Taisnstūra paralēlskaldnis — zināšanu hipermārkets. Paralēlskaldņa tilpums: pamatformulas un uzdevumu piemēri

Šajā nodarbībā ikviens varēs apgūt tēmu "Taisnstūra kaste". Nodarbības sākumā mēs atkārtosim, kas ir patvaļīgi un taisni paralēlskaldņi, atcerēsimies to pretējo virsmu un paralēlskaldņu diagonāļu īpašības. Pēc tam mēs apsvērsim, kas ir kuboīds, un apspriedīsim tā galvenās īpašības.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, ka sānu ribas AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 ir paralēli. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.

Tādējādi paralēlskaldņa virsma ir visu paralelogramu summa, kas veido paralēlskaldni.

1. Paralēlskaldņa pretējās skaldnes ir paralēlas un vienādas.

(skaitļi ir vienādi, tas ir, tos var apvienot ar pārklājumu)

Piemēram:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (pēc definīcijas vienādi paralelogrami),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (tā kā AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās puses),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (jo AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās virsmas).

2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala šo punktu uz pusēm.

Paralēlskaldņa diagonāles AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B krustojas vienā punktā O, un katra diagonāle ar šo punktu tiek dalīta uz pusēm (2. att.).

Rīsi. 2 Paralēlskaldņa diagonāles krustojas un dala krustpunktu uz pusēm.

3. Ir trīs paralēlskaldņu vienādu un paralēlu malu četrkārši: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definīcija. Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatiem.

Sānu malai AA 1 jābūt perpendikulārai pamatnei (3. att.). Tas nozīmē, ka taisne AA 1 ir perpendikulāra taisnēm AD un AB, kas atrodas pamatnes plaknē. Un tāpēc taisnstūri atrodas sānu virsmās. Un pamati ir patvaļīgi paralelogrami. Apzīmējiet, ∠BAD = φ, leņķis φ var būt jebkurš.

Rīsi. 3 Labais lodziņš

Tātad labā kaste ir kaste, kuras sānu malas ir perpendikulāras kastes pamatnēm.

Definīcija. Paralēlstūri sauc par taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Pamati ir taisnstūri.

Paralēlstūris АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 ir taisnstūrveida (4. att.), ja:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sānu mala ir perpendikulāra pamatnes plaknei, tas ir, taisns paralēlskaldnis).

2. ∠BAD = 90°, t.i., pamatne ir taisnstūris.

Rīsi. 4 Cuboīds

Taisnstūra kastei ir visas patvaļīgas kastes īpašības. Bet ir arī papildu īpašības, kas izriet no kuboīda definīcijas.

Tātad, kuboīds ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Kuboīda pamatne ir taisnstūris.

1. Skaļveida formā visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 pēc definīcijas ir taisnstūri.

2. Sānu ribas ir perpendikulāras pamatnei. Tātad viss sānu sejas kuboīds - taisnstūri.

3. Visi kuboīda divvirsmas leņķi ir taisni leņķi.

Aplūkosim, piemēram, taisnstūra paralēlskaldņa ar malu AB divstūrveida leņķi, t.i., divskaldņu leņķi starp plaknēm ABB 1 un ABC.

AB ir mala, punkts A 1 atrodas vienā plaknē - plaknē ABB 1, bet punkts D otrā - plaknē A 1 B 1 C 1 D 1. Tad aplūkoto divskaldņu leņķi var apzīmēt arī šādi: ∠А 1 АВD.

Ņem punktu A uz malas AB. AA 1 ir perpendikulāra malai AB plaknē ABB-1, AD ir perpendikulāra malai AB plaknē ABC. Tādējādi ∠A 1 AD ir dotā divskaldņa leņķa lineārais leņķis. ∠A 1 AD \u003d 90 °, kas nozīmē, ka divšķautņu leņķis pie malas AB ir 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Līdzīgi ir pierādīts, ka jebkurš taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūrveida leņķis.

Kuboīda diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Piezīme. Trīs malu garumi, kas izplūst no vienas un tās pašas kuboīda virsotnes, ir kuboīda izmēri. Tos dažreiz sauc par garumu, platumu, augstumu.

Dots: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taisnstūrveida paralēlskaldnis (5. att.).

Pierādīt:.

Rīsi. 5 Cuboīds

Pierādījums:

Taisne CC 1 ir perpendikulāra plaknei ABC un līdz ar to taisnei AC. Tātad trīsstūris CC 1 A ir taisnleņķa trīsstūris. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Apsveriet taisnleņķa trīsstūris ABC. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Bet BC un AD ir taisnstūra pretējās malas. Tātad BC = AD. Pēc tam:

Jo , A , Tas. Tā kā CC 1 = AA 1, tad kas bija jāpierāda.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Apzīmēsim paralēlskaldņa ABC izmērus kā a, b, c (skat. 6. att.), tad AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Bieži skolēni sašutuši jautā: “Kā tas man dzīvē noderēs?”. Par jebkuru katra priekšmeta tēmu. Tēma par paralēlskaldņa tilpumu nav izņēmums. Un te vienkārši var teikt: "Noderēs."

Kā, piemēram, noskaidrot, vai sūtījums ietilps pastkastītē? Protams, jūs varat izvēlēties pareizo, izmantojot izmēģinājumus un kļūdas. Ko darīt, ja šādas iespējas nav? Tad aprēķini nāks palīgā. Zinot kastes ietilpību, varat aprēķināt pakas tilpumu (vismaz aptuveni) un atbildēt uz jautājumu.

Paralēlsūknis un tā veidi

Ja mēs burtiski tulkojam tās nosaukumu no sengrieķu valodas, izrādās, ka šī ir figūra, kas sastāv no paralēlām plaknēm. Ir šādas līdzvērtīgas paralēlskaldņa definīcijas:

prizma ar pamatni paralelograma formā;
daudzskaldnis, kura katra skaldne ir paralelograms.

Tās veidus izšķir atkarībā no tā, kura figūra atrodas tās pamatnē un kā ir vērstas sānu ribas. Kopumā viens runā par slīps paralēlskaldnis kuru pamatne un visas skaldnes ir paralelogrami. Ja iepriekšējā skata sānu malas kļūst par taisnstūriem, tad tas jau būs jāizsauc tiešā veidā. Un plkst taisnstūrveida un pamatnei ir arī 90º leņķi.

Turklāt ģeometrijā pēdējo cenšas attēlot tā, lai būtu pamanāms, ka visas malas ir paralēlas. Šeit, starp citu, tiek novērota galvenā atšķirība starp matemātiķiem un māksliniekiem. Pēdējam ir svarīgi nodot ķermeni saskaņā ar perspektīvas likumu. Un šajā gadījumā malu paralēlisms ir pilnīgi neredzams.

Par ieviesto apzīmējumu

Zemāk esošajās formulās ir spēkā tabulā norādītie apzīmējumi.

Formulas slīpai kastei

Pirmais un otrais apgabaliem:

Trešais ir paredzēts kastes tilpuma aprēķināšanai:

Tā kā bāze ir paralelograms, lai aprēķinātu tā laukumu, jums būs jāizmanto atbilstošās izteiksmes.

Formulas kvadrātveida formai

Līdzīgi kā pirmajā rindkopā - divas apgabalu formulas:

Un vēl viens skaļumam:

Pirmais uzdevums

Stāvoklis. Dots taisnstūra paralēlskaldnis, kura tilpums ir jāatrod. Ir zināma diagonāle - 18 cm - un fakts, ka tā veido attiecīgi 30 un 45 grādu leņķi ar sānu malas plakni un sānu malu.

Risinājums. Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, trīs taisnleņķa trīsstūros ir jānoskaidro visas malas. Viņi sniegs vajadzīgās malu vērtības, kurām jums jāaprēķina apjoms.

Vispirms jums ir jāizdomā, kur atrodas 30º leņķis. Lai to izdarītu, no tās pašas virsotnes, no kuras tika novilkta paralelograma galvenā diagonāle, jānozīmē sānu virsmas diagonāle. Leņķis starp tiem būs tāds, kāds jums nepieciešams.

Pirmais trīsstūris, kas piešķirs vienu no pamatnes malām, būs šāds. Tajā ir vēlamā mala un divas novilktas diagonāles. Tas ir taisnstūrveida. Tagad jums ir jāizmanto pretējās kājas (bāzes pusē) un hipotenūzas (diagonāles) attiecība. Tas ir vienāds ar 30º sinusu. Tas nozīmē, ka pamatnes nezināmā puse tiks noteikta kā diagonāle, kas reizināta ar sinusu 30º vai ½. Lai to apzīmē ar burtu "a".

Otrais būs trīsstūris ar zināmu diagonāli un malu, ar kuru tas veido 45º. Tas ir arī taisnstūrveida, un jūs atkal varat izmantot kājas attiecību pret hipotenūzu. Citiem vārdiem sakot, sānu mala līdz diagonālei. Tas ir vienāds ar 45º kosinusu. Tas nozīmē, ka "c" aprēķina kā diagonāles un 45º kosinusa reizinājumu.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Tajā pašā trīsstūrī jums jāatrod cita kāja. Tas ir nepieciešams, lai pēc tam aprēķinātu trešo nezināmo - "in". Lai to apzīmē ar burtu "x". To ir viegli aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Tagad mums jāapsver vēl viens taisnleņķa trīsstūris. Tas jau satur slavenās ballītes"s", "x" un tas, kas jāuzskaita, "in":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Visi trīs daudzumi ir zināmi. Varat izmantot tilpuma formulu un aprēķināt to:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Atbilde: paralēlskaldņa tilpums ir 729√2 cm 3 .

Otrais uzdevums

Stāvoklis. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu. Tas zina paralelograma malas, kas atrodas pie pamatnes, 3 un 6 cm, kā arī tā akūto leņķi - 45º. Sānu ribas slīpums pret pamatni ir 30º, un tā ir vienāda ar 4 cm.

Risinājums. Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, jums ir jāņem formula, kas tika uzrakstīta sējumam slīps paralēlskaldnis. Bet abi daudzumi tajā nav zināmi.

Pamatnes laukums, tas ir, paralelograms, tiks noteikts pēc formulas, kurā jums jāreizina zināmās malas un akūtā leņķa sinuss starp tām.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Otrs nezināmais ir augstums. To var novilkt no jebkuras no četrām virsotnēm virs pamatnes. To var atrast no taisnleņķa trīsstūra, kurā augstums ir kāja, bet sānu mala ir hipotenūza. Šajā gadījumā 30º leņķis atrodas pretī nezināmajam augstumam. Tātad, jūs varat izmantot kājas attiecību pret hipotenūzu.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Tagad visas vērtības ir zināmas, un jūs varat aprēķināt tilpumu:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Atbilde: tilpums ir 18 √2 cm 3 .

Trešais uzdevums

Stāvoklis. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu, ja zināms, ka tā ir taisna līnija. Tās pamatnes malas veido paralelogramu un ir vienādas ar 2 un 3 cm. Ass stūris starp tiem 60º. Paralēlskaldņa mazākā diagonāle ir vienāda ar pamatnes lielāko diagonāli.

Risinājums. Lai noskaidrotu paralēlskaldņa tilpumu, mēs izmantojam formulu ar pamatnes laukumu un augstumu. Abi daudzumi nav zināmi, taču tos ir viegli aprēķināt. Pirmais ir augstums.

Tā kā paralēlskaldņa mazākā diagonāle ir tāda pati kā lielākajai pamatnei, tās var apzīmēt ar vienu un to pašu burtu d. Lielākais paralelograma leņķis ir 120º, jo tas veido 180º ar akūtu. Pamatnes otro diagonāli apzīmēsim ar burtu "x". Tagad divām bāzes diagonālēm var uzrakstīt kosinusa teorēmas:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º.

Vērtību atrašana bez kvadrātiem nav jēga, jo tad tās atkal tiks paceltas uz otro pakāpi. Pēc datu aizstāšanas izrādās:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Tagad augstums, kas ir arī paralēlskaldņa sānu mala, būs kāja trīsstūrī. Hipotenūza būs zināmā diagonāleķermenis, bet otrā kāja - "x". Jūs varat uzrakstīt Pitagora teorēmu:

n 2 = d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Tātad: n = √12 = 2√3 (cm).

Tagad otrais nezināmais lielums ir pamatnes laukums. To var aprēķināt, izmantojot formulu, kas minēta otrajā uzdevumā.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Apvienojot visu tilpuma formulā, mēs iegūstam:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Atbilde: V \u003d 18 cm 3.

Ceturtais uzdevums

Stāvoklis. Nepieciešams noskaidrot paralēlskaldņa tilpumu, kas atbilst šādiem nosacījumiem: pamatne ir kvadrāts ar 5 cm malu; sānu malas ir rombi; viena no virsotnēm virs pamatnes atrodas vienādā attālumā no visām virsotnēm, kas atrodas pie pamatnes.

Risinājums. Vispirms jums jātiek galā ar stāvokli. Ar pirmo rindkopu par laukumu jautājumu nav. Otrais, par rombiem, skaidri parāda, ka paralēlskaldnis ir slīps. Turklāt visas tā malas ir vienādas ar 5 cm, jo romba malas ir vienādas. Un no trešā kļūst skaidrs, ka trīs no tā novilktās diagonāles ir vienādas. Tās ir divas, kas atrodas sānu virsmās, un pēdējā atrodas paralēlskaldņa iekšpusē. Un šīs diagonāles ir vienādas ar malu, tas ir, to garums ir arī 5 cm.

Lai noteiktu skaļumu, jums būs nepieciešama formula, kas uzrakstīta slīpam paralēlskaldnim. Atkal, tajā nav zināmi daudzumi. Tomēr pamatnes laukumu ir viegli aprēķināt, jo tas ir kvadrāts.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Nedaudz grūtāk ir ar augstumu. Tas būs tāds trīs skaitļos: paralēlskaldnis, četrstūra piramīda un vienādsānu trīsstūris. Jāizmanto pēdējais apstāklis.

Tā kā tas ir augstums, tā ir kāja taisnleņķa trīsstūrī. Hipotenūza tajā būs zināma mala, un otrā daļa ir vienāda ar pusi no kvadrāta diagonāles (augstums ir arī mediāna). Un pamatnes diagonāli ir viegli atrast:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Augstums būs jāaprēķina kā malas otrās pakāpes un pusdiagonāles kvadrāta starpība un neaizmirstiet izvilkt kvadrātsakni:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Atbilde: 62,5 √2 (cm 3).

kuboīds

Kuboīds ir taisnstūris, kurā visas skaldnes ir taisnstūri.

Pietiek paskatīties mums apkārt, un mēs redzēsim, ka apkārtējiem priekšmetiem ir paralēlskaldnim līdzīga forma. Tie var atšķirties pēc krāsas, ar daudzām papildu detaļām, taču, ja šie smalkumi tiek atmesti, tad varam teikt, ka, piemēram, skapim, kastītei utt., ir aptuveni vienāda forma.

Ar taisnstūra paralēlskaldņa jēdzienu sastopamies gandrīz katru dienu! Paskatieties apkārt un pastāstiet man, kur jūs redzat taisnstūrveida kastes? Paskaties grāmatu, jo tā ir tieši tāda forma! Ķieģelim, sērkociņu kastītei, koka bluķim ir tāda pati forma, un pat šobrīd jūs atrodaties taisnstūrveida kubīdā, jo klase ir tā spilgtākā interpretācija. ģeometriskā figūra.

Vingrinājums: Kādus paralēlskaldņu piemērus varat nosaukt?

Apskatīsim tuvāk kuboīdu. Un ko mēs redzam?

Pirmkārt, mēs redzam, ka šī figūra ir veidota no sešiem taisnstūriem, kas ir kuboīda skaldnes;

Otrkārt, kuboīdam ir astoņas virsotnes un divpadsmit malas. Kuboīda malas ir tā šķautņu malas, un kuboīda virsotnes ir šķautņu virsotnes.

Vingrinājums:

1. Kā sauc katru no taisnstūra paralēlskaldņa skaldnēm? 2. Pateicoties kādiem parametriem var izmērīt paralelogramu? 3. Definējiet pretējās sejas.

Paralēlskaldņu veidi

Bet paralēlskaldņi ir ne tikai taisnstūrveida, bet tie var būt arī taisni un slīpi, un taisnas līnijas iedala taisnstūrveida, netaisnstūrveida un kubiņos.

Uzdevums: Apskatiet attēlu un sakiet, kuri paralēlskaldņi tajā ir redzami. Kā kubs atšķiras no kuba?

Kuboīda īpašības

Taisnstūra paralēlskaldnim ir vairākas svarīgas īpašības:

Pirmkārt, šīs ģeometriskās figūras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar trīs galveno parametru kvadrātu summu: augstums, platums un garums.

Otrkārt, visas tās četras diagonāles ir absolūti identiskas.

Treškārt, ja visi trīs paralēlskaldņa parametri ir vienādi, tas ir, garums, platums un augstums ir vienādi, tad šādu paralēlskaldni sauc par kubu, un visas tā skaldnes būs vienādas ar vienu un to pašu kvadrātu.

Vingrinājums

1. Vai taisnstūra paralēlskaldnim ir vienādas skaldnes? Ja ir, tad parādiet tos attēlā. 2. No kā ģeometriskās formas ir taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes? 3. Kāds ir vienādu seju izvietojums attiecībā pret otru? 4. Nosauciet šīs figūras vienādu skaldņu pāru skaitu. 5. Atrodiet kuboīda malas, kas norāda tā garumu, platumu, augstumu. Cik tu saskaitīji?

Uzdevums

Lai skaisti sakārtotu mātei dzimšanas dienas dāvanu, Tanja paņēma kastīti taisnstūra paralēlskaldņa formā. Šīs kastes izmērs ir 25 cm * 35 cm * 45 cm. Lai padarītu šo iepakojumu skaistu, Tanya nolēma to pārklāt ar skaistu papīru, kura izmaksas ir 3 grivnas par 1 dm2. Cik daudz naudas jātērē iesaiņojuma papīra iegādei?

Vai zinājāt, ka slavenais iluzionists Deivids Bleins eksperimenta ietvaros pavadīja 44 dienas stikla kastē, kas bija piekārta virs Temzas. Šīs 44 dienas viņš neēda, bet dzēra tikai ūdeni. Savā brīvprātīgajā cietumā Dāvids paņēma tikai rakstāminstrumentus, spilvenu un matraci, kā arī kabatlakatiņus.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, lai sānu malas AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtu paralēlas. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.