V moderní společnost schopnost provádět operace s rovnicemi obsahujícími proměnnou druhou mocninu může být užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technickém rozvoji. Důkazem toho mohou být konstrukce námořních a říčních plavidel, letadel a raket. Pomocí takových výpočtů se určují trajektorie pohybu široké škály těles, včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením kvadratické rovnice se používají nejen v ekonomických prognózách, při navrhování a výstavbě budov, ale také v nejběžnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba na pěších výletech, na sportovních akcích, v obchodech při nákupech a v dalších velmi běžných situacích.

Rozdělme výraz na jeho dílčí faktory

Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně proměnné, kterou výraz obsahuje. Pokud se rovná 2, pak se taková rovnice nazývá kvadratická.

Pokud mluvíme jazykem vzorců, pak naznačené výrazy, ať vypadají jakkoliv, lze vždy uvést do podoby, kdy levá strana výrazu sestává ze tří pojmů. Mezi nimi: ax 2 (tj. proměnná na druhou se svým koeficientem), bx (neznámá bez druhé mocniny se svým koeficientem) a c (volná složka, tzn. běžné číslo). To vše na pravé straně je rovno 0. V případě, že takový polynom postrádá jeden ze členů, s výjimkou ax 2, nazývá se neúplnou kvadratickou rovnicí. Nejprve je třeba zvážit příklady s řešením takových problémů, hodnoty proměnných, ve kterých lze snadno najít.

Pokud výraz vypadá, že má na pravé straně dva členy, přesněji ax 2 a bx, nejjednodušší způsob, jak najít x, je dát proměnnou ze závorek. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: x(ax+b). Dále je zřejmé, že buď x=0, nebo problém spočívá v nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax+b=0. To je dáno jednou z vlastností násobení. Pravidlo říká, že součin dvou faktorů má za následek 0 pouze v případě, že jeden z nich je nula.

Příklad

x=0 nebo 8x - 3 = 0

Výsledkem jsou dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popisovat pohyb těles pod vlivem gravitace, která se začala pohybovat od určitého bodu braného jako počátek souřadnic. Zde má matematický zápis následující tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosazením potřebných hodnot, přirovnáním pravé strany k 0 a nalezením možných neznámých můžete zjistit čas, který uplyne od okamžiku, kdy se těleso zvedne do okamžiku jeho pádu, stejně jako mnoho dalších veličin. Ale o tom si povíme později.

Faktorizace výrazu

Výše popsané pravidlo umožňuje řešit tyto problémy více těžké případy. Podívejme se na příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tento kvadratický trinom je kompletní. Nejprve transformujme výraz a rozložme jej. Jsou dva: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením kvadratických rovnic v 9. ročníku umožňují touto metodou najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale dokonce i třetího a čtvrtého řádu.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Při rozkladu pravé strany na faktory s proměnnou jsou tři z nich, tedy (x+1), (x-3) a (x+ 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -1; 3.

Odmocnina

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz reprezentovaný v řeči písmen tak, že pravá strana je sestrojena ze složek ax 2 a c. Zde se pro získání hodnoty proměnné přenese volný člen na pravou stranu a poté se extrahuje z obou stran rovnosti Odmocnina. Je třeba poznamenat, že v tomto případě jsou obvykle dva kořeny rovnice. Jedinou výjimkou mohou být rovnosti, které vůbec neobsahují člen s, kde se proměnná rovná nule, a také varianty výrazů, kdy se pravá strana ukáže jako záporná. V druhém případě neexistují vůbec žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Je třeba zvážit příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet výměry pozemku

Potřeba tohoto druhu výpočtů se objevila ve starověku, protože vývoj matematiky v těchto vzdálených dobách byl do značné míry určován potřebou určit s největší přesností plochy a obvody pozemků.

Měli bychom také zvážit příklady řešení kvadratických rovnic založených na problémech tohoto druhu.

Řekněme tedy, že existuje obdélníkový pozemek, jehož délka je o 16 metrů větší než šířka. Délku, šířku a obvod pozemku byste měli zjistit, pokud víte, že jeho plocha je 612 m2.

Chcete-li začít, nejprve vytvořte potřebnou rovnici. Označme x šířku oblasti, její délka pak bude (x+16). Z napsaného vyplývá, že plocha je určena výrazem x(x+16), což je podle podmínek naší úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.

Řešení úplných kvadratických rovnic, a tento výraz je přesně to, nelze provést stejným způsobem. Proč? Přestože levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich součin se vůbec nerovná 0, takže se zde používají různé metody.

Diskriminační

Nejprve udělejme potřebné transformace vzhled tohoto výrazu bude vypadat takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme obdrželi výraz ve tvaru odpovídajícím dříve specifikovanému standardu, kde a=1, b=16, c=-612.

To by mohl být příklad řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu. Tady potřebné výpočty se vyrábějí podle schématu: D = b 2 - 4ac. Tato pomocná veličina nejenže umožňuje najít požadované veličiny v rovnici druhého řádu, ale určuje počet možných možností. Pokud D>0, jsou dva; pro D=0 je jeden kořen. V případě D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorcích

V našem případě je diskriminant roven: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpověď. Pokud znáte k, řešení kvadratických rovnic musí pokračovat pomocí vzorce níže. Umožňuje vypočítat kořeny.

To znamená, že v prezentovaném případě: x 1 =18, x 2 =-34. Druhá možnost v tomto dilematu nemůže být řešením, protože rozměry pozemku nelze měřit v záporných veličinách, což znamená x (tj. šířka pozemku) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).

Příklady a úkoly

Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Příklady a podrobná řešení několika z nich budou uvedeny níže.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Přesuneme vše na levou stranu rovnosti, provedeme transformaci, to znamená, že dostaneme typ rovnice, který se obvykle nazývá standardní, a srovnáme ji s nulou.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sečtením podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítejme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich se bude rovnat 4/3 a druhý 1.

2) Nyní pojďme řešit záhady jiného druhu.

Pojďme zjistit, zda zde existují nějaké kořeny x 2 - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, zredukujme polynom na odpovídající obvyklý tvar a vypočítejme diskriminant. Ve výše uvedeném příkladu není nutné řešit kvadratickou rovnici, protože to vůbec není podstatou problému. V tomto případě D = 16 - 20 = -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistují žádné kořeny.

Vietova věta

Je vhodné řešit kvadratické rovnice pomocí výše uvedených vzorců a diskriminantu, kdy se druhá odmocnina bere z hodnoty diskriminantu. To se ale nestává vždy. V tomto případě však existuje mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných. Příklad: řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty. Je pojmenována po tom, kdo žil v 16. století ve Francii a udělal skvělou kariéru díky svému matematickému talentu a konexím u dvora. Jeho portrét je k vidění v článku.

Vzor, kterého si slavný Francouz všiml, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice se numericky sčítají na -p=b/a a jejich součin odpovídá q=c/a.

Nyní se podívejme na konkrétní úkoly.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pro zjednodušení výraz transformujme:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použijme Vietovu větu, to nám dá následující: součet kořenů je -7 a jejich součin je -18. Odtud dostaneme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po kontrole se ujistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně zapadají do výrazu.

Parabolový graf a rovnice

Pojmy kvadratická funkce a kvadratické rovnice spolu úzce souvisí. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní se podívejme na některé matematické hádanky trochu podrobněji. Jakákoli rovnice popsaného typu může být znázorněna vizuálně. Takový vztah, nakreslený jako graf, se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou znázorněny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tedy bod, ze kterého vycházejí její větve. Pokud a>0, jdou vysoko do nekonečna, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální reprezentace funkcí pomáhají řešit jakékoli rovnice, včetně kvadratických. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice v bodech, kde se čára grafu protíná s 0x. Souřadnice vrcholu lze zjistit pomocí právě daného vzorce x 0 = -b/2a. A dosazením výsledné hodnoty do původní rovnice funkce lze zjistit y 0, tedy druhou souřadnici vrcholu paraboly, která patří k ose pořadnice.

Průsečík větví paraboly s osou úsečky

Existuje spousta příkladů řešení kvadratických rovnic, ale existují i ​​obecné vzorce. Pojďme se na ně podívat. Je jasné, že průsečík grafu s osou 0x pro a>0 je možný pouze v případě, že 0 nabývá záporných hodnot. A pro a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly můžete také určit kořeny. Platí to i naopak. Tedy pokud získáte vizuální představu kvadratická funkce Není to snadné, můžete pravou stranu výrazu přirovnat k 0 a vyřešit výslednou rovnici. A když známe průsečíky s osou 0x, je jednodušší sestrojit graf.

Z historie

Pomocí rovnic obsahujících druhou mocninu proměnné se za starých časů nejen matematicky počítalo a určovaly plochy geometrických obrazců. Staří lidé potřebovali takové výpočty pro velké objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro vytváření astrologických předpovědí.

Jak moderní vědci naznačují, obyvatelé Babylonu byli mezi prvními, kdo řešili kvadratické rovnice. Stalo se tak čtyři století před naším letopočtem. Jejich výpočty se samozřejmě radikálně lišily od těch, které jsou v současné době přijímány, a ukázalo se, že jsou mnohem primitivnější. Například mezopotámští matematici neměli tušení o existenci záporných čísel. Neznali ani další jemnosti, které zná každý moderní školák.

Možná ještě dříve než vědci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama řešit kvadratické rovnice. Stalo se to asi osm století před Kristovou érou. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které uvedl, byly nejjednodušší. Kromě něj se o podobné otázky za starých časů zajímali i čínští matematici. V Evropě se kvadratické rovnice začaly řešit až na počátku 13. století, ale později je ve svých dílech začali používat takoví velcí vědci jako Newton, Descartes a mnozí další.

Diskriminant je pojem s mnoha hodnotami. V tomto článku budeme hovořit o diskriminantu polynomu, který umožňuje určit, zda má daný polynom platná řešení. Vzorec pro kvadratický polynom se objeví v školní kurz algebra a analýza. Jak najít diskriminanta? Co je potřeba k vyřešení rovnice?

Nazývá se kvadratický polynom nebo rovnice druhého stupně i * w ^ 2 + j * w + k se rovná 0, kde „i“ a „j“ jsou první a druhý koeficient, „k“ je konstanta, někdy nazývaná „odmítavý výraz“ a „w“ je proměnná. Jeho kořeny budou všechny hodnoty proměnné, při které se promění v identitu. Takovou rovnost lze přepsat jako součin i, (w - w1) a (w - w2) rovný 0. V tomto případě je zřejmé, že pokud se koeficient „i“ nestane nulou, pak funkce na levá strana se stane nulou pouze v případě, že x nabývá hodnoty w1 nebo w2. Tyto hodnoty jsou výsledkem nastavení polynomu na nulu.

K nalezení hodnoty proměnné, při které kvadratický polynom zaniká, se používá pomocná konstrukce postavená na jejích koeficientech a nazývaná diskriminant. Tento návrh se vypočítá podle vzorce D se rovná j * j - 4 * i * k. Proč se používá?

1. Říká, zda existují platné výsledky.
2. Pomáhá je vypočítat.

Jak tato hodnota ukazuje přítomnost skutečných kořenů:

• Je-li kladné, lze v oblasti reálných čísel nalézt dva kořeny.
• Pokud je diskriminant nulový, pak jsou obě řešení stejná. Dá se říci, že existuje jediné řešení, a to z oboru reálných čísel.
• Pokud je diskriminant menší než nula, pak polynom nemá žádné skutečné kořeny.

Možnosti kalkulace pro zajištění materiálu

Pro součet (7 * w^2; 3 * w; 1) rovný 0 Vypočítáme D pomocí vzorce 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dostaneme -19. Diskriminační hodnota pod nulou znamená, že na skutečném řádku nejsou žádné výsledky.

Pokud vezmeme v úvahu 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentní 0, pak se D vypočítá jako (-3) na druhou mínus součin čísel (4; 2; 1) a rovná se 9 - 8, tedy 1. Kladná hodnota označuje dva výsledky na reálné čáře.

Pokud vezmeme součet (w ^ 2; 2 * w; 1) a přirovnáme jej k 0, D se vypočítá jako dvě druhé mocniny mínus součin čísel (4; 1; 1). Tento výraz se zjednoduší na 4 - 4 a půjde na nulu. Ukazuje se, že výsledky jsou stejné. Když se na tento vzorec podíváte pozorně, bude jasné, že jde o „ dokonalý čtverec" To znamená, že rovnost lze přepsat ve tvaru (w + 1) ^ 2 = 0. Ukázalo se, že výsledek v tomto problému je „-1“. V situaci, kdy se D rovná 0, lze levou stranu rovnosti vždy sbalit pomocí vzorce „druhá mocnina součtu“.

Použití diskriminantu při výpočtu kořenů

Tato pomocná konstrukce nejen ukazuje počet reálných řešení, ale pomáhá je také najít. Obecný výpočetní vzorec pro rovnici druhého stupně je:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kde d je diskriminant k mocnině 1/2.

Řekněme, že diskriminant je pod nulou, pak d je imaginární a výsledky jsou imaginární.

D je nula, pak d rovno D k mocnině 1/2 je také nula. Řešení: -j / (2 * i). Opět uvážíme-li 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, najdeme výsledky ekvivalentní -2 / (2 * 1) = -1.

Předpokládejme, že D > 0, pak d je reálné číslo a odpověď se zde rozdělí na dvě části: w1 = (-j + d) / (2 * i) a w2 = (-j - d) / (2 * i ). Oba výsledky budou platné. Podívejme se na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Zde jsou diskriminanty a d jedničky. Ukazuje se, že w1 se rovná (3 + 1) děleno (2 * 2) nebo 1 a w2 je rovno (3 - 1) děleno 2 * 2 nebo 1/2.

Výsledek přirovnání kvadratického výrazu k nule se vypočítá podle algoritmu:

1. Určení počtu platných řešení.
2. Výpočet d = D^(1/2).
3. Nalezení výsledku podle vzorce (-j +/- d) / (2 * i).
4. Dosazení získaného výsledku do původní rovnosti pro ověření.

Některé speciální případy

V závislosti na koeficientech může být řešení poněkud zjednodušeno. Je zřejmé, že pokud je koeficient proměnné k druhé mocnině nulový, získá se lineární rovnost. Když je koeficient proměnné k první mocnině nulový, jsou možné dvě možnosti:

1. polynom je rozšířen na rozdíl druhých mocnin, když je volný člen záporný;
2. pro kladnou konstantu nelze nalézt žádná skutečná řešení.

Pokud je volný člen nula, pak kořeny budou (0; -j)

Existují ale i další speciální případy, které hledání řešení zjednodušují.

Snížená rovnice druhého stupně

Dané se říká takový kvadratický trinom, kde koeficient vedoucího členu je jedna. Pro tuto situaci platí Vietův teorém, který říká, že součet kořenů se rovná koeficientu proměnné k první mocnině, násobeném -1, a součin odpovídá konstantě „k“.

Proto se w1 + w2 rovná -j a w1 * w2 se rovná k, pokud je první koeficient jedna. Pro ověření správnosti tohoto znázornění můžete z prvního vzorce vyjádřit w2 = -j - w1 a dosadit ho do druhé rovnosti w1 * (-j - w1) = k. Výsledkem je původní rovnost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Je důležité poznamenat, že i * w ^ 2 + j * w + k = 0 lze dosáhnout dělením „i“. Výsledek bude: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kde j1 se rovná j/i a k1 se rovná k/i.

Podívejme se na již vyřešené 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 s výsledky w1 = 1 a w2 = 1/2. Musíme to rozdělit na polovinu, ve výsledku w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Zkontrolujme, že pro nalezené výsledky platí podmínky věty: 1 + 1/2 = 3/ 2 a 1 x 1/2 = 1/2.

Dokonce i druhý faktor

Pokud je faktor proměnné k první mocnině (j) dělitelný 2, pak bude možné vzorec zjednodušit a hledat řešení přes čtvrtinu diskriminantu D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. vyjde w = (-j +/- d/2) / i, kde d/2 = D/4 na mocninu 1/2.

Pokud i = 1 a koeficient j je sudý, pak řešení bude součinem -1 a poloviny koeficientu proměnné w plus/minus odmocnina druhé mocniny této poloviny mínus konstanta „k“. Vzorec: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Vyšší diskriminační řád

Diskriminant trinomu druhého stupně diskutovaný výše je nejčastěji používaným speciálním případem. V obecném případě je diskriminant polynomu násobené čtverce rozdílů kořenů tohoto polynomu. Diskriminant rovný nule tedy indikuje přítomnost alespoň dvou vícenásobných řešení.

Uvažujme i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Předpokládejme, že diskriminant přesahuje nulu. To znamená, že v oblasti reálných čísel jsou tři kořeny. V nule existuje více řešení. Pokud D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naše video vám podrobně řekne o výpočtu diskriminantu.

Nedostali jste odpověď na svou otázku? Navrhněte autorům téma.

První úroveň

Kvadratické rovnice. Komplexní průvodce (2019)

V termínu „kvadratická rovnice“ je klíčové slovo „kvadratická“. To znamená, že rovnice musí nutně obsahovat proměnnou (totéž x) na druhou a nemělo by existovat xes na třetí (nebo větší) mocninu.

Řešení mnoha rovnic spočívá v řešení kvadratických rovnic.

Naučme se určit, že se jedná o kvadratickou rovnici a ne o nějakou jinou rovnici.

Příklad 1.

Zbavme se jmenovatele a vynásobme každý člen rovnice

Přesuňme vše na levou stranu a uspořádejme členy sestupně podle mocnin X

Nyní můžeme s jistotou říci, že tato rovnice je kvadratická!

Příklad 2

Vynásobte levou a pravou stranu:

Tato rovnice, ačkoliv v ní původně byla, není kvadratická!

Příklad 3

Vše vynásobme:

děsivé? Čtvrtý a druhý stupeň... Pokud však provedeme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchou kvadratickou rovnici:

Příklad 4.

Zdá se, že tam je, ale pojďme se na to podívat blíže. Přesuneme vše na levou stranu:

Vidíte, je to zmenšené – a teď je to jednoduchá lineární rovnice!

Nyní zkuste sami určit, které z následujících rovnic jsou kvadratické a které ne:

Příklady:

Odpovědi:

1. náměstí;
2. náměstí;
3. ne čtvercový;
4. ne čtvercový;
5. ne čtvercový;
6. náměstí;
7. ne čtvercový;
8. náměstí.

Matematici konvenčně rozdělují všechny kvadratické rovnice do následujících typů:

• Kompletní kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficienty a stejně jako volný člen c nerovnají nule (jako v příkladu). Kromě toho mezi úplnými kvadratickými rovnicemi existují daný- jedná se o rovnice, ve kterých je koeficient (rovnice z příkladu 1 nejen kompletní, ale i redukovaný!)

• Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:

  Jsou neúplné, protože v nich chybí nějaký prvek. Ale rovnice musí vždy obsahovat x na druhou!!! Jinak to už nebude kvadratická rovnice, ale nějaká jiná rovnice.

Proč přišli s takovým rozdělením? Zdálo by se, že existuje X na druhou, a dobře. Toto rozdělení je určeno metodami řešení. Podívejme se na každou z nich podrobněji.

Řešení neúplných kvadratických rovnic

Nejprve se zaměřme na řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou mnohem jednodušší!

Existují typy neúplných kvadratických rovnic:

1. , v této rovnici je koeficient roven.
2. , v této rovnici je volný člen roven.
3. , v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.

1. i. Protože víme, jak vzít druhou odmocninu, vyjádřeme se z této rovnice

Výraz může být negativní nebo pozitivní. Druhé číslo nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo, takže: pokud, pak rovnice nemá řešení.

A pokud, pak dostaneme dva kořeny. Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc je, že musíte vědět a vždy si pamatovat, že to nemůže být méně.

Zkusme vyřešit nějaké příklady.

Příklad 5:

Vyřešte rovnici

Nyní zbývá pouze vytáhnout kořen z levé a pravé strany. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny?

Odpovědět:

Nikdy nezapomínejte na kořeny se záporným znaménkem!!!

Příklad 6:

Vyřešte rovnici

Odpovědět:

Příklad 7:

Vyřešte rovnici

Ach! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice

žádné kořeny!

Pro takové rovnice, které nemají kořeny, přišli matematici se speciální ikonou - (prázdná množina). A odpověď lze napsat takto:

Odpovědět:

Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme nevytáhli kořen.
Příklad 8:

Vyřešte rovnici

Vyjmeme společný faktor ze závorek:

Tím pádem,

Tato rovnice má dva kořeny.

Odpovědět:

Nejjednodušší typ neúplných kvadratických rovnic (ačkoli jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:

Zde se obejdeme bez příkladů.

Řešení úplných kvadratických rovnic

Připomínáme, že úplná kvadratická rovnice je rovnice tvaru rovnice kde

Řešení úplných kvadratických rovnic je trochu obtížnější (jen trochu) než tyto.

Pamatovat si, Libovolnou kvadratickou rovnici lze vyřešit pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.

Ostatní metody vám pomohou udělat to rychleji, ale pokud máte problémy s kvadratickými rovnicemi, nejprve si osvojte řešení pomocí diskriminantu.

1. Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu.

Řešení kvadratických rovnic pomocí této metody je velmi jednoduché, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců.

Pokud, pak má rovnice kořen. Speciální pozornost udělat krok. Diskriminant () nám říká počet kořenů rovnice.

• Pokud, pak se vzorec v kroku zmenší na. Rovnice tedy bude mít pouze kořen.
• Pokud, pak nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnice nemá kořeny.

Vraťme se k našim rovnicím a podívejme se na některé příklady.

Příklad 9:

Vyřešte rovnici

Krok 1 přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

To znamená, že rovnice má dva kořeny.

Krok 3

Odpovědět:

Příklad 10:

Vyřešte rovnici

Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

To znamená, že rovnice má jeden kořen.

Odpovědět:

Příklad 11:

Vyřešte rovnici

Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.

Krok 2.

Najdeme diskriminační:

To znamená, že nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu. Neexistují žádné kořeny rovnice.

Nyní víme, jak takové odpovědi správně zapsat.

Odpovědět:žádné kořeny

2. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.

Pokud si pamatujete, existuje typ rovnice, který se nazývá redukovaný (když koeficient a je roven):

Takové rovnice lze velmi snadno vyřešit pomocí Vietovy věty:

Součet kořenů daný kvadratická rovnice se rovná a součin kořenů se rovná.

Příklad 12:

Vyřešte rovnici

Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože .

Součet kořenů rovnice je roven, tzn. dostaneme první rovnici:

A produkt se rovná:

Pojďme složit a vyřešit systém:

• A. Částka se rovná;
• A. Částka se rovná;
• A. Částka je stejná.

a jsou řešením systému:

Odpovědět: ; .

Příklad 13:

Vyřešte rovnici

Odpovědět:

Příklad 14:

Vyřešte rovnici

Rovnice je dána, což znamená:

Odpovědět:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Co je to kvadratická rovnice?

Jinými slovy, kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde - neznámá, - nějaká čísla a.

Číslo se nazývá nejvyšší resp první koeficient kvadratická rovnice, - druhý koeficient, A - volný člen.

Proč? Protože pokud se rovnice okamžitě stane lineární, protože zmizí.

V tomto případě a může být rovno nule. V této židli se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny termíny na svém místě, to znamená, že rovnice je kompletní.

Řešení různých typů kvadratických rovnic

Metody řešení neúplných kvadratických rovnic:

Nejprve se podívejme na metody řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou jednodušší.

Můžeme rozlišit následující typy rovnic:

I., v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.

II. , v této rovnici je koeficient roven.

III. , v této rovnici je volný člen roven.

Nyní se podívejme na řešení každého z těchto podtypů.

Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:

Druhé číslo nemůže být záporné, protože když vynásobíte dvě záporná nebo dvě kladná čísla, výsledkem bude vždy kladné číslo. Proto:

jestliže, pak rovnice nemá řešení;

máme-li dva kořeny

Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc k zapamatování je, že to nemůže být méně.

Příklady:

Řešení:

Odpovědět:

Nikdy nezapomeňte na kořeny se záporným znaménkem!

Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice

žádné kořeny.

Abychom stručně zapsali, že problém nemá řešení, použijeme ikonu prázdné sady.

Odpovědět:

Takže tato rovnice má dva kořeny: a.

Odpovědět:

Vyjmeme společný faktor ze závorek:

Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To znamená, že rovnice má řešení, když:

Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny: a.

Příklad:

Vyřešte rovnici.

Řešení:

Rozložme levou stranu rovnice a najdeme kořeny:

Odpovědět:

Metody řešení úplných kvadratických rovnic:

1. Diskriminační

Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je snadné, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců. Pamatujte, že každá kvadratická rovnice může být vyřešena pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.

Všimli jste si kořene z diskriminantu ve vzorci pro odmocniny? Ale diskriminant může být negativní. Co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost kroku 2. Diskriminant nám říká počet kořenů rovnice.

• Pokud, pak má rovnice kořeny:
• Pokud, pak má rovnice stejné kořeny a ve skutečnosti jeden kořen:

  Takové kořeny se nazývají dvojité kořeny.

• Pokud, pak kořen diskriminantu není extrahován. To znamená, že rovnice nemá kořeny.

Proč je to možné? různá množství kořeny? Vraťme se ke geometrickému významu kvadratické rovnice. Grafem funkce je parabola:

Ve speciálním případě, kterým je kvadratická rovnice, . To znamená, že kořeny kvadratické rovnice jsou průsečíky s osou úsečky (osa). Parabola nemusí osu protínat vůbec, nebo ji může protínat v jednom (když vrchol paraboly leží na ose) nebo dvou bodech.

Kromě toho je koeficient zodpovědný za směr větví paraboly. Jestliže, pak větve paraboly směřují nahoru a jestliže, pak dolů.

Příklady:

Řešení:

Odpovědět:

Odpovědět: .

Odpovědět:

To znamená, že neexistují žádná řešení.

Odpovědět: .

2. Vietova věta

Je velmi snadné použít Vietovu větu: stačí vybrat dvojici čísel, jejichž součin se rovná volnému členu rovnice a součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem.

Je důležité si uvědomit, že Vietův teorém lze použít pouze v redukované kvadratické rovnice ().

Podívejme se na několik příkladů:

Příklad č. 1:

Vyřešte rovnici.

Řešení:

Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože . Další koeficienty: ; .

Součet kořenů rovnice je:

A produkt se rovná:

Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a zkontrolujeme, zda se jejich součet rovná:

• A. Částka se rovná;
• A. Částka se rovná;
• A. Částka je stejná.

a jsou řešením systému:

Tak, a jsou kořeny naší rovnice.

Odpovědět: ; .

Příklad č. 2:

Řešení:

Vyberme dvojice čísel, které dávají v součinu, a pak zkontrolujte, zda se jejich součet rovná:

a: dávají celkem.

a: dávají celkem. K získání stačí jednoduše změnit znaky předpokládaných kořenů: a koneckonců i produkt.

Odpovědět:

Příklad č. 3:

Řešení:

Volný člen rovnice je záporný, a proto je součin kořenů záporné číslo. To je možné pouze v případě, že jeden z kořenů je záporný a druhý kladný. Součet kořenů je tedy roven rozdíly jejich modulů.

Vyberme dvojice čísel, které dávají součin a jejichž rozdíl je roven:

a: jejich rozdíl je stejný - nesedí;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Nezbývá než si připomenout, že jeden z kořenů je negativní. Protože jejich součet se musí rovnat, odmocnina s menším modulem musí být záporná: . Kontrolujeme:

Odpovědět:

Příklad č. 4:

Vyřešte rovnici.

Řešení:

Rovnice je dána, což znamená:

Volný člen je záporný, a proto je součin kořenů záporný. A to je možné pouze tehdy, když je jeden kořen rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a pak určíme, které kořeny by měly mít záporné znaménko:

Je zřejmé, že pouze kořeny a jsou vhodné pro první podmínku:

Odpovědět:

Příklad č. 5:

Vyřešte rovnici.

Řešení:

Rovnice je dána, což znamená:

Součet kořenů je záporný, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je záporný. Ale protože jejich produkt je pozitivní, znamená to, že oba kořeny mají znaménko mínus.

Vyberme dvojice čísel, jejichž součin je roven:

Je zřejmé, že kořeny jsou čísla a.

Odpovědět:

Souhlasíte, je velmi výhodné přijít s kořeny ústně, namísto počítání tohoto ošklivého diskriminantu. Snažte se co nejčastěji používat Vietovu větu.

Ale Vietův teorém je potřebný, aby se usnadnilo a urychlilo hledání kořenů. Abyste z jeho používání měli užitek, musíte akce zautomatizovat. A k tomu vyřešte dalších pět příkladů. Ale nepodvádějte: nemůžete použít diskriminant! Pouze Vietův teorém:

Řešení úkolů pro samostatnou práci:

Úkol 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podle Vietovy věty:

Jako obvykle začínáme výběr kouskem:

Nevhodné, protože množství;

: částka je přesně to, co potřebujete.

Odpovědět: ; .

Úkol 2.

A opět naše oblíbená Vieta věta: součet se musí rovnat a součin se musí rovnat.

Ale protože to musí být ne, ale, měníme znaménka kořenů: a (celkem).

Odpovědět: ; .

Úkol 3.

Hmm... Kde to je?

Musíte přesunout všechny termíny do jedné části:

Součet kořenů se rovná součinu.

Dobře, přestaň! Rovnice není dána. Ale Vietův teorém je použitelný pouze v daných rovnicích. Takže nejprve musíte dát rovnici. Pokud neumíte vést, vzdejte se této myšlenky a vyřešte ji jiným způsobem (například diskriminantem). Dovolte mi, abych vám připomněl, že zadat kvadratickou rovnici znamená, že se vedoucí koeficient rovná:

Skvělý. Potom se součet kořenů rovná a součin.

Zde je výběr stejně snadný jako loupání hrušek: koneckonců je to prvočíslo (omlouvám se za tautologii).

Odpovědět: ; .

Úkol 4.

Volný člen je záporný. Co je na tom zvláštního? A faktem je, že kořeny budou mít různá znamení. A nyní, během výběru, nekontrolujeme součet kořenů, ale rozdíl v jejich modulech: tento rozdíl je roven, ale součin.

Kořeny se tedy rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Vietův teorém nám říká, že součet kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, tzn. To znamená, že menší kořen bude mít mínus: a od.

Odpovědět: ; .

Úkol 5.

Co byste měli udělat jako první? Přesně tak, dej rovnici:

Opět: vybereme faktory čísla a jejich rozdíl by se měl rovnat:

Kořeny se rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Který? Jejich součet by se měl rovnat, což znamená, že mínus bude mít větší odmocninu.

Odpovědět: ; .

Dovolte mi to shrnout:

1. Vietův teorém se používá pouze v uvedených kvadratických rovnicích.
2. Pomocí Vietovy věty můžete najít kořeny výběrem, ústně.
3. Pokud rovnice není dána nebo není nalezena vhodná dvojice faktorů volného členu, pak neexistují celé kořeny a je třeba to řešit jiným způsobem (například přes diskriminant).

3. Metoda výběru celého čtverce

Pokud jsou všechny členy obsahující neznámou reprezentovány ve formě členů ze zkrácených vzorců pro násobení - druhé mocniny součtu nebo rozdílu - pak po nahrazení proměnných může být rovnice prezentována ve formě neúplné kvadratické rovnice typu.

Například:

Příklad 1:

Řešte rovnici: .

Řešení:

Odpovědět:

Příklad 2:

Řešte rovnici: .

Řešení:

Odpovědět:

V obecný pohled transformace bude vypadat takto:

Z toho vyplývá: .

Nepřipomíná vám to nic? To je diskriminační věc! Přesně tak jsme dostali diskriminační vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Kvadratická rovnice- jedná se o rovnici tvaru, kde - neznámá, - koeficienty kvadratické rovnice, - volný člen.

Kompletní kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficienty nerovnají nule.

Redukovaná kvadratická rovnice- rovnice, ve které je koeficient, tj.: .

Neúplná kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:

• pokud je koeficient, rovnice vypadá takto: ,
• pokud existuje volný člen, rovnice má tvar: ,
• jestliže a, rovnice vypadá takto: .

1. Algoritmus pro řešení neúplných kvadratických rovnic

1.1. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:

1) Vyjádřeme neznámé: ,

2) Zkontrolujte znaménko výrazu:

• jestliže, pak rovnice nemá řešení,
• jestliže, pak má rovnice dva kořeny.

1.2. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:

1) Vyjmeme společný faktor ze závorek: ,

2) Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Rovnice má tedy dva kořeny:

1.3. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:

Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: .

2. Algoritmus pro řešení úplných kvadratických rovnic ve tvaru kde

2.1. Řešení pomocí diskriminantu

1) Uveďme rovnici do standardního tvaru: ,

2) Vypočítejme diskriminant pomocí vzorce: , který udává počet kořenů rovnice:

3) Najděte kořeny rovnice:

• jestliže, pak rovnice má kořeny, které najdeme podle vzorce:
• jestliže, pak má rovnice kořen, který se najde podle vzorce:
• jestliže, pak rovnice nemá kořeny.

2.2. Řešení pomocí Vietovy věty

Součet kořenů redukované kvadratické rovnice (rovnice tvaru kde) je roven a součin kořenů je roven, tzn. , A.

2.3. Řešení metodou výběru úplného čtverce

Kvadratická rovnice - snadné řešení! *Dále jen „KU“. Přátelé, zdálo by se, že v matematice nemůže být nic jednoduššího než řešení takové rovnice. Ale něco mi říkalo, že mnoho lidí s ním má problémy. Rozhodl jsem se zjistit, kolik zobrazení na vyžádání Yandex za měsíc rozdá. Zde je to, co se stalo, podívejte se:

Co to znamená? To znamená, že měsíčně vyhledává asi 70 000 lidí tato informace, co s tím má společného letošní léto a co se mezi nimi stane školní rok— žádostí bude dvakrát tolik. To není překvapivé, protože tyto informace hledají ti kluci a dívky, kteří již dávno ukončili školu a připravují se na jednotnou státní zkoušku, a také školáci se snaží osvěžit si paměť.

Navzdory skutečnosti, že existuje spousta stránek, které vám poradí, jak tuto rovnici vyřešit, rozhodl jsem se také přispět a materiál zveřejnit. Za prvé chci, aby návštěvníci přišli na můj web na základě tohoto požadavku; za druhé, v dalších článcích, až se objeví téma „KU“, uvedu odkaz na tento článek; za třetí, řeknu vám o jeho řešení trochu více, než je obvykle uvedeno na jiných stránkách. Začněme! Obsah článku:

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru:

kde koeficienty a,ba c jsou libovolná čísla, přičemž a≠0.

Ve školním kurzu je látka uvedena v následující podobě - ​​rovnice jsou rozděleny do tří tříd:

1. Mají dva kořeny.

2. *Mít pouze jeden kořen.

3. Nemají kořeny. Zde stojí za zmínku zejména to, že nemají skutečné kořeny

Jak se počítají kořeny? Prostě!

Vypočítáme diskriminant. Pod tímto „strašným“ slovem se skrývá velmi jednoduchý vzorec:

Kořenové vzorce jsou následující:

*Tyto vzorce musíte znát nazpaměť.

Můžete okamžitě napsat a vyřešit:

Příklad:

1. Je-li D > 0, pak má rovnice dva kořeny.

2. Je-li D = 0, pak má rovnice jeden kořen.

3. Pokud D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Podívejme se na rovnici:

V tomto ohledu, když je diskriminant roven nule, školní kurz říká, že se získá jeden odmocnina, zde je roven devíti. Všechno je správně, je to tak, ale...

Tato myšlenka je poněkud nesprávná. Ve skutečnosti existují dva kořeny. Ano, ano, nedivte se, dostanete dva stejné kořeny, a abychom byli matematicky přesní, pak by odpověď měla psát dva kořeny:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. Ve škole si to můžete zapsat a říct, že existuje jeden kořen.

Nyní další příklad:

Jak víme, kořen záporné číslo není extrahován, takže v tomto případě neexistuje žádné řešení.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkce.

To ukazuje, jak vypadá řešení geometricky. To je nesmírně důležité pochopit (v budoucnu v jednom z článků podrobně rozebereme řešení kvadratické nerovnosti).

Toto je funkce formuláře:

kde x a y jsou proměnné

a, b, c – daná čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že se ukáže, že řešením kvadratické rovnice s „y“ rovným nule najdeme průsečíky paraboly s osou x. Mohou existovat dva z těchto bodů (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žádný (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratické funkci Můžete prohlížetčlánek Inny Feldmanové.

Podívejme se na příklady:

Příklad 1: Řešte 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpověď: x 1 = 8 x 2 = –12

*Levou a pravou stranu rovnice bylo možné okamžitě vydělit 2, tedy zjednodušit. Výpočty budou jednodušší.

Příklad 2: Rozhodni se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Zjistili jsme, že x 1 = 11 a x 2 = 11

V odpovědi je přípustné napsat x = 11.

Odpověď: x = 11

Příklad 3: Rozhodni se x 2 – 8 x + 72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálných číslech neexistuje řešení.

Odpověď: žádné řešení

Diskriminant je záporný. Existuje řešení!

Zde budeme hovořit o řešení rovnice v případě, že dostaneme záporný diskriminant. Víte něco o komplexní čísla? Nebudu se zde rozepisovat o tom, proč a kde vznikly a jaká je jejich specifická role a nutnost v matematice, to je téma na velký samostatný článek.

Koncept komplexního čísla.

Trochu teorie.

Komplexní číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b jsou reálná čísla, i je tzv. imaginární jednotka.

a+bi – toto je JEDNO ČÍSLO, nikoli sčítání.

Imaginární jednotka se rovná odmocnině mínus jedna:

Nyní zvažte rovnici:

Získáme dva konjugované kořeny.

Neúplná kvadratická rovnice.

Uvažujme speciální případy, kdy koeficient „b“ nebo „c“ je roven nule (nebo jsou oba rovny nule). Lze je snadno vyřešit bez jakýchkoli diskriminátorů.

Případ 1. Koeficient b = 0.

Rovnice se stává:

Pojďme se transformovat:

Příklad:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Případ 2. Koeficient c = 0.

Rovnice se stává:

Pojďme transformovat a faktorizovat:

*Součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.

Příklad:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 nebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Případ 3. Koeficienty b = 0 ac = 0.

Zde je jasné, že řešení rovnice bude vždy x = 0.

Užitečné vlastnosti a vzorce koeficientů.

Existují vlastnosti, které umožňují řešit rovnice s velkými koeficienty.

AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost

A + b+ c = 0,Že

- pokud pro koeficienty rovnice AX 2 + bx+ C=0 platí rovnost

A+ c =b, Že

Tyto vlastnosti pomáhají řešit určitý typ rovnic.

Příklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Součet kurzů je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, což znamená

Příklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnost platí A+ c =b, Prostředek

Zákonitosti koeficientů.

1. Je-li v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Je-li v rovnici ax 2 – bx + c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 +1) a koeficient „c“ číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Je-li v rov. ax 2 + bx – c = 0 koeficient „b“ se rovná (a 2 – 1) a koeficient „c“ se číselně rovná koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny stejné

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Je-li v rovnici ax 2 – bx – c = 0 koeficient „b“ roven (a 2 – 1) a koeficient c je číselně roven koeficientu „a“, pak jsou jeho kořeny rovny

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Příklad. Uvažujme rovnici 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietova věta.

Vietův teorém je pojmenován po slavném francouzském matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocí Vietovy věty můžeme vyjádřit součet a součin kořenů libovolné KU pomocí jejích koeficientů.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Celkově číslo 14 dává pouze 5 a 9. To jsou kořeny. S určitou dovedností, pomocí předložené věty, můžete okamžitě vyřešit mnoho kvadratických rovnic ústně.

Navíc Vietův teorém. Je výhodné v tom, že po vyřešení kvadratické rovnice obvyklým způsobem (přes diskriminant) lze výsledné kořeny zkontrolovat. Doporučuji to dělat vždy.

ZPŮSOB DOPRAVY

U této metody se koeficient „a“ násobí volným členem, jako by mu byl „hozen“, proto se nazývá "přenosová" metoda. Tato metoda se používá, když lze kořeny rovnice snadno najít pomocí Vietovy věty a hlavně, když je diskriminant přesný čtverec.

Li A± b+c≠ 0, pak se použije technika přenosu, například:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Pomocí Vietovy věty v rovnici (2) je snadné určit, že x 1 = 10 x 2 = 1

Výsledné kořeny rovnice je třeba vydělit 2 (protože byly „vyhozeny“ z x 2), dostaneme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jaké je zdůvodnění? Podívej, co se děje.

Diskriminanty rovnic (1) a (2) jsou stejné:

Pokud se podíváte na kořeny rovnic, dostanete pouze různé jmenovatele a výsledek závisí přesně na koeficientu x 2:

Druhý (upravený) má kořeny, které jsou 2x větší.

Proto výsledek vydělíme 2.

*Pokud trojici přehodíme, vydělíme výsledek 3 atd.

Odpověď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie a Jednotná státní zkouška.

Krátce vám řeknu o jeho důležitosti – MUSÍTE SE UMĚT ROZHODOVAT rychle a bez přemýšlení, musíte znát vzorce odmocnin a rozlišovačů nazpaměť. Mnoho problémů obsažených v úlohách jednotné státní zkoušky se scvrkává na řešení kvadratické rovnice (včetně geometrických).

Něco, co stojí za zmínku!

1. Forma zápisu rovnice může být „implicitní“. Je například možný následující záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 nebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 nebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte to přinést do standardního formuláře (abyste se při řešení nespletli).

2. Pamatujte, že x je neznámá veličina a lze ji označit libovolným jiným písmenem - t, q, p, h a dalšími.

Problémy kvadratických rovnic jsou studovány jak ve školních osnovách, tak na univerzitách. Znamenají rovnice tvaru a*x^2 + b*x + c = 0, kde X- proměnná, a, b, c – konstanty; A<>0 Úkolem je najít kořeny rovnice.

Geometrický význam kvadratické rovnice

Grafem funkce, která je reprezentována kvadratickou rovnicí, je parabola. Řešení (kořeny) kvadratické rovnice jsou průsečíky paraboly s osou x. Z toho vyplývá, že existují tři možné případy:
1) parabola nemá žádné průsečíky s osou úsečky. To znamená, že je v horní rovině s větvemi nahoru nebo dole s větvemi dolů. V takových případech nemá kvadratická rovnice žádné reálné kořeny (má dva komplexní kořeny).

2) parabola má jeden průsečík s osou Ox. Takový bod se nazývá vrchol paraboly a kvadratická rovnice v něm nabývá své minimální nebo maximální hodnoty. V tomto případě má kvadratická rovnice jeden skutečný kořen (nebo dva stejné kořeny).

3) Poslední případ je v praxi zajímavější - jsou zde dva průsečíky paraboly s osou úsečky. To znamená, že existují dva skutečné kořeny rovnice.

Na základě analýzy koeficientů mocnin proměnných lze vyvodit zajímavé závěry o umístění paraboly.

1) Je-li koeficient a větší než nula, pak větve paraboly směřují nahoru, pokud je záporný, směřují větve paraboly dolů.

2) Je-li koeficient b větší než nula, pak vrchol paraboly leží v levé polorovině, nabývá-li záporné hodnoty, pak v pravé.

Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice

Přenesme konstantu z kvadratické rovnice

pro rovnítko dostaneme výraz

Vynásobte obě strany 4a

Chcete-li získat úplný čtverec nalevo, přidejte b^2 na obě strany a proveďte transformaci

Odtud najdeme

Vzorec pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice

Diskriminant je hodnota radikálového výrazu. Pokud je kladný, pak má rovnice dva reálné kořeny, vypočítané podle vzorce Když je diskriminant nulový, má kvadratická rovnice jedno řešení (dva shodné kořeny), které lze snadno získat z výše uvedeného vzorce pro D = 0. Když je diskriminant záporný, rovnice nemá žádné skutečné kořeny. Abychom však našli řešení kvadratické rovnice v komplexní rovina a jejich hodnota se vypočítá pomocí vzorce

Vietova věta

Uvažujme dva kořeny kvadratické rovnice a na jejich základě sestrojme kvadratickou rovnici Vlastní Vietův teorém snadno vyplývá ze zápisu: máme-li kvadratickou rovnici tvaru pak součet jejích kořenů je roven koeficientu p s opačným znaménkem a součin kořenů rovnice je roven volnému členu q. Formulická reprezentace výše uvedeného bude vypadat takto: Pokud je v klasické rovnici konstanta a nenulová, musíte jí vydělit celou rovnici a poté použít Vietovu větu.

Rozvrh faktoringové kvadratické rovnice

Nechť je úloha nastavena: vynásobte kvadratickou rovnici. K tomu nejprve vyřešíme rovnici (najdeme kořeny). Dále dosadíme nalezené kořeny do expanzního vzorce pro kvadratickou rovnici, čímž se problém vyřeší.

Úlohy kvadratických rovnic

Úkol 1. Najděte kořeny kvadratické rovnice

x^2-26x+120=0.

Řešení: Zapište koeficienty a dosaďte je do diskriminačního vzorce

Odmocnina této hodnoty je 14, lze ji snadno najít pomocí kalkulačky nebo si ji při častém používání zapamatovat, nicméně pro pohodlí vám na konci článku uvedu seznam druhých mocnin čísel, se kterými se lze často setkat v takové problémy.
Nalezenou hodnotu dosadíme do kořenového vzorce

a dostaneme

Úkol 2. Vyřešte rovnici

2x 2 +x-3=0.

Řešení: Máme kompletní kvadratickou rovnici, vypište koeficienty a najděte diskriminant


Pomocí známých vzorců najdeme kořeny kvadratické rovnice

Úkol 3. Vyřešte rovnici

9x 2 -12x+4=0.

Řešení: Máme úplnou kvadratickou rovnici. Určení diskriminantu

Máme případ, kdy se kořeny shodují. Najděte hodnoty kořenů pomocí vzorce

Úkol 4. Vyřešte rovnici

x^2+x-6=0.

Řešení: V případech, kdy jsou pro x malé koeficienty, je vhodné použít Vietovu větu. Jeho podmínkou dostáváme dvě rovnice

Z druhé podmínky zjistíme, že součin se musí rovnat -6. To znamená, že jeden z kořenů je negativní. Máme následující možné dvojice řešení (-3;2), (3;-2) . S ohledem na první podmínku odmítáme druhou dvojici řešení.
Kořeny rovnice jsou stejné

Úloha 5. Najděte délky stran obdélníku, je-li jeho obvod 18 cm a obsah 77 cm 2.

Řešení: Polovina obvodu obdélníku se rovná součtu jeho sousedních stran. Označme x jako větší stranu, pak 18-x je její menší strana. Plocha obdélníku se rovná součinu těchto délek:
x(18-x)=77;
nebo
x 2-18x+77=0.
Pojďme najít diskriminant rovnice

Výpočet kořenů rovnice

Li x=11,Že 18 = 7, platí to i naopak (pokud x=7, pak 21=9).

Úloha 6. Slož kvadratickou rovnici 10x 2 -11x+3=0.

Řešení: Vypočítejme kořeny rovnice, k tomu najdeme diskriminant

Nalezenou hodnotu dosadíme do kořenového vzorce a vypočítáme

Aplikujeme vzorec pro rozklad kvadratické rovnice po kořenech

Otevřením závorek získáme identitu.

Kvadratická rovnice s parametrem

Příklad 1. Při jakých hodnotách parametrů A , má rovnice (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jeden kořen?

Řešení: Přímou substitucí hodnoty a=3 vidíme, že nemá řešení. Dále využijeme faktu, že s nulovým diskriminantem má rovnice jeden kořen násobnosti 2. Vypišme diskriminant

Pojďme to zjednodušit a přirovnat k nule

Vzhledem k parametru a jsme získali kvadratickou rovnici, jejíž řešení lze snadno získat pomocí Vietovy věty. Součet odmocnin je 7 a jejich součin je 12. Jednoduchým hledáním zjistíme, že čísla 3,4 budou kořeny rovnice. Protože jsme již na začátku výpočtů odmítli řešení a=3, jediné správné bude - a=4. Pro a=4 má tedy rovnice jeden kořen.

Příklad 2. Při jakých hodnotách parametrů A , rovnice a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má více než jeden kořen?

Řešení: Nejprve uvažujme singulární body, budou to hodnoty a=0 a a=-3. Když a=0, rovnice se zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude jeden kořen. Pro a= -3 získáme identitu 0=0.
Pojďme vypočítat diskriminant

a najděte hodnotu a, při které je kladné

Z první podmínky dostaneme a>3. U druhého najdeme diskriminant a kořeny rovnice


Určeme intervaly, ve kterých funkce nabývá kladných hodnot. Dosazením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo interval (-3;1/3) je funkce záporná. Nezapomeňte na pointu a=0, který by měl být vyloučen, protože původní rovnice má v sobě jeden kořen.
Výsledkem jsou dva intervaly, které splňují podmínky problému

Podobných úkolů bude v praxi mnoho, zkuste si na úkoly přijít sami a nezapomeňte vzít v úvahu podmínky, které se vzájemně vylučují. Dobře si prostudujte vzorce pro řešení kvadratických rovnic, které jsou často potřebné při výpočtech v různých problémech a vědách.