Lõigu pikkus koordinaatteljel leitakse valemiga:

Segmendi pikkus koordinaattasand otsitakse valemiga:

Segmendi pikkuse leidmiseks kolmemõõtmelises koordinaatsüsteemis kasutatakse järgmist valemit:

Lõigu keskkoha koordinaadid (koordinaatide telje jaoks kasutatakse ainult esimest valemit, koordinaattasandi jaoks - kaks esimest valemit, kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemi jaoks - kõik kolm valemit) arvutatakse valemite abil:

Funktsioon on vormi vastavus y= f(x) muutujate vahel, mille tõttu iga vaadeldav väärtus mõne muutuv x(argument või sõltumatu muutuja) vastab mõne teise muutuja teatud väärtusele, y(sõltuv muutuja, mõnikord nimetatakse seda väärtust lihtsalt funktsiooni väärtuseks). Pange tähele, et funktsioon eeldab, et argumendi üks väärtus X sõltuval muutujal saab olla ainult üks väärtus juures. Samas sama väärtus juures saab erinevatega X.

Funktsiooni ulatus on kõik sõltumatu muutuja väärtused (tavaliselt funktsiooni argument X), mille jaoks funktsioon on määratletud, s.t. selle tähendus on olemas. Määratluspiirkond on näidatud D(y). Üldiselt olete selle kontseptsiooniga juba tuttav. Funktsiooni ulatust nimetatakse muidu kehtivate väärtuste domeeniks ehk ODZ-ks, mida olete leidnud juba pikka aega.

Funktsioonide vahemik on selle funktsiooni sõltuva muutuja kõik võimalikud väärtused. Tähistatakse E(juures).

Funktsioon tõuseb intervallil, millel argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele. Funktsioon väheneb intervallil, millel argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Funktsioonide intervallid on sõltumatu muutuja intervallid, mille jooksul sõltuv muutuja säilitab oma positiivse või negatiivse märgi.

Funktsiooni nullid on need argumendi väärtused, mille funktsiooni väärtus on võrdne nulliga. Nendes punktides lõikub funktsiooni graafik abstsissteljega (OX-telg). Väga sageli tähendab funktsiooni nullpunktide leidmise vajadus lihtsalt võrrandi lahendamist. Samuti tähendab vajadus leida konstantse märgi intervalle sageli vajadust ebavõrdsus lihtsalt lahendada.

Funktsioon y = f(x) kutsutakse isegi X

See tähendab, et argumendi mis tahes vastupidiste väärtuste korral on paarisfunktsiooni väärtused võrdsed. Ajakava ühtlane funktsioon alati sümmeetriline y-telje suhtes.

Funktsioon y = f(x) kutsutakse kummaline, kui see on määratletud sümmeetrilise hulga ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus täidetud:

See tähendab, et argumendi mis tahes vastupidiste väärtuste korral on paaritu funktsiooni väärtused samuti vastupidised. Paaritu funktsiooni graafik on alati sümmeetriline lähtekoha suhtes.

Paarisarvu juurte summa ja veidrad omadused(x-telje OX lõikepunktid) on alati null, sest iga positiivse juure jaoks X konto eest negatiivne juur –X.

Oluline on märkida, et mõni funktsioon ei pea olema paaris või paaritu. On palju funktsioone, mis pole paaris ega paaritud. Selliseid funktsioone nimetatakse funktsioonid üldine vaade , ja ükski ülaltoodud võrdsustest või omadustest ei kehti nende kohta.

Lineaarne funktsioon nimetatakse funktsiooniks, mille saab anda valemiga:

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon ja näeb üldjuhul välja selline (näide on toodud juhuks, kui k> 0, sel juhul funktsioon kasvab; selleks puhuks k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Ruutfunktsiooni graafik (parabool)

Parabooli graafik on antud ruutfunktsiooniga:

Ruutfunktsioon, nagu iga teinegi funktsioon, lõikub OX-teljega punktides, mis on selle juured: ( x 1 ; 0) ja ( x 2; 0). Kui juuri pole, siis ruutfunktsioon ei lõiku OX-teljega, kui on üks juur, siis selles punktis ( x 0; 0) ruutfunktsioon puudutab ainult OX-telge, kuid ei lõiku sellega. Ruutfunktsioon lõikub alati OY-teljega punktis, mille koordinaadid on: (0; c). Ruutfunktsiooni (parabooli) graafik võib välja näha selline (joonisel on näited, mis ei ammenda kaugeltki kõiki võimalikke paraboolitüüpe):

Kus:

• kui koefitsient a> 0, funktsioonis y = kirves 2 + bx + c, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole;
• kui a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Parabooli tipukoordinaate saab arvutada järgmiste valemite abil. X topid (lk- ülaltoodud joonistel) paraboolist (või punktist, kus ruudu kolmik saavutab maksimaalse või minimaalse väärtuse):

Y tipud (q- ülaltoodud joonistel) parabooli või maksimumi, kui parabooli harud on suunatud alla ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), väärtus ruudukujuline kolmik:

Muude funktsioonide graafikud

toitefunktsioon

Siin on mõned näited võimsusfunktsioonide graafikutest:

Pöördvõrdeline sõltuvus kutsuge välja valemiga antud funktsioon:

Olenevalt numbri märgist k Pöördvõrdelisel graafikul võib olla kaks põhivalikut:

Asümptoot on sirge, millele funktsiooni graafiku joon läheneb lõpmatult lähedale, kuid ei ristu. Graafikute asümptoodid pöördvõrdelisusülaltoodud joonisel on näidatud koordinaatteljed, millele funktsiooni graafik läheneb lõpmatult lähedale, kuid ei ristu neid.

eksponentsiaalne funktsioon koos alusega A kutsuge välja valemiga antud funktsioon:

a ajakava eksponentsiaalne funktsioon võib olla kaks põhivalikut (toome ka näiteid, vt allpool):

logaritmiline funktsioon kutsuge välja valemiga antud funktsioon:

Olenevalt sellest, kas arv on suurem või väiksem kui üks a Logaritmilise funktsiooni graafikul võib olla kaks põhivalikut:

Funktsioonigraafik y = |x| järgnevalt:

Perioodiliste (trigonomeetriliste) funktsioonide graafikud

Funktsioon juures = f(x) kutsutakse perioodiline, kui selline nullist erinev arv on olemas T, Mida f(x + T) = f(x), kõigile X väljaspool funktsiooni ulatust f(x). Kui funktsioon f(x) on perioodiline perioodiga T, siis funktsioon:

Kus: A, k, b on konstantsed arvud ja k ei ole võrdne nulliga, ka perioodiline koos punktiga T 1 , mis määratakse järgmise valemiga:

Enamik perioodiliste funktsioonide näiteid on trigonomeetrilised funktsioonid. Siin on peamised graafikud trigonomeetrilised funktsioonid. Järgmisel joonisel on näidatud osa funktsiooni graafikust y= patt x(kogu graafik jätkub lõputult vasakule ja paremale), funktsiooni graafik y= patt x helistas sinusoid:

Funktsioonigraafik y= cos x helistas koosinuslaine. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Alates siinuse graafikust jätkub see lõputult piki OX-telge vasakule ja paremale:

Funktsioonigraafik y=tg x helistas tangentoid. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Nagu ka teiste perioodiliste funktsioonide graafikud, kordub see graafik lõpmatuseni piki OX-telge vasakule ja paremale.

Ja lõpuks funktsiooni graafik y=ctg x helistas kotangentoid. See graafik on näidatud järgmisel joonisel. Nagu ka teiste perioodiliste ja trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, kordub see graafik lõpmatuseni piki OX-telge vasakule ja paremale.

Õppige füüsikas kõiki valemeid ja seadusi ning matemaatikas valemeid ja meetodeid. Tegelikult on seda ka väga lihtne teha, füüsikas on ainult umbes 200 vajalikku valemit ja matemaatikas isegi veidi vähem. Kõigis neis õppeainetes on põhilise keerukusega ülesannete lahendamiseks kümmekond standardmeetodit, mida saab ka õppida ning seega täiesti automaatselt ja raskusteta enamiku digitransformatsioonist õigel ajal lahendada. Pärast seda peate mõtlema ainult kõige raskematele ülesannetele.

Osalege füüsika ja matemaatika proovikatsete kõigis kolmes etapis. Mõlema võimaluse lahendamiseks saab iga RT-d külastada kaks korda. Jällegi, CT-l on lisaks oskusele kiiresti ja tõhusalt probleeme lahendada ning valemite ja meetodite tundmisele vaja osata õigesti aega planeerida, jõudu jaotada ja mis kõige tähtsam - vastusevorm õigesti täita. , ajamata segi ei vastuste ja ülesannete numbreid ega oma nime. Samuti on RT ajal oluline harjuda ülesannetes küsimuste esitamise stiiliga, mis võib DT-s ettevalmistamata inimesele tunduda väga harjumatu.

Nende kolme punkti edukas, hoolas ja vastutustundlik rakendamine võimaldab teil näidata CT-s suurepärast tulemust, maksimaalset, milleks olete võimeline.

Kas leidsite vea?

Kui arvate, et olete leidnud vea koolitusmaterjalid, siis kirjuta sellest palun posti teel. Samuti saate teatada veast sotsiaalvõrgustik(). Kirjas märkige õppeaine (füüsika või matemaatika), teema või testi nimetus või number, ülesande number või koht tekstis (leheküljel), kus teie arvates on viga. Samuti kirjeldage, mis on väidetav viga. Teie kiri ei jää märkamata, viga kas parandatakse või teile selgitatakse, miks see viga pole.

Elementaarfunktsioonid ja nende graafikud

Otse proportsionaalsus. Lineaarne funktsioon.

Pöördvõrdeline proportsioon. Hüperbool.

ruutfunktsioon. Ruudukujuline parabool.

Toitefunktsioon. Eksponentfunktsioon.

logaritmiline funktsioon. trigonomeetrilised funktsioonid.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid.

1.	proportsionaalsed väärtused. Kui muutujad y Ja x otse proportsionaalne, siis nendevaheline funktsionaalne sõltuvus on väljendatud võrrandiga: y = k x , Kus k- konstantne väärtus ( proportsionaalsustegur). Ajakava sirge proportsionaalsus- alguspunkti läbiv sirgjoon, mis moodustub koos teljega X nurk, mille puutuja on k:tan= k(joonis 8). Seetõttu nimetatakse ka proportsionaalsuse koefitsienti kaldetegur. Joonisel 8 on näidatud kolm graafikut k = 1/3, k= 1 ja k = 3 .
2.	Lineaarne funktsioon. Kui muutujad y Ja xühendatud 1. astme võrrandiga: Ax + Autor = C , kus on vähemalt üks numbritest A või B ei ole võrdne nulliga, siis on selle funktsionaalse sõltuvuse graafik sirgjoon. Kui C= 0, siis läbib alguspunkti, muidu mitte. Lineaarsed funktsioonigraafikud erinevate kombinatsioonide jaoks A,B,C on näidatud joonisel 9.
3.	Tagurpidi proportsionaalsus. Kui muutujad y Ja x tagasi proportsionaalne, siis nendevaheline funktsionaalne sõltuvus on väljendatud võrrandiga: y = k / x , Kus k- püsiv väärtus. Pöördvõrdeline graafik – hüperbool (joonis 10). Sellel kõveral on kaks haru. Hüperboolid saadakse, kui ümmarguse koonuse lõikamine toimub tasapinnaga (koonuselõike kohta vt peatüki "Stereomeetria" jaotist "Koonus"). Nagu on näidatud joonisel 10, on hüperbooli punktide koordinaatide korrutis konstantne väärtus, meie näites võrdne 1-ga. Üldjuhul on see väärtus võrdne k, mis tuleneb hüperbooli võrrandist: xy = k. Hüperbooli peamised omadused ja omadused: Funktsiooni ulatus: x 0, vahemik: y 0 ; Funktsioon on monotoonne (kahanev) juures x< 0 ja kell x > 0, kuid mitte monotoonne üldiselt murdepunkti tõttu x= 0 (mõtle miks?); Piiramatu funktsioon, punktis katkendlik x= 0, paaritu, mitteperioodiline; - Funktsioonil pole nulle.
4.	Ruutfunktsioon. See on funktsioon: y = kirves 2 + bx + c, Kus a, b, c- alaline, a 0. Kõige lihtsamal juhul on meil: b=c= 0 ja y = kirves 2. Selle funktsiooni graafik ruutparabool - alguspunkti läbiv kõver (joon. 11). Igal paraboolil on sümmeetriatelg OY, mida nimetatakse parabooli telg. Punkt O nimetatakse parabooli ja tema telje lõikepunkti parabooli tipp. Funktsioonigraafik y = kirves 2 + bx + c on ka sama tüüpi ruutparabool nagu y = kirves 2 , kuid selle tipp ei asu lähtepunktis, vaid koordinaatidega punktis: Ruutparabooli kuju ja asukoht koordinaatsüsteemis sõltuvad täielikult kahest parameetrist: koefitsiendist a juures x 2 ja diskrimineerija D:D = b 2 – 4ac. Need omadused tulenevad ruutvõrrandi juurte analüüsist (vt vastavat jaotist Algebra peatükis). Kõik võimalikud erinevad juhud ruutparabooli jaoks on näidatud joonisel 12.

Palun joonistage juhtumi jaoks ruudukujuline parabool a > 0, D > 0 .

Ruutparabooli peamised omadused ja omadused:

Funktsiooni ulatus:  < x+ (st. x R ) ja piirkond

väärtused: … (Palun vasta ise sellele küsimusele!);

Funktsioon tervikuna ei ole monotoonne, vaid asub tipust paremal või vasakul

käitub monotoonselt;

Funktsioon on piiramatu, kõikjal pidev, isegi jaoks b = c = 0,

ja mitteperioodiline;

- juures D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Toitefunktsioon. See on funktsioon: y = kirves n, Kus a, n- püsiv. Kell n= 1 saame otsene proportsionaalsus: y=kirves; juures n = 2 - ruudu parabool; juures n = 1 - pöördvõrdelisus või hüperbool. Seega on need funktsioonid võimsusfunktsiooni erijuhud. Teame, et mis tahes muu arvu nullaste kui null on võrdne 1-ga, seega millal n= 0, muutub võimsusfunktsioon konstandiks: y= a, st. selle graafik on teljega paralleelne sirgjoon X, välja arvatud koordinaatide päritolu (palun selgitage, miks?). Kõik need juhtumid (koos a= 1) on näidatud joonisel 13 ( n 0) ja joonis 14 ( n < 0). Отрицательные значения x siin ei arvestata, sest siis on mõned funktsioonid: Kui n– terved, võimsusfunktsioonid on mõttekad isegi siis, kui x < 0, но их графики имеют erinevat tüüpi sõltuvalt sellest, kas n paaris või paaritu arv. Joonisel 15 on näidatud kaks sellist võimsusfunktsiooni: for n= 2 ja n = 3. Kell n= 2 funktsioon on paaris ja selle graafik on telje suhtes sümmeetriline Y. Kell n= 3 funktsioon on paaritu ja selle graafik sümmeetriline alguspunkti suhtes. Funktsioon y = x 3 helistas kuupne parabool. Joonis 16 näitab funktsiooni . See funktsioon on ruudu parabooli pöördväärtus y = x 2 , selle graafik saadakse ruutparabooli graafiku pööramisel ümber 1. koordinaatnurga poolitajaNii saadakse mis tahes pöördfunktsiooni graafik selle algfunktsiooni graafikult. Graafikult näeme, et tegemist on kahe väärtusega funktsiooniga (sellele viitab ka ruutjuure ees olev  märk). Selliseid funktsioone elementaarmatemaatikas ei uurita, seetõttu käsitleme funktsioonina tavaliselt ühte selle haru: ülemist või alumist.
6.	Demonstratsioon funktsiooni. Funktsioon y = a x, Kus a on positiivne konstantne arv, mida nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon. Argument x võtab vastu mis tahes kehtivaid väärtusi; funktsiooni väärtusi arvesse võttes ainult positiivsed numbrid, kuna vastasel juhul on meil mitme väärtusega funktsioon. Jah, funktsioon y = 81 x on kell x= 1/4 neli erinevad tähendused: y = 3, y = 3, y = 3 i Ja y = 3 i(Arve palun!). Kuid me käsitleme ainult funktsiooni väärtust y= 3. Eksponentfunktsiooni graafikud jaoks a= 2 ja a= 1/2 on näidatud joonisel 17. Nad läbivad punkti (0, 1). Kell a= 1 meil on teljega paralleelse sirge graafik X, st. funktsioon muutub konstantseks väärtuseks, mis võrdub 1. Kui a> 1, eksponentsiaalfunktsioon suureneb ja 0 korral< a < 1 – убывает. Eksponentfunktsiooni peamised omadused ja omadused:  < x+ (st. x R ); vahemik: y> 0 ; Funktsioon on monotoonne: see suureneb koos a> 1 ja väheneb 0 juures< a < 1; - Funktsioonil pole nulle.
7.	Logaritmiline funktsioon. Funktsioon y= log a x, Kus a on konstantne positiivne arv, ei võrdu 1-ga logaritmiline. See funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon; selle graafiku (joonis 18) saab saada eksponentsiaalfunktsiooni graafiku pööramisel ümber 1. koordinaatnurga poolitaja. Logaritmifunktsiooni peamised omadused ja omadused: Funktsiooni ulatus: x> 0, ja väärtuste vahemik:  < y+ (st. y R ); See on monotoonne funktsioon: see suureneb kui a> 1 ja väheneb 0 juures< a < 1; Funktsioon on piiramatu, kõikjal pidev, mitteperioodiline; Funktsioonil on üks null: x = 1.
8.	trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide koostamisel kasutame radiaan nurkade mõõt. Siis funktsioon y= patt x kujutatud graafikuga (joonis 19). Seda kõverat nimetatakse sinusoid. Funktsioonigraafik y= cos x näidatud joonisel 20; see on ka siinuslaine, mis tuleneb graafiku liigutamisest y= patt x piki telge X vasakule 2 võrra Nendelt graafikutelt on nende funktsioonide omadused ja omadused ilmsed: Domeen:  < x+  vahemik: -1 y +1; Need funktsioonid on perioodilised: nende periood on 2; Piiratud funktsioonid (| y| , kõikjal pidev, mitte monotoonne, vaid millel on nö intervallidega monotoonsus, mille sees nad käituvad nagu monotoonsed funktsioonid (vt graafikuid joonistel 19 ja 20); Funktsioonidel on lõpmatu arv nulle (lisateavet leiate jaotisest "Trigonomeetrilised võrrandid"). Funktsioonigraafikud y= päevitus x Ja y= võrevoodi x näidatud vastavalt joonistel 21 ja 22 Graafikutelt on näha, et need funktsioonid on: perioodilised (nende periood , piiramatu, üldiselt mitte monotoonne, kuid neil on monotoonsuse intervallid (mis?), katkendlik (millised katkestuspunktid neil funktsioonidel on?). Piirkond nende funktsioonide määratlused ja ulatus:
9.	Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid. Pöördväärtuste määratlused trigonomeetrilised funktsioonid ja nende peamised omadused on toodud samanimeline osa peatükis "Trigonomeetria". Seetõttu piirame end siin ainult lühikesed kommentaarid nende graafikute kohta pöörates trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid ümber 1. poolitaja koordinaatide nurk.

Funktsioonid y= Arcsin x(joon.23) ja y= Arccos x(joon.24) paljude väärtustega, piiramatu; nende määratluspiirkond ja väärtusvahemik, vastavalt: 1 x+1 ja  < y+ . Kuna need funktsioonid on mitme väärtusega,

Koordinaatide süsteem - need on kaks üksteisega risti asetsevat koordinaatjoont, mis ristuvad nende mõlema lähtepunktis.

Koordinaatide teljed on sirged, mis moodustavad koordinaatsüsteemi.

abstsiss(x-telg) on ​​horisontaaltelg.

Y-telg(y-telg) on ​​vertikaaltelg.

Funktsioon

Funktsioon on hulga X elementide vastendamine hulgale Y . Sel juhul vastab hulga X iga element x ühele hulga Y väärtusele y.

Otse

Lineaarne funktsioon on funktsioon kujul y = a x + b, kus a ja b on suvalised arvud.

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

Mõelge, kuidas graafik näeb välja sõltuvalt koefitsientidest a ja b:

Kui a > 0 , joon läbib I ja III koordinaatveerandit.

Kui a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b on sirge ja y-telje lõikepunkt.

Kui a = 0, muutub funktsioon y = b.

Eraldi valime võrrandi x \u003d a graafiku.

Tähtis: see võrrand ei ole funktsioon, kuna funktsiooni definitsioon on rikutud (funktsioon seob hulga X iga elemendi x hulga Y ühe väärtusega y). See võrrand seostab ühe elemendi x lõpmatu hulga elementidega y. Selle võrrandi graafikut saab aga joonistada. Ärgem nimetagem seda uhkeks sõnaks "funktsioon".

Parabool

Funktsiooni y = a x 2 + b x + c graafik on parabool .

Paraboolgraafiku tasapinnal paiknemise ühemõtteliseks määramiseks peate teadma, mida mõjutavad koefitsiendid a, b, c:

1. Koefitsient a näitab, kuhu on suunatud parabooli harud.

• Kui a > 0 , on parabooli harud suunatud ülespoole.
• Kui a< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koefitsient c näitab, millises punktis parabool lõikub y-teljega.
2. Koefitsient b aitab leida x - parabooli tipu koordinaadist.

x in \u003d - b 2 a

1. Diskriminant võimaldab määrata, mitu punkti paraboolil on teljega.

• Kui D > 0 - kaks lõikepunkti.
• Kui D = 0 - üks lõikepunkt.
• Kui D< 0 — нет точек пересечения.

Funktsiooni y = k x graafik on hüperbool .

Hüperbooli iseloomulik tunnus on asümptootide olemasolu.

Hüperbooli asümptoodid - sirgjooned, millele see kaldub, lähevad lõpmatusse.

X-telg on hüperbooli horisontaalne asümptoot

Y-telg on hüperbooli vertikaalne asümptoot.

Graafikul on asümptoodid tähistatud rohelise punktiirjoonega.

Kui koefitsient k > 0, siis läbivad hüperola oksad I ja III veerandit.

Kui k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Mida väiksem on koefitsiendi k absoluutväärtus (koefitsient k ilma märki arvestamata), seda lähemal on hüperbooli harud x- ja y-telgedele.

Ruutjuur

Funktsioonil y     =     x on järgmine graafik:

Funktsioonide suurendamine/vähendamine

Funktsioon y   =   f(x) suureneb intervalliga kui argumendi suurem väärtus (suurem x väärtus) vastab suuremale funktsiooni väärtusele (suurem y väärtus) .

See tähendab, et mida rohkem (paremale) x, seda rohkem (kõrgem) y. Graafik tõuseb (vaadake vasakult paremale)

Funktsioon y   =   f(x) väheneb intervalli jooksul kui suurem argumendi väärtus (suurem x väärtus) vastab väiksemale funktsiooni väärtusele (suurem y väärtus) .

The metoodiline materjal on teabeks ja hõlmab paljusid teemasid. Artiklis antakse ülevaade peamiste elementaarfunktsioonide graafikutest ja käsitletakse kõige olulisemat küsimust - kuidas õigesti ja KIIRELT graafikut koostada. Kõrgema matemaatika õppimise käigus põhigraafikuid tundmata elementaarsed funktsioonid see saab olema raske, seetõttu on väga oluline meeles pidada, kuidas näevad välja parabooli, hüperbooli, siinuse, koosinuse jne graafikud, jätke meelde mõned funktsiooni väärtused. Räägime ka põhifunktsioonide mõningatest omadustest.

Ma ei pretendeeri materjalide täielikkusele ja teaduslikule põhjalikkusele, rõhk on ennekõike praktikal – nendel asjadel, millega igal kõrgema matemaatika teemal tuleb sõna otseses mõttes silmitsi seista. Mannekeenide graafikud? Nii võib öelda.

Lugejate populaarsel nõudmisel klikitav sisukord:

Lisaks on sellel teemal ülilühike kokkuvõte
- omandage 16 tüüpi diagramme, uurides kuut lehekülge!

Tõsiselt, kuus, isegi mina ise olin üllatunud. See kokkuvõte sisaldab täiustatud graafikat ja on saadaval sümboolse tasu eest, demoversiooni saab vaadata. Faili on mugav printida nii, et graafikud oleksid alati käepärast. Aitäh projekti toetamise eest!

Ja alustame kohe:

Kuidas õigesti koordinaattelgesid ehitada?

Praktikas koostavad õpilased peaaegu alati kontrolltööd eraldi vihikutesse, mis on puuri vooderdatud. Miks vajate ruudulist märgistust? Lõppude lõpuks saab tööd põhimõtteliselt teha A4-lehtedel. Ja puur on vajalik just jooniste kvaliteetseks ja täpseks kujundamiseks.

Funktsioonigraafiku mis tahes joonistamine algab koordinaattelgedega.

Joonised on kahe- ja kolmemõõtmelised.

Vaatleme kõigepealt kahemõõtmelist juhtumit Descartes ristkülikukujuline süsteem koordinaadid:

1) Joonistame koordinaatteljed. Telge nimetatakse x-telg ja telg y-telg . Püüame neid alati joonistada korralik ja mitte kõver. Samuti ei tohiks nooled meenutada papa Carlo habet.

2) Allkirjastame teljed suurte tähtedega "x" ja "y". Ärge unustage telgedele alla kirjutada.

3) Seadke skaala piki telge: joonista null ja kaks ühte. Joonise tegemisel on kõige mugavam ja levinum mõõtkava: 1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul) - võimalusel jää selle juurde. Aeg-ajalt aga juhtub, et joonis ei mahu vihikulehele ära – siis vähendame mõõtkava: 1 ühik = 1 lahter (joonis paremal). Harva, kuid juhtub, et joonise mõõtkava tuleb veelgi vähendada (või suurendada).

ÄRGE kritseldage kuulipildujast ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Sest koordinaattasand ei ole Descartes'i monument ja õpilane ei ole tuvi. Panime null Ja kaks ühikut piki telge. Mõnikord selle asemelühikut, on mugav "tuvastada" muid väärtusi, näiteks "kaks" abstsissteljel ja "kolm" ordinaatteljel - ja see süsteem (0, 2 ja 3) määrab ka koordinaatide ruudustiku üheselt.

Parem on hinnata joonise hinnangulisi mõõtmeid ENNE joonise koostamist.. Näiteks kui ülesanne nõuab kolmnurga joonistamist tippudega , , , siis on üsna selge, et populaarne skaala 1 ühik = 2 lahtrit ei tööta. Miks? Vaatame asja - siin peate mõõtma viisteist sentimeetrit allapoole ja ilmselgelt ei mahu joonis (või mahub vaevu) märkmikulehele. Seetõttu valime kohe väiksema mõõtkava 1 ühik = 1 lahter.

Muide, umbes sentimeetrid ja sülearvuti rakud. Kas vastab tõele, et 30 sülearvuti lahtris on 15 sentimeetrit? Mõõda joonlauaga märkmikusse huvi jaoks 15 sentimeetrit. NSV Liidus oli see võib-olla tõsi ... Huvitav on märkida, et kui mõõta neid samu sentimeetreid horisontaalselt ja vertikaalselt, on tulemused (lahtrites) erinevad! Rangelt võttes ei ole tänapäevased märkmikud ruudulised, vaid ristkülikukujulised. See võib tunduda jama, kuid näiteks kompassiga ringi joonistamine on sellistes olukordades väga ebamugav. Ausalt öeldes hakkad sellistel hetkedel mõtlema seltsimees Stalini õigsusele, kes saadeti laagritesse tootmises häkkimistöödele, rääkimata kodumaisest autotööstusest, kukkuvatest lennukitest või plahvatavatest elektrijaamadest.

Kvaliteedist rääkides või lühike soovitus kirjatarvete kohta. Praeguseks on enamus müügil olevaid märkmikke, ilma halbu sõnu ütlemata, täielik pätt. Sel põhjusel, et nad saavad märjaks ja mitte ainult geelpliiatsite, vaid ka pastapliiatsite käest! Säästke paberil. Kliirensi jaoks kontrolltööd Soovitan kasutada Arhangelski tselluloosi- ja paberivabriku (18 lehte, puur) või Pyaterochka märkmikke, kuigi need on kallimad. Soovitav on valida geelpliiats, isegi odavaim Hiina geelitäide on palju parem kui pastapliiats, mis kas määrib või rebib paberit. Ainus "konkurentsivõimeline" pastapliiats on minu mäletamist mööda Erich Krause. Ta kirjutab selgelt, kaunilt ja stabiilselt - kas täistüvega või peaaegu tühjaga.

Lisaks: artiklis käsitletakse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi nägemust analüütilise geomeetria silmade kaudu Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus, üksikasjalikku teavet koordinaatkvartalite kohta leiate õppetunni teisest lõigust Lineaarsed ebavõrdsused.

3D korpus

Siin on peaaegu sama.

1) Joonistame koordinaatteljed. Standard: rakendustelg – suunatud üles, telg – suunatud paremale, telg – alla vasakule rangelt 45 kraadise nurga all.

2) Kirjutame telgedele alla.

3) Seadke skaala piki telge. Skaala piki telge – kaks korda väiksem kui skaala piki teisi telge. Pange tähele ka seda, et parempoolsel joonisel kasutasin piki telge mittestandardset "serifi". (seda võimalust on juba eespool mainitud). Minu vaatevinklist on see täpsem, kiirem ja esteetilisem – ei pea otsima mikroskoobi alt raku keskosa ja seadet otse lähtepunktini “skulpeerima”.

Kui teete uuesti 3D-joonistamist - eelistage mõõtkava
1 ühik = 2 lahtrit (joonis vasakul).

Mille jaoks kõik need reeglid on? Reeglid on selleks, et neid rikkuda. Mida ma nüüd tegema hakkan. Fakt on see, et artikli järgnevad joonised teen mina Excelis ja koordinaatteljed tunduvad õige kujunduse osas valed. Ma võin kõik graafikud käsitsi joonistada, kuid neid on tõesti hirmutav joonistada, sest Excel ei soovi neid palju täpsemalt joonistada.

Elementaarfunktsioonide graafikud ja põhiomadused

Lineaarfunktsioon on antud võrrandiga . Lineaarse funktsiooni graafik on otsene. Sirge konstrueerimiseks piisab kahe punkti teadmisest.

Näide 1

Joonistage funktsioon. Leiame kaks punkti. Üheks punktiks on kasulik valida null.

Kui siis

Võtame mõne muu punkti, näiteks 1.

Kui siis

Ülesannete koostamisel võetakse punktide koordinaadid tavaliselt tabelisse:

Ja väärtused ise arvutatakse suuliselt või mustandil, kalkulaatoril.

Kaks punkti on leitud, joonistame:

Joonise koostamisel allkirjastame alati graafika.

Lineaarse funktsiooni erijuhtumeid ei ole üleliigne meenutada:

Pange tähele, kuidas ma subtiitreid paigutasin, allkirjad ei tohiks joonist uurides olla kahemõttelised. Sel juhul oli väga ebasoovitav panna allkiri joonte lõikepunkti kõrvale või all paremale graafikute vahele.

1) Vormi () lineaarset funktsiooni nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks. Näiteks, . Otsese proportsionaalsuse graafik läbib alati lähtepunkti. Seega on sirgjoone ehitamine lihtsustatud – piisab vaid ühe punkti leidmisest.

2) Vorm võrrand defineerib teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga antud telg ise. Funktsiooni graafik koostatakse kohe, punkte leidmata. See tähendab, et kirjet tuleks mõista järgmiselt: "y on alati võrdne -4, mis tahes x väärtuse korral."

3) Vorm võrrand defineerib teljega paralleelse sirge, täpsemalt on võrrandiga antud telg ise. Kohe ehitatakse ka funktsiooni graafik. Kirjet tuleks mõista järgmiselt: "x on alati y mis tahes väärtuse korral võrdne 1-ga."

Mõni küsib, et miks mäletada 6. klassi?! Nii see võib-olla nii ongi, ainult praktikaaastate jooksul kohtasin kümmekond õpilast, kes olid hämmingus graafiku koostamise ülesandest nagu või .

Sirge joone tõmbamine on jooniste tegemisel kõige tavalisem tegevus.

Sirgest tuleb täpsemalt juttu analüütilise geomeetria käigus ning soovijad võivad artiklile viidata Tasapinna sirgjoone võrrand.

Ruutfunktsiooni graafik, kuupfunktsiooni graafik, polünoomgraaf

Parabool. Ruutfunktsiooni graafik () on parabool. Mõelge kuulsale juhtumile:

Tuletame meelde funktsiooni mõningaid omadusi.

Niisiis, meie võrrandi lahendus: - just selles punktis asub parabooli tipp. Miks see nii on, saab õppida teoreetilisest artiklist tuletise kohta ja õppetunnist funktsiooni äärmuste kohta. Vahepeal arvutame "y" vastava väärtuse:

Nii et tipp on punktis

Nüüd leiame teisi punkte, kasutades samas jultunult parabooli sümmeetriat. Tuleb märkida, et funktsioon – pole ühtlane, kuid sellegipoolest ei tühistanud keegi parabooli sümmeetriat.

Mis järjekorras ülejäänud punktid leida, selgub vist finaallauast:

Seda ehitusalgoritmi võib Anfisa Tšehhovaga piltlikult nimetada "süstikuks" või "edasi-tagasi" põhimõtteks.

Teeme joonise:

Vaadeldavatest graafikutest tuleb meelde veel üks kasulik funktsioon:

Ruutfunktsiooni jaoks () järgmine on tõsi:

Kui , siis on parabooli oksad suunatud ülespoole.

Kui , siis on parabooli oksad suunatud allapoole.

Põhjalikud teadmised kõverast saab tunnis Hüperbool ja parabool.

Kuupparabooli annab funktsioon . Siin üks kooliajast tuttav joonistus:

Loetleme funktsiooni peamised omadused

Funktsioonigraafik

See esindab ühte parabooli harudest. Teeme joonise:

Funktsiooni peamised omadused:

Sel juhul on telg vertikaalne asümptoot hüperboolgraafiku jaoks .

See on SUUR viga, kui lasete joonise koostamisel hooletusest graafikul asümptoodiga ristuda.

Ka ühepoolsed piirid, ütle meile, et hüperbool pole ülalt piiratud Ja ei ole altpoolt piiratud.

Uurime funktsiooni lõpmatuses: st kui hakkame liikuma mööda telge vasakule (või paremale) lõpmatuseni, siis on “mängud” sihvakas samm lõpmatult lähedal läheneda nullile ja vastavalt ka hüperbooli harudele lõpmatult lähedal läheneda teljele.

Nii et telg on horisontaalne asümptoot funktsiooni graafiku jaoks, kui "x" kaldub pluss või miinus lõpmatuseni.

Funktsioon on kummaline, mis tähendab, et hüperbool on päritolu suhtes sümmeetriline. See asjaolu on jooniselt ilmne, pealegi saab seda hõlpsasti analüütiliselt kontrollida: .

Vormi () funktsiooni graafik esindab hüperbooli kahte haru.

Kui , siis asub hüperbool esimeses ja kolmandas koordinaatkvadrandis(vt pilti ülal).

Kui , siis asub hüperbool teises ja neljandas koordinaatkvadrandis.

Hüperbooli elukoha täpsustatud seaduspärasust graafikute geomeetriliste teisenduste seisukohalt pole raske analüüsida.

Näide 3

Koostage hüperbooli parempoolne haru

Kasutame punktkonstruktsiooni meetodit, samas on kasulik valida väärtused nii, et need jaguneksid täielikult:

Teeme joonise:

Hüperbooli vasaku haru konstrueerimine pole keeruline, siin aitab lihtsalt funktsiooni veidrus. Jämedalt öeldes lisage punktkonstruktsiooni tabelis igale numbrile mõttes miinus, pange vastavad punktid ja joonistage teine ​​haru.

Üksikasjalikku geomeetrilist teavet vaadeldava joone kohta leiate artiklist Hüperbool ja parabool.

Eksponentfunktsiooni graafik

Selles lõigus käsitlen kohe eksponentsiaalfunktsiooni, kuna kõrgema matemaatika ülesannetes esineb 95% juhtudest eksponent.

Tuletan teile meelde, et - see on irratsionaalne arv: , seda nõutakse graafiku koostamisel, mille ma tegelikult koostan ilma tseremooniata. Kolmest punktist ilmselt piisab:

Jätame funktsiooni graafiku praegu rahule, sellest hiljem.

Funktsiooni peamised omadused:

Põhimõtteliselt näevad funktsioonide graafikud välja samad jne.

Pean ütlema, et teine ​​juhtum on praktikas vähem levinud, kuid see juhtub, nii et ma pidasin vajalikuks lisada see käesolevasse artiklisse.

Logaritmilise funktsiooni graafik

Vaatleme naturaallogaritmiga funktsiooni .
Teeme joonelise joonise:

Kui unustasite, mis on logaritm, vaadake kooliõpikuid.

Funktsiooni peamised omadused:

Domeen:

Väärtuste vahemik: .

Funktsioon ei ole ülalt piiratud: , küll aeglaselt, kuid logaritmi haru tõuseb lõpmatuseni.
Uurime parempoolse nullilähedase funktsiooni käitumist: . Nii et telg on vertikaalne asümptoot funktsiooni graafiku jaoks, mille paremal pool on null.

Kindlasti teadke ja pidage meeles logaritmi tüüpilist väärtust: .

Põhimõtteliselt näeb aluse logaritmi graafik välja sama: , , ( kümnendlogaritm aluses 10) jne. Samal ajal, mida suurem on alus, seda lamedam on diagramm.

Me ei võta seda juhtumit arvesse, ma ei mäleta, millal ma viimati sellisel alusel graafiku koostasin. Jah, ja logaritm näib olevat väga harv külaline kõrgema matemaatika probleemides.

Lõigu lõpetuseks ütlen veel ühe fakti: Eksponentfunktsioon ja logaritmiline funktsioonon kaks vastastikust pöördfunktsioonid . Kui vaatate tähelepanelikult logaritmi graafikut, näete, et see on sama eksponent, ainult see asub veidi erinevalt.

Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud

Kuidas algab trigonomeetriline piin koolis? Õige. Siinusest

Joonistame funktsiooni

Seda rida nimetatakse sinusoid.

Tuletan teile meelde, et "pi" on irratsionaalne arv: ja trigonomeetrias pimestab see silmis.

Funktsiooni peamised omadused:

See funktsioon on perioodiline perioodiga. Mida see tähendab? Vaatame lõiget. Sellest vasakul ja paremal kordub lõputult täpselt sama graafiku tükk.

Domeen: , see tähendab, et iga "x" väärtuse korral on siinusväärtus.

Väärtuste vahemik: . Funktsioon on piiratud: , see tähendab, et kõik "mängud" istuvad rangelt segmendis .
Seda ei juhtu: või täpsemalt, juhtub, kuid neil võrranditel pole lahendust.

Funktsiooni graafik on koordinaattasandi kõigi punktide kogum, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega.

Järgmises tabelis on toodud meie riigi pealinna Minski kuu keskmised temperatuurid.

P

TV

Siin on argumendiks kuu järjekorranumber ja funktsiooni väärtuseks õhutemperatuur Celsiuse kraadides. Näiteks sellest tabelist saame teada, et aprillis on kuu keskmine temperatuur 5,3 °C.

Funktsionaalset sõltuvust saab esitada graafiku abil.

Joonisel 1 on kujutatud horisondi suhtes 6СГ nurga all paisatud keha liikumise graafik algkiirusega 20 m/s.

Funktsioonigraafikut kasutades saab argumendi väärtuse järgi leida funktsioonile vastava väärtuse. Joonisel 1 oleva graafiku järgi teeme kindlaks, et näiteks 2 s pärast liikumise algusest oli keha 15 m kõrgusel ja 3 s pärast 7,8 m kõrgusel (joonis 2).

Samuti on võimalik lahendada pöördülesanne, nimelt funktsiooni antud väärtuse a järgi leida argumendi need väärtused, mille jaoks funktsioon võtab selle väärtuse a. Näiteks leiame joonisel 1 oleva graafiku järgi, et 10 m kõrgusel oli keha liikumise algusest 0,7 s ja 2,8 s (joonis 3),

On seadmeid, mis joonistavad suuruste vaheliste sõltuvuste graafikud. Need on barograafid - seadmed atmosfäärirõhu sõltuvuse ajast fikseerimiseks, termograafid - seadmed temperatuuri sõltuvuse ajast fikseerimiseks, kardiograafid - seadmed südame aktiivsuse graafiliseks registreerimiseks jne. Joonisel 102 on skemaatiliselt kujutatud termograaf. Selle trummel pöörleb ühtlaselt. Trumlile keritud paberit puudutab makk, mis olenevalt temperatuurist tõuseb ja langeb ning tõmbab paberile kindla joone.

Funktsiooni esitusest valemiga saate liikuda edasi selle esituse juurde tabelis ja graafikus.