5.3. zelta piecstūris; Eiklida celtniecība.

Brīnišķīgs "zelta griezuma" piemērs ir regulārs piecstūris - izliekts un zvaigznes formas (5. att.).

Lai izveidotu pentagrammu, jums ir jāizveido parasts piecstūris.

Lai O ir apļa centrs, A ir apļa punkts un E ir nogriežņa OA viduspunkts. Perpendikuls rādiusam OA, kas atjaunots punktā O, krustojas ar apli punktā D. Izmantojot kompasu, atzīmējiet nogriezni CE = ED uz diametra. Aplī ierakstītas malas garums regulārs piecstūris vienāds ar DC. Mēs uz apļa atdalām segmentus DC un iegūstam piecus punktus par parastā piecstūra uzzīmēšanu. Mēs savienojam piecstūra stūrus caur vienu diagonāli un iegūstam pentagrammu. Visas piecstūra diagonāles sadala viena otru segmentos, kas savienoti ar zelta griezumu.

Katrs piecstūra zvaigznes gals ir zelta trīsstūris. Tās malas augšpusē veido 36° leņķi, un sānos uzklātā pamatne sadala to proporcionāli zeltainajai daļai.

Ir arī zelta kuboīds kuboīds ar malām, kuru garums ir 1,618, 1 un 0,618.

Tagad apsveriet Eiklida piedāvāto pierādījumu elementos.

Ļaujiet mums tagad redzēt, kā Eiklīds izmanto zelta griezums lai izveidotu 72 grādu leņķi - tieši šajā leņķī ir redzama regulāra piecstūra mala

no ierobežotā apļa centra. Sāksim ar

segments ABE, sadalīts pa vidu un

Tātad pieņemsim, ka AC = AE. Apzīmē ar a vienādus leņķus EBC un CEB. Tā kā AC=AE, arī leņķis ACE ir vienāds ar a. Teorēma, ka trijstūra leņķu summa ir 180 grādi, ļauj atrast leņķi ALL: tas ir 180-2a, un leņķis EAC ir 3a - 180. Bet tad leņķis ABC ir 180-a. Summējot trijstūra ABC leņķus, iegūstam

180=(3a-180) + (3a-180) + (180-a)

No kurienes 5a=360, tātad a=72.

Tātad katrs no leņķiem trijstūra BEC pamatnē ir divreiz lielāks par leņķi augšpusē, kas vienāds ar 36 grādiem. Tāpēc, lai izveidotu regulāru piecstūri, ir nepieciešams tikai uzzīmēt jebkuru apli, kura centrs ir punktā E un krustojas EC punktā X un malu EB punktā Y: segments XY ir viena no regulārā piecstūra malām, kas ierakstīts piecstūrī. aplis; Apejot visu apli, jūs varat atrast visas pārējās puses.

Tagad mēs pierādīsim, ka AC = AE. Pieņemsim, ka virsotne C ir savienota ar taisnes nogriezni ar segmenta BE viduspunktu N. Ņemiet vērā, ka, tā kā CB = CE, tad leņķis CNE ir taisns leņķis. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Tādējādi mums ir (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Tātad, AC = ja = jAB = AE, kas bija jāpierāda

5.4.Arhimēda spirāle.

Secīgi nogriežot kvadrātus no zelta taisnstūriem līdz bezgalībai, katru reizi savienojot pretējos punktus ar apļa ceturtdaļu, iegūstam diezgan elegantu līkni. Pirmo uzmanību viņai pievērsa sengrieķu zinātnieks Arhimēds, kura vārdu viņa nes. Viņš to pētīja un secināja šīs spirāles vienādojumu.

Pašlaik Arhimēda spirāle tiek plaši izmantota tehnoloģijā.

6. Fibonači skaitļi.

Itāļu matemātiķa Leonardo no Pizas vārds, kurš vairāk pazīstams ar iesauku Fibonači (Fibonači ir filius Bonači, tas ir, Bonači dēla, saīsinājums), ir netieši saistīts ar zelta griezumu.

1202. gadā viņš uzrakstīja grāmatu "Liber abacci", tas ir, "The Book of the Abacus". "Liber abacci" ir apjomīgs darbs, kas satur gandrīz visu tā laika aritmētisko un algebrisko informāciju un kam bija nozīmīga loma matemātikas attīstībā g. Rietumeiropa dažu nākamo gadsimtu laikā. Jo īpaši no šīs grāmatas eiropieši iepazinās ar hinduistu ("arābu") cipariem.

Grāmatā sniegtais materiāls ir izskaidrots lieli skaitļi problēmas, kas veido būtisku šī traktāta daļu.

Apsveriet vienu šādu problēmu:

Cik trušu pāru piedzimst no viena pāra vienā gadā?

Kāds nolika trušu pāri noteiktā vietā, kas no visām pusēm norobežota ar sienu, lai noskaidrotu, cik trušu pāru piedzims šī gada laikā, ja trušu raksturs ir tāds, ka pēc mēneša pāris truši vairos otru, un truši dzemdēs no otrā mēneša pēc dzimšanas."

Mēneši	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Trušu pāri	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Tagad pāriesim no trušiem uz skaitļiem un apsvērsim šādu ciparu secību:

u 1 , u 2 … u n

kurā katrs loceklis ir vienāds ar divu iepriekšējo summu, t.i. jebkuram n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Šī secība asimptotiski (tuvojoties arvien lēnāk) tiecas uz kādu nemainīgu saistību. Tomēr šī attiecība ir neracionāla, tas ir, tas ir skaitlis ar bezgalīgu, neparedzamu decimālciparu secību daļdaļā. To nevar precīzi izteikt.

Ja kāds Fibonači secības loceklis tiek dalīts ar to, kas ir pirms tā (piemēram, 13:8), rezultāts būs vērtība, kas svārstās ap iracionālo vērtību 1.61803398875... un dažreiz to pārsniedz, dažreiz nesasniedz.

Secības asimptotiskā uzvedība, tās attiecības slāpētās svārstības ap iracionālu skaitli Φ var kļūt saprotamākas, ja parādām vairāku secības pirmo terminu attiecības. Šajā piemērā ir parādīta otrā vārda saistība ar pirmo, trešā ar otro, ceturtā pret trešo un tā tālāk:

1:1 = 1,0000, kas ir par 0,6180 mazāk nekā phi

2:1 = 2,0000, kas ir par 0,3820 phi vairāk

3:2 = 1,5000, kas ir par 0,1180 mazāk nekā phi

5:3 = 1,6667, kas ir par 0,0486 phi vairāk

8:5 = 1,6000, kas ir par 0,0180 mazāk nekā phi

Pārvietojoties pa Fibonači summēšanas secību, katrs jaunais termins sadalīs nākamo, arvien vairāk tuvinot nesasniedzamajam F.

Cilvēks zemapziņā meklē Dievišķo proporciju: tas ir nepieciešams, lai apmierinātu viņa vajadzību pēc komforta.

Sadalot jebkuru Fibonači secības locekli ar nākamo, mēs iegūstam tikai reciproku 1,618 (1: 1,618=0,618). Bet šī ir arī ļoti neparasta, pat ievērojama parādība. Tā kā sākotnējā attiecība ir bezgalīga daļa, arī šai attiecībai nevajadzētu būt gala.

Sadalot katru skaitli ar nākamo pēc tā, iegūstam skaitli 0,382

Šādi izvēloties koeficientus, iegūstam galveno Fibonači koeficientu kopu: 4.235,2.618,1.618,0.618,0.382,0.236. Minēsim arī 0.5. Visiem tiem ir īpaša loma dabā un jo īpaši tehniskā analīze.

Šeit jāatzīmē, ka Fibonači cilvēcei tikai atgādināja viņa secību, jo senos laikos tā bija pazīstama ar nosaukumu Zelta griezums.

Zelta griezums, kā mēs redzējām, rodas saistībā ar regulāro piecstūri, tāpēc Fibonači skaitļiem ir nozīme visā, kas ir saistīts ar regulāriem piecstūriem - izliektiem un zvaigznes formas.

Fibonači sērija varēja palikt tikai matemātisks incidents, ja vien visi zelta dalījuma pētnieki augu un dzīvnieku pasaulē, nemaz nerunājot par mākslu, vienmēr nonāktu pie šīs sērijas kā zelta dalījuma likuma aritmētiskā izteiksme. . Zinātnieki turpināja aktīvi attīstīt Fibonači skaitļu teoriju un zelta griezumu. Ju.Matijasevičs, izmantojot Fibonači skaitļus, atrisina Hilberta 10. uzdevumu (par Diofantīna vienādojumu atrisināšanu). Ir elegantas metodes vairāku kibernētisko problēmu risināšanai (meklēšanas teorija, spēles, programmēšana), izmantojot Fibonači skaitļus un zelta griezumu. ASV tiek veidota pat Mathematical Fibonacci asociācija, kas kopš 1963. gada izdod īpašu žurnālu.

Viens no sasniegumiem šajā jomā ir vispārināto Fibonači skaitļu un vispārināto zelta attiecību atklāšana. Fibonači sērija (1, 1, 2, 3, 5, 8) un viņa atklātā "binārā" skaitļu sērija 1, 2, 4, 8, 16 ... (tas ir, skaitļu virkne līdz n , kur kāds dabiskais skaitlis, mazāku par n var attēlot ar dažu šīs sērijas skaitļu summu) no pirmā acu uzmetiena tie ir pilnīgi atšķirīgi. Bet to veidošanas algoritmi ir ļoti līdzīgi viens otram: pirmajā gadījumā katrs skaitlis ir iepriekšējā skaitļa summa ar sevi 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., otrajā - šī ir divu iepriekšējo skaitļu summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Vai tas ir iespējams lai atrastu vispārīgu matemātisko formulu, no kuras un " binārās sērijas un Fibonači sērijas?

Patiešām, iestatīsim skaitlisko parametru S, kas var iegūt jebkuras vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Apsveriet numuru sērija, S + 1, no kuriem pirmie vārdi ir vienības, un katrs no nākamajiem ir vienāds ar divu iepriekšējā un ar S soļiem no iepriekšējā atdalītā vārda summu. Ja n-tais termiņššo virkni apzīmējam ar S (n), tad iegūstam vispārīgo formulu S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Acīmredzot, ja S = 0, no šīs formulas mēs iegūsim “bināro” sēriju, ar S = 1 - Fibonači sēriju, ar S = 2, 3, 4. jaunas skaitļu sērijas, kuras sauc par S-Fibonači skaitļiem.

IN vispārējs skats zelta S proporcija ir zelta S griezuma pozitīvā sakne x S+1 – x S – 1 = 0.

Ir viegli parādīt, ka pie S = 0 tiek iegūts segmenta dalījums uz pusēm, un pie S = 1 tiek iegūta pazīstamā klasiskā zelta attiecība.

Blakus esošo Fibonači S skaitļu attiecības ar absolūtu matemātisko precizitāti robežās sakrīt ar zelta S proporcijām! Tas ir, zelta S-sekcijas ir Fibonači S skaitļu skaitliski invarianti.

7. Zelta griezums mākslā.

7.1. Zelta griezums glezniecībā.

Pievēršoties piemēriem par "zelta griezumu" glezniecībā, nevar nepievērst uzmanību Leonardo da Vinči darbam. Viņa identitāte ir viens no vēstures noslēpumiem. Pats Leonardo da Vinči teica: "Lai neviens, kas nav matemātiķis, uzdrošinās lasīt manus darbus."

Nav šaubu, ka Leonardo da Vinči bija izcils mākslinieks, to jau atpazina arī viņa laikabiedri, taču viņa personība un darbība paliks noslēpumu tīta, jo pēcnācējiem viņš atstāja nevis sakarīgu savu ideju izklāstu, bet tikai daudzas ar roku rakstītas skices, piezīmes. kas saka "gan visi pasaulē".

Monnas Lizas (Džokondas) portrets jau daudzus gadus ir piesaistījis pētnieku uzmanību, kuri atklāja, ka zīmējuma kompozīcijas pamatā ir zelta trīsstūri, kas ir regulāra zvaigznes piecstūra daļas.

Arī Šiškina gleznā parādās zelta griezuma proporcija. Šajā slavenajā I. I. Šiškina gleznā zelta griezuma motīvi ir skaidri redzami. Spilgti izgaismotā priede (stāvot priekšplānā) sadala attēla garumu atbilstoši zelta griezumam. Pa labi no priedes ir saules apgaismots paugurs. Tas sadala attēla labo pusi horizontāli atbilstoši zelta griezumam.

Rafaela gleznā "Nevainīgo slaktiņš" redzams vēl viens zelta griezuma elements – zelta spirāle. Uz Rafaela sagatavošanas skices ir novilktas sarkanas līnijas, kas iet no kompozīcijas semantiskā centra - punkta, kur karotāja pirksti aizvērās ap bērna potīti - gar bērna figūrām, sievietei satverot viņu pie sevis, karotāju ar paceltu zobenu un pēc tam gar tās pašas grupas figūrām skices labajā pusē . Nav zināms, vai Rafaels uzbūvēja zelta spirāli vai juta to.

T. Kuks izmantoja zelta griezumu, analizējot Sandro Botičelli gleznu "Venēras dzimšana".

7.2. Zelta griezuma piramīdas.

Piramīdu, īpaši zelta griezuma, medicīniskās īpašības ir plaši zināmas. Saskaņā ar dažiem izplatītākajiem viedokļiem telpa, kurā atrodas šāda piramīda, šķiet lielāka, un gaiss ir caurspīdīgāks. Sapņus sāk atcerēties labāk. Ir arī zināms, ka zelta griezumu plaši izmantoja arhitektūrā un tēlniecībā. Piemērs tam bija: Panteons un Partenons Grieķijā, arhitektu Baženova un Malēviča ēkas

8. Secinājums.

Jāsaka, ka zelta griezumam ir lielisks pielietojums mūsu dzīvē.

Ir pierādīts, ka cilvēka ķermenis dalīts proporcionāli zelta griezumam ar jostas līniju.

Nautilus apvalks ir savīts kā zelta spirāle.

Pateicoties zelta griezumam, tika atklāta asteroīdu josla starp Marsu un Jupiteru – proporcionāli tur vajadzētu būt citai planētai.

Stīgas ierosināšana punktā, kas to sadala attiecībā pret zelta dalījumu, neizraisīs virknes vibrāciju, tas ir, tas ir kompensācijas punkts.

Lidmašīnās ar elektromagnētiskajiem enerģijas avotiem tiek izveidotas taisnstūrveida šūnas ar zelta griezuma proporciju.

Džokonda ir veidota uz zelta trijstūriem, zelta spirāle ir klātesoša Rafaela gleznā "Nevainīgo slaktiņš".

Proporcija atrasta Sandro Botičelli gleznā "Venēras dzimšana"

Ir daudzi arhitektūras pieminekļi, kas būvēti, izmantojot zelta griezumu, tostarp Panteons un Partenons Atēnās, arhitektu Baženova un Malēviča ēkas.

Džonam Kepleram, kurš dzīvoja pirms pieciem gadsimtiem, pieder apgalvojums: "Ģeometrijai ir divi lieli dārgumi. Pirmā ir Pitagora teorēma, otrā ir segmenta sadalīšana galējā un vidējā attiecībā"

Bibliogrāfija

1. D. Pidow. Ģeometrija un māksla. – M.: Mir, 1979.

2. Žurnāls "Zinātne un tehnoloģija"

3. Žurnāls "Kvants", 1973, 8.nr.

4. Žurnāls "Matemātika skolā", 1994, 2.nr.; Nr.3.

5. Kovaļovs F.V. Zelta griezums glezniecībā. K .: Vyscha skola, 1989.

6. Stahovs A. Zelta griezuma kodi.

7. Vorobjovs N.N. "Fibonači skaitļi" - M.: Nauka 1964

8. "Matemātika - enciklopēdija bērniem" M .: Avanta +, 1998

9. Informācija no interneta.

Fibonači matricas un tā sauktās "zelta" matricas, jauna datoraritmētika, jauna kodēšanas teorija un jauna teorija kriptogrāfija. Jaunās zinātnes būtība ir visas matemātikas pārskatīšana no zelta griezuma viedokļa, sākot ar Pitagoru, kas, protams, radīs jaunus un noteikti ļoti interesantus matemātiskos rezultātus teorijā. Praktiski runājot - "zelta" datorizācija. Un tāpēc, ka...

Šis rezultāts netiks ietekmēts. Zelta griezuma pamatā ir rekursīvo attiecību 4 un 6 invariants. Tas parāda zelta griezuma "stabilitāti", kas ir viens no dzīvās matērijas organizācijas principiem. Tāpat zelta griezuma pamatā ir divu eksotisku rekursīvu secību atrisinājums (4. att.) Att. 4 Rekursīvas Fibonači secības Tātad...

Auss ir j5, un attālums no auss līdz vainagam ir j6. Tādējādi šajā statujā mēs redzam ģeometriskā progresija ar saucēju j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9. att.). Tādējādi zelta griezums ir viens no senās Grieķijas mākslas pamatprincipiem. Sirds un smadzeņu ritmi. Cilvēka sirds pukst vienmērīgi – miera stāvoklī aptuveni 60 sitieni minūtē. Sirds saspiežas kā virzulis...

Nav iespējams iztikt bez šī procesa tehnoloģijas izpētes. Ir vairāki veidi, kā paveikt darbu. Kā uzzīmēt zvaigzni ar lineālu, tas palīdzēs izprast šī procesa slavenākās metodes.

Zvaigžņu šķirnes

Ir daudz iespēju izskats tāda figūra kā zvaigzne.

Kopš seniem laikiem tā piecstaru šķirne ir izmantota pentagrammu zīmēšanai. Tas ir saistīts ar tā īpašību, kas ļauj izveidot zīmējumu, nepaceļot pildspalvu no papīra.

Ir arī sešstaru komētas ar asti.

Jūras zvaigznei tradicionāli ir piecas virsotnes. Ziemassvētku versijas attēli bieži tiek atrasti tādā pašā formā.

Jebkurā gadījumā, lai pakāpeniski uzzīmētu piecstaru zvaigzni, jums jāizmanto īpaši instrumenti, jo brīvrokas attēls, visticamāk, neizskatīsies simetrisks un skaists.

Zīmējuma izpilde

Lai saprastu, kā uzzīmēt vienmērīgu zvaigzni, jums vajadzētu saprast šī skaitļa būtību.

Tās kontūras pamatā ir lauzta līnija, kuras gali saplūst sākuma punktā. Tas veido regulāru piecstūri – piecstūri.

Šādas figūras atšķirīgās īpašības ir iespēja to ierakstīt aplī, kā arī apli šajā daudzstūrī.

Visas piecstūra malas ir vienādas. Izprotot, kā pareizi uzzīmēt zīmējumu, jūs varat saprast visu figūru veidošanas procesa būtību, kā arī dažādas detaļu un mezglu shēmas.

Lai sasniegtu šādu mērķi, kā uzzīmēt zvaigzni, izmantojot lineālu, jums ir jāzina vienkāršākās matemātiskās formulas, kas ir būtiskas ģeometrijā. Jums būs jāspēj arī rēķināties ar kalkulatoru. Bet pats galvenais ir loģiskā domāšana.

Darbs nav grūts, taču prasīs precizitāti un skrupulozitāti. Iztērētās pūles tiks atalgotas ar labu simetrisku un tāpēc skaistu piecstaru zvaigznes attēlu.

klasiskā tehnika

Slavenākais veids, kā uzzīmēt zvaigzni ar kompasu, lineālu un transportieri, ir pavisam vienkāršs.

Šai tehnikai jums būs nepieciešami vairāki instrumenti: kompass vai transportieri, lineāls, vienkāršs zīmulis, dzēšgumija un balta papīra lapa.

Lai saprastu, kā skaisti uzzīmēt zvaigzni, jums jārīkojas secīgi, pakāpeniski.

Savā darbā varat izmantot īpašus aprēķinus.

Attēlu aprēķins

Šajā pareizās zvaigznes zīmēšanas posmā parādās gatavās figūras kontūras.

Ja viss ir izdarīts pareizi, iegūtais attēls būs gluds. To var pārbaudīt vizuāli, pagriežot papīra lapu un novērtējot formu. Tas paliks nemainīgs ar katru pagriezienu.

Galvenās kontūras tiek uzzīmētas ar lineālu un vienkāršu zīmuli skaidrāk. Visas palīglīnijas tiek noņemtas.

Lai saprastu, kā pakāpeniski uzzīmēt zvaigzni, visas darbības jāveic pārdomāti. Kļūdas gadījumā zīmējumu var labot ar dzēšgumiju vai veikt visas manipulācijas vēlreiz.

Darba reģistrācija

Gatavo formu var dekorēt dažādos veidos. Galvenais ir nebaidīties eksperimentēt. Fantāzija radīs oriģinālu un skaistu attēlu.

Uzzīmēto vienmērīgo zvaigzni vari izrotāt ar vienkāršu zīmuli vai izmantot visdažādākās krāsas un toņus.

Lai saprastu, kā uzzīmēt pareizo zvaigzni, jums visā ir jāpieturas pie perfektām līnijām. Tāpēc vispopulārākais dizaina variants ir sadalīt katru figūras staru divās vienādās daļās ar līniju, kas stiepjas no augšas uz centru.

Jūs nevarat atdalīt zvaigznes malas ar līnijām. Atļauts vienkārši pārkrāsot katru figūras staru ar tumšāku nokrāsu no vienas puses.

Šī opcija būs arī atbilde uz jautājumu, kā pareizi uzzīmēt zvaigzni, jo visas tās līnijas būs simetriskas.

Ja vēlaties, ar figūras estētisko dizainu varat pievienot ornamentu vai citus dažādus elementus. Pievienojot apļus galotnēm, jūs varat iegūt šerifa zvaigzni. Uzklājot gludu ēnas malu ēnojumu, jūs varat iegūt jūras zvaigzni.

Šis paņēmiens ir visizplatītākais, jo tas bez piepūles ļauj saprast, kā pakāpeniski uzzīmēt piecstaru zvaigzni. Neizmantojot sarežģītus matemātiskus aprēķinus, ir iespējams iegūt pareizu, skaistu attēlu.

Apsverot visus veidus, kā uzzīmēt zvaigzni ar lineālu, varat izvēlēties sev piemērotāko. Vispopulārākā ir ģeometriskā fāzu metode. Tas ir diezgan vienkārši un efektīvi. Lietojot fantāziju un iztēli, no iegūtā ir iespējams pareizi, skaista forma izveidot oriģinālu kompozīciju. Zīmēšanai ir daudz dizaina iespēju. Bet jūs vienmēr varat izdomāt savu, visneparastāko un neaizmirstamāko stāstu. Pats galvenais, nebaidieties eksperimentēt!

Regulāru piecstūri var izveidot, izmantojot kompasu un taisnvirzienu, vai ierakstot to noteiktā aplī, vai veidojot to no noteiktas puses. Šo procesu apraksta Eiklīds savos elementos ap 300. gadu pirms mūsu ēras. e.

Šeit ir viena metode regulāra piecstūra konstruēšanai noteiktā aplī:

1. Izveidojiet apli, kurā tiks ierakstīts piecstūris, un atzīmējiet tā centru kā O. (Tas ir zaļais aplis diagrammā labajā pusē).

1. Izvēlieties punktu uz apļa A, kas būs viena no piecstūra virsotnēm. Novelciet līniju cauri O Un A.
2. Izveidojiet līniju, kas ir perpendikulāra līnijai OA iet caur punktu O. Apzīmējiet vienu no tā krustpunktiem ar apli kā punktu B.
3. Izveidojiet punktu C pa vidu starp O Un B.
4. C caur punktu A. Atzīmējiet tā krustojumu ar līniju OB(sākotnējā apļa iekšpusē) kā punkts D.
5. Uzzīmējiet apli, kura centrā ir A caur punktu D. Apzīmējiet tā krustojumus ar oriģinālu (zaļo apli) kā punktus E Un F.
6. Uzzīmējiet apli, kura centrā ir E caur punktu A G.
7. Uzzīmējiet apli, kura centrā ir F caur punktu A. Apzīmējiet tā otru krustpunktu ar sākotnējo apli kā punktu H.
8. Izveidojiet regulāru piecstūri AEGHF.

ikosaedrs

ikosaedrs- viena no piecām platoniskām cietvielām, kas vienkāršībā seko tetraedram un oktaedram. Viņus vieno fakts, ka katras malas ir vienādmalu trīsstūri. Izgatavojot ikosaedra modeli, jūs varat izvēlēties jebkuru no divām iespaidīgām iespējām piecu krāsu sadalījumam.

Pirmkārt, ikosaedru var iekrāsot tā, lai katrai virsotnei būtu visas piecas krāsas (tomēr šajā gadījumā pretējās skaldnes netiks krāsotas vienādi).

Cita metode nodrošina pretējās sejas ar vienādām krāsām, bet katrai virsotnei, izņemot divas polārās, ap apli tiks atkārtota viena krāsa. Abi krāsojumi ir ļoti interesanti un noderīgi mūsu mērķiem, jo ​​daudziem zemāk aprakstītajiem viendabīgajiem daudzskaldņiem ir ikosaedriska simetrija.

	|	nākamais ==>

Aplī ierakstīta regulāra sešstūra konstrukcija.

Sešstūra konstrukcija balstās uz to, ka tā mala ir vienāda ar ierobežotā apļa rādiusu. Tāpēc, lai izveidotu, pietiek ar apli sadalīt sešos vienādās daļās un savienojiet atrastos punktus savā starpā.

Parasto sešstūri var izveidot, izmantojot T-veida kvadrātu un 30x60° kvadrātu. Lai veiktu šo konstrukciju, mēs ņemam apļa horizontālo diametru kā leņķa 1 un 4 bisektri, veidojam malas 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 un 7 - 2, pēc tam mēs novelkam malas 5 - 6 un 3 - 2.

Šāda trijstūra virsotnes var izveidot, izmantojot kompasu un kvadrātu ar 30 un 60 ° leņķiem vai tikai vienu kompasu. Apsveriet divus veidus, kā izveidot vienādmalu trīsstūri, kas ierakstīts aplī.

Pirmais veids(61. att., a) balstās uz faktu, ka visi trīs trijstūra 7, 2, 3 leņķi satur 60 °, un vertikālā līnija, kas novilkta caur punktu 7, ir gan leņķa 1 augstums, gan bisektrise. leņķis 0 - 1 - 2 ir vienāds ar 30°, tad, lai atrastu malu 1 - 2, pietiek izveidot 30° leņķi no punkta 1 un malas 0 - 1. Lai to izdarītu, iestatiet T-kvadrātu un kvadrātu, kā parādīts attēlā, novelciet līniju 1 - 2, kas būs viena no vēlamā trīsstūra malām. Lai izveidotu 2.–3. malu, iestatiet T kvadrātu pozīcijā, kas parādīta ar pārtrauktām līnijām, un novelciet taisnu līniju caur punktu 2, kas noteiks trijstūra trešo virsotni.

Otrais veids ir balstīts uz faktu, ka, veidojot regulāru sešstūri, kas ierakstīts aplī, un pēc tam savienojat tā virsotnes caur vienu, jūs iegūstat vienādmalu trīsstūri.

Lai izveidotu trīsstūri, mēs atzīmējam diametra virsotnes punktu 1 un novelkam diametrālu līniju 1 - 4. Tālāk no punkta 4 ar rādiusu, kas vienāds ar D / 2, mēs aprakstam loku, līdz tas krustojas ar apli punktos 3 un 2. Iegūtie punkti būs vēl divas vēlamā trīsstūra virsotnes.

Šo konstrukciju var veikt, izmantojot kvadrātu un kompasu.

Pirmais veids ir balstīts uz faktu, ka kvadrāta diagonāles krustojas ierobežotā apļa centrā un ir slīpas pret tā asīm 45° leņķī. Pamatojoties uz to, mēs uzstādām T veida kvadrātu un kvadrātu ar 45 ° leņķiem, kā parādīts attēlā. 62, a un atzīmējiet punktus 1 un 3. Tālāk caur šiem punktiem ar T veida kvadrāta palīdzību novelkam kvadrāta horizontālās malas 4 - 1 un 3 -2. Pēc tam, izmantojot T-veida kvadrātu gar kvadrāta kāju, mēs uzzīmējam kvadrāta vertikālās malas 1 - 2 un 4 - 3.

Otrais veids ir balstīta uz faktu, ka kvadrāta virsotnes sadala uz pusēm apļa lokus, kas atrodas starp diametra galiem. Mēs atzīmējam punktus A, B un C divu savstarpēji perpendikulāru diametru galos, un no tiem ar rādiusu y aprakstam lokus, līdz tie krustojas.

Tālāk caur loku krustpunktiem mēs zīmējam palīglīnijas, kas attēlā atzīmētas ar cietām līnijām. To krustošanās punkti ar apli noteiks virsotnes 1 un 3; 4 un 2. Šādā veidā iegūtās vēlamā kvadrāta virsotnes ir virknē savienotas viena ar otru.

Aplī ierakstīta regulāra piecstūra konstrukcija.

Lai aplī ierakstītu regulāru piecstūri, mēs izgatavojam šādas konstrukcijas. Mēs atzīmējam punktu 1 uz apļa un ņemam to par vienu no piecstūra virsotnēm. Sadaliet segmentu AO uz pusēm. Lai to izdarītu, ar rādiusu AO no punkta A aprakstam loku līdz krustojumam ar apli punktos M un B. Savienojot šos punktus ar taisni, iegūstam punktu K, kuru pēc tam savienojam ar punktu 1. Ar rādiusu, kas vienāds ar segmentu A7, mēs aprakstam loku no punkta K līdz krustojumam ar diametrālo līniju AO punktā H. Savienojot punktu 1 ar punktu H, mēs iegūstam piecstūra malu. Tad ar kompasa atvērumu, kas vienāds ar segmentu 1H, aprakstot loku no 1. virsotnes līdz krustpunktam ar apli, atrodam virsotnes 2 un 5. Izdarot iegriezumus no virsotnēm 2 un 5 ar tādu pašu kompasa atvērumu, iegūstam atlikušo daļu. virsotnes 3 un 4. Atrastos punktus savienojam secīgi vienu ar otru.

Parasta piecstūra konstrukcija, ņemot vērā tā malu.

Lai izveidotu regulāru piecstūri gar tā doto malu (64. att.), sadalām segmentu AB sešās vienādās daļās. No punktiem A un B ar rādiusu AB aprakstam lokus, kuru krustpunkts dos punktu K. Caur šo punktu un dalījumu 3 uz taisnes AB novelkam vertikālu līniju. Tālāk no punkta K uz šīs taisnes mēs atdalām segmentu, kas vienāds ar 4/6 AB. Mēs iegūstam punktu 1 - piecstūra virsotni. Pēc tam ar rādiusu, kas vienāds ar AB, no punkta 1 aprakstam loku līdz krustpunktam ar lokiem, kas iepriekš novilkti no punktiem A un B. Loku krustošanās punkti nosaka piecstūra 2 un 5 virsotnes. Savienojam atrasto virsotnes virknē viena ar otru.

Aplī ierakstīta regulāra septiņstūra konstrukcija.

Dots aplis ar diametru D; tajā jāieraksta regulārs septiņstūris (65. att.). Sadaliet apļa vertikālo diametru septiņās vienādās daļās. No 7. punkta ar rādiusu, kas vienāds ar apļa D diametru, mēs aprakstam loku, līdz tas krustojas ar horizontālā diametra turpinājumu punktā F. Punktu F sauc par daudzstūra polu. Ņemot punktu VII par vienu no septiņstūra virsotnēm, no pola F caur vienmērīgiem vertikālā diametra dalījumiem velkam starus, kuru krustošanās ar apli noteiks septiņstūra virsotnes VI, V un IV. Lai iegūtu virsotnes / - // - /// no punktiem IV, V un VI, velkam horizontālas līnijas, līdz tās krustojas ar apli. Atrastās virsotnes savienojam virknē vienu ar otru. Septiņstūri var izveidot, velkot starus no F pola un caur nepāra vertikālā diametra dalījumu.

Iepriekš minētā metode ir piemērota regulāru daudzstūru veidošanai ar jebkādu malu skaitu.

Apļa sadalīšanu jebkurā skaitā vienādās daļās var veikt arī, izmantojot tabulas datus. 2, kas parāda koeficientus, kas ļauj noteikt regulāru ierakstītu daudzstūru malu izmērus.

Regulāru ierakstītu daudzstūru malu garumi.

Šīs tabulas pirmajā slejā ir parādīts regulāra ierakstīta daudzstūra malu skaits, bet otrajā kolonnā ir parādīti koeficienti. Dotā daudzstūra malas garumu iegūst, reizinot dotā apļa rādiusu ar koeficientu, kas atbilst šī daudzstūra malu skaitam.

Instrukcija

Izveidojiet citu diametru, kas ir perpendikulārs MH diametram. Lai to izdarītu, izmantojiet kompasu, lai zīmētu lokus no punktiem M un H ar tādu pašu rādiusu. Izvēlieties tādu rādiusu, lai abi loki krustotos viens ar otru un ar doto apli vienā punktā. Tas būs otrā dimetra pirmais punkts A. Caur to novelciet taisnu līniju un norādiet O. Jūs iegūstat diametru AB, kas ir perpendikulārs taisnei MH.

Atrodiet rādiusa BO viduspunktu. Lai to izdarītu, izmantojiet kompasu ar apļa rādiusu, lai no punkta B novilktu loku tā, lai tas krustotu apli divos punktos C un P. Caur šiem punktiem novelciet taisnu līniju. Šī taisne sadalīs VO rādiusu tieši uz pusi. Novietojiet punktu K SR un BO krustpunktā.

Savienojiet punktus M un K ar līnijas nogriezni. Uz kompasa iestatiet attālumu, kas vienāds ar segmentu MK. No punkta M uzvelciet loku tā, lai tas krustotu rādiusu AO. Šajā krustojumā novietojiet punktu E. Iegūtais attālums ME atbilst ierakstītā piecstūra vienas malas garumam.

Izveidojiet atlikušās piecstūra virsotnes. Lai to izdarītu, iestatiet kompasa kāju attālumu, kas vienāds ar segmentu ME. No piecstūra M pirmās virsotnes novelciet loku līdz krustojumam ar apli. Krustošanās punkts būs otrā virsotne F. No iegūtā punkta, savukārt, arī novelciet tāda paša rādiusa loku ar apļa krustpunktu. Iegūstiet piecstūra G trešo virsotni. Tādā pašā veidā izveidojiet pārējos punktus S un L.

Savienojiet iegūtās virsotnes ar taisnām līnijām. Iezīmēts aplī, tiek izveidots regulārs piecstūris MFGSL.

Avoti:

• Regulāri daudzstūri

Sešstūris ir daudzstūris, kuram ir seši stūri. Lai uzzīmētu patvaļīgu sešstūri, jums jāveic tikai 2 darbības.

Jums būs nepieciešams

• Zīmulis, lineāls, papīra lapa.

Instrukcija

Paņemiet lineālu un šajos punktos uzzīmējiet 6 segmentus, kas būtu savienoti viens ar otru iepriekš uzzīmētajos punktos (2. att.)

Saistītie video

Piezīme

Īpašs sešstūra veids ir parastais sešstūris. To sauc par tādu, jo visas tās malas un leņķi ir vienādi viens ar otru. Ap šādu sešstūri var aprakstīt vai ierakstīt apli. Ir vērts atzīmēt, ka punktos, kas iegūti, pieskaroties ierakstītajam aplim un sešstūra malām, regulārā sešstūra malas tiek sadalītas uz pusēm.

Noderīgs padoms

Dabā regulārie sešstūri ir ļoti populāri. Piemēram, katrai šūnveida formai ir regulāra sešstūra forma.
Vai arī grafēna kristāliskajam režģim (oglekļa modifikācija) ir regulāra sešstūra forma.

Ģeometrisku formu attēli tiek izmantoti, lai izveidotu daudzas jo daudzas spēles, kolāžas un ilustrācijas. Izmantojot Photoshop rīkus, varat uzzīmēt jebkuru trīsdimensiju figūru, ieskaitot sešstūri.

Jums būs nepieciešams

• Adobe Photoshop

Instrukcija

Atveriet jaunu dokumentu. Rīkjoslā atlasiet Daudzstūra rīku. Rekvizītu panelī iestatiet sides=6 un krāsojiet to, ko vēlaties. Turiet nospiestu taustiņu Shift un zīmējiet. Virziet kursoru virs formas, ar peles labo pogu noklikšķiniet un izvēlieties Rasterizēt slāni.

Dublējiet šo slāni divreiz (Ctrl + J), lai jums būtu trīs sešstūri. Uzņemiet jaunu slāni. Turiet nospiestu taustiņu Ctrl un noklikšķiniet uz jaunās ikonas, lai iegūtu atlasi. Rīkjoslā iestatiet priekšplāna krāsu uz tumšāku toni. Izmantojiet Paint Bucket Tool, lai aizpildītu sešstūri. Atkal pārejiet uz jaunu slāni un aizpildiet formu ar piemērotu. Tādā veidā jūsu sešstūri tiks iekrāsoti dažādos vienas krāsas toņos.

Izmantojiet pārvietošanas rīku, lai novietotu sešstūrus, kā parādīts attēlā. To darot, apsveriet, kur jūsu attēlā atradīsies gaismas avots. Vietā, kur krīt gaisma, jābūt gaišākai malai. Tumšākā mala būs ēnā.

Slāņiem ar sešstūriem, kas attēlo sānu sejas, iestatiet Necaurredzamība=50%. Rīkjoslā atlasiet rīku Eraser Tool. Iestatiet cietību = 100% un uzmanīgi un maigi sāciet dzēst lieko attēlu. Lai noņemtu nevēlamu krāsu netālu no malas, rīkojieties šādi: samaziniet gumijas joslas diametru, lai nesaņemtu lieko. Virziet kursoru virs viena malas gala sešstūris un noklikšķiniet ar peles kreiso pogu. Pēc tam pārvietojiet kursoru uz otru galu, nospiediet taustiņu Shift un vēlreiz noklikšķiniet ar peles kreiso taustiņu. Jūs saņemsiet plakanu tukšu sloksni. Atkārtojiet šo procedūru tik reižu, cik nepieciešams, lai noņemtu nevēlamo fonu ap formu.

Slāņiem ar sānu virsmām atgriež Opacity=100%.

Saistītie video

Noderīgs padoms

Izvēloties malu krāsu toņus, ņemiet vērā gaismas avota atrašanās vietu attēlā.

Regulārs daudzstūris ir izliekts daudzstūris, kura visas malas un visi leņķi ir vienādi. Ap regulāru daudzstūri var apvilkt apli. Tas ir šis aplis, kas palīdz tā veidošanā. Viens no parastajiem daudzstūriem, kura uzbūvi var veikt, izmantojot vienkāršākos instrumentus, ir regulārais piecstūris.

Jums būs nepieciešams

• lineāls, aplis

Instrukcija

Tālāk caur punktu O novelciet līniju, kas ir perpendikulāra līnijai OA. Jūs varat izveidot perpendikulāru līniju, izmantojot kvadrātu vai (izmantojot divu tāda paša rādiusa apļu metodi). Tā krustojumu ar apli var apzīmēt kā punktu B.

Nozarē OB izveidojiet punktu C, kas būs tā viduspunkts. Tad jums jāzīmē aplis, kura centrs ir punktā C, kas iet caur punktu A, tas ir, ar rādiusu CA. Šī apļa krustpunkts ar līniju OB apļa iekšpusē ar centru O (vai sākotnējais aplis) tiek apzīmēts kā D.

Pēc tam uzzīmējiet apli, kura centrs ir A, caur punktu D. Apzīmējiet tā krustpunktu ar sākotnējo apli kā punktus E un F. Tās būs divas rotējošā piecstūra virsotnes.

Uzzīmējiet apli, kura centrs ir E, caur punktu A. Apzīmējiet tā krustpunktu ar sākotnējo apli kā punktu G. Tā būs viena no piecstūra virsotnēm.
Līdzīgi uzzīmējiet apli, kura centrs ir F, caur punktu A. Apzīmējiet tā otru krustpunktu ar sākotnējo apli kā punktu H. Šis punkts būs arī taisnstūra virsotne.

Pēc tam savienojiet punktus A, E, G, H un F. Rezultāts ir regulārs piecstūris, kas ierakstīts aplī.

Saistītie video

Sešstūris ir īpašs daudzstūra gadījums – figūra, ko veido punktu kopa plaknē, ko ierobežo slēgta polilīnija. Savukārt regulārs sešstūris (hexagon) ir arī īpašs gadījums - tas ir daudzstūris ar sešiem vienlīdzīgas puses un vienādi leņķi. Šis skaitlis ir ievērojams ar to, ka katras tās malas garums ir vienāds ar ap figūru aprakstītā apļa rādiusu.

Jums būs nepieciešams

• - kompass;
• - lineāls;
• - zīmulis;
• - papīrs.

Instrukcija

Izvēlieties sānu garumu. Paņemiet kompasu un iestatiet attālumu tā, lai adatas gals atrodas vienā no tās kājiņām un irbuļa gals atrodas otrā kājā, vienāds ar garumu zīmējamās figūras malas. Lai to izdarītu, varat izmantot lineālu vai izvēlēties nejaušu attālumu, ja brīdis nav nozīmīgs. Ja iespējams, piestipriniet kompasa kājas ar skrūvi.

Uzzīmējiet apli ar kompasu. Izvēlētais attālums starp kājām būs apļa rādiuss.

Novietojiet kompasa kāju ar adatu patvaļīgā punktā, kas atrodas uz iezīmētā apļa līnijas. Adatai precīzi vajadzētu caurdurt līniju. Konstrukciju precizitāte tieši atkarīga no kompasa uzstādīšanas precizitātes. Novelciet loku ar kompasu tā, lai tas divos punktos krustotu vispirms novilkto apli.

Pārvietojiet kompasa kāju ar adatu uz vienu no zīmētā loka krustošanās punktiem ar sākotnējo apli. Uzzīmējiet vēl vienu loku, kas arī krusto apli divos punktos (viens no tiem sakritīs ar kompasa adatas iepriekšējās atrašanās vietas punktu).

Tādā pašā veidā pārkārtojiet kompasa adatu un velciet lokus vēl četras reizes. Pārvietojiet kompasa kāju ar adatu vienā virzienā pa apkārtmēru (vienmēr pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji pulksteņrādītāja virzienam). Rezultātā ir jānosaka seši loku krustošanās punkti ar sākotnēji izveidoto apli.

Uzzīmējiet regulāru sešstūri. Secīgi savienojiet pa pāriem sešus punktus, kas iegūti iepriekšējā solī ar segmentiem. Zīmējiet līniju segmentus ar zīmuli un lineālu. Rezultāts būs regulārs sešstūris. Pēc konstrukcijas pabeigšanas jūs varat izdzēst palīgelementus (lokus un apļus).

Piezīme

Ir lietderīgi izvēlēties tādu attālumu starp kompasa kājiņām, lai leņķis starp tiem būtu vienāds ar 15-30 grādiem, pretējā gadījumā šis attālums var viegli nomaldīties, veidojot konstrukcijas.

Savulaik regulāra sešstūra zīmēšanas procesu aprakstīja sengrieķu Eiklīds. Tomēr šodien ir citi veidi, kā to izveidot ģeometriskā figūra. Galvenais princips ir ievērot noteiktus labi zināmus noteikumus, zīmējot figūru.