Šeit ir apkopota pamatinformācija par piramīdām un saistītajām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties eksāmenam.

Apsveriet plakni, daudzstūri guļ tajā un punkts S, kas tajā neguļ. Savienojiet S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu malām. Daudzstūri sauc par pamatu, bet punktu S sauc par piramīdas virsotni. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Trīsstūrveida piramīdas alternatīvais nosaukums - tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no tās virsotnes līdz pamatplaknei.

Piramīdu sauc par pareizu, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.

Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus "regulāra piramīda" un "parastais tetraedrs". Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malu malas ir vienādas. Šī ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P ar augstuma pamatni, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.

Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība.

Matemātikas pasniedzējs par savu terminoloģiju: darbs ar piramīdām 80% ir veidots, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA

Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk nosaukt pirmo no tiem. apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā vienpusēji jāievieš.

Piramīdas tilpuma formula:
1) , kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un laukums pilna virsma piramīdas.
3) , kur MN ir attālums no jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:

Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām

Matemātikas skolotāja komentārs: ņemiet vērā, ka visus vienumus apvieno viens kopīpašums: tā vai citādi sānu sejas piedalās visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet ērtāku formulējumu iegaumēšanai: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda vienlīdzīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmiskie trīsstūri ir vienādi.

Punkts P sakrīt ar ierobežotā apļa centru netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu

Definīcija

Piramīda ir daudzstūris, kas sastāv no daudzstūra $A_1A_2...A_n$ un $n$ trijstūriem ar kopīgu virsotni $P$ (neatrodas daudzstūra plaknē) un pretējām malām sakrīt ar daudzstūris.
Apzīmējums: $PA_1A_2...A_n$ .
Piemērs: piecstūra piramīda $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Trijstūri $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ utt. sauca sānu sejas piramīdas, segmenti $PA_1, PA_2$ utt. - sānu ribas, daudzstūris $A_1A_2A_3A_4A_5$ – pamata, punkts $P$ – samits.

Augstums Piramīdas ir perpendikuls, kas nomests no piramīdas augšdaļas uz pamatnes plakni.

Tiek saukta piramīda, kuras pamatnē ir trīsstūris tetraedrs.

Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

$a)$ piramīdas sānu malas ir vienādas;

$b)$ piramīdas augstums iet caur ierobežotā apļa centru netālu no pamatnes;

$c)$ sānu ribas ir slīpi pret pamatplakni tādā pašā leņķī.

$d)$ sānu malas ir slīpi pret pamatplakni tādā pašā leņķī.

regulārs tetraedrs ir trīsstūrveida piramīda, kuras visas skaldnes ir vienādi vienādmalu trijstūri.

Teorēma

Nosacījumi $(a), (b), (c), (d)$ ir līdzvērtīgi.

Pierādījums

Uzzīmējiet piramīdas augstumu $PH$ . Pieņemsim, ka $\alpha$ ir piramīdas pamatnes plakne.

1) Pierādīsim, ka $(a)$ nozīmē $(b)$ . Ļaujiet $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Jo $PH\perp \alpha$ , tad $PH$ ir perpendikulāra jebkurai taisnei, kas atrodas šajā plaknē, tāpēc trīsstūri ir taisnleņķi. Tātad šie trīsstūri ir vienādi kopējā kājā $PH$ un hipotenūzā $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Tātad $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Tas nozīmē, ka punkti $A_1, A_2, ..., A_n$ atrodas vienādā attālumā no punkta $H$ , tāpēc tie atrodas uz viena apļa ar rādiusu $A_1H$ . Šis aplis pēc definīcijas ir ierobežots ap daudzstūri $A_1A_2...A_n$ .

2) Pierādīsim, ka $(b)$ nozīmē $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ taisnstūrveida un vienāds divās kājās. Līdz ar to arī to leņķi ir vienādi, tāpēc $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$.

3) Pierādīsim, ka $(c)$ nozīmē $(a)$ .

Līdzīgi kā pirmajā punktā, trijstūri $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ taisnstūrveida un gar kāju un ass stūris. Tas nozīmē, ka arī to hipotenūzas ir vienādas, tas ir, $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Pierādīsim, ka $(b)$ nozīmē $(d)$ .

Jo regulārā daudzstūrī norobežotā un ierakstītā apļa centri sakrīt (vispārīgi runājot, šo punktu sauc par regulāra daudzstūra centru), tad $H$ ir ierakstītā apļa centrs. Zīmēsim perpendikulus no punkta $H$ uz pamatnes malām: $HK_1, HK_2$ utt. Tie ir ierakstītā apļa rādiusi (pēc definīcijas). Tad saskaņā ar TTP ($PH$ ir perpendikuls plaknei, $HK_1, HK_2$ utt. ir projekcijas, kas ir perpendikulāras malām) slīps $PK_1, PK_2$ utt. perpendikulāri malām $A_1A_2, A_2A_3$ utt. attiecīgi. Tātad, pēc definīcijas $\angle PK_1H, \angle PK_2H$ vienāds ar leņķiem starp sānu virsmām un pamatni. Jo trijstūri $PK_1H, PK_2H, ...$ ir vienādi (kā taisnleņķi uz divām kājām), tad leņķi $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$ ir vienādi.

5) Pierādīsim, ka $(d)$ nozīmē $(b)$ .

Līdzīgi kā ceturtajā punktā, trīsstūri $PK_1H, PK_2H, ...$ ir vienādi (kā taisnstūrveida gar kāju un akūtu leņķi), kas nozīmē, ka segmenti $HK_1=HK_2=...=HK_n$ ir vienādi. Tādējādi pēc definīcijas $H$ ir pamatnē ierakstīta apļa centrs. Bet kopš regulāriem daudzstūriem ierakstīto un ierobežoto apļu centri sakrīt, tad $H$ ir ierobežotā apļa centrs. Chtd.

Sekas

Regulāras piramīdas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Definīcija

Tiek saukts regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas apotēma.
Regulāras piramīdas visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas viena ar otru un ir arī mediānas un bisektrise.

Svarīgas piezīmes

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes augstumu (vai bisektriņu, jeb mediānu) krustpunktam (pamats ir regulārs trīsstūris).

2. Regulāras četrstūra piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes diagonāļu krustpunktam (pamats ir kvadrāts).

3. Regulāras sešstūra piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes diagonāļu krustpunktam (pamats ir regulārs sešstūris).

4. Piramīdas augstums ir perpendikulārs jebkurai taisnei, kas atrodas pie pamatnes.

Definīcija

Piramīdu sauc taisnstūrveida ja viena no tā sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei.

Svarīgas piezīmes

1. Dariet taisnstūra piramīda pamatnei perpendikulāra mala ir piramīdas augstums. Tas ir, $SR$ ir augstums.

2. Jo $SR$ perpendikulāri jebkurai līnijai no pamatnes, tad $\trijstūris SRM, \trijstūris SRP$ ir taisnleņķa trīsstūri.

3. Trijstūri $\trijstūris SRN, \trijstūris SRK$ ir arī taisnstūrveida.
Tas ir, jebkurš trīsstūris, ko veido šī mala un diagonāle, kas iziet no šīs malas virsotnes, kas atrodas pie pamatnes, būs taisnleņķa.

\[(\Large(\text(Piramīdas tilpums un virsmas laukums)))\]

Teorēma

Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no piramīdas pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma: \

Sekas

Pieņemsim, ka $a$ ir pamatnes mala, $h$ ir piramīdas augstums.

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpums ir $V_(\text(labais trīsstūris pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Regulāras četrstūra piramīdas tilpums ir $V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h$.

3. Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir $V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Regulāra tetraedra tilpums ir $V_(\text(labais tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Teorēma

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

\[(\Large(\text(Saīsināta piramīda)))\]

Definīcija

Apsveriet patvaļīgu piramīdu $PA_1A_2A_3...A_n$ . Nozīmēsim plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei caur noteiktu punktu, kas atrodas piramīdas sānu malā. Šī plakne sadalīs piramīdu divos daudzskaldņos, no kuriem viens ir piramīda ($PB_1B_2...B_n$ ), bet otru sauc par nošķelta piramīda($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Nocirstajai piramīdai ir divi pamati - daudzstūri $A_1A_2...A_n$ un $B_1B_2...B_n$ , kas ir līdzīgi viens otram.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no kāda augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni.

Svarīgas piezīmes

1. Visas nošķeltas piramīdas sānu virsmas ir trapeces.

2. Nogrieznis, kas savieno regulāras nošķeltas piramīdas (tas ir, piramīdas, kas iegūta ar regulāras piramīdas posmu) pamatu centrus, ir augstums.

Piramīdas koncepcija

1. definīcija

Ģeometrisku figūru, ko veido daudzstūris un punkts, kas neatrodas plaknē, kas satur šo daudzstūri, kas savienota ar visām daudzstūra virsotnēm, sauc par piramīdu (1. att.).

Daudzstūri, no kura sastāv piramīda, sauc par piramīdas pamatu, trīsstūri, kas iegūti, savienojot ar punktu, ir piramīdas sānu malas, trijstūri ir piramīdas malas, bet punkts ir kopīgs visiem. trijstūri ir piramīdas virsotne.

Piramīdu veidi

Atkarībā no stūru skaita piramīdas pamatnē to var saukt par trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk (2. att.).

2. attēls.

Cits piramīdas veids ir parastā piramīda.

Ieviesīsim un pierādīsim regulāras piramīdas īpašību.

1. teorēma

Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādsānu trīsstūri, kas ir vienādi viens ar otru.

Pierādījums.

Apsveriet parastu $n-$gonālu piramīdu ar virsotni $S$ ar augstumu $h=SO$. Aprakstīsim apli ap pamatni (4. att.).

4. attēls

Apsveriet trīsstūri $SOA$. Ar Pitagora teorēmu mēs iegūstam

Acīmredzot šādā veidā tiks noteikta jebkura sānu mala. Tāpēc visas sānu malas ir vienādas viena ar otru, tas ir, visas sānu malas ir vienādsānu trīsstūri. Pierādīsim, ka tie ir līdzvērtīgi viens otram. Tā kā pamatne ir regulārs daudzstūris, visu sānu virsmu pamatnes ir vienādas viena ar otru. Līdz ar to visas sānu skaldnes ir vienādas saskaņā ar trijstūra III vienādības zīmi.

Teorēma ir pierādīta.

Tagad mēs ieviešam šādu definīciju, kas saistīta ar regulāras piramīdas jēdzienu.

3. definīcija

Parastās piramīdas apotēma ir tās sānu malas augstums.

Acīmredzot saskaņā ar 1. teorēmu visi apotēmi ir vienādi.

2. teorēma

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums tiek definēts kā pamatnes un apotēmas pusperimetra reizinājums.

Pierādījums.

Apzīmēsim $n-$ogļu piramīdas pamatnes malu kā $a$ un apotēmu kā $d$. Tāpēc sānu virsmas laukums ir vienāds ar

Tā kā saskaņā ar 1. teorēmu visas malas ir vienādas, tad

Teorēma ir pierādīta.

Vēl viens piramīdas veids ir nošķelta piramīda.

4. definīcija

Ja caur parastu piramīdu izvelk plakni, kas ir paralēla tās pamatnei, tad figūru, kas veidojas starp šo plakni un pamatnes plakni, sauc par nošķelto piramīdu (5. att.).

5. attēls. Nošķelta piramīda

Nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapeces.

3. teorēma

Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums tiek definēts kā pamatu un apotēmas pusperimetru summas reizinājums.

Pierādījums.

Apzīmēsim $n-$ogļu piramīdas pamatu malas attiecīgi ar $a\ un\ b$ un apotēmu ar $d$. Tāpēc sānu virsmas laukums ir vienāds ar

Tā kā visas puses ir vienādas, tad

Teorēma ir pierādīta.

Uzdevuma piemērs

1. piemērs

Atrodiet nošķeltas trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukumu, ja to iegūst no regulāras piramīdas ar pamatnes malu 4 un apotēmu 5, nogriežot ar plakni, kas iet caur sānu virsmu viduslīniju.

Risinājums.

Saskaņā ar mediānas līnijas teorēmu mēs iegūstam, ka nošķeltas piramīdas augšējā bāze ir vienāda ar $4\cdot \frac(1)(2)=2$, un apotēma ir vienāda ar $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 $.

Tad ar 3. teorēmu mēs iegūstam

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Kad satiekam vārdu "piramīda", tad asociatīvā atmiņa aizved mūs uz Ēģipti. Ja runājam par agrīnajiem arhitektūras pieminekļiem, tad var apgalvot, ka to skaits ir vismaz vairāki simti. Kāds 13. gadsimta arābu rakstnieks teica: "Viss pasaulē baidās no laika, un laiks baidās no piramīdām." Piramīdas ir vienīgais brīnums no septiņiem pasaules brīnumiem, kas saglabājies līdz mūsdienām, laikmetam datortehnoloģijas. Tomēr pētniekiem vēl nav izdevies atrast norādes uz visiem viņu noslēpumiem. Jo vairāk mēs uzzinām par piramīdām, jo vairāk mums rodas jautājumi. Piramīdas interesē vēsturniekus, fiziķus, biologus, ārstus, filozofus u.c. Tās rada lielu interesi un rosina padziļināti pētīt to īpašības gan no matemātiskā, gan cita (vēsturiskā, ģeogrāfiskā u.c.) viedokļa.

Tāpēc mērķis Mūsu pētījums bija piramīdas īpašību izpēte no dažādiem skatu punktiem. Kā starpmērķus esam noteikuši: piramīdas īpašību aplūkošanu no matemātikas viedokļa, hipotēžu izpēti par piramīdas noslēpumu un noslēpumu esamību, kā arī tās pielietošanas iespējām.

objektu Pētījums šajā rakstā ir piramīda.

Lieta pētījumi: piramīdas pazīmes un īpašības.

Uzdevumi pētījums:

Apgūt zinātniski populāro literatūru par pētāmo tēmu.

Apsveriet piramīdu kā ģeometrisku ķermeni.

Nosakiet piramīdas īpašības un īpašības.

Atrodiet materiālu, kas apstiprina piramīdas īpašību izmantošanu dažādas jomas Zinātne un tehnoloģijas.

Metodes pētījumi: analīze, sintēze, analoģija, mentālā modelēšana.

Gaidāmais darba rezultāts jābūt strukturētai informācijai par piramīdu, tās īpašībām un pielietojumu.

Projekta sagatavošanas posmi:

Projekta tēmas, mērķu un uzdevumu noteikšana.

Materiālu izpēte un vākšana.

Projekta plāna sastādīšana.

Projekta aktivitātes sagaidāmā rezultāta formulēšana, tostarp jauna materiāla asimilācija, zināšanu, prasmju un iemaņu veidošana mācību priekšmeta darbībā.

Pētījuma rezultātu formulēšana.

Atspulgs

Piramīda kā ģeometrisks ķermenis

Apsveriet vārda un termina izcelsmi " piramīda". Tūlīt ir vērts atzīmēt, ka "piramīda" vai " piramīda"(Angļu), " piramīda"(franču, spāņu un slāvu valodas), piramīda(vācu) ir Rietumu termins, kura izcelsme ir Senajā Grieķijā. Senajā grieķu valodā πύραμίς ("P iramis"un daudzi citi. h. Πύραμίδες « piramīdas"") ir vairākas nozīmes. Senie grieķi sauca piramīdas» kviešu kūka, kas atgādināja ēģiptiešu struktūru formu. Vēlāk šis vārds nozīmēja "monumentāla struktūra ar kvadrātveida platība pie pamatnes un ar slīpām malām, kas savienojas augšpusē. Etimoloģiskā vārdnīca norāda, ka grieķu "piramis" nāk no ēģiptiešu " pimar". Pirmā vārda rakstiskā interpretācija "piramīda" atrasts Eiropā 1555. gadā un nozīmē: "viens no seno karaļu ēku veidiem". Pēc piramīdu atklāšanas Meksikā un līdz ar zinātnes attīstību 18. gadsimtā piramīda kļuva ne tikai par senu arhitektūras pieminekli, bet arī par regulāru ģeometrisku figūru ar četrām simetriskām malām (1716). Piramīdas ģeometrijas sākums tika likts Senajā Ēģiptē un Babilonijā, bet to aktīvi attīstīja g. Senā Grieķija. Pirmais, kurš noteica, ar ko ir vienāds piramīdas tilpums, bija Demokrits, un Eudokss no Knida to pierādīja.

Pirmā definīcija pieder sengrieķu matemātiķim, līdz mums nonākušo teorētisko matemātikas traktātu autoram Eiklidam. Sava "Sākumu" XII sējumā viņš piramīdu definē kā ķermeņa figūru, kuru ierobežo plaknes, kas no vienas plaknes (pamatnes) saplūst vienā punktā (augšā). Bet šī definīcija ir kritizēta jau senatnē. Tāpēc Herons ierosināja šādu piramīdas definīciju: "Šī ir figūra, ko ierobežo trijstūri, kas saplūst vienā punktā un kura pamatne ir daudzstūris."

Pastāv franču matemātiķa Adriena Marī Ledžendra definīcija, kurš 1794. gadā savā darbā “Ģeometrijas elementi” piramīdu definēja šādi: “Piramīda ir ķermeņa figūra, ko veido trīsstūri, kas saplūst vienā punktā un beidzas dažādās malas pusēs. plakana pamatne."

Mūsdienu vārdnīcas terminu "piramīda" interpretē šādi:

	Daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris un pārējās skaldnes ir trijstūri, kuriem ir kopīga virsotne	Krievu valodas skaidrojošā vārdnīca, izd. D. N. Ušakova
	Ķermenis, ko ierobežo vienādi trīsstūri, kas sastāv no virsotnēm vienā punktā un veido kvadrātu ar to pamatiem	V.I.Dāla skaidrojošā vārdnīca
	Daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris un pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopīgu virsotni	Skaidrojošā vārdnīca, izd. S. I. Ožegova un N. Ju. Švedova
	Daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris un kura sānu skaldnes ir trijstūri, kuriem ir kopīga virsotne	T. F. Efremovs. Jauna krievu valodas skaidrojošā un atvasinājumu vārdnīca.
	Daudzskaldnis, kura viena skaldne ir daudzstūris, bet pārējās skalas ir trijstūri ar kopīgu virsotni	Svešvārdu vārdnīca
	Ģeometrisks ķermenis, kura pamats ir daudzstūris un kura malas ir tik daudz trijstūri, cik pamatnei ir malas, kuru virsotnes saplūst vienā punktā.	Krievu valodas svešvārdu vārdnīca
	Daudzstūris, kura viena skaldne ir kaut kāds plakans daudzstūris, bet visas pārējās skalas ir trijstūri, kuru pamatnes ir trijstūra pamatnes malas, un virsotnes saplūst vienā punktā	F. Brokhausa, I.A. Efrons. enciklopēdiskā vārdnīca
	Daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris un pārējās skaldnes ir trijstūri, kuriem ir kopīga virsotne	Mūsdienīgs Vārdnīca
	Daudzskaldnis, kura viena skala ir daudzstūris, bet pārējās skalas ir trijstūri ar kopīgu virsotni	Matemātiskā enciklopēdiskā vārdnīca

Analizējot piramīdas definīcijas, mēs varam secināt, ka visiem avotiem ir līdzīgi formulējumi:

Piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, un pārējās skaldnes ir trīsstūri, kuriem ir kopīga virsotne. Pēc pamatnes stūru skaita piramīdas ir trīsstūrveida, četrstūrveida utt.

Daudzstūris A 1 A 2 A 3 ... An ir piramīdas pamats, un trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 ir piramīdas sānu malas, P ir augšdaļa. piramīdas segmenti RA 1, RA 2, ..., PAn - sānu ribas.

Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz pamatnes plaknei h piramīdas.

Papildus patvaļīgai piramīdai ir regulāra piramīda, kuras pamatnē ir regulārs daudzstūris un nošķelta piramīda.

apgabalā Piramīdas kopējā virsma ir visu tās virsmu laukumu summa. Pilna = S puse + S galvenā, kur S puse ir sānu virsmu laukumu summa.

Apjoms piramīdu atrod pēc formulas: V=1/3S main.h, kur S galvenais. - bāzes laukums, h - augstums.

UZ piramīdas īpašības attiecas:

Ja visas sānu malas ir vienāda izmēra, tad ir viegli aprakstīt apli netālu no piramīdas pamatnes, savukārt piramīdas augšdaļa tiks projicēta šī apļa centrā; sānu ribas veido tādus pašus leņķus ar pamatplakni; turklāt taisnība ir arī otrādi, t.i. kad sānu malas veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai kad apli var aprakstīt netālu no piramīdas pamatnes un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā, tad visas piramīdas sānu malas ir vienāda izmēra.

Ja sānu virsmām ir vienādas vērtības slīpuma leņķis pret pamatnes plakni, tad ir viegli aprakstīt apli piramīdas pamatnes tuvumā, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā. ; sānu virsmu augstums ir vienāds garums; sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un sānu virsmas augstuma reizinājuma.

Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un virsotne tiek projicēta pamatnes centrā. Regulāras piramīdas sānu skaldnes ir vienādas, vienādsānu trijstūri (2.a att.). ass Parasto piramīdu sauc par taisnu līniju, kas satur tās augstumu. Apotēms - regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas.

Kvadrāts regulāras piramīdas sānu malu izsaka šādi: Sside. \u003d 1 / 2P h, kur P ir pamatnes perimetrs, h ir sānu virsmas augstums (parastas piramīdas apotēma). Ja piramīdu krusto plakne A'B'C'D' paralēli pamatnei, tad sānu ribas un augstums tiek sadalīts ar šo plakni proporcionālās daļās; griezumā iegūst daudzstūri A'B'C'D', līdzīgu pamatnei; sekcijas un pamatnes laukumi ir saistīti kā to attālumu kvadrāti no augšas.

Nocirsta piramīda tiek iegūts, nogriežot no piramīdas tās augšējo daļu ar pamatnei paralēlu plakni (2.b att.). Nocirstas piramīdas pamati ir līdzīgi daudzstūri ABCD un A`B`C`D`, sānu malas ir trapeces. Nocirstas piramīdas augstums ir attālums starp pamatnēm. Nošķeltas piramīdas tilpumu nosaka pēc formulas: V=1/3 h (S + + S'), kur S un S' ir bāzu ABCD un A'B'C'D' laukumi, h ir augstums.

Regulāras nošķeltas n-stūra piramīdas pamati - regulāri n-goni. Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums tiek izteikts šādi: Sside. \u003d ½ (P + P') h, kur P un P' ir pamatu perimetrs, h ir sānu virsmas augstums (regulāras nošķeltas piramīdas apotēms)

Piramīdas sekcijas ar plaknēm, kas iet cauri tās virsotnei, ir trīsstūri. Sadaļu, kas iet cauri divām piramīdas sānu malām, kas nav blakus esošajām malām, sauc par diagonālo griezumu. Ja posms iet caur punktu sānu malā un pamatnes malā, tad šī puse būs tā pēda piramīdas pamatnes plaknē. Posms, kas iet caur punktu, kas atrodas uz piramīdas virsmas, un doto griezuma pēdu uz pamatnes plaknes, tad konstrukcija jāveic šādi: atrodiet dotās skaldnes plaknes un izsekot piramīdas posmam un apzīmēt to; izveido taisni, kas iet caur doto punktu un no tā izrietošo krustošanās punktu; Atkārtojiet šīs darbības nākamajām sejām.

Taisnstūra piramīda - tā ir piramīda, kurā viena no sānu malām ir perpendikulāra pamatnei. Šajā gadījumā šī mala būs piramīdas augstums (2.c att.).

Regulāra trīsstūrveida piramīda- Šī ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs trīsstūris, un augšdaļa ir izvirzīta pamatnes centrā. Regulāras trīsstūrveida piramīdas īpašs gadījums ir tetraedrs. (2.a att.)

Apskatīsim teorēmas, kas savieno piramīdu ar citiem ģeometriskiem ķermeņiem.

Sfēra

Lodi var aprakstīt piramīdas tuvumā, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzstūris, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešamais un pietiekamā stāvoklī). Sfēras centrs būs to plakņu krustošanās punkts, kas iet caur tām perpendikulāri piramīdas malu viduspunktiem. No šīs teorēmas izriet, ka sfēru var aprakstīt gan par jebkuru trīsstūri, gan par jebkuru regulāru piramīdu; Lodi var ierakstīt piramīdā, kad piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.

Konuss

Konusu sauc par ierakstītu piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un tā pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē. Turklāt piramīdā ir iespējams ierakstīt konusu tikai tad, ja piramīdas apotēmas ir vienādas (nepieciešams un pietiekams nosacījums); Konusu sauc par ierakstītu piramīdas tuvumā, ja to virsotnes sakrīt, un tā pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnes tuvumā. Turklāt ir iespējams aprakstīt konusu pie piramīdas tikai tad, kad visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru (nepieciešams un pietiekams nosacījums); Šādu konusu un piramīdu augstumi ir vienādi viens ar otru.

Cilindrs

Cilindrs tiek saukts par ierakstītu piramīdā, ja viens no tā pamatiem sakrīt ar apli, ko piramīdas griezumā ieraksta plakne, kas ir paralēla pamatnei, un otra pamatne pieder piramīdas pamatnei. Cilindru sauc par ierakstītu piramīdas tuvumā, ja piramīdas virsotne pieder vienai no tās pamatnēm, bet otra tā pamatne ir ierakstīta netālu no piramīdas pamatnes. Turklāt ir iespējams aprakstīt cilindru pie piramīdas tikai tad, ja piramīdas pamatnē ir ierakstīts daudzstūris (nepieciešams un pietiekams nosacījums).

Ļoti bieži savos pētījumos zinātnieki izmanto piramīdas īpašības ar Zelta koeficienta proporcijām. Nākamajā rindkopā mēs apsvērsim, kā zelta griezuma attiecības tika izmantotas, būvējot piramīdas, un šeit mēs pakavēsimies pie zelta griezuma definīcijas.

Matemātiskā enciklopēdiskā vārdnīca sniedz šādu definīciju zelta griezums- tas ir segmenta AB dalījums divās daļās tā, ka lielākā daļa no tā AC ir vidējais proporcionāls starp visu segmentu AB un tā mazāko daļu CB.

Nozares AB = a Zelta griezuma algebriskais atradums tiek reducēts līdz vienādojuma a atrisināšanai: x = x: (a-x), kur x ir aptuveni vienāds ar 0,62a. Attiecību x var izteikt kā daļskaitļus n/n+1= 0,618, kur n ir Fibonači skaitlis ar n.

Zelta griezumu bieži izmanto mākslas darbos, arhitektūrā un dabā. Spilgti piemēri ir Apollo Belvederes skulptūra, Partenons. Partenona būvniecības laikā tika izmantota ēkas augstuma attiecība pret tās garumu un šī attiecība ir 0,618. Apkārtējie objekti sniedz arī zelta koeficienta piemērus, piemēram, daudzu grāmatu iesējumos arī platuma un garuma attiecība ir tuvu 0,618.

Tādējādi, izpētot populārzinātnisko literatūru par pētījuma problēmu, mēs nonācām pie secinājuma, ka piramīda ir daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni. Mēs pārbaudījām piramīdas elementus un īpašības, tās veidus un korelāciju ar Zelta griezuma proporcijām.

2. Piramīdas iezīmes

Tātad Lielajā enciklopēdiskajā vārdnīcā ir rakstīts, ka piramīda ir monumentāla struktūra ar ģeometriskā forma piramīdas (dažkārt pakāpienveida vai torņa formas). Par piramīdām sauca 3. – 2. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras seno ēģiptiešu faraonu kapenes. e., kā arī tempļu pjedestāli Centrālajā un Dienvidamerika saistīta ar kosmoloģiskajiem kultiem. Starp grandiozajām Ēģiptes piramīdām īpašu vietu ieņem Lielā faraona Heopsa piramīda. Pirms turpināt Heopsa piramīdas formas un izmēra analīzi, jāatceras, kādu mēru sistēmu izmantoja ēģiptieši. Ēģiptiešiem bija trīs garuma vienības: "olektis" (466 mm), kas vienāds ar septiņām "plaukstām" (66,5 mm), kas, savukārt, bija vienāds ar četriem "pirkstiem" (16,6 mm).

Lielākā daļa pētnieku piekrīt, ka piramīdas pamatnes malas garums, piemēram, GF, ir L = 233,16 m. Šī vērtība gandrīz precīzi atbilst 500 "ekti". Pilnīga atbilstība 500 "ektim" būs tad, ja uzskatīs, ka "olektis" garums ir vienāds ar 0,4663 m.

Piramīdas augstumu (H) pētnieki lēš atšķirīgi no 146,6 līdz 148,2 m Un atkarībā no pieņemtā piramīdas augstuma mainās visas tās ģeometrisko elementu attiecības. Kāds ir iemesls atšķirībām piramīdas augstuma novērtējumā? Fakts ir tāds, ka Heopsa piramīda ir saīsināta. Tās augšējās platformas izmērs šodien ir aptuveni 10x10 m, bet pirms gadsimta tā bija 6x6 m. Ir skaidrs, ka piramīdas virsotne tika demontēta, un tā neatbilst oriģinālajai. Novērtējot piramīdas augstumu, jāņem vērā tāds fiziskais faktors kā konstrukcijas nosēšanās. Aiz muguras ilgu laiku kolosāla spiediena ietekmē (sasniedzot 500 tonnas uz 1 m 2 apakšējās virsmas) piramīdas augstums samazinājās, salīdzinot ar tās sākotnējo augstumu. Piramīdas sākotnējo augstumu var atjaunot, ja atrodat ģeometrisko pamatideju.

1837. gadā angļu pulkvedis G. Wise izmērīja piramīdas šķautņu slīpuma leņķi: izrādījās, ka tas ir vienāds ar a = 51 ° 51 ". Šo vērtību joprojām atzīst lielākā daļa pētnieku šodien. Norādītā vērtība leņķis atbilst pieskarei (tg a), kas vienāda ar 1,27306. Šī vērtība atbilst piramīdas AC augstuma attiecībai pret pusi no tās bāzes CB, tas ir, AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Un šeit pētniekus gaidīja liels pārsteigums! Fakts ir tāds, ka, ja mēs ņemam kvadrātsakni no zelta griezuma, mēs iegūstam šādu rezultātu = 1,272. Salīdzinot šo vērtību ar vērtību tg a = 1,27306, mēs redzam, ka šīs vērtības ir ļoti tuvas viena otrai. Ja ņemam leņķi a \u003d 51 ° 50 ", tas ir, samazinām to tikai par vienu loka minūti, tad a vērtība kļūs vienāda ar 1,272, tas ir, tā sakritīs ar vērtību. Jāņem vērā, ka 1840. gadā G. Wise atkārtoja savus mērījumus un precizēja, ka leņķa vērtība a \u003d 51 ° 50 ".

Šie mērījumi lika pētniekiem izvirzīt šādu interesantu hipotēzi: Heopsa piramīdas trīsstūra ASV pamatā bija attiecība AC / CB = 1,272.

Apsveriet tagad taisnleņķa trīsstūris ABC, kurā kāju attiecība AC / CB = . Ja tagad apzīmēsim taisnstūra ABC malu garumus kā x, y, z, kā arī ņemam vērā, ka attiecība y / x \u003d, tad saskaņā ar Pitagora teorēmu garumu z var aprēķināt ar formula:

Ja mēs pieņemam x = 1, y = , tad:

Taisnstūra trīsstūri, kura malas ir saistītas kā t::1, sauc par "zelta" taisnleņķa trīsstūri.

Tad, ja par pamatu ņemam hipotēzi, ka Heopsa piramīdas galvenā “ģeometriskā ideja” ir “zelta” taisnleņķa trīsstūris, tad no šejienes ir viegli aprēķināt Heopsa piramīdas “dizaina” augstumu. Tas ir vienāds ar:

H \u003d (L / 2) / \u003d 148,28 m.

Tagad atvasināsim dažas citas Heopsa piramīdas attiecības, kas izriet no "zelta" hipotēzes. Jo īpaši mēs atrodam piramīdas ārējā laukuma attiecību pret tās pamatnes laukumu. Lai to izdarītu, kā vienību ņemam kājas CB garumu, tas ir: CB = 1. Bet tad piramīdas pamatnes malas garums ir GF = 2, un pamatlaukums EFGH būs vienāds ar S EFGH = 4.

Tagad aprēķināsim Heopsa piramīdas sānu virsmas laukumu S D . Tā kā trijstūra AEF augstums AB ir vienāds ar t, tad sānu virsmas laukums būs vienāds ar S D = t. Tad visu četru piramīdas sānu virsmu kopējā platība būs vienāda ar 4t, un piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatnes laukumu būs vienāda ar zelta griezumu. Tas ir galvenais Heopsa piramīdas ģeometriskais noslēpums.

Un arī Ēģiptes piramīdu būvniecības laikā tika konstatēts, ka laukums, kas uzbūvēts piramīdas augstumā, tieši vienāds ar laukumu katrs no sānu trīsstūriem. To apstiprina jaunākie mērījumi.

Mēs zinām, ka attiecība starp apļa apkārtmēru un tā diametru ir nemainīga vērtība, kas labi zināma mūsdienu matemātiķiem, skolēniem - tas ir skaitlis "Pi" = 3,1416 ... Bet, ja mēs saskaitām četras apļa pamatnes malas. Heopsa piramīda, mēs iegūstam 931,22 m. Dalot šo skaitli, kas ir divreiz lielāks par piramīdas augstumu (2x148,208), mēs iegūstam 3,1416 ..., tas ir, skaitli "Pi". Līdz ar to Heopsa piramīda ir vienreizējs piemineklis, kas ir matemātikā nozīmīgu lomu spēlējošā skaitļa "Pi" materiālais iemiesojums.

Tādējādi klātbūtne zelta griezuma piramīdas izmērā - piramīdas dubultotās malas attiecība pret tās augstumu - ir skaitlis, kas pēc vērtības ir ļoti tuvs skaitlim π. Tā, protams, arī ir iezīme. Lai gan daudzi autori uzskata, ka šī sakritība ir nejauša, jo daļskaitlis 14/11 ir "labs tuvinājums kvadrātsakne no zelta griezuma attiecības un kvadrāta un tajā ierakstītā apļa laukumu attiecības.

Tomēr ir nepareizi šeit runāt tikai par Ēģiptes piramīdām. Ir ne tikai Ēģiptes piramīdas, uz Zemes ir vesels piramīdu tīkls. Galvenie pieminekļi (Ēģiptes un Meksikas piramīdas, Lieldienu sala un Stounhendžas komplekss Anglijā) no pirmā acu uzmetiena ir nejauši izkaisīti pa mūsu planētu. Bet, ja pētījumā ir iekļauts Tibetas piramīdu komplekss, tad parādās stingra matemātiskā sistēma to atrašanās vietai uz Zemes virsmas. Uz Himalaju grēdas fona skaidri izceļas piramīdveida veidojums - Kailasa kalns. Ļoti interesanta ir Kailasas pilsētas atrašanās vieta, Ēģiptes un Meksikas piramīdas, proti, ja savieno Kailasas pilsētu ar Meksikas piramīdām, tad tās savienojošā līnija iet uz Lieldienu salu. Ja jūs savienojat Kailas pilsētu ar Ēģiptes piramīdām, tad to savienojuma līnija atkal iet uz Lieldienu salu. Tieši viena ceturtā daļa globuss. Ja savienosim Meksikas piramīdas un Ēģiptes piramīdas, tad redzēsim divas vienāds trīsstūris. Ja atrodat to laukumu, tad to summa ir vienāda ar vienu ceturto daļu no zemeslodes laukuma.

Tika atklāta neapstrīdama saikne starp Tibetas piramīdu kompleksu ar citām struktūrām senatne - Ēģiptes un Meksikas piramīdas, Lieldienu salas kolossi un Stounhendžas komplekss Anglijā. Tibetas galvenās piramīdas - Kailasa kalna - augstums ir 6714 metri. Attālums no Kailash līdz Ziemeļpols vienāds 6714 kilometrus, attālums no Kailash līdz Stounhendžai ir 6714 kilometri. Ja noliekat malā uz zemeslodes no Ziemeļpola šos 6714 kilometrus, tad nokļūsim tā sauktajā Velna tornī, kas izskatās pēc nošķeltas piramīdas. Un visbeidzot tieši 6714 kilometrus no Stounhendžas līdz Bermudu trijstūrim.

Šo pētījumu rezultātā var secināt, ka uz Zemes pastāv piramidāli-ģeogrāfiska sistēma.

Tādējādi funkcijas ir piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatnes laukumu būs vienāda ar zelta griezumu; klātbūtne zelta griezuma piramīdas izmērā - piramīdas dubultās malas attiecība pret tās augstumu - ir skaitlis, kas pēc vērtības ir ļoti tuvs skaitlim π, t.i. Heopsa piramīda ir unikāls piemineklis, kas ir skaitļa "Pi" materiālais iemiesojums; piramidāli-ģeogrāfiskas sistēmas esamība.

3. Citas piramīdas īpašības un pielietojums.

Apsveriet tā praktisko pielietojumu ģeometriskā figūra. Piemēram, hologramma. Vispirms apskatīsim, kas ir hologrāfija. Hologrāfija - tehnoloģiju kopums optiskā elektromagnētiskā starojuma viļņu lauku precīzai ierakstīšanai, reproducēšanai un pārveidošanai, īpaša fotografēšanas metode, kurā trīsdimensiju objektu attēli tiek ierakstīti un pēc tam atjaunoti, izmantojot lāzeru, augstākā pakāpe līdzīgas īstajām. Hologramma ir hologrāfijas produkts, ar lāzeru izveidots trīsdimensiju attēls, kas atveido trīsdimensiju objekta attēlu. Izmantojot parasto nošķelto tetraedrisku piramīdu, jūs varat izveidot attēlu - hologrammu. No caurspīdīga materiāla tiek izveidots foto fails un regulāra nošķelta tetraedriska piramīda. Neliels ievilkums ir izveidots no zemākā pikseļa un vidējā pikseļa attiecībā pret y asi. Šis punkts būs griezuma veidotā kvadrāta malas viduspunkts. Fotoattēls tiek pavairots, un tā kopijas atrodas tādā pašā veidā attiecībā pret pārējām trim pusēm. Uz kvadrāta novieto piramīdu ar sekciju uz leju, lai tā sakristu ar kvadrātu. Monitors ģenerē gaismas vilni, katra no četrām identiskām fotogrāfijām, atrodoties plaknē, kas ir piramīdas sejas projekcija, krīt uz pašas sejas. Rezultātā uz katras no četrām sejām mums ir vienādi attēli, un, tā kā materiālam, no kura izgatavota piramīda, piemīt caurspīdīguma īpašība, šķiet, ka viļņi ir lauzti, satiekoties centrā. Rezultātā mēs iegūstam tādu pašu traucējumu modeli stāvošais vilnis, kuras centrālā ass vai griešanās ass ir regulāras nošķeltas piramīdas augstums. Šī metode darbojas arī ar video attēlu, jo darbības princips paliek nemainīgs.

Ņemot vērā konkrētus gadījumus, var redzēt, ka piramīda tiek plaši izmantota Ikdiena pat mājsaimniecībā. Piramīdas forma bieži sastopama galvenokārt dabā: augi, kristāli, metāna molekulai ir regulāras trīsstūrveida piramīdas forma - tetraedrs, dimanta kristāla šūna ir arī tetraedrs, kura centrā un četrās virsotnēs ir oglekļa atomi. Mājās atrodamas piramīdas, bērnu rotaļlietas. Pogas, datoru tastatūras bieži vien ir līdzīgas četrstūraina nošķeltai piramīdai. Tās var aplūkot pašu ēku elementu vai arhitektūras konstrukciju veidā, kā caurspīdīgas jumta konstrukcijas.

Apsveriet vēl dažus termina "piramīda" lietojuma piemērus.

Ekoloģiskās piramīdas- tie ir grafiski modeļi (parasti trīsstūru formā), kas atspoguļo indivīdu skaitu (skaitļu piramīda), to biomasas daudzumu (biomasas piramīda) vai tajos ietverto enerģiju (enerģijas piramīda) katrā trofiskajā līmenī un norāda visu rādītāju samazināšanās ar trofiskā līmeņa paaugstināšanos

Informācijas piramīda. Tas atspoguļo hierarhiju dažāda veida informāciju. Informācijas sniegšana tiek veidota pēc šādas piramīdas shēmas: augšpusē - galvenie rādītāji, pēc kuriem var nepārprotami izsekot uzņēmuma virzības tempam uz izvēlēto mērķi. Ja kaut kas nav kārtībā, tad var pāriet uz piramīdas vidējo līmeni – vispārinātiem datiem. Tie precizē attēlu katram rādītājam atsevišķi vai attiecībā pret otru. No šiem datiem var noteikt iespējamā vieta neveiksme vai problēma. Vairāk pilnīga informācija jums jāgriežas pie piramīdas pamatnes - detalizēts visu procesu stāvokļa apraksts skaitliskā formā. Šie dati palīdz identificēt problēmas cēloni, lai to varētu novērst un turpmāk novērst.

Blūma taksonomija. Blūma taksonomija piedāvā uzdevumu klasifikāciju piramīdas formā, ko pedagogi izvirza skolēniem, un attiecīgi mācību mērķus. Viņa iedala izglītības mērķus trīs jomās: kognitīvā, afektīvā un psihomotorā. Katras atsevišķas sfēras ietvaros, lai pārietu uz augstāku līmeni, ir nepieciešama iepriekšējo līmeņu pieredze, kas izceļas šajā sfērā.

Finanšu piramīda- konkrēts pasākums ekonomiskā attīstība. Nosaukums "piramīda" skaidri ilustrē situāciju, kad piramīdas "apakšā" cilvēki iedod naudu mazai virsotnei. Tajā pašā laikā katrs jauns dalībnieks maksā, lai palielinātu viņa paaugstināšanas iespēju piramīdas virsotnē.

Vajadzību piramīda Maslovs atspoguļo vienu no populārākajām un pazīstamākajām motivācijas teorijām – hierarhijas teoriju. vajadzībām. Maslovs sadalīja vajadzības augošā secībā, skaidrojot šādu konstrukciju ar to, ka cilvēks nevar izjust vajadzības. augsts līmenis kamēr vajadzīgas primitīvākas lietas. Apmierinot zemākās vajadzības, arvien aktuālākas kļūst augstāka līmeņa vajadzības, taču tas nebūt nenozīmē, ka iepriekšējās vajadzības vietu ieņem jauna tikai tad, kad pirmā ir pilnībā apmierināta.

Vēl viens termina "piramīda" izmantošanas piemērs ir uztura piramīda - dietologu izstrādāto veselīga uztura principu shematisks attēlojums. Pārtikas produkti, kas atrodas piramīdas apakšā, ir jāēd pēc iespējas biežāk, savukārt no piramīdas augšdaļā esošajiem pārtikas produktiem ir jāizvairās vai tie jālieto ierobežotā daudzumā.

Tādējādi viss iepriekš minētais parāda piramīdas izmantošanas dažādību mūsu dzīvē. Iespējams, piramīdai ir daudz augstāks mērķis, un tā ir paredzēta kaut kam vairāk nekā tiem praktiski veidi tā lietojumi, kas tagad ir atvērti.

Secinājums

Mēs savā dzīvē pastāvīgi sastopamies ar piramīdām - tās ir senas Ēģiptes piramīdas un rotaļlietas, ar kurām bērni spēlējas; arhitektūras un dizaina objekti, dabiskie kristāli; vīrusi, kurus var uzskatīt tikai par elektronu mikroskops. Daudzu gadu tūkstošu pastāvēšanas laikā piramīdas ir kļuvušas par sava veida simbolu, kas personificē cilvēka vēlmi sasniegt zināšanu virsotni.

Pētījuma gaitā mēs noskaidrojām, ka piramīdas ir diezgan izplatīta parādība visā pasaulē.

Mēs pētījām populārzinātnisko literatūru par pētījumu tēmu, izskatījām dažādas termina "piramīda" interpretācijas, noskaidrojām, ka ģeometriskā izpratnē piramīda ir daudzstūris, kura pamatne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopējā virsotne. Mēs pētījām piramīdu tipus (regulāras, nošķeltas, taisnstūrveida), elementus (apotēmu, sānu malas, sānu malas, augšpusi, augstumu, pamatni, diagonālo griezumu) un ģeometrisko piramīdu īpašības ar vienādām sānu malām un kad sānu virsmas ir sasvērtas. līdz pamatplaknei vienā leņķī. Apsvērtas teorēmas, kas savieno piramīdu ar citiem ģeometriskiem ķermeņiem (sfēru, konusu, cilindru).

Piramīdas iezīmes ir šādas:

piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatnes laukumu būs vienāda ar zelta griezumu;

klātbūtne zelta griezuma piramīdas izmērā - piramīdas dubultās malas attiecība pret tās augstumu - ir skaitlis, kas pēc vērtības ir ļoti tuvs skaitlim π, t.i. Heopsa piramīda ir unikāls piemineklis, kas ir skaitļa "Pi" materiālais iemiesojums;

piramidāli-ģeogrāfiskas sistēmas esamība.

Mēs pētījām šīs ģeometriskās figūras mūsdienu pielietojumu. Izpētījām, kā savienojas piramīda un hologramma, vērsām uzmanību uz to, ka dabā visbiežāk sastopama piramīda forma (augi, kristāli, metāna molekulas, dimanta režģa uzbūve u.c.). Pētījuma laikā mēs tikāmies ar materiāliem, kas apstiprina piramīdas īpašību izmantošanu dažādās zinātnes un tehnikas jomās, cilvēku ikdienas dzīvē, informācijas analīzē, ekonomikā un daudzās citās jomās. Un viņi nonāca pie secinājuma, ka, iespējams, piramīdām ir daudz augstāks mērķis un tās ir paredzētas kaut kam vairāk nekā to praktiskajai izmantošanai, kas tagad ir atvērta.

Bibliogrāfija.

Van der Vērdens, Bārtels Lenderts. Atmodas zinātne. Matemātika senā Ēģipte, Babilonā un Grieķijā. [Teksts] / B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Vološinovs A. V. Matemātika un māksla. [Teksts] / A. V. Vološinovs - Maskava: "Apgaismība" 2000.

Pasaules vēsture(enciklopēdija bērniem). [Teksts] / - M .: “Avanta +”, 1993.

hologramma . [Elektroniskais resurss] — https://hi-news.ru/tag/hologramma - raksts internetā

Ģeometrija [Teksts]: Proc. 10-11 šūnas. izglītības iestādēm L. S. Atanasjans, V. F. Butuzovs un citi - 22. izdevums. - M.: Apgaismība, 2013

Kopenss F. Jauns piramīdu laikmets. [Teksts] / F. Kopenss - Smoļenska: Rusich, 2010

Matemātiskā enciklopēdiskā vārdnīca. [Teksts] / A. M. Prohorovs un citi - M .: Padomju enciklopēdija, 1988.

Muldaševs E.R. Pasaules piramīdu un senatnes pieminekļu sistēma mūs izglāba no pasaules gala, bet ... [Teksts] / E.R. Muldaševs - M .: "AiF-Print"; M.: "OLMA-PRESS"; Sanktpēterburga: Izdevniecība"Ņeva"; 2003. gads.

Perelmans Ja. I. Izklaidējoša aritmētika. [Teksts] / Ya. I. Perelman- M .: Tsentrpoligraf, 2017

Reihards G. Piramīdas. [Teksts] / Hans Reichard - M .: Slovo, 1978

Terra Leksikons. Ilustrēta enciklopēdiskā vārdnīca. [Teksts] / - M.: TERRA, 1998. gads.

Tompkins P. Lielās Heopsa piramīdas noslēpumi. [Teksts]/ Pīters Tompkinss. - M.: "Tsentropoligraf", 2008

Uvarovs V. Piramīdu maģiskās īpašības. [Teksts] / V. Uvarovs - Ļeņizdats, 2006. gads.

Šarigins I.F.Ģeometrija 10.-11.klase. [Teksts] / I.F. Sharygin:. - M: "Apgaismība", 2000

Jakovenko M. Piramīdas izpratnes atslēga [Elektroniskais resurss] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - raksts internetā

Pirmais līmenis

Piramīda. vizuālais ceļvedis (2019)

Kas ir piramīda?

Kā viņa izskatās?

Jūs redzat: pie piramīdas zemāk (viņi saka " pie pamatnes"") kāds daudzstūris, un visas šī daudzstūra virsotnes ir savienotas ar kādu telpas punktu (šo punktu sauc par " virsotne»).

Visai šai struktūrai ir sānu sejas, sānu ribas Un pamatnes ribas. Vēlreiz uzzīmēsim piramīdu kopā ar visiem šiem nosaukumiem:

Dažas piramīdas var izskatīties ļoti dīvaini, taču tās joprojām ir piramīdas.

Šeit, piemēram, diezgan "slīpi" piramīda.

Un vēl nedaudz par nosaukumiem: ja piramīdas pamatnē ir trīsstūris, tad piramīdu sauc par trīsstūrveida;

Tajā pašā laikā punkts, kur tas nokrita augstums, tiek saukts augstuma pamatne. Ņemiet vērā, ka "greizajās" piramīdās augstums var būt pat ārpus piramīdas. Kā šis:

Un šajā nav nekā briesmīga. Tas izskatās kā strups trīsstūris.

Pareiza piramīda.

Daudz sarežģīti vārdi? Atšifrēsim: "Pamatā - pareizi" - tas ir saprotams. Un tagad atcerieties, ka regulārajam daudzstūrim ir centrs - punkts, kas ir centrs un , un .

Nu, un vārdi “augšpuse tiek projicēta pamatnes centrā” nozīmē, ka augstuma pamatne precīzi iekrīt pamatnes centrā. Paskaties, cik gluds un gudrs tas izskatās labā piramīda.

Sešstūrains: pie pamatnes - regulārs sešstūris, virsotne tiek projicēta pamatnes centrā.

četrstūrveida: pie pamatnes - kvadrāts, augšdaļa tiek projicēta līdz šī kvadrāta diagonāļu krustpunktam.

trīsstūrveida: pamatnē ir regulārs trijstūris, virsotne tiek projicēta uz šī trijstūra augstumu (tās arī ir mediānas un bisektrise) krustošanās punktu.

Ļoti regulāras piramīdas svarīgas īpašības:

IN labā piramīda

visas sānu malas ir vienādas.
visas sānu skaldnes ir vienādsānu trijstūri, un visi šie trīsstūri ir vienādi.

Piramīdas tilpums

Galvenā piramīdas tilpuma formula:

No kurienes tieši tas nāca? Tas nav tik vienkārši, un sākumā vienkārši jāatceras, ka piramīdai un konusam formulā ir tilpums, bet cilindram nav.

Tagad aprēķināsim populārāko piramīdu apjomu.

Lai pamatnes mala ir vienāda, bet sānu mala ir vienāda. Man jāatrod un.

Šis ir taisnleņķa trīsstūra laukums.

Atcerēsimies, kā meklēt šo apgabalu. Mēs izmantojam apgabala formulu:

Mums ir "" — šis un "" — arī šis, eh.

Tagad atradīsim.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Kāda tam nozīme? Tas ir ierobežotā apļa rādiuss iekšā, jo piramīdapareizi un līdz ar to centrs.

Tā kā - krustošanās punkts un mediāna arī.

(Pitagora teorēma priekš)

Formulā aizstājiet ar.

Pievienojiet visu tilpuma formulā:

Uzmanību: ja jums ir regulārs tetraedrs (t.i.), tad formula ir šāda:

Lai pamatnes mala ir vienāda, bet sānu mala ir vienāda.

Šeit nav jāmeklē; jo pie pamatnes ir kvadrāts, un tāpēc.

Atradīsim. Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Vai mēs zinām? Gandrīz. Skaties:

(mēs to redzējām, pārskatot).

Aizstāt formulā:

Un tagad mēs aizstājam tilpuma formulu.

Lai pamatnes mala būtu vienāda, bet sānu mala.

Kā atrast? Paskatieties, sešstūris sastāv no tieši sešiem identiskiem regulāriem trijstūriem. Mēs jau esam meklējuši regulāra trīsstūra laukumu, aprēķinot regulāras trīsstūra piramīdas tilpumu, šeit mēs izmantojam atrasto formulu.

Tagad atradīsim (šo).

Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Bet kāda tam nozīme? Tas ir vienkārši, jo (un arī visiem pārējiem) ir taisnība.

Mēs aizstājam:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMĪDA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Piramīda ir daudzskaldnis, kas sastāv no jebkura plakana daudzstūra (), punkta, kas neatrodas pamatnes plaknē (piramīdas augšdaļa) un visiem segmentiem, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatpunktiem (sānu malām).

No piramīdas augšdaļas uz pamatnes plakni nokrita perpendikuls.

Pareiza piramīda- piramīda, kuras pamatnē ir regulārs daudzstūris, un piramīdas virsotne ir izvirzīta pamatnes centrā.

Parastās piramīdas īpašības:

Parastā piramīdā visas sānu malas ir vienādas.
Visas sānu skaldnes ir vienādsānu trīsstūri, un visi šie trīsstūri ir vienādi.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:

Piramīdu veidi

Uzdevuma piemērs

Piramīda. vizuālais ceļvedis (2019)

Kas ir piramīda?

Pareiza piramīda.

Piramīdas tilpums

Galvenā piramīdas tilpuma formula:

PIRAMĪDA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Jūs varētu interesēt