Fluktuácie - proces zmeny stavov systému okolo bodu rovnováhy, ktorý sa v čase opakuje do jedného alebo druhého stupňa.

Harmonické kmitanie - kmitanie, pri ktorom sa fyzikálna (alebo akákoľvek iná) veličina mení v čase podľa sínusového alebo kosínusového zákona. Kinematická rovnica harmonických kmitov má tvar

kde x je posunutie (odchýlka) kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase t; A - amplitúda kmitania, je to hodnota, ktorá určuje maximálnu odchýlku bodu kmitania od rovnovážnej polohy; ω - cyklická frekvencia, hodnota udávajúca počet úplných kmitov vyskytujúcich sa v priebehu 2π sekúnd - úplná fáza kmitov, 0 - počiatočná fáza kmitov.

Amplitúda - maximálna hodnota posunutia alebo zmeny premenlivý od priemernej hodnoty pri oscilačnom alebo vlnovom pohybe.

Amplitúda a počiatočná fáza kmitov sú určené počiatočnými podmienkami pohybu, t.j. polohu a rýchlosť hmotného bodu v momente t=0.

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme

amplitúda zvukových vĺn a zvukových signálov sa zvyčajne vzťahuje na amplitúdu tlaku vzduchu vo vlne, ale niekedy sa popisuje ako amplitúda vychýlenia z rovnováhy (vzduchu alebo membrány reproduktora)

frekvencia - fyzikálne množstvo charakteristické pre periodický proces, rovná sa čísluúplné cykly procesu dokončené za jednotku času. Frekvencia kmitov zvukových vĺn je určená frekvenciou kmitov zdroja. Vysokofrekvenčné vibrácie zanikajú rýchlejšie ako nízkofrekvenčné vibrácie.

Prevrátená hodnota frekvencie kmitov sa nazýva perióda T.

Doba kmitania je trvanie jedného úplného cyklu kmitov.

V súradnicovom systéme z bodu 0 nakreslíme vektor А̅, ktorého priemet na os OX sa rovná Аcosϕ. Ak sa vektor А̅ otáča rovnomerne s uhlovou rýchlosťou ω˳ proti smeru hodinových ručičiek, potom ϕ=ω˳t + ϕ˳, kde ϕ˳ je počiatočná hodnota ϕ (fáza kmitania), potom amplitúda oscilácie je modul rovnomerne rotujúceho vektora А̅, fáza kmitania (ϕ ) je uhol medzi vektorom А̅ a osou ОХ, počiatočná fáza (ϕ˳) je počiatočná hodnota tohto uhla, uhlová frekvencia kmitov (ω) je uhlová rýchlosť otáčania vektor А̅..

2. Charakteristika vlnových procesov: čelo vlny, lúč, rýchlosť vlny, vlnová dĺžka. Pozdĺžne a priečne vlny; príklady.

Povrch oddeľujúci v danom časovom okamihu médium už pokryté a ešte nepokryté osciláciami sa nazýva čelo vlny. Vo všetkých bodoch takéhoto povrchu po odchode čela vlny vznikajú kmity, ktoré sú fázovo identické.

Lúč je kolmý na čelo vlny. Akustické lúče, podobne ako svetelné lúče, sú v homogénnom prostredí priamočiare. Odrazené a lomené na rozhraní medzi dvoma médiami.

Vlnová dĺžka - vzdialenosť medzi dvoma bodmi najbližšie k sebe, kmitajúcimi v rovnakých fázach, zvyčajne sa vlnová dĺžka označuje gréckym písmenom. Analogicky s vlnami, ktoré vznikajú vo vode z hodeného kameňa, vlnová dĺžka je vzdialenosť medzi dvoma susednými vrcholmi vĺn. Jedna z hlavných charakteristík vibrácií. Merané v jednotkách vzdialenosti (metre, centimetre atď.)

• pozdĺžne vlny (kompresné vlny, P-vlny) - častice média kmitajú paralelný(pozdĺž) smer šírenia vĺn (ako napr. v prípade šírenia zvuku);
• priečne vlny (strižné vlny, S-vlny) - častice média kmitajú kolmý smer šírenia vĺn (elektromagnetické vlny, vlny na separačných plochách médií);

Uhlová frekvencia kmitov (ω) je uhlová rýchlosť otáčania vektora А̅(V), posunutie x kmitajúceho bodu je priemet vektora А̅ na os OX.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), kde Vm=Аω˳ je maximálna rýchlosť (amplitúda rýchlosti)

3. Voľné a nútené vibrácie. Vlastná frekvencia kmitov sústavy. Rezonančný jav. Príklady .

Voľné (prirodzené) vibrácie nazývané tie, ktoré sú spáchané bez vonkajšie vplyvy v dôsledku pôvodne prijatej tepelnej energie. Typické modely takýchto mechanické vibrácie sú hmotný bod na pružine (pružinové kyvadlo) a hmotný bod na neroztiahnuteľnom závite (matematické kyvadlo).

V týchto príkladoch vznikajú oscilácie buď v dôsledku počiatočnej energie (odchýlka hmotného bodu z rovnovážnej polohy a pohyb bez počiatočnej rýchlosti), alebo v dôsledku kinetickej energie (telesu je daná rýchlosť v počiatočnej polohe rovnováhy), alebo v dôsledku na obe tieto energie (rýchlosť je oznámená telu vychýlenému z rovnovážnej polohy).

Zvážte pružinové kyvadlo. V rovnovážnej polohe pôsobí elastická sila F1

vyrovnáva gravitačnú silu mg. Ak sa pružina potiahne o vzdialenosť x, potom na materiálový bod bude pôsobiť veľká elastická sila. Zmena hodnoty elastickej sily (F) podľa Hookovho zákona je úmerná zmene dĺžky pružiny alebo posunutiu x bodu: F= - rx

Ďalší príklad. Matematické kyvadlo odchýlky od rovnovážnej polohy je taký malý uhol α, že je možné považovať trajektóriu pohybu hmotného bodu za priamku zhodnú s osou OX. V tomto prípade je splnená približná rovnosť: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L

Netlmené vibrácie. Uvažujme model, v ktorom je sila odporu zanedbaná.
Amplitúda a počiatočná fáza kmitov sú určené počiatočnými podmienkami pohybu, t.j. poloha a rýchlosť momentu hmotného bodu t=0.
Medzi rôzne druhy kmitanie harmonické kmitanie je najjednoduchšia forma.

Hmotný bod zavesený na pružine alebo závite teda vykonáva harmonické kmity, ak sa neberú do úvahy odporové sily.

Periódu oscilácie možno zistiť zo vzorca: T=1/v=2P/ω0

tlmené vibrácie. V reálnom prípade pôsobia na kmitajúce teleso odporové (trecie) sily, mení sa charakter pohybu a kmitanie sa tlmí.

Vzhľadom na jednorozmerný pohyb dávame poslednému vzorcu nasledujúci tvar: Fс= - r * dx/dt

Rýchlosť poklesu amplitúdy kmitania je určená koeficientom tlmenia: čím silnejší je retardačný účinok média, tým väčšie ß a tým rýchlejšie klesá amplitúda. V praxi je však stupeň tlmenia často charakterizovaný logaritmickým úbytkom tlmenia, čo znamená, že táto hodnota sa rovná prirodzenému logaritmu pomeru dvoch po sebe nasledujúcich amplitúd oddelených časovým intervalom rovnajúcim sa perióde kmitania, teda koeficient tlmenia a dekrement logaritmického tlmenia sú spojené pomerne jednoduchým vzťahom: λ=ßT

Pri silnom tlmení je zo vzorca vidieť, že perióda kmitania je imaginárna veličina. Pohyb v tomto prípade už nebude periodický a nazýva sa aperiodický.

Nútené vibrácie. Vynútené kmity sa nazývajú kmity, ktoré sa vyskytujú v systéme za účasti vonkajšej sily, ktorá sa mení podľa periodického zákona.

Predpokladajme, že okrem elastickej sily a trecej sily pôsobí na hmotný bod F=F0 cos ωt aj vonkajšia hnacia sila

Amplitúda vynúteného kmitania je priamo úmerná amplitúde hnacej sily a má zložitú závislosť od koeficientu útlmu média a kruhových frekvencií vlastných a vynútených kmitov. Ak sú pre systém dané ω0 a ß, tak amplitúda vynútených kmitov má maximálnu hodnotu pri určitej špecifickej frekvencii hnacej sily, tzv. rezonančný Samotný jav - dosiahnutie maximálnej amplitúdy vynútených kmitov pre dané ω0 a ß - je tzv. rezonancia.

Rezonančnú kruhovú frekvenciu možno nájsť z podmienky minimálneho menovateľa v: ωres=√ωₒ- 2ß

Mechanická rezonancia môže byť prospešná aj škodlivá. Škodlivý účinok súvisí najmä so zničením, ktoré môže spôsobiť. Takže v technológii, berúc do úvahy rôzne vibrácie, je potrebné zabezpečiť možný výskyt rezonančných podmienok, inak môže dôjsť k zničeniu a katastrofám. Telesá majú zvyčajne niekoľko vlastných vibračných frekvencií a podľa toho aj niekoľko rezonančných frekvencií.

Vo vnútorných orgánoch sa vyskytujú rezonančné javy pod pôsobením vonkajších mechanických vibrácií. To je zrejme jeden z dôvodov negatívneho vplyvu infrazvukových oscilácií a vibrácií na ľudské telo.

6. Správne metódy výskumu v medicíne: perkusie, auskultácia. Fonokardiografia.

Zvuk môže byť zdrojom informácií o stave vnútorných orgánov človeka, preto sú v medicíne dobre rozšírené také metódy štúdia stavu pacienta, ako je auskultácia, perkusie a fonokardiografia.

Auskultácia

Na auskultáciu sa používa stetoskop alebo fonendoskop. Fonendoskop pozostáva z dutého puzdra s membránou prenášajúcou zvuk aplikovanej na telo pacienta, z nej idú gumené hadičky do ucha lekára. V kapsule dochádza k rezonancii vzduchového stĺpca, v dôsledku čoho sa zvuk zosilňuje a zlepšuje sa auskultácia. Počas auskultácie pľúc sa ozývajú zvuky dýchania, rôzne sipoty, charakteristické pre choroby. Môžete počúvať aj srdce, črevá a žalúdok.

Perkusie

Pri tejto metóde sa pri poklepaní počúva zvuk jednotlivých častí tela. Predstavte si uzavretú dutinu vo vnútri nejakého tela, naplnenú vzduchom. Ak je povolaný v tomto tele zvukové vibrácie, potom pri určitej frekvencii zvuku začne vzduch v dutine rezonovať, pričom zvýrazní a zosilní tón zodpovedajúci veľkosti a polohe dutiny. Ľudské telo môže byť reprezentované ako kombinácia plynom naplnených (pľúca), kvapalných (vnútorné orgány) a pevných (kosti) objemov. Pri dopade na povrch tela vznikajú kmity, ktorých frekvencie majú široký rozsah. V tomto rozsahu niektoré oscilácie pomerne rýchlo vymiznú, zatiaľ čo iné, ktoré sa zhodujú s prirodzenými osciláciami dutín, sa zintenzívnia a vďaka rezonancii budú počuteľné.

Fonokardiografia

Používa sa na diagnostiku stavu srdcovej činnosti. Metóda spočíva v grafickom zaznamenávaní srdcových zvukov a šelestov a ich diagnostickej interpretácii. Fonokardiograf pozostáva z mikrofónu, zosilňovača, sústavy frekvenčných filtrov a záznamového zariadenia.

9. Ultrazvukové výskumné metódy (ultrazvuk) v lekárskej diagnostike.

1) Metódy diagnostiky a výskumu

Zahŕňajú lokalizačné metódy využívajúce hlavne impulzné žiarenie. Toto je echoencefalografia - definícia nádorov a opuchu mozgu. Ultrazvuková kardiografia - meranie veľkosti srdca v dynamike; v oftalmológii - ultrazvuková lokalizácia na určenie veľkosti očného média.

2) Metódy ovplyvňovania

Ultrazvuková fyzioterapia - mechanické a tepelné účinky na tkanivo.

11. Rázová vlna. Výroba a využitie rázových vĺn v medicíne.
rázová vlna – povrch diskontinuity, ktorý sa pohybuje vzhľadom na plyn a na ktorého priesečníku dochádza k skoku tlaku, hustoty, teploty a rýchlosti.
Pri veľkých poruchách (výbuch, nadzvukový pohyb telies, silný elektrický výboj atď.) sa rýchlosť kmitajúcich častíc média môže stať porovnateľnou s rýchlosťou zvuku , vzniká rázová vlna.

Rázová vlna môže mať značnú energiu, takže pri jadrovom výbuchu sa vytvorí rázová vlna v životné prostredie spotrebuje sa asi 50 % energie výbuchu. Rázová vlna, ktorá zasiahne biologické a technické objekty, je preto schopná spôsobiť smrť, zranenie a zničenie.

IN medicínska technika používajú sa rázové vlny, ktoré sú extrémne krátkym, silným tlakovým impulzom s vysokými tlakovými amplitúdami a malou napínacou zložkou. Vytvárajú sa mimo tela pacienta a prenášajú sa hlboko do tela, pričom vytvárajú terapeutický účinok, ktorý poskytuje špecializácia modelu zariadenia: rozdrvenie močových kameňov, ošetrenie bolestivých zón a následkov úrazov pohybového aparátu, stimulácia zotavenia srdcového svalu po infarkte myokardu, vyhladenie celulitídových útvarov a pod.

Rovnica harmonických vĺn

Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo takéto kmitanie možno opísať sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Zmena rýchlosti a zrýchlenia počas harmonického kmitania

Nielen súradnice telesa sa menia s časom podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Ale podobne sa menia aj veličiny ako sila, rýchlosť a zrýchlenie. Sila a zrýchlenie sú maximálne, keď je oscilujúce teleso vnútri krajné polohy, kde je posunutie maximálne, a sú rovné nule, keď teleso prechádza cez rovnovážnu polohu. Rýchlosť je naopak v krajných polohách rovná nule a keď teleso prejde rovnovážnou polohou, dosiahne svoju maximálnu hodnotu.

Ak je oscilácia popísaná podľa kosínusového zákona

Ak je oscilácia popísaná podľa sínusového zákona

Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia

Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) možno uhádnuť, že maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia sa berú, keď sa trigonometrický faktor rovná 1 alebo -1. Určené vzorcom

Oscilačný pohyb je akýkoľvek pravidelne sa opakujúci pohyb. Preto sú závislosti súradnice a rýchlosti telesa na čase pri kmitoch popísané periodickými funkciami času. IN školský kurz fyzici považujú také oscilácie, v ktorých závislosti a rýchlosti tela sú goniometrickými funkciami , alebo ich kombinácia, kde je nejaké číslo. Takéto oscilácie sa nazývajú harmonické (funkcie A často nazývané harmonické funkcie). Riešiť problémy s vibráciami zahrnuté v programe zjednotenej štátna skúška vo fyzike potrebujete poznať definície hlavných charakteristík kmitavého pohybu: amplitúda, perióda, frekvencia, kruhová (alebo cyklická) frekvencia a fáza kmitov. Uveďme tieto definície a spojme vymenované veličiny s parametrami závislosti súradnice telesa na čase , ktoré možno v prípade harmonických kmitov vždy reprezentovať ako

kde , a sú nejaké čísla.

Amplitúda kmitania je maximálna odchýlka kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy. Keďže maximálna a minimálna hodnota kosínusu v (11.1) je rovná ±1, potom sa amplitúda kmitov telesa, ktoré kmitá (11.1) rovná . Doba kmitania je minimálna doba, po ktorej sa pohyb telesa opakuje. Pre závislosť (11.1) je možné obdobie nastaviť z nasledujúcich úvah. Kosínus je periodická funkcia s bodkou . Preto sa pohyb úplne opakuje cez takú hodnotu, že . Odtiaľto sa dostaneme

Kruhová (alebo cyklická) frekvencia oscilácií je počet oscilácií za jednotku času. Zo vzorca (11.3) usúdime, že kruhová frekvencia je hodnota zo vzorca (11.1).

Fáza kmitania je argumentom goniometrickej funkcie, ktorá popisuje závislosť súradnice od času. Zo vzorca (11.1) vidíme, že fáza kmitov telesa, ktorého pohyb je opísaný závislosťou (11.1), sa rovná . Hodnota fázy kmitania v čase = 0 sa nazýva počiatočná fáza. Pre závislosť (11.1) sa počiatočná fáza kmitov rovná hodnote . Je zrejmé, že počiatočná fáza oscilácií závisí od výberu časového referenčného bodu (moment = 0), ktorý je vždy podmienený. Zmenou počiatku časovej referencie možno počiatočnú fázu kmitov vždy „urobiť“ rovnú nule a sínus vo vzorci (11.1) „premeniť“ na kosínus alebo naopak.

Súčasťou programu jednotnej štátnej skúšky je aj znalosť vzorcov pre frekvenciu kmitov pružiny a matematických kyvadiel. Je zvykom nazývať pružinové kyvadlo teleso, ktoré môže kmitať na hladkej vodorovnej ploche pôsobením pružiny, ktorej druhý koniec je pevný (obrázok vľavo). Matematické kyvadlo je masívne teleso, ktorého rozmery možno zanedbať, kmitá na dlhom, beztiažovom a neroztiahnuteľnom závite (pravý obrázok). Názov tohto systému - "matematické kyvadlo" je spôsobený tým, že ide o abstrakt matematický skutočný model ( fyzické) kyvadla. Je potrebné si zapamätať vzorce pre periódu (alebo frekvenciu) kmitov pružiny a matematických kyvadiel. Pre pružinové kyvadlo

kde je dĺžka vlákna, je zrýchlenie voľného pádu. Zvážte aplikáciu týchto definícií a zákonov na príklade riešenia problémov.

Ak chcete nájsť cyklickú frekvenciu zaťaženia v úloha 11.1.1 nájdime najprv periódu oscilácie a potom použijeme vzorec (11.2). Keďže 10 m 28 s je 628 s a za túto dobu vykoná záťaž 100 kmitov, perióda kmitania záťaže je 6,28 s. Preto je frekvencia cyklických oscilácií 1 s -1 (odpoveď 2 ). IN úloha 11.1.2 záťaž urobila 60 kmitov za 600 s, takže frekvencia kmitov je 0,1 s -1 (odpoveď 1 ).

Aby ste pochopili, ktorým smerom pôjde náklad za 2,5 periódy ( úloha 11.1.3), sledujte jeho pohyb. Po určitom čase sa bremeno vráti späť do bodu maximálneho vychýlenia, čím dôjde k úplnej oscilácii. Preto počas tejto doby záťaž prekoná vzdialenosť rovnajúcu sa štyrom amplitúdam: do rovnovážnej polohy - jedna amplitúda, z rovnovážnej polohy do bodu maximálnej odchýlky v druhom smere - druhá, späť do rovnovážnej polohy - tretí, z rovnovážnej polohy do východiskového bodu - štvrtý. Počas druhej periódy bude záťaž opäť prechádzať štyrmi amplitúdami a počas zostávajúcej polovice periódy - dvoma amplitúdami. Preto sa prejdená vzdialenosť rovná desiatim amplitúdam (odpoveď 4 ).

Veľkosť pohybu tela je vzdialenosť od počiatočného bodu po koncový bod. Na 2,5 periódy v úloha 11.1.4 telo stihne dokončiť dva plné a poloplné kmity, t.j. bude na maximálnej výchylke, ale na druhej strane rovnovážnej polohy. Preto sa veľkosť posunu rovná dvom amplitúdam (odpoveď 3 ).

Fáza kmitov je podľa definície argumentom goniometrickej funkcie, ktorá popisuje závislosť súradnice kmitajúceho telesa od času. Preto je správna odpoveď úloha 11.1.5 - 3 .

Perióda je čas úplnej oscilácie. To znamená, že návrat tela späť do rovnakého bodu, z ktorého sa telo začalo pohybovať, neznamená, že obdobie uplynulo: telo sa musí vrátiť do rovnakého bodu rovnakou rýchlosťou. Napríklad teleso, ktoré začalo oscilovať z rovnovážnej polohy, bude mať počas periódy čas odchýliť sa o maximálnu hodnotu v jednom smere, vrátiť sa späť, vychýliť sa k maximu v druhom smere a znova sa vrátiť. Preto sa telo počas periódy stihne dvakrát odchýliť o maximálnu hodnotu z rovnovážnej polohy a vrátiť sa späť. Preto prechod z rovnovážnej polohy do bodu maximálnej odchýlky ( úloha 11.1.6) telo strávi štvrtú časť obdobia (odpoveď 3 ).

Takéto kmity sa nazývajú harmonické, pri ktorých je závislosť súradnice kmitajúceho telesa od času opísaná goniometrickou (sínusovou alebo kosínusovou) funkciou času. IN úloha 11.1.7 toto sú funkcie a napriek tomu, že parametre v nich obsiahnuté sú označené ako 2 a 2 . Funkcia je goniometrická funkcia štvorca času. Preto sú fluktuácie iba veličín a sú harmonické (odpoveď 4 ).

Pri harmonických kmitoch sa rýchlosť telesa mení podľa zákona , kde je amplitúda rýchlostných kmitov (časová referencia je zvolená tak, aby počiatočná fáza kmitov bola rovná nule). Odtiaľto zistíme závislosť kinetickej energie telesa od času
(úloha 11.1.8). Pomocou dobre známeho trigonometrický vzorec, dostaneme

Z tohto vzorca vyplýva, že kinetická energia telesa sa pri harmonických kmitoch mení aj podľa harmonického zákona, ale s dvojnásobnou frekvenciou (odpoveď je 2 ).

Za pomerom medzi kinetickou energiou záťaže a potenciálnou energiou pružiny ( úloha 11.1.9) možno ľahko vysledovať z nasledujúcich úvah. Keď sa teleso maximálne vychýli z rovnovážnej polohy, rýchlosť telesa je nulová, a preto je potenciálna energia pružiny väčšia ako kinetická energia záťaže. Naproti tomu, keď teleso prejde rovnovážnou polohou, potenciálna energia pružiny je nulová, a preto je kinetická energia väčšia ako potenciálna energia. Preto sa medzi prechodom rovnovážnej polohy a maximálnou odchýlkou ​​raz porovnáva kinetická a potenciálna energia. A keďže počas periódy prejde teleso štyrikrát z rovnovážnej polohy do maximálnej výchylky alebo naopak, potom sa počas periódy kinetická energia záťaže a potenciálna energia pružiny štyrikrát navzájom porovnávajú (odpoveď je 2 ).

Amplitúda kolísania rýchlosti ( úloha 11.1.10) je najjednoduchšie nájsť podľa zákona zachovania energie. V mieste maximálneho vychýlenia sa energia oscilačného systému rovná potenciálnej energii pružiny , kde je koeficient tuhosti pružiny, je amplitúda kmitania. Pri prechode rovnovážnou polohou sa energia telesa rovná kinetickej energii , kde je hmotnosť telesa, je rýchlosť telesa pri prechode rovnovážnou polohou, čo je maximálna rýchlosť telesa v procese kmitania a teda predstavuje amplitúdu rýchlostných kmitov. Zistíme, že keď tieto energie vyrovnáme, zistíme

(odpoveď 4 ).

Zo vzorca (11.5) vyvodíme záver ( úloha 11.2.2), ktorý je z omše matematické kyvadlo jeho perióda nezávisí a so štvornásobným zvýšením dĺžky sa perióda kmitov zvýši dvakrát (odpoveď je 1 ).

Hodiny sú oscilačný proces, ktorý sa používa na meranie časových intervalov ( úloha 11.2.3). Slová „rush“ znamenajú, že doba tohto procesu je kratšia, ako by mala byť. Preto na objasnenie priebehu týchto hodín je potrebné zvýšiť periódu procesu. Podľa vzorca (11.5) na zvýšenie periódy kmitania matematického kyvadla je potrebné zväčšiť jeho dĺžku (odpoveď je 3 ).

Ak chcete nájsť amplitúdu kmitov v úloha 11.2.4, je potrebné znázorniť závislosť súradnice tela od času vo forme jedinej goniometrickej funkcie. Pre funkciu uvedenú v podmienke to možno urobiť zavedením dodatočného uhla. Násobenie a delenie tejto funkcie a použitím adičného vzorca goniometrické funkcie, dostaneme

kde je uhol taký, že . Z tohto vzorca vyplýva, že amplitúda kmitov tela je (odpoveď 4 ).

§ 6. MECHANICKÉ KMITYZákladné vzorce

Harmonická vibračná rovnica

Kde X - posunutie bodu kmitania z rovnovážnej polohy; t- čas; A,ω, φ- resp. amplitúda, uhlová frekvencia, počiatočná fáza kmitov; - fáza kmitov v súčasnosti t.

Frekvencia uhlovej oscilácie

kde ν a T sú frekvencia a perióda kmitov.

rýchlosť bodu vytvárajúceho harmonické oscilácie,

Harmonické zrýchlenie

Amplitúda A výsledné kmitanie získané sčítaním dvoch kmitov s rovnakými frekvenciami vyskytujúcimi sa pozdĺž jednej priamky je určené vzorcom

Kde a 1 A A 2 - amplitúdy zložiek kmitania; φ 1 a φ 2 - ich počiatočné fázy.

Počiatočnú fázu φ výslednej oscilácie možno zistiť zo vzorca

Frekvencia úderov vznikajúca sčítaním dvoch kmitov vyskytujúcich sa pozdĺž tej istej priamky s rôznymi, ale hodnotami blízkymi frekvenciami ν 1 a ν 2,

Rovnica trajektórie bodu zúčastňujúceho sa dvoch vzájomne kolmých kmitov s amplitúdami A 1 a A 2 a počiatočnými fázami φ 1 a φ 2,

Ak sú počiatočné fázy φ 1 a φ 2 zložiek kmitania rovnaké, potom rovnica trajektórie má tvar

t.j. bod sa pohybuje po priamke.

V prípade, že fázový rozdiel , rovnica nadobúda tvar

t.j. bod sa pohybuje po elipse.

Diferenciálna rovnica harmonických kmitov hmotného bodu

, alebo , kde m je hmotnosť bodu; k- koeficient kvázi-elastickej sily ( k=Tω 2).

Celková energia hmotného bodu vytvárajúceho harmonické oscilácie,

Doba kmitania telesa zaveseného na pružine (pružinové kyvadlo),

Kde m- telesná hmotnosť; k- tuhosť pružiny. Vzorec platí pre elastické vibrácie v medziach, v ktorých je splnený Hookov zákon (s malou hmotnosťou pružiny v porovnaní s hmotnosťou tela).

Perióda kmitania matematického kyvadla

Kde l- dĺžka kyvadla; g- gravitačné zrýchlenie. Perióda oscilácie fyzického kyvadla

Kde J- moment zotrvačnosti kmitajúceho telesa okolo osi

výkyvy; A- vzdialenosť ťažiska kyvadla od osi kývania;

Znížená dĺžka fyzického kyvadla.

Vyššie uvedené vzorce sú presné pre prípad nekonečne malých amplitúd. Pre konečné amplitúdy tieto vzorce poskytujú len približné výsledky. Pri amplitúdach nie väčších ako chyba v hodnote periódy nepresahuje 1%.

Obdobie torzných kmitov telesa zaveseného na elastickom vlákne,

Kde J- moment zotrvačnosti telesa okolo osi zhodnej s elastickou niťou; k- tuhosť elastickej nite, rovný pomeru elastický moment, ktorý nastane, keď sa niť skrúti do uhla, o ktorý sa niť skrúti.

Diferenciálna rovnica tlmených kmitov , alebo ,

Kde r- koeficient odporu; 5 - koeficient tlmenia: ;ω 0 - vlastná uhlová frekvencia vibrácií *

Rovnica tlmenej oscilácie

Kde A(t)- amplitúdy tlmených kmitov v súčasnosti t;ω je ich uhlová frekvencia.

Uhlová frekvencia tlmených kmitov

О Závislosť amplitúdy tlmených kmitov od času

ja

Kde A 0 - momentálna amplitúda kmitov t=0.

Logaritmické znižovanie oscilácií

Kde A(t) A A(t+T)- amplitúdy dvoch po sebe nasledujúcich kmitov oddelených v čase od seba periódou.

Diferenciálna rovnica vynútených vibrácií

kde je vonkajšia periodická sila pôsobiaca na kmitajúci materiálový bod a spôsobujúca vynútené kmity; F 0 - jeho hodnota amplitúdy;

Amplitúda vynútených vibrácií

Rezonančná frekvencia a rezonančná amplitúda A

Príklady riešenia problémov

Príklad 1 Bod osciluje podľa zákona x(t)=, Kde A = 2 pozri Určenie počiatočnej fázy φ ak

X(0) = cm a X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Riešenie. Používame pohybovú rovnicu a vyjadrujeme posunutie v súčasnosti t=0 cez počiatočnú fázu:

Odtiaľ nájdeme počiatočnú fázu:

* Vo vyššie uvedených vzorcoch pre harmonické kmity bola rovnaká hodnota jednoducho označená ω (bez indexu 0).

Do tohto výrazu dosaďte dané hodnoty X(0) a A:φ= = . Hodnota argumentu je splnená dvoma hodnotami uhla:

Aby sme sa rozhodli, ktorá z týchto hodnôt uhla φ tiež spĺňa podmienku , najprv nájdeme:

Nahradením tohto výrazu hodnotou t=0 a striedavo hodnoty počiatočných fáz a nájdeme

T ok ako vždy A>0 a ω>0, potom podmienku spĺňa len prvá hodnota počiatočnej fázy. Teda požadovaná počiatočná fáza

Na základe zistenej hodnoty φ zostrojíme vektorový diagram (obr. 6.1). Príklad 2 Hmotný bod s hmotnosťou T\u003d 5 g vykonáva harmonické oscilácie s frekvenciou ν = 0,5 Hz. Amplitúda oscilácie A=3 cm Určte: 1) rýchlosť υ bodov v čase, keď došlo k zápočtu x== 1,5 cm; 2) maximálna sila F max pôsobiaca na bod; 3) Obr. 6,1 celkovej energie E oscilačný bod.

a vzorec rýchlosti získame tak, že vezmeme prvú časovú deriváciu posunu:

Na vyjadrenie rýchlosti pomocou posunu je potrebné zo vzorcov (1) a (2) vylúčiť čas. Aby sme to dosiahli, odmocníme obe rovnice a vydelíme prvú A 2 , druhý na A 2 ω 2 a pridajte:

, alebo

Riešenie poslednej rovnice pre υ , Nájsť

Po vykonaní výpočtov podľa tohto vzorca získame

Znamienko plus zodpovedá prípadu, keď sa smer rýchlosti zhoduje s kladným smerom osi X, znamienko mínus - keď sa smer rýchlosti zhoduje so záporným smerom osi X.

Posun pri harmonickom kmitaní je možné okrem rovnice (1) určiť aj rovnicou

Opakovaním rovnakého riešenia s touto rovnicou dostaneme rovnakú odpoveď.

2. Silu pôsobiacu na bod zistíme podľa druhého Newtonovho zákona:

Kde A - zrýchlenie bodu, ktoré získame prevzatím časovej derivácie rýchlosti:

Dosadením výrazu zrýchlenia do vzorca (3) dostaneme

Preto maximálna hodnota sily

Dosadením do tejto rovnice hodnoty π, ν, T A A, Nájsť

3. Celková energia oscilujúceho bodu je súčtom kinetických a potenciálnych energií vypočítaných pre ľubovoľný časový okamih.

Najjednoduchší spôsob výpočtu celkovej energie je v momente, keď kinetická energia dosiahne svoju maximálnu hodnotu. V tomto bode je potenciálna energia nulová. Takže celková energia E oscilačný bod sa rovná maximálnej kinetickej energii

Maximálnu rýchlosť určíme zo vzorca (2) s nastavením: . Dosadením rýchlostného výrazu do vzorca (4) nájdeme

Nahradením hodnôt veličín do tohto vzorca a vykonaním výpočtov získame

alebo mcJ.

Príklad 3 Na koncoch tenkej tyče l= 1 m a hmotnosť m 3 =400 g malé guličky spevníme hmotou m 1 = 200 g A m 2 = 300 g. Tyč kmitá okolo vodorovnej osi, kolmej na

dikulárna tyč a prechádzajúca jej stredom (bod O na obr. 6.2). Definujte obdobie T vibrácie spôsobené tyčou.

Riešenie. Perióda kmitania fyzického kyvadla, čo je tyč s guľôčkami, je určená vzťahom

Kde J- T - jeho hmotnosť; l S - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi.

Moment zotrvačnosti tohto kyvadla sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti guľôčok J 1 a J 2 a rod J 3:

Prijímanie loptičiek za hmotné body, vyjadrujeme momenty ich zotrvačnosti:

Keďže os prechádza stredom tyče, potom jej moment zotrvačnosti okolo tejto osi J 3 = =. Nahradenie výsledných výrazov J 1 , J 2 A J 3 do vzorca (2) zistíme celkový moment zotrvačnosti fyzického kyvadla:

Vykonaním výpočtov pomocou tohto vzorca zistíme

Ryža. 6.2 Hmotnosť kyvadla pozostáva z hmotnosti guľôčok a hmotnosti tyče:

Vzdialenosť l S zistíme ťažisko kyvadla od osi kmitania na základe nasledujúcich úvah. Ak je os X smerujte pozdĺž tyče a zarovnajte začiatok s bodom O, potom požadovaná vzdialenosť l sa rovná súradnici ťažiska kyvadla, t.j.

Nahradenie hodnôt veličín m 1 , m 2 , m, l a vykonávaní výpočtov, zistíme

Po výpočtoch podľa vzorca (1) získame periódu oscilácie fyzického kyvadla:

Príklad 4 Fyzické kyvadlo je tyč s dĺžkou l= 1 m a hmotnosť 3 T 1 s pripevnený na jeden z jeho koncov obručou s priemerom a hmotnosťou T 1 . Horizontálna os Oz

kyvadlo prechádza stredom tyče kolmo na ňu (obr. 6.3). Definujte obdobie T kmity takéhoto kyvadla.

Riešenie. Perióda kmitania fyzického kyvadla je určená vzorcom

(1)

Kde J- moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi kývania; T - jeho hmotnosť; l C - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi kývania.

Moment zotrvačnosti kyvadla sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti tyče J 1 a obruč J 2:

(2).

Moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej ťažiskom je určený vzorcom . V tomto prípade t= 3T 1 a

Moment zotrvačnosti obruče nájdeme pomocou Steinerovej vety ,Kde J- moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi; J 0 - moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej ťažiskom rovnobežnej s danou osou; A - vzdialenosť medzi určenými osami. Aplikovaním tohto vzorca na obruč dostaneme

Nahrádzanie výrazov J 1 a J 2 do vzorca (2) nájdeme moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi otáčania:

Vzdialenosť l S od osi kyvadla k jeho ťažisku je

Dosadenie výrazov do vzorca (1). J, l c a hmotnosti kyvadla zistíme dobu jeho kmitania:

Po výpočte podľa tohto vzorca dostaneme T\u003d 2,17 s.

Príklad 5 Sčítajú sa dve oscilácie rovnakého smeru, vyjadrené rovnicami ; X 2 = =, kde A 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Určte počiatočné fázy φ 1 a φ 2 zložiek kmitania

bani. 2. Nájdite amplitúdu A a počiatočná fáza φ výsledného kmitania. Napíšte rovnicu pre výsledné kmitanie.

Riešenie. 1. Rovnica harmonického kmitania má tvar

Transformujme rovnice uvedené v podmienke úlohy do rovnakého tvaru:

Z porovnania výrazov (2) s rovnosťou (1) zistíme počiatočné fázy prvého a druhého kmitu:

Rád a rád.

2. Na určenie amplitúdy A výslednej fluktuácie je vhodné použiť vektorový diagram uvedený v ryža. 6.4. Podľa kosínusovej vety dostaneme

kde je fázový rozdiel zložiek kmitania.Keďže , potom dosadením nájdených hodnôt φ 2 a φ 1 dostaneme rad.

Nahraďte hodnoty A 1 , A 2 a do vzorca (3) a vykonajte výpočty:

A= 2,65 cm.

Tangentu počiatočnej fázy φ výsledného kmitania je možné určiť priamo z obr. 6.4: , odkiaľ pochádza počiatočná fáza

výkyvy nazývané pohyby alebo procesy, ktoré sa vyznačujú určitým opakovaním v čase. Oscilačné procesy sú v prírode a technike rozšírené, napríklad výkyv hodinového kyvadla, variabilný elektriny atď. Kedy oscilačný pohyb kyvadlo, mení sa súradnica jeho ťažiska, pri striedavom prúde napätie a prúd v obvode kolíše. fyzickej povahy oscilácie môžu byť rôzne, preto sa rozlišujú oscilácie mechanické, elektromagnetické atď.. Rôzne oscilačné procesy sú však opísané rovnakými charakteristikami a rovnakými rovnicami. Z toho vyplýva realizovateľnosť jednotný prístup k štúdiu vibrácií odlišná fyzická povaha.

Výkyvy sú tzv zadarmo, ak sú zhotovené len pod vplyvom vnútorných síl pôsobiacich medzi prvkami sústavy, po vyvedení sústavy z rovnovážnej polohy vonkajšie sily a ponechaný sám pre seba. Vždy voľné vibrácie tlmené oscilácie pretože energetické straty sú v reálnych systémoch nevyhnutné. V idealizovanom prípade systému bez straty energie sa nazývajú voľné oscilácie (pokračujúce tak dlho, ako je to žiaduce). vlastné.

Najjednoduchším typom voľných netlmených kmitov sú harmonické kmity - kolísanie, pri ktorom sa kolísajúca hodnota mení s časom podľa sínusového (kosínusového) zákona. Oscilácie vyskytujúce sa v prírode a technike majú často charakter blízky harmonickému.

Harmonické vibrácie sú opísané rovnicou nazývanou rovnica harmonických vibrácií:

Kde A- amplitúda kolísania, maximálna hodnota kolísavej hodnoty X; - kruhová (cyklická) frekvencia vlastných kmitov; - počiatočná fáza kmitania v časovom okamihu t= 0; - fáza kmitania v čase t. Fáza kmitania určuje hodnotu kmitajúcej veličiny v danom čase. Pretože sa kosínus mení od +1 do -1 X môže nadobúdať hodnoty od + A predtým - A.

Čas T, pre ktorý systém dokončí jeden úplný kmit, sa nazýva perióda oscilácie. Počas T fáza oscilácie sa zvýši o 2 π , t.j.

Kde . (14.2)

Prevrátená hodnota periódy oscilácie

t.j. počet úplných kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov. Porovnaním (14.2) a (14.3) dostaneme

Jednotkou frekvencie je hertz (Hz): 1 Hz je frekvencia, pri ktorej prebehne jedna úplná oscilácia za 1 s.

Systémy, v ktorých sa môžu vyskytnúť voľné vibrácie, sa nazývajú oscilátory . Aké vlastnosti musí mať sústava, aby v nej dochádzalo k voľným osciláciám? Mechanický systém musí mať poloha stabilnej rovnováhy, po opustení sa objaví obnovenie sily smerom k rovnováhe. Táto poloha zodpovedá, ako je známe, minimu potenciálnej energie systému. Uvažujme niekoľko oscilačných systémov, ktoré spĺňajú uvedené vlastnosti.