēri ir elementāri, bet izskaidro svarīgas lietas.
Sāksim ar papildinājumu.
Te nav ko skaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katrā ir divas kolas pudeles. Cik daudz kolas? Tieši tā – 16 pudeles.
Tagad reizināšana.
To pašu piemēru ar kolu var uzrakstīt savādāk: . Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā veidu, kā tos ātrāk “saskaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds kolas pudeļu skaits, un viņi izdomāja paņēmienu, ko sauc par reizināšanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.
Tātad, lai skaitītu ātrāk, vieglāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula. Protams, visu var darīt lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet…
Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.
Un vēl viens, skaistāks:
Un kādus citus viltīgus skaitīšanas trikus izdomāja slinkie matemātiķi? Pa labi - skaitļa paaugstināšana pakāpē.
Skaitļa palielināšana pakāpē
Ja jums ir jāreizina skaitlis ar sevi piecas reizes, tad matemātiķi saka, ka jums šis skaitlis jāpalielina līdz piektajai pakāpei. Piemēram, . Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektā pakāpe ir. Un viņi šādas problēmas risina savā prātā – ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām.
Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams tikai atcerieties, kas skaitļu pakāpju tabulā ir iezīmēts ar krāsu. Tici man, tas padarīs tavu dzīvi daudz vieglāku.
Starp citu, kāpēc sauc otro pakāpi kvadrāts skaitļi, un trešais kubs? Ko tas nozīmē? Ļoti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.
Reālās dzīves piemērs #1
Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro pakāpi.
Iedomājieties kvadrātveida baseinu, kura izmēri ir metri ar metriem. Baseins atrodas jūsu pagalmā. Ir karsts, un es ļoti gribu peldēt. Bet ... baseins bez dibena! Ir nepieciešams pārklāt baseina dibenu ar flīzēm. Cik flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina dibena laukums.
Jūs varat vienkārši saskaitīt, bakstot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no kubiņiem metrs pēc metra. Ja jūsu flīzes ir metrs pēc metra, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir viegli... Bet kur tu tādu flīzi redzēji? Flīze drīzāk būs cm pa cm.. Un tad jūs mocīs "skaitot ar pirkstu". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē liksim flīzes (gabalus), bet otrā arī flīzes. Reizinot ar, jūs iegūstat flīzes ().
Vai pamanījāt, ka mēs reizinājām to pašu skaitli, lai noteiktu baseina dibena laukumu? Ko tas nozīmē? Tā kā tiek reizināts viens un tas pats skaitlis, mēs varam izmantot eksponēšanas paņēmienu. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, jums tie joprojām ir jāreizina vai jāpalielina līdz pakāpei. Bet, ja jums to ir daudz, tad paaugstināšana līdz pakāpei ir daudz vienkāršāka un arī aprēķinos ir mazāk kļūdu . Eksāmenam tas ir ļoti svarīgi).
Tātad, trīsdesmit līdz otrajai pakāpei būs (). Vai arī jūs varat teikt, ka trīsdesmit kvadrātā būs. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro pakāpi vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja jūs redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir kāda skaitļa otrais pakāpe. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēls.
Reālās dzīves piemērs #2
Šeit jums ir uzdevums, saskaitiet, cik rūtiņu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu... Vienā šūnu pusē un arī otrā. Lai saskaitītu to skaitu, jums ir jāreizina astoņi ar astoņiem vai ... ja pamanāt, ka šaha galds ir kvadrāts ar malu, tad varat kvadrātā astoņi. Iegūstiet šūnas. () Tātad?
Reālās dzīves piemērs #3
Tagad kubs vai skaitļa trešā pakāpe. Tas pats baseins. Bet tagad jānoskaidro, cik daudz ūdens būs jāielej šajā baseinā. Jums jāaprēķina skaļums. (Starp citu, tilpumus un šķidrumus mēra kubikmetri. Negaidīti, vai ne?) Uzzīmējiet baseinu: vienu metru garu un metru dziļu dibenu un mēģiniet aprēķināt, cik kubu kopā metrs pa metram ieplūdīs jūsu baseinā.
Vienkārši rādi ar pirkstu un skaita! Viens, divi, trīs, četri...divdesmit divi, divdesmit trīs... Cik sanāca? Nepazuda? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tā ka! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, ir jāreizina tā garums, platums un augstums savā starpā. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiņiem ... Vieglāk, vai ne?
Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja viņi to padara pārāk vienkāršu. Viss tika samazināts līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un ka tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi ... Un ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi izdara vienu darbību: trīs kubā ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi:
Paliek tikai iegaumēt grādu tabulu. Ja vien jūs, protams, neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.
Nu, lai jūs beidzot pārliecinātu, ka grādus izdomājuši klaiši un viltīgi cilvēki, lai atrisinātu savas dzīves problēmas, nevis radītu problēmas jums, šeit ir vēl pāris piemēri no dzīves.
Reālās dzīves piemērs #4
Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā jūs nopelnāt vēl vienu miljonu par katru miljonu. Tas ir, katrs jūsu miljons katra gada sākumā dubultojas. Cik daudz naudas jums būs pēc gadiem? Ja tu tagad sēdi un “skaiti ar pirkstu”, tad esi ļoti strādīgs cilvēks un .. stulbs. Bet visticamāk atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad, pirmajā gadā - divas reizes divas ... otrajā gadā - kas notika, vēl par diviem, trešajā gadā ... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts ar sevi vienu reizi. Tātad divi līdz piektajai pakāpei ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir konkurss un tas, kurš ātrāk rēķinās, dabūs šos miljonus... Vai ir vērts atcerēties skaitļu pakāpes, kā jūs domājat?
Reālās dzīves piemērs #5
Tev ir miljons. Katra gada sākumā jūs nopelnāt par diviem vairāk par katru miljonu. Tas ir lieliski, vai ne? Katrs miljons tiek trīskāršots. Cik daudz naudas jums būs pēc gada? Skaitīsim. Pirmais gads - reizini ar, tad rezultāts ar citu... Tas jau ir garlaicīgi, jo tu jau visu saprati: trīs tiek reizināts ar sevi reizēs. Tātad ceturtā jauda ir miljons. Jums tikai jāatceras, ka trīs līdz ceturtā pakāpe ir vai.
Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz spēkam, jūs ievērojami atvieglosit savu dzīvi. Apskatīsim sīkāk, ko varat darīt ar grādiem un kas jums par tiem jāzina.
Termini un jēdzieni ... lai neapjuktu
Tātad, pirmkārt, definēsim jēdzienus. Ko tu domā, kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši – tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas "augšpusē". Nav zinātnisks, bet skaidrs un viegli iegaumējams ...
Nu, tajā pašā laikā, ko tāda grādu bāze? Vēl vienkāršāks ir skaitlis, kas atrodas apakšā, pamatnē.
Šeit ir bilde, lai pārliecinātos.
Nu un iekšā vispārējs skats lai vispārinātu un labāk atcerētos ... Grāds ar bāzi "" un eksponents "" tiek lasīts kā "uz grādu" un tiek rakstīts šādi:
Skaitļa spēks ar naturālo eksponentu
Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir dabiskais skaitlis. Jā, bet kas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Dabiskie skaitļi ir tie, kurus izmanto skaitīšanā, uzskaitot vienumus: viens, divi, trīs ... Kad mēs saskaitām vienumus, mēs nesakām: "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi". Mēs arī nesakām "viena trešdaļa" vai "nulle komats piecas desmitdaļas". Tie nav dabiski skaitļi. Kādi, jūsuprāt, ir šie skaitļi?
Tādi skaitļi kā "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi" attiecas uz veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus naturālos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnusa zīmi) un skaitļus. Nulle ir viegli saprotama – tas ir tad, kad nekā nav. Un ko nozīmē negatīvie ("mīnus") skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt parādu apzīmēšanai: ja jūsu tālrunī ir atlikums rubļos, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.
Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā tie radās, kā tu domā? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem nav pietiekami daudz dabisko skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, laukumu utt. Un viņi izdomāja racionālie skaitļi… Interesanti, vai ne?
Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, bezgalīgi decimālzīme. Piemēram, ja jūs dalāt apļa apkārtmēru ar tā diametru, tad iegūstat neracionālu skaitli.
Kopsavilkums:
Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (tas ir, vesels skaitlis un pozitīvs).
- Jebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi:
- Lai dalītu skaitli kvadrātā, tas ir jāreizina ar sevi:
- Lai skaitli kubētu, tas nozīmē to trīs reizes reizināt ar sevi:
Definīcija. Lai palielinātu skaitli līdz dabiskajam pakāpēm, tas nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi reizināt:
.
Grāda īpašības
No kurienes radās šie īpašumi? Es jums tagad parādīšu.
Paskatīsimies, kas ir Un ?
A-prioritāte:
Cik reizinātāju ir kopā?
Tas ir ļoti vienkārši: faktoriem pievienojām faktorus, un rezultāts ir faktori.
Bet pēc definīcijas šī ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir: , kas bija jāpierāda.
Piemērs: vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums:
Piemērs: Vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums: Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti tam jābūt vienam un tam pašam iemeslam!
Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:
tikai spēku produktiem!
Nekādā gadījumā nevajadzētu to rakstīt.
2. tas ir -skaitļa pakāpe
Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:
Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:
Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad nevarat to izdarīt kopumā:
Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt?
Bet tā nav taisnība, tiešām.
Grāds ar negatīvu bāzi
Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kādam jābūt eksponentam.
Bet kam vajadzētu būt par pamatu?
Grādos no dabiskais rādītājs pamats var būt jebkurš skaitlis. Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat.
Padomāsim par to, kurām zīmēm (" " vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?
Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? A? ? Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.
Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar, izrādās.
Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Vai jums izdevās?
Šeit ir atbildes: Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs.
Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).
Piemērs 6) vairs nav tik vienkāršs!
6 prakses piemēri
Risinājuma analīze 6 piemēri
Ja mēs nepievēršam uzmanību astotajai pakāpei, ko mēs šeit redzam? Ieskatīsimies 7. klases programmā. Tātad, atceries? Šī ir saīsinātā reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība! Mēs iegūstam:
Mēs uzmanīgi aplūkojam saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Nepareiza terminu secība. Ja tie tiktu apmainīti, noteikums varētu tikt piemērots.
Bet kā to izdarīt? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.
Termini maģiski ir mainījuši vietas. Šis "fenomens" vienmērīgā pakāpē attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam brīvi mainīt zīmes iekavās.
Bet ir svarīgi atcerēties: visas pazīmes mainās vienlaicīgi!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
vesels mēs nosaucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi "") un skaitli.
pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.
Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.
Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:
Kā vienmēr, mēs sev jautājam: kāpēc tas tā ir?
Apsveriet kādu spēku ar pamatni. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:
Tātad, mēs reizinājām skaitli ar un saņēmām to pašu, kāds tas bija -. Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.
Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:
Atkārtosim noteikumu:
Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.
Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).
No vienas puses, tai jābūt vienādai ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemat nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim līdz nulles grādiem, tam jābūt vienādam. Tātad, kāda ir šī patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs varam ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.
Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvā pakāpe, darīsim to pašu, ko pagājušajā reizē: reiziniet kādu normālu skaitli ar to pašu negatīva pakāpe:
No šejienes jau ir viegli izteikt vēlamo:
Tagad mēs paplašinām iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:
Tātad, formulēsim noteikumu:
Skaitlis negatīvam posmam ir tā paša skaitļa apgriezts pozitīvā pakāpē. Bet tajā pašā laikā bāze nevar būt nulle:(jo nav iespējams sadalīt).
Apkoposim:
I. Izteiksme nav definēta gadījumā. Ja tad.
II. Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu: .
III. Skaitlis, kas nav vienāds ar nulli negatīvā pakāpē, ir tāda paša skaitļa apgrieztā vērtība pozitīvajam pakāpēm: .
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:
Nu, kā parasti, piemēri neatkarīgam risinājumam:
Uzdevumu analīze patstāvīgam risinājumam:
Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumu, ja nevarat to atrisināt, un eksāmenā uzzināsiet, kā ar tiem viegli tikt galā!
Turpināsim paplašināt skaitļu loku "piemērots" kā eksponents.
Tagad apsveriet racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?
Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, turklāt.
Lai saprastu, kas ir "daļēja pakāpe" Apskatīsim daļu:
Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:
Tagad atcerieties noteikumu "no pakāpes līdz pakāpei":
Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?
Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.
Atgādināšu: skaitļa () pakāpes sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot līdz pakāpei, ir vienāds.
Tas nozīmē, ka th pakāpes sakne ir kāpināšanas apgrieztā darbība: .
Izrādās, ka. Acīmredzot šo īpašo gadījumu var pagarināt: .
Tagad pievienojiet skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas pārvēršanas noteikumu:
Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar iegūt no visiem skaitļiem.
Neviens!
Atcerieties noteikumu: jebkurš skaitlis, kas palielināts līdz vienmērīgs grāds ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams iegūt pāra pakāpes saknes!
Un tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt daļēja pakāpe ar vienmērīgu saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.
Kā ar izteiksmi?
Bet šeit rodas problēma.
Skaitli var attēlot kā citas, samazinātas frakcijas, piemēram, vai.
Un izrādās, ka tā pastāv, bet neeksistē, un tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.
Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, tiklīdz indikatoru rakstām savādāk, mums atkal rodas problēmas: (tas ir, mēs saņēmām pavisam citu rezultātu!).
Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, apsveriet tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.
Tātad ja:
- - naturālais skaitlis;
- ir vesels skaitlis;
Piemēri:
Pakāpes ar racionālu eksponentu ir ļoti noderīgas, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:
5 prakses piemēri
5 apmācību piemēru analīze
Nu, tagad - visgrūtākais. Tagad mēs analizēsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.
Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādiem ar racionālu eksponentu, izņemot
Patiešām, pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).
Studējot grādus ar naturālu, veselu skaitli un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.
Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes;
...nulles jauda- tas it kā ir vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, to vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs skaitlis” , proti, numurs;
...negatīva vesela skaitļa eksponents- it kā būtu noticis zināms “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.
Starp citu, zinātne bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis.
Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.
KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja iemācīsies risināt šādus piemērus :))
Piemēram:
Izlemiet paši:
Risinājumu analīze:
1. Sāksim ar jau ierasto noteikumu par grāda paaugstināšanu līdz grādam:
Tagad paskatieties uz rezultātu. Vai viņš tev kaut ko atgādina? Mēs atgādinām formulu kvadrātu starpības saīsinātai reizināšanai:
Šajā gadījumā,
Izrādās, ka:
Atbilde: .
2. Eksponentos daļskaitļus veidojam vienā formā: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram:
Atbilde: 16
3. Nekas īpašs, pielietojam parastās grādu īpašības:
PAPILDINĀJUMS
Pakāpes definīcija
Pakāpe ir formas izteiksme: , kur:
- — grāda bāze;
- - eksponents.
Pakāpe ar naturālo eksponentu (n = 1, 2, 3,...)
Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:
Jauda ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)
Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:
erekcija uz nulles jaudu:
Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.
Ja eksponents ir vesels skaitlis negatīvs numurs:
(jo nav iespējams sadalīt).
Vēlreiz par nullēm: izteiksme lietā nav definēta. Ja tad.
Piemēri:
Grāds ar racionālu eksponentu
- - naturālais skaitlis;
- ir vesels skaitlis;
Piemēri:
Grāda īpašības
Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.
Apskatīsim: kas ir un?
A-prioritāte:
Tātad šīs izteiksmes labajā pusē tiek iegūts šāds produkts:
Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:
Q.E.D.
Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums : .
Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt uz tāda paša pamata. Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:
Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku produktiem!
Es nekādā gadījumā nedrīkstu to rakstīt.
Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:
Pārkārtosim to šādi:
Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa -tais pakāpe:
Faktiski to var saukt par "indikatora iekavēšanu". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopumā:!
Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā nav taisnība, tiešām.
Jauda ar negatīvu bāzi.
Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kam vajadzētu būt rādītājs grāds. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Grādos no dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .
Patiešām, mēs varam reizināt jebkuru skaitli ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim par to, kurām zīmēm (" " vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?
Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? A? ?
Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.
Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Galu galā no 6. klases atceramies vienkāršu likumu: "mīnus reiz mīnus dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam -.
Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Tādu var formulēt vienkārši noteikumi:
- pat grāds, - numurs pozitīvs.
- Negatīvs skaitlis, uzcelts gadā nepāra grāds, - numurs negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
- Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.
Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.
Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Pamats nav tas pats, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).
6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja jūs to atceraties, tas kļūst skaidrs, kas nozīmē, ka bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.
Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:
Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:
Pirms pēdējā noteikuma analīzes atrisināsim dažus piemērus.
Aprēķiniet izteiksmju vērtības:
Risinājumi :
Ja mēs nepievēršam uzmanību astotajai pakāpei, ko mēs šeit redzam? Ieskatīsimies 7. klases programmā. Tātad, atceries? Šī ir saīsinātā reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība!
Mēs iegūstam:
Mēs uzmanīgi aplūkojam saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Nepareiza terminu secība. Ja tie tiktu mainīti, varētu piemērot noteikumu 3. Bet kā to izdarīt? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.
Ja reizināt ar, nekas nemainās, vai ne? Bet tagad tas izskatās šādi:
Termini maģiski ir mainījuši vietas. Šis "fenomens" vienmērīgā pakāpē attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam brīvi mainīt zīmes iekavās. Bet ir svarīgi atcerēties: visas pazīmes mainās vienlaicīgi! To nevar aizstāt, mainot tikai vienu mums nosodāmu mīnusu!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
Tātad tagad pēdējais noteikums:
Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim:
Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu būs? reizes ar reizinātājiem - kā tas izskatās? Tas nav nekas cits kā darbības definīcija reizināšana: kopā izrādījās reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:
Piemērs:
Pakāpe ar iracionālu eksponentu
Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu rādītāju. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , iracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos).
Studējot grādus ar naturālu, veselu skaitli un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, naturālais eksponents ir skaitlis, kas reizināts ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā vienreiz ar sevi reizināts skaitlis, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikta “skaitļa sagatavošana”, proti, numurs; grāds ar veselu negatīvu rādītāju - it kā ir noticis zināms “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.
Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Drīzāk tas ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi ir radījuši, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.
Starp citu, zinātne bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs par šādām grūtībām nedomājam, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.
Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)
Piemēram:
Izlemiet paši:
| 1) | 2) | 3) |
Atbildes:
- Atcerieties kvadrātu formulas atšķirību. Atbilde: .
- Daļskaitļus veidojam vienā formā: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram: .
- Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:
SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULA
Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:
Grāds ar veselu eksponentu
pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).
Grāds ar racionālu eksponentu
pakāpe, kuras rādītājs ir negatīvi un daļskaitļi.
Pakāpe ar iracionālu eksponentu
eksponents, kura eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.
Grāda īpašības
Pakāpju pazīmes.
- Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
- Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurai pakāpei ir pozitīvs skaitlis.
- Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
- Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.
TAGAD JUMS IR VĀRDS...
Kā jums patīk raksts? Paziņojiet man tālāk esošajos komentāros, vai jums tas patika vai nē.
Pastāstiet mums par savu pieredzi ar jaudas īpašībām.
Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.
Raksti komentāros.
Un veiksmi eksāmenos!
Jaudas formulas izmanto samazināšanas un vienkāršošanas procesā sarežģīti izteicieni, risinot vienādojumus un nevienādības.
Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:
Operācijas ar pilnvarām.
1. Reizinot grādus ar to pašu bāzi, to rādītāji summējas:
a ma n = a m + n .
2. Pakāpju dalījumā ar vienādu bāzi to rādītājus atņem:
3. Produkta pakāpe no 2 vai vairāk faktori ir vienādi ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:
(a/b) n = a n/b n .
5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:
(am) n = a m n .
Katra iepriekš minētā formula ir pareiza virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Darbības ar saknēm.
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecību sakne ir vienāds ar attiecību sakņu dalāmie un dalītāji:
3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar saknes skaitli palielināt līdz šim pakāpim:
4. Ja palielināsim saknes pakāpi iekšā n vienreiz un tajā pašā laikā paaugstināt uz n th jauda ir saknes skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja samazinām saknes pakāpi in n saknes tajā pašā laikā n grāds no radikālā skaitļa, tad saknes vērtība nemainīsies:
Grāds ar negatīvu eksponentu. Skaitļa pakāpi ar nepozitīvu (veselu) eksponentu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa pakāpi ar eksponentu, kas vienāds ar nepozitīvā eksponenta absolūto vērtību:
Formula a m:a n = a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī plkst m< n.
Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Uz formulu a m:a n = a m - n kļuva godīgs plkst m=n, jums ir nepieciešama nulles pakāpes klātbūtne.
Grāds ar nulles eksponentu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle ar nulles eksponentu, jauda ir vienāda ar vienu.
Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe mšī skaitļa jauda A.
Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?
Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:
1) ja grādiem ir vienāds pamats;
2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.
Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāzei jāpaliek nemainīgai un jāpievieno eksponenti:
Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt iekavās:
Apsveriet, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.
Mērvienība eksponentā nav rakstīta, bet, reizinot grādus, tie ņem vērā:
Reizinot, grādu skaits var būt jebkurš. Jāatceras, ka reizināšanas zīmi nevar rakstīt pirms burta:
Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.
Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic eksponēšana un tikai pēc tam - reizināšana:
www.algebraclass.ru
Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana
Pakāpju saskaitīšana un atņemšana
Acīmredzot skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar to zīmēm.
Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2 .
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.
Likmes vienādas pilnvaras tiem pašiem mainīgajiem var pievienot vai atņemt.
Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2 .
Ir arī skaidrs, ka, ja mēs ņemam divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.
Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos to zīmēm.
Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.
Ir skaidrs, ka a kvadrāts un a kubs nav ne divreiz lielāks par a kvadrātu, bet gan divreiz lielāks par a kubu.
A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšdaļas zīmes.
Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6
Jaudas reizināšana
Skaitļus ar pakāpēm var reizināt tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.
Tātad rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.
Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g
Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksmei būs šāda forma: a 5 b 5 y 3 .
Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.
Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.
Tātad a n .a m = a m+n .
Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;
Un a m , tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;
Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot eksponentus.
Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir − negatīvs.
1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir
Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.
Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.
Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Pilnvaru sadale
Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos daļskaitļa formā.
Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir 3 .
Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.
Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..
Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tas ir, $\frac = y$.
Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.
Vai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Noteikums ir spēkā arī cipariem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.
Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm
1. Samaziniet eksponentus $\frac $ Atbilde: $\frac $.
2. Samaziniet eksponentus $\frac$. Atbilde: $\frac $ vai 2x.
3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .
4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5/5a 2.
5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.
6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).
7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .
8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/g.
pakāpes īpašības
Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs saprotam pakāpes īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem rādītājiem un to īpašības tiks apspriestas mācību stundās 8. klasei.
Eksponentam ar dabisko eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus eksponenta piemēros.
Īpašums Nr. 1
Spēku produkts
Reizinot pakāpes ar to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek pievienoti.
a m a n \u003d a m + n, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.
Šī spēku īpašība ietekmē arī trīs vai vairāku spēku reizinājumu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā runa bija tikai par spēku reizināšanu ar vienādām bāzēm.. Tas neattiecas uz to pievienošanu.
Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
aprēķināt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243
Īpašums #2
Privātie grādi
Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam daļēju grādu īpašību.
3 8: t = 3 4
Atbilde: t = 3 4 = 81
Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.
- Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot pakāpes īpašības.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašums aplūkoja tikai pilnvaru sadali ar tiem pašiem pamatiem.
Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4
Īpašums Nr. 3
Paaugstināšana
Paaugstinot pakāpju pakāpē, jaudas bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.
(a n) m \u003d a n m, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka īpašība Nr. 4, tāpat kā citas grādu īpašības, tiek piemērota arī apgrieztā secībā.
(a n b n)= (a b) n
Tas ir, lai reizinātu grādus ar tiem pašiem eksponentiem, jūs varat reizināt bāzes un atstāt eksponentu nemainīgu.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Vairāk grūti piemēri var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pār pilnvarām ar dažādiem pamatiem un dažādi rādītāji. Šajā gadījumā mēs iesakām rīkoties šādi.
Piemēram, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Decimāldaļskaitļa kāpināšanas piemērs.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4
Īpašības 5
Koeficienta spēks (daļdaļas)
Lai palielinātu koeficientu līdz pakāpei, varat atsevišķi palielināt dividenžu un dalītāju līdz šai pakāpei un dalīt pirmo rezultātu ar otro.
(a: b) n \u003d a n: b n, kur "a", "b" ir jebkuri racionāli skaitļi, b ≠ 0, n ir jebkurš naturāls skaitlis.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.
Grādi un saknes
Darbības ar pilnvarām un saknēm. Grāds ar negatīvu ,
nulle un daļskaitlis indikators. Par izteicieniem, kuriem nav jēgas.
Operācijas ar pilnvarām.
1. Reizinot jaudas ar vienu un to pašu bāzi, to rādītājus saskaita:
a m · a n = a m + n .
2. Dalot grādus ar vienādu bāzi, to rādītāji atņemts .
3. Divu vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpe ir vienāda ar šo faktoru pakāpju reizinājumu.
4. Attiecības pakāpe (daļdaļa) ir vienāda ar dividendes (skaitītāja) un dalītāja (saucēja) pakāpju attiecību:
(a/b) n = a n / b n .
5. Paaugstinot pakāpi līdz jaudai, to rādītāji tiek reizināti:
Visas iepriekš minētās formulas tiek nolasītas un izpildītas abos virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
PIEMĒRS (2 3 5/15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Darbības ar saknēm. Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un dalītāja sakņu attiecību:
3. Paceļot sakni līdz spēkam, pietiek pacelt līdz šim spēkam saknes numurs:
4. Ja saknes pakāpi palielina par m reižu un vienlaikus paaugstina saknes skaitli līdz m pakāpei, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja saknes pakāpi samazina par m reizes un vienlaikus izņem no radikālskaitļa m-tās pakāpes sakni, tad saknes vērtība nemainīsies:
Pakāpes jēdziena paplašināšana. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālo rādītāju; bet operācijas ar pilnvarām un saknēm var arī novest pie negatīvs, nulle Un daļēja rādītājiem. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.
Grāds ar negatīvu eksponentu. Dažu skaitļu ar negatīvu (veselu) eksponentu jaudu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar negatīvā eksponenta absolūto vērtību:
Tagad formula a m : a n = a m-n var izmantot ne tikai m, vairāk par n, bet arī plkst m, mazāk nekā n .
PIEMĒRS a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Ja mēs vēlamies formulu a m : a n = a m — n bija godīgi plkst m = n, mums ir nepieciešama nulles pakāpes definīcija.
Grāds ar nulles eksponentu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle ar nulles eksponentu, pakāpe ir 1.
PIEMĒRI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālo skaitli a līdz pakāpei m / n, jums ir jāizņem n-tās pakāpes sakne no šī skaitļa m. pakāpes:
Par izteicieniem, kuriem nav jēgas. Ir vairāki šādi izteicieni.
Kur a ≠ 0 , neeksistē.
Patiešām, ja mēs tā pieņemam x ir noteikts skaitlis, tad saskaņā ar dalīšanas darbības definīciju mums ir: a = 0· x, t.i. a= 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu: a ≠ 0
— jebkurš skaitlis.
Patiešām, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 x. Bet šī vienlīdzība ir spēkā jebkurš skaitlis x, kas bija jāpierāda.
0 0 — jebkurš skaitlis.
Risinājums. Apsveriet trīs galvenos gadījumus:
1) x = 0 – šī vērtība neapmierina šo vienādojumu
2) kad x> 0 mēs iegūstam: x/x= 1, t.i. 1 = 1, no kurienes seko,
Kas x- jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā to
mūsu lieta x> 0, atbilde ir x > 0 ;
Noteikumi pilnvaru reizināšanai ar dažādiem pamatiem
GRĀDS AR RACIONĀLO INDIKATORU,
JAUDAS FUNKCIJA IV
69.§ Pilnvaru pavairošana un dalīšana ar vienādiem pamatiem
1. teorēma. Lai reizinātu jaudas ar vienādām bāzēm, pietiek pievienot eksponentus un atstāt bāzi to pašu, tas ir
Pierādījums. Pēc grāda definīcijas
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Mēs esam apsvēruši divu spēku reizinājumu. Faktiski pierādītais īpašums ir patiess jebkuram skaitam pilnvaru ar vienādām bāzēm.
2. teorēma. Lai dalītu pilnvaras ar vienādām bāzēm, kad dividendes rādītājs ir lielāks par dalītāja rādītāju, pietiek atņemt dalītāja rādītāju no dividendes rādītāja un atstāt bāzi to pašu, tas ir plkst t > n
(a =/= 0)
Pierādījums. Atcerieties, ka viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients ir skaitlis, kuru reizinot ar dalītāju, tiek iegūta dividende. Tāpēc pierādiet formulu , kur a =/= 0, tas ir kā formulas pierādīšana
Ja t > n , tad numurs t - lpp būs dabiski; tāpēc ar 1. teorēmu
2. teorēma ir pierādīta.
Ņemiet vērā, ka formula
mēs pierādījām tikai ar pieņēmumu, ka t > n . Tāpēc no pierādītā vēl nav iespējams izdarīt, piemēram, šādus secinājumus:
Turklāt mēs vēl neesam apsvēruši grādus ar negatīviem eksponentiem, un mēs vēl nezinām, kādu nozīmi var piešķirt izteiksmei 3 - 2 .
3. teorēma. Lai palielinātu pakāpju pakāpē, pietiek ar eksponentu reizināšanu, atstājot eksponenta bāzi to pašu, tas ir
Pierādījums. Izmantojot pakāpes definīciju un šīs sadaļas 1. teorēmu, mēs iegūstam:
Q.E.D.
Piemēram, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Mutiski.) Noteikt X no vienādojumiem:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Pielāgots) Vienkāršot:
520. (Pielāgots) Vienkāršot:
521. Uzrāda šīs izteiksmes kā grādus ar vienādām bāzēm:
1) 32. un 64.; 3) 85. un 163.; 5) 4 100 un 32 50;
2) -1000 un 100; 4) -27 un -243; 6) 81 75 8 200 un 3 600 4 150.
