Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.
Vispārējā teorija
Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trīsstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.
Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.
Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.
Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.
trīsstūrveida prizma
Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.
Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.
Lai atrastu pamatnes laukumu vispārējs skats, noder formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu ņemta līdz tai pievilktajā augstumā.
Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Šajā ierakstā ir pusperimetrs (p), tas ir, trīs malu summa, kas dalīta ar divi.
Otrkārt: S = ½ n a * a.
Ja vēlaties uzzināt bāzes platību trīsstūrveida prizma, kas ir pareizi, tad trīsstūris ir vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.
četrstūra prizma
Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.
Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.
Ja runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.
Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, jums jāizmanto papildu formula: n a \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums n ir pretējs šim stūrim.
Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.
Regulāra piecstūra prizma
Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.
Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, tad to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.
Regulāra sešstūra prizma
Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.
Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.
Uzdevumi
Nr.1. Norādīta regulāra taisne, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.
Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot pamatnes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Konstatēts, ka prizmas kopējais virsmas laukums ir 960 cm2.
Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .
Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trīsstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.
Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir viena prizmas pamatnes laukums.
Visi sānu sejas identiski un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .
Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.
Skolas mācību programmā cietās ģeometrijas kursam trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 vienādi regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.
Kā izskatās prizma
Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnēs ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.
Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.
Bildē arī var redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisku ķermeni. Tos parasti sauc par:
Dažreiz ģeometrijas problēmās var atrast sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija ir perpendikulāra (šķērso figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais izbūvējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.
Ja griezums ir novilkts tā, ka griešanas plakne nav paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.
Reducēto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).
Virsmas laukums un tilpums
Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:
V = Sprim h
Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu detalizētākā formā:
V = a² h
Ja mēs runājam par kubu - parasto prizmu ar vienāds garums, platums un augstums, tilpumu aprēķina šādi:
Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās slaucīšana.
No zīmējuma var redzēt, ka sānu virsma sastāv no 4 vienādiem taisnstūriem. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:
Sside = poz. h
Tā kā kvadrāta perimetrs ir P = 4a, formula iegūst šādu formu:
Sside = 4a h
Par kubu:
Side = 4a²
Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam pievieno 2 pamatlaukumus:
Pilns = Sside + 2Sbase
Piemērojot četrstūrveida regulārai prizmai, formulai ir šāda forma:
Pilns = 4a h + 2a²
Par kuba virsmas laukumu:
Pilns = 6a²
Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.
Prizmu elementu atrašana
Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos var iegūt formulas:
- pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
- augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
- bāzes laukums: Sprim = V / h;
- sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.
Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonālei, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:
Sdiag = ah√2
Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, tiek izmantota formula:
dbalva = √(2a² + h²)
Lai saprastu, kā piemērot iepriekš minētās attiecības, varat praktizēt un atrisināt dažus vienkāršus uzdevumus.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
Lūk, daži no uzdevumiem, kas parādās valsts gala eksāmenos matemātikā.
1. vingrinājums.
Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja tās pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar 2 reizes garāku pamatnes garumu?
To vajadzētu argumentēt šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā traukā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var noteikt kā a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:
V₁ = ha² = 10a²
Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Tāpēc ka V₁ = V₂, izteicienus var pielīdzināt:
10a² = 4ha²
Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:
Rezultātā jaunais smilšu līmenis būs h = 10/4 = 2,5 cm.
2. uzdevums.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ir regulāra prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.
Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.
Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka bāze ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu virsmas diagonālei ir tāda pati vērtība, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.
Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmo diagonāli:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kopējo virsmas laukumu nosaka pēc formulas kubam:
Pilns = 6a² = 6 6² = 216
3. uzdevums.
Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?
Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, tas ir, regulāri četrstūri, un to sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, mēs varam secināt, ka tas ir pareiza prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.
Istabas garums ir a = √9 = 3 m.
Laukums tiks noklāts ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².
Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50 30 = 1500 rubļi.
Tātad taisnstūra prizmas uzdevumu risināšanai pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.
Kā atrast kuba laukumu
Definīcija 1. Prizmatiska virsma
Teorēma 1. Par prizmatiskas virsmas paralēliem posmiem
Definīcija 2. Prizmatiskas virsmas perpendikulārs griezums
Definīcija 3. Prizma
Definīcija 4. Prizmas augstums
Definīcija 5. Tiešā prizma
Teorēma 2. Prizmas sānu virsmas laukums
Paralēlspīdīgs:
Definīcija 6. Paralleleped
Teorēma 3. Par paralēlskaldņa diagonāļu krustpunktu
7. Definīcija. Labais paralēlskaldnis
Definīcija 8. Taisnstūra paralēlskaldnis
Definīcija 9. Paralēlskaldņa izmēri
Definīcija 10. Kubs
Definīcija 11. Romboedrs
Teorēma 4. Par diagonālēm kuboīds
5. teorēma. Prizmas tilpums
6. teorēma. Taisnas prizmas tilpums
7. teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
prizma sauc daudzskaldnis, kurā divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un malas, kas neatrodas šajās skaldnēs, ir paralēlas viena otrai.
Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatnes sānu.
Sānu virsmu un pamatņu malas sauc prizmas malas, malu galus sauc prizmas virsotnes. Sānu ribas sauc par malām, kas nepieder pie pamatiem. Sānu seju savienību sauc prizmas sānu virsma, un tiek saukta visu seju savienība pilna prizmas virsma. Prizmas augstums sauc par perpendikulu, kas nomests no augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni vai šī perpendikula garumu. 
taisna prizma sauc par prizmu, kurā sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm. 
pareizi sauc par taisnu prizmu (3. att.), kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris.
Apzīmējumi:
l- sānu riba;
P - bāzes perimetrs;
S o - bāzes platība;
H - augstums;
P ^ - perpendikulārā griezuma perimetrs;
S b - sānu virsmas laukums;
V - tilpums;
S p - prizmas kopējās virsmas laukums.
|
V=SH |
*Tiek pieņemts, ka katras divas secīgās plaknes krustojas un ka pēdējā plakne krustojas ar pirmo.
1. teorēma . Prizmatiskas virsmas griezumi plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai (bet ne paralēlas tās malām), ir vienādi daudzstūri.
Lai ABCDE un A"B"C"D"E ir prizmatiskas virsmas griezumi pa divām paralēlām plaknēm. Lai pārliecinātos, ka šie divi daudzstūri ir vienādi, pietiek parādīt, ka trijstūri ABC un A"B"C" ir vienādi. un tiem ir vienāds griešanās virziens, un tas pats attiecas uz trijstūriem ABD un A"B"D", ABE un A"B"E. Bet šo trīsstūru atbilstošās malas ir paralēlas (piemēram, AC ir paralēlas A "C") kā noteiktas plaknes krustošanās taisnes ar divām paralēlām plaknēm; no tā izriet, ka šīs malas ir vienādas (piemēram, maiņstrāva ir vienāda ar A"C") kā pretējās puses paralelograms un ka leņķi, ko veido šīs malas, ir vienādi un tiem ir vienāds virziens.
2. definīcija . Prizmatiskas virsmas perpendikulārs posms ir šīs virsmas griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra tās malām. Pamatojoties uz iepriekšējo teorēmu, visas vienas prizmatiskās virsmas perpendikulārie posmi būs vienādi daudzstūri.
3. definīcija
. Prizma ir daudzskaldnis, ko ierobežo prizmatiska virsma un divas plaknes, kas ir paralēlas viena otrai (bet nav paralēlas prizmatiskās virsmas malām).
Sejas, kas atrodas šajās pēdējās plaknēs, tiek sauktas prizmu pamatnes; sejas, kas pieder pie prizmatiskas virsmas - sānu sejas; prizmatiskās virsmas malas - prizmas sānu malas. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu prizmas pamati ir vienādi daudzstūri. Visas prizmas sānu virsmas paralelogrami; visas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Acīmredzami, ja prizmas ABCDE pamatne un viena no malām AA" ir dota lielumā un virzienā, tad prizmu var konstruēt, zīmējot malas BB", CC", .., vienādas un paralēlas ar mala AA".
4. definīcija . Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatu plaknēm (HH").
5. definīcija
. Prizmu sauc par taisni, ja tās pamati ir prizmas virsmas perpendikulāri griezumi. Šajā gadījumā prizmas augstums, protams, ir tā sānu riba; sānu malas būs taisnstūri.
Prizmas var klasificēt pēc sānu virsmu skaita, vienāds skaitlis daudzstūra malas, kas kalpo par pamatu. Tādējādi prizmas var būt trīsstūrveida, četrstūrainas, piecstūrainas utt.
2. teorēma
. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar sānu malas un perpendikulārā sekcijas perimetra reizinājumu.
Dotā prizma ir ABCDEA"B"C"D"E, un tās perpendikulārais griezums ir abcde, lai nogriežņi ab, bc, .. būtu perpendikulāri tās sānu malām. Virsma ABA"B" ir paralelograms; tā laukums ir vienāds ar bāzes AA reizinājumu ar augstumu, kas atbilst ab; virsmas laukums BCV "C" ir vienāds ar pamatnes BB reizinājumu ar augstumu bc utt. Tāpēc sānu virsma (t.i., sānu virsmu laukumu summa) ir vienāds ar sānu malas reizinājumu, citiem vārdiem sakot, segmentu AA", BB", .. kopējo garumu ar summu ab+bc+cd+de+ea.
Prizma. Paralēles
prizma sauc par daudzskaldni, kura divas skaldnes ir vienādas n-stūra (pamatojums) , kas atrodas paralēlās plaknēs, un atlikušās n skaldnes ir paralelogrami (sānu malas) . Sānu riba prizma ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes.
Tiek saukta prizma, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm taisni prizma (1. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatu plaknēm, tad sauc prizmu slīpi . pareizi Prizma ir taisna prizma, kuras pamatnes ir regulāri daudzstūri.
Augstums prizmu sauc par attālumu starp pamatu plaknēm. Diagonāli Prizma ir segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei. diagonālā daļa Tiek saukts prizmas griezums plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai skaldnei. Perpendikulārs griezums sauc par prizmas griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malai.
Sānu virsmas laukums prizma ir visu sānu virsmu laukumu summa. Pilna virsmas laukums tiek saukta visu prizmas skaldņu laukumu summa (t.i., sānu skaldņu un pamatņu laukumu summa).
Patvaļīgai prizmai formulas ir patiesas:
Kur l ir sānu ribas garums;
H- augstums;
P
J
S pusē
S pilns
S galvenais ir pamatu laukums;
V ir prizmas tilpums.
Taisnai prizmai ir patiesas šādas formulas:
Kur lpp- pamatnes perimetrs;
l ir sānu ribas garums;
H- augstums.
Paralēles Tiek saukta prizma, kuras pamats ir paralelograms. Tiek saukts paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem tiešā veidā (2. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm, tad sauc paralelsādi slīpi . Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūrveida. Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.
Tiek sauktas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgu virsotņu pretī . Tiek saukti malu garumi, kas izplūst no vienas virsotnes mērījumi paralēlskaldnis. Tā kā kaste ir prizma, tās galvenie elementi tiek definēti tāpat kā prizmām.
Teorēmas.
1. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.
2. Taisnstūra paralēlskaldnis diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs izmēru kvadrātu summu: 
3. 
Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.
Patvaļīgam paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:
Kur l ir sānu ribas garums;
H- augstums;
P ir perpendikulāra griezuma perimetrs;
J– perpendikulāra griezuma laukums;
S pusē ir sānu virsmas laukums;
S pilns ir kopējā virsmas laukums;
S galvenais ir pamatu laukums;
V ir prizmas tilpums.
Priekš labais paralēlskaldnis pareizas formulas:
Kur lpp- pamatnes perimetrs;
l ir sānu ribas garums;
H ir labā paralēlskaldņa augstums.
Taisnstūra paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:
(3)
Kur lpp- pamatnes perimetrs;
H- augstums;
d- pa diagonāli;
a,b,c– paralēlskaldņa mērījumi.
Pareizās formulas kubam ir:
Kur a ir ribas garums;
d ir kuba diagonāle.
1. piemērs Taisnstūra kubīda diagonāle ir 33 dm, un tās mērījumi ir saistīti kā 2: 6: 9. Atrodiet kubīda izmērus.
Risinājums. Lai atrastu paralēlskaldņa izmērus, izmantojam formulu (3), t.i. fakts, ka kuboīda hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Apzīmē ar k proporcionalitātes koeficients. Tad paralēlskaldņa izmēri būs vienādi ar 2 k, 6k un 9 k. Mēs rakstām formulu (3) problēmas datiem:
Atrisinot šo vienādojumu par k, mēs iegūstam:
Tādējādi paralēlskaldņa izmēri ir 6 dm, 18 dm un 27 dm.
Atbilde: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
2. piemērs Atrodiet tilpumu slīpai trīsstūrveida prizmai, kuras pamatne ir vienādmalu trijstūris ar 8 cm malu, ja sānu mala ir vienāda ar pamatnes malu un ir 60º leņķī pret pamatni.
Risinājums
.
Veidosim zīmējumu (3. att.).
Lai atrastu slīpās prizmas tilpumu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums. Šīs prizmas pamatnes laukums ir vienādmalu trīsstūra laukums ar malu 8 cm. Aprēķināsim:
Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatnēm. No augšas A 1 no augšējās pamatnes mēs nolaižam perpendikulāri apakšējās pamatnes plaknei A 1 D. Tās garums būs prizmas augstums. Apsveriet D A 1 AD: jo tas ir sānu ribas slīpuma leņķis A 1 A uz bāzes plakni A 1 A= 8 cm No šī trīsstūra mēs atrodam A 1 D:
Tagad mēs aprēķinām tilpumu, izmantojot formulu (1):
Atbilde: 192 cm3.
3. piemērs Parastas sešstūra prizmas sānu mala ir 14 cm. Lielākā diagonālās sekcijas laukums ir 168 cm 2. Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (4. att.)
Lielākā diagonālā daļa ir taisnstūris AA 1 DD 1 , kopš diagonāles AD regulārs sešstūris ABCDEF ir lielākais. Lai aprēķinātu prizmas sānu virsmas laukumu, ir jāzina pamatnes mala un sānu ribas garums.
Zinot diagonālās sekcijas laukumu (taisnstūris), mēs atrodam pamatnes diagonāli.
Jo tad 
Kopš tā laika AB= 6 cm.
Tad pamatnes perimetrs ir:
Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu:
Parasta sešstūra laukums ar 6 cm malu ir:
Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu:
Atbilde: 
4. piemērs Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs. Diagonālo sekciju laukumi ir 300 cm 2 un 875 cm 2. Atrodiet paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (5. att.).
Romba malu apzīmē ar A, romba diagonāles d 1 un d 2, kastes augstums h. Lai atrastu taisna paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu, pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu: (formula (2)). Bāzes perimetrs p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jo ABCD- rombs. H = AA 1 = h. Tas. Vajag atrast A Un h.
Apsveriet diagonālās sadaļas. AA 1 SS 1 - taisnstūris, kura viena mala ir romba diagonāle AC = d 1 , otrā sānu mala AA 1 = h, Tad
Līdzīgi arī sadaļai BB 1 DD 1 mēs iegūstam:
Izmantojot paralelograma īpašību tādu, ka diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu tā malu kvadrātu summu, mēs iegūstam vienādību. Mēs iegūstam sekojošo.
Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja vēlies eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.
Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.
