Fizikā spektra pētīšanai bieži izmanto trīsstūrveida prizmu, kas izgatavota no stikla balta gaisma, jo tas spēj to sadalīt atsevišķos komponentos. Šajā rakstā mēs apsvērsim apjoma formulu
Kas ir trīsstūrveida prizma?
Pirms apjoma formulas norādīšanas apsveriet šī attēla īpašības.
Lai to iegūtu, jums ir jāņem patvaļīgas formas trīsstūris un jāpārvieto tas paralēli sev noteiktā attālumā. Trijstūra virsotnes sākuma un beigu pozīcijās jāsavieno ar taisniem segmentiem. Iegūto trīsdimensiju figūru sauc par trīsstūrveida prizmu. Tam ir piecas puses. Divas no tām sauc par bāzēm: tās ir paralēlas un vienādas viena ar otru. Aplūkojamās prizmas pamati ir trīsstūri. Trīs atlikušās malas ir paralelogrami.
Papildus malām aplūkojamo prizmu raksturo sešas virsotnes (trīs katrai pamatnei) un deviņas malas (6 malas atrodas pamatu plaknēs un 3 malas veido malu krustojums). Ja sānu ribas perpendikulāri pamatiem, tad šādu prizmu sauc par taisnstūra prizmu.
Atšķirība starp trīsstūrveida prizmu un visām pārējām šīs klases figūrām ir tāda, ka tā vienmēr ir izliekta (četru, piecu, ..., n-stūra prizmu var būt arī ieliektas).
Šī ir taisnstūrveida figūra, kuras pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris.
Vispārēja tipa trīsstūrveida prizmas tilpums
Kā atrast trīsstūrveida prizmas tilpumu? formula iekšā vispārējs skats līdzīgi kā jebkura veida prizmai. Tam ir šāds matemātiskais apzīmējums:
Šeit h ir figūras augstums, tas ir, attālums starp tās pamatiem, S o ir trijstūra laukums.
S o vērtību var atrast, ja ir zināmi daži trīsstūra parametri, piemēram, viena mala un divi leņķi vai divas malas un viens leņķis. Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā augstuma un tās malas garuma reizinājuma, uz kuras šis augstums ir nolaists.
Kas attiecas uz figūras augstumu h, tad to visvieglāk atrast taisnstūra prizmai. Pēdējā gadījumā h sakrīt ar sānu malas garumu.
Regulāras trīsstūra prizmas tilpums
Lai aprēķinātu atbilstošo vērtību regulārai trīsstūra prizmai, var izmantot vispārīgo trīsstūra prizmas tilpuma formulu, kas dota raksta iepriekšējā sadaļā. Tā kā tā pamatne ir vienādmalu trīsstūris, tā laukums ir:
Ikviens var iegūt šo formulu, ja atceras, ka vienādmalu trijstūrī visi leņķi ir vienādi viens ar otru un veido 60 o. Šeit simbols a ir trijstūra malas garums.
Augstums h ir malas garums. Tam nav nekāda sakara ar pamatu. labā prizma un var pieņemt patvaļīgas vērtības. Rezultātā pareizās formas trīsstūrveida prizmas tilpuma formula izskatās šādi:
Pēc saknes aprēķināšanas mēs varam pārrakstīt šo formulu šādi:
Tādējādi, lai atrastu regulāras prizmas tilpumu ar trīsstūrveida pamatne, nepieciešams kvadrātveida pamatnes malu, reizināt šo vērtību ar augstumu un iegūto vērtību reizināt ar 0,433.
Skolas mācību programmā cietās ģeometrijas kursam trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 vienādi regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.
Kā izskatās prizma
Parasta četrstūra prizma ir heksaedrs, kura pamati ir 2 kvadrāti, un sānu sejas attēlots ar taisnstūriem. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.
Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.
Bildē arī var redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisku ķermeni. Tos parasti sauc par:
Dažreiz ģeometrijas problēmās var atrast sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija ir perpendikulāra (šķērso figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais izbūvējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.
Ja griezums ir novilkts tā, ka griešanas plakne nav paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.
Reducēto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).
Virsmas laukums un tilpums
Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:
V = Sprim h
Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu detalizētākā formā:
V = a² h
Ja mēs runājam par kubu - parasto prizmu ar vienāds garums, platums un augstums, tilpumu aprēķina šādi:
Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās slaucīšana.
No zīmējuma redzams, ka sānu virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:
Sside = poz. h
Tā kā kvadrāta perimetrs ir P = 4a, formula iegūst šādu formu:
Sside = 4a h
Par kubu:
Sside = 4a²
Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam pievieno 2 pamatlaukumus:
Pilns = Sside + 2Sbase
Piemērojot četrstūrveida regulārai prizmai, formulai ir šāda forma:
Pilns = 4a h + 2a²
Par kuba virsmas laukumu:
Pilns = 6a²
Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.
Prizmu elementu atrašana
Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos var iegūt formulas:
- pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
- augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
- bāzes laukums: Sprim = V / h;
- sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.
Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonālei, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:
Sdiag = ah√2
Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, tiek izmantota formula:
dbalva = √(2a² + h²)
Lai saprastu, kā piemērot iepriekš minētās attiecības, varat praktizēt un atrisināt dažus vienkāršus uzdevumus.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
Lūk, daži no uzdevumiem, kas parādās valsts gala eksāmenos matemātikā.
1. vingrinājums.
Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja tās pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar 2 reizes garāku pamatnes garumu?
To vajadzētu argumentēt šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā traukā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var noteikt kā a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:
V₁ = ha² = 10a²
Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Tāpēc ka V₁ = V₂, izteicienus var pielīdzināt:
10a² = 4ha²
Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:
Rezultātā jaunais smilšu līmenis būs h = 10/4 = 2,5 cm.
2. uzdevums.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ir regulāra prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.
Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.
Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka bāze ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu virsmas diagonālei ir tāda pati vērtība, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.
Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmo diagonāli:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kopējo virsmas laukumu nosaka pēc formulas kubam:
Pilns = 6a² = 6 6² = 216
3. uzdevums.
Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?
Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, tas ir, regulāri četrstūri, un tās sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.
Istabas garums ir a = √9 = 3 m.
Laukums tiks noklāts ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².
Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50 30 = 1500 rubļi.
Tātad taisnstūra prizmas uzdevumu risināšanai pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.
Kā atrast kuba laukumu
Kāds ir prizmas tilpums un kā to atrast
Prizmas tilpums ir tās pamatnes laukuma reizinājums ar augstumu.
Tomēr mēs zinām, ka prizmas pamatnei var būt trīsstūris, kvadrāts vai kāds cits daudzskaldnis.
Tāpēc, lai atrastu prizmas tilpumu, jums vienkārši jāaprēķina prizmas pamatnes laukums un pēc tam jāreizina šis laukums ar tā augstumu.
Tas ir, ja prizmas pamatnē ir trīsstūris, tad vispirms ir jāatrod trijstūra laukums. Ja prizmas pamatne ir kvadrāts vai cits daudzstūris, tad vispirms ir jāatrod kvadrāta vai cita daudzstūra laukums.
Jāatceras, ka prizmas augstums ir perpendikuls, kas novilkts prizmas pamatnēm.
Kas ir prizma
Tagad atcerēsimies prizmas definīciju.
Prizma ir daudzstūris, kura divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un visas malas ārpus šīm skaldnēm ir paralēlas.
Vienkārši sakot, tad:
Prizma ir jebkura ģeometriska figūra, kurai ir divas vienādas pamatnes un plakanas virsmas.
Prizmas nosaukums ir atkarīgs no tās pamatnes formas. Ja prizmas pamatne ir trīsstūris, tad šādu prizmu sauc par trīsstūri. Daudzskaldņu prizma ir ģeometriska figūra, kuras pamats ir daudzskaldnis. Prizma ir arī sava veida cilindrs.
Kādi ir prizmu veidi
Ja skatāmies uz iepriekš redzamo attēlu, mēs varam redzēt, ka prizmas ir taisnas, regulāras un slīpas.
Vingrinājums
1. Kāda ir pareizā prizma?
2. Kāpēc to tā sauc?
3. Kā sauc prizmu, kuras pamati ir regulāri daudzstūri?
4. Kāds ir šīs figūras augstums?
5. Kā sauc prizmu, kuras malas nav perpendikulāras?
6. Definējiet trīsstūrveida prizmu.
7. Vai prizma var būt paralēlskaldnis?
8. Kādu ģeometrisku figūru sauc par pusregulāru daudzstūri?
No kādiem elementiem sastāv prizma?
Prizma sastāv no tādiem elementiem kā apakšējā un augšējā pamatne, sānu virsmas, malas un virsotnes.
Abas prizmas pamatnes atrodas plaknēs un ir paralēlas viena otrai.
Piramīdas sānu malas ir paralelogrami.
Sānu virsma piramīda ir sānu skaldņu summa.
Sānu virsmu kopīgās puses nav nekas cits kā šī attēla sānu malas.
Piramīdas augstums ir segments, kas savieno pamatu plaknes un ir tām perpendikulārs.
Prizmas īpašības
Ģeometriskajai figūrai, tāpat kā prizmai, ir vairākas īpašības. Sīkāk apskatīsim šīs īpašības:
Pirmkārt, prizmas pamatnes sauc par vienādiem daudzstūriem;
Otrkārt, prizmas sānu virsmas ir parādītas paralelograma formā;
Treškārt, šai ģeometriskajai figūrai ir paralēlas un vienādas malas;
Ceturtkārt, prizmas kopējais virsmas laukums ir:
Tagad apsveriet teorēmu, kas nodrošina formulu, pēc kuras aprēķināt sānu virsmas laukumu un pierādījumu.
Vai esat par to domājuši interesants fakts ka prizma var būt ne tikai ģeometrisks ķermenis, bet arī citi objekti mums apkārt. Pat parasta sniegpārsla atkarībā no temperatūras režīma var pārvērsties par ledus prizmu, iegūstot sešstūra figūras formu.
Bet kalcīta kristāliem ir tik unikāla parādība, ka tie sadalās fragmentos un iegūst paralēlskaldņa formu. Un kas ir visbrīnišķīgākais, lai cik mazi kalcīta kristāli tiktu sasmalcināti, rezultāts vienmēr ir vienāds, tie pārvēršas par sīkiem paralēlskaldņiem.
Izrādās, prizma guvusi popularitāti ne tikai matemātikā, demonstrējot savu ģeometrisko korpusu, bet arī mākslas jomā, jo uz tās balstītas gleznas, kuras radījuši tādi izcili mākslinieki kā P. Pikaso, Braks, Griss un citi.
Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.
Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.
Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.
Vispārējā teorija
Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trīsstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.
Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. pilna virsma tur jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.
Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.
Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.
trīsstūrveida prizma
Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.
Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.
Lai vispārīgā veidā noskaidrotu pamatnes laukumu, ir noderīgas formulas: Gārnis un tā, kurā puse sānu tiek ņemta līdz tai novilktajā augstumā.
Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Šajā ierakstā ir pusperimetrs (p), tas ir, trīs malu summa, kas dalīta ar divi.
Otrkārt: S = ½ n a * a.
Ja vēlaties uzzināt trijstūra prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.
četrstūra prizma
Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.
Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.
Ja runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.
Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, jums jāizmanto papildu formula: n a \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums n ir pretējs šim stūrim.
Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.
Regulāra piecstūra prizma
Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.
Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, tad to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.
Regulāra sešstūra prizma
Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.
Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.
Uzdevumi
Nr.1. Norādīta regulāra taisne, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.
Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot pamatnes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Konstatēts, ka prizmas kopējais virsmas laukums ir 960 cm2.
Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .
Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trīsstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.
Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir viena prizmas pamatnes laukums.
Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .
Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.
