Délka segmentu na souřadnicové ose se zjistí podle vzorce:

Délka segmentu souřadnicová rovina vyhledáno podle vzorce:

K nalezení délky segmentu v trojrozměrném souřadnicovém systému se používá následující vzorec:

Souřadnice středu segmentu (pro souřadnicovou osu se používá pouze první vzorec, pro souřadnicovou rovinu - první dva vzorce, pro trojrozměrný souřadnicový systém - všechny tři vzorce) se vypočítají podle vzorců:

Funkce je korespondence formuláře y= F(X) mezi proměnnými, díky čemuž každá uvažovala hodnotu nějaké variabilní X(argument nebo nezávislá proměnná) odpovídá určité hodnotě jiné proměnné, y(závislá proměnná, někdy se této hodnotě říká jednoduše hodnota funkce). Všimněte si, že funkce předpokládá jednu hodnotu argumentu X může existovat pouze jedna hodnota závislé proměnné na. Nicméně stejnou hodnotu na lze získat s různými X.

Rozsah funkcí jsou všechny hodnoty nezávislé proměnné (funkce argument, obvykle X), pro které je funkce definována, tzn. jeho význam existuje. Je uvedena doména definice D(y). Celkově tento koncept již znáte. Rozsah funkce se jinak nazývá doména platných hodnot neboli ODZ, kterou můžete najít již dlouho.

Funkční rozsah jsou všechny možné hodnoty závislé proměnné této funkce. Označeno E(na).

Funkce stoupá na intervalu, na kterém větší hodnota argumentu odpovídá větší hodnotě funkce. Funkce klesá na intervalu, na kterém větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Funkční intervaly jsou intervaly nezávisle proměnné, ve kterých si závislá proměnná zachovává své kladné nebo záporné znaménko.

Funkce nuly jsou ty hodnoty argumentu, pro které je hodnota funkce rovna nule. V těchto bodech graf funkce protíná osu úsečky (osa OX). Potřeba najít nuly funkce velmi často znamená jednoduché řešení rovnice. Často také potřeba najít intervaly konstantního znaménka znamená potřebu jednoduše vyřešit nerovnost.

Funkce y = F(X) jsou nazývány dokonce X

To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty sudé funkce stejné. Plán dokonce funkce vždy symetrické podle osy y y.

Funkce y = F(X) jsou nazývány zvláštní, pokud je definován na symetrické množině a pro libovolnou X z domény definice je splněna rovnost:

To znamená, že pro jakékoli opačné hodnoty argumentu jsou hodnoty liché funkce také opačné. Graf liché funkce je vždy symetrický podle počátku.

Součet kořenů sudého a liché vlastnosti(průsečíky osy x OX) je vždy nula, protože za každý kladný kořen Xúčet pro negativní kořen –X.

Je důležité si uvědomit, že některá funkce nemusí být sudá nebo lichá. Existuje mnoho funkcí, které nejsou ani sudé, ani liché. Takové funkce se nazývají funkcí obecný pohled a žádná z výše uvedených rovností nebo vlastností pro ně neplatí.

Lineární funkce se nazývá funkce, která může být dána vzorcem:

Graf lineární funkce je přímka a v obecném případě vypadá takto (uvádíme příklad pro případ, kdy k> 0, v tomto případě je funkce rostoucí; pro případ k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratické funkce (Parabola)

Graf paraboly je dán kvadratickou funkcí:

Kvadratická funkce, stejně jako jakákoli jiná funkce, protíná osu OX v bodech, které jsou jejími kořeny: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Pokud neexistují žádné kořeny, pak kvadratická funkce neprotíná osu OX, pokud existuje jeden kořen, pak v tomto bodě ( X 0; 0) kvadratická funkce se pouze dotýká osy OX, ale neprotíná ji. Kvadratická funkce vždy protíná osu OY v bodě se souřadnicemi: (0; C). Graf kvadratické funkce (paraboly) může vypadat takto (obrázek ukazuje příklady, které zdaleka nevyčerpávají všechny možné typy parabol):

kde:

• pokud koeficient A> 0, ve funkci y = sekera 2 + bx + C, pak větve paraboly směřují nahoru;
• -li A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Souřadnice vrcholů paraboly lze vypočítat pomocí následujících vzorců. X topy (p- na obrázcích výše) paraboly (nebo bodu, ve kterém čtvercová trojčlenka dosáhne své maximální nebo minimální hodnoty):

Y vrcholy (q- na obrázcích výše) paraboly nebo maximum, pokud větve paraboly směřují dolů ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), hodnota čtvercový trojčlen:

Grafy dalších funkcí

výkonová funkce

Zde je několik příkladů grafů mocninných funkcí:

Nepřímo úměrná závislost zavolejte funkci danou vzorcem:

Podle znaménka čísla k Nepřímo úměrný graf může mít dvě základní možnosti:

Asymptota je přímka, ke které se přímka grafu funkce nekonečně blízko blíží, ale neprotíná. Asymptoty pro grafy inverzní úměrnost na obrázku výše jsou souřadnicové osy, ke kterým se graf funkce nekonečně přibližuje, ale neprotíná je.

exponenciální funkce se základnou A zavolejte funkci danou vzorcem:

A plán exponenciální funkce může mít dvě základní možnosti (uvedeme také příklady, viz níže):

logaritmická funkce zavolejte funkci danou vzorcem:

Podle toho, zda je číslo větší nebo menší než jedna A Graf logaritmické funkce může mít dvě základní možnosti:

Graf funkcí y = |X| jak následuje:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcí

Funkce na = F(X) je nazýván časopis, pokud takové nenulové číslo existuje T, Co F(X + T) = F(X), pro každého X mimo rozsah funkce F(X). Pokud je funkce F(X) je periodické s tečkou T, pak funkce:

Kde: A, k, b jsou konstantní čísla a k nerovná se nule, také periodické s tečkou T 1, který je určen vzorcem:

Většina příkladů periodických funkcí jsou goniometrické funkce. Zde jsou grafy toho hlavního goniometrické funkce. Následující obrázek ukazuje část grafu funkce y= hřích X(celý graf pokračuje neomezeně doleva a doprava), graf funkce y= hřích X volal sinusoida:

Graf funkcí y= cos X volal kosinusová vlna. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Od grafu sinusu pokračuje do nekonečna podél osy OX doleva a doprava:

Graf funkcí y=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.

A nakonec graf funkce y=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázorněn na následujícím obrázku. Stejně jako grafy jiných periodických a goniometrických funkcí se tento graf donekonečna opakuje podél osy OX doleva a doprava.

Naučte se všechny vzorce a zákony ve fyzice a vzorce a metody v matematice. Ve skutečnosti je to také velmi jednoduché, ve fyzice je jen asi 200 potřebných vzorců a v matematice ještě o něco méně. V každém z těchto předmětů je zhruba desítka standardních metod řešení problémů základní úrovně složitosti, které se lze také naučit, a tak zcela automaticky a bez potíží vyřešit většinu digitální transformace ve správný čas. Poté už budete muset myslet jen na ty nejtěžší úkoly.

Zúčastněte se všech tří fází zkušebního testování z fyziky a matematiky. Každý RT lze navštívit dvakrát a vyřešit tak obě možnosti. Opět platí, že na ČT je kromě schopnosti rychle a efektivně řešit problémy a znalosti vzorců a metod také potřeba umět správně plánovat čas, rozložit síly a hlavně správně vyplnit odpovědní formulář. , aniž by došlo k záměně čísel odpovědí a úkolů nebo vlastního jména. Během RT je také důležité zvyknout si na styl kladení otázek v úkolech, který se může nepřipravenému člověku na DT zdát velmi neobvyklý.

Úspěšná, pečlivá a zodpovědná implementace těchto tří bodů vám umožní předvést na CT vynikající výsledek, maximum toho, čeho jste schopni.

Našli jste chybu?

Pokud si myslíte, že jste našli chybu v školicí materiály, pak o tom prosím napište poštou. Můžete také nahlásit chybu sociální síť(). V dopise uveďte předmět (fyziku nebo matematiku), název nebo číslo tématu nebo testu, číslo úkolu, případně místo v textu (stránce), kde je podle vás chyba. Popište také, co je údajná chyba. Váš dopis nezůstane bez povšimnutí, chyba bude buď opravena, nebo vám bude vysvětleno, proč se nejedná o chybu.

Elementární funkce a jejich grafy

Rovný proporcionality. Lineární funkce.

Inverzní úměra. Hyperbola.

kvadratická funkce. Čtvercová parabola.

Funkce napájení. Exponenciální funkce.

logaritmická funkce. goniometrické funkce.

Inverzní goniometrické funkce.

1.	poměrné hodnoty. Pokud proměnné y A X přímo úměrný, pak funkční závislost mezi nimi vyjadřuje rovnice: y = k X , Kde k- konstantní hodnota ( faktor proporcionality). Plán rovný proporcionality- přímka procházející počátkem a tvořící se s osou Xúhel, jehož tečna je k:tan= k(obr. 8). Proto se také nazývá koeficient úměrnosti faktor sklonu. Obrázek 8 ukazuje tři grafy pro k = 1/3, k= 1 a k = 3 .
2.	Lineární funkce. Pokud proměnné y A X spojeno rovnicí 1. stupně: Sekera + By = C , kde je alespoň jedno z čísel A nebo B není roven nule, pak graf této funkční závislosti je přímka. Li C= 0, pak projde počátkem, jinak ne. Grafy lineárních funkcí pro různé kombinace A,B,C jsou znázorněny na obr.9.
3.	Zvrátit proporcionality. Pokud proměnné y A X zadní úměrný, pak funkční závislost mezi nimi vyjadřuje rovnice: y = k / X , Kde k- konstantní hodnota. Inverzně proporcionální graf - hyperbola (obr. 10). Tato křivka má dvě větve. Hyperboly jsou získány, když je kruhový kužel protnut rovinou (pro kuželosečky viz část "Kužel" v kapitole "Stereometrie"). Jak ukazuje obr. 10, součin souřadnic bodů hyperboly je konstantní hodnota, v našem příkladu rovna 1. V obecném případě je tato hodnota rovna k, což vyplývá z rovnice hyperboly: xy = k. Hlavní charakteristiky a vlastnosti hyperboly: Rozsah funkce: X 0, rozsah: y 0 ; Funkce je monotónní (klesající) při X< 0 a při x > 0, ale ne celkově monotónní díky bodu zlomu X= 0 (přemýšlejte proč?); Neohraničená funkce, nespojitá v bodě X= 0, liché, neperiodické; - Funkce nemá žádné nuly.
4.	Kvadratická funkce. Toto je funkce: y = sekera 2 + bx + C, Kde A, b, C- trvalé, A 0. V nejjednodušším případě máme: b=C= 0 a y = sekera 2. Graf této funkce čtvercová parabola - křivka procházející počátkem (obr. 11). Každá parabola má osu symetrie OY, který se nazývá osa paraboly. Tečka Ó nazýváme průsečík paraboly s její osou vrchol paraboly. Graf funkcí y = sekera 2 + bx + C je také čtvercová parabola stejného typu jako y = sekera 2 , ale jeho vrchol neleží v počátku, ale v bodě se souřadnicemi: Tvar a umístění čtvercové paraboly v souřadnicovém systému zcela závisí na dvou parametrech: koeficientu A na X 2 a diskriminační D:D = b 2 – 4ac. Tyto vlastnosti vyplývají z analýzy kořenů kvadratické rovnice (viz odpovídající část v kapitole Algebra). Všechny možné různé případy pro čtvercovou parabolu jsou znázorněny na obr.12.

Pro případ nakreslete čtvercovou parabolu A > 0, D > 0 .

Hlavní charakteristiky a vlastnosti čtvercové paraboly:

Rozsah funkce:  < X+ (tj. X R ), a oblast

hodnoty: … (Odpovězte si na tuto otázku sami!);

Funkce jako celek není monotónní, ale vpravo nebo vlevo od vrcholu

chová se jako monotónní;

Funkce je neomezená, všude spojitá, i pro b = C = 0,

a neperiodické;

- na D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkce napájení. Toto je funkce: y=ax n, Kde a, n- trvalé. Na n= 1 dostaneme přímá úměrnost: y=sekera; na n = 2 - čtvercová parabola; na n = 1 - inverzní úměrnost nebo nadsázka. Tyto funkce jsou tedy speciálními případy mocninné funkce. Víme, že nulová mocnina jakéhokoli čísla jiného než nula je rovna 1, tedy kdy n= 0 se výkonová funkce stane konstantou: y= A, tj. jeho graf je přímka rovnoběžná s osou X, s výjimkou původu souřadnic (vysvětlete prosím proč?). Všechny tyto případy (s A= 1) jsou uvedeny na obr. 13 ( n 0) a Obr. 14 ( n < 0). Отрицательные значения X zde nejsou uvažovány, protože pak některé funkce: Li n– celá, mocenské funkce dávají smysl, i když X < 0, но их графики имеют jiný druh podle toho zda n sudé číslo nebo liché číslo. Obrázek 15 ukazuje dvě takové výkonové funkce: pro n= 2 a n = 3. Na n= 2 funkce je sudá a její graf je symetrický podle osy Y. Na n= 3 funkce je lichá a její graf je symetrický vzhledem k počátku. Funkce y = X 3 volala kubická parabola. Obrázek 16 ukazuje funkci. Tato funkce je inverzí čtvercové paraboly y = X 2 , její graf se získá otočením grafu čtvercové paraboly kolem sečny 1. úhlu souřadnicToto je způsob, jak získat graf libovolné inverzní funkce z grafu její původní funkce. Z grafu vidíme, že se jedná o dvouhodnotovou funkci (naznačuje to i znaménko  před odmocninou). Takové funkce nejsou v elementární matematice studovány, proto za funkci obvykle považujeme jednu z jejích větví: horní nebo dolní.
6.	Demonstrace funkce. Funkce y = A X, Kde A je kladné konstantní číslo, tzv exponenciální funkce. Argument X přijímá jakékoli platné hodnoty; jako funkční hodnoty jsou brány v úvahu pouze kladná čísla, protože jinak máme vícehodnotovou funkci. Ano, funkce y = 81 X má v X= 1/4 čtyři různé významy: y = 3, y = 3, y = 3 i A y = 3 i(Zkontrolujte prosím!). Ale považujeme to pouze za hodnotu funkce y= 3. Grafy exponenciální funkce pro A= 2 a A= 1/2 jsou uvedeny na obr.17. Procházejí bodem (0, 1). Na A= 1 máme graf přímky rovnoběžné s osou X, tj. funkce se změní na konstantní hodnotu rovnou 1. Když A> 1, exponenciální funkce roste a při 0< A < 1 – убывает. Hlavní charakteristiky a vlastnosti exponenciální funkce:  < X+ (tj. X R ); rozsah: y> 0 ; Funkce je monotónní: zvyšuje se s A> 1 a klesá na 0< A < 1; - Funkce nemá žádné nuly.
7.	Logaritmická funkce. Funkce y= log A X, Kde A je konstantní kladné číslo, nerovná se 1 se nazývá logaritmický. Tato funkce je inverzní k exponenciální funkci; její graf (obr. 18) získáme otočením grafu exponenciální funkce kolem sečny 1. souřadnicového úhlu. Hlavní charakteristiky a vlastnosti logaritmické funkce: Rozsah funkce: X> 0, a rozsah hodnot:  < y+ (tj. y R ); Toto je monotónní funkce: zvyšuje se jako A> 1 a klesá na 0< A < 1; Funkce je neomezená, všude spojitá, neperiodická; Funkce má jednu nulu: X = 1.
8.	goniometrické funkce. Při konstrukci goniometrických funkcí používáme radián měření úhlů. Pak funkce y= hřích X znázorněno grafem (obr. 19). Tato křivka se nazývá sinusoida. Graf funkcí y= cos X znázorněno na obr. 20; je to také sinusovka vyplývající z pohybu grafu y= hřích X podél osy X doleva o 2 Z těchto grafů jsou zřejmé charakteristiky a vlastnosti těchto funkcí: Doména:  < X+  rozsah: -1 y +1; Tyto funkce jsou periodické: jejich perioda je 2; Omezené funkce (| y| , všude kontinuální, ne monotónní, ale mající tzv intervalech monotonie, uvnitř kterého oni chovat se jako monotónní funkce (viz grafy na obr. 19 a obr. 20); Funkce mají nekonečný počet nul (další podrobnosti naleznete v části "trigonometrické rovnice"). Funkční grafy y= opálení X A y= dětská postýlka X znázorněné na obr. 21 a obr. 22 Z grafů je vidět, že tyto funkce jsou: periodické (jejich perioda , neomezené, obecně ne monotónní, ale mají intervaly monotónnosti (co?), nespojité (jaké body přerušení mají tyto funkce?). Kraj definice a rozsah těchto funkcí:
9.	Inverzní goniometrické funkce. Definice inverzí goniometrické funkce a jejich hlavní vlastnosti jsou uvedeny v stejnojmenné části v kapitole "Trigonometrie". Proto se zde omezujeme obdržely pouze krátké komentáře týkající se jejich grafů otáčením grafů goniometrických funkcí kolem osy 1 souřadnicový úhel.

Funkce y= Arcsin X(obr.23) a y= Arccos X(obr.24) mnohohodnotný, neomezený; jejich doména definice a rozsah hodnot, v tomto pořadí: 1 X+1 a  < y+ . Protože tyto funkce jsou vícehodnotové,

Souřadnicový systém - jedná se o dvě vzájemně kolmé souřadnicové čáry protínající se v bodě, který je počátkem každé z nich.

Souřadnicové osy jsou čáry, které tvoří souřadnicový systém.

úsečka(osa x) je vodorovná osa.

Osa Y(osa y) je svislá osa.

Funkce

Funkce je zobrazení prvků množiny X na množinu Y . V tomto případě každý prvek x množiny X odpovídá jedné jediné hodnotě y množiny Y .

Rovný

Lineární funkce je funkcí tvaru y = a x + b, kde a a b jsou libovolná čísla.

Grafem lineární funkce je přímka.

Zvažte, jak bude graf vypadat v závislosti na koeficientech a a b:

Li a > 0 , přímka bude procházet souřadnicovými čtvrtěmi I a III.

Li A< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b je průsečík přímky s osou y.

Li a = 0, funkce se stane y = b.

Samostatně vybereme graf rovnice x \u003d a.

Důležité: tato rovnice není funkcí, protože je porušena definice funkce (funkce spojuje každý prvek x množiny X s jedinou hodnotou y množiny Y). Tato rovnice spojuje jeden prvek x s nekonečnou množinou prvků y . Graf této rovnice však lze vykreslit. Jen to nenazývejme hrdým slovem „Funkce“.

Parabola

Graf funkce y = a x 2 + b x + c je parabola .

Abyste mohli jednoznačně určit, jak je graf paraboly umístěn v rovině, musíte vědět, co ovlivňují koeficienty a, b, c:

1. Koeficient a udává, kam směřují větve paraboly.

• Je-li a > 0 , větve paraboly směřují nahoru.
• Pokud< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koeficient c udává, ve kterém bodě parabola protíná osu y.
2. Koeficient b pomáhá najít x v - souřadnici vrcholu paraboly.

x v \u003d - b 2a

1. Diskriminant vám umožňuje určit, kolik průsečíků má parabola s osou.

• Pokud D > 0 - dva průsečíky.
• Pokud D = 0 - jeden průsečík.
• Pokud D< 0 — нет точек пересечения.

Graf funkce y = k x je hyperbola .

Charakteristickým rysem hyperboly je, že má asymptoty.

Asymptoty hyperboly - přímky, ke kterým směřuje, jdoucí do nekonečna.

Osa x je horizontální asymptota hyperboly

Osa y je vertikální asymptota hyperboly.

Na grafu jsou asymptoty označeny zelenou tečkovanou čarou.

Je-li koeficient k > 0, pak větve hyperoly procházejí čtvrtí I a III.

Pokud k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Čím menší je absolutní hodnota koeficientu k (koeficient k bez zohlednění znaménka), tím blíže jsou větve hyperboly k osám x a y.

Odmocnina

Funkce y     =     x má následující graf:

Zvyšování/snižování funkcí

Funkce y   =   f(x) se během intervalu zvyšuje jestliže větší hodnota argumentu (větší hodnota x) odpovídá větší funkční hodnotě (větší hodnota y) .

To znamená, že čím více (vpravo) x, tím více (vyšší) y. Graf stoupá (podívejte se zleva doprava)

Funkce y   =   f(x) během intervalu klesá jestliže větší hodnota argumentu (větší hodnota x) odpovídá menší funkční hodnotě (větší hodnota y) .

The metodický materiál slouží pro referenční účely a pokrývá širokou škálu témat. Článek poskytuje přehled grafů hlavních elementárních funkcí a zabývá se nejdůležitějším problémem - jak správně a RYCHLE sestavit graf. V průběhu studia vyšší matematiky bez znalosti grafů hl elementární funkce bude to těžké, proto je velmi důležité si zapamatovat, jak vypadají grafy paraboly, hyperboly, sinusu, kosinusu atd., zapamatovat si některé funkční hodnoty. Řekneme si také o některých vlastnostech hlavních funkcí.

Nepředstírám úplnost a vědeckou důkladnost materiálů, důraz bude kladen především na praxi - ty věci, se kterými člověk musí čelit doslova na každém kroku, v jakémkoli tématu vyšší matematiky. Tabulky pro figuríny? Dá se to říct.

Na základě populární poptávky čtenářů klikací obsah:

Navíc je k tématu ultrakrátký abstrakt
– ovládněte 16 typů grafů studiem ŠEST stránek!

Vážně, šest, i já sám jsem byl překvapen. Tento abstrakt obsahuje vylepšenou grafiku a je k dispozici za symbolický poplatek, lze si prohlédnout demo verzi. Soubor je vhodné vytisknout, abyste měli grafy vždy po ruce. Děkujeme za podporu projektu!

A hned začínáme:

Jak správně postavit souřadnicové osy?

V praxi jsou testy téměř vždy vypracovány studenty do samostatných sešitů, linkovaných v kleci. Proč potřebujete kostkované značení? Koneckonců, práci lze v zásadě provést na listech A4. A klec je nezbytná právě pro kvalitní a přesné provedení výkresů.

Jakékoli kreslení funkčního grafu začíná souřadnicovými osami.

Výkresy jsou dvourozměrné a trojrozměrné.

Podívejme se nejprve na dvourozměrný případ karteziánský pravoúhlý systém souřadnice:

1) Nakreslíme souřadnicové osy. Osa se nazývá osa x a osa osa y . Vždy se je snažíme nakreslit úhledné a ne křivé. Šipky by také neměly připomínat vousy Papa Carla.

2) Osy podepisujeme velkými písmeny „x“ a „y“. Nezapomeňte podepsat osy.

3) Nastavte měřítko podél os: nakreslete nulu a dvě jedničky. Při vytváření výkresu je nejpohodlnější a nejběžnější měřítko: 1 jednotka = 2 buňky (výkres vlevo) - pokud možno se toho držte. Čas od času se však stane, že se nám kresba nevejde na sešit - pak měřítko zmenšíme: 1 jednotka = 1 buňka (výkres vpravo). Zřídka, ale stává se, že se měřítko kresby musí ještě více zmenšit (nebo zvětšit).

NEČMÁHEJTE z kulometu ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Neboť souřadnicová rovina není Descartův pomník a student není holubice. Vložili jsme nula A dvě jednotky podél os. Někdy namísto jednotek, je vhodné „detekovat“ jiné hodnoty, například „dvě“ na ose x a „tři“ na ose pořadnice – a tento systém (0, 2 a 3) také jednoznačně nastaví souřadnicovou síť.

Odhadované rozměry výkresu je lepší odhadnout PŘED kreslením výkresu.. Pokud tedy například úloha vyžaduje nakreslení trojúhelníku s vrcholy , , , pak je zcela jasné, že oblíbené měřítko 1 jednotka = 2 buňky nebude fungovat. Proč? Podívejme se na věc - zde musíte měřit patnáct centimetrů dolů a kresba se samozřejmě nevejde (nebo se sotva vejde) na list sešitu. Proto rovnou vybereme menší měřítko 1 jednotka = 1 buňka.

Mimochodem asi centimetry a buňky notebooku. Je pravda, že ve 30 buňkách notebooku je 15 centimetrů? Změřte v sešitě pro zajímavost pravítkem 15 centimetrů. V SSSR to možná byla pravda... Je zajímavé poznamenat, že pokud změříte stejné centimetry vodorovně a svisle, výsledky (v buňkách) se budou lišit! Přísně vzato, moderní notebooky nejsou kostkované, ale obdélníkové. Může se to zdát jako nesmysl, ale kreslit například kružnici kružítkem v takových situacích je velmi nepohodlné. Abych byl upřímný, v takových chvílích začnete přemýšlet o správnosti soudruha Stalina, který byl poslán do lágrů na hackerské práce ve výrobě, nemluvě o domácím automobilovém průmyslu, padajících letadlech nebo explodujících elektrárnách.

Když už jsme u kvality, aneb krátké doporučení na psací potřeby. K dnešnímu dni je většina prodávaných notebooků, aniž bychom řekli ošklivá slova, úplný skřet. Z toho důvodu, že se namočí, a to nejen z gelových per, ale i z kuličkových per! Ušetřete na papíře. Pro odbavení ovládání funguje Doporučuji použít sešity Archangelské celulózky a papíru (18 listů, klec) nebo Pyaterochka, i když je to dražší. Je vhodné zvolit gelové pero, i ta nejlevnější čínská gelová náplň je mnohem lepší než propiska, která papír buď rozmazává, nebo trhá. Jediné "konkurenční" kuličkové pero v mé paměti je Erich Krause. Píše jasně, krásně a stabilně - buď s plnou stopkou, nebo s téměř prázdnou.

dodatečně: v článku je zahrnuta vize pravoúhlého souřadnicového systému očima analytické geometrie Lineární (ne)závislost vektorů. Vektorový základ, podrobné informace o souřadnicových čtvrtích najdete ve druhém odstavci lekce Lineární nerovnosti.

3D pouzdro

Tady je to skoro stejné.

1) Nakreslíme souřadnicové osy. Standard: aplikační osa – směřuje nahoru, osa – směřuje doprava, osa – dolů doleva přísně pod úhlem 45 stupňů.

2) Podepisujeme osy.

3) Nastavte měřítko podél os. Měřítko podél osy - dvakrát menší než měřítko podél ostatních os. Všimněte si také, že v pravé kresbě jsem použil nestandardní "patku" podél osy (tato možnost již byla zmíněna výše). Z mého pohledu je to přesnější, rychlejší a estetičtější – nemusíte hledat střed buňky pod mikroskopem a „vyřezávat“ jednotku až k jejímu počátku.

Při opětovném 3D kreslení dejte přednost měřítku
1 jednotka = 2 buňky (nákres vlevo).

K čemu jsou všechna tato pravidla? Pravidla jsou od toho, aby se porušovala. co teď budu dělat. Faktem je, že následné kresby článku udělám já v Excelu a souřadné osy budou vypadat nesprávně z hlediska správného návrhu. Všechny grafy bych mohl kreslit ručně, ale je opravdu děsivé je kreslit, protože Excel se zdráhá je nakreslit mnohem přesněji.

Grafy a základní vlastnosti elementárních funkcí

Lineární funkce je dána rovnicí . Graf lineární funkce je Přímo. K sestrojení přímky stačí znát dva body.

Příklad 1

Vykreslete funkci. Pojďme najít dva body. Jako jeden z bodů je výhodné zvolit nulu.

Pokud, pak

Vezmeme nějaký jiný bod, například 1.

Pokud, pak

Při přípravě úkolů se souřadnice bodů obvykle shrnují do tabulky:

A samotné hodnoty se počítají ústně nebo na konceptu, kalkulačce.

Našli jsme dva body, pojďme nakreslit:

Při kreslení výkresu vždy grafiku podepisujeme.

Nebude zbytečné připomínat speciální případy lineární funkce:

Všimněte si, jak jsem umístil titulky, podpisy by při studiu výkresu neměly být nejednoznačné. V tomto případě bylo velmi nežádoucí umístit podpis vedle průsečíku čar nebo vpravo dole mezi grafy.

1) Lineární funkce tvaru () se nazývá přímá úměrnost. Například, . Graf přímé úměrnosti vždy prochází počátkem. Konstrukce přímky je tedy zjednodušena – stačí najít pouze jeden bod.

2) Rovnice tvaru definuje přímku rovnoběžnou s osou, konkrétně osa samotná je dána rovnicí. Graf funkce je sestaven okamžitě, bez nalezení bodů. To znamená, že záznam by měl být chápán následovně: "y se vždy rovná -4 pro jakoukoli hodnotu x."

3) Rovnice tvaru definuje přímku rovnoběžnou s osou, konkrétně osa samotná je dána rovnicí. Okamžitě se také sestaví graf funkce. Záznam je třeba chápat takto: "x je vždy pro jakoukoli hodnotu y rovno 1."

Někteří se budou ptát, no, proč si pamatovat 6. třídu?! Je to tak, možná ano, jen za léta praxe jsem potkal dobrou desítku studentů, kteří byli zmateni úkolem sestrojit graf jako nebo .

Kreslení rovné čáry je nejběžnější činností při kreslení.

Přímka je podrobně probrána v kurzu analytické geometrie a kdo si přeje, může si přečíst článek Rovnice přímky na rovině.

Graf kvadratické funkce, graf kubické funkce, graf polynomu

Parabola. Graf kvadratické funkce () je parabola. Zvažte slavný případ:

Připomeňme si některé vlastnosti funkce.

Takže řešení naší rovnice: - právě v tomto bodě se nachází vrchol paraboly. Proč tomu tak je, se lze naučit z teoretického článku o derivaci a lekce o extrémech funkce. Mezitím vypočítáme odpovídající hodnotu "y":

Takže vrchol je v bodě

Nyní nacházíme další body, přičemž drze využíváme symetrii paraboly. Je třeba poznamenat, že funkce – není sudý, ale přesto nikdo nezrušil symetrii paraboly.

V jakém pořadí najít zbývající body, to bude myslím jasné z konečné tabulky:

Tento konstrukční algoritmus lze obrazně nazvat „shuttle“ nebo princip „tam a zpět“ s Anfisou Chekhovou.

Udělejme nákres:

Z uvažovaných grafů přichází na mysl další užitečná funkce:

Pro kvadratickou funkci () platí následující:

Jestliže , pak větve paraboly směřují nahoru.

Jestliže , pak větve paraboly směřují dolů.

Hluboké znalosti křivky lze získat v lekci Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je dána funkcí . Zde je kresba známá ze školy:

Uvádíme hlavní vlastnosti funkce

Graf funkcí

Představuje jednu z větví paraboly. Udělejme nákres:

Hlavní vlastnosti funkce:

V tomto případě je osa vertikální asymptota pro graf hyperboly na .

Bude VELKÁ chyba, když při kreslení z nedbalosti dovolíte, aby se graf protínal s asymptotou.

Také jednostranné limity, řekněte nám, že je to hyperbola neomezené shora A zdola neomezené.

Pojďme prozkoumat funkci v nekonečnu: , to znamená, že pokud se začneme pohybovat podél osy doleva (nebo doprava) do nekonečna, pak budou „hry“ štíhlým krokem nekonečně blízko přiblížit se k nule a v souladu s tím i větve hyperboly nekonečně blízko přiblížit se k ose.

Takže osa je horizontální asymptota pro graf funkce, pokud "x" má tendenci k plus nebo mínus nekonečnu.

Funkce je zvláštní, což znamená, že hyperbola je symetrická vzhledem k počátku. Tento fakt je zřejmé z výkresu, navíc lze snadno analyticky ověřit: .

Graf funkce tvaru () představuje dvě větve hyperboly.

Jestliže , pak se hyperbola nachází v prvním a třetím souřadnicovém kvadrantu(viz obrázek výše).

Jestliže , pak se hyperbola nachází ve druhém a čtvrtém souřadnicovém kvadrantu.

Analyzovat zadanou pravidelnost místa pobytu hyperboly z pohledu geometrických transformací grafů není obtížné.

Příklad 3

Sestrojte pravou větev hyperboly

Používáme metodu bodové konstrukce, přičemž je výhodné volit hodnoty tak, aby se dělily úplně:

Udělejme nákres:

Sestrojit levou větev hyperboly nebude těžké, zde jen pomůže podivnost funkce. Zhruba řečeno, v bodové konstrukční tabulce v duchu přidejte ke každému číslu mínus, vložte odpovídající tečky a nakreslete druhou větev.

Podrobné geometrické informace o uvažované čáře naleznete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciální funkce

V tomto odstavci budu okamžitě uvažovat o exponenciální funkci, protože v úlohách vyšší matematiky se v 95 % případů vyskytuje právě exponent.

Připomínám, že - toto je iracionální číslo: , to bude vyžadováno při sestavování grafu, který ve skutečnosti postavím bez obřadu. Tři body asi stačí:

Graf funkce zatím nechme na pokoji, o tom později.

Hlavní vlastnosti funkce:

V zásadě vypadají grafy funkcí stejně atd.

Musím říci, že druhý případ je v praxi méně častý, ale vyskytuje se, a tak jsem považoval za nutné jej do tohoto článku zahrnout.

Graf logaritmické funkce

Uvažujme funkci s přirozeným logaritmem.
Udělejme čárovou kresbu:

Pokud jste zapomněli, co je logaritmus, podívejte se prosím do školních učebnic.

Hlavní vlastnosti funkce:

Doména:

Rozsah hodnot: .

Funkce není shora omezena: , sice pomalu, ale větev logaritmu jde až do nekonečna.
Zkoumáme chování funkce poblíž nuly vpravo: . Takže osa je vertikální asymptota pro graf funkce s "x" směrem k nule vpravo.

Nezapomeňte znát a zapamatovat si typickou hodnotu logaritmu: .

Graf logaritmu na základně vypadá v zásadě stejně: , , ( dekadický logaritmus v základu 10) atd. Zároveň platí, že čím větší základna, tím plošší graf bude.

Nebudeme zvažovat případ, něco, co si nepamatuji, kdy jsem naposledy vytvořil graf s takovým základem. Ano, a logaritmus se zdá být velmi vzácným hostem v problémech vyšší matematiky.

Na závěr odstavce řeknu ještě jednu skutečnost: Exponenciální funkce a logaritmická funkcejsou dva vzájemné inverzní funkce . Když se pozorně podíváte na graf logaritmu, můžete vidět, že se jedná o stejný exponent, jen je umístěn trochu jinak.

Grafy goniometrických funkcí

Jak začíná trigonometrické trápení ve škole? Že jo. Od sinusu

Nakreslíme funkci

Tato linka se nazývá sinusoida.

Připomínám, že „pí“ je iracionální číslo: a v trigonometrii oslňuje oči.

Hlavní vlastnosti funkce:

Tato funkce je časopis s tečkou. Co to znamená? Podívejme se na střih. Nalevo i napravo od něj se donekonečna opakuje přesně stejný kus grafu.

Doména: , to znamená, že pro jakoukoli hodnotu "x" existuje sinusová hodnota.

Rozsah hodnot: . Funkce je omezený: , to znamená, že všechny „hry“ sedí striktně v segmentu .
To se nestane: nebo přesněji se to stane, ale tyto rovnice nemají řešení.

Graf funkce je množina všech bodů souřadnicové roviny, jejichž úsečky se rovnají hodnotám argumentu a souřadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce.

V následující tabulce jsou uvedeny průměrné měsíční teploty v hlavním městě naší země, městě Minsk.

P

televize

Zde je argumentem pořadové číslo měsíce a hodnotou funkce je teplota vzduchu ve stupních Celsia. Například z této tabulky se dozvíme, že v dubnu je průměrná měsíční teplota 5,3 °C.

Funkční závislost může být dána grafem.

Obrázek 1 ukazuje graf pohybu tělesa vrženého pod úhlem 6СГ k horizontu s počáteční rychlostí 20 m/s.

Pomocí grafu funkce můžete najít odpovídající hodnotu funkce podle hodnoty argumentu. Podle grafu na obrázku 1 určíme, že např. po 2 s od zahájení pohybu bylo těleso ve výšce 15 m a po 3 s ve výšce 7,8 m (obr. 2).

Je také možné vyřešit inverzní problém, a to zadanou hodnotou a funkce najít ty hodnoty argumentu, pro které funkce nabývá tuto hodnotu a. Například podle grafu na obrázku 1 zjistíme, že ve výšce 10 m bylo těleso za 0,7 s a 2,8 s od zahájení pohybu (obr. 3),

Existují zařízení, která kreslí grafy závislostí mezi veličinami. Jedná se o barografy - přístroje pro fixaci závislosti atmosférického tlaku na čase, termografy - přístroje pro fixaci závislosti teploty na čase, kardiografy - přístroje pro grafický záznam činnosti srdce apod. Na obrázku 102 je schematicky znázorněn termograf. Jeho buben se otáčí rovnoměrně. Papír navinutý na bubnu se dotýká zapisovač, který v závislosti na teplotě stoupá a klesá a kreslí na papír určitou čáru.

Od znázornění funkce vzorcem můžete přejít k jejímu znázornění v tabulce a grafu.