Prizmas pamatnē var atrasties jebkurš daudzstūris - trīsstūris, četrstūris utt. Abas pamatnes ir pilnīgi vienādas, un attiecīgi, ar kurām paralēlo skaldņu leņķi ir savienoti viens ar otru, tie vienmēr ir paralēli. Parastas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tas ir, tāds, kura visas malas ir vienādas. Taisnā prizmā malas starp sānu virsmām ir perpendikulāras pamatnei. Šajā gadījumā taisnas prizmas pamatnē var atrasties daudzstūris ar jebkuru leņķu skaitu. Prizmu, kuras pamats ir paralelograms, sauc par paralēlskaldni. Taisnstūris ir īpašs paralelograma gadījums. Ja šis skaitlis atrodas pie pamatnes, un sānu sejas kas atrodas taisnā leņķī pret pamatni, paralēlskaldni sauc par taisnstūrveida. Šī ģeometriskā ķermeņa otrais nosaukums ir taisnstūrveida.

Kā viņa izskatās

Apkārt ir taisnstūra prizmas mūsdienu cilvēks diezgan daudz. Tas, piemēram, ir parastais kartons no apavu apakšas, datora komponentiem utt. Paskaties apkārt. Pat telpā jūs noteikti redzēsit daudzas taisnstūrveida prizmas. Tas ir datora korpuss, un grāmatu skapis, un ledusskapis, un skapis, un daudzi citi priekšmeti. Veidlapa ir ārkārtīgi populāra galvenokārt tāpēc, ka ļauj maksimāli efektīvi izmantot telpu neatkarīgi no tā, vai iekārtojat interjeru vai pirms pārvietošanas iepakojat lietas kartonā.

Taisnstūra prizmas īpašības

Taisnstūra prizmai ir vairākas īpašas īpašības. Jebkurš seju pāris var kalpot par to, jo visas blakus esošās virsmas atrodas vienādā leņķī viena pret otru, un šis leņķis ir 90 °. Taisnstūra prizmas tilpumu un virsmas laukumu ir vieglāk aprēķināt nekā jebkuras citas. Paņemiet jebkuru objektu, kam ir taisnstūra prizmas forma. Izmēriet tā garumu, platumu un augstumu. Lai atrastu skaļumu, pietiek ar šo mērījumu reizināšanu. Tas ir, formula izskatās šādi: V \u003d a * b * h, kur V ir tilpums, a un b ir pamatnes malas, h ir augstums, kas sakrīt ar šī ģeometriskā ķermeņa sānu malu. Pamatplatību aprēķina pēc formulas S1=a*b. Lai iegūtu sānu virsmu, vispirms jāaprēķina pamatnes perimetrs pēc formulas P=2(a+b) un pēc tam jāreizina ar augstumu. Izrādās formula S2=P*h=2(a+b)*h. Lai aprēķinātu pilna virsma Taisnstūra prizmai pievienojiet divreiz lielāku pamatnes laukumu un sānu virsmas laukumu. Formula ir S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Lekcija: Prizma, tās pamatnes, sānu malas, augstums, sānu virsma; taisna prizma; labā prizma

Prizma

Ja esat mācījušies pie mums plakanas figūras no pagātnes jautājumiem, tas nozīmē, ka viņi ir pilnībā gatavi pētīt trīsdimensiju figūras. Pirmā cietā daļa, ko mēs iemācīsimies, būs prizma.

Prizma- Šis ir trīsdimensiju ķermenis, kuram ir liels skaits seju.

Šim skaitlim ir divi daudzstūri pie pamatiem, kas atrodas paralēlās plaknēs, un visas sānu virsmas ir paralelograma formā.

1. att. 2

Tātad, izdomāsim, no kā sastāv prizma. Lai to izdarītu, pievērsiet uzmanību 1. att

Kā minēts iepriekš, prizmai ir divas paralēlas viena otrai bāzes - tie ir piecstūri ABCEF un GMNJK. Turklāt šie daudzstūri ir vienādi viens ar otru.

Visas pārējās prizmas skaldnes sauc par sānu skaldnēm – tās sastāv no paralelogramiem. Piemēram, BMNC, AGKF, FKJE u.c.

Tiek saukta visu sānu virsmu kopējā virsma sānu virsma.

Katram blakus esošo seju pārim ir kopīga puse. Šādu kopējo pusi sauc par malu. Piemēram, MB, CE, AB utt.

Ja prizmas augšējo un apakšējo pamatni savieno perpendikuls, tad to sauks par prizmas augstumu. Attēlā augstums ir atzīmēts kā taisna līnija OO 1.

Ir divi galvenie prizmu veidi: slīpa un taisna.

Ja sānu ribas prizmas nav perpendikulāras pamatiem, tad tādu prizmu sauc slīpi.

Ja visas prizmas malas ir perpendikulāras pamatiem, tad šādu prizmu sauc taisni.

Ja prizmas pamati ir regulāri daudzstūri (tie ar vienādām malām), tad šādu prizmu sauc pareizi.

Ja prizmas pamatnes nav paralēlas viena otrai, tad šādu prizmu izsauks saīsināts.

To var redzēt 2. att

Formulas tilpuma, prizmas laukuma atrašanai

Ir trīs pamata formulas apjoma noteikšanai. Tie atšķiras viens no otra savā pielietojumā:

Līdzīgas formulas prizmas virsmas laukuma noteikšanai:

Daudzskaldnis

Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir trīsdimensiju ķermeņi. Ķermenis ir telpas daļa, ko ierobežo kāda virsma.

daudzskaldnis Tiek saukts ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plakanā daudzstūra plaknes pusē, kas atrodas uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopīgo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju puses sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes daudzskaldņa virsotnes.

Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā sejas. Tajā ir 12 malas (kvadrātu malas) un 8 virsotnes (kvadrātu virsotnes).

Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.

Prizma

Prizmas definīcija un īpašības

prizma sauc par daudzskaldni, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Daudzstūri tiek saukti prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.

Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogles ja tā bāze ir n-stūra.

Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no tā, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:

1. Prizmas pamatnes ir vienādas.

2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.

Prizmas virsmu veido pamatnes un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.

taisna prizma

Prizmu sauc taisni ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Pretējā gadījumā prizmu sauc slīpi.

Taisnas prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.

pilna prizmas virsma ir sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summa.

Pareiza prizma sauc par taisnu prizmu regulārs daudzstūris pie pamatnes.

Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, līdzvērtīgi, ar sānu malu).

Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:

,

kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.

Paralēles

Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.

Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā, un krustošanās punkts tiek sadalīts uz pusēm.

Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar T apmēram divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai . Turklāt tas nozīmē, ka līnijas un atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne šķērso paralēlas plaknes un gar paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles un krustojas, un krustošanās punkts tiek dalīts uz pusēm, kas bija jāpierāda.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris kuboīds. Plkst kuboīds visas sejas ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldņa neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārajiem izmēriem (mērījumiem). Ir trīs izmēri (platums, augstums, garums).

Teorēma 13.3. Kvadrātveida formā jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.

Uzdevumi

13.1. Cik diagonāles ir n- oglekļa prizma

13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu virsmu un pretējo sānu malu.

13.3Caur labās apakšējās pamatnes malu trīsstūrveida prizma tiek novilkta plakne, kas krusto sānu virsmas gar segmentiem, leņķis starp kuriem ir . Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Definīcija 1. Prizmatiska virsma
Teorēma 1. Par prizmatiskas virsmas paralēliem posmiem
Definīcija 2. Prizmatiskas virsmas perpendikulārs griezums
Definīcija 3. Prizma
Definīcija 4. Prizmas augstums
Definīcija 5. Tiešā prizma
Teorēma 2. Prizmas sānu virsmas laukums

Paralēlspīdīgs:
Definīcija 6. Paralleleped
Teorēma 3. Par paralēlskaldņa diagonāļu krustpunktu
7. Definīcija. Labais paralēlskaldnis
Definīcija 8. Taisnstūra paralēlskaldnis
Definīcija 9. Paralēlskaldņa izmēri
Definīcija 10. Kubs
Definīcija 11. Romboedrs
Teorēma 4. Par taisnstūra paralēlskaldņa diagonālēm
5. teorēma. Prizmas tilpums
Teorēma 6. Taisnas prizmas tilpums
7. teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums

prizma sauc daudzskaldnis, kurā divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un malas, kas neatrodas šajās skaldnēs, ir paralēlas viena otrai.
Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatnes sānu.
Sānu virsmu un pamatņu malas sauc prizmas malas, malu galus sauc prizmas virsotnes. Sānu ribas sauc par malām, kas nepieder pie pamatiem. Sānu seju savienību sauc prizmas sānu virsma, un tiek saukta visu seju savienība pilna prizmas virsma. Prizmas augstums sauc par perpendikulu, kas nomests no augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni vai šī perpendikula garumu. taisna prizma sauc par prizmu, kurā sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm. Pareizi sauc par taisnu prizmu (3. att.), kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris.

Apzīmējumi:
l - sānu riba;
P - bāzes perimetrs;
S o - bāzes platība;
H - augstums;
P ^ - perpendikulārā griezuma perimetrs;
S b - sānu virsmas laukums;
V - tilpums;
S p - prizmas kopējās virsmas laukums.

V=SH S p \u003d S b + 2S o S b = P^l

1. definīcija . Prizmatiska virsma ir figūra, ko veido vairāku plakņu daļas, kas ir paralēlas vienai taisnei, ko ierobežo tās taisnes, pa kurām šīs plaknes secīgi krustojas viena ar otru *; šīs līnijas ir paralēlas viena otrai un tiek sauktas prizmatiskās virsmas malas.
*Tiek pieņemts, ka katras divas secīgās plaknes krustojas un ka pēdējā plakne krustojas ar pirmo.

1. teorēma . Prizmatiskas virsmas griezumi plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai (bet ne paralēlas tās malām), ir vienādi daudzstūri.
Lai ABCDE un A"B"C"D"E ir prizmatiskas virsmas griezumi pa divām paralēlām plaknēm. Lai pārliecinātos, ka šie divi daudzstūri ir vienādi, pietiek parādīt, ka trijstūri ABC un A"B"C" ir vienādi. un tiem ir vienāds griešanās virziens, un tas pats attiecas uz trijstūriem ABD un A"B"D", ABE un A"B"E. Bet šo trīsstūru atbilstošās malas ir paralēlas (piemēram, AC ir paralēlas A "C") kā noteiktas plaknes krustošanās taisnes ar divām paralēlām plaknēm; no tā izriet, ka šīs malas ir vienādas (piemēram, maiņstrāva ir vienāda ar A"C") kā pretējās puses paralelograms un ka leņķi, ko veido šīs malas, ir vienādi un tiem ir vienāds virziens.

2. definīcija . Prizmatiskas virsmas perpendikulārs posms ir šīs virsmas griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra tās malām. Pamatojoties uz iepriekšējo teorēmu, visas vienas prizmatiskās virsmas perpendikulārie posmi būs vienādi daudzstūri.

3. definīcija . Prizma ir daudzskaldnis, ko ierobežo prizmatiska virsma un divas plaknes, kas ir paralēlas viena otrai (bet nav paralēlas prizmatiskās virsmas malām).
Sejas, kas atrodas šajās pēdējās plaknēs, tiek sauktas prizmu pamatnes; sejas, kas pieder pie prizmatiskas virsmas - sānu sejas; prizmatiskās virsmas malas - prizmas sānu malas. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu prizmas pamati ir vienādi daudzstūri. Visas prizmas sānu virsmas paralelogrami; visas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Acīmredzami, ja prizmas ABCDE pamatne un viena no malām AA" ir dota lielumā un virzienā, tad prizmu var konstruēt, zīmējot malas BB", CC", .., vienādas un paralēlas ar mala AA".

4. definīcija . Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatu plaknēm (HH").

5. definīcija . Prizmu sauc par taisni, ja tās pamati ir prizmas virsmas perpendikulāri griezumi. Šajā gadījumā prizmas augstums, protams, ir tā sānu riba; sānu malas būs taisnstūri.
Prizmas var klasificēt pēc sānu virsmu skaita, vienāds skaitlis daudzstūra malas, kas kalpo par pamatu. Tādējādi prizmas var būt trīsstūrveida, četrstūrainas, piecstūrainas utt.

2. teorēma . Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar sānu malas un perpendikulārā sekcijas perimetra reizinājumu.
Dotā prizma ir ABCDEA"B"C"D"E, un tās perpendikulārais griezums ir abcde, lai nogriežņi ab, bc, .. būtu perpendikulāri tās sānu malām. Virsma ABA"B" ir paralelograms; tā laukums ir vienāds ar bāzes AA reizinājumu ar augstumu, kas atbilst ab; virsmas laukums BCV "C" ir vienāds ar pamatnes BB reizinājumu ar augstumu bc utt. Tāpēc sānu virsma (t.i., sānu virsmu laukumu summa) ir vienāds ar sānu malas reizinājumu, citiem vārdiem sakot, segmentu AA", BB", .. kopējo garumu ar summu ab+bc+cd+de+ea.