Ide o periodické kmitanie, pri ktorom sa súradnica, rýchlosť, zrýchlenie, charakterizujúce pohyb, menia podľa sínusového alebo kosínusového zákona. Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo takéto kmitanie možno opísať sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Matematické kyvadlo

výkyvy matematické kyvadlo.
Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite (fyzikálny model).
Pohyb kyvadla budeme uvažovať pod podmienkou, že uhol vychýlenia je malý, potom, ak meriame uhol v radiánoch, platí tvrdenie: .
Na teleso pôsobí gravitačná sila a napätie nite. Výslednica týchto síl má dve zložky: tangenciálnu, ktorá mení veľkosť zrýchlenia, a normálovú, ktorá mení zrýchlenie v smere (centripetálne zrýchlenie, teleso sa pohybuje po oblúku).
Pretože uhol je malý, potom sa tangenciálna zložka rovná priemetu gravitácie na dotyčnicu k trajektórii: . Uhol v radiánoch sa rovná pomeru dĺžka oblúka k polomeru (dĺžka závitu) a dĺžka oblúka sa približne rovná odsadeniu ( x ≈ s): .
Porovnajte výslednú rovnicu s rovnicou oscilačný pohyb. To je jasné alebo - cyklický frekvencia pri kmitoch matematického kyvadla.
Doba oscilácie alebo (Galileov vzorec).	Galileov vzorec
Najdôležitejší záver: doba kmitania matematického kyvadla nezávisí od hmotnosti telesa!
Podobné výpočty je možné vykonať pomocou zákona zachovania energie. Berieme do úvahy, že potenciálna energia telesa v gravitačnom poli sa rovná a celková mechanická energia sa rovná maximálnemu potenciálu alebo kinetickej energii:
Zapíšme si zákon zachovania energie a zoberme deriváciu ľavej a pravej časti rovnice: . Pretože derivácia konštantnej hodnoty sa rovná nule, potom . Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivátov: a.
Preto: , čo znamená.

Stavová rovnica ideálneho plynu (Mendelejevova-Clapeyronova rovnica).
Stavová rovnica je rovnica, ktorá dáva do vzťahu parametre fyzikálneho systému a jednoznačne určuje jeho stav. V roku 1834 francúzsky fyzik B. Clapeyron, ktorý dlho pôsobil v Petrohrade, odvodil stavovú rovnicu pre ideálny plyn pre konštantnú hmotnosť plynu. V roku 1874 D. I. Mendelejev odvodil rovnicu pre ľubovoľný počet molekúl.
V MKT a ideálnej termodynamike plynov sú makroskopické parametre: p, V, T, m. My to vieme . Preto,. Vzhľadom na to , dostaneme:.
Súčin konštantných hodnôt je konštantná hodnota, preto: - univerzálna plynová konštanta (univerzálna, pretože je rovnaká pre všetky plyny).
Máme teda: Stavová rovnica (Mendelejevova-Clapeyronova rovnica).
Iné formy zápisu stavovej rovnice ideálneho plynu.
1. Rovnica pre 1 mol látky. Ak n \u003d 1 mol, potom, označujúci objem jedného molu V m, dostaneme:. Pre normálnych podmienkach dostaneme:
2. Napíšte rovnicu z hľadiska hustoty: - Hustota závisí od teploty a tlaku!
3. Clapeyronova rovnica. Často je potrebné vyšetriť situáciu, keď sa stav plynu mení s jeho konštantným množstvom (m=konšt.) a pri absencii chemické reakcie(M=konšt.). To znamená, že látkové množstvo n=konšt. potom:
Tento záznam to znamená pre danú hmotnosť daného plynu rovnosť je pravda:
Pre konštantnú hmotnosť ideálneho plynu je pomer súčinu tlaku a objemu k absolútna teplota v tomto stave je konštantná hodnota: .
plynové zákony.
1. Avogadrov zákon. Rovnaké objemy rôznych plynov za rovnakých vonkajších podmienok obsahujú rovnaký počet molekúl (atómov). Podmienka: Vi =V2 =...=Vn; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
dôkaz: Preto za rovnakých podmienok (tlak, objem, teplota) počet molekúl nezávisí od charakteru plynu a je rovnaký.
2. Daltonov zákon. Tlak zmesi plynov sa rovná súčtu parciálnych (súkromných) tlakov každého plynu. Dokážte: p=p 1 +p 2 +…+p n dôkaz:
3. Pascalov zákon. Tlak vytvorený na kvapaline alebo plyne sa prenáša vo všetkých smeroch bez zmeny.

Stavová rovnica ideálneho plynu. plynové zákony.

Počty stupňov voľnosti: ide o počet nezávislých premenných (súradníc), ktoré úplne určujú polohu systému v priestore. V niektorých úlohách sa za hmotný bod považuje monoatomická molekula plynu (obr. 1, a), ktorá má tri stupne voľnosti translačného pohybu. Toto nezohľadňuje energiu rotačného pohybu. V mechanike sa molekula dvojatómového plynu v prvom priblížení považuje za kombináciu dvoch hmotné body, ktoré sú pevne spojené nedeformovateľnou väzbou (obr. 1, b). Tento systém má okrem troch stupňov voľnosti translačného pohybu ešte dva stupne voľnosti rotačného pohybu. Rotácia okolo tretej osi prechádzajúcej oboma atómami je nezmyselná. To znamená, že dvojatómový plyn má päť stupňov voľnosti ( i= 5). Triatomická (obr. 1, c) a polyatomická nelineárna molekula má šesť stupňov voľnosti: tri translačné a tri rotačné. Je prirodzené predpokladať, že medzi atómami neexistuje pevná väzba. Preto je pri reálnych molekulách potrebné brať do úvahy aj stupne voľnosti vibračného pohybu.

Pre ľubovoľný počet stupňov voľnosti danej molekuly sú tri stupne voľnosti vždy translačné. Žiadny z translačných stupňov voľnosti nemá výhodu oproti ostatným, čo znamená, že každý z nich má v priemere rovnakú energiu rovnajúcu sa 1/3 hodnoty<ε 0 >(energia translačného pohybu molekúl): V štatistickej fyzike Boltzmannov zákon o rovnomernom rozdelení energie cez stupne voľnosti molekúl: pre štatistický systém, ktorý je v stave termodynamickej rovnováhy, má každý translačný a rotačný stupeň voľnosti priemernú kinetickú energiu rovnajúcu sa kT/2 a každý vibračný stupeň voľnosti má priemernú energiu rovnajúcu sa kT. Vibračný stupeň má dvakrát toľko energie, pretože zodpovedá za kinetickú energiu (ako v prípade translačných a rotačných pohybov) aj potenciálnu energiu a priemerné hodnoty potenciálnej a kinetickej energie sú rovnaké. Takže priemerná energia molekuly Kde i- súčet počtu translačných, počtu rotačných v dvojnásobku počtu vibračných stupňov voľnosti molekuly: i=i príspevok + i rotácia +2 i vibrácie V klasickej teórii sa o molekulách uvažuje s pevnou väzbou medzi atómami; pre nich i sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti molekuly. Keďže v ideálnom plyne je vzájomná potenciálna energia interakcie molekúl rovná nule (molekuly medzi sebou neinteragujú), potom sa vnútorná energia pre jeden mól plynu bude rovnať súčtu kinetických energií N A molekúl: (1) Vnútorná energia pre ľubovoľnú hmotnosť m plynu. kde M- molárna hmota, ν - množstvo hmoty.

Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia

Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) možno uhádnuť, že maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia sa berú, keď sa trigonometrický faktor rovná 1 alebo -1. Určené vzorcom

Ako získať závislosti v(t) a a(t)

7. Voľné vibrácie. Rýchlosť, zrýchlenie a energia kmitavého pohybu. Pridanie vibrácií

Voľné vibrácie(alebo prirodzené vibrácie) sú vibrácie oscilačného systému, ktoré sa vykonávajú iba v dôsledku pôvodne hlásenej energie (potenciálnej alebo kinetickej) bez vonkajších vplyvov.

Potenciálna alebo kinetická energia môže byť prenášaná napríklad v mechanických systémoch prostredníctvom počiatočného posunu alebo počiatočnej rýchlosti.

Voľne kmitajúce telesá vždy interagujú s inými telesami a spolu s nimi tvoria sústavu telies tzv oscilačný systém.

Napríklad pružina, guľa a zvislý stĺpik, ku ktorému je pripevnený horný koniec pružiny (pozri obrázok nižšie), sú zahrnuté v oscilačnom systéme. Tu sa loptička voľne kĺže po strune (trecie sily sú zanedbateľné). Ak vezmete loptu doprava a necháte ju pre seba, bude voľne oscilovať okolo rovnovážnej polohy (bod O) v dôsledku pôsobenia elastickej sily pružiny smerujúcej do rovnovážnej polohy.

Ďalším klasickým príkladom mechanického oscilačného systému je matematické kyvadlo (pozri obrázok nižšie). V tomto prípade loptička vykonáva voľné oscilácie pôsobením dvoch síl: gravitácie a elastickej sily vlákna (do oscilačného systému vstupuje aj Zem). Ich výslednica smeruje do rovnovážnej polohy.

Sily pôsobiace medzi telesami kmitavého systému sa nazývajú vnútorné sily. Vonkajšie sily nazývané sily pôsobiace na systém od telies, ktoré v ňom nie sú zahrnuté. Z tohto hľadiska možno voľné kmitanie definovať ako kmitanie v systéme pri pôsobení vnútorných síl po vyvedení systému z rovnováhy.

Podmienky pre vznik voľných oscilácií sú:

1) vznik sily v nich, ktorá vráti systém do stabilnej polohy po vyvedení z tohto stavu;

2) žiadne trenie v systéme.

Dynamika voľných kmitov.

Vibrácie telesa pri pôsobení elastických síl. Rovnica kmitavého pohybu telesa pri pôsobení elastickej sily F(pozri obr.) možno získať s prihliadnutím na druhý Newtonov zákon ( F = ma) a Hookov zákon ( F ovládanie= -kx), Kde m je hmotnosť lopty a je zrýchlenie dosiahnuté loptou pôsobením elastickej sily, k- koeficient tuhosti pružiny, X- posunutie telesa z rovnovážnej polohy (obe rovnice sú zapísané v priemete na vodorovnú os) Oh). Vyrovnanie pravých strán týchto rovníc a zohľadnenie zrýchlenia A je druhá derivácia súradnice X(offsety), dostaneme:

.

Toto Diferenciálnej rovnice pohyb telesa kmitajúceho pôsobením elastickej sily: druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas (zrýchlenie telesa) je priamo úmerná jeho súradnici, brané s opačným znamienkom.

Kmity matematického kyvadla. Na získanie rovnice pre kmitanie matematického kyvadla (obrázok) je potrebné rozšíriť gravitačnú silu F T= mg do normálu F n(smerované pozdĺž závitu) a tangenciálne F τ(dotyčnica k dráhe gule - kružnica) zložky. Normálna zložka gravitácie F n a elastická sila nite Fynp celkovo dávajú kyvadlu dostredivé zrýchlenie, ktoré neovplyvňuje veľkosť rýchlosti, ale mení len jej smer, a tangenciálnu zložku F τ je sila, ktorá vracia loptičku do jej rovnovážnej polohy a spôsobuje jej kmitanie. Použitie, ako v predchádzajúcom prípade, Newtonov zákon pre tangenciálne zrýchlenie ma τ = F τ a vzhľadom na to F τ= -mg sinα, dostaneme:

a τ= -g sinα,

Znamienko mínus sa objavilo, pretože sila a uhol odchýlky od rovnovážnej polohy α majú opačné znamenia. Pre malé uhly vychýlenia sinα ≈ α. Na druhej strane a = s/l, Kde s- oblúk OA, ja- dĺžka závitu. Vzhľadom na to a τ= s", konečne dostaneme:

Tvar rovnice je podobný rovnici . Iba tu sú parametrami systému dĺžka závitu a zrýchlenie voľného pádu, a nie tuhosť pružiny a hmotnosť gule; úlohu súradnice zohráva dĺžka oblúka (t. j. prejdená dráha, ako v prvom prípade).

Voľné vibrácie sú teda opísané rovnicami rovnakého typu (podliehajú rovnakým zákonom) bez ohľadu na to fyzickej povahy sily, ktoré spôsobujú tieto vibrácie.

Riešenie rovníc a je funkciou tvaru:

x = xmcos ω 0t(alebo x = xmsin ω 0t).

To znamená, že súradnice telesa, ktoré vykonáva voľné oscilácie, sa v priebehu času menia podľa kosínusového alebo sínusového zákona, a preto sú tieto oscilácie harmonické:

V rovnici x = xmcos ω 0t(alebo x = xmsin ω 0t), x m- amplitúda oscilácie, ω 0 - vlastná cyklická (kruhová) frekvencia kmitov.

Cyklická frekvencia a perióda voľných harmonických kmitov sú určené vlastnosťami systému. Takže pre vibrácie telesa pripojeného k pružine platia nasledujúce vzťahy:

.

Vlastná frekvencia je tým väčšia, čím väčšia je tuhosť pružiny alebo menšia hmotnosť záťaže, čo je plne potvrdené skúsenosťami.

Pre matematické kyvadlo platia nasledujúce rovnosti:

.

Tento vzorec prvýkrát získali a otestovali Holanďania vedca Huygensa(súčasník Newtona).

Perióda kmitania sa zvyšuje s dĺžkou kyvadla a nezávisí od jeho hmotnosti.

Zvlášť treba poznamenať, že harmonické kmity sú prísne periodické (pretože sa riadia sínusovým alebo kosínusovým zákonom) a dokonca aj pre matematické kyvadlo, ktoré je idealizáciou skutočného (fyzikálneho) kyvadla, sú možné len pri malých uhloch kmitania. Ak sú uhly vychýlenia veľké, posunutie záťaže nebude úmerné uhlu vychýlenia (sínus uhla) a zrýchlenie nebude úmerné posunutiu.

Rýchlosť a zrýchlenie telesa, ktoré vykonáva voľné kmity, bude tiež vykonávať harmonické kmity. Ak vezmeme časovú deriváciu funkcie ( x = xmcos ω 0t(alebo x = xmsin ω 0t)), dostaneme výraz pre rýchlosť:

v = -v msin ω 0t = -vmx mcos (ω 0t + π/2),

Kde v m= ω 0 x m- amplitúda rýchlosti.

Podobne výraz pre zrýchlenie A dostaneme rozlišovaním ( v = -v msin ω 0t = -vmx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Kde a m= ω 20x m- amplitúda zrýchlenia. Amplitúda rýchlosti harmonických kmitov je teda úmerná frekvencii a amplitúda zrýchlenia je úmerná druhej mocnine frekvencie kmitov.

HARMONICKÉ KMITY
Kolísanie, pri ktorom dochádza k zmenám fyzikálnych veličín podľa kosínusového alebo sínusového zákona (harmonický zákon), tzv. harmonické vibrácie. Napríklad v prípade mechanických harmonických vibrácií: V týchto vzorcoch je ω frekvencia oscilácií, x m je amplitúda oscilácie, φ 0 a φ 0 ’ sú počiatočné fázy oscilácie. Vyššie uvedené vzorce sa líšia v definícii počiatočnej fázy a pri φ 0 ’ = φ 0 + π/2 sa úplne zhodujú.
Toto je najjednoduchšia forma periodických oscilácií. Konkrétna forma funkcie (sínus alebo kosínus) závisí od spôsobu, akým je systém uvedený z rovnováhy. Ak k stiahnutiu dôjde stlačením (uvádza sa kinetická energia), potom je pri t \u003d 0 posunutie x \u003d 0, preto je vhodnejšie použiť funkcia hriechu, nastavenie φ 0 ’=0; pri odchýlke od rovnovážnej polohy (uvádza sa potenciálna energia) pri t \u003d 0 je posunutie x \u003d x m, preto je vhodnejšie použiť cos funkcia a φ0 = 0.
Výraz pod znakom cos alebo hriech, tzv. oscilačná fáza:. Fáza kmitania sa meria v radiánoch a určuje hodnotu posunutia (kolísajúca hodnota) v danom čase.
Amplitúda kmitania závisí iba od počiatočnej odchýlky (počiatočnej energie odovzdanej kmitajúcemu systému).
Rýchlosť a zrýchlenie pri harmonické vibrácie.
Podľa definície rýchlosti je rýchlosť deriváciou súradnice vzhľadom na čas
Vidíme teda, že rýchlosť počas harmonického kmitavého pohybu sa tiež mení podľa harmonického zákona, ale kolísanie rýchlosti je pred kolísaním posunu vo fáze o π/2.
Hodnota je maximálna rýchlosť kmitavého pohybu (amplitúda kolísania rýchlosti).
Preto pre rýchlosť počas harmonického kmitania máme: a pre prípad nulovej počiatočnej fázy (pozri graf).
Podľa definície zrýchlenia je zrýchlenie deriváciou rýchlosti vzhľadom na čas: je druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas. Potom: . Zrýchlenie počas harmonického kmitavého pohybu sa tiež mení podľa harmonického zákona, ale kmity zrýchlenia sú pred kmitmi rýchlosti o π/2 a kmity posunutia o π (hovoria, že sa vyskytujú kmity mimo fázy).
Hodnota - maximálne zrýchlenie (amplitúda kolísania zrýchlenia). Preto pre zrýchlenie máme: a v prípade nulovej počiatočnej fázy: (pozri graf).
Z rozboru procesu kmitavého pohybu, grafov a zodpovedajúcich matematické výrazy možno vidieť, že keď kmitajúce teleso prejde rovnovážnou polohou (posunutie je nulové), zrýchlenie je nulové a rýchlosť telesa je maximálna (teleso prejde rovnovážnu polohu zotrvačnosťou), a keď hodnota amplitúdy posun je dosiahnutý, rýchlosť je nulová a zrýchlenie je maximálne v absolútnej hodnote (telo mení smer pohybu).
Porovnajme výrazy pre posun a zrýchlenie pre harmonické kmity: a .
Môžeš písať: - t.j. druhá derivácia posunutia je priamo úmerná (s opačným znamienkom) posunutiu. Takáto rovnica sa nazýva rovnica harmonickej oscilácie. Táto závislosť je splnená pre akékoľvek harmonické kmitanie bez ohľadu na jeho povahu. Keďže parametre konkrétneho oscilačného systému sme nikde nepoužili, môže od nich závisieť iba cyklická frekvencia.
Často je vhodné napísať rovnice pre oscilácie v tvare: , kde T je perióda oscilácie. Potom, ak je čas vyjadrený v zlomkoch obdobia, výpočty sa zjednodušia. Napríklad, ak potrebujete nájsť kompenzáciu po 1/8 obdobia, dostaneme: . Podobne pre rýchlosť a zrýchlenie.

Nie je nezvyčajné, že sa systém súčasne podieľa na dvoch alebo viacerých nezávislých osciláciách. V týchto prípadoch vzniká zložitý kmitavý pohyb, ktorý vzniká vzájomným superponovaním (sčítaním) vibrácií. Je zrejmé, že prípady sčítania oscilácií môžu byť veľmi rôznorodé. Závisia nielen od počtu pridaných kmitov, ale aj od parametrov kmitania, od ich frekvencií, fáz, amplitúd, smerov. Nie je možné preskúmať všetky možné rôzne prípady sčítania kmitov, preto sa obmedzíme len na jednotlivé príklady.
1. Pridanie vibrácií v jednom smere. Pridajme dve oscilácie rovnakej frekvencie, ale rôznych fáz a amplitúd.

(4.40)
Keď sa oscilácie navzájom prekrývajú


Zavádzame nové parametre A a j podľa rovníc:

(4.42)
Sústava rovníc (4.42) je jednoducho vyriešená.

(4.43)

(4.44)
Pre x teda konečne dostaneme rovnicu

(4.45)
Takže v dôsledku pridania jednosmerných kmitov rovnakej frekvencie získame harmonické (sínusové) kmitanie, ktorého amplitúda a fáza je určená vzorcami (4.43) a (4.44).
Uvažujme o špeciálnych prípadoch, v ktorých sú pomery medzi fázami dvoch sčítaných kmitov rôzne:


(4.46)
Pridajme teraz jednosmerné kmity rovnakej amplitúdy, rovnakých fáz, ale rôznych frekvencií.


(4.47)
Uvažujme prípad, keď sú frekvencie blízko seba, t.j. w1~w2=w
Potom budeme približne predpokladať, že (w1+w2)/2= w a (w2-w1)/2 je malé. Výsledná oscilačná rovnica bude vyzerať takto:

(4.48)
Jeho graf je znázornený na obr. 4.5 Táto oscilácia sa nazýva úder. Vykonáva sa s frekvenciou w, ale jej amplitúda osciluje s veľkou periódou.

2. Sčítanie dvoch navzájom kolmých kmitov. Predpokladajme, že jedna oscilácia sa vykonáva pozdĺž osi x, druhá - pozdĺž osi y. Výsledný pohyb je zjavne umiestnený v rovine xy.
1. Predpokladajme, že frekvencie a fázy kmitov sú rovnaké, ale amplitúdy sú rôzne.

(4.49)
Na nájdenie trajektórie výsledného pohybu je potrebné vylúčiť čas z rovníc (4.49). Na to stačí rozdeliť člen po člene jednu rovnicu na druhú, v dôsledku čoho dostaneme

(4.50)
Z rovnice (4.50) vyplýva, že v tomto prípade pridanie kmitov vedie k kmitaniu pozdĺž priamky, ktorej dotyčnica uhla sklonu je určená pomerom amplitúd.
2. Nech sa fázy sčítaných kmitov navzájom líšia o /2 a rovnice majú tvar:

(4.51)
Na nájdenie trajektórie výsledného pohybu bez času je potrebné rovnice (4.51) umocniť, najprv ich vydeliť A1 a A2 a potom ich sčítať. Rovnica trajektórie bude mať tvar:

(4.52)
Toto je rovnica elipsy. Dá sa dokázať, že pre ľubovoľné počiatočné fázy a akékoľvek amplitúdy dvoch sčítaných vzájomne kolmých kmitov rovnakej frekvencie sa výsledné kmitanie uskutoční pozdĺž elipsy. Jeho orientácia bude závisieť od fáz a amplitúd pridaných oscilácií.
Ak majú pridané kmity rôzne frekvencie, potom sú trajektórie výsledných pohybov veľmi rôznorodé. Iba ak sú frekvencie kmitov v x a y navzájom násobkami, získajú sa uzavreté trajektórie. Takéto pohyby možno pripísať počtu periodických pohybov. V tomto prípade sa trajektórie pohybov nazývajú Lissajousove figúry. Zoberme si jednu z Lissajousových čísel, ktorá sa získa sčítaním kmitov s frekvenčným pomerom 1:2, s rovnakými amplitúdami a fázami na začiatku pohybu.

(4.53)
Pozdĺž osi y sa kmity vyskytujú dvakrát častejšie ako pozdĺž osi x. Pridanie takýchto kmitov povedie k trajektórii pohybu v tvare osmičky (obr. 4.7).

8. Tlmené kmity a ich parametre: dekrement a koeficient kmitania, relaxačný čas

)Obdobie tlmených kmitov:

T = (58)

O δ << ω o vibrácie sa nelíšia od harmonických: T = 2π/ o.

2) Amplitúda tlmených kmitov je vyjadrená vzorcom (119).

3) pokles tlmenia, rovný pomeru dvoch po sebe nasledujúcich amplitúd kmitania A(t) A A(t+T), charakterizuje rýchlosť poklesu amplitúdy za obdobie:

= e d T (59)

4) Logaritmické zníženie tlmenia- prirodzený logaritmus pomeru amplitúd dvoch po sebe nasledujúcich kmitov zodpovedajúcich časovým bodom, ktoré sa líšia o periódu

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Logaritmický dekrement tlmenia je konštantná hodnota pre daný oscilačný systém.

5) Relaxačný čas nazývané časové obdobie ( t), počas ktorej sa amplitúda tlmených kmitov zníži o faktor e:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Z porovnania výrazov (60) a (61) dostaneme:

q= = , (62)

Kde N e - počet kmitov vykonaných počas relaxačného času.

Ak počas doby t systém vytvára Ν výkyvy teda t = Ν . Τ a rovnica tlmených kmitov môže byť reprezentovaná ako:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Faktor kvality oscilačného systému(Q) je obvyklé nazývať veličinu charakterizujúcu stratu energie v systéme počas periódy oscilácie:

Q= 2p , (63)

Kde W je celková energia systému, ∆W je energia rozptýlená za dané obdobie. Čím menej energie sa rozptýli, tým väčší je faktor kvality systému. To ukazujú výpočty

Q = = pNe = =. (64)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, faktor kvality je nepriamo úmerný logaritmickému úbytku tlmenia. Zo vzorca (64) vyplýva, že faktor kvality je úmerný počtu kmitov N e vykonávaný systémom počas doby relaxácie.

7) Potenciálna energia systém v čase t možno vyjadriť ako potenciálnu energiu W 0 pri najväčšej odchýlke:

W = = kAo2e-2qN = W0e-2qN. (65)

Zvyčajne sa podmienečne predpokladá, že oscilácie prakticky prestali, ak sa ich energia znížila o faktor 100 (amplitúda sa znížila o faktor 10). Odtiaľ môžete získať výraz na výpočet počtu kmitov vykonaných systémom:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Nútené vibrácie. Rezonancia. aperiodické výkyvy. Vlastné oscilácie.

Aby systém vykonával netlmené kmity, je potrebné dopĺňať energetické straty kmitov v dôsledku trenia z vonkajšej strany. Aby sa energia kmitov systému nezmenšila, zvyčajne sa zavádza sila, ktorá periodicky pôsobí na systém (takúto silu budeme nazývať presvedčivý a nútené oscilácie).

DEFINÍCIA: nútený nazývané také vibrácie, ktoré sa vyskytujú v oscilačnom systéme pôsobením vonkajšej periodicky sa meniacej sily.

Táto sila spravidla plní dvojakú úlohu:

po prvé, otriasa systémom a dodáva mu určité množstvo energie;

po druhé, periodicky dopĺňa straty energie (spotreba energie), aby prekonala sily odporu a trenia.

Nechajte hnaciu silu meniť s časom podľa zákona:

.

Zostavme pohybovú rovnicu pre sústavu kmitajúcu pod vplyvom takejto sily. Predpokladáme, že na systém pôsobí aj kvázi-elastická sila a odporová sila média (čo platí za predpokladu malých kmitov). Potom bude pohybová rovnica systému vyzerať takto:

Alebo .

Dosadením , , – vlastnej frekvencie kmitov sústavy dostaneme nehomogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu 2 th objednať:

Z teórie diferenciálnych rovníc je známe, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice sa rovná súčtu všeobecného riešenia homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia nehomogénnej rovnice.

Všeobecné riešenie homogénnej rovnice je známe:

,

Kde ; a 0 a a– svojvoľná konšt.

.

Pomocou vektorového diagramu sa môžete uistiť, že takýto predpoklad je pravdivý, a tiež určiť hodnoty „ a"A" j”.

Amplitúda kmitania je určená nasledujúcim výrazom:

.

význam " j“, čo je veľkosť fázového oneskorenia nútenej oscilácie z hnacej sily, ktorá to spôsobila, je tiež určená z vektorového diagramu a je:

.

Nakoniec konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice bude mať tvar:

(8.18)

Táto funkcia spolu s

(8.19)

poskytuje všeobecné riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice popisujúcej správanie systému pri vynútených vibráciách. Výraz (8.19) zohráva významnú úlohu v počiatočnom štádiu procesu, pri takzvanom nastolení oscilácií (obr. 8.10). Postupom času vplyvom exponenciálneho faktora úloha druhého člena (8.19) stále viac klesá a po dostatočnom čase ho možno zanedbať a v riešení zostane iba člen (8.18).

Funkcia (8.18) teda popisuje ustálené vynútené kmity. Sú to harmonické kmity s frekvenciou rovnajúcou sa frekvencii hnacej sily. Amplitúda vynútených kmitov je úmerná amplitúde hnacej sily. Pre daný oscilačný systém (definovaný w 0 a b) závisí amplitúda od frekvencie hnacej sily. Vynútené kmity zaostávajú za hnacou silou vo fáze a veľkosť oneskorenia "j" závisí aj od frekvencie hnacej sily.

Závislosť amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily vedie k tomu, že pri určitej frekvencii určenej pre daný systém dosiahne amplitúda kmitov svoju maximálnu hodnotu. Oscilačný systém je obzvlášť citlivý na pôsobenie hnacej sily pri tejto frekvencii. Tento jav sa nazýva rezonancia a zodpovedajúca frekvencia je rezonančná frekvencia.

DEFINÍCIA: jav, pri ktorom sa pozoruje prudký nárast amplitúdy vynútených kmitov, sa nazýva rezonancia.

Rezonančná frekvencia sa určuje z maximálnej podmienky pre amplitúdu vynútených kmitov:

. (8.20)

Potom nahradením tejto hodnoty do výrazu pre amplitúdu dostaneme:

. (8.21)

Pri absencii stredného odporu by sa amplitúda kmitov pri rezonancii zmenila na nekonečno; rezonančná frekvencia za rovnakých podmienok (b=0) sa zhoduje s frekvenciou vlastného kmitania.

Závislosť amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily (resp. od frekvencie kmitov) možno znázorniť graficky (obr. 8.11). Samostatné krivky zodpovedajú rôznym hodnotám „b“. Čím menšie „b“, tým vyššie a vpravo leží maximum tejto krivky (pozri výraz pre w res.). Pri veľmi veľkom tlmení nie je pozorovaná rezonancia - so zvyšujúcou sa frekvenciou amplitúda vynútených kmitov monotónne klesá (spodná krivka na obr. 8.11).

Nazýva sa množina prezentovaných grafov zodpovedajúcich rôznym hodnotám b rezonančné krivky.

Poznámky o rezonančných krivkách:

keďže w®0 má tendenciu, všetky krivky dosiahnu rovnakú nenulovú hodnotu rovnajúcu sa . Táto hodnota predstavuje posun z rovnovážnej polohy, ktorý systém dostane pri pôsobení konštantnej sily F 0 .

ako w®¥ majú všetky krivky tendenciu asymptoticky k nule, keďže pri vysokej frekvencii sila mení svoj smer tak rýchlo, že systém sa nestihne citeľne posunúť z rovnovážnej polohy.

čím menšie b, tým silnejšie sa amplitúda v blízkosti rezonancie mení s frekvenciou, tým „ostrejšie“ maximum.

Fenomén rezonancie je často užitočný najmä v akustike a rádiotechnike.

Vlastné oscilácie- netlmené oscilácie v disipatívnom dynamickom systéme s nelineárnou spätnou väzbou, podporované energiou konštanty, tj. neperiodické vonkajší vplyv.

Vlastné oscilácie sa líšia od vynútené vibrácie pretože tie druhé sú spôsobené periodikum vonkajší vplyv a vyskytujú sa s frekvenciou tohto vplyvu, pričom výskyt samokmitov a ich frekvencia sú určené vnútornými vlastnosťami samotného samokmitania.

Termín samooscilácie zaviedol do ruskej terminológie A. A. Andronov v roku 1928.

Príklady[

Príklady samooscilácií sú:

· netlmené kmity kyvadla hodín v dôsledku neustáleho pôsobenia gravitácie závažia hodinového strojčeka;

vibrácie husľovej struny pod vplyvom rovnomerne sa pohybujúceho sláčika

výskyt striedavého prúdu v obvodoch multivibrátora a v iných elektronických generátoroch pri konštantnom napájacom napätí;

kolísanie vzduchového stĺpca v píšťale organu, s rovnomerným prívodom vzduchu do neho. (pozri tiež Stojatá vlna)

rotačné kmity mosadzného hodinového prevodu s oceľovou osou zavesenou na magnete a skrútenou (Gamazkov experiment) (kinetická energia kolesa sa ako pri unipolárnom generátore premieňa na potenciálnu energiu elektrického poľa, potenciálna energia elektrické pole, ako v unipolárnom motore, sa premieňa na kinetickú energiu kolesa atď.)

Maklakovovo kladivo

Kladivo, ktoré udrie v dôsledku energie striedavého prúdu s frekvenciou mnohonásobne nižšou, ako je frekvencia prúdu v elektrickom obvode.

Cievka L oscilačného obvodu je umiestnená nad stolom (alebo iným predmetom, ktorý je potrebné udrieť). Zospodu do nej vstupuje železná rúrka, ktorej spodný koniec je úderová časť kladiva. Rúrka má vertikálnu štrbinu na zníženie Foucaultových prúdov. Parametre oscilačného obvodu sú také, že vlastná frekvencia jeho kmitov sa zhoduje s frekvenciou prúdu v obvode (napríklad striedavý mestský prúd, 50 hertzov).

Po zapnutí prúdu a vytvorení oscilácií sa pozoruje rezonancia prúdov obvodu a vonkajšieho obvodu a železná trubica sa vtiahne do cievky. Indukčnosť cievky sa zvyšuje, oscilačný obvod vystupuje z rezonancie a amplitúda oscilácií prúdu v cievke klesá. Preto sa trubica pod vplyvom gravitácie vráti do pôvodnej polohy - mimo cievky. Potom sa kolísanie prúdu vo vnútri obvodu začne zväčšovať a znova sa spustí rezonancia: trubica sa opäť vtiahne do cievky.

rúrka zaväzuje samooscilácie, teda periodické pohyby hore-dole a pri tom hlasno klope na stôl, ako kladivo. Perióda týchto mechanických samokmitov je desaťkrát väčšia ako perióda striedavého prúdu, ktorý ich podporuje.

Kladivo je pomenované po M. I. Maklakovovi, lektorovi Moskovského inštitútu fyziky a technológie, ktorý navrhol a uskutočnil takýto experiment na demonštráciu vlastných oscilácií.

Mechanizmus vlastných oscilácií

Obr. Mechanizmus vlastných oscilácií

Vlastné oscilácie môžu mať rôznu povahu: mechanickú, tepelnú, elektromagnetickú, chemickú. Mechanizmus výskytu a udržiavania vlastných oscilácií v rôznych systémoch môže byť založený na rôznych zákonoch fyziky alebo chémie. Pre presný kvantitatívny popis vlastných oscilácií rôznych systémov môže byť potrebný iný matematický aparát. Napriek tomu si možno predstaviť schému, ktorá je spoločná pre všetky samooscilačné systémy a kvalitatívne popisuje tento mechanizmus (obr. 1).

Na diagrame: S- zdroj konštantného (neperiodického) vplyvu; R- nelineárny regulátor, ktorý premieňa konštantný efekt na premenný (napríklad prerušovaný v čase), ktorý sa „kýva“ oscilátor V- oscilačný prvok (prvky) sústavy, a oscilácie oscilátora prostredníctvom spätnej väzby B ovládať činnosť regulátora R, nastavenie fáza A frekvencia jeho činy. Disipácia (disipácia energie) v samooscilačnej sústave je kompenzovaná energiou, ktorá do nej vstupuje zo zdroja neustáleho vplyvu, vďaka čomu sa samooscilácie nerozkladajú.

Ryža. 2 Schéma rohatkového mechanizmu kyvadlových hodín

Ak je oscilačný prvok systému schopný sám tlmené oscilácie(tzv. harmonický disipačný oscilátor), vlastné oscilácie (s rovnakým rozptylom a energetickým vstupom do systému počas periódy) sa vytvárajú s frekvenciou blízkou rezonančný pre tento oscilátor sa ich tvar približuje k harmonickému a čím väčšia je amplitúda v určitom rozsahu hodnôt, tým väčšia je veľkosť konštantného vonkajšieho vplyvu.

Príkladom takéhoto systému je rohatkový mechanizmus kyvadlových hodín, ktorého schéma je znázornená na obr. 2. Na osi rohatkového kolesa A(ktorý v tomto systéme plní funkciu nelineárneho regulátora) je konštantný moment sily M prenášané cez ozubené koleso z hlavnej pružiny alebo od závažia. Keď sa koleso točí A jeho zuby dodávajú kyvadlu krátkodobé impulzy sily P(oscilátor), vďaka čomu jeho oscilácie nezmiznú. Kinematika mechanizmu hrá v systéme úlohu spätnej väzby, ktorá synchronizuje otáčanie kolesa s kmitmi kyvadla tak, že počas celej periódy kmitania sa koleso otáča o uhol zodpovedajúci jednému zubu.

Samooscilujúce systémy, ktoré neobsahujú harmonické oscilátory, sa nazývajú relaxácia. Oscilácie v nich sa môžu veľmi líšiť od harmonických a majú obdĺžnikový, trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar. Amplitúda a perióda relaxačných vlastných oscilácií sú určené pomerom veľkosti konštantného pôsobenia a charakteristík zotrvačnosti a disipácie systému.

Ryža. 3 Elektrický zvonček

Najjednoduchším príkladom relaxačných vlastných oscilácií je prevádzka elektrického zvončeka, znázorneného na obr. 3. Zdrojom stálej (neperiodickej) expozície je tu elektrická batéria U; úlohu nelineárneho regulátora plní chopper T, zatváranie a otváranie elektrického obvodu, v dôsledku čoho v ňom vzniká prerušovaný prúd; oscilačné prvky sú magnetické pole periodicky indukované v jadre elektromagnetu E, a kotva A pohybujúce sa pod vplyvom striedavého magnetického poľa. Kmity kotvy poháňajú chopper, ktorý tvorí spätnú väzbu.

Zotrvačnosť tohto systému je určená dvoma rôznymi fyzikálnymi veličinami: momentom zotrvačnosti kotvy A a indukčnosť vinutia elektromagnetu E. Zvýšenie ktoréhokoľvek z týchto parametrov vedie k predĺženiu periódy samooscilácií.

Ak je v systéme viacero prvkov, ktoré kmitajú nezávisle od seba a súčasne pôsobia na nelineárny regulátor alebo regulátory (ktorých môže byť aj niekoľko), môžu samooscilácie nadobudnúť zložitejší charakter, napr. aperiodický, alebo dynamický chaos.

V prírode a technike

Samooscilácie sú základom mnohých prírodných javov:

kolísanie listov rastlín pri pôsobení rovnomerného prúdu vzduchu;

· tvorba turbulentných tokov na ryhách a perejách riek;

Pôsobenie pravidelných gejzírov atď.

Princíp činnosti veľkého množstva rôznych technických zariadení a zariadení je založený na vlastných osciláciách vrátane:

práca so všetkými druhmi hodín, mechanických aj elektrických;

· ozvučenie všetkých dychových a sláčikových hudobných nástrojov;

©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 04.04.2017

Harmonické kmitanie je jav periodickej zmeny nejakej veličiny, pri ktorej má závislosť od argumentu charakter funkcie sínus alebo kosínus. Napríklad množstvo, ktoré sa mení v čase takto harmonicky kolíše:

kde x je hodnota meniacej sa veličiny, t je čas, ostatné parametre sú konštantné: A je amplitúda kmitov, ω je cyklická frekvencia kmitov, je úplná fáza kmitov, je počiatočná fáza kmitov. oscilácie.

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme

(Akékoľvek netriviálne riešenie tejto diferenciálnej rovnice je harmonické kmitanie s cyklickou frekvenciou)

Druhy vibrácií

Voľné kmity sa uskutočňujú pôsobením vnútorných síl systému po vyvedení systému z rovnováhy. Aby boli voľné kmity harmonické, je potrebné, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a nemal by v ňom dochádzať k rozptylu energie (to by spôsobovalo tlmenie).

Nútené kmity sa vykonávajú pod vplyvom vonkajšej periodickej sily. Aby boli harmonické, stačí, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a samotná vonkajšia sila sa v čase mení ako harmonická oscilácia (to znamená, že časová závislosť tejto sily je sínusová) .

Harmonická vibračná rovnica

rovnica (1)

udáva závislosť kolísavej hodnoty S od času t; toto je rovnica voľných harmonických kmitov v explicitnej forme. Rovnica kmitov sa však zvyčajne chápe ako iný záznam tejto rovnice v diferenciálnom tvare. Pre definitívnosť berieme rovnicu (1) v tvare

Rozlišujte to dvakrát s ohľadom na čas:

Je možné vidieť, že platí nasledujúci vzťah:

ktorá sa nazýva rovnica voľných harmonických kmitov (v diferenciálnom tvare). Rovnica (1) je riešením diferenciálnej rovnice (2). Keďže rovnica (2) je diferenciálna rovnica druhého rádu, na získanie úplného riešenia (t. j. na určenie konštánt A a   zahrnutých v rovnici (1) sú potrebné dve počiatočné podmienky); napríklad poloha a rýchlosť oscilačného systému pri t = 0.

Matematické kyvadlo je oscilátor, čo je mechanický systém pozostávajúci z hmotného bodu umiestneného na beztiažovom neroztiahnuteľnom závite alebo na beztiažovej tyči v rovnomernom poli gravitačných síl. Perióda malých vlastných kmitov matematického kyvadla dĺžky l, nehybne zaveseného v rovnomernom gravitačnom poli so zrýchlením voľného pádu g, sa rovná

a nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla.

Fyzické kyvadlo je oscilátor, čo je tuhé teleso, ktoré kmitá v poli akýchkoľvek síl okolo bodu, ktorý nie je ťažiskom tohto telesa, alebo pevnej osi kolmej na smer síl a neprechádzajúceho cez ťažisko tohto telesa.

Oscilácie vznikajúce pôsobením vonkajších, periodicky sa meniacich síl (s periodickým dodávaním energie zvonku do oscilačného systému)

Transformácia energie

Pružinové kyvadlo

Cyklická frekvencia a perióda oscilácie sú:

Hmotný bod pripevnený k dokonale elastickej pružine

Ø graf potenciálnej a kinetickej energie pružinového kyvadla na súradnici x.

Ø kvalitatívne grafy závislostí kinetickej a potenciálnej energie od času.

Ø Nútené

Ø Frekvencia vynútených kmitov sa rovná frekvencii zmien vonkajšej sily

Ø Ak sa Fbc zmení podľa sínusového alebo kosínusového zákona, vynútené oscilácie budú harmonické

Ø Pri samoosciláciách je nutný pravidelný prísun energie z vlastného zdroja vo vnútri oscilačného systému

Harmonické kmity sú kmity, pri ktorých sa oscilujúca hodnota mení s časom podľa zákona sínusu alebo kosínusu

rovnice harmonických kmitov (zákony pohybu bodov) majú tvar

Harmonické vibrácie nazývajú sa také kmity, pri ktorých sa hodnota kmitania mení s časom podľa zákonasínus alebokosínus .
Harmonická vibračná rovnica vyzerá ako:

,
kde - amplitúda oscilácie (hodnota najväčšej odchýlky systému od rovnovážnej polohy); -kruhová (cyklická) frekvencia. Periodicky sa meniaci kosínusový argument - tzv oscilačná fáza . Fáza kmitania určuje posunutie kmitajúcej veličiny z rovnovážnej polohy v danom čase t. Konštanta φ je hodnota fázy v čase t = 0 a nazýva sa počiatočná fáza oscilácie . Hodnota počiatočnej fázy je určená výberom referenčného bodu. Hodnota x môže nadobúdať hodnoty od -A do +A.
Časový interval T, po ktorom sa opakujú určité stavy oscilačného systému, nazývaná perióda oscilácie . Kosínus je periodická funkcia s periódou 2π, preto sa v priebehu času T, po ktorom dostane fáza oscilácie prírastok rovný 2π, stav systému vykonávajúceho harmonické oscilácie zopakuje. Tento časový úsek T sa nazýva perióda harmonických kmitov.
Obdobie harmonických kmitov je : T = 2π/.
Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia oscilácií ν.
Frekvencia harmonických vibrácií sa rovná: ν = 1/T. Jednotka frekvencie hertz(Hz) - jeden kmit za sekundu.
Kruhová frekvencia = 2π/T = 2πν udáva počet kmitov za 2π sekundy.

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme

Graficky možno harmonické kmity znázorniť ako závislosť x na t (obr. 1.1.A) a metóda rotačnej amplitúdy (metóda vektorových diagramov)(Obr.1.1.B) .

Metóda rotačnej amplitúdy umožňuje vizualizovať všetky parametre zahrnuté v rovnici harmonických kmitov. Ak je totiž amplitúdový vektor A umiestnený pod uhlom φ k osi x (pozri obrázok 1.1. B), potom sa jeho priemet na os x bude rovnať: x = Acos(φ). Uhol φ je počiatočná fáza. Ak je vektor A uviesť do rotácie s uhlovou rýchlosťou rovnajúcou sa kruhovej frekvencii kmitov, potom sa projekcia konca vektora bude pohybovať pozdĺž osi x a nadobudne hodnoty v rozmedzí od -A do +A a súradnicu tejto projekcie sa časom zmení podľa zákona:
.
Dĺžka vektora sa teda rovná amplitúde harmonického kmitania, smer vektora v počiatočnom momente zviera s osou x uhol rovný počiatočnej fáze kmitania φ a zmena smeru uhol s časom sa rovná fáze harmonických kmitov. Čas, za ktorý amplitúdový vektor vykoná jednu úplnú otáčku, sa rovná perióde T harmonických kmitov. Počet otáčok vektora za sekundu sa rovná frekvencii kmitov ν.

>> Harmonické vibrácie

§ 22 HARMONICKÉ KMITY

Keď vieme, ako súvisí zrýchlenie a súradnica kmitajúceho telesa, je možné na základe matematickej analýzy nájsť závislosť súradnice od času.

Zrýchlenie je druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas. Okamžitá rýchlosť bod, ako viete z kurzu matematiky, je deriváciou súradnice bodu vzhľadom na čas. Zrýchlenie bodu je derivácia jeho rýchlosti vzhľadom na čas alebo druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas. Preto rovnicu (3.4) môžeme zapísať takto:

kde x " je druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas. Podľa rovnice (3.11) sa pri voľných kmitoch súradnica x mení s časom tak, že druhá derivácia súradnice vzhľadom na čas je priamo úmerná samotnej súradnici a má k nej opačné znamienko.

Z kurzu matematiky je známe, že druhé derivácie sínusu a kosínusu vzhľadom na ich argument sú úmerné samotným funkciám, brané s opačným znamienkom. IN matematická analýza je dokázané, že žiadne iné funkcie túto vlastnosť nemajú. To všetko nám umožňuje oprávnene tvrdiť, že súradnice telesa, ktoré vykonáva voľné kmitanie, sa časom mení podľa zákona sínusu alebo pasínu. Obrázok 3.6 ukazuje zmenu súradnice bodu v čase podľa kosínusového zákona.

Pravidelné zmeny fyzikálne množstvo v závislosti od času, vyskytujúce sa podľa zákona sínusu alebo kosínusu, sa nazývajú harmonické kmity.

Amplitúda oscilácie. Amplitúda harmonických kmitov je modul najväčšieho vychýlenia telesa z rovnovážnej polohy.

Amplitúda môže byť rôzne významy v závislosti od toho, o koľko teleso v počiatočnom okamihu vychýlime z rovnovážnej polohy, alebo od toho, aká rýchlosť sa telesu hlási. Amplitúda je určená počiatočnými podmienkami, alebo skôr energiou odovzdanou telu. Maximálne hodnoty sínusového modulu a kosínusového modulu sa však rovnajú jednej. Preto riešenie rovnice (3.11) nemožno vyjadriť jednoducho sínusom alebo kosínusom. Mal by mať tvar súčinu amplitúdy kmitania x m sínusom alebo kosínusom.

Riešenie rovnice popisujúcej voľné kmitanie. Riešenie rovnice (3.11) zapíšeme v tomto tvare:

a druhá derivácia bude:

Získali sme rovnicu (3.11). Preto je funkcia (3.12) riešením pôvodnej rovnice (3.11). Riešením tejto rovnice bude aj funkcia

Podľa (3.14) je grafom závislosti súradnice telesa od času kosínusová vlna (pozri obr. 3.6).

Perióda a frekvencia harmonických kmitov. Počas vibrácií sa pohyby tela periodicky opakujú. Časový úsek T, počas ktorého systém dokončí jeden úplný cyklus kmitov, sa nazýva perióda kmitov.

Keď poznáte periódu, môžete určiť frekvenciu kmitov, to znamená počet kmitov za jednotku času, napríklad za sekundu. Ak dôjde k jednému kmitu v čase T, potom počet kmitov za sekundu

V medzinárodnom systéme jednotiek (SI) sa frekvencia oscilácií rovná jednej, ak dôjde k jednej oscilácii za sekundu. Jednotka frekvencie sa nazýva hertz (skrátene: Hz) na počesť nemeckého fyzika G. Hertza.

Počet kmitov za 2 s je:

Hodnota - cyklická alebo kruhová frekvencia kmitov. Ak sa v rovnici (3.14) čas t rovná jednej perióde, potom T \u003d 2. Ak teda v čase t \u003d 0 x \u003d x m, potom v čase t \u003d T x \u003d x m, teda cez časový úsek rovný jednej perióde, oscilácie sa opakujú.

Frekvencia voľných kmitov je určená vlastnou frekvenciou oscilačného systému 1.

Závislosť frekvencie a periódy voľných kmitov od vlastností sústavy. Prirodzená frekvencia vibrácií telesa pripevneného k pružine podľa rovnice (3.13) sa rovná:

Je tým väčšia, čím väčšia je tuhosť pružiny k, a čím menšia, tým väčšia je hmotnosť telesa m. To je ľahko pochopiteľné: tuhá pružina dáva telu väčšie zrýchlenie, mení rýchlosť tela rýchlejšie. A čím je telo masívnejšie, tým pomalšie mení rýchlosť pod vplyvom sily. Doba oscilácie je:

So súpravou pružín rôznej tuhosti a telesami rôznych hmotností je ľahké zo skúseností overiť, že vzorce (3.13) a (3.18) správne opisujú povahu závislosti u T na k a m.

Je pozoruhodné, že perióda kmitania telesa na pružine a perióda kmitania kyvadla pri malých uhloch vychýlenia nezávisia od amplitúdy kmitania.

Modul koeficientu úmernosti medzi zrýchlením t a posunutím x v rovnici (3.10), ktorá popisuje kmity kyvadla, je rovnako ako v rovnici (3.11) druhou mocninou cyklickej frekvencie. V dôsledku toho vlastná frekvencia kmitov matematického kyvadla pri malých uhloch odchýlky závitu od vertikály závisí od dĺžky kyvadla a zrýchlenia voľného pádu:

Tento vzorec ako prvý získal a otestoval holandský vedec G. Huygens, súčasník I. Newtona. Platí len pre malé uhly vychýlenia závitu.

1 V nasledujúcom texte budeme často kvôli stručnosti označovať cyklickú frekvenciu jednoducho ako frekvenciu. Cyklickú frekvenciu môžete od bežnej frekvencie rozlíšiť pomocou notácie.

Perióda kmitania sa zvyšuje s dĺžkou kyvadla. Nezávisí od hmotnosti kyvadla. To sa dá ľahko overiť experimentom s rôznymi kyvadlami. Dá sa zistiť aj závislosť periódy kmitania od zrýchlenia voľného pádu. Čím menšie g, tým dlhšia je perióda kmitania kyvadla a tým pomalšie hodiny s kyvadlom. Hodiny s kyvadlom v podobe závažia na tyči teda zaostanú za deň takmer o 3 s, ak sa zdvihnú zo suterénu do horného poschodia Moskovskej univerzity (výška 200 m). A to len vďaka poklesu zrýchlenia voľného pádu s výškou.

V praxi sa využíva závislosť periódy kmitania kyvadla od hodnoty g. Meraním periódy kmitania možno veľmi presne určiť g. Zrýchlenie spôsobené gravitáciou sa mení v závislosti od zemepisnej šírky. Ale ani v danej zemepisnej šírke to nie je všade rovnaké. No predsa hustota zemská kôra nie je všade rovnaký. V oblastiach, kde sa vyskytujú husté horniny, je zrýchlenie g o niečo väčšie. Toto sa berie do úvahy pri hľadaní minerálov.

Železná ruda má teda v porovnaní s bežnými horninami zvýšenú hustotu. Merania gravitačného zrýchlenia pri Kursku, vykonané pod vedením akademika A. A. Michajlova, umožnili objasniť polohu železnej rudy. Prvýkrát boli objavené pomocou magnetických meraní.

Vlastnosti mechanických vibrácií sa využívajú v zariadeniach väčšiny elektronických váh. Telo, ktoré sa má vážiť, sa umiestni na plošinu, pod ktorou je nainštalovaná tuhá pružina. V dôsledku toho existujú mechanické vibrácie, ktorého frekvenciu meria príslušný snímač. Mikroprocesor pripojený k tomuto snímaču prevádza frekvenciu oscilácií na hmotnosť váženého telesa, pretože táto frekvencia závisí od hmotnosti.

Získané vzorce (3.18) a (3.20) pre periódu kmitov naznačujú, že perióda harmonických kmitov závisí od parametrov systému (tuhosť pružiny, dĺžka závitu atď.)

Myakishev G. Ya., Fyzika. 11. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; vyd. V. I. Nikolajev, N. A. Parfenteva. - 17. vyd., prepracované. a dodatočné - M.: Vzdelávanie, 2008. - 399 s.: chor.

Kompletný zoznam tém podľa triedy, kalendárny plán podľa školských osnov fyziky online si stiahnite video materiál z fyziky pre 11. ročník

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samoskúšobné workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie