Sündmuste liigitamine võimalikeks, tõenäolisteks ja juhuslikeks. Lihtsate ja keerukate elementaarsündmuste mõisted. Operatsioonid sündmustel. Juhusliku sündmuse tõenäosuse ja selle omaduste klassikaline määratlus. Kombinatoorika elemendid tõenäosusteoorias. geomeetriline tõenäosus. Tõenäosusteooria aksioomid.

Tõenäosusteooria üks põhimõisteid on sündmuse mõiste. Under sündmus mõista kõiki fakte, mis võivad ilmneda kogemuse või katsumuse tulemusena. Under kogemusi , või test , mõistetakse teatud tingimuste kogumi rakendamisena.

Sündmuste näited:

• - sihtmärgi tabamine relvast tulistamisel (kogemus - lasu produkt; sündmus - sihtmärgi tabamine);
• - kahe vapi kadumine kolmekordsel mündiviskel (kogemus - kolmekordne mündiviskamine; sündmus - kahe vapi kadumine);
• - mõõtmisvea ilmnemine määratud piirides sihtmärgi kauguse mõõtmisel (kogemus - kauguse mõõtmine; sündmus - mõõtmisviga).

Selliseid näiteid võiks tuua lugematul hulgal. Sündmused on tähistatud ladina tähtedega tähestikud A,B,C jne.

Eristama ühisüritused Ja Sobimatu . Sündmusi nimetatakse ühisteks, kui neist ühe toimumine ei välista teise toimumist. Vastasel juhul nimetatakse sündmusi kokkusobimatuks. Näiteks visatakse kaks täringut. Sündmus AA on kolme punkti viskamine esimesel täringul, sündmus B on kolme punkti viskamine teisel täringul. A ja B on ühised üritused.

Laske poodi saada partii sama stiili ja suurusega, kuid erinevat värvi kingi. Sündmus A - juhuslikult võetud kast on mustade kingadega, sündmus B - kast pruunide kingadega, A ja B on kokkusobimatud sündmused.

Üritus on nn autentne kui see antud katse tingimustes ilmtingimata esineb.

Sündmust nimetatakse võimatuks, kui see ei saa toimuda antud kogemuse tingimustes. Näiteks juhus, et standardosade partiist võetakse standardosa, on kindel, kuid mittestandardne osa on võimatu.

Üritus on nn võimalik , või juhuslik , kui kogemuse tulemusena võib see ilmneda või mitte. Juhusliku sündmuse näide on valmistoote partii kontrollimisel toote defektide tuvastamine, töödeldud toote ja antud toote suuruse lahknevus, automaatjuhtimissüsteemi ühe lüli rike.

Sündmused on nn võrdselt võimalik kui testi tingimustes ei ole ükski neist sündmustest objektiivselt tõenäolisem kui teised. Oletame näiteks, et poodi tarnivad lambid (ja võrdses koguses) mitmelt tootjalt. Sündmused, mis seisnevad mõnest neist tehastest lambipirni ostmises, on võrdselt tõenäolised.

Oluline mõiste on kogu ürituste grupp . Mitu sündmust antud katses moodustavad tervikliku rühma, kui vähemalt üks neist ilmneb tingimata katse tulemusena. Näiteks urnis on kümme palli, millest kuus on punased ja neli valged, millest viis on nummerdatud.

A - punase palli välimus ühe ekstraktsiooniga,

B - valge palli välimus,

C - palli välimus numbriga. Sündmused A,B,C moodustavad tervikliku ühisürituste rühma.

Tutvustame vastupidise ehk lisasündmuse mõistet. Under vastupidine sündmus

AЇ all mõistetakse sündmust, mis peab tingimata toimuma, kui mõnda sündmust pole toimunud

V. Vastandlikud sündmused on kokkusobimatud ja ainsad võimalikud. Need moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Sündmused ja nende klassifikatsioon

Tõenäosusteooria põhimõisted

Mis tahes matemaatilise teooria koostamisel eristatakse esmajoones lihtsamaid mõisteid, mida aktsepteeritakse lähtefaktidena. Sellised tõenäosusteooria põhimõisted on mõiste juhuslik eksperiment, juhuslik sündmus, juhusliku sündmuse tõenäosus.

juhuslik eksperimenton meile huvipakkuva sündmuse vaatluse registreerimise protsess, mis viiakse läbi antud statsionaarse seadme tingimustes (ei muutu ajas) reaalne tingimuste kogum, sealhulgas suure hulga juhuslike (rangele arvestusele ja kontrollile mitte alluvate) tegurite mõju vältimatus.

Need tegurid omakorda ei võimalda teha täiesti usaldusväärseid järeldusi selle kohta, kas meid huvitav sündmus leiab aset või mitte. Samal ajal eeldatakse, et meil on põhimõtteline võimalus (vähemalt vaimselt teostatav) oma katset või vaatlust korduvalt korrata samades tingimustes.

Siin on mõned näited juhuslikest katsetest.

1. Täiesti sümmeetrilise mündi viskamisest koosnev juhuslik eksperiment sisaldab selliseid juhuslikke tegureid nagu jõud, millega münt visatakse, mündi lennutrajektoor, algkiirus, pöörlemismoment jne. Need juhuslikud tegurid muudavad võimatuks iga üksiku testi tulemuse täpse määramise: "mündi viskamisel ilmub vapp" või "mündi viskamisel ilmuvad sabad".

2. Tehas "Stalkanat" katsetab valmistatud kaableid maksimaalse lubatud koormuse jaoks. Koormus varieerub teatud piirides ühest katsest teise. Selle põhjuseks on sellised juhuslikud tegurid nagu mikrodefektid materjalis, millest kaablid on valmistatud, mitmesugused seadmete töös esinevad häired, mis tekivad kaablite tootmisel, ladustamistingimused, katsete läbiviimise viis jne.

3. Samast relvast tehakse rida laskusid kindla sihtmärgi pihta. Sihtmärgi tabamine sõltub paljudest juhuslikest teguritest, mille hulka kuuluvad relva ja mürsu seisukord, relva paigaldus, laskuri oskused, ilmastikutingimused (tuul, valgustus jne).

Definitsioon. Teatud tingimuste kogumi rakendamist nimetatakse test. Testi tulemust nimetatakse sündmus.

Juhuslikud sündmused on tähistatud ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C... või suurtäht koos indeksiga: .

Näiteks eksami sooritamine teatud tingimuste täitmisel (kirjalik eksam, sealhulgas hindamissüsteem hinded jne) on õpilasele kontrolltöö ja kindla hinde saamine on sündmus;

relvast lasu sooritamine etteantud tingimustes (ilmastikutingimused, relva seisukord jne) on katse ja sihtmärgi tabamine või sellest möödalaskmine on sündmus.

Võime sama katset samadel tingimustel mitu korda korrata. Suure hulga juhuslike tegurite olemasolu, mis iseloomustavad iga sellise katse läbiviimise tingimusi, muudab võimatuks teha täiesti kindlat järeldust selle kohta, kas meid huvitav sündmus leiab aset või mitte. Pange tähele, et tõenäosusteoorias sellist probleemi ei esitata.

Sündmuste klassifikatsioon

Sündmused juhtuvad usaldusväärne, võimatu Ja juhuslik.

Definitsioon. Üritus on nn autentne kui teatud tingimuste kogumi korral see tingimata juhtub.

Kõik usaldusväärsed sündmused on tähistatud tähega (ingliskeelse sõna esimene täht universaalne- üldine)

Teatud sündmuste näited on: valge palli ilmumine ainult valgeid palle sisaldavast urnist; võita win-win loteriis.

Definitsioon. Üritus on nn võimatu kui teatud tingimuste kogumi korral see tekkida ei saa.

Kõik võimatud sündmused on tähistatud tähega.

Näiteks eukleidilises geomeetrias ei saa kolmnurga nurkade summa olla suurem kui , viiepallilise hindamissüsteemiga eksamil hinnet "6" ei saa.

Definitsioon. Üritus on nn juhuslik, kui see võib teatud tingimustel ilmuda või mitte.

Näiteks juhuslikud sündmused on: ässa ilmumise sündmus kaardipakist; jalgpallimeeskonna mängu võitmine; ürituste võit raha ja riiete loteriis; defektiga teleri ostmine jne.

Definitsioon. Sündmused helistas Sobimatu kui ühe sellise sündmuse toimumine välistab mõne teise sündmuse toimumise.

Näide 1 Kui arvestada testi, mis seisneb mündi viskamises, siis on sündmused – vapi ilmumine ja – numbri ilmumine – kokkusobimatud sündmused.

Definitsioon. Sündmused helistas liigend, kui ühe sellise sündmuse toimumine ei välista teiste sündmuste toimumist.

Näide 2 Kui tulistatakse kolmest relvast, siis on järgmised sündmused ühised: tabamus esimesest relvast; tabas teisest relvast; tabas kolmandast relvast.

Definitsioon. Sündmused helistas ainuvõimalik, kui vähemalt üks antud sündmustest peab tingimata toimuma antud tingimuste kogumi rakendamise ajal.

Näide 3 Kui täringut veeretatakse, on ainsad võimalikud sündmused:

A 1 - ühe punkti ilmumine,

A 2 - kahe punkti ilmumine,

A 3 - kolme punkti ilmumine,

A 4 - nelja punkti ilmumine,

A 5 - viie punkti ilmumine,

A 6 - kuue punkti ilmumine.

Definitsioon. Nad ütlevad, et sündmused kujunevad kogu ürituste grupp kui need sündmused on ainsad võimalikud ja kokkusobimatud.

Näidetes 1, 3 käsitletud sündmused moodustavad tervikliku rühma, kuna need on kokkusobimatud ja ainsad võimalikud.

Definitsioon. Nimetatakse kahte sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma vastupidine.

Kui on mingi sündmus, siis vastupidine sündmus on tähistatud .

Näide 4 Kui sündmus on vapp, siis sündmus on sabad.

Vastandlikud sündmused on ka: “õpilane sooritas eksami” ja “õpilane ei sooritanud eksamit”, “taim täitis plaani” ja “taim ei täitnud plaani”.

Definitsioon. Sündmused helistas võrdtõenäoline või võrdselt võimalik kui testi ajal on neil kõigil objektiivselt ühesugune esinemisvõimalus.

Pange tähele, et sama tõenäolised sündmused võivad ilmneda ainult katsetes tulemuse sümmeetriaga, mis tagatakse spetsiaalsete meetoditega (näiteks absoluutselt sümmeetriliste müntide, täringutega, ettevaatlik kaartide segamine, doomino, pallide segamine urnis jne).

Definitsioon. Kui mõne testi tulemused on üheselt võimalikud, kokkusobimatud ja võrdselt võimalikud, siis neid nimetatakse elementaarsed tulemused, juhtudel või võimalused, ja testi ennast nimetatakse juhtumi diagramm või "urniskeem"(kuna vaadeldava testi mis tahes tõenäosusprobleemi saab asendada samaväärse probleemiga erinevat värvi urnide ja kuulidega) .

Näide 5 Kui urnis on 3 valget ja 3 musta palli, mis on puudutusega identsed, siis toimub sündmus A 1 - valge palli ja sündmuse ilmumine A 2 - musta palli ilmumine on võrdsed sündmused.

Definitsioon. Nad ütlevad, et sündmus soosib sündmus või sündmus toob kaasa sündmus , kui välimus sündmus kindlasti tuleb.

Kui sündmusega kaasneb sündmus , tähistatakse seda sümbolitega samaväärne või samaväärne ja tähistada

Seega samaväärsed sündmused ja igal katsel toimuvad mõlemad või mõlemad ei toimu.

Tõenäosusteooria koostamiseks on lisaks juba kasutusele võetud põhimõistetele (juhuslik katse, juhuslik sündmus) vaja tutvustada veel ühte põhimõistet - juhusliku sündmuse tõenäosus.

Pange tähele, et ettekujutused sündmuse tõenäosusest on tõenäosusteooria arendamise käigus muutunud. Jälgime selle kontseptsiooni kujunemislugu.

Under tõenäosus juhuslik sündmus mõista sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõdet.

See määratlus peegeldab tõenäosuse kontseptsiooni kvalitatiivsest vaatepunktist. Seda tunti iidses maailmas.

Sündmuse tõenäosuse kvantitatiivne definitsioon anti esmakordselt tõenäosusteooria rajajate töödes, kes käsitlesid juhuslikke katseid, millel on sümmeetria või tulemuste objektiivne võrdsus. Nagu eespool märgitud, hõlmavad sellised juhuslikud katsed enamasti kunstlikult organiseeritud eksperimente, mille puhul kasutatakse erimeetodeid, et tagada tulemuste võrdne võimalus (kaartide või doominomängu segamine, täiesti sümmeetriliste täringute, müntide jne valmistamine). Seoses selliste juhuslike katsetega XVII sajandil. Prantsuse matemaatik Laplace sõnastas tõenäosuse klassikalise definitsiooni.

Kuna tõenäosusteooria on algselt vaid täringumängu teabe ja empiiriliste vaatluste kogumik, on tõenäosusteooriast saanud kindel teadus. Fermat ja Pascal olid esimesed, kes andsid sellele matemaatilise raamistiku.

Mõtisklustest igaviku üle tõenäosusteooriani

Kaks isikut, kellele tõenäosusteooria võlgneb palju fundamentaalseid valemeid, Blaise Pascal ja Thomas Bayes, on tuntud sügavalt usklike inimestena, viimane oli presbüterlastest minister. Ilmselt andis selle valdkonna uurimiseks tõuke nende kahe teadlase soov tõestada teatud Fortuuna kohta käiva arvamuse ekslikkust, kinkides tema lemmikutele õnne. Lõppude lõpuks on igasugune õnnemäng oma võitude ja kaotustega vaid matemaatiliste põhimõtete sümfoonia.

Tänu Chevalier de Mere'i põnevusele, kes oli ühtviisi nii mängur kui ka teaduse suhtes ükskõikne inimene, oli Pascal sunnitud leidma võimaluse tõenäosuse arvutamiseks. De Mere tundis huvi selle küsimuse vastu: "Mitu korda on vaja paarikaupa visata kaks täringut, et 12 punkti saamise tõenäosus ületaks 50%?". Teine küsimus, mis härrasmeest ülimalt huvitas: "Kuidas jagada panus pooleli jäänud mängus osalejate vahel?" Loomulikult vastas Pascal edukalt mõlemale de Mere'i küsimusele, kellest sai tahtmatult tõenäosusteooria väljatöötamise algataja. Huvitav on see, et de Mere isik jäi tuntuks just siinkandis, mitte aga kirjanduses.

Varem pole ükski matemaatik veel proovinud sündmuste tõenäosusi arvutada, kuna arvati, et see on vaid oletuslik lahendus. Blaise Pascal andis sündmuse tõenäosuse esimese definitsiooni ja näitas, et see on konkreetne arv, mida saab põhjendada matemaatiliselt. Tõenäosusteooriast on saanud statistika alus ja seda kasutatakse laialdaselt tänapäeva teaduses.

Mis on juhuslikkus

Kui arvestada testi, mida saab korrata lõpmatu arv kordi, siis saame defineerida juhusliku sündmuse. See on üks kogemuse võimalikest tulemustest.

Kogemus on konkreetsete toimingute elluviimine pidevates tingimustes.

Kogemuste tulemustega töötamiseks tähistatakse sündmusi tavaliselt tähtedega A, B, C, D, E ...

Juhusliku sündmuse tõenäosus

Tõenäosuse matemaatilise osa juurde liikumiseks on vaja defineerida kõik selle komponendid.

Sündmuse tõenäosus on mingi sündmuse (A või B) toimumise võimalikkuse arvuline mõõde kogemuse tulemusena. Tõenäosus on tähistatud kui P(A) või P(B).

Tõenäosusteooria on:

• usaldusväärne sündmuse toimumine on garanteeritud katse tulemusena Р(Ω) = 1;
• võimatu sündmus ei saa kunagi juhtuda Р(Ø) = 0;
• juhuslik sündmus asub kindla ja võimatu vahel, st selle toimumise tõenäosus on võimalik, kuid mitte garanteeritud (juhusliku sündmuse tõenäosus jääb alati vahemikku 0≤P(A)≤1).

Sündmustevahelised seosed

Nii ühte kui ka sündmuste A + B summat võetakse arvesse, kui sündmust arvestatakse vähemalt ühe komponendi A või B või mõlema - A ja B - rakendamisel.

Üksteise suhtes võivad sündmused olla:

• Samavõrra võimalik.
• ühilduvad.
• Sobimatu.
• Vastand (üksteist välistav).
• Sõltuv.

Kui kaks sündmust võivad juhtuda võrdse tõenäosusega, siis nad võrdselt võimalik.

Kui sündmuse A toimumine ei tühista sündmuse B toimumise tõenäosust, siis nad ühilduvad.

Kui sündmused A ja B ei esine kunagi samas katses samal ajal, siis nimetatakse neid Sobimatu. Mündi viskamine on hea näide: saba üles tulemine ei tähenda automaatselt peade tulekut.

Selliste kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosus koosneb iga sündmuse tõenäosuste summast:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Kui ühe sündmuse toimumine muudab teise toimumise võimatuks, siis nimetatakse neid vastupidiseks. Siis on üks neist tähistatud kui A ja teine ​​- Ā (loe kui "mitte A"). Sündmuse A toimumine tähendab, et Ā ei toimunud. Need kaks sündmust moodustavad täieliku rühma, mille tõenäosuste summa on 1.

Sõltuvad sündmused on vastastikune mõju, vähendades või suurendades üksteise tõenäosust.

Sündmustevahelised seosed. Näited

Näidete abil on palju lihtsam mõista tõenäosusteooria põhimõtteid ja sündmuste kombinatsiooni.

Katse, mis viiakse läbi, on pallide karbist välja tõmbamine ja iga katse tulemus on elementaarne.

Sündmus on üks kogemuse võimalikest tulemustest – punane pall, sinine pall, pall numbriga kuus jne.

Test number 1. Seal on 6 palli, millest kolm on sinised paaritute numbritega ja ülejäänud kolm on paarisnumbritega punased.

Test number 2. Seal on 6 sinist palli numbritega ühest kuueni.

Selle näite põhjal saame nimetada kombinatsioone:

• Usaldusväärne üritus. Hispaania keeles Nr 2, sündmus "saa sinine pall" on usaldusväärne, kuna selle toimumise tõenäosus on 1, kuna kõik pallid on sinised ja möödalaskmist ei saa olla. Sündmus "saada pall numbriga 1" on juhuslik.
• Võimatu sündmus. Hispaania keeles Sinise ja punase palliga nr 1 on sündmus "saada lilla pall" võimatu, kuna selle esinemise tõenäosus on 0.
• Samaväärsed sündmused. Hispaania keeles Nr 1, sündmused “saada pall numbriga 2” ja “saada pall numbriga 3” on võrdselt tõenäolised ning sündmused “saada pall paarisarvuga” ja “saada pall numbriga 2” on erineva tõenäosusega.
• Ühilduvad sündmused. Kuue saamine täringuheitmise käigus kaks korda järjest on ühilduvad sündmused.
• Kokkusobimatud sündmused. Samas hispaania keeles Nr 1 sündmusi "saada punane pall" ja "saada pall paaritu numbriga" ei saa ühes kogemuses kombineerida.
• vastupidised sündmused. Selle kõige markantsem näide on mündiviskamine, kus peade joonistamine on sama, mis sabade joonistamata jätmine ja nende tõenäosuste summa on alati 1 (täisrühm).
• Sõltuvad sündmused. Niisiis, hispaania keeles Nr 1, võid seada endale eesmärgiks kaks korda järjest punase palli välja tõmmata. Selle ekstraheerimine või ekstraheerimata jätmine esimesel korral mõjutab selle teistkordse ekstraheerimise tõenäosust.

On näha, et esimene sündmus mõjutab oluliselt teise tõenäosust (40% ja 60%).

Sündmuse tõenäosuse valem

Üleminek ennustamiselt täpsetele andmetele toimub teema ülekandmisel matemaatilisele tasandile. See tähendab, et otsuseid juhusliku sündmuse kohta, nagu "suur tõenäosus" või "minimaalne tõenäosus", saab tõlkida konkreetseteks arvandmeteks. Sellise materjali hindamine, võrdlemine ja juurutamine keerukamatesse arvutustesse on juba lubatud.

Arvutamise seisukohalt on sündmuse tõenäosuse määratlus elementaarsete positiivsete tulemuste arvu ja kõigi konkreetse sündmusega seotud kogemuste võimalike tulemuste arvu suhe. Tõenäosust tähistatakse P (A), kus P tähendab sõna "tõenäosus", mis on prantsuse keelest tõlgitud kui "tõenäosus".

Seega on sündmuse tõenäosuse valem järgmine:

Kui m on sündmuse A soodsate tulemuste arv, siis n on selle kogemuse kõigi võimalike tulemuste summa. Sündmuse tõenäosus on alati vahemikus 0 kuni 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Sündmuse tõenäosuse arvutamine. Näide

Võtame hispaania keele. 1 pallidega, mida on varem kirjeldatud: 3 sinist palli numbritega 1/3/5 ja 3 punast palli numbritega 2/4/6.

Selle testi põhjal saab kaaluda mitut erinevat ülesannet:

• A - punase palli kukkumine. Seal on 3 punast palli ja valikuid on kokku 6. See on kõige lihtsam näide, milles sündmuse tõenäosus on P(A)=3/6=0,5.
• B - paarisarvu väljalangemine. Paarisarvusid on kokku 3 (2,4,6) ja võimalike arvuvariantide koguarv on 6. Selle sündmuse tõenäosus on P(B)=3/6=0,5.
• C - 2-st suurema arvu kadu. Selliseid variante (3,4,5,6) on 4 võimalike tulemuste koguarvust 6. Sündmuse C tõenäosus on P(C)=4/6=0,67.

Nagu arvutustest näha, on sündmusel C suurem tõenäosus, kuna võimalike positiivsete tulemuste arv on suurem kui A ja B puhul.

Kokkusobimatud sündmused

Sellised sündmused ei saa ilmneda üheaegselt samas kogemuses. Nagu hispaania keeles Nr 1, sinist ja punast palli on võimatu korraga saada. See tähendab, et saate kas sinise või punase palli. Samamoodi ei saa täringus esineda korraga paaris ja paaritu arv.

Kahe sündmuse tõenäosust peetakse nende summa või korrutise tõenäosuseks. Selliste sündmuste summaks A + B loetakse sündmus, mis seisneb sündmuse A või B ilmnemises ja nende AB korrutis - mõlema ilmnemises. Näiteks kahe kuue ilmumine korraga kahe täringu näole ühe viskega.

Mitme sündmuse summa on sündmus, mis eeldab vähemalt ühe sündmuse toimumist. Mitme sündmuse tulemus on nende kõigi ühine toimumine.

Tõenäosusteoorias tähistab liidu "ja" kasutamine reeglina summat, liit "või" - korrutamist. Näidetega valemid aitavad mõista liitmise ja korrutamise loogikat tõenäosusteoorias.

Kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosus

Kui arvestada kokkusobimatute sündmuste tõenäosust, siis on sündmuste summa tõenäosus võrdne nende tõenäosuste summaga:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Näiteks: arvutame tõenäosuse, et hispaania keeles. Sinise ja punase palliga nr 1 langeb arvu 1 ja 4 vahele. Arvutame mitte ühe toiminguga, vaid elementaarkomponentide tõenäosuste summaga. Seega on sellises katses ainult 6 palli või 6 kõigist võimalikest tulemustest. Tingimust rahuldavad arvud on 2 ja 3. Arvu 2 saamise tõenäosus on 1/6, arvu 3 tõenäosus samuti 1/6. Tõenäosus saada arv vahemikus 1 kuni 4 on:

Täieliku rühma kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosus on 1.

Seega, kui kuubikuga katses liidame kõigi arvude saamise tõenäosused kokku, siis saame tulemuseks ühe.

See kehtib ka vastandlike sündmuste puhul, näiteks mündi katses, kus selle üks pool on sündmus A ja teine ​​vastupidine sündmus Ā, nagu on teada,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Kokkusobimatute sündmuste tekitamise tõenäosus

Tõenäosuste korrutamist kasutatakse kahe või enama kokkusobimatu sündmuse esinemisel ühes vaatluses. Tõenäosus, et sündmused A ja B ilmuvad selles samal ajal, on võrdne nende tõenäosuste korrutisega või:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Näiteks tõenäosus, et sisse Nr 1 kahe katse tulemusena ilmub kaks korda sinine pall, mis on võrdne

See tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus, kui kahe pallide eemaldamise katse tulemusena eraldatakse ainult sinised pallid, on 25%. Selle probleemiga on väga lihtne teha praktilisi katseid ja kontrollida, kas see on tegelikult nii.

Ühisüritused

Sündmused loetakse ühisteks, kui ühe neist ilmumine võib kattuda teise ilmumisega. Vaatamata asjaolule, et need on ühised, arvestatakse sõltumatute sündmuste tõenäosust. Näiteks kahe täringu viskamine võib anda tulemuse, kui mõlemale langeb number 6. Kuigi sündmused langesid kokku ja ilmnesid samal ajal, on need üksteisest sõltumatud - välja võib kukkuda vaid üks kuue, teisel täringul pole sellele mingit mõju.

Ühiste sündmuste tõenäosust peetakse nende summa tõenäosuseks.

Ühiste sündmuste summa tõenäosus. Näide

Sündmuste A ja B, mis on üksteise suhtes ühised, summa tõenäosus on võrdne sündmuse tõenäosuste summaga, millest on lahutatud nende korrutise (st nende ühise teostuse) tõenäosus:

R liigend. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Oletame, et ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,4. Seejärel sündmus A – sihtmärgi tabamine esimesel katsel, B – teisel katsel. Need sündmused on ühised, kuna on võimalik, et sihtmärki on võimalik tabada nii esimesest kui ka teisest lasust. Kuid sündmused ei sõltu. Kui suur on tõenäosus tabada sihtmärki kahe lasuga (vähemalt ühe)? Vastavalt valemile:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Vastus küsimusele on: "Tõenäosus kahe lasuga sihtmärki tabada on 64%.

Seda sündmuse tõenäosuse valemit saab rakendada ka mitteühilduvate sündmuste puhul, kus sündmuse ühise toimumise tõenäosus P(AB) = 0. See tähendab, et kokkusobimatute sündmuste summa tõenäosust võib pidada pakutud valemi erijuhtumiks.

Tõenäosuse geomeetria selguse huvides

Huvitaval kombel saab ühissündmuste summa tõenäosust kujutada kahe piirkonnana A ja B, mis ristuvad üksteisega. Nagu pildilt näete, on nende liidu pindala võrdne kogupindalaga, millest on lahutatud nende ristumiskoha pindala. See geomeetriline seletus muudab näiliselt ebaloogilise valemi arusaadavamaks. Pange tähele, et geomeetrilised lahendused pole tõenäosusteoorias haruldased.

Ühissündmuste hulga (rohkem kui kahe) summa tõenäosuse määratlemine on üsna tülikas. Selle arvutamiseks peate kasutama nende juhtumite jaoks ette nähtud valemeid.

Sõltuvad sündmused

Sõltuvad sündmused kutsutakse esile, kui neist ühe (A) toimumine mõjutab teise (B) toimumise tõenäosust. Lisaks võetakse arvesse nii sündmuse A toimumise kui ka selle mittetoimumise mõju. Kuigi sündmusi nimetatakse definitsiooni järgi sõltuvaks, on ainult üks neist sõltuv (B). Tavalist tõenäosust tähistati kui P(B) või sõltumatute sündmuste tõenäosust. Ülalpeetavate puhul võetakse kasutusele uus mõiste - tingimuslik tõenäosus P A (B), mis on sõltuva sündmuse B tõenäosus tingimusel, et on toimunud sündmus A (hüpotees), millest see sõltub.

Kuid sündmus A on samuti juhuslik, seega on sellel ka tõenäosus, mida tuleb ja saab arvutustes arvesse võtta. Järgmine näide näitab, kuidas töötada sõltuvate sündmuste ja hüpoteesidega.

Näide sõltuvate sündmuste tõenäosuse arvutamisest

Hea näide sõltuvate sündmuste arvutamiseks on tavaline kaardipakk.

36 kaardist koosneva paki näitel kaaluge sõltuvaid sündmusi. On vaja kindlaks määrata tõenäosus, et kaardipakist teine ​​kaart on teemantmasti, kui esimene tõmmatud kaart on:

1. Tamburiin.
2. Teine ülikond.

Ilmselt sõltub teise sündmuse B tõenäosus esimesest A-st. Seega, kui esimene variant on tõene, mis on pakis 1 kaardi (35) ja 1 rombi (8) võrra vähem, on sündmuse B tõenäosus:

PA (B) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Kui teine ​​variant on tõene, siis pakis on 35 kaarti ja tamburiinide koguarv (9) on endiselt alles, siis on järgmise sündmuse tõenäosus B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

On näha, et kui sündmuse A tingimuseks on, et esimene kaart on teemant, siis sündmuse B tõenäosus väheneb ja vastupidi.

Sõltuvate sündmuste korrutamine

Eelmise peatüki põhjal aktsepteerime esimest sündmust (A) kui fakti, kuid sisuliselt on sellel juhuslik iseloom. Selle sündmuse, nimelt tamburiini kaardipakist väljatõmbamise tõenäosus on võrdne:

P(A) = 9/36 = 1/4

Kuna teooria ei eksisteeri üksi, vaid on kutsutud teenima praktilistel eesmärkidel, on õiglane märkida, et enamasti on vaja sõltuvate sündmuste korrutist.

Sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutise teoreemi kohaselt on ühiselt sõltuvate sündmuste A ja B toimumise tõenäosus võrdne ühe sündmuse A tõenäosusega, mis on korrutatud sündmuse B tingimusliku tõenäosusega (sõltub A-st):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Siis kaardipakiga näites on tõenäosus, et tõmmatakse kaks teemantidega kaarti:

9/36*8/35=0,0571 ehk 5,7%

Ja tõenäosus, et alguses ekstraheeritakse mitte teemante, vaid siis teemante, on võrdne:

27/36*9/35=0,19 või 19%

Näha on, et sündmuse B toimumise tõenäosus on suurem, eeldusel, et esimesena tõmmatakse mõni muu masti kui teemant kaart. See tulemus on üsna loogiline ja arusaadav.

Sündmuse kogutõenäosus

Kui tingimuslike tõenäosustega seotud probleem muutub mitmetahuliseks, ei saa seda tavameetoditega arvutada. Kui hüpoteese on rohkem kui kaks, nimelt A1, A2, ..., A n , .. moodustab tingimusel täieliku sündmuste rühma:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Seega on sündmuse B kogutõenäosuse valem juhuslike sündmuste A1, A2, ..., A n täieliku rühmaga:

Pilk tulevikku

Juhusliku sündmuse tõenäosus on oluline paljudes teadusvaldkondades: ökonomeetrias, statistikas, füüsikas jne. Kuna mõnda protsessi ei saa deterministlikult kirjeldada, kuna need ise on tõenäosuslikud, on vaja spetsiaalseid töömeetodeid. Sündmuse teooria tõenäosust saab kasutada mis tahes tehnoloogilises valdkonnas, et määrata kindlaks vea või rikke võimalus.

Võib öelda, et tõenäosuse äratundmisega astume me kuidagi teoreetilise sammu tulevikku, vaadates seda läbi valemite prisma.

Plaan.

1. Juhuslik muutuja (CV) ja sündmuse tõenäosus.

2. SW jaotuse seadus.

3. Binoomjaotus (Bernoulli jaotus).

4. Poissoni jaotus.

5. Normaal (Gaussi) jaotus.

6. Ühtlane jaotus.

7. Üliõpilaste jaotus.

2.1 Juhuslik muutuja ja sündmuse tõenäosus

Matemaatiline statistika on tihedalt seotud muuga matemaatikateadus- tõenäosusteooria ja põhineb selle matemaatilisel aparaadil.

Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib juhuslike sündmuste tekitatud mustreid.

Pedagoogilised nähtused kuuluvad massiliste nähtuste hulka: need hõlmavad suuri inimesi, korduvad aastast aastasse ja esinevad pidevalt. Pedagoogilise protsessi näitajad (parameetrid, tulemused) on tõenäosuslikku laadi: sama pedagoogiline mõju võib viia erinevate tagajärgedeni (juhuslikud sündmused, juhuslikud muutujad). Sellegipoolest ilmnevad tingimuste korduva reprodutseerimise korral teatud tagajärjed sagedamini kui teised - see on nn statistiliste seaduspärasuste ilming (mida uurib tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika).

Juhuslik muutuja (CV) - see on arvuline karakteristik, mida mõõdetakse katse käigus ja sõltuvalt juhuslikust tulemusest. Katse käigus realiseeritud SW on ise juhuslik. Iga RV määratleb tõenäosusjaotuse.

peamine vara pedagoogilised protsessid, nähtused on nende tõenäosuslik olemus (antud tingimustel võivad need esineda, realiseeruda, kuid ei pruugi tekkida). Selliste nähtuste puhul mängib tõenäosuse mõiste olulist rolli.

Tõenäosus (P) näitab antud sündmuse, nähtuse, tulemuse võimalikkuse astet. Võimatu sündmuse tõenäosus on null lk = 0, usaldusväärne - üks lk = 1 (100%). Mis tahes sündmuse tõenäosus on vahemikus 0 kuni 1, olenevalt sellest, kui juhuslik sündmus on.

Kui meid huvitab sündmus A, siis suure tõenäosusega saame jälgida, fikseerida selle toimumise fakte. Ilmselt tekib vajadus tõenäosuse mõiste ja selle arvutamise järele alles siis, kui me seda sündmust mitte iga kord ei jälgi või mõistame, et see võib juhtuda või mitte. Mõlemal juhul on kasulik kasutada sündmuse esinemissageduse mõistet f(A) - selle toimumisjuhtude arvu (soodsate tulemuste) ja vaatluste koguarvu suhtena. Juhusliku sündmuse esinemissagedus ei sõltu ainult sündmuse enda juhuslikkuse astmest, vaid ka selle SW vaatluste arvust (arvust).

SV-proove on kahte tüüpi: sõltuv Ja sõltumatu. Kui esimese valimi objektide teatud omaduse mõõtmise tulemused ei mõjuta selle omaduse mõõtmise tulemusi teise valimi objektides, loetakse sellised valimid sõltumatuks. Kui ühe proovi tulemused mõjutavad teise proovi tulemusi, võetakse proove arvesse sõltuv. Klassikaline viis sõltuvate mõõtmiste saamiseks on sama omaduse kahekordne mõõtmine (või erinevad omadused) sama rühma liikmetele.

Sündmus A ei sõltu sündmusest B, kui sündmuse A tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus B toimus või mitte. Sündmused A ja B on sõltumatud, kui P(AB)=P(A)P(B). Praktikas rajatakse sündmuse sõltumatus kogemuse tingimustest, uurija intuitsioonist ja praktikast.

CV on diskreetne (selle võimalikud väärtused saame nummerdada), näiteks matriitsi veeremine = 4, 6, 2 ja pidev (selle jaotusfunktsioon F(x) on pidev), näiteks lambipirni eluiga.

Matemaatiline ootus on SW arvuline karakteristik, mis on ligikaudu võrdne SW keskmise väärtusega:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 SW jaotuse seadus

Kas oma olemuselt juhuslikele nähtustele kehtivad mingid seadused? Jah, aga need seadused erinevad sellest, millega oleme harjunud. füüsikalised seadused. SW väärtusi ei saa ennustada isegi teadaolevates katsetingimustes, saame näidata ainult tõenäosust, et SW võtab ühe või teise väärtuse. Kuid teades SW tõenäosusjaotust, saame teha järeldusi sündmuste kohta, milles need juhuslikud muutujad osalevad. Tõsi, need järeldused on ka tõenäosusliku iseloomuga.

Mõni SW olgu diskreetne, st. võib võtta ainult fikseeritud väärtusi X i . Sel juhul nimetatakse selle suuruse kõigi (i=1…n) lubatud väärtuste tõenäosuste jadat P(X i) selle jaotusseaduseks.

SW jaotuse seadus on seos, mis loob seose SW võimalike väärtuste ja nende väärtuste aktsepteerimise tõenäosuste vahel. Jaotusseadus iseloomustab täielikult SW-d.

Statistilise hüpoteesi kontrollimiseks matemaatilise mudeli koostamisel on vaja sisse viia matemaatiline eeldus SW jaotuse seaduse kohta (mudeli koostamise parameetriline viis).

Mitteparameetriline lähenemine matemaatilise mudeli kirjeldamisele (SW-l ei ole parameetrilist jaotuse seadust) on vähem täpne, kuid selle ulatus on laiem.

Samamoodi nagu juhusliku sündmuse tõenäosuse puhul, on CV jaotusseaduse jaoks selle leidmiseks vaid kaks võimalust. Kas koostame juhusliku sündmuse skeemi ja leiame tõenäosuse arvutamiseks analüütilise avaldise (valemi) (võib-olla on keegi seda juba teinud või teeb seda enne teid!), Või peame kasutama katset ja tegema vaatlussageduste põhjal jaotusseaduse kohta mõned eeldused (esima hüpoteesid).

Loomulikult on iga "klassikalise" jaotuse puhul seda tööd tehtud juba pikka aega – laialdaselt tuntud ja rakendusstatistikas väga sageli kasutatavad on binoom- ja polünoomjaotused, geomeetrilised ja hüpergeomeetrilised jaotused, Pascali ja Poissoni jaotused ning paljud teised.

Peaaegu kõigi klassikaliste jaotuste jaoks koostati ja avaldati kohe spetsiaalsed statistilised tabelid, mida arvutuste täpsuse kasvades täpsustati. Ilma nende tabelite paljude köidete kasutamiseta, nende kasutamise reegleid tundmata on statistika praktiline kasutamine viimased kaks sajandit olnud võimatu.

Tänaseks on olukord muutunud – pole vaja arvutusandmeid valemite abil salvestada (ükskõik kui keerulised need viimased ka poleks!), Jaotusseaduse kasutamise aeg praktikas väheneb minutiteks või isegi sekunditeks. Juba praegu on selleks piisav hulk erinevaid rakenduslike arvutiprogrammide pakette.

Kõigi tõenäosusjaotuste hulgas on neid, mida praktikas kasutatakse kõige sagedamini. Neid jaotusi on üksikasjalikult uuritud ja nende omadused on hästi teada. Paljud neist jaotustest moodustavad aluse tervetele teadmiste valdkondadele, nagu järjekorrateooria, usaldusväärsuse teooria, kvaliteedikontroll, mänguteooria jne.

2.3 Binoomjaotus (Bernoulli jaotus)

See tekib neil juhtudel, kui püstitatakse küsimus: mitu korda toimub sündmus teatud arvu sõltumatute vaatluste (katsete) seerias, mis tehakse samadel tingimustel.

Mugavuse ja selguse huvides eeldame, et teame väärtust p – tõenäosus, et poodi sisenevast külastajast saab ostja ja (1 – p) = q – tõenäosust, et poodi sisenevast külastajast ei saa ostjat.

Kui X on ostjate arv alates koguarv n külastajat, siis on tõenäosus, et n külastaja hulgas on k ostjat

P(X= k) = , kus k=0,1,…n (1)

Valemit (1) nimetatakse Bernoulli valemiks. Suure arvu katsete korral kipub binoomjaotus olema normaalne.

2.4 Poissoni jaotus

See mängib olulist rolli paljudes küsimustes füüsikas, kommunikatsiooniteoorias, usaldusväärsuse teoorias, järjekorrateoorias jne. Kõikjal, kus teatud aja jooksul võib toimuda juhuslik arv sündmusi (radioaktiivsed lagunemised, telefonikõned, seadmete rikked, õnnetused jne).

Vaatleme kõige tüüpilisemat olukorda, kus Poissoni jaotus esineb. Laske mõnel sündmusel (poeostudel) toimuda juhuslikel aegadel. Määrame selliste sündmuste esinemiste arvu ajavahemikus 0 kuni T.

Juhuslik arv sündmusi, mis toimusid aja jooksul vahemikus 0 kuni T, jaotatakse Poissoni seaduse järgi parameetriga l=aT, kus a>0 on ülesande parameeter, mis peegeldab sündmuste keskmist sagedust. K ostu tõenäosus suure ajaintervalli (näiteks päeva) jooksul on

P(Z=k) =

(2)

2.5 Normaal (Gaussi) jaotus

Normaaljaotus (Gaussi) on tõenäosuslik-statistilise uurimistöö teoorias ja praktikas kesksel kohal. Pideva lähendusena binoomjaotus Seda käsitles esmakordselt A. Moivre aastal 1733. Mõne aja pärast avastasid normaaljaotuse uuesti ja uurisid seda K. Gauss (1809) ja P. Laplace, kes jõudsid normaalfunktsiooni juurde seoses tööga vaatlusvigade teooriaga.

Pidev juhuslik muutuja X helistas jaotatakse tavaseaduse järgi, kui selle jaotustihedus on võrdne

Kus

langeb kokku X matemaatilise ootusega:
=M(X), parameeter s langeb kokku X standardhälbega: s =s(X). Normaaljaotusfunktsiooni graafik, nagu jooniselt näha, on kuplikujulise kõvera kujuga, mida nimetatakse Gaussiks, maksimumpunktil on koordinaadid (a;

See kõver μ=0, σ=1 sai standardi staatuse, seda nimetatakse ühiknormaalkõveraks, see tähendab, et kõik kogutud andmed püütakse teisendada nii, et nende jaotuskõver oleks sellele standardkõverale võimalikult lähedal.

Normaliseeritud kõver leiutati tõenäosusteooria probleemide lahendamiseks, kuid praktikas selgus, et see ühtlustab suurepäraselt sagedusjaotust paljude muutujate suure hulga vaatlustega. Võib eeldada, et ilma materiaalsete piiranguteta objektide arvule ja katse ajale, statistiline uuring vähendatud normaalse kõverani.

2.6 Ühtlane jaotus

Ühtlane tõenäosusjaotus on kõige lihtsam ja võib olla kas diskreetne või pidev. Diskreetne ühtlane jaotus on selline jaotus, mille puhul CB iga väärtuse tõenäosus on sama, see tähendab:

kus N on võimalike SW väärtuste arv.

Pideva CB X tõenäosusjaotust, võttes kõik selle väärtused lõigust [a; b], nimetatakse ühtlaseks, kui selle tõenäosustihedus sellel lõigul on konstantne ja väljaspool seda on võrdne nulliga:

(5)

2.7 Üliõpilaste jaotus

See jaotus on seotud normaaljaotusega. Kui RV x 1 , x 2 , … x n on sõltumatud ja igaühel neist on standard normaaljaotus N(0,1), siis SW-l on jaotus nimega levitamine Üliõpilane:

tõenäosussündmuste kombinatoorika statistika

Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid. Juhuslikud nähtused on ebakindla tulemusega nähtused, mis tekivad teatud tingimuste korduvalt taasesitamisel. Tõenäosusteooria kujunemist ja arengut seostatakse selliste suurte teadlaste nimedega nagu Cardano, Pascal, Fermat, Bernoulli, Gauss, Chebyshev, Kalmogorov ja paljud teised. Juhuslike nähtuste mustrid avastati esmakordselt 16. - 17. sajandil. hasartmängude näitel, sarnaselt täringumänguga. Sünni ja surma seaduspärasusi tuntakse samuti väga pikka aega. Näiteks, kas on teada, et vastsündinu tõenäosus on poiss? 0,515. 19. ja 20. sajandil avati suur number füüsika, keemia, bioloogia jne seadusi. Praegu kasutatakse tõenäosusteooria meetodeid laialdaselt erinevatest tööstusharudest loodusteadused ja tehnoloogia: usaldusväärsuse teoorias, järjekorra teoorias, sisse teoreetiline füüsika, geodeesia, astronoomia, laskmisteooria, vaatlusvea teooria, automaatjuhtimise teooria, üldine teooria side ning paljudes teistes teoreetilistes ja rakendusteadustes. Tõenäosusteooria abil saab põhjendada ka matemaatilist ja rakendusstatistikat, mida omakorda kasutatakse tootmise planeerimisel ja korraldamisel, tehnoloogiliste protsesside analüüsimisel, tootekvaliteedi ennetus- ja vastuvõtukontrollil ning paljudel muudel eesmärkidel. IN viimased aastad tõenäosusteooria meetodid tungivad üha laiemalt sisse erinevaid valdkondi teadust ja tehnoloogiat, aidates kaasa nende arengule.

Kohtuprotsess. Sündmus. Sündmuste klassifikatsioon

Katse on sama tingimuste kogumi korduv reprodutseerimine, mille korral vaatlus tehakse. Kvalitatiivne testi tulemus on sündmus. Näide 1: Urn sisaldab värvilisi palle. Urnist võetakse õnneks üks pall. Test – palli urnist väljatõmbamine; Sündmus – palli ilmumine teatud värvi. A.2: Ühe katse üksteist välistavate tulemuste kogumit nimetatakse elementaarsete sündmuste või elementaarsete tulemuste kogumiks. Näide 2: täringut visatakse üks kord. Test – luu viskamine; Sündmus – teatud arvu punktide kaotus. Elementaarsete tulemuste hulk on (1,2,3,4,5,6). Sündmusi tähistatakse ladina tähestiku suurtähtedega: A 1, A 2, ..., A, B, C, ... Vaadeldud sündmused (nähtused) võib jagada kolmeks järgnevaks tüübiks: usaldusväärsed, võimatud, juhuslikud. V. 3: Sündmust nimetatakse kindlaks, kui see testi tulemusena kindlasti toimub. V4: sündmust peetakse võimatuks, kui seda testi tulemusena kunagi ei juhtu. A.5: Sündmust nimetatakse juhuslikuks, kui see võib testi tulemusel toimuda või mitte toimuda. Näide 3: Test – pall visatakse üles. Sündmus A = (pall kukub) - usaldusväärne; Sündmus B=(pall jääb õhku rippuma) on võimatu; Sündmus C=(pall kukub viskajale pähe) on juhuslik. Juhuslikud sündmused (nähtused) võib jagada järgmisteks tüüpideks: ühine, kokkusobimatu, vastandlik, võrdselt võimalik. V. 6: Kaht sündmust nimetatakse ühiseks, kui ühes katses ei välista ühe neist toimumine teise toimumist. V. 7: kahte sündmust peetakse kokkusobimatuks, kui ühes katses välistab ühe neist toimumine teise toimumise. Näide 4: Münti visatakse kaks korda. Sündmus A – (embleem langes esimest korda maha); Sündmus B - (Teine vapp langes välja); Sündmus C – (peab esimest korda). Sündmused A ja B on ühised, A ja C ei ühildu. V. 8: Mitu sündmust moodustavad antud katses tervikliku rühma, kui need on paaride kaupa kokkusobimatud ja katse tulemusena ilmub kindlasti üks neist sündmustest. Näide 5: poiss viskab mündi mänguautomaati. Sündmus A =(poiss võidab); Sündmus B=(poiss ei võida); A ja B - moodustavad tervikliku sündmuste rühma. V.9: Kahte kokkusobimatut sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma, nimetatakse vastandlikuks. Sündmusele A vastandlik sündmus on tähistatud. Näide 6. Sihtmärki tehakse üks lask. Sündmus A – tabamus; Üritus jääb vahele.